修正二分量Dullin-Gottwald-Holm (mDGH2)系统为

其中常数$\alpha^{2}(\alpha>0)$和$\beta/c_{0}$是长尺度的平方, $c_{0} = \sqrt{h\gamma}\geq0$是静水在空间无限远处的线性波速,这里$h>0$为平均流体深度, $\gamma>0$表示浅水波应用中重力的向下恒定加速度, $u(t, x)$表示流体速度. mDGH2系统(1.1)用平均或滤波后的密度$\rho$表示$\rho = (1-\partial_{x}^{2})(\bar{\rho}-\bar{\rho}_{0})$,类似于动量和速度之间的关系,这里$\bar{\rho}_{0}$被取为常数^{[14, 17-19]}.

值得注意的是, mDGH2系统(1.1)是以下DGH2系统的修正版本

它是在文献[8]中通过运用Ivanov方法^[11]被推导出来.关于DGH2系统(1.2)的一些定性分析还有很多工作已被研究^[18-19].

一般情况下,在实验中很难避免能量耗散机制.为此, Ott和Sudan^[16]研究了KdV方程如何进行修正以用于包括耗散的影响和耗散对孤波解的影响. Ghidaglia^[7]研究了作为有限维动力系统的弱耗散KdV方程解的长时间行为.

同样,本文我们考虑以下的弱耗散mDGH2系统

其中$t>0, \; x\in{{\Bbb R}}$,弱耗散项为$\lambda(u-\alpha^{2}u_{xx})$和$\lambda\rho$,这里$\lambda$是一个耗散参数.

若取$\alpha = 1$, $\beta = 0$, $\gamma = -1$, $c_{0} = 0$和$\lambda = 0$, mDGH2系统(1.3)可以约化为下面的mCH2系统

mCH2系统(1.4)允许在速度和平均密度上有峰值的解^[10].在文献[10]中,作者通过分析确定了陡峭化的机制,该机制使得奇异解可以从光滑的,空间受限的初始数据中出现.他们发现流体速度中的爆破波并不意味着奇点的点态密度$\rho$在垂直点的斜率.

若取$\alpha = \beta = \gamma = 0$, $c_{0} = k$, $\lambda = 0$和$\rho = 0$, mDGH2系统(1.3)约化为CH方程^{[1, 2]}

该方程最早是由Fokas和Fuchssteiner在文献[6]中用它的双哈密顿结构正式推导出来的.在文献[4]中, Constantin和Lannes严格地用数学方法描述了CH方程(1.5)的流体动力学相关性. Constantin、Kolev^[5]和Ionescu-Kruse^[12]提供了CH方程在圆的微分同态群上作为测地线流方程的另一种推导.

当$\rho = 0$时, mDGH2系统(1.3)成为弱耗散DGH方程

在文献[15]中, Novruzov证明了初始数据在有限时间内导致弱耗散DGH方程(1.6)的解爆破的简单条件.

设$y = u-\alpha^{2}u_{xx}$和$v = \bar{\rho}-\bar{\rho}_{0}$, mDGH2系统(1.3)有如下形式

其中$2d_{0} = c_{0}+\frac{\beta}{\alpha^{2}}$和$k = -\frac{\beta}{\alpha^{2}}$.

本文中,当$\rho = 0$时,我们的结果可以归结为弱耗散DGH方程(1.6)的相应结果,它的爆破在文献[15]中已经被研究.但是系统(1.3)和(1.2)之间有相当大的差异.系统(1.3)的爆破的发生受耗散参数的影响.值得注意的是,弱耗散项对mDCH2系统(1.3)的解没有影响.

论文的结构:第2节介绍了一些预备知识,包括局部的适定性和mDGH2系统(1.3)的精确爆破现象.第3节分析了全局存在性,证明了在条件$\left(\|y_{0}\|_{L^{2}}^{2}+\|\rho_{0}\|^{2}_{L^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}<\frac{4\lambda} {3}$下爆破现象是不可能发生的.爆破和爆破率分别在第4节和第5节中被研究.

引入$G(x): = \frac{1}{2\alpha}e^{-|\frac{x}{\alpha}|}$, $x\in{{\Bbb R}}$和算子$\Lambda = (1-\alpha^{2}\partial_{x}^{2})^{-1}$.那么对所有$f\in L^{2}$,有

这里的符号‘$\ast$’表示卷积.利用上述恒等式,将系统(1.3)写成双曲型准线性演化方程的等价形式

利用Kato定理^[13],我们得到了具有初始数据$(u_{0}, v_{0})\in H^{s}\times H^{s-1}$, $s\geq \frac{5}{2}$的柯西问题(2.2)的局部适定性.更精确地说,我们得到了以下的局部适定性结果.

定理2.1  设$(u_{0}, v_{0})\in H^{s}\times H^{s-1}$, $s\geq\frac{5}{2}$,存在最大时间$T = T(\|u_{0}\|_{H^{s}({{\Bbb R}} )},$$\|v_{0}\|_{H^{s-1}({{\Bbb R}} )})>0$,和系统(2.2)的唯一解$(u, v)$,

而且,该解连续依赖初始数据,即映射$(u_{0}, v_{0})\mapsto(u, v)$

是连续的.

接下来,介绍标准粒子轨迹方法.我们考虑以下两个初值问题

和

其中$u\in C^{1}\left([0, T), H^{s-1}\right)$表示具有初始数据$(u_{0}, v_{0})\in H^{s}\times H^{s-1}$, $s\geq\frac{5}{2}$的系统(2.2)的解$(u, v)$的第一个分量, $T>0$是最大存在时间.将经典结果应用于常微分方程,我们能得到以下关于$q_{i}$的结果.

引理2.1  设$u\in C\left([0, T); H^{s}({{\Bbb R}} )\right) \cap C^{1}\left([0, T); H^{s-1}({{\Bbb R}} )\right)$, $s\geq\frac{5}{2}$,则方程(2.3)和(2.4)分别有唯一解$q\in C^{1}([0, T)\times {{\Bbb R}} ; {{\Bbb R}} )$.此外, $q_{i}(t, \cdot): {{\Bbb R}} \rightarrow{{\Bbb R}}$一个微分同胚映射对每个$t\in [0, T)$

因此,任何函数$v(t, \cdot)$的$L^{\infty}$ -范数都保留在微分同态$q_i(t, \cdot)$族下.

引理2.2  设$(u_{0}, v_{0})\in H^{s}\times H^{s-1}$, $s\geq\frac{5}{2}$, $T>0$是初始数据为$(u_{0}, v_{0})$时系统(2.2)的解$(u, v)$的最大存在时间.那么

此外,如果存在一个$x_{0}\in{{\Bbb R}}$有$\rho_{0}(x_{0}) = 0$,那么对任意$t\in [0, T)$有$\rho(t, q_{2}(t, x_{0})) = 0$.

为了得到系统(2.2)解的精确爆破情况,我们给出下面的引理.

引理2.3  设$(u_{0}, v_{0})\in H^{s}({{\Bbb R}} )\times H^{s-1}({{\Bbb R}} )$,其中$s\geq\frac{5}{2}$,且$T>0$是初始数据为$(u_{0}, v_{0})$时系统(2.2)的解$(u, v)$的最大时间.那么

而且

其中$C_{1} = \max\left\{\frac{1}{2\alpha}, \frac{1}{2}\right\}$.

证  系统(1.3)的第一个方程乘以$u$,然后分部积分,我们有

同理,系统(1.3)的第二个等式能获得

通过运用(2.10)和(2.11)式,有

即

因为

和

那么,利用(2.13)式我们能得到(2.9)式.证毕.

引理2.4  设$(u_{0}, v_{0})\in H^{s}({{\Bbb R}} )\times H^{s-1}({{\Bbb R}} )$,其中$s\geq\frac{5}{2}$, $T>0$是初始数据为$(u_{0}, v_{0})$时系统(2.2)的解$(u, v)$的最大时间.那么

证  通过对系统(2.2)的第二个方程的$x$求导,并利用引理2.3,可以看出这个引理是由直接计算得到的.

下面推导系统(2.2)强解的精确爆破情况.

定理2.2  设$(u_{0}, v_{0})\in H^{s}\times H^{s-1}$, $s\geq\frac{5}{2}$,且$T>0$是初始数据为$(u_{0}, v_{0})$时系统(2.2)的解$(u, v)$的最大存在时间.那么,相应的解在有限时间内爆破,当且仅当

证  将系统(1.3)的第一个方程乘以$y = u-\alpha^{2}u_{xx}$,我们有

同理,由系统(1.3)的第二个方程可知

通过使用(2.18)和(2.19)式,我们得到

假设存在$M>0$使得

从(2.20)式和引理2.4可以得到

通过求解不等式(2.22),有

对所有$t\in[0, T)$成立.不等式(2.23)保证解$(u, v)$在有限时间内不爆破.

因此,利用Sobolev的嵌入定理,我们可以证明如果

则解在有限时间内单爆破.证毕.

在本节,我们将证明在条件$\left(\|y_{0}\|_{L^{2}}^{2}+\|\rho_{0}\|^{2}_{L^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}<\frac{4\lambda} {3}$下不可能发生“爆破”现象.

定理3.1  设$(u_{0}, v_{0})\in H^{s}({{\Bbb R}} )\times H^{s-1}({{\Bbb R}} )$,其中$s\geq\frac{5}{2}$.如果

则系统(1.3)的对应解$u(t, x)$在时间上是全局存在的.

证  从(2.18)式,我们有

将等式(3.2)乘以$e^{2\lambda t}$,可得

通过回顾函数$G$的定义,再利用Young不等式,我们得到

和

因此,有

由上式可知

对不等式的$t$从$0$到$t$积分得到

然后,有

基于

可得

根据定理2.2,可以证明系统(1.3)的解在时间上是全局存在的.证毕

接下来,我们为系统(2.2)的强解建立奇异点的形式,并在初始数据上给出几个充分条件,以保证$\alpha\leq 1$发生爆破.

定理4.1  令$(u_{0}, v_{0})\in H^{s}({{\Bbb R}} )\times H^{s-1}({{\Bbb R}} )$并且$s\geq\frac{5}{2}$.如果$u_{0}$满足下列不等式

其中$\gamma_{0} = \max\{1, \gamma\}$,则系统(2.2)的相应解在有限时间内爆破.

证  通过对系统(2.2)的第一个方程关于$x$进行微分,可以得到

应用$G$的定义可以得到

引入

通过将(4.3)式与$u^{2}_{x}$相乘,并使用以下关系

我们推导出关于$M(t)$的如下方程

通过使用柯西-施瓦茨不等式,我们得到了

因此

通过使用(2.14)和(2.15)式,进一步得到

要注意的是

因此有

因此,我们从上面的分析中得出

其中$\gamma_{0} = \max\{1, \gamma\}$.我们可以进一步证明这一点

根据假设,我们有$\frac{{\rm d}M}{{\rm d}t}|_{t = 0}<0$.通过考虑$M(t)$的$t$的连续性,可以进一步得到,对所有$t\in[0, T)$有$\frac{{\rm d}M}{{\rm d}t}<0$.因此

求解不等式(4.15),有

因为

则存在一个$T$

满足

进一步考虑这一事实

我们可以证明

证毕.

定理4.2  令$(u_{0}, v_{0})\in H^{s}({{\Bbb R}} )\times H^{s-1}({{\Bbb R}} )$,且$s\geq\frac{5}{2}$.如果存在$x_{0}\in {{\Bbb R}}$满足$y_{0}(x_{0}) = u_{0}(x_{0})-\alpha^{2}u_{0xx}(x_{0}) = 0$, $\rho_{0}(x_{0}) = \rho_{0}(x_{0})-\rho_{0xx}(x_{0}) = 0$和下面的不等式

则对于$\lambda<0$和初始数据$(u_{0}, v_{0})$的系统(2.2)的解在有限时间爆破.

证  通过使用(2.3)式, (4.3)式和下列不等式

可以得到

在接下来的文章中,我们提出了三个论点来证明我们的结论.

论点1  对所有$t$, $y(t, q_{1}(t, x_{0}))+d_{0} = 0$在它的预期使用期限内.

通过考虑(1.7)式中的第一个方程,并利用粒子轨迹法,我们得到了

由于(2.4)式引入的$q_{2}(\cdot, x)$是任意$t\in[0, T)$的直线的微分同构,则有

其中$\tilde{x}_{0}(t)\in {{\Bbb R}}$.对于$t = 0$,可以进一步得到

接下来,我们表明$\rho(t, q_{1}(t, x_{0})) = 0$.通过直接计算,则有

根据$\rho_{0}(x_{0}) = 0$,方程(4.28)积分得到

然后有

因此,可以获得

这意味着

这就完成了论点1.

论点2  对所有$x\in {{\Bbb R}}$和$t>0$, $v_{x}^{2}(t, x)-v^{2}(t, x)\leq v_{x}^{2}(t, x_{0})-v^{2}(t, x_{0})$.

由于引理2.2,则有

对于所有$t\geq0$,由于$v = G\ast \rho(t, x)$, $x\in{{\Bbb R}}$, $t\geq 0$, $v(t, x)$和$v_{x}(t, x)$可以改写成

对任何固定$t$.对于$x\leq q_{2}(t, x_{0})$,有

循着同样的方法引出

对于$x\geq q_{2}(t, x_{0})$.

从(4.36)和(4.37)式,可以进一步得到

对任何固定$t$和$x\in{{\Bbb R}}$.结合论点1和论点2,则有

论点3  在$[0, T)$上, $(u+d_{0})^{2}(t, q_{1}(t, x_{0})) -\alpha^{2}u_{x}^{2}(t, q_{1}(t, x_{0}))+\gamma(C_{1}+\frac{1}{2\alpha})E(0)<0$,且$u_{x}(t, q_{1}(t, x_{0}))<0$是关于$t$严格递减的.

假设存在这样一个$t_{0}$

但是

由$u(t, x)$和$y(t, x)$的关系可知, $u(t, x)+d_{0}$和$u_{x}(t, x)$可以改写成

引入

然后

通过分部积分,可以重写(4.46)式的第一项

通过使用论点1,使用下面的等式

我们可以重写(4.46)式的第二项

从以上分析,并根据事实

则在$[0, t_{0})$上有

根据同样的分析,则在$[0, t_{0})$上有

值得注意的是,这个假设确保了${\cal F}(0)>0$和${\cal G}(0)<0$,由此可见(4.51)和(4.52)式在$(0, t_{0})$上分别为

因此,则有

对于$\lambda<0$.这是一个明显的矛盾.然后, $u_{x}(t, q_{1}(t, x_{0}))$是严格递减.另一方面,有

通过考虑初始假设,则有$u_{x}(t, q_{1}(t, x_{0}))<0$.这样,就完成了论点3的证明.

其次,通过引入

则有

假设相应的解在时间上是全局存在的.由于$h(t)$在初始假设$h(0)<0$时是严格递减的,所以存在这样一个$t_{1}$,对所有$t>t_{1}$,有

然后对$t\in (t_{1}, \infty)$,有

求解不等式(4.59)得到

我们可以证明当$t\rightarrow t_{1}+\frac{1}{\lambda}\ln\left(\frac{h(t_{1})}{h(t_{1})+4\lambda}\right)$时$h(t)\rightarrow\infty$.表明对应的解并不全局存在,即出现爆破波.

对于$t_{1}$,我们回忆(4.57)式,有

如果$h(0)<-C$,可以选择$t_{1} = 0$.另外,如果$h(0)>-C$和$h(t_{1}) = -e^{-\lambda t_{1}}C$,将(4.57)式从$0$到$t_{1}$积分得到

因此,我们有

则时间$t_{1}$可以被选择为

证毕.

基于定理4.2的证明,我们给出下面的结论.

定理4.3  设$(u_{0}, v_{0})\in H^{s}({{\Bbb R}} )\times H^{s-1}({{\Bbb R}} )$,且$s\geq\frac{5}{2}$.如果存在$x_{0}\in {{\Bbb R}}$有$y_{0}(x_{0}) = u_{0}(x_{0})-\alpha^{2}u_{0xx}(x_{0}) = 0$, $\rho_{0}(x_{0}) = \rho_{0}(x_{0})-\rho_{0xx}(x_{0}) = 0$和不等式(4.22).设$\lambda$满足不等式

那么具有初始数据$(u_{0}, v_{0})$的系统(2.2)的解在有限时间内爆破.

证  这个证明的前半部分类似于定理4.2.基于(4.59)式,则有

当$t\geq 0$时$h(t)<0$,从(4.66)式中可以看出

从(4.67)式,则有

通过考虑定理的假设,我们可以推导出

这表明

结合(4.68)式,可以发现与定理4.2证明中所提供的假设相矛盾的地方.因此,有初始数据$(u_{0}, v_{0})$的系统(2.2)的解在有限时间内爆破.证毕

定理4.4  令$(u_{0}, v_{0})\in H^{s}\times H^{s-1}$且$s\geq\frac{5}{2}$为初始数据.如果存在一个$x_{0}\in {{\Bbb R}}$满足

则系统(2.2)的相应解在有限时间内爆破.

证  根据定理4.2,则在$[0, T)$上有

其中$h(t) = u_{x}(t, q_{1}(t, x_{0}))$.根据该定理的假设,可以得到$\frac{{\rm d}h(t)}{{\rm d}t}|_{t = 0}< 0$.然后,根据与定理4.1的证明相似的论证,可以很容易地得到这个定理的证明.证毕.

定理4.5  令$(u_{0}, v_{0})\in H^{s}({{\Bbb R}} )\times H^{s-1}({{\Bbb R}} )$且$s\geq\frac{5}{2}$.如果存在一个$x_{0}\in {{\Bbb R}}$有

那么,初始数据$(u_{0}, v_{0})$的系统(2.2)的解只在有限时间内存在,即发生爆破波.

证  假设$(u, v)$是有初始数据$(u_{0}, v_{0})$的系统(2.2)的解.令$T$为解的最大存在时间.引入

这意味着$H$几乎在$[0, T)$上任何地方都是可微的,且有

根据$u_{xx}(t, \xi(t)) = 0$和(4.3)式,则有

通过使用(4.23),其中$H_{0}>0$可以被给出

如果$H(0)<-\lambda+\sqrt{\lambda^{2}+2H_{0}}$,则

对一些$T>0$.因此,我们可以证明这个定理是成立的.证毕

在下面的定理中,我们证明了在周期情况下可能会发生爆破波.我们使用${\Bbb S}: = {{\Bbb R}} /{\Bbb Z}$作为单位圆.我们首先引入一个引理来证明这个定理.

引理4.1  令$f(x)\in H^{2}({\Bbb S})$.因此

由于$f(x)$在${\Bbb S}$上是连续的,因此存在一个点$x_{0}\in {\Bbb S}$满足$\int_{{\Bbb S}}f(x){\rm d}x = f(x_{0})$.对于任何的$x\in{\Bbb S}$,我们有

不等式(4.80)产生引理.同样的方法则有

定理4.6  令$(u_{0}, v_{0})\in H^{s}({{\Bbb R}} )\times H^{s-1}({{\Bbb R}} )$且$s\geq\frac{5}{2}$和$2c_{0}+\frac{\beta}{\alpha^{2}} = 0$为初始数据.如果存在$x_{0}\in {\Bbb S}$,则

其中$C_{0}$, $D_{1}$和$D_{2}$被如下给出

则有初始数据$(u_{0}, v_{0})$的系统(2.2)的解在有限时间内爆破.

证  基于这个事实$\int_{{\Bbb S}}u(t, x){\rm d}x$和$\int_{{\Bbb S}}v(t, x){\rm d}x$关于时间$t$的不变量,可以得到以下$u$和$v$的估计数

通过运用引理4.1.根据文献[20]的结果,进一步得到了Sobolev不等式

按照与定理4.5相同的方法,可以得到

可以看出不等式(4.88)是一个Riccati类型的方程.根据与定理4.5相同的证明,可以看出这个定理是成立的.证毕.

注4.1  在最后两个定理的证明中,我们对$u(t, x)$和$v(t, x)$给出了不同的估计.按照文献$[9]$中提供的相同方法,我们也可以找到一些有趣的例子来揭示它们之间的区别.

在本节,我们介绍了系统(2.2)爆破波解的爆破机制.

引理5.1^[3]  假设$T>0$和$u\in C^{1}([0, T);H^{2}({{\Bbb R}} )$,那么对于所有$t\in[0, T)$,至少存在一个点$\xi(t)\in {{\Bbb R}}$,使得

函数$H(t)$在$(0, T)$上是可微的,且

定理5.1  假设$(u_{0}, v_{0})\in H^{s}({{\Bbb R}} )\times H^{s-1}({{\Bbb R}} )$且$s\geq\frac{5}{2}$是初始数据,其中$T$为系统(2.2)对应解的最大存在时间.如果$T$是有限的,则

证  根据定理2.2,有

根据引理5.1,我们可以证明至少存在一个点$\xi(t)\in{{\Bbb R}}$满足${ } u_{x}(t, \xi(t)) = \inf_{x\in {{\Bbb R}} }\{u_{x}(t, x)\}$对所有$t\in[0, T)$.引入

因此对于每一个$t\in [0, T)$有$u_{xx}(t, \xi(t)) = 0$.从(4.3)式,则有

通过运用引理2.3,进一步有

对所有$t\in[0, T)$,其中$\tilde{\gamma}_{0} = \max\{1, \gamma\}$.然后运用引理2.3,引理2.4和不等式(5.7),我们可以证明存在一个常数$L>0$满足

根据(5.6)式,则有

因此

考虑(5.4)式生成${ } \lim\limits_{t\uparrow T}\inf(H(t)+\lambda) = -\infty$.令$\epsilon\in(0, \frac{1}{2})$存在一个$t_{1}\in (0, T)$满足$H(t_{1})+\lambda<0$和

因此我们有

因为$H(t)\in W_{\mbox{loc}}^{1, \infty}$是局部Lipschitz,其中一些$\delta>0$满足

考虑(5.10)和(5.12)式,获得

由于$H(t)$是局部Lipschitz,所以它也是连续的.因此通过在$[t_{1}, t_{1}+\delta]$对不等式(5.14)积分,能够找到$H(t_{1}+\delta)\leq H(t_{1})$.因此有

通过运用不等式(5.15),进一步有

通过使用连续扩展,可以证明不等式(5.12)是新的.结合(5.10)和(5.12)式,则当$t\in[t_{1}, T)$时有

通过在$(t, T)$上对(5.17)式积分,可以发现

让$\epsilon\rightarrow 0$生成

这相当于

证毕.

注5.1  由定理4.1–4.6,可以看出,系统(1.3)强解的爆破现象受耗散参数的影响.然而,根据定理5.1,系统(1.3)强解的爆破率不受弱耗散项$\lambda(u-\alpha^{2}u_{xx})$和$\lambda\rho$的影响.