设$ B $是$ n $维复Euclidean空间$ {{\bf C}}^{n} $中的单位球, $ H(B) $表示$ B $上所有全纯函数类.我们记$ {\rm d}v $为$ B $上正规化的体测度以及$ {\rm d}\sigma $为$ B $的边界上正规化的面测度.对$ \alpha>-1 $,定义$ {\rm d}v_{\alpha}(z) = A_{\alpha}(1-|z|^{2})^{\alpha}\ {\rm d}v(z) $,其中$ A_{\alpha} $是一个使得$ v_{\alpha}(B) = 1 $的规范化常数.

若$ f\in H(B) $,复梯度$ \nabla f $和径向导数$ Rf $分别定义为

$ \nabla f(z) = \left(\frac{\partial f}{\partial z_{1}}(z), \cdots, \frac{\partial f}{\partial z_{n}}(z)\right) \ \mbox{和} \ R f(z) = \langle \nabla f(z), \overline{z}\rangle = \sum\limits_{j = 1}^{n}z_{j}\frac{\partial f}{\partial z_{j}}(z). $

定义 1.1   设$ p>0 $和$ \alpha>-1 $,加权Bergman空间$ A_{\alpha}^{p}(B) $是由$ L^{p}_{\alpha}(B) $中的所有全纯函数$ f $构成,其中

$ L^{p}_{\alpha}(B) = \left\{f: \| f\| _{p, \alpha} = \left(\int_{B}|f(z)|^{p}\ {\rm d}v_{\alpha}(z)\right)^{\frac{1}{p}}<\infty \right\}. $

对$ a\in B $,若$ a = 0 $,设$ \varphi_{0}(z) = -z $ \ ($ z\in B $),若$ a\neq 0 $,设

$ \varphi_{a}(z) = \frac{ {a-\frac{\langle z, a\rangle}{|a|^{2}}a-\sqrt{1-|a|^{2}}\left(z-\frac{\langle z, a\rangle}{|a|^{2}}a\right)}}{1-\langle z, a\rangle} \ \ (z\in B). $

定义 1.2   设$ p>0 $、$ s\geq 0 $、$ q+n>-1 $、$ q+s>-1 $.一般函数空间$ F(p, q, s) $是由$ H(B) $中满足如下条件的所有函数$ f $构成

$ J^{p} = \sup\limits_{a\in B}\int_{B}|R f(z)|^{p}\ (1-|z|^{2})^{q}(1-|\varphi_{a}(z)|^{2})^{s}\ {\rm d}v(z)<\infty. $

我们记

$ \| f\| _{F(p, q, s)} = |f(0)|+J. $

当$ p\geq 1 $时,在范数$ \| \ \| _{F(p, q, s)} $下, $ F(p, q, s) $构成一个Banach空间.如果$ 0<p<1 $,则$ F(p, q, s) $在度量$ \rho(f, g) = \| f-g\| ^{p}_{F(p, q, s)} $下构成一个完备的度量空间.单位圆盘上的$ F(p, q, s) $空间是由赵如汉教授首先在文献[1]中引进,很快大量数学研究者就各种维数单位球上的该空间进行了研究,并且与$ F(p, q, s) $相关的函数空间得到了广泛地研究,例如文献[2-27]等.$ F(p, q, s) $含有一些经典的函数空间,例如, Bergman空间、加权Bergman空间、Besov空间、Dirichlet型空间、$ H^{2} $空间、BMOA空间、Bloch型空间、Lipshitz型空间、$ Q_{s} $空间等(参见文献[23]).当$ 0<s<n $时,该空间又是一个不同于上述任何函数空间的新函数空间.

区间$ [0, 1) $上正的连续函数$ \mu $被称为是正规函数是指：如果存在常数$ 0<a_{1}\leq b_{1} $和$ 0\leq r_{0}<1 $使得

(1)   $ {\frac{\mu(r)}{(1-r)^{a_{1}}}} $在$ [r_{0}, 1) $上递减;

(2)   $ {\frac{\mu(r)}{(1-r)^{b_{1}}}} $在$ [r_{0}, 1) $上递增.

例如, $\mu (r) = {(1 - r)^\alpha }{\left( {\log \frac{e}{{1 - r}}} \right)^\beta }{\left( {\log \log \frac{{{e^2}}}{{1 - r}}} \right)^\gamma }\;(\alpha > 0,\;\beta $和$\gamma为实数)$,

$ \mu_{1}(r) = \left\{ \begin{array}{ll} {\left(\frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}\right)^{b_{1}-a_{1}}(1-r)^{a_{1}}}, & {1-\frac{1}{n}\leq r<1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)}, \\ {\left(\frac{(2n)!!(n+1)}{(2n+1)!!}\right)^{b_{1}-a_{1}}(1-r)^{b_{1}}}, & {1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)\leq r<1-\frac{1}{n+1}}, \end{array}\right. $

$ (n = 1, 2, \cdots \ b_{1}>a_{1}>0) $,均是这种正规函数.

众所周知,对于$ a\in B $和$ z\in B $,我们有等式

$1-|\varphi_{a}(z)|^{2} = \frac{(1-|a|^{2})(1-|z|^{2})}{|1-\langle z, a\rangle|^{2}}. $

因此, $ F(p, q, s) $空间很自然可以推广到如下形式的正规权一般函数空间$ F(p, \mu, s). $

定义 1.3   设$ \mu $是$ [0, 1) $上的正规函数, $ p>0 $和$ 0\leq s<n+a_{1} $ (其中$ a_{1} $是$ \mu $定义中的那个参数).若$ f\in H(B) $使得

$ \| f\| ^{p}_{F(p, \mu, s)} = \sup\limits_{a\in B}\int_{B} \frac{\mu(|z|)|R f(z)|^{p}(1-|a|^{2})^{s}}{(1-|z|^{2})|1-\langle z, a\rangle|^{2s}}\ {\rm d}v(z)<\infty, $

我们称$ f $属于正规权一般函数空间$ F(p, \mu, s). $特别的,当$ \mu(r) = (1-r^{2})^{q+s+1} $时,空间$ F(p, \mu, s) $就是空间$ F(p, q, s). $

定义 1.4  设$ \mu $是$ [0, 1) $上的正规函数, $ p>0 $和$ 0\leq s<n+a_{1} $ (其中$ a_{1} $是$ \mu $定义中的那个参数).若$ f $在$ B $上Lebesgue可测且满足

$ \| f\| ^{p}_{L(p, \mu, s)} = \sup\limits_{a\in B}\int_{B} \frac{\mu(|z|)|f(z)|^{p}(1-|a|^{2})^{s}}{(1-|z|^{2})|1-\langle z, a\rangle|^{2s}}\ {\rm d}v(z)<\infty, $

我们称$ f\in L(p, \mu, s) $.特别的,记空间

$ A(p, \mu, s) = L(p, \mu, s)\cap H(B). $

本文中,我们主要考虑情形

$ \mu(r) = (1-r^{2})^{q+s+1}\log^{k}\frac{e}{1-r^{2}}, $

其中$ q+s>-1 $且$ k $为实数.

在这种情况下,我们把空间$ F(p, \mu, s) $和$ A(p, \mu, s) $分别记为$ F(p, q, s, k) $和$ A(p, q, s, k). $

本文中,我们主要考虑如下Bergman型算子

$ T_{a, b}f(z) = (1-|z|^{2})^{a}\int_{B}\frac{(1-|w|^{2})^{b} \ f(w)}{( 1-\langle z, w\rangle)^{n+1+a+b}}\ {\rm d}v(w), $

这里$ a $和$ b $是实数, $ f $在$ B $上Lebesgue可测.

在文献[27]中, Forelli和Rudin首先引进如下投影算子

$ P_{\alpha}f(z) = \int_{B}\frac{ f(w)}{( 1-\langle z, w\rangle)^{n+1+\alpha}}\ {\rm d}v_{\alpha}(w) \ \ (\alpha>-1). $

众所周知,当$ p>1 $时,算子$ P_{\alpha} $在Bergman空间$ A^{p}(B) $上总是有界的,但当$ \alpha\neq 0 $时,它不是Hilbert空间$ L^{2}(B) $到$ A^{2}(B) $的正交投影.为了解决这个问题, Kolaski在文献[28]中考虑了从$ L^{2}(B, {\rm d}v_{\beta}) $到$ A^{2}_{\beta}(B) $\ $ (\beta>-1) $的投影算子,他证明了$ P_{\alpha} $总是$ L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha}) $到$ L^{2}_{\alpha}(B) $的有界算子,进一步他给出了$ P_{\alpha} $是$ L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha}) $到$ L^{2}_{\alpha}(B) $正交投影的充要条件为$ \alpha = \beta $.在1991年,朱克和教授在文献[29]中研究了更一般的Bergman型算子$ T_{a, b} $.至于为何要研究这类算子,至少有两方面的理由,一是Bergman型算子的共轭算子仍是这种形式,二是利用该算子可以刻画形如$ (1-|z|^{2})^{|m|}D^{m}f $ \ (其中$ m $是多重指标)这类函数.鉴于算子$ T_{a, b} $应用的广泛性,因此有很多数学研究者对其在相应函数空间之间的有界性条件做了系统性讨论.比如,朱克和教授在文献[30]中就$ p\geq 1 $情形给出了$ T_{a, b} $在$ L^{p}_{\alpha}(B) $上有界的充要条件;任广斌教授在文献[31]以及刘永民教授在文献[32]中就$ 1\leq p\leq\infty $且$ 1\leq q\leq\infty $情形分别在混合模空间$ L_{p, q}(\varphi) $上讨论了同样的问题；黎深莲等在文献[15]中讨论过$ T_{a, b} $从$ A(p, q, s) $到$ L(p, q, s) $的有界性.在文献[30]中,朱克和教授给出了当$ p\geq 1 $时$ T_{a, b} $在$ L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta}) $上有界的充要条件为$ -pa<\beta+1<p(b+1) $.既然空间$ L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta}) $是$ L(p, q, s, k) $的特殊情形($ q = \beta, s = k = 0 $),那么我们自然就问:在空间$ L(p, q, s, k) $上有这么完美的结果吗?要解决这个问题,需要对空间$ L(p, q, s, k) $做一系列前期工作,比如等价刻画、对偶空间、$ T_{a, b} $的共轭算子等,这都是有相当难度的工作.本文中,我们只对$ T_{a, b} $做点初步探讨,就所有$ p>0 $和实数$ k $给出$ A(p, q, s, k) $到$ L(p, q, s, k) $算子$ T_{a, b} $有界的一个充分条件,进一步在$ F(p, q, s, k) $上考虑算子$ P_{\alpha} $和$ Q_{\alpha} $有界的充分条件,其中$ \alpha>-1 $且

$ Q_{\alpha}f(z) = \int_{B}\frac{(1-|w|^{2})^{\alpha}\ Rf(w)}{(1-\langle z, w\rangle)^{n+\alpha}}\ {\rm d}v(w) \ \ (z\in B, \ f\in H(B)). $

本文中$ E \simeq F $表示两个量$ E $和$ F $等价,即存在正的常数$ C_{1} $与$ C_{2} $满足$ C_{1}E \leq F \leq C_{2}E $.符号$ A\lesssim B $表示存在正的常数$ C $使得$ A \leq CB $.我们利用字母$ c $表示正的常数,在不同位置可以代表不同的数.

为了讨论文中主要结果,首先需要引进或者证明几个引理.

引理 2.1   设$ c $为实数且$ \delta>-1 $.则积分

$ I(z) = \int_{ B}\frac{(1-|w|^{2})^{\delta}}{|1-\langle z, w\rangle|^{n+1+\delta+c}}\ {\rm d}v(w) \ \ (z\in B) $

有下列估计

(1)   若$ c<0 $,则$ I(z)\simeq 1 $.

(2)   若$ c = 0 $,则$ {I(z)\simeq \log\frac{e}{1-|z|^{2}}} $.

(3)   若$ c>0 $,则$ {I(z)\simeq \frac{1}{(1-|z|^{2})^{c}}} $.

这个结果来自文献[33,命题1.4.10].

上述积分估计是球内单变点情形,毋庸置疑有着广泛地应用.至于球内双变点情形,最近在文献[15-17]中有系统讨论.为了对所有实数$ k $讨论从空间$ A(p, q, s, k) $到$ L(p, q, s, k) $之间Bergman型算子的有界性,我们需要下列引理.

引理2.2   设$ r\geq 0 $、$ t\geq 0 $、$ \delta>-1 $, $ k $为实数.记

$ J_{w, a} = \int_{ B}\frac{(1-|z|^{2})^{\delta}}{|1-\langle z, w\rangle|^{ t}\ |1-\langle z, a\rangle|^{ r}}\log^{k}\frac{e}{1-|z|^{2}}\ {\rm d}v(z) \ \ (w, a\in B). $

则下列结果成立

(1)   若$ t-\delta>n+1>r-\delta $,则

$ {J_{w, a}\simeq \frac{1}{(1-|w|^{2})^{ t-\delta-n-1}\ |1-\langle w, a\rangle|^{ r}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}}. $

(2)   若$ t-\delta>n+1 $且$ r-\delta>n+1 $,则

$ \begin{eqnarray*} J_{w, a}& \simeq &\frac{1}{(1-|w|^{2})^{t- \delta-n-1}|1-\langle w, a\rangle|^{ r}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\\ &&+ \frac{1}{(1-|a|^{2})^{r-\delta-n-1} |1-\langle w, a\rangle|^{ t}}\log^{k}\frac{e}{1-|a|^{2}}. \end{eqnarray*} $

(3)   若$ t-\delta>n+1 = r-\delta $且$ k>-1 $,则

$ \begin{eqnarray*} J_{w, a}&\simeq &\frac{1}{(1-|w|^{2})^{t-\delta-n-1}|1-\langle w, a\rangle|^{\delta+n+1}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\\ && + \frac{1}{|1-\langle w, a\rangle|^{t}}\log^{k}\frac{e}{1-|a|^{2}}\log\frac{e}{|1-\langle a, \varphi_{a}(w)\rangle|}. \end{eqnarray*} $

(4)   若$ t-\delta>n+1 = r-\delta $且$ k = -1 $,则

$ \begin{eqnarray*} J_{w, a}&\lesssim &\frac{1}{(1-|w|^{2})^{t-\delta-n-1}|1-\langle w, a\rangle|^{\delta+n+1}}\log^{-1}\frac{e}{1-|w|^{2}}\\ && + \frac{1}{|1-\langle w, a\rangle|^{t}}\log\frac{e}{|1-\langle a, \varphi_{a}(w)\rangle|}\log^{-1}\frac{e}{1-|a|^{2}}\log\log\frac{e^{2}}{|1-\langle a, \varphi_{a}(w)\rangle|}. \end{eqnarray*} $

(5)   若$ t-\delta>n+1 = r-\delta $且$ k<-1 $,则

$ \begin{eqnarray*} J_{w, a}&\simeq &\frac{1}{(1-|w|^{2})^{t-\delta-n-1}|1-\langle w, a\rangle|^{\delta+n+1}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}} \\ &&+ \frac{1}{|1-\langle w, a\rangle|^{t}}\log^{k+1}\frac{e}{|1-\langle w, a\rangle|}\log^{-1}\frac{e}{1-|a|^{2}}\log\frac{e}{|1-\langle a, \varphi_{a}(w)\rangle|}. \end{eqnarray*} $

证   当$ k\geq 0 $时,结果来自文献[16].当$ k<0 $时,其证明类似文献[16]中定理3.1的处理,但证明难度会大很多,处理需要更精细, 17种完整双向估计的结果和证明可参考学位论文[34],这里我们省略详细证明.

引理 2.3   设$ p>0 $、$ s\geq 0 $、$ q+s>-1 $、$ q+n>-1 $, $ k $为实数.

(1)   若$ f\in F(p, q, s, k) $,则存在与$ f $无关的常数$ c>0 $使得

$ \sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{\frac{q+n+1}{p}}\left(\log\frac{e}{1-|z|^{2}}\right)^{\frac{k}{p}}|R f(z)|\leq c\| f\| _{F(p, q, s, k)}. $

(2)   若$ f\in A(p, q, s, k) $,则存在与$ f $无关的常数$ c>0 $使得

$ \sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{\frac{q+n+1}{p}}\left(\log\frac{e}{1-|z|^{2}}\right)^{\frac{k}{p}}|f(z)|\leq c\| f\| _{L(p, q, s, k)}. $

证    (1) 对$ z\in B $和$ r>0 $,设$ D(z, r) $表示以$ z $为中心、$ r $为半径的Bergman球.根据文献[30]中引理2.24和引理2.20可得

$ \begin{eqnarray*} |R f(z)|^{p}&\leq&\frac{c}{(1-|z|^{2})^{n+1}}\int_{D(z, 1)}|R f(w)|^{p}\ {\rm d}v(w)\\ &\leq& \frac{c}{(1-|z|^{2})^{q+n+1}}\left\{\log\frac{e}{1-|z|^{2}}\right\}^{-k}\left(\frac{1+\tanh 1}{1-\tanh 1}\right)^{|q|+2s}\left(1+\log\frac{1+\tanh 1}{1-\tanh 1}\right)^{|k|}\\ &\;&\times \int_{D(z, 1)}|R f(w)|^{p}(1-|w|^{2})^{q}(1-|\varphi_{z}(w)|^{2})^{s}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\ {\rm d}v(w)\\ &\leq& \frac{c_{1}}{(1-|z|^{2})^{q+n+1}}\left\{\log\frac{e}{1-|z|^{2}}\right\}^{-k}\| f\| ^{p}_{F(p, q, s, k)}. \end{eqnarray*} $

(2)   类似(1)的证明.

定理 3.1   设$ p>0 $、$ s> 0 $、$ q+s>-1 $、$ q+n>-1 $、$ b>-1 $, $ a $和$ k $为实数.记

$ T_{a, b}f(z) = (1-|z|^{2})^{a}\int_{B}\frac{(1-|w|^{2})^{b} \ f(w)}{( 1-\langle z, w\rangle)^{n+1+a+b}}\ {\rm d}v(w) \ \ (f\in H(B), \ z\in B). $

若参数分别满足如下条件,则$ T_{a, b} $为$ A(p, q, s, k) $到$ L(p, q, s, k) $的有界算子.

(1)   当$ p>1 $时, $ pa+q+1+\min\{s, n\}>0 $且$ b>q+(p-1)a+\max\{s, n\} $.

(2)   当$ 0<p\leq 1 $时, $ pa+q+1+\min\{s, n\}>0 $且

$ b>\frac{1}{p}\max\{s, n\}+\frac{q+n+1}{p}-n-1. $

证   若$ f\in A(p, q, s, k) $,则由引理2.3可得

(3.1) $ \begin{equation} (1-|w|^{2})^{q+n+1}\left(\log\frac{e}{1-|w|^{2}}\right)^{k}|f(w)|^{p}\leq c\| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p} \ \ \mbox{对所有$w\in B$成立}. \end{equation} $

若$ p>1 $,则条件$ b>s+q+(p-1)a $和$ pa+q+s+1>0 $表明我们可选取

(3.2) $ \begin{equation} 0<\delta<\frac{b+a+1}{p'} = \frac{(b+a+1)(p-1)}{p}. \end{equation} $

通过(3.2)式、Hölder不等式以及引理2.1可得

(3.3) $ \begin{eqnarray} |T_{a, b}f(z)|^{p}&\lesssim&(1-|z|^{2})^{pa}\left\{\int_{B}\frac{{\rm d}v_{a+b-p'\delta}(w)}{|1-\langle z, w\rangle|^{n+1+a+b}}\right\}^{\frac{p}{p'}}\int_{B}\frac{|f(w)|^{p}\ {\rm d}v_{a+b+p\delta-pa}(w)}{|1-\langle z, w\rangle|^{n+1+a+b}} {}\\ & \simeq&(1-|z|^{2})^{pa-p\delta} \int_{B}\frac{|f(w)|^{p}\ {\rm d}v_{a+b+p\delta-pa}(w)}{|1-\langle z, w\rangle|^{n+1+a+b}}. \end{eqnarray} $

若$ 0< s<pa+q+n+1 $,则$ pa+1+q+\min\{n, s\}>0 $暗指可以取到$ \delta $满足

(3.4) $ \begin{equation} 0<\delta<a+\frac{q+1}{p}+\frac{1}{p}\min\{s , n-s\}. \end{equation} $

根据定理的条件和(3.4)式就有$ q+s-p\delta+pa>-1 $且$ n+1+a+b-(q+s-p\delta+pa)>n+1>2s-(q+s-p\delta+pa) $.利用引理2.2(1)知

(3.5) $ \begin{eqnarray} J(w, \xi)& = &\int_{B}\frac{(1-|z|^{2})^{q+s-p\delta+pa}}{|1-\langle z, w\rangle|^{n+1+a+b}|1-\langle z, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|z|^{2}}\ {\rm d}v(z) {}\\ & \simeq& \frac{1}{(1-|w|^{2})^{a+b+p\delta-q-s-pa}|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}} \ \ \ (w, \xi\in B). \end{eqnarray} $

通过(3.3)和(3.5)式、文献[30]中的引理1.2、Fubini定理可得

$ \begin{eqnarray*} \| T_{a, b}f\| ^{p}_{L(p, q, s, k)} &\lesssim&\sup\limits_{\xi\in B}\int_{B}|f(w)|^{p}(1-|\xi|^{2})^{s}J(w, \xi)\ {\rm d}v_{a+b+p\delta-pa}(w)\\ &\lesssim&\sup\limits_{\xi\in B}\int_{B}|f(w)|^{p}\frac{(1-|w|^{2})^{q+s}(1-|\xi|^{2})^{s}}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\ {\rm d}v(w)\\ & = & \| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p}. \end{eqnarray*} $

条件$ pa+q+1+\min\{s, n\}>0 $暗指我们能取$ \delta $使得

(3.6) $ \begin{equation} 0<\delta<a+\frac{q+1}{p}+\frac{1}{p}\min\{s, n\}. \end{equation} $

若$ s\geq pa+q+n+1 $,则(3.6)式和$ b>q+(p-1)a+s $表明$ q+s-p\delta+pa>-1 $且$ \min\{(n+1+a+b)-(q+s-p\delta+pa), 2s-(q+s-p\delta+pa)\}>n+1 $.由引理2.2(2),我们有

(3.7) $ \begin{eqnarray} J(w, \xi)& = &\int_{B}\frac{(1-|z|^{2})^{q+s-p\delta+pa}}{|1-\langle z, w\rangle|^{n+1+a+b}|1-\langle z, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|z|^{2}}\ {\rm d}v(z) {}\\ & \simeq &\frac{1}{(1-|w|^{2})^{a+b+p\delta-q-s-pa}|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}} {}\\ && + \frac{1}{(1-|\xi|^{2})^{s+p\delta-q-pa-n-1}|1-\langle w, \xi\rangle|^{a+b+n+1}}\log^{k}\frac{e}{1-|\xi|^{2}} \ \ \ (w, \xi\in B). \end{eqnarray} $

条件$ p\delta>0 $和$ b>q+(p-1)a+n $表明$ a+b+p\delta-pa-q-n-1>-1 $.通过(3.2)和(3.4)以及(3.7)式、文献[30]中引理1.2、Fubini定理、引理2.2 (1) (取$ t = a+b+n+1 $和$ r = 0 $),我们得到

$ \begin{eqnarray*} &\;& \| T_{a, b}f\| ^{p}_{L(p, q, s, k)}\lesssim\sup\limits_{\xi\in B}\int_{B}|f(w)|^{p}(1-|\xi|^{2})^{s}J(w, \xi){\rm d}v_{a+b+p\delta-pa}(w)\\ & \lesssim&\sup\limits_{\xi\in B}\int_{B}|f(w)|^{p}\frac{(1-|w|^{2})^{q+s}(1-|\xi|^{2})^{s}}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\ {\rm d}v(w)\\ &\;& + \ \| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p}\sup\limits_{\xi\in B}\log^{k}\frac{e}{1-|\xi|^{2}}\int_{B}\frac{(1-|w|^{2})^{a+b+p\delta-pa-q-n-1}\log^{-k}\frac{e}{1-|w|^{2}}}{(1-|\xi|^{2} )^{p\delta-q-n-1-pa}|1-\langle w, \xi\rangle|^{n+1+a+b}}\ {\rm d}v(w)\\ & \lesssim&\| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p}. \end{eqnarray*} $

若$ 0<p\leq 1 $,则条件$ q+1+\min\{s, n\}>0 $和

$ b>\frac{1}{p}\max\{s, n\}+\frac{q+n+1}{p}-(n+1) $

表明$ b' = p(n+1+b)-n-1>-1 $.

固定$ z\in B $,我们考虑函数

$ {F_{z}(w) = \frac{f(w)}{(1-\langle w, z\rangle)^{n+1+a+b}}} \ \ (w\in B). $

利用文献[30]中引理2.15得到

$ \int_{B}|F_{z}(w)|(1-|w|^{2})^{b}\ {\rm d}v(w)\leq \frac{\| F_{z}\| _{p, b'}}{c_{b'}}. $

这表明

(3.8) $ \begin{eqnarray} |T_{a, b}f(z)|^{p}&\lesssim&(1-|z|^{2})^{pa}\left\{\int_{B}\frac{|f(w)|}{|1-\langle z, w\rangle|^{n+1+a+b}}\ {\rm d}v_{b}(w)\right\}^{p}{}\\ & \lesssim&(1-|z|^{2})^{pa}\| F_{z}\| _{p, b'}^{p} = \int_{B} \frac{(1-|z|^{2})^{pa}|f(w)|^{p}}{|1-\langle w, z\rangle|^{n+1+pa+b'}}\ {\rm d}v_{b'}(w) . \end{eqnarray} $

当$ 0<s\neq pa+q+n+1 $时,我们利用$ pa $和$ b' $分别代替(3.3)式中的$ pa-p\delta $和$ a+b+p\delta-pa $,通过(3.8)式,其证明类似情形$ p>1 $.这意味着我们能得：到当$ 0<s\neq pa+q+n+1 $时, $ \| T_{a, b}f\| _{L(p, a, s, k)}\leq c\| f\| _{L(p, q, s, k)} $.我们省略详细过程.

此外,显然有

(3.9) $ \begin{eqnarray} \sup\limits_{0<x<2} x^{\sigma_{0}}\log^{l}\frac{e}{x} = \max\left\{2^{\sigma_{0}}\log^{l}\frac{e}{2}, e^{\sigma_{0}-l}\left(\frac{l}{\sigma_{0}}\right)^{l}\right\} \ \ (\sigma_{0}>0, \ l>0). \end{eqnarray} $

若$ s = pa+q+n+1 $,则需要分情况$ k>-1 $、$ k = -1 $、$ k<-1 $考虑.

条件$ pa+q+1+\min\{s, n\}>0 $和$ {b>\frac{1}{p}\max\{s, n\}+\frac{q+n+1}{p}}-n-1 $意味着$ b'-q-n-1>-1 $、$ q+s+pa>-1 $、$ q+n+1+pa>0 $和$ (b'+n+1+pa)-(q+s+pa)>n+1 = 2s-(q+s+pa). $

若$ k>-1 $,则通过引理2.2(3)可得

(3.10) $ \begin{eqnarray} I(w, \xi)& = &\int_{B}\frac{ (1-|z|^{2})^{q+s+pa}\log^{k}\frac{e}{1-|z|^{2}}} {|1-\langle w, z\rangle|^{b'+n+1+pa}|1-\langle z, \xi\rangle|^{2s}}\ {\rm d}v(z) {}\\ & \simeq& \frac{1}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{b'+n+1+pa}}\log^{k}\frac{e}{1-|\xi|^{2}}\log\frac{e}{|1-\langle \xi, \varphi_{\xi}(w)\rangle|} {}\\ && + \frac{1}{(1-|w|^{2})^{b'-q-s}|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}} \ \ (w, \xi\in B). \end{eqnarray} $

我们取$ 0<\sigma_{0}<s $.通过(3.8)–(3.10)式和(3.1)式、文献[30]中引理1.2、Fubini定理、引理2.2(1) (取$ t = b'+n+1+pa-\sigma_{0} $和$ r = 0 $),我们得到

$ \begin{eqnarray*} \|T_{a, b}f\|_{L(p, q, s, k)}^{p} &\lesssim&\sup\limits_{\xi\in B}\int_{B}|f(w)|^{p}(1-|\xi|^{2})^{s}I(w, \xi)\ {\rm d}v_{b'}(w)\\ &\lesssim&\sup\limits_{\xi\in B}\int_{B}|f(w)|^{p}\frac{(1-|w|^{2})^{q+s}(1-|\xi|^{2})^{s}}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\ {\rm d}v(w) \\ &&+ \| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p} \sup\limits_{\xi\in B}\int_{B} \frac{(1-|\xi|^{2})^{s-\sigma_{0}}(1-|w|^{2})^{b'-q-n-1}} {|1-\langle w, \xi\rangle|^{b'+n+1+pa-\sigma_{0}}}\\ &&\times \log^{k}\frac{e}{1-|\xi|^{2}}\log^{-k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\ {\rm d}v(w)\\ & \lesssim&\| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p}. \end{eqnarray*} $

若$ k = -1 $,则通过引理2.2(4)得到

(3.11) $ \begin{eqnarray} I(w, \xi)& = &\int_{B}\frac{ (1-|z|^{2})^{q+s+pa}\log^{k}\frac{e}{1-|z|^{2}}} {|1-\langle w, z\rangle|^{b'+n+1+pa}|1-\langle z, \xi\rangle|^{2s}}\ {\rm d}v(z) {}\\ & \leq &\frac{c\log\frac{e}{|1-\langle \xi, \varphi_{\xi}(w)\rangle|}}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{b'+n+1+pa}}\log^{-1}\frac{e}{1-|\xi|^{2}}\log\log\frac{e^{2}}{|1-\langle \xi, \varphi_{\xi}(w)\rangle|}{}\\ && + \ \frac{c}{(1-|w|^{2})^{b'-q-s}|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{-1}\frac{e}{1-|w|^{2}} \ \ (w, \xi\in B). \end{eqnarray} $

我们取$ 0<\sigma_{0}<s/2 $.利用$ x>1 $时$ \log x<x $、(3.8)–(3.9)式、(3.11)和(3.1)式、文献[30]中引理1.2、Fubini定理、引理2.2(1) (取$ t = b'+n+1+pa-2\sigma_{0} $和$ r = 0 $),我们得到

$ \begin{eqnarray*} \|T_{a, b}f\|^{p}_{L(p, q, s, k)} &\lesssim&\sup\limits_{\xi\in B}\int_{B}\frac{|f(w)|^{p}(1-|w|^{2})^{q+s}}{(1-|\xi|^{2})^{-s}|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\ {\rm d}v(w)\\ &&+ \| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p} \sup\limits_{\xi\in B}\int_{B} \frac{(1-|w|^{2})^{b'-q-n-1}\log^{-1}\frac{e}{1-|\xi|^{2}} \log\frac{e}{1-|w|^{2}}}{(1-|\xi|^{2})^{-s}|1-\langle w, \xi\rangle|^{b'+n+1+pa}}\\ &&\times\log^{2}\frac{e}{|1-\langle \xi, \varphi_{\xi}(w)\rangle|}\ {\rm d}v(w)\\ &\lesssim&\sup\limits_{\xi\in B}\int_{B}|f(w)|^{p}\frac{(1-|w|^{2})^{q+s}(1-|\xi|^{2})^{s}}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\ {\rm d}v(w)\\ &&+ \| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p} \sup\limits_{\xi\in B}\int_{B} \frac{(1-|\xi|^{2})^{s-2\sigma_{0}}(1-|w|^{2})^{b'-q-n-1}} {|1-\langle w, a\rangle|^{b'+n+1+pa-2\sigma_{0}}}\\ &&\times \log^{-1}\frac{e}{1-|\xi|^{2}}\log\frac{e}{1-|w|^{2}}\ {\rm d}v(w)\\ &\lesssim&\|f\|_{L(p, q, s, k)}^{p}. \end{eqnarray*} $

若$ k<-1 $,则通过引理2.2(5)可得

(3.12) $ \begin{eqnarray} I(w, \xi)& = &\int_{B}\frac{ (1-|z|^{2})^{q+s+pa}\log^{k}\frac{e}{1-|z|^{2}}} {|1-\langle w, z\rangle|^{b'+n+1+pa}|1-\langle z, \xi\rangle|^{2s}}\ {\rm d}v(z) {}\\ & \simeq& \frac{1}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{b'+n+1+pa}}\log^{k+1}\frac{e}{|1-\langle w, \xi\rangle|}\log^{-1}\frac{e}{1-|\xi|^{2}}\log\frac{e}{|1-\langle \xi, \varphi_{\xi}(w)\rangle|}{}\\ &&+ \ \frac{1}{(1-|w|^{2})^{b'-q-s}|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}} \ \ (w, \xi\in B). \end{eqnarray} $

此外,显然有

(3.13) $ \begin{eqnarray} &&\frac{2}{ {\log \frac{e}{2}}}\log\frac{e}{|1-\langle w, \xi\rangle|}\log \frac{e}{|1-\langle \xi, \varphi_{\xi}(w)\rangle|}{}\\ &\geq &\log \frac{e}{|1-\langle \xi, \varphi_{\xi}(w)\rangle|}+\log\frac{e}{|1-\langle w, \xi\rangle|} = \log\frac{e^{2}}{1-|\xi|^{2}}. \end{eqnarray} $

设$ 0<\sigma_{0}<s $.通过(3.8)–(3.9)和(3.12)–(3.13)式、(3.1)式、文献[30]中引理1.2、$ k+1<0 $、Fubini定理和引理2.2(1) (取$ t = b'+n+1+pa-\sigma_{0} $和$ r = 0 $),我们有

$ \begin{eqnarray*} \| T_{a, b}f\| ^{p}_{L(p, q, s, k)} &\lesssim &\| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p}+ \| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p} \sup\limits_{\xi\in B}\int_{B} \frac{(1-|w|^{2})^{b'-q-n-1}(1-|\xi|^{2})^{s}}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{b'+n+1+pa}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}} \\ &&\times\log^{k}\frac{e}{1-|\xi|^{2}} \log^{-k} \frac{e}{|1-\langle \xi, \varphi_{\xi}(w)\rangle|}\ {\rm d}v(w)\\ &\lesssim&\| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p} + \| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p} \sup\limits_{\xi\in B}\int_{B} \frac{(1-|w|^{2})^{b'-q-n-1}(1-|\xi|^{2})^{s-\sigma_{0}}}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{b'+n+1+pa-\sigma_{0}} \log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}} \\ &&\times\log^{k}\frac{e}{1-|\xi|^{2}}\ {\rm d}v(w) \\ &\lesssim&\| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p}. \end{eqnarray*} $

这表明$ \| T_{a, b}f\| _{L(p, q, s, k)}\leq c\| f\| _{L(p, q, s, k)} $对所有$ f\in A(p, q, s, k) $成立.从而$ T_{a, b} $是$ A(p, q, s.k) $到$ L(p, q, s, k) $的有界算子.

类似定理3.1的证明,我们可以得到下列结果.

定理 3.2   设$ k $为实数、$ p>0 $、$ s> 0 $、$ q+s>-1 $、$ q+n>-1 $.若参数分别满足下列条件,则$ Q_{\alpha} $在$ F(p, q, s, k) $上有界.

(1)   当$ p>1 $时, $ \alpha>q+\max\{s, n\} $.

(2)   当$ 0<p\leq 1 $时, $ {\alpha>\frac{q+n+1}{p}+\frac{1}{p}\max\{s, n\}-n-1} $.

最后,我们考虑投影算子$ P_{\alpha} $在$ F(p, q, s, k) $上的有界性.

定理  3.3   设$ k $为实数、$ p>0 $、$ s> 0 $、$ q+s>p-1 $、$ q+n>p-1 $.若参数分别满足下列条件,则$ P_{\alpha} $在$ F(p, q, s, k) $上有界.

(1)   当$ p>1 $时, $ \alpha>q+\max\{s, n\}-1 $.

(2)   当$ 0<p\leq 1 $时, $ {\alpha>\frac{q+n+1}{p}+\frac{1}{p}\max\{s, n\}-n-2} $.

证   若$ f\in F(p, q, s, k) $,则通过引理2.3可得

(3.14) $ \begin{eqnarray} (1-|w|^{2})^{q+n+1}|Rf(w)|^{p}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\leq c\| f\| _{F(p, q, s, k)}^{p} \ \ (w\in B). \end{eqnarray} $

因此,如果$ \beta>(q+n+1)/p-1 $,则$ Rf\in A_{\beta}^{1} $.利用文献[30]中定理2.2就有

$ Rf(z) = \int_{B}\frac{Rf(u)}{(1-\langle z, u\rangle)^{n+1+\beta}}\ {\rm d}v_{\beta}(u) \ \ (z\in B). $

通过Fubini定理和$ Rf(0) = 0 $,我们可得到

$ f(z)-f(0) = \int_{B}Rf(u)\left\{\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{(1-\langle\rho z, u\rangle)^{n+\beta+1}}-1\right)\frac{1}{\rho}\ {\rm d}\rho\right\}{\rm d}v_{\beta}(u). $

通过简单计算就有

$ \left|\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{(1-\langle\rho z, u\rangle)^{n+\beta+1}}-1\right)\frac{1}{\rho}\ {\rm d}\rho\right|\lesssim \frac{1}{|1-\langle z, u\rangle|^{n+\beta}}, $

这表明

(3.15) $ \begin{eqnarray} |f(z)-f(0)| \lesssim\int_{B}\frac{|Rf(u)|}{|1-\langle z, u\rangle|^{n+\beta}}\ {\rm d}v_{\beta}(u). \end{eqnarray} $

另一方面,很显然

$ P_{\alpha}f(z) = \int_{B}\frac{ f(w)\ {\rm d}v_{\alpha}(w)}{(1-\langle z, w\rangle)^{n+\alpha+1}} = \int_{B}\frac{f(w)-f(0)}{(1-\langle z, w\rangle)^{n+\alpha+1}}\ {\rm d}v_{\alpha}(w)+f(0) \ \ \ (z\in B). $

若$ \beta>\alpha+1 $,则通过引理2.2中情形(2) (取$ k = 0 $)可得

(3.16) $ \begin{eqnarray} &&\int_{B}\frac{1}{|1-\langle z, w\rangle|^{n+\alpha+2}|1-\langle w, u\rangle|^{n+\beta}}\ {\rm d}v_{\alpha}(w) {}\\ & \simeq &\frac{1}{(1-|z|^{2})|1-\langle z, u\rangle|^{ n+\beta}}+ \frac{1}{(1-|u|^{2})^{\beta-\alpha-1} |1-\langle w, a\rangle|^{ n+\alpha+2}}. \end{eqnarray} $

因此,通过Fubini定理以及(3.15)–(3.16)式可得

(3.17) $ \begin{eqnarray} |RP_{\alpha}f(z)|& = &(n+1+\alpha)\left|\int_{B}\frac{\{f(w)-f(0)\}\langle z, w\rangle}{(1-\langle z, w\rangle)^{n+\alpha+2}}\ {\rm d}v_{\alpha}(w)\right| {}\\ & \lesssim&\int_{B}|Rf(u)|\left\{\frac{(1-|z|^{2})^{-1}}{|1-\langle z, u\rangle|^{n+\beta}}+\frac{(1-|u|^{2})^{-\beta+\alpha+1}}{|1-\langle z, u\rangle|^{n+\alpha+2}} \right\}{\rm d}v_{\beta}(u). \end{eqnarray} $

然后,我们选择充分大的$ \beta $.通过(3.14)和(3.17)式,余下的证明类似定理3.1的处理,我们省略具体证明过程.