令$0<r<1$,勒让德第一类和第二类完全椭圆积分${\cal K}(r)$和${\cal E}(r)$^[1]分别定义为

椭圆积分如此命名是因为它们出现在椭圆周长的计算公式.众所周知,完全椭圆积分在数学、物理及其其它的一些学科中具有广泛的应用.例如,圆周率$\pi$的计算,一些微分方程的解的表达式,电磁场和单摆周期的计算公式等都与两类完全椭圆积分${\cal K}(r)$和${\cal E}(r)$密切相关.

在过去的三十多年,完全椭圆积分的研究主要集中于它们在几何函数论中的应用.许多共形不变量、拟共形映射中的偏差函数都可以用完全椭圆积分来表示^[2-3].特别地,关于${\cal K}(r)$和${\cal E}(r)$的许多优美的性质和上下界被证明^[4-21].

令$p\in(1, \infty)$, $r\in(0, 1)$, Takeuchi^[22]引入了二类完全$p$ -椭圆积分${K}_{p}(r)$和${E}_{p}(r)$,其定义如下

其中$\sin_{p}\theta$是广义三角正弦函数,具有反函数

而

是广义圆周率.

易见$\sin_{2}\theta = \sin\theta$, $\pi_{2} = \pi$,且由(1.1)–(1.4)式可得${K}_{2}(r) = {\cal K}(r)$, ${E}_{2}(r) = {\cal E}(r)$. $\sin_{p}\theta$及$\pi_{p}$首先被给出在$1$维的$p$-Laplacian方程的特征值问题^[23-25].

近几年,完全$p$ -椭圆积分已经被Takeuchi等从不同的角度进行深入研究. 2016年, Takeuchi^{[22, 26]}证明完全$p$ -椭圆积分$K_{p}$和$E_{p}$满足如下导数公式及其广义Legendre恒等式

其中对$r\in(0, 1)$, $r' = \sqrt[p]{1-r^p}$.利用式(1.5), Takeuchi^{[22, 27]}发现了当$p = 3$和$p = 4$时$\pi_{p}$的算法公式.此外,完全$p$ -椭圆积分与经典的Gauss超几何函数具有如下关系(参见文献[22,命题2.8])

其中

是Gauss超几何函数^[28-29], $a, b, c$为实参数且$c\neq 0, -1, -2, \cdots$, $(a)_{0} = 1$$(a\neq 0)$, $(a)_{n} = a(a+1)(a+2)(a+3)\cdots(a+n-1) = \Gamma(n+a)/\Gamma(a)$$(n = 1, 2, 3\cdots)$, $\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}{\rm d}t$是Gamma函数^[30-31].

最近,张孝惠^[32]将完全椭圆积分${\cal K}(r)$和${\cal E}(r)$满足的一些单调性质和不等式推广到了完全$p$ -椭圆积分$K_{p}(r)$和$E_{p}(r)$.

完全椭圆积分的另一种重要的广义形式,称为广义椭圆积分${{\cal K}}_{a}(r)$, ${{\cal E}}_{a}(r)$,已经被Vuorinen教授及其合作者引入并在Ramanujan模方程理论中广泛研究(参见文献[33]).事实上,对$a\in(0, 1)$, $r\in(0, 1)$,第一类和第二类广义椭圆积分${{\cal K}}_{a}(r)$, ${{\cal E}}_{a}(r)$分别定义为

易见${{\cal K}}_{1/2}(r) = {{\cal K}}(r)$, ${{\cal E}}_{1/2}(r) = {{\cal E}}(r)$.比较(1.6)和(1.7)式,我们便知：令$p = 1/(1-a)$,

更多${{\cal K}}_{a}(r)$, ${{\cal E}}_{a}(r)$的性质及其应用可参见文献[34-40].

对$\alpha\in{{\Bbb R}}$,两个正数$x$和$y$的$\alpha$阶Hölder平均值定义为

特别令$\alpha = -1$, $0$和$1$,便得到经典的调和平均值$H(x, y) = H_{-1}(x, y)$,几何平均值$G(x, y) = H_{0}(x, y)$及其算术平均值$A(x, y) = H_{1}(x, y)$.众所周知,对固定的$x, y>0$且$x\neq y$, Hölder平均值$H_{\alpha}(x, y)$关于$\alpha$在实数域${{\Bbb R}}$上是连续且严格单调增加的. $\!\!$Hölder平均值的一些基本性质及其不等式可参见文献[43].

令$\alpha, \beta\in{{\Bbb R}}$,区间$I\subseteq (0, \infty)$,函数$f:I\mapsto(0, \infty)$连续.若对于所有的$x, y\in I$都成立如下不等式

则称$f$在$I$是$H_{\alpha, \beta}$ -凸的(凹的).而且,若不等式(1.9)成立等号当且仅当$x = y$,便称$f$在$I$是严格$H_{\alpha, \beta}$ -凸的(凹的).特别当$\alpha = \beta = 1$时, $H_{\alpha, \beta}$ -凸性(凹性)就退化为经典的凸性（凹性）.

2007年,对$\alpha = 0, -1, 1$和$\beta = 0, -1, 1$, Anderson, Vamanamurthy和Vuorinen^[44]探究了由Maclaurin级数定义的函数的$H_{\alpha, \beta}$ -凸性和$H_{\alpha, \beta}$ -凹性.运用该结果, $\!\!$Gauss超几何函数的$H_{\alpha, \beta}$ -凸性(凹性)及其一类新的不等式被证得.

Baricz^[45]考察了零平衡超几何函数$F(a, b;a+b;x)(a, b>0)$的Hölder凸性,发现对$(\alpha, \beta)\in\{(\alpha, \beta)|\alpha\leq 2, \beta\geq 0\}$,第一类完全椭圆积分${\cal K}(r)$是在$(0, 1)$上严格$H_{\alpha, \beta}$ -凸的.随后,使得${\cal K}(r)$在$(0, 1)$上严格$H_{\alpha, \beta}$ -凸的完整区域被王淼坤等^[46]证明.类似地,相同作者在文献[47]中得到了关于第二类完全椭圆积分在$(0, 1)$满足Hölder凹的充要条件：

定理1.1^[47]  第二类完全椭圆积分${\cal E}(r)$在$(0, 1)$是$H_{\alpha, \beta}$ -凹的当且仅当

其中$C(\beta) = \inf\limits_{r\in(0, 1)}\{r^2{\cal E}/[(1-r^2)({\cal K}-{\cal E})+(1-\beta)({\cal K}-{\cal E})/{\cal E}]\}$关于$\beta$连续,且当$\beta\leq 5/2$时, $C(\beta) = 2$,而当$\beta>5/2$时, $C(\beta)<2$.此外,不存在$\alpha, \beta\in {{\Bbb R}}$使得${\cal E}(r)$在$(0, 1)$是$H_{\alpha, \beta}$ -凸的.

2012年,周丽明等^[48]考虑了两类广义椭圆积分,给出了${\cal K}_{a}(r)$在$(0, 1)$是$H_{\alpha, \alpha}$ -凸的及其${\cal E}_{a}(r)$ ($a\in(0, 1/2]$)在$(0, 1)$是$H_{\alpha, \alpha}$ -凹的充分必要条件.最近, Baricz和Vuorinen在文献[49-50]中也研究广义三角函数的$H_{\alpha, \alpha}$ -凸性(凹性).

本文的主要目的是将定理1.1推广到第二类$p$ -完全椭圆积分和第二类广义椭圆积分的情形.主要结果是如下的定理1.2和推论1.1.

定理1.2  对$p\in(1, \infty)$,第二类$p$ -完全椭圆积分$E_{p}(r)$在$(0, 1)$是$H_{\alpha, \beta}$ -凹的,即不等式

对所有的$x, y\in (0, 1)$恒成立,当且仅当

其中$L(\beta) = \inf\limits_{r\in(0, 1)}\left\{r^{p}E_{p}/[{r'}^{p}(K_{p}-E_{p})]+(1-\beta)(K_{p}-E_{p})/E_{p}\right\}$关于$\beta$连续,且当$\beta\leq (p^2+1)/2$时, $L(\beta) = p$,而当$\beta>(p^2+1)/2$时, $L(\beta)<p$ (见图 1).此外,不存在$\alpha, \beta\in {{\Bbb R}}$使得$E_{p}(r)$在$(0, 1)$上是$H_{\alpha, \beta}$ -凸的.

推论1.1  对$a\in(0, 1)$,第二类广义椭圆积分${\cal E}_{a}(r)$在$(0, 1)$上严格$H_{\alpha, \beta}$ -凸的,即不等式

对所有$x, y\in (0, 1)$恒成立,当且仅当

其中$L^*(\beta) = \inf\limits_{r\in(0, 1)}2(1-a)\left\{r^{2}{\cal E}_{a}/[(1-r^2)({\cal K}_{a}-{\cal E}_{a})]+(1-\beta)({\cal K}_{a}-{\cal E}_{a})/{\cal E}_{a}\right\}$关于$\beta$连续,且当$\beta\leq (a^2-2a+2)/[2(1-a)^2]$时, $L^*(\beta) = 2$,而当$\beta>(a^2-2a+2)/[2(1-a)^2]$时, $L^*(\beta)<2$.此外,不存在$\alpha, \beta\in {{\Bbb R}}$使得${\cal E}_{a}(r)$在$(0, 1)$上是$H_{\alpha, \beta}$ -凸的.

为证明本文的主要结果,需要在本节中建立几则引理.

引理2.1^[3]  对$-\infty<a<b<+\infty$,设$f$和$g$是两个实值函数,都在$[a, b]$上连续,在$(a, b)$上可微,且在$(a, b)$上$g'\neq 0$.如果$f'/g'$在$(a, b)$上(严格)单调增加(减小),那么函数

也在$(a, b)$上(严格)单调增加(减小).

引理2.2  令$p\in(1, \infty)$.则

$(1)$函数$r\mapsto(E_{p}-{r'}^pK_{p})/r^p$从$(0, 1)$到$({(p-1)\pi_{p}}/{2p}, 1)$严格单调增加;

$(2)$函数$r\mapsto(K_{p}-E_{p})/(r^p K_{p})$从$(0, 1)$到$({1}/{p}, 1)$严格单调增加;

$(3)$函数$r\mapsto{r'}^p(K_{p}-E_{p})/(r^pE_{p})$从$(0, 1)$到$(0, 1/p)$严格单调减小;

$(4)$当且仅当$c\geq (p-1)/p$,函数$r\mapsto{r'}^cK_{p}$在$(0, 1)$上严格单调减小,且此时函数的值域为$(0, \pi_{p}/2)$;

$(5)$当且仅当$c\leq -1/p$,函数$r\mapsto{r'}^cE_{p}$在$(0, 1)$上严格单调增加,且此时函数的值域为$(\pi_{p}/2, \infty)$;

$(6)$函数$r\mapsto[(p-1)(K_{p}-E_{p})-(E_{p}-{r'}^pK_{p})]/r^{2p}$具有正的$\rm Maclaurin$级数,在$(0, 1)$的值域为$(\pi_{p}(1-p)^2/(4p^2), \infty)$;

$(7)$函数$r\mapsto[E_{p}-{r'}^pK_{p}-(p-1){r'}^p(K_{p}-E_{p})]/[r^{p}(K_{p}-E_{p})]$从$(0, 1)$到$(0, (p^2-1)/(2p))$严格单调减小.

证  (1)–(5)可参见文献[32,引理3.4(1), (4)–(7)].下证明(6),利用Gauss超几何函数的级数展开可得

及其

因此,由等式(2.1)知(6)中定义的函数具有正的Maclaurin级数且值域为

(7)令$\varphi(r) = E_{p}-{r'}^pK_{p}-(p-1){r'}^p(K_{p}-E_{p})$, $\phi(r) = r^p(K_{p}-E_{p})$.则

及其

式(2.2)和本引理(3)表明$\varphi'(r)/\phi'(r)$在$(0, 1)$上严格单调减小

应用引理2.1,可推断$\varphi(r)/\phi(r)$在$(0, 1)$上也严格单调减小.此外,显然有$\lim\limits_{r\rightarrow 1^-}[\varphi(r)/\phi(r)] = 0$.引理2.2证毕.

引理2.3  令$p\in(1, \infty)$, $c\in {{\Bbb R}}$和

则以下论断成立

$(1)$当且仅当$c\geq (p^2-1)/(2p)$,函数$f_{c}(r)$从$(0, 1)$到$(0, \pi_{p}/(2p))$严格单调减小;

$(2)$当且仅当$c\leq 0$,函数$f_{c}(r)$从$(0, 1)$到$(\pi_{p}/(2p), \infty)$严格单调增加;

$(3)$若$0<c<(p^2-1)/(2p)$,则存在$r_{0} = r_{0}(c)\in(0, 1)$使得$f_{c}(r)$在$(0, r_{0})$上严格单调增加,在$(r_{0}, 1)$严格单调减小.

证  显然当$c\leq0$时, $f_{c}(1^-) = \infty$,而当$c>0$时, $f_{c}(1^-) = 0$.利用引理2.2(2), $f_{c}(0^+) = \pi_{p}/(2p)$.对$f_{c}$求导得

由引理2.2(7)和(2.3)式立即可得第(1)、(2)部分关于$f_{c}$的单调性论断.此外,若$0<c<(p^2-1)/(2p)$,又可由引理2.2(7)和(2.3)式知存在依赖于参数$c$的$r_{0} = r_{0}(c)\in(0, 1)$使得当$r\in(0, r_{0})$时, $f_{c}'(r)>0$,当$r\in(r_{0}, 1)$时, $f_{c}'(r)<0$,故$f_{c}(r)$在$(0, r_{0})$上严格单调增加,在$(r_{0}, 1)$上严格单调减小.

引理2.4  令$p\in(1, \infty)$,有

则$f(r)$从$(0, 1)$到$(1, {\pi_{p}}/{2})$严格单调减小.

证  对$f$求导得

引理2.2(2)和(3)表明函数$r\mapsto -{r'}^p(K_{p}-E_{p})/(r^pE_{p})-1+(p+1)(K_{p}-E_{p})/(r^pK_{p})$从$(0, 1)$到$(0, p)$严格单调增加.结合式(2.4)可推断对所有$r\in(0, 1)$,有$f'(r)<0$,故$f(r)$在$(0, 1)$上严格单调减小.此外,不难计算得$f(0^+) = E_{p}(0) = \pi_{p}/2$, $f(1^-) = E_{p}(1) = 1$.

引理2.5  令$p\in(1, +\infty)$,有

则$g(r)$从$(0, 1)$到$((p^2-1){\pi_{p}}^2/(8p^2), \infty)$严格单调增加.

证  根据引理2.2(1), (2)及(6)得$\lim\limits_{r\rightarrow 1^-}g(r) = \infty$和

注意到

对$g$求导并结合引理2.2(2), (6)可推断

引理2.5成立.

引理2.6  令$p\in(1, +\infty)$,有

则$h(r)$从$(0, 1)$到$((p^2-1)/2, \infty)$严格单调增加.

证  将$h(r)$改写成

根据引理2.2(5),引理2.3(1),引理2.4和引理2.5便得引理2.6.

引理2.7  令$p\in(1, \infty)$, $\beta\in{{\Bbb R}}$,有

和$L(\beta) = \inf\limits_{r\in(0, 1)}G_{\beta}(r)$.则

$(1)$当且仅当$\beta\leq (p^2+1)/2$, $G_{\beta}(r)$从$(0, 1)$到$(p, \infty)$严格单调增加, $L(\beta) = p$;

$(2)$若$\beta>(p^2+1)/2$,则存在$\lambda = \lambda(\beta)\in(0, 1)$使得$G_{\beta}(r)$在$(0, \lambda)$上严格单调减小,在$(\lambda, 1)$上严格单调增加. $G_{\beta}(r)$在$(0, 1)$上的值域为$[L(\beta), \infty)$且$L(\beta)<p$.

证  经计算得

及其

其中$h(r)$是$(0, 1)$上的严格单调增加函数,其定义见(2.5)式.

由引理2.6和(2.9)式知:当且仅当$\beta\leq \inf\limits_{r\in(0, 1)}[1+h(r)] = (p^2+1)/2$, ${G_{\beta}}'(r)>0$对所有的$r\in(0, 1)$恒成立,即函数$G_{\beta}(r)$在$(0, 1)$上严格单调增加,进而由(2.7)和(2.8)式可得引理第(1)部分.若$\beta>(p^2+1)/2$,则引理2.6及(2.9)式表明存在$\lambda = \lambda(\beta)\in(0, 1)$使得当$r\in(0, \lambda)$时, $G_{\beta}'(r)<0$,当$r\in(\lambda, 1)$, $G_{\beta}'(r)>0$,故$G_{\beta}(r)$在$(0, 1)$分段单调的.结合(2.7)和(2.8)式即得$L(\beta)<p$, $G_{\beta}(r)$在$(0, 1)$上的值域为$(L(\beta), \infty)$.

引理2.8  令$p\in(1, +\infty)$, $\alpha, \beta\in{{\Bbb R}}$,有

则以下论断成立

$(1)$若$\beta\leq (p^2+1)/2$,则$J(r)$在$(0, 1)$上严格单调增加当且仅当$\alpha\leq p$,若$\alpha>p$,则存在$r_{1} = r_{1}(\alpha, \beta)\in(0, 1)$使得$J(r)$在$(0, r_{1})$上严格单调减小,在$(r_{1}, 1)$上严格单调增加;

$(2)$若$\beta>(p^2+1)/2$,则$J(r)$在$(0, 1)$上严格单调增加当且仅当$\alpha\leq L(\beta)$,若$\alpha>L(\beta)$,则$J(r)$是分段单调的,其中$L(\beta)$见引理2.7.

证  对数求导得

其中$G_{\beta}(r)$定义见(2.6)式.

下面分四种情形完成引理的证明.

情形Ⅰ  $\beta\leq (p^2+1)/2$且$\alpha\leq p$.则由引理2.7(1)和(2.10)式知：对所有$r\in(0, 1)$, $J'(r)\geq 0$,因此$J(r)$在$(0, 1)$上严格单调增加.

情形Ⅱ  $\beta\leq (p^2+1)/2$且$\alpha> p$.则引理2.7(1)及式(2.10)表明存在$r_{1} = r_{1}(\alpha, \beta)\in(0, 1)$,使得当$r\in(0, r_{1})$时, $J'(r)<0$,当$r\in(r_{1}, 1)$时, $J'(r)>0$.因此, $J(r)$在$(0, r_{1})$上严格单调减小,在$(r_{1}, 1)$上严格单调增加.

情形Ⅲ  $\beta>(p^2+1)/2$且$\alpha\leq L(\beta)$.则由引理2.7(1)和(2.10)式知：对所有$r\in(0, 1)$, $J'(r)\geq 0$,因此$J(r)$在$(0, 1)$上严格单调增加.

情形Ⅳ  $\beta>(p^2+1)/2$且$\alpha> L(\beta)$.则由引理2.7(2), (2.10)式及其相似于情形II的讨论可得$J(r)$在$(0, 1)$上分段单调.

定理1.2的证明  不妨设$0<x\leq y<1$.令$t = H_{\alpha}(x, y)$,则$\partial t/\partial x = (x/t)^{\alpha-1}/2$,且当$y>x$时, $t>x$.下面分$\beta\neq0$和$\beta = 0$两种情形来完成定理1.2的证明.

情形1  $\beta\neq 0$.令

则对$x$求偏导数得

下面再将情形1分成下面四种子情形.

子情形1.1  $\beta\leq (p^2+1)/2$且$\alpha\leq p$.则由引理2.8(1)和(3.2)式知:若$\beta>0$, $\partial F/\partial x<0$, $F(x, y)>F(y, y) = 0$;若$\beta<0$, $\partial F/\partial x>0$, $F(x, y)>F(y, y) = 0$.结合(3.1)式可推得:当$\alpha\leq p$且$\beta\leq (p^2+1)/2$时,始终成立不等式

而且不难验证当且仅当$x = y$时不等式(3.3)成立等号.

综上可知,当$(\alpha, \beta)\in\{(\alpha, \beta)|\alpha\leq p, \beta\leq (p^2+1)/2, \beta\neq0\}$时, $E_{p}$在$(0, 1)$上严格$H_{\alpha, \beta}$ -凹的.

子情形1.2  $\beta\leq (p^2+1)/2$且$\alpha>p$.则由(3.1)和(3.2)式,引理2.8(1)及其类似子情形1.1的讨论可知:当$\alpha>p$且$\beta\leq (p^2+1)/2$时,存在$x_{0}, y_{0}\in(0, r_{1})$和$x_{1}, y_{1}\in(r_{1}, 1)$使得$E_{p}\left(H_{\alpha}(x_{0}, y_{0})\right)\leq H_{\beta}\left({E_{p}}(x_{0}), {E_{p}}(y_{0})\right)$, $E_{p}\left(H_{\alpha}(x_{1}, y_{1})\right)\geq H_{\beta}\left({E_{p}}(x_{1}), {E_{p}}(y_{1})\right)$.因此, $E_{p}$在整个$(0, 1)$区间上既不是$H_{\alpha, \beta}$ -凹的也不是$H_{\alpha, \beta}$ -凸的.

子情形1.3  $\beta>(p^2+1)/2$且$\alpha\leq L(\beta)$.则(3.1)和(3.2)式,引理2.8(2)及其类似子情形1.1的讨论表明:当$(\alpha, \beta)\in\{(\alpha, \beta)|\alpha\leq L(\beta), \beta>(p^2+1)/2, \beta\neq0\}$时, $E_{p}$在$(0, 1)$上严格$H_{\alpha, \beta}$ -凹的.

子情形1.4  $\beta>(p^2+1)/2$且$\alpha>L(\beta)$.则从(3.1)和(3.2)式,引理2.8(2)及其上述子情形1.2的类似讨论可知:$E_{p}$在整个$(0, 1)$区间上既不是$H_{\alpha, \beta}$ -凹的也不是$H_{\alpha, \beta}$ -凸的.

情形2  $\beta = 0$.令

则对$x$求偏导数得

下面将情形2的证明分如下两种情形.

子情形2.1  $\alpha\leq p$.则(3.5)式和引理2.8(1)表明$\partial G/\partial x<0$,故$G(x, y)>G(y, y) = 1$.于是从(3.4)式便知

且上述不等式成立等式当且仅当$x = y$.

因此,当$(\alpha, \beta)\in\{(\alpha, \beta)|\alpha\leq p, \beta = 0\}$时, $E_{p}$在$(0, 1)$上严格$H_{\alpha, \beta}$ -凹的.

子情形2.2  $\alpha>p$.则利用(3.4)和(3.5)式及其引理2.8(1)推断得：$E_{p}$在$(0, 1)$上既不是$H_{\alpha, \beta}$ -凹的也不是$H_{\alpha, \beta}$ -凸的.

推论1.1的证明  假设$\alpha, \beta\in{{\Bbb R}}$, $x, y\in(0, 1)$.对$a\in(0, 1)$,令$p = 1/(1-a)$,则从(1.8)式可推断不等式

等价于

再对不等式两边同时乘以$\pi_{p}/\pi$,便得

因此,由定理1.2便得推论1.1.

注3.1  当$p\in(1, \infty)$时, $p<(p^2+1)/2$,故由定理1.2可知:第二类完全$p$ -椭圆积分$E_{p}(r)$在$(0, 1)$上$H_{\alpha, \alpha}$ -凹的,即不等式

对所有$x, y\in (0, 1)$恒成立当且仅当$\alpha\leq p$,且不存在$\alpha\in {{\Bbb R}}$使得${\cal E}_{a}(r)$在$(0, 1)$上是$H_{\alpha, \alpha}$ -凸的.