在物理、化学过程,工程系统,生物系统和通讯系统等领域,时滞微分方程起着重要的作用并受到人们的广泛关注,近年来已成为研究的热点问题,参见文献[18-19].在数学领域,人们主要研究其解的适定性和长时间行为.对于时滞微分方程解的长时间行为的研究,已有一些结果,参见文献[6-11, 13-17, 21-22, 26-27, 32-33]及其参考文献.

基于上述情况,本文研究下述带有时滞项的复Ginburg-Landau方程

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \partial_{t}u-(\lambda+{\rm i}\alpha)\Delta u+(k+{\rm i}\beta)|u|^{p-2}u-\gamma u = g(t, u_{t})+f(t), \; &x\in\Omega, t\in(\tau, \infty), \\ u(x, \, t) = 0, &x\in\partial\Omega, t\in(\tau, \infty), \\ u(x, \, \tau+\theta) = \phi(x, \, \theta), &x\in\Omega, \; \theta\in[-h, 0], \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ \Omega\subset{{\Bbb R}} ^N(N\geq3) $是有界光滑区域, $ i = \sqrt{-1} $, $ \lambda > 0 $, $ k > 0 $, $ \alpha, \beta\in{{\Bbb R}} $, $ \gamma > 0 $, $ g(\cdot, \cdot) $是作用在带有某种遗传特征的解上的算子(对于算子$ g(\cdot, \cdot) $的假设将在后面给出),依赖于时间的外力$ f(\cdot)\in L^{2}_{loc}({{\Bbb R}}; L^{2}(\Omega)) $,初值$ \phi\in C([-h, 0]; L^{2}(\Omega)) $, $ h(> 0) $是时滞影响的长度.对于任意的$ t\geq\tau $, $ \tau\in{{\Bbb R}} $,我们用$ u_{t} $表示定义在$ [-h, 0] $上的函数$ u_{t}(\theta) = u(t+\theta) $, $ \theta\in[-h, 0] $.

对于算子$ g(\cdot, \cdot) $,参见文献[13-14],我们假设$ g(\cdot, \cdot): {{\Bbb R}} \times C_{L^{2}(\Omega)}\rightarrow L^{2}(\Omega) $,且

(Ⅰ) $ \forall \xi\in C_{L^{2}(\Omega)} $,函数$ t\in{{\Bbb R}} \mapsto g(t, \xi)\in L^{2}(\Omega) $可测;

(Ⅱ) $ \forall t\in{{\Bbb R}} $, $ g(t, 0) = 0 $;

(Ⅲ) $ \forall t\in{{\Bbb R}} $和$ \forall\xi, \eta\in C_{L^{2}(\Omega)} $, $ \exists L_{g} > 0 $使得$ \|g(t, \xi)-g(t, \eta)\|_{2}\leq L_{g}\|\xi-\eta\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}. $

分别用$ (\cdot, \cdot) $和$ \|\cdot\|_{2} $表示$ L^{2}(\Omega) $中的内积和模, $ \|\cdot\|_{p} $表示$ L^{p}(\Omega) $中的模, $ ((\cdot, \cdot)) = (\nabla\cdot, \nabla\cdot) $和$ \|\nabla\cdot\|_{2} $分别表示$ H_{0}^{1}(\Omega) $中的内积和模.用$ C_{X} $表示Banach空间$ C([-h, 0]; X) $,并赋予上确界模.对于任意的$ u\in C_{X} $,它的模表示为$ { }\|u\|_{C_{X}} = \max\limits_{t\in[-h, 0]}\|u(t)\|_{X} $. $ L^{p}(\Omega) $和它的共轭$ L^{p^{*}}(\Omega) $之间的内积也记为$ (\cdot, \cdot) $,其中$ p^{*} = p/(p-1) $ ($ 1 < p < \infty $).

复Ginzburg-Landau方程常作为一种重要的模型来描述非平衡流体动力系统中空间格局的形成或不稳定性的振幅演化(从平面Poiseuille叶流中Tollmien-Schlichting波的发展到反向旋转圆柱之间流动中Taylor涡的出现,以及对化学系统的研究)以及相变理论和超导现象,参见文献[12, 28-29].作为其特殊情形,非线性schrödinger方程是近年来被研究的具有广义非线性项的方程.因此,在理论物理和数学领域中的复Ginzburg-Landau方程日益受到数学家们的重视.

对于不含时滞项的复Ginzburg-Landau方程,其解的长时间行为已被许多学者进行研究,参见文献[1, 23, 25, 35-36]. Chepyzhov等^[1]主要考虑周期边值条件和非自治情形; Kapustyan等^[23]主要考虑解不唯一的复Ginzburg-Landau方程; Li等^[25]证明了复Ginzburg-Landau方程在$ L^{2}(\Omega) $, $ L^{p}(\Omega) $ ($ p\geq2 $)和$ H_{0}^{1}(\Omega) $中全局吸引子的存在性; Zhou等^[35-36]考虑变区域上的复Ginzburg-Landau方程,证明了$ L^{2}(\Omega) $中拉回吸引子的存在性.

本文考虑带有时滞项的复Ginzburg-Landau方程解的适定性和拉回吸引子的存在性,并假设

(1.2) $ \begin{eqnarray} \left(\frac{\alpha}{\lambda}, \frac{\beta}{k}\right)\in S\left(\frac{1}{c_{p}}, \frac{1}{c_{p}}\right), \end{eqnarray} $

其中$ S(x_{0}, y_{0}) = \{(x, y)\in{{\Bbb R}} ^{2}:\; |x|\leq x_{0}, |y|\leq y_{0}\} $且$ c_{p} = \frac{p-2}{2\sqrt{p-1}} $, $ p > 2 $.

对于本文所考虑的问题,当验证解过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq\tau} $的紧性时有两个主要困难.其一是方程(1.1)定义在复数域而不是实数域上,在复数域上一些(实数域上)已有的结果不再成立.例如,当我们对方程(1.1)做$ L^{2} $ -内积时,所选取的检验函数是$ u $的共轭$ \overline{u} $而不是$ u $本身.其二是本文中的问题带有时滞项$ g(t, u_{t}) $,这使得我们所研究问题的相空间是Banach空间$ C_{X} $而不是Banach空间$ X $.在Banach空间$ C_{X} $,已有的验证解过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq\tau} $紧性的方法和技巧不再成立.为了克服上述困难,我们运用收缩函数的思想(参见文献[5, 20, 31, 34, 37])验证过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq\tau} $的紧性,从而得到$ C_{L^{2}(\Omega)} $中拉回吸引子的存在性.

本节首先给出拉回吸引子的一些基本概念和结果,参见文献[2-4].

设$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq \tau} $是度量空间$ X $上的过程(或双参数半群),即,一族映射$ U(t, \tau):X\rightarrow X $,满足$ U(\tau, \tau)x = x $, $ \forall x\in X $和$ U(t, \tau) = U(t, s)U(s, \tau), \ \forall\tau\leq s\leq t. $

设$ {\cal D} $为由非空参数集$ \widehat{D} = \{D(t); \; t\in {{\Bbb R}} \}\subset {\cal P}(X) $所组成的集类,其中$ {\cal P}(X) $表示$ X $的所有非空子集所组成的集族.

定义2.1 若对任意的$ t\in{{\Bbb R}} $, $ \widehat{D}\in{\cal D} $, $ \tau_{n}\rightarrow-\infty $和序列$ \{x_{n}\}_{n = 1}^{\infty}\subset D(\tau_{n}) $,序列$ \{U(t, \tau_{n})x_{n}\}_{n = 1}^{\infty} $在$ X $中存在收敛子列,则称过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq\tau} $拉回渐近紧.

定义2.2 若对任意的$ t\in{{\Bbb R}} $和$ \widehat{D}\in{\cal D} $,存在$ \tau_{0} = \tau_{0}(t, \widehat{D})\leq t $使得

$ U(t, \tau)D(\tau)\subset B(t), \quad\forall\tau\leq \tau_{0}(t, \widehat{D}), $

则称$ \widehat{B}\in {\cal D} $是过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq\tau} $的拉回$ {\cal D} $ -吸收集.

定义2.3 若集族$ \widehat{{\cal A}} = \{{\cal A}(t); \; t\in{{\Bbb R}} \}\subset{\cal P}(X) $满足

$ (1) $对任意的$ t\in{{\Bbb R}} $, $ {\cal A}(t) $在$ X $中紧,

$ (2) $对任意的$ t\in{{\Bbb R}} $和$ \widehat{D}\in{\cal D} $, $ \widehat{{\cal A}} $在$ X $中拉回$ {\cal D} $ -吸引,即

$ \lim\limits_{\tau\rightarrow -\infty}{\rm dist}_{X}(U(t, \tau)D(\tau), {\cal A}(t)) = 0, $

$ (3) $对任意的$ -\infty < \tau\leq t < +\infty $, $ \widehat{{\cal A}} $是不变的,即, $ U(t, \tau){\cal A}(\tau) = {\cal A}(t) $,则称$ \widehat{{\cal A}} = \{{\cal A}(t); \; t\in{{\Bbb R}} \} $是过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq \tau} $在$ X $中的拉回$ {\cal D} $ -吸引子.

而且, $ \widehat{{\cal A}} = \{{\cal A}(t); \; t\in{{\Bbb R}} \} $具有最小性;即,如果$ \widehat{C} = \{C(t); \; t\in{{\Bbb R}} \} $是由$ X $的闭子集$ C(t) $所组成的非空集族且满足

$ \lim\limits_{\tau\rightarrow-\infty}{\rm dist}_{X}(U(t, \tau)B(\tau), C(t)) = 0, \quad\forall t\in{{\Bbb R}} , $

则$ {\cal A}(t)\subset C(t) $.

下述定义和定理将用来证明拉回吸引子的存在性,参见文献[5, 20, 31, 34, 37].

定义2.4 设$ (X, \|\cdot\|_{X}) $是Banach空间, $ \widehat{B} = \{B(t); \; t\in{{\Bbb R}} \} $是$ X $的子集族, $ \psi(\cdot, \cdot) $是定义在$ X\times X $上的函数.若对任意的序列$ \{x_{n}\}_{n = 1}^{\infty}\subset B(t) $,存在子列$ \{x_{n_{k}}\}_{k = 1}^{\infty}\subset\{x_{n}\}_{n = 1}^{\infty} $使得

$ \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\lim\limits_{l\rightarrow\infty}\psi(x_{n_{k}}, x_{n_{l}}) = 0, $

则称$ \psi(\cdot, \cdot) $是$ B(t)\times B(t) $上的收缩函数.

记$ B(t)\times B(t) $上收缩函数组成的集合为Contr$ (B(t)) $.

定理2.1 设Banach空间$ X $中的过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq \tau} $存在拉回$ {\cal D} $ -吸收集$ \widehat{B} = \{B(t); \; t\in{{\Bbb R}} \} $.若对任给的$ \varepsilon > 0 $, $ t\in{{\Bbb R}} $,存在$ T = T(t, \widehat{B}, \varepsilon) = t-\tau $和依赖于$ t $和$ T $的函数$ \psi_{t, T}(\cdot, \cdot)\in {\rm Contr}(B(t)) $使得

$ \begin{eqnarray*} \|U(t, t-T)x-U(t, t-T)y\|_{X}\leq \varepsilon+\psi_{t, T}(x, y), \quad\forall x, y\in B(\tau), \end{eqnarray*} $

则$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq \tau} $在$ X $中拉回$ {\cal D} $ -渐近紧.

定理2.2 设Banach空间$ X $中的连续过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq\tau} $满足

(ⅰ) $ \{U(t, \tau)\}_{t\geq\tau} $在$ X $中存在拉回$ {\cal D} $ -吸收集$ \widehat{B}_{0} $,

(ⅱ) $ \{U(t, \tau)\}_{t\geq \tau} $在$ \widehat{B}_{0} $中拉回$ {\cal D} $ -渐近紧,则过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq \tau} $在$ X $中存在拉回$ {\cal D} $ -吸引子.

引理2.1^[30] 设$ q\in(1, \infty) $,则对任意非零且互不相等的$ z, w\in C $,有

$ \frac{|{\rm Im}[(|z|^{q-2}z-|w|^{q-2}w, \overline{z}-\overline{w})]|} {{\rm Re}[(|z|^{q-2}z-|w|^{q-2}w, \overline{z}-\overline{w})]}\leq\frac{|q-2|}{2\sqrt{q-1}}. $

引理2.2^[30]  (ⅰ)设$ q\in[2, +\infty) $,则对任意的$ z, w\in C $,有

$ {\rm Re}[(|z|^{q-2}z-|w|^{q-2}w, \overline{z}-\overline{w})]\geq2^{2-q}|z-w|^{q}. $

(ⅱ)设$ q\in(1, 2) $,则对任意非零的$ z, w\in C $,有

$ {\rm Re}[(|z|^{q-2}z-|w|^{q-2}w, \overline{z}-\overline{w})] \geq\frac{(q-1)|z-w|^{2}}{\max\{|z|^{2-q}, |w|^{2-q}\}}. $

本节我们利用Faedo-Galerkin方法证明方程(1.1)解的适定性,下面首先定义弱解.

定义3.1 若函数$ u\in C([\tau-h, T]; L^{2}(\Omega))\cap L^{2}(\tau, T; H_{0}^{1}(\Omega)) \cap L^{p}(\tau, T; L^{p}(\Omega)) $满足当$ t\in[\tau-h, \tau] $时, $ u(t) = \phi(t-\tau) $,且对任意的$ \varphi\in H_{0}^{1}(\Omega)\cap L^{p}(\Omega) $,有

$ \begin{eqnarray*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}(u(t), \varphi)+(\lambda+{\rm i}\alpha)(\nabla u, \nabla\varphi) +(k+{\rm i}\beta)(|u|^{p-2}u, \varphi)-\gamma(u, \varphi) = (g(t, u_{t})+f(t), \varphi) \end{eqnarray*} $

在$ {\cal D}'(\tau, \infty) $中成立,则称$ u $为方程(1.1)的弱解.

定理3.1 设$ g(\cdot, \cdot) $满足假设(Ⅰ)–(Ⅲ), $ f(\cdot)\in L^{2}_{loc}({{\Bbb R}}; L^{2}(\Omega)) $, $ \phi\in C_{L^{2}(\Omega)} $,则对任意的$ \tau\in{{\Bbb R}} $和$ T > \tau $,方程(1.1)存在弱解$ u(\cdot) = u(\cdot; \tau, \phi) $.

证 设$ \{w_{j}\}_{j\geq 1}\subset H_{0}^{1}(\Omega)\cap L^{p}(\Omega) $是$ L^{2}(\Omega) $中的Hilbert基且span$ \{w_{j}\}_{j\geq 1} $在$ H_{0}^{1}(\Omega)\cap L^{p}(\Omega) $中稠密.设$ f(\cdot)\in L^{2}_{loc}({{\Bbb R}}; L^{2}(\Omega)) $, $ \phi\in C([-h, 0];\; \mbox{span}\{w_{j}\}_{j = 1}^{n}) $,给定$ n\in{\Bbb N} $ (特别地, $ \phi(0)\in H_{0}^{1}(\Omega)\cap L^{p}(\Omega) $).

为了证明解的存在性,设$ \widetilde{u}^{m}(t, x) = \sum\limits_{j = 1}^{m}\gamma_{mj}(t)\omega_{j}(x) $且满足下述逼近系统

(3.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\widetilde{u}^{m}(t), \overline{\omega_{j}}) -(\lambda+{\rm i}\alpha)(\Delta\widetilde{u}^{m}(t), \overline{\omega_{j}}) +(k+{\rm i}\beta)(|\widetilde{u}^{m}(t)|^{p-2}\widetilde{u}^{m}(t), \overline{\omega_{j}}) \\ {\qquad}{\qquad}{\qquad}\, -\gamma(\widetilde{u}^{m}(t), \overline{\omega_{j}}) = (g(t, \widetilde{u}^{m}_{t}), \overline{\omega_{j}})+(f(t), \overline{\omega_{j}}), \\ \widetilde{u}_{\tau}^{m} = \phi, \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中$ m\geq n $, $ 1\leq j\leq m $, $ \overline{\omega_{j}} $是$ \omega_{j} $的共轭.

众所周知上述有限维时滞系统是适定的,参见文献[19].我们将给出先验估计来说明对任意的$ T > \tau $,其解在每个区间$ [\tau-h, T] $上的存在性.

步骤1 第一先验估计.

在(3.1)式两边乘以$ \overline{\gamma_{mj}(t)} $并对$ j = 1 $到$ m $求和,可得

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\widetilde{u}^{m}(t)\|_{2}^{2} +(\lambda+{\rm i}\alpha)\|\nabla\widetilde{u}^{m}(t)\|_{2}^{2}+(k+{\rm i}\beta)\|\widetilde{u}^{m}(t)\|_{p}^{p} -\gamma\|\widetilde{u}^{m}(t)\|_{2}^{2} \nonumber\\ & = &(g(t, \widetilde{u}^{m}_{t}), \overline{\widetilde{u}^{m}(t)}) +(f(t), \overline{\widetilde{u}^{m}(t)}), \quad\; {\rm a.e.}\; t>\tau, \end{eqnarray*} $

其中$ \overline{\gamma_{mj}(t)} $和$ \overline{\widetilde{u}^{m}(t)} $分别是$ \gamma_{mj}(t) $和$ \widetilde{u}^{m}(t) $的共轭.

由假设(Ⅱ)–(Ⅲ), Hölder不等式和Young不等式得

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\widetilde{u}^{m}(t)\|_{2}^{2} +\lambda\|\nabla\widetilde{u}^{m}(t)\|_{2}^{2}+k\|\widetilde{u}^{m}(t)\|_{p}^{p} -\gamma\|\widetilde{u}^{m}(t)\|_{2}^{2} \nonumber\\ &\leq &L_{g}\|\widetilde{u}^{m}_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}+ \frac{1}{2}\|f(t)\|_{2}^{2}+\frac{1}{2} \|\widetilde{u}^{m}(t)\|_{2}^{2}, \quad\; {\rm a.e.}\; t>\tau. \end{eqnarray*} $

进而

(3.2) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\widetilde{u}^{m}(t)\|_{2}^{2} +2\lambda\|\nabla\widetilde{u}^{m}(t)\|_{2}^{2}+2k\|\widetilde{u}^{m}(t)\|_{p}^{p} \\ &\leq& (1+2L_{g}+2\gamma)\|\widetilde{u}^{m}_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2} +\|f(t)\|_{2}^{2}, \quad\; {\rm a.e.}\; t>\tau. \end{eqnarray} $

对(3.2)式关于时间$ t $在$ [\tau, t] $上积分,可得

(3.3) $ \begin{eqnarray} &&\|\widetilde{u}^{m}(t)\|_{2}^{2} +2\lambda\int_{\tau}^{t}\|\nabla\widetilde{u}^{m}(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s +2k\int_{\tau}^{t}\|\widetilde{u}^{m}(s)\|_{p}^{p}{\rm d}s \\ &\leq&\|\widetilde{u}^{m}(\tau)\|_{2}^{2} +(1+2L_{g}+2\gamma)\int_{\tau}^{t}\|\widetilde{u}^{m}_{s}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}{\rm d}s +\int_{\tau}^{t}\|f(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s, \quad\forall t>\tau. \end{eqnarray} $

特别地,用$ t+\theta $代替$ t $,其中$ \theta\in [-h, 0] $,可得

$ \begin{eqnarray*} \|\widetilde{u}^{m}_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2} \leq \|\phi\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2} +(1+2L_{g}+2\gamma)\int_{\tau}^{t}\|\widetilde{u}^{m}_{s}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}{\rm d}s +\int_{\tau}^{t}\|f(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s, \quad\forall t\geq\tau. \end{eqnarray*} $

利用Gronwall引理可得

(3.4) $ \begin{eqnarray} \|\widetilde{u}^{m}_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2} \leq \left(\|\phi\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}+\int_{\tau}^{t}\|f(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s\right) e^{(1+2L_{g}+2\gamma)(t-\tau)}, \quad\forall t\geq\tau. \end{eqnarray} $

综合(3.3)式和(3.4)式可知,对任意的$ T > \tau $,有

(3.5) $ \begin{eqnarray} \{\widetilde{u}^{m}\}_{m\geq n}\ \mbox{在}\ L^{\infty}(\tau, T; L^{2}(\Omega))\cap L^{2}(\tau, T;H_{0}^{1}(\Omega))\cap L^{p}(\tau, T;L^{p}(\Omega))\ \mbox{中有界.} \end{eqnarray} $

从而,存在$ \widetilde{u}\in L^{\infty}(\tau, T; L^{2}(\Omega)) \cap L^{2}(\tau, T; H_{0}^{1}(\Omega))\cap L^{p}(\tau, T; L^{p}(\Omega)) $和$ \{\widetilde{u}^{m}\} $的子列(仍记作$ \{\widetilde{u}^{m}\} $)使得

(3.6) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} \widetilde{u}^{m}\; \mbox{在}\; L^{\infty}(\tau, T; L^{2}(\Omega)) \; \mbox{中弱$\star$ -收敛到}\; \widetilde{u}, \\ \widetilde{u}^{m}\; \mbox{在}\; L^{2}(\tau, T; H_{0}^{1}(\Omega))\; \mbox{中弱收敛到}\; \widetilde{u}, \\ \widetilde{u}^{m}\; \mbox{在} \; L^{p}(\tau, T; L^{p}(\Omega))\; \mbox{中弱收敛到}\; \widetilde{u}, \\ |\widetilde{u}^{m}|^{p-2}\cdot\widetilde{u}^{m} \; \mbox{在}\; L^{p^{\ast}}(\tau, T; L^{p^{\ast}}(\Omega))\; \mbox{中弱收敛到}\; |\widetilde{u}|^{p-2}\cdot\widetilde{u}. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

步骤2  关于时间导数的一致估计.

在(3.1)式两边乘以$ \overline{\gamma'_{mj}(t)} $并对$ j = 1 $到$ m $求和,可得

$ \begin{eqnarray*} &&\|(\widetilde{u}^{m})'(t)\|_{2}^{2}+\frac{\lambda+{\rm i}\alpha}{2} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\widetilde{u}^{m}(t)\|_{2}^{2} +\frac{k+{\rm i}\beta}{p}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\widetilde{u}^{m}(t)\|_{p}^{p} -\frac{\gamma}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\widetilde{u}^{m}(t)\|_{2}^{2} \nonumber\\ & = &(g(t, \widetilde{u}_{t}^{m}), \overline{(\widetilde{u}^{m})'(t)}) +(f(t), \overline{(\widetilde{u}^{m})'(t)}), \quad {\rm a.e.}\; t>\tau, \end{eqnarray*} $

其中$ \overline{(\widetilde{u}^{m})'(t)} $是$ (\widetilde{u}^{m})'(t) $的共轭.

进而,利用假设(Ⅱ)–(Ⅲ), Hölder和Young不等式可得

(3.7) $ \begin{eqnarray} &&\|(\widetilde{u}^{m})'(t)\|_{2}^{2} +\lambda\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\widetilde{u}^{m}(t)\|_{2}^{2} +\frac{2k}{p}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\widetilde{u}^{m}(t)\|_{p}^{p} -\gamma\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\widetilde{u}^{m}(t)\|_{2}^{2} \\ &\leq& 2L^{2}_{g}\|\widetilde{u}_{t}^{m}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}+2\|f(t)\|_{2}^{2}, \quad {\rm a.e.} \; t>\tau. \end{eqnarray} $

对(3.7)式关于时间$ t $在$ [\tau, t] $上积分,可得

(3.8) $ \begin{eqnarray} &&\lambda\|\nabla\widetilde{u}^{m}(t)\|_{2}^{2} +\frac{2k}{p}\|\widetilde{u}^{m}(t)\|_{p}^{p}-\gamma\|\widetilde{u}^{m}(t)\|_{2}^{2} +\int_{\tau}^{t}\|(\widetilde{u}^{m})'(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s \\ &\leq&\lambda\|\nabla\widetilde{u}^{m}(\tau)\|_{2}^{2} +\frac{2k}{p}\|\widetilde{u}^{m}(\tau)\|_{p}^{p}-\gamma\|\widetilde{u}^{m}(\tau)\|_{2}^{2} +2L^{2}_{g}\int_{\tau}^{t}\|\widetilde{u}_{s}^{m}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}{\rm d}s \\ &&+2\int_{\tau}^{t}\|f(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s, \quad\forall t\geq\tau. \end{eqnarray} $

由于对任意的$ m\geq n $, $ \widetilde{u}_{\tau}^{m} = \phi $且$ \widetilde{u}^{m}(\tau) = \phi(0)\in H_{0}^{1}(\Omega)\cap L^{p}(\Omega) $,综合(3.4)式和(3.8)式可知对任意的$ T > \tau $,有

(3.9) $ \begin{eqnarray} &&\{\widetilde{u}^{m}(t)\}_{m\geq n}\ \mbox{在}\ L^{\infty}(\tau, T; H_{0}^{1}(\Omega)\cap L^{p}(\Omega))\ \mbox{中有界, } \end{eqnarray} $

(3.10) $ \begin{eqnarray} &&\{(\widetilde{u}^{m})'(t)\}_{m\geq n}\ \mbox{在}\ L^{2}(\tau, T; L^{2}(\Omega))\ \mbox{中有界.} \end{eqnarray} $

从而,存在$ \widetilde{u} $ (步骤1中的$ \widetilde{u} $)使得$ \widetilde{u}\in L^{\infty}(\tau, T; H_{0}^{1}(\Omega) \cap L^{p}(\Omega)) $, $ \widetilde{u}'\in L^{2}(\tau, T; L^{2}(\Omega) $.

对任意给定的$ T > \tau $,由于

(3.11) $ \begin{eqnarray} \|\widetilde{u}^{m}(t_{2})-\widetilde{u}^{m}(t_{1})\|_{2}^{2}& = & \bigg\|\int_{t_{1}}^{t_{2}}(\widetilde{u}^{m})'(s){\rm d}s\bigg\|_{2}^{2} \\ &\leq&\|(\widetilde{u}^{m})'\|_{L^{2}(\tau, T;L^{2}(\Omega))}^{2}|t_{2}-t_{1}|, \quad\forall t_{1}, t_{2}\in [\tau, T], \end{eqnarray} $

由(3.9)式, Sobolev紧嵌入$ H_{0}^{1}(\Omega)\cap L^{p}(\Omega)\hookrightarrow L^{2}(\Omega) $$ (p > 2) $, (3.10)式和(3.11)式,以及Ascoli-Arzelà定理,可知存在$ \{\widetilde{u}^{m}\} $的子列(仍记作$ \{\widetilde{u}^{m}\} $)使得

(3.12) $ \begin{eqnarray} \mbox{在}\ C([\tau-h, T];L^{2}(\Omega))\ \mbox{中}\ \widetilde{u}^{m}\rightarrow\widetilde{u} \end{eqnarray} $

在$ \Omega\times(\tau, \infty) $上几乎处处成立.

结合(3.6)式和(3.12)式,对$ \{\widetilde{u}^{m}\} $满足的方程两边取极限,再由span$ \{\omega_{j}\}_{j\geq 1} $在$ H_{0}^{1}(\Omega)\cap L^{p}(\Omega) $中稠密,可知$ \widetilde{u} $是方程(1.1)的弱解.

步骤3  利用稠密性来证明更一般的结果.

对每个$ n\in{\Bbb N} $,定义$ \phi^{n}(\theta) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(\phi(\theta), \omega_{j})\omega_{j} $, $ \theta\in[-h, 0] $. (由于$ \{\omega_{j}\}_{j\geq1} $是$ L^{2}(\Omega) $中的Hilbert基,用反证法容易证明在$ C_{L^{2}(\Omega)} $中$ \phi_{n}\rightarrow\phi $).

设$ u^{n} $是方程(1.1)的对应于初值$ u_{\tau}^{n} = \phi^{n} $的解,则$ u^{n} $的能量等式为

$ \begin{eqnarray*} &&\|u^{n}(t)\|_{2}^{2}+2(\lambda+{\rm i}\alpha)\int_{\tau}^{t}\|\nabla u^{n}(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s +2(k+{\rm i}\beta)\int_{\tau}^{t}\|u^{n}(s)\|_{p}^{p}{\rm d}s \nonumber\\ & = &\|u^{n}(\tau)\|_{2}^{2}+2\gamma\int_{\tau}^{t}\|u^{n}(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s +2\int_{\tau}^{t}(g(s, u^{n}_{s}), \overline{u^{n}(s)}){\rm d}s+2\int_{\tau}^{t}(f(s), \overline{u^{n}(s)}){\rm d}s, \quad\forall t\geq\tau, \end{eqnarray*} $

其中$ \overline{u^{n}(s)} $是$ u^{n}(s) $的共轭.

类似于步骤1的推导过程,可知对任意的$ T > \tau $,有

$ \{u^{n}\} \; \mbox{在}\; L^{\infty}(\tau, T; L^{2}(\Omega))\cap L^{2}(\tau, T;H_{0}^{1}(\Omega))\cap L^{p}(\tau, T;L^{p}(\Omega)) \mbox{中有界}, $

$ \{|u^{n}|^{p-2}u^{n}\} \; \mbox{在}\; L^{q}(\tau, T;L^{q}(\Omega))\; \mbox{中有界}, $

其中$ q = p/(p-1) $是$ p $的共轭.

所以,对任意的$ T > \tau $,存在$ u\in L^{\infty}(\tau-h, T; L^{2}(\Omega))\cap L^{2}(\tau, T; H_{0}^{1}(\Omega))\cap L^{p}(\tau, T; L^{p}(\Omega)) $, $ \chi\in L^{q}(\tau, T; L^{q}(\Omega)) $以及$ \{u^{n}\} $的子列(仍记作$ \{u^{n}\} $)使得

(3.13) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} u^{n}\; \mbox{在}\; L^{\infty}(\tau-h, T; L^{2}(\Omega))\; \mbox{中弱$\star$ -收敛到}\; u, \\ u^{n}\; \mbox{在}\; L^{2}(\tau, T; H_{0}^{1}(\Omega))\; \mbox{中弱收敛到}\; u, \\ u^{n}\; \mbox{在}\; L^{p}(\tau, T; L^{p}(\Omega))\; \mbox{中弱收敛到}\; u, \\ |u^{n}|^{p-2}u^{n}\; \mbox{在}\; L^{q}(\tau, T; L^{q}(\Omega))\; \mbox{中弱收敛到}\; \chi. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

记$ u^{n}-u^{m} $的能量等式为

(3.14) $ \begin{eqnarray} &&\|u^{n}(t)-u^{m}(t)\|_{2}^{2}+2\lambda\int_{\tau}^{t}\|\nabla u^{n}(s)-\nabla u^{m}(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s \\ &&+2{\rm Re}\left[(k+{\rm i}\beta)\int_{\tau}^{t}(|u^{n}(s)|^{p-2}u^{n}(s)-|u^{m}(s)|^{p-2}u^{m}(s), \overline{u^{n}(s)-u^{m}(s)}){\rm d}s\right] \\ &\leq&\|u^{n}(\tau)-u^{m}(\tau)\|_{2}^{2}+2\gamma\int_{\tau}^{t}\|u^{n}(s)-u^{m}(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s +2L_{g}\int_{\tau}^{t}\|u^{n}_{s}-u^{m}_{s}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}{\rm d}s, \; \; \forall t\geq\tau. {}\\ \end{eqnarray} $

在(3.14)式中用$ t+\theta $代替$ t $, $ \theta\in[-h, 0] $可得

(3.15) $ \begin{eqnarray} &&\|u^{n}_{t}-u^{m}_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2} +2\lambda\int_{\tau}^{t}\|\nabla u^{n}(s)-\nabla u^{m}(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s \\ &\leq&\|\phi^{n}-\phi^{m}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2} +2(\gamma+L_{g})\int_{\tau}^{t}\|u^{n}_{s}-u^{m}_{s}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}{\rm d}s, \quad\forall t\geq\tau. \end{eqnarray} $

对(3.15)式应用Gronwall引理并代入(3.14)式,可知对任意的$ T > \tau $,有

$ \begin{eqnarray*} \{u^{n}\}\ \mbox{是}\ L^{2}(\tau, T; H_{0}^{1}(\Omega))\cap C([\tau-h, T]; L^{2}(\Omega))\ \mbox{中的Cauchy列.} \end{eqnarray*} $

所以,在$ \Omega\times(\tau, \infty) $上, $ u^{n}\rightarrow u $几乎处处成立.

因此,类似于前面,由(3.13)式和文献[24,引理1.3, p12]可得$ \chi = |u|^{p-2}u $,并由(3.13)式再对$ u^{n} $所满足的方程取极限得出$ u $是方程(1.1)的弱解.

定理3.2 设$ g(\cdot, \cdot) $满足假设(Ⅰ)–(Ⅲ), $ f(\cdot)\in L^{2}_{loc}({{\Bbb R}}; L^{2}(\Omega)) $, $ \phi\in C_{L^{2}(\Omega)} $且(1.2)式成立,则方程(1.1)的弱解唯一.而且,对于两个初值不同的解$ u(t) $和$ v(t) $,有下述$ \rm Lipschitz $连续

(3.16) $ \begin{eqnarray} \| w_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2} \leq\|w_{\tau}\|^{2}_{C_{L^{2}(\Omega)}}e^{2(L_{g}+\gamma)(t-\tau)}, \quad\; \forall t\geq\tau, \end{eqnarray} $

其中$ w(t) = u(t)-v(t) $.

证 记$ w(t) = u(t)-v(t) $,则$ w(t) $满足

(3.17) $ \begin{eqnarray} \partial_{t}w-(\lambda+{\rm i}\alpha)\Delta w+(k+{\rm i}\beta)(|u|^{p-2}u-|v|^{p-2}v)-\gamma w = g(t, u_{t})-g(t, v_{t}), \end{eqnarray} $

其初值为$ w(x, \tau+\theta) = \phi_{1}(x, \theta)-\phi_{2}(x, \theta) $, $ \theta\in[-h, 0] $.

让$ \overline{w} $与(3.17)式在$ \Omega $上作$ L^{2} $ -内积,可得

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|w\|_{2}^{2}+(\lambda+{\rm i}\alpha)\|\nabla w\|_{2}^{2} +(k+{\rm i}\beta)\int_{\Omega}(|u|^{p-2}u-|v|^{p-2}v)\overline{w} \nonumber\\ & = &(g(t, u_{t})-g(t, v_{t}), \overline{w})+\gamma\|w\|_{2}^{2}, \end{eqnarray*} $

其中$ \overline{w} $是$ w $的共轭.

由假设(Ⅲ)和Hölder不等式得

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|w\|_{2}^{2}+\lambda\|\nabla w\|_{2}^{2} +{\rm Re}\left[(k+{\rm i}\beta)\int_{\Omega}(|u|^{p-2}u-|v|^{p-2}v)\overline{w}\right] \nonumber\\ &\leq& L_{g}\|u_{t}-v_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}\|w\|_{2}+\gamma\|w\|_{2}^{2}. \end{eqnarray*} $

综合(1.2)式,引理2.1和引理2.2可得

$ \begin{eqnarray*} &&{\rm Re}\left[(k+{\rm i}\beta)\int_{\Omega}(|u|^{p-2}u-|v|^{p-2}v)\overline{w}\right] \nonumber\\ & = &k{\rm Re}\left[\int_{\Omega}(|u|^{p-2}u-|v|^{p-2}v)\overline{w}\right] -\beta {\rm Im}\left[\int_{\Omega}(|u|^{p-2}u-|v|^{p-2}v)\overline{w}\right] \nonumber\\ &\geq &k{\rm Re}\left[\int_{\Omega}(|u|^{p-2}u-|v|^{p-2}v)\overline{w}\right] \left(1-\frac{|\beta|}{k}c_{p}\right) \geq0. \end{eqnarray*} $

从而

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|w\|_{2}^{2}\leq 2L_{g}\|u_{t}-v_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}\|w\|_{2}+2\gamma\|w\|_{2}^{2}. $

对上式关于时间$ t $在$ [\tau, t] $上积分,可得

$ \|w(t)\|_{2}^{2}\leq \|w(\tau)\|_{2}^{2}+ 2(L_{g}+\gamma)\int_{\tau}^{t}\|w_{s}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}{\rm d}s, \quad\forall t\geq\tau. $

特别地,用$ t+\theta $代替$ t $, $ \theta\in[-h, 0] $可得

$ \|w_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}\leq \|w_{\tau}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2} +2(L_{g}+\gamma)\int_{\tau}^{t}\|w_{s}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}{\rm d}s, \quad\forall t\geq\tau. $

对上式应用Gronwall引理得出(3.16)式,唯一性成立.

因此,由定理3.2可以定义$ C_{L^{2}(\Omega)} $中的解过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq\tau} $为

(3.18) $ \begin{eqnarray} U(t, \tau): C_{L^{2}(\Omega)}\rightarrow C_{L^{2}(\Omega)}, \quad U(t, \tau)\phi: = u(t;\tau, \phi) = u(t), \quad\forall t\geq\tau. \end{eqnarray} $

而且,由(3.18)式所定义的过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq\tau} $在$ C_{L^{2}(\Omega)} $中满足Lipschitz连续

$ \begin{eqnarray*} \|U(t, \tau)\phi_{1}-U(t, \tau)\phi_{2}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}} \leq\|\phi_{1}-\phi_{2}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}e^{2(L_{g}+\gamma)(t-\tau)}. \end{eqnarray*} $

本节我们将证明过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq\tau} $在$ C_{L^{2}(\Omega)} $中存在拉回$ {\cal D} $ -吸引子.

下述引理将用来证明过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq\tau} $在$ C_{L^{2}(\Omega)} $中存在拉回$ {\cal D} $ -吸收集.

引理4.1 设$ g(\cdot, \cdot) $满足假设(Ⅰ)–(Ⅲ), $ f(\cdot)\in L^{2}_{loc}({{\Bbb R}}; L^{2}(\Omega)) $, $ \phi\in C_{L^{2}(\Omega)} $,则方程(1.1)的弱解$ u(t) $满足下述估计

(4.1) $ \begin{eqnarray} \|u_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}\leq e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})h-\sigma(t-\tau)} \|\phi\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}+e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})h-\sigma t}\int_{\tau}^{t} e^{\sigma s}\|f(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s, \quad\forall t\geq\tau, \end{eqnarray} $

其中$ \sigma = 2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})-(2L_{g}+2\gamma+1)e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})h} $.

证 让$ \overline{u} $和方程(1.1)在$ \Omega $上做$ L^{2} $ -内积,可得

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_{2}^{2}+(\lambda+{\rm i}\alpha)\|\nabla u\|_{2}^{2} +(k+{\rm i}\beta)\|u\|_{p}^{p}-\gamma\|u\|_{2}^{2} = (g(t, u_{t}), \overline{u})+(f(t), \overline{u}), \end{eqnarray*} $

其中$ \overline{u} $是$ u $的共轭.

利用Hölder不等式和假设(Ⅲ)可得

$ \begin{eqnarray*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_{2}^{2}+2\lambda\|\nabla u\|_{2}^{2}+2k\|u\|^{p}_{p} \leq(2L_{g}+2\gamma+1)\|u_{t}\|^{2}_{C_{L^{2}(\Omega)}}+\|f(t)\|_{2}^{2}. \end{eqnarray*} $

由Poincaré不等式和$ 2k\|u\|^{p}_{p}\geq2\widetilde{k}\|u\|^{p}_{2}\geq2\widetilde{k}(\|u\|^{2}_{2}-c_{0}) $可得

(4.2) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_{2}^{2}+2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})\|u\|_{2}^{2} \leq(2L_{g}+2\gamma+1)\|u_{t}\|^{2}_{C_{L^{2}(\Omega)}}+\|f(t)\|_{2}^{2}+2\widetilde{k}c_{0}, \end{eqnarray} $

其中$ \lambda_{1} $是$ -\Delta $在$ H_{0}^{1}(\Omega) $中的第一特征值.

在(4.2)式两边乘以$ e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})t} $并关于时间$ t $在$ [\tau, t] $上积分,得

$ \begin{eqnarray*} e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})t}\|u(t)\|_{2}^{2}&\leq &e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})\tau}\|u(\tau)\|_{2}^{2} +(2L_{g}+2\gamma+1)\int_{\tau}^{t}e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})s}\|u_{s}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}{\rm d}s \nonumber\\ &&+\int_{\tau}^{t}e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})s}\|f(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s +2\widetilde{k}c_{0}\int_{\tau}^{t}e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})s}{\rm d}s, \quad\forall t\geq\tau. \end{eqnarray*} $

特别地,用$ t+\theta $代替$ t $, $ \theta\in[-h, 0] $可得

$ \begin{eqnarray*} e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})t}\|u_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2} &\leq&e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})(h+\tau)}\|\phi\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2} \\ &&+(2L_{g}+2\gamma+1)e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})h} \int_{\tau}^{t}e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})s}\|u_{s}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}{\rm d}s \nonumber\\ &&+e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})h}\int_{\tau}^{t}e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})s}\|f(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s \\ &&+2\widetilde{k}c_{0}e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})h} \int_{\tau}^{t}e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})s}{\rm d}s, \quad\forall t\geq\tau. \end{eqnarray*} $

由Gronwall引理得

$ \begin{eqnarray*} &&e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})t}\|u_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2} \\ &\leq&e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})(h+\tau) +(2L_{g}+2\gamma+1)e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})h}(t-\tau)}\|\phi\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2} \nonumber\\ &&+e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})h} \int_{\tau}^{t}e^{(2L_{g}+2\gamma+1)e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})h}(t-s) +2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})s}(\|f(s)\|_{2}^{2}+2\widetilde{k}c_{0}){\rm d}s, \ \forall t\geq\tau. \end{eqnarray*} $

因此

$ \begin{eqnarray*} \|u_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}\leq e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})h-\sigma(t-\tau)} \|\phi\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}+e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})h-\sigma t} \int_{\tau}^{t}e^{\sigma s}\|f(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s, \quad\forall t\geq\tau, \end{eqnarray*} $

其中$ \sigma = 2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})-(2L_{g}+2\gamma+1)e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})h} $.

为了得到$ C_{L^{2}(\Omega)} $中的拉回$ {\cal D}_{\sigma} $ -吸收集,我们进一步假设

(4.3) $ \begin{eqnarray} 0<2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})-(2L_{g}+2\gamma+1)e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})h} = \sigma, \end{eqnarray} $

且

(4.4) $ \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{t}e^{\sigma s}\|f(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s<\infty, \quad\forall t\in{{\Bbb R}} . \end{eqnarray} $

接下来,我们给出$ {\cal D}_{\sigma} $的定义.

定义4.1 对任意的$ \sigma > 0 $,用$ {\cal D}_{\sigma} $表示满足

$ \lim\limits_{\tau\rightarrow-\infty}(e^{\sigma\tau}\sup\limits_{u\in D(\tau)}\|u\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}) = 0 $

的所有非空子集族$ \widehat{D} = \{D(t):t\in{{\Bbb R}} \}\subset{\cal P}(C_{L^{2}(\Omega)}) $所组成的类.

推论4.1 设$ g(\cdot, \cdot) $满足假设(Ⅰ)–(Ⅲ), $ f(\cdot)\in L^{2}_{loc}({{\Bbb R}}; L^{2}(\Omega)) $, $ \phi\in C_{L^{2}(\Omega)} $,且(4.3)式和(4.4)式成立,则中心在原点,半径为$ \rho(t) $的闭球所组成的集族$ \widehat{D}_{0} = \{D_{0}(t): t\in{{\Bbb R}} \} $构成过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq\tau} $在$ C_{L^{2}(\Omega)} $中的拉回$ {\cal D}_{\sigma} $ -吸收集,其中$ D_{0}(t) = \overline{B}_{C_{L^{2}}}(0, \rho(t)) $,

(4.5) $ \begin{eqnarray} \rho^{2}(t) = 1+e^{2(\lambda\lambda_{1}+\widetilde{k})h-\sigma t}\int_{-\infty}^{t}e^{\sigma s}\|f(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s. \end{eqnarray} $

而且, $ \widehat{D}_{0}\in {\cal D}_{\sigma} $.

证 由引理4.1中(4.1)式易得过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq \tau} $拉回$ {\cal D}_{\sigma} $ -吸收集的存在性.

再由(4.5)式知,当$ t\rightarrow-\infty $时, $ e^{\sigma t}\rho^{2}(t)\rightarrow 0 $.从而$ \widehat{D}_{0}\in{\cal D}_{\sigma} $.

我们将运用收缩函数方法证明过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq\tau} $在$ C_{L^{2}(\Omega)} $中拉回渐近紧.首先,我们给出下述引理,参见文献[24].

引理4.2 设$ g(\cdot, \cdot) $满足假设(Ⅰ)–(Ⅲ), $ f(\cdot)\in L_{loc}^{2}({{\Bbb R}}; L^{2}(\Omega)) $, $ \phi\in C_{L^{2}(\Omega)} $, $ \{u^{n}(t)\}_{n = 1}^{\infty} $是方程(1.1)对应于初值$ \phi^{n}\in C_{L^{2}(\Omega)} $$ (n = 1, 2, \cdot\cdot\cdot) $的解序列,则$ \{u^{n}(t)\}_{n = 1}^{\infty} $在$ L^{2}(\tau, T; L^{2}(\Omega)) $中存在收敛子列.

定理4.1 设$ g(\cdot, \cdot) $满足假设(Ⅰ)–(Ⅲ), $ f(\cdot)\in L^{2}_{loc}({{\Bbb R}}; L^{2}(\Omega)) $, $ \phi\in C_{L^{2}(\Omega)} $且(1.2)式成立,则过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq \tau} $在$ C_{L^{2}(\Omega)} $中拉回$ {\cal D}_{\sigma} $ -渐近紧.

证 设$ u^{i}(t) $$ (i = 1, 2) $是方程(1.1)对应于初值$ \phi^{i}(x, \theta)\in D_{0}(\tau) $, $ \theta\in[-h, 0] $的解,即, $ u^{i}(t) $满足

$ \partial_{t}u-(\lambda+{\rm i}\alpha)\Delta u+(k+{\rm i}\beta)|u|^{p-2}u-\gamma u = g(t, u_{t})+f(t), \quad(x, t)\in\Omega\times(\tau, \infty), $

初值为

$ u^{i}(x, \tau+\theta) = \phi^{i}(x, \theta), \quad x\in\Omega, \; \theta\in[-h, 0]. $

记$ \omega(t) = u^{1}(t)-u^{2}(t) $,则$ \omega(t) $满足

(4.6) $ \begin{eqnarray} &&\partial_{t}\omega-(\lambda+{\rm i}\alpha)\Delta\omega +(k+{\rm i}\beta)(|u^{1}|^{p-2}u^{1}-|u^{2}|^{p-2}u^{2})-\gamma\omega \\ & = &g(t, u^{1}_{t})-g(t, u^{2}_{t}), \quad(x, t)\in\Omega\times(\tau, \infty), \end{eqnarray} $

初值为

$ \omega(x, \tau+\theta) = \phi^{1}(x, \theta)-\phi^{2}(x, \theta), \quad x\in\Omega, \; \theta\in[-h, 0]. $

让$ \overline{\omega(t)} $与(4.6)式在$ \Omega $上做$ L^{2} $ -内积,可得

(4.7) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\omega\|_{2}^{2}+(\lambda+{\rm i}\alpha)\|\nabla\omega\|_{2}^{2} +(k+{\rm i}\beta)\int_{\Omega}(|u^{1}|^{p-2}u^{1}-|u^{2}|^{p-2}u^{2}) \overline{\omega}{\rm d}x-\gamma\|\omega\|_{2}^{2} \\ & = &(g(t, u^{1}_{t})-g(t, u^{2}_{t}), \overline{\omega}), \end{eqnarray} $

其中$ \overline{\omega} $是$ \omega $的共轭.

对(4.7)式利用假设(Ⅲ)和Hölder不等式可得

(4.8) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\omega\|_{2}^{2}+\lambda\|\nabla\omega\|_{2}^{2} +{\rm Re}\left[(k+{\rm i}\beta)\int_{\Omega}(|u^{1}|^{p-2}u^{1}-|u^{2}|^{p-2}u^{2}) \overline{\omega}{\rm d}x\right]-\gamma\|\omega\|_{2}^{2} \\ &\leq &L_{g}\|\omega_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}\|\omega\|_{2}, \end{eqnarray} $

结合(1.2)式,引理2.1和引理2.2可得

(4.9) $ \begin{eqnarray} &&{\rm Re}\left[(k+{\rm i}\beta)\int_{\Omega}(|u^{1}|^{p-2}u^{1}-|u^{2}|^{p-2}u^{2}) \overline{\omega}{\rm d}x\right] \\ & = &k{\rm Re}\left[\int_{\Omega}(|u^{1}|^{p-2}u^{1}-|u^{2}|^{p-2}u^{2}) \overline{\omega}{\rm d}x\right]-\beta {\rm Im}\left[\int_{\Omega}(|u^{1}|^{p-2}u^{1}-|u^{2}|^{p-2}u^{2}) \overline{\omega}{\rm d}x\right] \\ &\geq& k{\rm Re}\left[\int_{\Omega}(|u^{1}|^{p-2}u^{1}-|u^{2}|^{p-2}u^{2}) \overline{\omega}{\rm d}x\right]\left(1-\frac{|\beta|}{k}c_{p}\right) \geq0. \end{eqnarray} $

结合(4.7)式–(4.9)式,再利用Poincaré不等式可得

(4.10) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\omega\|_{2}^{2}+2\lambda\lambda_{1}\|\omega\|_{2}^{2} \leq 2L_{g}\|\omega_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}\|\omega\|_{2}+2\gamma\|\omega\|_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

在(4.10)式两边同乘以$ e^{2\lambda\lambda_{1}t} $得

(4.11) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}(e^{2\lambda\lambda_{1}t}\|\omega\|_{2}^{2}) \leq 2L_{g}e^{2\lambda\lambda_{1}t}\|\omega_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}\|\omega\|_{2} +2\gamma e^{2\lambda\lambda_{1}t}\|\omega\|_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

对(4.11)式关于时间$ t $在$ [\tau, t] $上积分,可得

$ \begin{eqnarray*} e^{2\lambda\lambda_{1}t}\|\omega(t)\|_{2}^{2} &\leq &e^{2\lambda\lambda_{1}\tau}\|\omega(\tau)\|_{2}^{2} +2L_{g}\int_{\tau}^{t}e^{2\lambda\lambda_{1}s}\|\omega_{s}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}\|\omega(s)\|_{2}{\rm d}s \nonumber\\ &&+2\gamma\int_{\tau}^{t}e^{2\lambda\lambda_{1}s}\|\omega(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s, \quad\forall t\geq\tau. \end{eqnarray*} $

进而

(4.12) $ \begin{eqnarray} \|\omega(t)\|_{2}^{2}&\leq &e^{-2\lambda\lambda_{1}(t-\tau)}\|\omega(\tau)\|_{2}^{2} +2L_{g}e^{-2\lambda\lambda_{1}t} \int_{\tau}^{t}e^{2\lambda\lambda_{1}s}\|\omega_{s}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}\|\omega(s)\|_{2}{\rm d}s \\ &&+2\gamma\int_{\tau}^{t}\|\omega(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s, \quad\forall t\geq\tau. \end{eqnarray} $

对(4.12)式运用Hölder不等式,并用$ t+\theta $代替$ t $, $ \theta\in [-h, 0] $,可得

$ \begin{eqnarray*} \|\omega_{t}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2} &\leq&\|\omega_{\tau}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}e^{-2\lambda\lambda_{1}(t-h-\tau)} +2\gamma\int_{\tau}^{t}\|\omega(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s \nonumber\\ &&+2L_{g}e^{2\lambda\lambda_{1}h}\left(e^{-2\lambda\lambda_{1}t}\int_{\tau}^{t}e^{2\lambda\lambda_{1}s} \|\omega_{s}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}{\rm d}s\right)^{\frac{1}{2}} \left(\int_{\tau}^{t}\|\omega(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s\right)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\ &\leq&\|\omega_{\tau}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}e^{-2\lambda\lambda_{1}(t-h-\tau)} +2\gamma\int_{\tau}^{t}\|\omega(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s \nonumber\\&& +2\sqrt{2}L_{g}e^{2\lambda\lambda_{1}h}\left(e^{-2\lambda\lambda_{1}t}\int_{\tau}^{t}e^{2\lambda\lambda_{1}s} (\|u^{1}_{s}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}+\|u^{2}_{s}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}){\rm d}s \right)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\&& \times\left(\int_{\tau}^{t}\|\omega(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s\right)^{\frac{1}{2}}, \quad\forall t-h\geq\tau. \end{eqnarray*} $

设$ T = t-\tau $,且

$ \begin{eqnarray*} \psi_{t, T}(\phi^{1}, \phi^{2})& = &2\gamma\int_{\tau}^{t}\|\omega(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s \nonumber\\ &&+2\sqrt{2}L_{g}e^{2\lambda\lambda_{1}h}\Big(e^{-2\lambda\lambda_{1}t} \int_{\tau}^{t}e^{2\lambda\lambda_{1}s} (\|u^{1}_{s}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}+\|u^{2}_{s}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}){\rm d}s\Big)^{\frac{1}{2}} \\ &&\times \Big(\int_{\tau}^{t}\|\omega(s)\|_{2}^{2}{\rm d}s\Big)^{\frac{1}{2}}, \end{eqnarray*} $

综合定义2.4,引理4.2以及引理4.1中的(4.1)式即可知$ \psi_{t, T}(\cdot, \cdot) $是收缩函数.从而对任给的$ \varepsilon > 0 $和$ t\in{{\Bbb R}} $,只要取$ \tau_{0} = t-h-\frac{1}{2\lambda\lambda_{1}}\ln\frac{\|w_{\tau}\|_{C_{L^{2}(\Omega)}}^{2}}{\varepsilon} $,当$ \tau\leq\tau_{0} $时,由定理2.1即可证得过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq\tau} $在$ C_{L^{2}(\Omega)} $中拉回$ {\cal D}_{\sigma} $ -渐近紧.

结合引理4.1,推论4.1,引理4.2,定理4.1和定理2.2,我们得到本文的主要结果.

定理4.2 设$ g(\cdot, \cdot) $满足假设(Ⅰ)–(Ⅲ), $ f(\cdot)\in L^{2}_{loc}({{\Bbb R}}; L^{2}(\Omega)) $, $ \phi\in C_{L^{2}(\Omega)} $且(1.2)式成立,则过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geq\tau} $在$ C_{L^{2}(\Omega)} $中存在拉回$ {\cal D}_{\sigma} $ -吸引子$ \widehat{{\cal A}} = \{{\cal A}(t); \; t\in {{\Bbb R}} \} $;即, $ {\cal A}(t) $紧, $ \widehat{{\cal A}} $非空、不变且在$ C_{L^{2}} $ -拓扑下拉回吸引每个集合$ \widehat{D}\in{\cal D}_{\sigma} $.