本文研究非局部奇异Sturm-Liouville方程

(1.1) $ \begin{equation} -y''(x)+q(x)y(x)+\int^\infty_{0}K(x, t)y(t){\rm dt} = \lambda y(x), \ x\in[0, \infty) \end{equation} $

的Weyl分类及其在实轴上平方可积解的个数,其中$ q\in L^{1}_{\rm loc}([0, \infty), {{\Bbb R}} ) $为(局部)势,

(1.2) $ \begin{equation} K(x, t) = a(x)\delta(t-x_{0})+\overline{a(t)}\delta(x-x_{0}) \end{equation} $

称为非局部势, $ \delta $是在$ x_{0} $处的Dirac函数, $ a\in L^{2}([0, \infty), {\Bbb C}) $, $ x_{0}\in [0, \infty) $, $ \lambda $是谱参数.

关于定义在紧区间上的非局部正则微分方程

(1.3) $ \begin{equation} -y''(x)+q(x)y(x)+\int^1_{0}K(x, t)y(t){\rm dt} = \lambda y(x), \ x\in[0, 1], \end{equation} $

许多作者已经对其进行了研究,参见文献[3, 5, 7-8, 11-12].当$ K(x, t)(x\in[0, 1]) $为(1.2)式的形式时, Albeverio和Nizhnik等作者研究了(1.3)式在不同边界条件下的逆谱问题,详细内容可见文献[2, 14-15].非局部连续介质力学模型的特征值问题也是一类非局部问题,参见文献[16].

奇异方程(1.1)的模型来源于量子力学的散射理论.当$ K(x, t) = a(x)a(t) $,其中$ a\in L^{2}([0, \infty), {{\Bbb R}} ) $时,文献[6]用算子理论方法对方程边值问题的解进行了研究;当$ K(x, t) $在$ [0, \infty) $上具有(1.2)式的形式时,文献[1]考虑了一维和三维空间中的许多例子,并且提出了方程(1.1)的谱问题.

方程(1.1)相应的谱问题,尤其是特征值问题,与方程(1.1)的平方可积解有直接的关系(平方可积解是指方程的解属于$ L^2[0, \infty) $),因此研究方程(1.1)的平方可积解至关重要.对于经典的局部奇异问题, Weyl^[17]根据复平面上平方可积解的个数,将奇异二阶对称线性微分方程

(1.4) $ \begin{equation} \ell_{0}(y):\equiv-y''(x)+q(x)y(x) = \lambda y(x), \ x\in[0, \infty) \end{equation} $

划分为两类情况:极限点型和极限圆型.在此基础上建立了相应的$ m(\lambda) $函数理论.这为进一步研究奇异Sturm-Liouville问题的谱性质提供了坚实的理论基础和有效的研究工具,参见文献[4, 9-10, 13].

为此,本文首先研究非局部方程(1.1)的Weyl分类,其中$ K(x, t) $由(1.2)式给出.为了避免方程(1.1)出现Dirac函数,将方程(1.1)在$ x\neq x_{0} $时写成如下形式

$ -y''(x)+q(x)y(x)+a(x)y(x_{0}) = \lambda y(x), \ \ {\rm a.e.}\ x\in[0, \infty), \ x\neq x_{0}. $

考虑到$ x_{0} $取不同的值时,对本文所要研究的问题没有本质影响,所以取$ x_{0} = 0 $,即

(1.5) $ \begin{equation} \ell(y):\equiv -y''(x)+q(x)y(x)+a(x)y(0) = \lambda y(x), \ \ {\rm a.e.}\ x\in [0, \infty), \ x\neq0. \end{equation} $

本文第2节引入了方程(1.5)极限点(圆)型的定义,并证明了可以根据参数$ \lambda $在复平面上取值时,方程(1.5)的平方可积解的个数将其划分成极限点型和极限圆型,即方程(1.5)具有Weyl分类.第3节讨论了当$ \lambda\in {{\Bbb R}} $时,方程(1.5)平方可积解的个数.我们发现当$ \lambda\in {{\Bbb R}} $时,方程(1.5)的平方可积解的个数与方程(1.4)的有本质的区别:方程(1.4)受非局部项$ a(x)y(0) $扰动后,方程(1.5)平方可积解的个数可能会增加,见定理3.3与定理3.4.

本节给出微分表达式$ \ell $的Weyl分类.为此,回顾奇异微分方程(1.4)的Weyl分类.如果对$ \lambda $ (Im$ \lambda\neq0 $),方程(1.4)有且仅有一个属于$ L^{2}[0, \infty) $的线性无关解,则微分表达式$ \ell_{0} $是极限点的;如果对$ \lambda $ (Im$ \lambda\neq0 $),方程(1.4)的所有解都属于$ L^{2}[0, \infty) $,则微分表达式$ \ell_{0} $是极限圆的.这被称为Weyl分类.此处及下文中$ L^{2}[0, \infty) $表示复平方可积函数空间, $ L^{2}([0, \infty), {{\Bbb R}} ) $表示实值平方可积函数空间.

命题2.1^[4]  (ⅰ)若存在$ \lambda_0\in{\Bbb C} $ (可为实数),使得$ l_{0}(y) = \lambda_{0}y $有一个不属于$ L^{2}[0, \infty) $的非平凡解,则对于所有的$ \lambda $ (Im$ \lambda\neq0 $),方程$ l_{0}(y) = \lambda y $有且仅有一个属于$ L^{2}[0, \infty) $的线性无关解.

(ⅱ)若存在$ \lambda_0\in{\Bbb C} $ (可为实数),使得$ l_{0}(y) = \lambda_{0}y $的所有解均属于$ L^{2}[0, \infty) $,则对于任意的$ \lambda\in{\Bbb C} $,方程$ l_{0}(y) = \lambda y $的所有解均是属于$ L^{2}[0, \infty) $的.

现在回到非局部奇异方程(1.5).为了得到这个方程的Weyl分类,首先证明当(1.4)是极限圆型时,方程(1.5)的所有解都是平方可积的.

设$ \varphi(x, \lambda) $和$ \psi(x, \lambda) $是(1.4)式的两个解,满足

(2.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} &\varphi(0, \lambda) = \sin\alpha, \ \varphi'(0, \lambda) = -\cos\alpha, \\ &\psi(0, \lambda) = \cos\alpha, \ \psi'(0, \lambda) = \sin\alpha, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ \alpha\in[0, \pi) $,则有以下结论成立.

定理2.1  如果方程(1.4)属于极限圆型,则对$ \forall\ \lambda\in{\Bbb C} $,非局部方程(1.5)的所有解均是平方可积的.

证  设$ Y(x) $为方程(1.5)的一个解.则由常数变易公式可知,存在常数$ C_{1}, C_{2} $使得

(2.2) $ \begin{equation} Y(x) = C_{1}\varphi(x, \lambda)+C_{2}\psi(x, \lambda)+Y(0)\int^{x}_{0}R(x, t)a(t) {{\rm{d}}} t, \end{equation} $

其中, $ R(x, t) = \varphi(t, \lambda)\psi(x, \lambda)-\varphi(x, \lambda)\psi(t, \lambda) $, $ \varphi , \psi $的定义见(2.1)式.

因为方程(1.4)属于极限圆型,所以$ \varphi, \psi\in L^{2}[0, \infty) $,从而要证明$ Y\in L^{2}[0, \infty) $,只需证$ \int^{x}_{0}R(x, t)a(t) {{\rm{d}}} t\in L^{2}[0, \infty) $.为方便, $ \varphi(x, \lambda), \psi(x, \lambda) $简记为$ \varphi(x), \psi(x) $.通过直接计算得

$ \begin{eqnarray*} &&\int^{\infty}_{0}\left|\int^{x}_{0}R(x, t)a(t) {{\rm{d}}} t\right|^{2} {{\rm{d}}} x\\ & = &\int^{\infty}_{0}\left|\int^{x}_{0}[\varphi(t)\psi(x)-\varphi(x)\psi(t)]a(t) {{\rm{d}}} t\right|^{2} {{\rm{d}}} x\\ &\leq & 2\int^{\infty}_{0}\left|\int^{x}_{0}\varphi(t)\psi(x)a(t) {{\rm{d}}} t\right|^{2} {{\rm{d}}} x+ 2\int^{\infty}_{0}\left|\int^{x}_{0}\varphi(x)\psi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right|^{2} {{\rm{d}}} x\\ & = &2\int^{\infty}_{0}|\psi(x)|^{2}\left|\int^{x}_{0}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right|^{2} {{\rm{d}}} x+ 2\int^{\infty}_{0}|\varphi(x)|^{2}\left|\int^{x}_{0}\psi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right|^{2} {{\rm{d}}} x\\ &\leq &2\int^{\infty}_{0}|\psi(x)|^{2}\left(\int^{\infty}_{0}|\varphi(t)a(t)| {{\rm{d}}} t\right)^{2} {{\rm{d}}} x+ 2\int^{\infty}_{0}|\varphi(x)|^{2}\left(\int^{\infty}_{0}|\psi(t)a(t)| {{\rm{d}}} t\right)^{2} {{\rm{d}}} x\\ & = &2\left(\int^{\infty}_{0}|\varphi(t)a(t)| {{\rm{d}}} t\right)^{2}\int^{\infty}_{0}|\psi(x)|^{2} {{\rm{d}}} x+ 2\left(\int^{\infty}_{0}|\psi(t)a(t)| {{\rm{d}}} t\right)^{2}\int^{\infty}_{0}|\varphi(x)|^{2} {{\rm{d}}} x\\ &\leq &2\int^{\infty}_{0}|\varphi(t)|^{2} {{\rm{d}}} t\int^{\infty}_{0}|a(t)|^{2} {{\rm{d}}} t\int^{\infty}_{0}|\psi(x)|^{2} {{\rm{d}}} x\\ & &+2\int^{\infty}_{0}|\psi(t)|^{2} {{\rm{d}}} t\int^{\infty}_{0}|a(t)|^{2} {{\rm{d}}} t\int^{\infty}_{0}|\varphi(x)|^{2} {{\rm{d}}} x<\infty. \end{eqnarray*} $

由$ Y(x) $的任意性知,方程(1.5)的所有解均是属于$ L^{2}[0, \infty) $的.结论得证.

再考虑微分算式$ \ell_{0} $属于极限点型的情况.设$ m(\lambda) $是微分表达式$ \ell_{0} $相对于边界条件

(2.3) $ \begin{equation} y(0)\sin\alpha-y'(0)\cos\alpha = 0, \ 0\leq\alpha<\pi \end{equation} $

的Weyl函数.则由$ m(\lambda) $的性质知,方程(1.4)的解

(2.4) $ \begin{equation} \Psi(x, \lambda) = \varphi(x, \lambda)+m(\lambda)\psi(x, \lambda)(\rm Im \lambda \neq0) \end{equation} $

是平方可积的,函数$ \Psi(x, \lambda) $称为Weyl解^[4].下面给出方程(1.5)的Weyl解.

定理2.2  如果方程(1.4)属于极限点型,则对$ \forall\ \lambda(\rm{Im}\lambda\neq0) $,方程(1.5)有且仅有一个线性无关的平方可积解,且该解具有如下形式

(2.5) $ \begin{eqnarray} Y(x) = z(\lambda)\Psi(x, \lambda)-\int^{\infty}_{0}G(x, t, \lambda)a(t) {{\rm{d}}} t, \end{eqnarray} $

其中$ \Psi(x, \lambda) $的定义见(2.4)式,并且

$ \begin{eqnarray*} z(\lambda) = \Psi^{-1}(0, \lambda)\left(1+\cos\alpha\int^{\infty}_{0}\Psi(x, \lambda)a(x) {{\rm{d}}} x\right), \end{eqnarray*} $

(2.6) $ \begin{eqnarray} G(x, t, \lambda) = \left\{\begin{array}{ll} &\psi(x, \lambda)\Psi(t, \lambda), \ 0\leq x\leq t<\infty, \\ &\psi(t, \lambda)\Psi(x, \lambda), \ 0\leq t\leq x<\infty, \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中$ \psi $的定义见(2.1)式.

证  首先, $ \Psi(0, \lambda)\neq 0 $,否则, $ \Psi $是问题

(2.7) $ \begin{equation} \ell_{0}(y) = \lambda y, \ y(0) = 0 \end{equation} $

相应于$ \lambda $的特征函数,与Im$ \lambda\neq 0 $矛盾.注意到, $ \Psi\in L^{2}[0, \infty) $并且$ a\in L^{2}[0, \infty) $,则$ z(\lambda) $中的积分是收敛的.于是$ z(\lambda) $的定义是合理的.此外, $ G(x, t, \lambda) $是边值问题(1.4)和(2.3)的格林函数,因此,由方程(1.4)的格林函数的相关理论知, (2.5)式中的积分是收敛的.因此, $ Y(x) $的定义是合理的.

下证$ Y(x) $确实是非局部奇异微分方程(1.5)的一个平方可积解.定义算子$ T_{0} $如下

(2.8) $ \begin{equation} T_{0}y = \ell_{0}(y), \ y\in D(T_{0}) = \{y\in{\cal D}_{0M}: y(0) = 0\}, \end{equation} $

其中

(2.9) $ \begin{equation} {\cal D}_{0M} = \{y:y'\in AC_{\rm loc}[0, \infty), \ \ell_{0}(y)\in L^{2}[0, \infty)\}. \end{equation} $

由经典的局部问题的谱理论知, $ T_{0} $是自伴的^[4].因此$ \lambda $不是$ T_{0} $的特征值.设

$ y_{1} = -\int^{\infty}_{0}G(x, t, \lambda)a(t) {{\rm{d}}} t, $

则由$ a\in L^{2}[0, \infty) $知, $ y_{1} $是方程$ (T_{0}-\lambda I)y = -a $的平方可积解.回顾$ \Psi(x, \lambda) $的定义,并注意到$ Y(0) = 1 $,可得$ Y(x) $是方程(1.5)的一个平方可积解.

最后,说明方程(1.5)仅有$ Y(x) $这样一个线性无关的平方可积解.假设$ Y_{1} $是与$ Y $线性无关的方程(1.5)的平方可积解.因为Im$ \lambda\neq0 $,因此$ \lambda $不是问题(2.7)的特征值,所以$ Y_{1}(0)\neq0 $.现令$ Y_{2}(x) = Y(0)Y_{1}(x)-Y_{1}(0)Y(x) $,则$ Y_{2} $是方程(1.5)的一个非平凡解,且$ Y_{2}(0) = 0 $.因此, $ Y_{2} $是问题(2.7)的相应于特征值$ \lambda $的特征函数,这与Im$ \lambda\neq0 $矛盾.结论得证.

奇异微分算式$ \ell_{0} $属于极限点型还是极限圆型并不会随着$ \lambda $的值的变化而变化,因此上面定理2.1和定理2.2中的结论也不会依赖于$ \lambda $的取值.所以,可以分别给出非局部奇异二阶微分算式$ \ell $属于极限点型与极限圆型的定义.

定义2.1  如果$ \ell y = \lambda y(\rm {Im}\lambda\neq 0) $恰有一个线性无关的平方可积解,则称非局部奇异二阶微分算式$ \ell $属于极限点型;如果$ \ell y = \lambda y(\rm {Im}\lambda\neq 0) $的一切解均是平方可积的,则称$ \ell $属于极限圆型.

通过以上讨论,易得下面推论.

推论2.1  非局部奇异微分算式$ \ell $属于极限点(圆)型当且仅当经典奇异微分算式$ \ell_{0} $属于极限点(圆)型.

此外,众所周知, $ \ell_{0} $属于极限点型,当且仅当对$ \forall\ y, z\in {\cal D}_{0M}, $有$ [y\ z](\infty) = 0, $其中,

$ [y\ z](\infty) = W_{y, \bar{z}}(x) = y(x)\bar{z}'(x)-y'(x)\bar{z}(x), $

且$ {\cal D}_{0M} $为(2.9)式中的定义.设

(2.10) $ \begin{equation} {\cal D}_{M} = \{y: y'\in AC_{\rm loc}[0, \infty), \ \ell(y)\in L^{2}[0, \infty)\}, \end{equation} $

则由$ a\in L^{2}[0, \infty) $易知$ {\cal D}_{0M} = {\cal D}_{M} $.因此,很容易得到微分算式$ \ell $属于极限点型的一个充分必要条件.

推论2.2  非局部微分算式$ \ell $属于极限点型,当且仅当对$ \forall\ y, z\in {\cal D}_{M}, $有$ [y\ z](\infty) = 0, $其中, $ {\cal D}_{M} $的定义见(2.10)式.

本节主要研究当$ \lambda\in {{\Bbb R}} $时,非局部奇异方程(1.5)平方可积解的个数.由于方程(1.5)只有极限点型或极限圆型这两种情形,所以下面分别根据这两种情形来讨论方程(1.5)在实轴上的平方可积解.首先给出下面的引理.

引理3.1  非局部方程(1.5)解空间的维数是$ 2 $.

证  首先说明非局部方程(1.5)解空间的维数不超过$ 2 $.假设方程(1.5)有三个线性无关的解$ u_{1}, u_{2}, u_{3} $.则$ u_{i}(0) = 0 $至多对某一个$ i(i = 1, 2, 3) $成立,否则, $ u_{1}, u_{2}, u_{3} $中至少有两个是方程(1.4)线性相关的解.那么不妨设$ u_{1}(0)\neq0 $,令

$ u(x) = u_{1}(0)u_{2}(x)-u_{2}(0)u_{1}(x), \; \; \; \; v(x) = u_{1}(0)u_{3}(x)-u_{3}(0)u_{1}(x), $

则$ u, v $是方程(1.5)满足$ u(0) = 0, \ v(0) = 0 $的两个线性无关解,所以$ u, v $也是局部方程(1.4)的解.然而, $ W_{u, v}(x) = W_{u, v}(0) = 0 $,这表明$ u, v $是线性相关的,矛盾.因此,非局部方程(1.5)的解空间最多是二维的.

现在,我们给出方程(1.5)的两个线性无关解.令$ u_{1}, u_{2} $是局部方程(1.4)的两个解,分别满足

(3.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} &u_{1}(0) = 1, \ u_{1}'(0) = 0, \\ &u_{2}(0) = 0, \ u_{2}'(0) = 1. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

则由$ u_{2}(0) = 0 $知, $ u_{2} $也是方程(1.5)的解.由常熟变易公式知

$ \tilde{u_{1}}(x) = u_{1}(x)+\int_{0}^{x}[u_{1}(t)u_{2}(x)-u_{2}(t)u_{1}(x)]a(t) {{\rm{d}}} t $

也是方程(1.5)的一个解,且满足$ \tilde{u_{1}}(0) = 1 $.显然$ \tilde{u_{1}} $与$ u_{2} $是线性无关的.因此结论成立.

现由引理3.1以及定理2.1的证明过程,不难直接看出当$ \lambda\in {{\Bbb R}} $且$ \ell_{0} $属于极限圆型时,非局部方程(1.5)属于$ L^{2}[0, \infty) $的线性无关解的个数.

定理3.1  如果$ \ell_{0} $属于极限圆型,则对$ \forall\ \lambda\in {{\Bbb R}} $,方程(1.5)的所有解均是平方可积的,而且解空间的维数是二维.

接下来,研究当$ \lambda\in {{\Bbb R}} $且$ \ell $属于极限点型时,非局部方程(1.5)平方可积解的个数.对于这种情况,局部方程(1.4)要么没有非平凡的平方可积解,要么仅有一个线性无关的平方可积解.因此,下面从这两个方面给出主要结论.

定理3.2  假设$ \ell_{0} $属于极限点型.若对某一$ \lambda\in {{\Bbb R}} $,方程(1.4)没有非平凡的平方可积解,则方程(1.5)对该$ \lambda $至多有一个线性无关的平方可积解.

证  假设方程(1.5)有两个属于$ L^{2}[0, \infty) $的线性无关解$ u_{1}, u_{2} $.令

$ u(x) = u_{1}(0)u_{2}(x)-u_{2}(0)u_{1}(x)(u_{1}(0)u_{2}(0)\neq0), $

则$ u $是方程(1.5)属于$ L^{2}[0, \infty) $的非平凡解,且满足$ u(0) = 0 $.于是$ u $也是方程(1.4)属于$ L^{2}[0, \infty) $的非平凡解,矛盾.

事实上,定理3.2中的结论包含了两种情形,即方程(1.5)可能没有属于$ L^{2}[0, \infty) $的非平凡解,也可能恰有一个属于$ L^{2}[0, \infty) $的非平凡解.下面的例子说明这两种情形确实都可能出现.

例子3.1  方程$ -y''+ay(0) = 0 $在$ a\equiv0 $时,没有属于$ L^{2}[0, \infty) $的非平凡解.

例子3.2  方程$ -y'' = 0 $的所有非平凡解都不属于$ L^{2}[0, \infty) $,但方程$ -y''+ay(0) = 0 $在$ a(x) = e^{-x} $时,有一个属于$ L^{2}[0, \infty) $的非平凡解$ e^{-x} $.

定理3.3  假设$ \ell_{0} $属于极限点型, $ \lambda\in{{\Bbb R}} $且方程(1.4)恰有一个线性无关的平方可积解,那么

(ⅰ)如果$ \lambda $是问题(2.7)的特征值,且方程(1.4)是非振动的,则方程(1.5)有一个或两个线性无关的平方可积解,而且(1.5)有两个线性无关的平方可积解当且仅当

(3.2) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t = 1 \ \ \mbox{且} \ \ \varphi\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)}\left(\int_{s}^{\infty}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right) {{\rm{d}}} s\in L^{2}[b, \infty), \end{eqnarray} $

其中$ \varphi $是问题(2.7)的相应于特征值$ \lambda $的特征函数,且$ \varphi'(0) = 1 $, $ b $是使得$ \varphi $在区间$ [b, \infty) $上无零点的任意一个正数.

(ⅱ)如果$ \lambda $不是问题(2.7)的特征值,且方程(1.4)是非振动的,则方程(1.5)至多有一个线性无关的平方可积解,而且方程(1.5)恰有一个线性无关的平方可积解当且仅当

$ \begin{eqnarray*} \varphi\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)}\left(\int_{s}^{\infty}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right) {{\rm{d}}} s\in L^{2}[b, \infty), \end{eqnarray*} $

其中$ \varphi $是方程(1.4)满足$ \varphi(0) = 1 $的平方可积解, $ b $的定义与(ⅰ)相同.

证  (ⅰ)因为$ \varphi $是问题(2.7)的特征函数,因此$ \varphi(0) = 0 $,所以$ \varphi $也是方程(1.5)的一个平方可积解.因此方程(1.5)至少有一个线性无关的平方可积解.又由引理3.1易知方程(1.5)至多有两个线性无关的平方可积解.

现证明方程(1.5)有两个线性无关的属于$ L^{2}[0, \infty) $的解当且仅当(3.1)式成立.令$ \varphi $是问题(2.7)的相应于特征值$ \lambda $的特征函数,且满足$ \varphi'(0) = 1 $, $ \psi $是方程(1.4)满足$ \psi(0) = 1 $的一个解.则易知$ \varphi $和$ \psi $是线性无关的, $ \psi\notin L^{2}[0, \infty) $,且$ \varphi $和$ \psi $的Wronski行列式$ W_{\varphi, \psi}(x)\equiv -1 $.由常数变易公式知

(3.3) $ \begin{eqnarray} \Phi(x)& = &\psi(x)-\int^{x}_{0} [\varphi(s)\psi(x)-\psi(s)\varphi(x)]a(s) {{\rm{d}}} s\\ & = &\psi(x)\left[1-\int^{x}_{0}\varphi(s)a(s) {{\rm{d}}} s\right]+\varphi(x)\int^{x}_{0}\psi(s)a(s) {{\rm{d}}} s \end{eqnarray} $

是方程(1.5)满足$ \Phi(0) = 1 $的一个解.则方程(1.5)有两个线性无关的平方可积解当且仅当$ \Phi\in L^{2}[0, \infty) $.因为方程(1.4)是非振动的,因此能够找到一个充分大的正数$ b $,使得在$ [b, \infty) $上$ \varphi(x)\neq 0 $,于是

$ \begin{eqnarray*} \Phi(x)& = &\psi(x)\left[1-\int^{x}_{0}\varphi(s)a(s) {{\rm{d}}} s\right]+\varphi(x)\int^{x}_{b}\psi(s)a(s) {{\rm{d}}} s +\varphi(x)\int_{0}^{b}\psi(s)a(s) {{\rm{d}}} s\\ & = :&\Phi_{1}(x)+\varphi(x)\int_{0}^{b}\psi(s)a(s) {{\rm{d}}} s. \end{eqnarray*} $

显然, $ \Phi\in L^{2}[0, \infty) $当且仅当$ \Phi_{1}\in L^{2}[b, \infty) $.注意到对$ \forall\ x\geq b $,有

$ \left(\frac{\psi}{\varphi}\right)' = \frac{\psi'\varphi-\varphi'\psi}{\varphi^{2}} = -\frac{1}{\varphi^{2}}, $

对上式两端分别在$ [b, x] $上积分得

$ \frac{\psi}{\varphi}(x) = \frac{\psi}{\varphi}(b)-\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)} {{\rm{d}}} s. $

令$ C = \psi(b)/\varphi(b) $,则

(3.4) $ \begin{equation} \psi(x) = C\varphi(x)-\varphi(x)\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)} {{\rm{d}}} s \Rightarrow\varphi(x)\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)} {{\rm{d}}} s\notin L^{2}[b, \infty). \end{equation} $

由于

$ \begin{eqnarray*} \varphi(x)\int_{b}^{x}\psi(s)a(s) {{\rm{d}}} s& = &\varphi(x)\int_{b}^{x}\frac{\psi}{\varphi}(s)\varphi(s)a(s) {{\rm{d}}} s\\ & = &\varphi(x)\int_{b}^{x}\frac{\psi}{\varphi}(s) {{\rm{d}}} \left(\int_{b}^{s}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right)\\ & = &\psi(x)\int_{b}^{x}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t-\varphi(x)\int_{b}^{x}\left(\frac{\psi}{\varphi}\right)'(s)\left(\int_{b}^{s}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right) {{\rm{d}}} s\\ & = &\psi(x)\int_{b}^{x}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t+\varphi(x)\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)}\left(\int_{b}^{s}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right) {{\rm{d}}} s, \end{eqnarray*} $

因此

(3.5) $ \begin{eqnarray} \Phi_{1}(x)& = &\psi\left[1-\int^{x}_{0}\varphi(s)a(s) {{\rm{d}}} s\right]+\psi\int_{b}^{x}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t+\varphi\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)}\left(\int_{b}^{s}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right) {{\rm{d}}} s\\ & = &\psi\left[1-\int^{b}_{0}\varphi(s)a(s) {{\rm{d}}} s\right]+\varphi\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)}\left(\int_{b}^{s}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right) {{\rm{d}}} s. \end{eqnarray} $

现将(3.4)式中$ \psi $的表达式代入(3.5)式中,有

$ \begin{eqnarray*} \Phi_{1}(x)& = &\left[C\varphi-\varphi\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)} {{\rm{d}}} s\right]\left[1-\int_{0}^{b}\varphi(s)a(s) {{\rm{d}}} s\right]+\varphi\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)}\left(\int_{b}^{s}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right) {{\rm{d}}} s\\ & = &C\varphi\left[1-\int_{0}^{b}\varphi(s)a(s) {{\rm{d}}} s\right]-\varphi\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)}\left(1-\int_{0}^{s}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right) {{\rm{d}}} s. \end{eqnarray*} $

因为$ C\varphi\left[1-\int_{0}^{b}\varphi(s)a(s) {{\rm{d}}} s\right]\in L^{2}[0, \infty) $,则$ \Phi_{1}\in L^{2}[b, \infty) $当且仅当

$ \varphi\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)}\left(1-\int_{0}^{s}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right) {{\rm{d}}} s\in L^{2}[b, \infty). $

因为$ \varphi\int_{b}^{x}1/\varphi^{2}\notin L^{2}[b, \infty) $ (见(3.4)式)并且$ a, \varphi\in L^{2}[0, \infty) $,易证结论成立当且仅当

$ \int_{0}^{\infty}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t = 1 \ \ \mbox{且} \ \ \varphi\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)}\left(\int_{s}^{\infty}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right) {{\rm{d}}} s\in L^{2}[b, \infty). $

(ⅱ)先证明方程(1.5)至多只能有一个属于$ L^{2}[0, \infty) $的线性无关解.假设方程(1.5)有两个属于$ L^{2}[0, \infty) $的线性无关解$ u_{1}, u_{2} $.令

$ u(x) = u_{1}(0)u_{2}(x)-u_{2}(0)u_{1}(x)(u_1(0)u_2(0)\neq0), $

则$ u $是方程(1.5)属于$ L^{2}[0, \infty) $的一个非平凡解,且满足$ u(0) = 0 $.于是, $ u $是问题(2.7)的相应于$ \lambda $的特征函数,矛盾.

现假设$ \varphi $是方程(1.4)满足$ \varphi(0) = 1 $的平方可积解, $ \psi $是方程(1.4)满足$ \psi(0) = 0, $$ \psi'(0) = 1 $的另一解,则$ \varphi $和$ \psi $是线性无关的,且$ \psi\notin L^{2}[0, \infty) $.由常数变易公式知,对任意固定的$ c\in{{\Bbb R}} $,有

(3.6) $ \begin{eqnarray} \widetilde{\Phi}(x)& = &\varphi(x)+c\psi(x)+\int^{x}_{0} [\varphi(s)\psi(x)-\psi(s)\varphi(x)]a(s) {{\rm{d}}} s{}\\ & = &\psi(x)\left[c+\int^{x}_{0}\varphi(s)a(s) {{\rm{d}}} s\right]+\varphi(x)\left[1-\int^{x}_{0}\psi(s)a(s) {{\rm{d}}} s\right] \end{eqnarray} $

是方程(1.5)满足$ \widetilde{\Phi}(0) = 1 $的一个解.则非局部方程(1.5)恰有一个属于$ L^{2}[0, \infty) $的线性无关解当且仅当存在一个$ c\in{{\Bbb R}} $,使得$ \widetilde{\Phi}\in L^{2}[0, \infty) $.设$ b>0 $与(i)中的定义相同,并且与之前证明类似,方程(1.5)恰有一个属于$ L^{2}[0, \infty) $的线性无关解当且仅当$ \widetilde{\Phi}_{1}\in L^{2}[b, \infty) $,其中

$ \begin{eqnarray*} \widetilde{\Phi_{1}}(x)& = &\psi(x)\left[c+\int^{x}_{0}\varphi(s)a(s) {{\rm{d}}} s\right]-\varphi(x)\int_{b}^{x}\psi(s)a(s) {{\rm{d}}} s\\ & = &C\varphi\left[c+\int^{b}_{0}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right]+ \varphi\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)}\left(c+\int^{s}_{0}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right) {{\rm{d}}} s, \end{eqnarray*} $

$ C = \psi(b)/\varphi(b) $.

因为$ C\varphi\left[c+\int^{b}_{0}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right]\in L^{2}[0, \infty) $,则$ \widetilde{\Phi}_{1}\in L^{2}[b, \infty) $当且仅当

$ \varphi\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)}\left(c+\int_{0}^{s}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right) {{\rm{d}}} s\in L^{2}[b, \infty). $

选取$ c = -\int_{0}^{\infty}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t $,可知$ \widetilde{\Phi}_{1}\in L^{2}[b, \infty) $当且仅当

$ \varphi\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)}\left(\int_{s}^{\infty}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right) {{\rm{d}}} s\in L^{2}[b, \infty). $

综上,结论得证.

令$ \Omega $表示问题(2.7)的所有满足$ \varphi'(0) = 1 $的特征函数$ \varphi $所组成的集合, $ \Lambda $是所有特征值组成的集合.设$ \Omega_{1}\subset\Omega $,相应的特征值集合记作$ \Lambda_{1} $.定理3.3表明对于$ \lambda\in\Lambda_{1} $,方程(1.5)存在两个线性无关的平方可积解,当且仅当存在某个$ \varphi_{1}\in\Omega_{1} $,有$ \int_{0}^{\infty}\varphi_{1}(s)a(s) {{\rm{d}}} s = 1 $,并且

(3.7) $ \begin{eqnarray} a\in ({\rm span}\{\varphi-\varphi_1: \varphi\in\Omega_1\subset\Omega\})^{\bot}, \ \varphi\int_{b}^{x}\frac{1}{\varphi^{2}(s)}\left(\int_{s}^{\infty}\varphi(t)a(t) {{\rm{d}}} t\right) {{\rm{d}}} s\in L^{2}[b, \infty). \end{eqnarray} $

那么,很自然地问:是否存在非局部势函数$ a $,使得方程(1.5)对于问题(2.7)的任意多个特征值都会有两个线性无关的平方可积解?为了回答这个问题,首先给出如下引理.

引理3.2  设$ \Omega $是问题(2.7)的所有满足$ \varphi'(0) = 1 $的特征函数$ \varphi $所成集合, $ \Omega_1 $是$ \Omega $的任意非空子集.则$ \Omega_1 $的每个子集中的特征函数在$ L^{2}[0, b](\forall\ b > 0) $上都是线性无关的.

证  首先证明,对于问题(2.7)的任意两个相应于不同特征值$ \lambda_1, \lambda_2 $的特征函数$ \varphi_1, \varphi_2 $,结论成立.假设存在$ c\in{\Bbb C}(c\neq0) $使得$ \varphi_{1} = c\varphi_2 $在$ [0, b] $上成立.因为

$ -\varphi_{i}''+q\varphi_i = \lambda_{i}\varphi_i, \ i = 1, 2, $

将$ \varphi_1 = c\varphi_2 $代入第一个等式中得$ -c\varphi_{2}''+cq\varphi_2 = c\lambda_{1}\varphi_2, $因此在$ [0, b] $上有$ -\varphi_{2}''+q\varphi_2 = \lambda_{1}\varphi_2. $由于在$ [0, b] $上$ \varphi_{2}\not\equiv0 $,所以易得$ \lambda_1 = \lambda_2 $,矛盾.

现假设对于问题(2.7)的任意$ n-1 $个相应于不同特征值$ \lambda_i $的特征函数$ \varphi_i $,结论成立,其中$ i = 1, 2, \cdots , n-1 $,且$ \lambda_i\neq\lambda_j, \ i\neq j $.令$ \varphi_n $是问题(2.7)的相应于特征值$ \lambda_n $的特征函数,满足$ \lambda_n\neq\lambda_i, \ 1\leq i\leq n-1 $.假设$ \varphi_1, \varphi_2, \cdots , \varphi_n $在$ [0, b] $上是线性相关的.由于$ \varphi_1, \varphi_2, \cdots , \varphi_{n-1} $线性无关,那么必然存在不全为零的常数$ c_1, c_2, \cdots , c_{n-1} $,使得$ \varphi_n = \sum\limits_{i = 1}^{n-1}c_i\varphi_i $在$ [0, b] $上成立.因为

$ -\varphi_{i}''+q\varphi_i = \lambda_{i}\varphi_i, \ 1\leq i\leq n, \ \lambda_i\neq\lambda_j, \ i\neq j, $

将$ \varphi_n = \sum\limits_{i = 1}^{n-1}c_i\varphi_i $代入最后一个式子中,得

$ -\sum\limits_{i = 1}^{n-1}c_{i}\varphi_{i}''+q\sum\limits_{i = 1}^{n-1}c_{i}\varphi_i = \lambda_{n}\sum\limits_{i = 1}^{n-1}c_{i}\varphi_i, $

即

$ \sum\limits_{i = 1}^{n-1}c_{i}(-\varphi_{i}''+q\varphi_i) = \sum\limits_{i = 1}^{n-1}c_{i}\lambda_{i}\varphi_i = \lambda_{n}\sum\limits_{i = 1}^{n-1}c_{i}\varphi_i, $

由于至少对某一个$ i $,有$ c_i(\lambda_{n}-\lambda_i)\neq0 $,所以上式表明$ \varphi_1, \varphi_2, \cdots , \varphi_{n-1} $在区间$ [0, b] $上是线性相关的,矛盾.所以由数学归纳法知结论成立.

定理3.4  设$ \ell $属于极限点型, $ \Omega $的含义同上,且$ \Omega\neq\emptyset $. $ \Omega_0 $是$ \Omega $的任意一个非空子集,而且相应的特征值集记为$ \Lambda_0 $,则存在$ a\in L^{2}[0, \infty) $使得方程(1.5)在$ \lambda\in\Lambda_0 $处存在两个线性无关的平方可积解.

证  令$ \Omega[0, 1] $是$ \Omega $在$ L^{2}[0, 1] $上的限制.因为空间$ L^{2}[0, 1] $是无限维的,且$ \Omega[0, 1]\subseteq L^{2}[0, 1] $,所以由引理3.2知,对于$ \Omega[0, 1] $的任何的真子集$ \widetilde{\Omega_0} $,有$ \rm{span}\widetilde{\Omega_0}\neq L^{2}[0, 1] $.

现任取$ \varphi_{1}\in\widetilde{\Omega_0} $,令$ A = : {\rm span}\{\varphi-\varphi_1, \ \varphi\in\widetilde{\Omega_0}\}, $且$ A\subseteq L^{2}[0, 1] $.则由$ \rm{span}\widetilde{\Omega_0} \neq L^{2}[0, 1] $知$ A^{\perp}\neq\{0\} $.我们证明$ A^{\perp}\not\subseteq\{\varphi_{1}\}^{\perp} $或者$ \varphi_{1}\notin\overline{A} $.假设$ \varphi_{1}\in\overline{A} $,则对任意$ \varphi\in\widetilde{\Omega_0} $, $ \varphi\neq\varphi_1 $,有$ \varphi_1 $与$ \varphi-\varphi_1 $是线性无关的,于是利用Schmidt正交化方法,可得$ B = \rm{span}\{\widetilde{\varphi}:\ \varphi\in\widetilde{\Omega_0}\} = A, $使得

$ (\varphi_1, \widetilde{\varphi}) = 0, \ \forall\ \widetilde{\varphi}\in B, \ (\widetilde{\varphi_1}, \widetilde{\varphi_2}) = 0, \ \forall\ \widetilde{\varphi_1}\neq\widetilde{\varphi_2}\in B. $

于是$ \varphi_1\in\overline{A} $当且仅当$ \varphi_1\in\overline{B} $.即存在一列$ f_{n}\in B $使得$ \|f_n-\varphi_n\|\rightarrow0, \ n\rightarrow\infty. $显然$ \varphi_1\in B^{\perp} $,这表明对$ \forall\ n\geq1 $,有$ (f_n, \varphi_1) = 0 $,所以当$ n\rightarrow\infty $时,有

$ \|\varphi_1\|^2 = (\varphi_1-f_n, \varphi_1) = |(\varphi_1-f_n, \varphi_1)| \leq\|\varphi_1-f_n\|\|\varphi_1\|\rightarrow0, $

矛盾.因此存在$ a_0\in A^{\perp}\backslash\{\varphi_1\}^{\perp} $.即存在$ a_0 $满足

$ \int_0^1(\varphi-\varphi_1)(s)a_0(s) {{\rm{d}}} s = 0, \ \forall\ \varphi\in\widetilde{\Omega_0}, \ \int_0^1\varphi_1(s)a_0(s) {{\rm{d}}} s\neq0. $

如果令

$ \begin{eqnarray*} a(x) = \left\{\begin{array}{ll} { } a_{0}(x)\diagup\int_0^1\varphi_1(s)a_0(s) {{\rm{d}}} s, \ \ &x\in [0, 1], \\ 0, & x\in(1, \infty), \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

易证$ a $满足条件(3.7).结论得证.