该文考虑如下形式的双调和方程

其中$\Omega$是${{\Bbb R}} ^N(N\geq1)$中带有光滑边界$\partial\Omega$的有界区域, $|\Omega|$为$\Omega$的测度, $\lambda\geq0$, $\mu\in{{\Bbb R}}$为参数, $f\in C(\bar{\Omega}\times{{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} )$, $\Delta_pu = \mbox{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$, $2<p<2^*$,这里$2^*: = \infty$,当$1\leq N\leq 2$; $2^*: = \frac{2N}{N-2}$,当$N>2$.

近年来,四阶方程问题备受关注,已有许多结果,见文献[1-14]及其参考文献.例如,文献[7]中讨论如下带有$p$-Laplacian项的双调和方程

其中$f(x, u)$满足超线性条件.利用山路引理,作者得到了方程(1.2)的非平凡解的存在性和多解性.更多双调和方程非平凡解的存在性及变号解的存在性问题,参见文献[10-14].

问题(1.1)可用于描述纳米薄膜外延生长的演化,详见文献[1, 3-6, 8].文献[6]讨论了问题(1.1)的超线性情形.利用喷泉定理,得到了无穷多变号解的存在性.

受文献[6]启发,本文将讨论问题(1.1)的次线性情形.首先作如下假设.

$({\rm F}_1)$  $\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x, t)}{t} = +\infty$当$x\in\Omega$一致成立.

$({\rm F}_2)$  存在参数$C>0$及$1<\sigma<2$使得$f\in C(\bar{\Omega} \times{{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} )$,

其中$b(x)\in L^{\frac{2}{2-\sigma}}(\Omega)$.

$({\rm F}_3)$  $f(x, -t) = -f(x, t)$, $\forall (x, t)\in(\Omega\times{{\Bbb R}} )$.

令$F(x, v) = \int_0^vf(x, s){\rm d}s$.本文主要结果如下.

定理 1.1   假设$({\rm F}_1)$及$({\rm F}_2)$成立.则问题(1.1)至少存在一个变号解.

定理 1.2   假设$({\rm F}_1)$–$({\rm F}_3)$成立.则问题(1.1)存在无穷多变号解$\{v_k\}$,且满足当$k\to\infty$时,有

及$v_k\to0$.

令$L^p(\Omega), 1\leq p\leq +\infty$为Lebesgue空间,其范数为$|\cdot|_{p}.$令$H^2(\Omega)$为通常的Sobolev空间,范数为

定义

则$E$中的任意非零元$u$在$\Omega$上几乎处处变号.由文献[6]可知, $E$是一个Hilbert空间,其內积范数为$(v, w) = \int_{\Omega}\Delta v\cdot\Delta w{\rm d}x$.此外,范数$\|v\|: = (v, v)^{\frac{1}{2}} = |\Delta v|_2$等价于$E$的范数$\|\cdot\|_{H^2}$.

定义$2_*: = \infty$,若$1\leq N\leq4$; $2_*: = \frac{2N}{N-4}$,若$N>4$.注意到$E\hookrightarrow L^p(\Omega)(1< p<2_*)$与$H^1(\Omega)\hookrightarrow L^t(\Omega)(1< q<2^*)$都是紧嵌入.类似于文献[6, Lemma 2.2],可得如下引理.

引理 2.1   假设$v\in E$, $1< p< 2^*$以及$1< t< 2_*$.则存在正参数$\tau_1$和$\tau_2$使得对于$v\in E$,有$|\nabla v|_p\leq \tau_1\|v\|$与$|v|_t\leq \tau_2\|v\|$成立.

定义 2.1   假若$v\in E$满足

则称$v$为问题(1.1)的弱解.

考虑泛函$I$

众所周知, $I$是$C^1$泛函,且

泛函$I$的临界点即为问题(1.1)的解.

下述引理参见文献[9].

引理 2.2   假设$E$为实Banach空间, $I\in C^1(E, {{\Bbb R}} )$满足Palais-Smale条件${\rm(PS)}$.若$I$下方有界,则$c = \inf_EI$为$I$的临界值.

记$\Gamma_k$为$E$中的闭对称子集族$A$且满足$0 \notin A$及$\gamma(A)\geq k$.下述临界点定理参见文献[2].

引理 2.3   假设$E$为无穷维Banach空间, $I\in C^1(E, {\Bbb R})$满足

$({\rm A}_1)$  $I(v)$为偶,下方有界, $I(0) = 0$且$I(v)$满足${\rm(PS)}$条件;

$({\rm A}_2)$  对每个$k \in{\Bbb N}$,存在$A_k\in \Gamma_k$使得${ }\sup_{v\in A_k} I(v) < 0$.

则存在$I(v)$的临界点列${v_k}$满足$I(v_k)\leq0, v_k\neq0$且${ }\lim_{k\to\infty} v_k = 0$.

引理 3.1    $I$下方有界且满足(PS)条件.

证   由条件$({\rm F}_2)$可得

对任意给定的$v\in E$.由(3.1)式和Hölder不等式,有

因为$\sigma\in(1, 2)$,由(3.2)式可知$I$下方有界.

下面证明$I$满足(PS)条件.设$\{v_n\}\subset E$为$I$的(PS)序列,即, $\{I(v_n)\}$有界且$I'(v_n)\to0$于$E^*$.由(3.2)式知, $\{v_n\}$在$E$有界.因此,存在$\{v_n\}$的子列(仍记为$\{v_n\}$)满足$v_n\rightharpoonup v$于$E$, $v_n\to v$于$L^t(\Omega), 1< t<2_*$及$v_n\to v$ a.e.于$\Omega$.由$({\rm F}_2)$和Hölder不等式,有

因此

从而有

所以$v_n\to v$于$E$.

引理 3.2   对任意$n\in{\Bbb N}$,存在闭对称子集$A_n\subset E$使得$\gamma(A_n)\geq n$及${ }\sup_{v\in A_n}I_h(v)<0$成立.

证   设$E_n$为$E$的任意$n$维子空间.由于有限维空间中范数等价,存在参数$\alpha = \alpha(E_n)$使得对$\forall v\in E_n$,有

下面证明:存在常数$\kappa>0$使得对$\forall v\in E_n$, $\|v\|\leq \kappa$,成立不等式

事实上,若(3.3)式不成立,则存在$\{v_k\}\subset E_n\setminus\{0\}$满足$v_k\to0$于$E$且

令$u_k = \frac{v_k}{|v_k|_{2}}$.则有

另一方面,由于$E_n$是有限维的,可假设$u_k\to u$于$E$.因此$u_k\to u$于$L^2(\Omega )$.此外,由$v_k\to 0$于$E$,可得

因此

这与(3.4)式矛盾.从而(3.3)式成立.

由$({\rm F}_1)$,取$l$足够小,使得对于$\forall x\in\Omega$, $0\leq v\leq l$,有

成立.因此

由$({\rm F}_3)$知$F(x, v)$是关于$v$的偶函数.所以由(3.5)式,有对$\forall v\in E_n$且$\|v\|\leq \min\{\kappa, 1\}$,有

令$0<\rho\leq \min\{\kappa, 1\}$及$A_n = \{v\in E_n: \|v\| = \rho\}$.则有$\gamma(A_n)\geq n$以及

证毕.

定理 1.1 的证明   由引理2.1和引理3.1,可知$I$有一个临界点$v_0$,其临界值为$c = \inf_EI$.由(3.6)式知存在$u_0$使得$I(u_0)<0$.因此, $v_0$为$I$的非平凡临界点,即为方程(1.1)的非平凡解.由于$E$中的任意非零元$v$在$\Omega$上几乎处处变号,则$v_0$为方程(1.1)的变号解.

定理 1.2 的证明  由$({\rm F}_1)$与$({\rm F}_3)$,可知$I$为偶且有$I(0) = 0$.因此由引理2.3,引理3.1以及引理3.2可得, $I$有临界点列$\{v_n\}$收敛于$0$.因此得到了方程(1.1)无穷多解.