该文考虑如下形式的双调和方程

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } \Delta^2{u}-\lambda\Delta_pu = f(x, u) -\mu\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}f(y, u(y)){\rm d}y, &x\in \Omega, \\ { } \frac{\partial u}{\partial n} = \frac{\partial(\Delta u)}{\partial n} = 0, &x\in\; \partial\Omega, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ \Omega $是$ {{\Bbb R}} ^N(N\geq1) $中带有光滑边界$ \partial\Omega $的有界区域, $ |\Omega| $为$ \Omega $的测度, $ \lambda\geq0 $, $ \mu\in{{\Bbb R}} $为参数, $ f\in C(\bar{\Omega}\times{{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} ) $, $ \Delta_pu = \mbox{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u) $, $ 2<p<2^* $,这里$ 2^*: = \infty $,当$ 1\leq N\leq 2 $; $ 2^*: = \frac{2N}{N-2} $,当$ N>2 $.

近年来,四阶方程问题备受关注,已有许多结果,见文献[1-14]及其参考文献.例如,文献[7]中讨论如下带有$ p $-Laplacian项的双调和方程

(1.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \Delta^2{u}-\lambda\Delta_pu+\mu V(x)u = f(x, u), &x\in {{\Bbb R}} ^N, \\ u\in H^2({{\Bbb R}} ^N), \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ f(x, u) $满足超线性条件.利用山路引理,作者得到了方程(1.2)的非平凡解的存在性和多解性.更多双调和方程非平凡解的存在性及变号解的存在性问题,参见文献[10-14].

问题(1.1)可用于描述纳米薄膜外延生长的演化,详见文献[1, 3-6, 8].文献[6]讨论了问题(1.1)的超线性情形.利用喷泉定理,得到了无穷多变号解的存在性.

受文献[6]启发,本文将讨论问题(1.1)的次线性情形.首先作如下假设.

$ ({\rm F}_1) $  $ \lim\limits_{t\to0}\frac{f(x, t)}{t} = +\infty $当$ x\in\Omega $一致成立.

$ ({\rm F}_2) $  存在参数$ C>0 $及$ 1<\sigma<2 $使得$ f\in C(\bar{\Omega} \times{{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} ) $,

$ |f(x, t)|\leq b(x)|t|^{\sigma-1}, \; \; \forall (x, t)\in(\Omega\times{{\Bbb R}} ), $

其中$ b(x)\in L^{\frac{2}{2-\sigma}}(\Omega) $.

$ ({\rm F}_3) $  $ f(x, -t) = -f(x, t) $, $ \forall (x, t)\in(\Omega\times{{\Bbb R}} ) $.

令$ F(x, v) = \int_0^vf(x, s){\rm d}s $.本文主要结果如下.

定理 1.1   假设$ ({\rm F}_1) $及$ ({\rm F}_2) $成立.则问题(1.1)至少存在一个变号解.

定理 1.2   假设$ ({\rm F}_1) $–$ ({\rm F}_3) $成立.则问题(1.1)存在无穷多变号解$ \{v_k\} $,且满足当$ k\to\infty $时,有

$ \frac{1}{2}\int_{\Omega }(|\Delta v_k|^2){\rm d}x+\frac{\lambda}{\mu}\int_{\Omega }|\nabla v_k|^p{\rm d}x-\int_{\Omega }F(x, v_k){\rm d}x\to0^- $

及$ v_k\to0 $.

令$ L^p(\Omega), 1\leq p\leq +\infty $为Lebesgue空间,其范数为$ |\cdot|_{p}. $令$ H^2(\Omega) $为通常的Sobolev空间,范数为

$ \|v\|_{H^2} = \Big(\int_{\Omega}(|v|^2+|\nabla v|^2+|\Delta v|^2){\rm d}x\Big)^{\frac{1}{2}}. $

定义

$ E: = \Big\{v\in H^2(\Omega):\frac{\partial v}{\partial n}\mid_{\partial\Omega} = 0\; \mbox{且}\; \int_{\Omega}v{\rm d}x = 0\Big\}. $

则$ E $中的任意非零元$ u $在$ \Omega $上几乎处处变号.由文献[6]可知, $ E $是一个Hilbert空间,其內积范数为$ (v, w) = \int_{\Omega}\Delta v\cdot\Delta w{\rm d}x $.此外,范数$ \|v\|: = (v, v)^{\frac{1}{2}} = |\Delta v|_2 $等价于$ E $的范数$ \|\cdot\|_{H^2} $.

定义$ 2_*: = \infty $,若$ 1\leq N\leq4 $; $ 2_*: = \frac{2N}{N-4} $,若$ N>4 $.注意到$ E\hookrightarrow L^p(\Omega)(1< p<2_*) $与$ H^1(\Omega)\hookrightarrow L^t(\Omega)(1< q<2^*) $都是紧嵌入.类似于文献[6, Lemma 2.2],可得如下引理.

引理 2.1   假设$ v\in E $, $ 1< p< 2^* $以及$ 1< t< 2_* $.则存在正参数$ \tau_1 $和$ \tau_2 $使得对于$ v\in E $,有$ |\nabla v|_p\leq \tau_1\|v\| $与$ |v|_t\leq \tau_2\|v\| $成立.

定义 2.1   假若$ v\in E $满足

$ \begin{eqnarray*} \int_{\Omega }\Delta v\Delta w{\rm d}x+\lambda\int_{\Omega}|\nabla v|^{p-2}\nabla v\cdot\nabla w{\rm d}x-\int_{\Omega}f(x, v)w{\rm d}x = 0, \; \; \forall w\in E, \end{eqnarray*} $

则称$ v $为问题(1.1)的弱解.

考虑泛函$ I $

$ I(v) = \frac{1}{2}|\Delta v|^2_2+\frac{\lambda}{p}|\nabla v|^p_p-\int_{\Omega }F(x, v){\rm d}x. $

众所周知, $ I $是$ C^1 $泛函,且

$ \begin{eqnarray*} \langle I'(v), w\rangle = \int_{\Omega }\Delta v\Delta w{\rm d}x+\lambda\int_{\Omega}|\nabla v|^{p-2}\nabla v\cdot\nabla w{\rm d}x-\int_{\Omega}f(x, v)w{\rm d}x, \; v, w\in E. \end{eqnarray*} $

泛函$ I $的临界点即为问题(1.1)的解.

下述引理参见文献[9].

引理 2.2   假设$ E $为实Banach空间, $ I\in C^1(E, {{\Bbb R}} ) $满足Palais-Smale条件$ {\rm(PS)} $.若$ I $下方有界,则$ c = \inf_EI $为$ I $的临界值.

记$ \Gamma_k $为$ E $中的闭对称子集族$ A $且满足$ 0 \notin A $及$ \gamma(A)\geq k $.下述临界点定理参见文献[2].

引理 2.3   假设$ E $为无穷维Banach空间, $ I\in C^1(E, {\Bbb R}) $满足

$ ({\rm A}_1) $  $ I(v) $为偶,下方有界, $ I(0) = 0 $且$ I(v) $满足$ {\rm(PS)} $条件;

$ ({\rm A}_2) $  对每个$ k \in{\Bbb N} $,存在$ A_k\in \Gamma_k $使得$ { }\sup_{v\in A_k} I(v) < 0 $.

则存在$ I(v) $的临界点列$ {v_k} $满足$ I(v_k)\leq0, v_k\neq0 $且$ { }\lim_{k\to\infty} v_k = 0 $.

引理 3.1    $ I $下方有界且满足(PS)条件.

证   由条件$ ({\rm F}_2) $可得

(3.1) $ \begin{equation} |F(x, v)|\leq \frac{b(x)}{\sigma}|v|^{\sigma}, \; \; \forall(x, v)\in(\Omega , {{\Bbb R}} ). \end{equation} $

对任意给定的$ v\in E $.由(3.1)式和Hölder不等式,有

(3.2) $ \begin{eqnarray} I(v)& = & \frac{1}{2}\|v\|^2+\frac{\lambda}{p}|\nabla v|^p_p- \int_{\Omega }F(x, v){\rm d}x\\ &\geq&\frac{1}{2}\|v\|^2+\frac{\lambda}{p}|\nabla v|^p_p- \int_{\Omega}\frac{b(x)}{\sigma}|v|^{\sigma}{\rm d}x\\ &\geq&\frac{1}{2}\|v\|^2- \frac{1}{\sigma}|b(x)|_{\frac{2}{2-\sigma}}|v|_2^{\sigma}\\ &\geq&\frac{1}{2}\|v\|^2-\frac{\tau_2^{\sigma}}{\sigma}|b(x)|_{\frac{2}{2-\sigma}}\|v\|^{\sigma}. \end{eqnarray} $

因为$ \sigma\in(1, 2) $,由(3.2)式可知$ I $下方有界.

下面证明$ I $满足(PS)条件.设$ \{v_n\}\subset E $为$ I $的(PS)序列,即, $ \{I(v_n)\} $有界且$ I'(v_n)\to0 $于$ E^* $.由(3.2)式知, $ \{v_n\} $在$ E $有界.因此,存在$ \{v_n\} $的子列(仍记为$ \{v_n\} $)满足$ v_n\rightharpoonup v $于$ E $, $ v_n\to v $于$ L^t(\Omega), 1< t<2_* $及$ v_n\to v $ a.e.于$ \Omega $.由$ ({\rm F}_2) $和Hölder不等式,有

$ \begin{eqnarray*} \label{} &&\int_{\Omega }\Big(f(x, v_n)-f(x, v)\Big)(v_n-v){\rm d}x\nonumber\\ &\leq&\int_{\Omega}\Big(|b(x)||v_n|^{\sigma-1}+|b(x)||v|^{\sigma-1}\Big)|v_n-v|{\rm d}x\nonumber\\ &\leq&\Big(|b(x)|_{\frac{2}{2-\sigma}}|v_n|_2^{\sigma-1}+|b(x)|_{\frac{2}{2-\sigma}}|v|_2^{\sigma-1}\Big)|v_n-v|_2\nonumber\\ & = &o(1). \end{eqnarray*} $

因此

$ \begin{eqnarray*} &&\lambda\int_{\Omega }\Big(|\nabla v_n|^{p-2}\nabla v_n-|\nabla v|^{p-2}\nabla v\Big)\nabla(v_n-v){\rm d}x\nonumber\\ & = &\langle I'(v_n)-I'(v), v_n-v\rangle+\int_{\Omega }\Big(f(x, v_n)-f(x, v)\Big)(v_n-v){\rm d}x\nonumber\\ & = &o(1). \end{eqnarray*} $

从而有

$ \begin{eqnarray*} \|v_n-v\|^2 & = &\int_{\Omega }\Delta v_n\Delta(v_n-v)-\Delta v\Delta(v_n-v){\rm d}x\\ & = &\langle I'(v_n)-I'(v), v_n-v\rangle-\lambda\int_{\Omega }\Big(|\nabla v_n|^{p-2}\nabla v_n-|\nabla v|^{p-2}\nabla v\Big)\nabla(v_n-v){\rm d}x\nonumber\\ &&+ \int_{\Omega }\Big(f(x, v_n)-f(x, v)\Big)(v_n-v){\rm d}x\\ & = &o(1). \end{eqnarray*} $

所以$ v_n\to v $于$ E $.

引理 3.2   对任意$ n\in{\Bbb N} $,存在闭对称子集$ A_n\subset E $使得$ \gamma(A_n)\geq n $及$ { }\sup_{v\in A_n}I_h(v)<0 $成立.

证   设$ E_n $为$ E $的任意$ n $维子空间.由于有限维空间中范数等价,存在参数$ \alpha = \alpha(E_n) $使得对$ \forall v\in E_n $,有

$ \begin{eqnarray*} \|v\|\leq\alpha|v|_{2}. \end{eqnarray*} $

下面证明:存在常数$ \kappa>0 $使得对$ \forall v\in E_n $, $ \|v\|\leq \kappa $,成立不等式

(3.3) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\int_{\Omega }|v|^2{\rm d}x\geq\int_{|v|>l}|v|^2{\rm d}x. \end{equation} $

事实上,若(3.3)式不成立,则存在$ \{v_k\}\subset E_n\setminus\{0\} $满足$ v_k\to0 $于$ E $且

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{\Omega }|v_k|^2{\rm d}x<\int_{|v_k|>l}|v_k|^2{\rm d}x, \; \; k\in{\Bbb N}. \end{eqnarray*} $

令$ u_k = \frac{v_k}{|v_k|_{2}} $.则有

(3.4) $ \begin{equation} \frac{1}{2}<\int_{|v_k|>l}|u_k|^2{\rm d}x, \; \; k\in{\Bbb N}. \end{equation} $

另一方面,由于$ E_n $是有限维的,可假设$ u_k\to u $于$ E $.因此$ u_k\to u $于$ L^2(\Omega ) $.此外,由$ v_k\to 0 $于$ E $,可得

$ \begin{eqnarray*} {\rm meas}\{x\in\Omega :|v_k|>l\}\to0, \; \; k\to\infty. \end{eqnarray*} $

因此

$ \begin{eqnarray*} \int_{|v_k|>l}|u_k|^2{\rm d}x\leq2\int_{\Omega }|u_k-u|^2{\rm d}x+2\int_{|v_k|>l}|u|^2{\rm d}x\to0, \; \; k\to\infty, \end{eqnarray*} $

这与(3.4)式矛盾.从而(3.3)式成立.

由$ ({\rm F}_1) $,取$ l $足够小,使得对于$ \forall x\in\Omega $, $ 0\leq v\leq l $,有

$ \begin{eqnarray*} f(x, v)\geq8\Big(\frac{1}{2}+\frac{\lambda}{p}\tau^p_1\Big)\alpha^2v \end{eqnarray*} $

成立.因此

(3.5) $ \begin{equation} F(x, v)\geq 4\Big(\frac{1}{2}+\frac{\lambda}{p}\tau^p_1\Big)\alpha^2v^2, \; \; \forall(x, v)\in\Omega \times[0, l]. \end{equation} $

由$ ({\rm F}_3) $知$ F(x, v) $是关于$ v $的偶函数.所以由(3.5)式,有对$ \forall v\in E_n $且$ \|v\|\leq \min\{\kappa, 1\} $,有

$ \begin{eqnarray*} I(v)& = &\frac{1}{2}\|v\|^2+\frac{\lambda}{p}|\nabla v|_p^p-\int_{\Omega }F(x, v){\rm d}x\\ &\leq&\frac{1}{2}\|v\|^2+\frac{\lambda}{p}|\nabla v|_p^p-\int_{|v|\leq l}F(x, v){\rm d}x\\ &\leq&\frac{1}{2}\|v\|^2+\frac{\lambda}{p}\tau_1^p\|v\|^p -4\Big(\frac{1}{2}+\frac{\lambda}{p}\tau^p_1\Big)\alpha^2\int_{|v|\leq l}|v|^2{\rm d}x\\ &\leq&\Big(\frac{1}{2}+\frac{\lambda}{p}\tau_1^p\Big)\|v\|^2 -4\Big(\frac{1}{2}+\frac{\lambda}{p}\tau^p_1\Big)\alpha^2\Big(\int_{\Omega }|v|^2{\rm d}x-\int_{|v|> l}|v|^2{\rm d}x\Big)\\ &\leq&-\Big(\frac{1}{2}+\frac{\lambda}{p}\tau_1^p\Big)\|v\|^2. \end{eqnarray*} $

令$ 0<\rho\leq \min\{\kappa, 1\} $及$ A_n = \{v\in E_n: \|v\| = \rho\} $.则有$ \gamma(A_n)\geq n $以及

(3.6) $ \begin{equation} \sup\limits_{v\in A_n}I(v)\leq -\Big(\frac{1}{2}+\frac{\lambda}{p}\tau_1^p\Big)\rho^2<0. \end{equation} $

证毕.

定理 1.1 的证明   由引理2.1和引理3.1,可知$ I $有一个临界点$ v_0 $,其临界值为$ c = \inf_EI $.由(3.6)式知存在$ u_0 $使得$ I(u_0)<0 $.因此, $ v_0 $为$ I $的非平凡临界点,即为方程(1.1)的非平凡解.由于$ E $中的任意非零元$ v $在$ \Omega $上几乎处处变号,则$ v_0 $为方程(1.1)的变号解.

定理 1.2 的证明  由$ ({\rm F}_1) $与$ ({\rm F}_3) $,可知$ I $为偶且有$ I(0) = 0 $.因此由引理2.3,引理3.1以及引理3.2可得, $ I $有临界点列$ \{v_n\} $收敛于$ 0 $.因此得到了方程(1.1)无穷多解.