Cn中对数权一般函数空间上的Bergman型算子

Cⁿ中对数权一般函数空间上的Bergman型算子

唐鹏程, 徐思, 张学军^,

Bergman Type Operators on Logarithmic Weight General Function Spaces in Cⁿ

Tang Pengcheng, Xu Si, Zhang Xuejun^,

通讯作者: 张学军, E-mail: xuejunttt@263.net

收稿日期: 2019-11-7

基金资助:

国家自然科学基金. 11571104
湖南省研究生科研创新项目. CX2018B286

Received: 2019-11-7

Fund supported:

the NSFC. 11571104
the Hunan Provincial Innovation Foundation for Postgraduate. CX2018B286

摘要

设B是Cⁿ中的单位球，该文就B上对数权一般函数空间F（p，q，s，k）到本身或者从空间A（p，q，s，k）到L（p，q，s，k）刻画了Bergman型算子T_a，b的有界性.

关键词： Bergman型算子 ; 对数权一般函数空间 ; 有界性 ; 单位球

Abstract

Let B be the unit ball in Cⁿ. In this paper, the authors characterize the boundedness of the Bergman type operators T_{a, b} on the logarithmic weight general function spaces F(p, q, s, k) or from spaces A(p, q, s, k) to spaces L(p, q, s, k).

Keywords： Bergman type operators ; Logarithmic weight general function space ; Boundedness ; Unit ball

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本文引用格式

唐鹏程, 徐思, 张学军. Cⁿ中对数权一般函数空间上的Bergman型算子. 数学物理学报[J], 2020, 40(5): 1151-1162 doi:

Tang Pengcheng, Xu Si, Zhang Xuejun. Bergman Type Operators on Logarithmic Weight General Function Spaces in Cⁿ. Acta Mathematica Scientia[J], 2020, 40(5): 1151-1162 doi:

1 引言

设 $B$ 是 $n$ 维复Euclidean空间 ${{\bf C}}^{n}$ 中的单位球, $H(B)$ 表示 $B$ 上所有全纯函数类.我们记 ${\rm d}v$ 为 $B$ 上正规化的体测度以及 ${\rm d}\sigma$ 为 $B$ 的边界上正规化的面测度.对 $\alpha>-1$ ,定义 ${\rm d}v_{\alpha}(z) = A_{\alpha}(1-|z|^{2})^{\alpha}\ {\rm d}v(z)$ ,其中 $A_{\alpha}$ 是一个使得 $v_{\alpha}(B) = 1$ 的规范化常数.

若 $f\in H(B)$ ,复梯度 $\nabla f$ 和径向导数 $Rf$ 分别定义为

$\nabla f(z) = \left(\frac{\partial f}{\partial z_{1}}(z), \cdots, \frac{\partial f}{\partial z_{n}}(z)\right) \ \mbox{和} \ R f(z) = \langle \nabla f(z), \overline{z}\rangle = \sum\limits_{j = 1}^{n}z_{j}\frac{\partial f}{\partial z_{j}}(z).$

定义 1.1 设 $p>0$ 和 $\alpha>-1$ ,加权Bergman空间 $A_{\alpha}^{p}(B)$ 是由 $L^{p}_{\alpha}(B)$ 中的所有全纯函数 $f$ 构成,其中

$L^{p}_{\alpha}(B) = \left\{f: \| f\| _{p, \alpha} = \left(\int_{B}|f(z)|^{p}\ {\rm d}v_{\alpha}(z)\right)^{\frac{1}{p}}<\infty \right\}.$

对 $a\in B$ ,若 $a = 0$ ,设 $\varphi_{0}(z) = -z$ \ ( $z\in B$ ),若 $a\neq 0$ ,设

$\varphi_{a}(z) = \frac{ {a-\frac{\langle z, a\rangle}{|a|^{2}}a-\sqrt{1-|a|^{2}}\left(z-\frac{\langle z, a\rangle}{|a|^{2}}a\right)}}{1-\langle z, a\rangle} \ \ (z\in B).$

定义 1.2 设 $p>0$ 、 $s\geq 0$ 、 $q+n>-1$ 、 $q+s>-1$ .一般函数空间 $F(p, q, s)$ 是由 $H(B)$ 中满足如下条件的所有函数 $f$ 构成

$J^{p} = \sup\limits_{a\in B}\int_{B}|R f(z)|^{p}\ (1-|z|^{2})^{q}(1-|\varphi_{a}(z)|^{2})^{s}\ {\rm d}v(z)<\infty.$

我们记

$\| f\| _{F(p, q, s)} = |f(0)|+J.$

当 $p\geq 1$ 时,在范数 $\| \ \| _{F(p, q, s)}$ 下, $F(p, q, s)$ 构成一个Banach空间.如果 $0<p<1$ ,则 $F(p, q, s)$ 在度量 $\rho(f, g) = \| f-g\| ^{p}_{F(p, q, s)}$ 下构成一个完备的度量空间.单位圆盘上的 $F(p, q, s)$ 空间是由赵如汉教授首先在文献[1]中引进,很快大量数学研究者就各种维数单位球上的该空间进行了研究,并且与 $F(p, q, s)$ 相关的函数空间得到了广泛地研究,例如文献[2-27]等. $F(p, q, s)$ 含有一些经典的函数空间,例如, Bergman空间、加权Bergman空间、Besov空间、Dirichlet型空间、 $H^{2}$ 空间、BMOA空间、Bloch型空间、Lipshitz型空间、 $Q_{s}$ 空间等(参见文献[23]).当 $0<s<n$ 时,该空间又是一个不同于上述任何函数空间的新函数空间.

区间 $[0, 1)$ 上正的连续函数 $\mu$ 被称为是正规函数是指：如果存在常数 $0<a_{1}\leq b_{1}$ 和 $0\leq r_{0}<1$ 使得

(1) ${\frac{\mu(r)}{(1-r)^{a_{1}}}}$ 在 $[r_{0}, 1)$ 上递减;

(2) ${\frac{\mu(r)}{(1-r)^{b_{1}}}}$ 在 $[r_{0}, 1)$ 上递增.

例如, $\mu (r) = {(1 - r)^\alpha }{\left( {\log \frac{e}{{1 - r}}} \right)^\beta }{\left( {\log \log \frac{{{e^2}}}{{1 - r}}} \right)^\gamma }\;(\alpha > 0,\;\beta$ 和 $\gamma为实数)$ ,

$\mu_{1}(r) = \left\{ \begin{array}{ll} {\left(\frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}\right)^{b_{1}-a_{1}}(1-r)^{a_{1}}}, & {1-\frac{1}{n}\leq r<1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)}, \\ {\left(\frac{(2n)!!(n+1)}{(2n+1)!!}\right)^{b_{1}-a_{1}}(1-r)^{b_{1}}}, & {1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)\leq r<1-\frac{1}{n+1}}, \end{array}\right.$

$(n = 1, 2, \cdots \ b_{1}>a_{1}>0)$ ,均是这种正规函数.

众所周知,对于 $a\in B$ 和 $z\in B$ ,我们有等式

$1-|\varphi_{a}(z)|^{2} = \frac{(1-|a|^{2})(1-|z|^{2})}{|1-\langle z, a\rangle|^{2}}.$

因此, $F(p, q, s)$ 空间很自然可以推广到如下形式的正规权一般函数空间 $F(p, \mu, s).$

定义 1.3 设 $\mu$ 是 $[0, 1)$ 上的正规函数, $p>0$ 和 $0\leq s<n+a_{1}$ (其中 $a_{1}$ 是 $\mu$ 定义中的那个参数).若 $f\in H(B)$ 使得

$\| f\| ^{p}_{F(p, \mu, s)} = \sup\limits_{a\in B}\int_{B} \frac{\mu(|z|)|R f(z)|^{p}(1-|a|^{2})^{s}}{(1-|z|^{2})|1-\langle z, a\rangle|^{2s}}\ {\rm d}v(z)<\infty,$

我们称 $f$ 属于正规权一般函数空间 $F(p, \mu, s).$ 特别的,当 $\mu(r) = (1-r^{2})^{q+s+1}$ 时,空间 $F(p, \mu, s)$ 就是空间 $F(p, q, s).$

定义 1.4 设 $\mu$ 是 $[0, 1)$ 上的正规函数, $p>0$ 和 $0\leq s<n+a_{1}$ (其中 $a_{1}$ 是 $\mu$ 定义中的那个参数).若 $f$ 在 $B$ 上Lebesgue可测且满足

$\| f\| ^{p}_{L(p, \mu, s)} = \sup\limits_{a\in B}\int_{B} \frac{\mu(|z|)|f(z)|^{p}(1-|a|^{2})^{s}}{(1-|z|^{2})|1-\langle z, a\rangle|^{2s}}\ {\rm d}v(z)<\infty,$

我们称 $f\in L(p, \mu, s)$ .特别的,记空间

$A(p, \mu, s) = L(p, \mu, s)\cap H(B).$

本文中,我们主要考虑情形

$\mu(r) = (1-r^{2})^{q+s+1}\log^{k}\frac{e}{1-r^{2}},$

其中 $q+s>-1$ 且 $k$ 为实数.

在这种情况下,我们把空间 $F(p, \mu, s)$ 和 $A(p, \mu, s)$ 分别记为 $F(p, q, s, k)$ 和 $A(p, q, s, k).$

本文中,我们主要考虑如下Bergman型算子

$T_{a, b}f(z) = (1-|z|^{2})^{a}\int_{B}\frac{(1-|w|^{2})^{b} \ f(w)}{( 1-\langle z, w\rangle)^{n+1+a+b}}\ {\rm d}v(w),$

这里 $a$ 和 $b$ 是实数, $f$ 在 $B$ 上Lebesgue可测.

在文献[27]中, Forelli和Rudin首先引进如下投影算子

$P_{\alpha}f(z) = \int_{B}\frac{ f(w)}{( 1-\langle z, w\rangle)^{n+1+\alpha}}\ {\rm d}v_{\alpha}(w) \ \ (\alpha>-1).$

众所周知,当 $p>1$ 时,算子 $P_{\alpha}$ 在Bergman空间 $A^{p}(B)$ 上总是有界的,但当 $\alpha\neq 0$ 时,它不是Hilbert空间 $L^{2}(B)$ 到 $A^{2}(B)$ 的正交投影.为了解决这个问题, Kolaski在文献[28]中考虑了从 $L^{2}(B, {\rm d}v_{\beta})$ 到 $A^{2}_{\beta}(B)$ \ $(\beta>-1)$ 的投影算子,他证明了 $P_{\alpha}$ 总是 $L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha})$ 到 $L^{2}_{\alpha}(B)$ 的有界算子,进一步他给出了 $P_{\alpha}$ 是 $L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha})$ 到 $L^{2}_{\alpha}(B)$ 正交投影的充要条件为 $\alpha = \beta$ .在1991年,朱克和教授在文献[29]中研究了更一般的Bergman型算子 $T_{a, b}$ .至于为何要研究这类算子,至少有两方面的理由,一是Bergman型算子的共轭算子仍是这种形式,二是利用该算子可以刻画形如 $(1-|z|^{2})^{|m|}D^{m}f$ \ (其中 $m$ 是多重指标)这类函数.鉴于算子 $T_{a, b}$ 应用的广泛性,因此有很多数学研究者对其在相应函数空间之间的有界性条件做了系统性讨论.比如,朱克和教授在文献[30]中就 $p\geq 1$ 情形给出了 $T_{a, b}$ 在 $L^{p}_{\alpha}(B)$ 上有界的充要条件;任广斌教授在文献[31]以及刘永民教授在文献[32]中就 $1\leq p\leq\infty$ 且 $1\leq q\leq\infty$ 情形分别在混合模空间 $L_{p, q}(\varphi)$ 上讨论了同样的问题；黎深莲等在文献[15]中讨论过 $T_{a, b}$ 从 $A(p, q, s)$ 到 $L(p, q, s)$ 的有界性.在文献[30]中,朱克和教授给出了当 $p\geq 1$ 时 $T_{a, b}$ 在 $L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$ 上有界的充要条件为 $-pa<\beta+1<p(b+1)$ .既然空间 $L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$ 是 $L(p, q, s, k)$ 的特殊情形( $q = \beta, s = k = 0$ ),那么我们自然就问:在空间 $L(p, q, s, k)$ 上有这么完美的结果吗?要解决这个问题,需要对空间 $L(p, q, s, k)$ 做一系列前期工作,比如等价刻画、对偶空间、 $T_{a, b}$ 的共轭算子等,这都是有相当难度的工作.本文中,我们只对 $T_{a, b}$ 做点初步探讨,就所有 $p>0$ 和实数 $k$ 给出 $A(p, q, s, k)$ 到 $L(p, q, s, k)$ 算子 $T_{a, b}$ 有界的一个充分条件,进一步在 $F(p, q, s, k)$ 上考虑算子 $P_{\alpha}$ 和 $Q_{\alpha}$ 有界的充分条件,其中 $\alpha>-1$ 且

$Q_{\alpha}f(z) = \int_{B}\frac{(1-|w|^{2})^{\alpha}\ Rf(w)}{(1-\langle z, w\rangle)^{n+\alpha}}\ {\rm d}v(w) \ \ (z\in B, \ f\in H(B)).$

本文中 $E \simeq F$ 表示两个量 $E$ 和 $F$ 等价,即存在正的常数 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 满足 $C_{1}E \leq F \leq C_{2}E$ .符号 $A\lesssim B$ 表示存在正的常数 $C$ 使得 $A \leq CB$ .我们利用字母 $c$ 表示正的常数,在不同位置可以代表不同的数.

2 引理

为了讨论文中主要结果,首先需要引进或者证明几个引理.

引理 2.1 设 $c$ 为实数且 $\delta>-1$ .则积分

$I(z) = \int_{ B}\frac{(1-|w|^{2})^{\delta}}{|1-\langle z, w\rangle|^{n+1+\delta+c}}\ {\rm d}v(w) \ \ (z\in B)$

有下列估计

(1) 若 $c<0$ ,则 $I(z)\simeq 1$ .

(2) 若 $c = 0$ ,则 ${I(z)\simeq \log\frac{e}{1-|z|^{2}}}$ .

(3) 若 $c>0$ ,则 ${I(z)\simeq \frac{1}{(1-|z|^{2})^{c}}}$ .

这个结果来自文献[33,命题1.4.10].

上述积分估计是球内单变点情形,毋庸置疑有着广泛地应用.至于球内双变点情形,最近在文献[15-17]中有系统讨论.为了对所有实数 $k$ 讨论从空间 $A(p, q, s, k)$ 到 $L(p, q, s, k)$ 之间Bergman型算子的有界性,我们需要下列引理.

引理2.2 设 $r\geq 0$ 、 $t\geq 0$ 、 $\delta>-1$ , $k$ 为实数.记

$J_{w, a} = \int_{ B}\frac{(1-|z|^{2})^{\delta}}{|1-\langle z, w\rangle|^{ t}\ |1-\langle z, a\rangle|^{ r}}\log^{k}\frac{e}{1-|z|^{2}}\ {\rm d}v(z) \ \ (w, a\in B).$

则下列结果成立

(1) 若 $t-\delta>n+1>r-\delta$ ,则

${J_{w, a}\simeq \frac{1}{(1-|w|^{2})^{ t-\delta-n-1}\ |1-\langle w, a\rangle|^{ r}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}}.$

(2) 若 $t-\delta>n+1$ 且 $r-\delta>n+1$ ,则

$\begin{eqnarray*} J_{w, a}& \simeq &\frac{1}{(1-|w|^{2})^{t- \delta-n-1}|1-\langle w, a\rangle|^{ r}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\\ &&+ \frac{1}{(1-|a|^{2})^{r-\delta-n-1} |1-\langle w, a\rangle|^{ t}}\log^{k}\frac{e}{1-|a|^{2}}. \end{eqnarray*}$

(3) 若 $t-\delta>n+1 = r-\delta$ 且 $k>-1$ ,则

$\begin{eqnarray*} J_{w, a}&\simeq &\frac{1}{(1-|w|^{2})^{t-\delta-n-1}|1-\langle w, a\rangle|^{\delta+n+1}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\\ && + \frac{1}{|1-\langle w, a\rangle|^{t}}\log^{k}\frac{e}{1-|a|^{2}}\log\frac{e}{|1-\langle a, \varphi_{a}(w)\rangle|}. \end{eqnarray*}$

(4) 若 $t-\delta>n+1 = r-\delta$ 且 $k = -1$ ,则

$\begin{eqnarray*} J_{w, a}&\lesssim &\frac{1}{(1-|w|^{2})^{t-\delta-n-1}|1-\langle w, a\rangle|^{\delta+n+1}}\log^{-1}\frac{e}{1-|w|^{2}}\\ && + \frac{1}{|1-\langle w, a\rangle|^{t}}\log\frac{e}{|1-\langle a, \varphi_{a}(w)\rangle|}\log^{-1}\frac{e}{1-|a|^{2}}\log\log\frac{e^{2}}{|1-\langle a, \varphi_{a}(w)\rangle|}. \end{eqnarray*}$

(5) 若 $t-\delta>n+1 = r-\delta$ 且 $k<-1$ ,则

$\begin{eqnarray*} J_{w, a}&\simeq &\frac{1}{(1-|w|^{2})^{t-\delta-n-1}|1-\langle w, a\rangle|^{\delta+n+1}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}} \\ &&+ \frac{1}{|1-\langle w, a\rangle|^{t}}\log^{k+1}\frac{e}{|1-\langle w, a\rangle|}\log^{-1}\frac{e}{1-|a|^{2}}\log\frac{e}{|1-\langle a, \varphi_{a}(w)\rangle|}. \end{eqnarray*}$

证当 $k\geq 0$ 时,结果来自文献[16].当 $k<0$ 时,其证明类似文献[16]中定理3.1的处理,但证明难度会大很多,处理需要更精细, 17种完整双向估计的结果和证明可参考学位论文[34],这里我们省略详细证明.

引理 2.3 设 $p>0$ 、 $s\geq 0$ 、 $q+s>-1$ 、 $q+n>-1$ , $k$ 为实数.

(1) 若 $f\in F(p, q, s, k)$ ,则存在与 $f$ 无关的常数 $c>0$ 使得

$\sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{\frac{q+n+1}{p}}\left(\log\frac{e}{1-|z|^{2}}\right)^{\frac{k}{p}}|R f(z)|\leq c\| f\| _{F(p, q, s, k)}.$

(2) 若 $f\in A(p, q, s, k)$ ,则存在与 $f$ 无关的常数 $c>0$ 使得

$\sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{\frac{q+n+1}{p}}\left(\log\frac{e}{1-|z|^{2}}\right)^{\frac{k}{p}}|f(z)|\leq c\| f\| _{L(p, q, s, k)}.$

证 (1) 对 $z\in B$ 和 $r>0$ ,设 $D(z, r)$ 表示以 $z$ 为中心、 $r$ 为半径的Bergman球.根据文献[30]中引理2.24和引理2.20可得

$\begin{eqnarray*} |R f(z)|^{p}&\leq&\frac{c}{(1-|z|^{2})^{n+1}}\int_{D(z, 1)}|R f(w)|^{p}\ {\rm d}v(w)\\ &\leq& \frac{c}{(1-|z|^{2})^{q+n+1}}\left\{\log\frac{e}{1-|z|^{2}}\right\}^{-k}\left(\frac{1+\tanh 1}{1-\tanh 1}\right)^{|q|+2s}\left(1+\log\frac{1+\tanh 1}{1-\tanh 1}\right)^{|k|}\\ &\;&\times \int_{D(z, 1)}|R f(w)|^{p}(1-|w|^{2})^{q}(1-|\varphi_{z}(w)|^{2})^{s}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\ {\rm d}v(w)\\ &\leq& \frac{c_{1}}{(1-|z|^{2})^{q+n+1}}\left\{\log\frac{e}{1-|z|^{2}}\right\}^{-k}\| f\| ^{p}_{F(p, q, s, k)}. \end{eqnarray*}$

(2) 类似(1)的证明.

3 主要结果

定理 3.1 设 $p>0$ 、 $s> 0$ 、 $q+s>-1$ 、 $q+n>-1$ 、 $b>-1$ , $a$ 和 $k$ 为实数.记

$T_{a, b}f(z) = (1-|z|^{2})^{a}\int_{B}\frac{(1-|w|^{2})^{b} \ f(w)}{( 1-\langle z, w\rangle)^{n+1+a+b}}\ {\rm d}v(w) \ \ (f\in H(B), \ z\in B).$

若参数分别满足如下条件,则 $T_{a, b}$ 为 $A(p, q, s, k)$ 到 $L(p, q, s, k)$ 的有界算子.

(1) 当 $p>1$ 时, $pa+q+1+\min\{s, n\}>0$ 且 $b>q+(p-1)a+\max\{s, n\}$ .

(2) 当 $0<p\leq 1$ 时, $pa+q+1+\min\{s, n\}>0$ 且

$b>\frac{1}{p}\max\{s, n\}+\frac{q+n+1}{p}-n-1.$

证若 $f\in A(p, q, s, k)$ ,则由引理2.3可得

$\begin{equation} (1-|w|^{2})^{q+n+1}\left(\log\frac{e}{1-|w|^{2}}\right)^{k}|f(w)|^{p}\leq c\| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p} \ \ \mbox{对所有$w\in B$成立}. \end{equation}$

(3.1)

若 $p>1$ ,则条件 $b>s+q+(p-1)a$ 和 $pa+q+s+1>0$ 表明我们可选取

$\begin{equation} 0<\delta<\frac{b+a+1}{p'} = \frac{(b+a+1)(p-1)}{p}. \end{equation}$

(3.2)

通过(3.2)式、Hölder不等式以及引理2.1可得

$\begin{eqnarray} |T_{a, b}f(z)|^{p}&\lesssim&(1-|z|^{2})^{pa}\left\{\int_{B}\frac{{\rm d}v_{a+b-p'\delta}(w)}{|1-\langle z, w\rangle|^{n+1+a+b}}\right\}^{\frac{p}{p'}}\int_{B}\frac{|f(w)|^{p}\ {\rm d}v_{a+b+p\delta-pa}(w)}{|1-\langle z, w\rangle|^{n+1+a+b}} {}\\ & \simeq&(1-|z|^{2})^{pa-p\delta} \int_{B}\frac{|f(w)|^{p}\ {\rm d}v_{a+b+p\delta-pa}(w)}{|1-\langle z, w\rangle|^{n+1+a+b}}. \end{eqnarray}$

(3.3)

若 $0< s<pa+q+n+1$ ,则 $pa+1+q+\min\{n, s\}>0$ 暗指可以取到 $\delta$ 满足

$\begin{equation} 0<\delta<a+\frac{q+1}{p}+\frac{1}{p}\min\{s , n-s\}. \end{equation}$

(3.4)

根据定理的条件和(3.4)式就有 $q+s-p\delta+pa>-1$ 且 $n+1+a+b-(q+s-p\delta+pa)>n+1>2s-(q+s-p\delta+pa)$ .利用引理2.2(1)知

$\begin{eqnarray} J(w, \xi)& = &\int_{B}\frac{(1-|z|^{2})^{q+s-p\delta+pa}}{|1-\langle z, w\rangle|^{n+1+a+b}|1-\langle z, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|z|^{2}}\ {\rm d}v(z) {}\\ & \simeq& \frac{1}{(1-|w|^{2})^{a+b+p\delta-q-s-pa}|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}} \ \ \ (w, \xi\in B). \end{eqnarray}$

(3.5)

通过(3.3)和(3.5)式、文献[30]中的引理1.2、Fubini定理可得

$\begin{eqnarray*} \| T_{a, b}f\| ^{p}_{L(p, q, s, k)} &\lesssim&\sup\limits_{\xi\in B}\int_{B}|f(w)|^{p}(1-|\xi|^{2})^{s}J(w, \xi)\ {\rm d}v_{a+b+p\delta-pa}(w)\\ &\lesssim&\sup\limits_{\xi\in B}\int_{B}|f(w)|^{p}\frac{(1-|w|^{2})^{q+s}(1-|\xi|^{2})^{s}}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\ {\rm d}v(w)\\ & = & \| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p}. \end{eqnarray*}$

条件 $pa+q+1+\min\{s, n\}>0$ 暗指我们能取 $\delta$ 使得

$\begin{equation} 0<\delta<a+\frac{q+1}{p}+\frac{1}{p}\min\{s, n\}. \end{equation}$

(3.6)

若 $s\geq pa+q+n+1$ ,则(3.6)式和 $b>q+(p-1)a+s$ 表明 $q+s-p\delta+pa>-1$ 且 $\min\{(n+1+a+b)-(q+s-p\delta+pa), 2s-(q+s-p\delta+pa)\}>n+1$ .由引理2.2(2),我们有

$\begin{eqnarray} J(w, \xi)& = &\int_{B}\frac{(1-|z|^{2})^{q+s-p\delta+pa}}{|1-\langle z, w\rangle|^{n+1+a+b}|1-\langle z, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|z|^{2}}\ {\rm d}v(z) {}\\ & \simeq &\frac{1}{(1-|w|^{2})^{a+b+p\delta-q-s-pa}|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}} {}\\ && + \frac{1}{(1-|\xi|^{2})^{s+p\delta-q-pa-n-1}|1-\langle w, \xi\rangle|^{a+b+n+1}}\log^{k}\frac{e}{1-|\xi|^{2}} \ \ \ (w, \xi\in B). \end{eqnarray}$

(3.7)

条件 $p\delta>0$ 和 $b>q+(p-1)a+n$ 表明 $a+b+p\delta-pa-q-n-1>-1$ .通过(3.2)和(3.4)以及(3.7)式、文献[30]中引理1.2、Fubini定理、引理2.2 (1) (取 $t = a+b+n+1$ 和 $r = 0$ ),我们得到

$\begin{eqnarray*} &\;& \| T_{a, b}f\| ^{p}_{L(p, q, s, k)}\lesssim\sup\limits_{\xi\in B}\int_{B}|f(w)|^{p}(1-|\xi|^{2})^{s}J(w, \xi){\rm d}v_{a+b+p\delta-pa}(w)\\ & \lesssim&\sup\limits_{\xi\in B}\int_{B}|f(w)|^{p}\frac{(1-|w|^{2})^{q+s}(1-|\xi|^{2})^{s}}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\ {\rm d}v(w)\\ &\;& + \ \| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p}\sup\limits_{\xi\in B}\log^{k}\frac{e}{1-|\xi|^{2}}\int_{B}\frac{(1-|w|^{2})^{a+b+p\delta-pa-q-n-1}\log^{-k}\frac{e}{1-|w|^{2}}}{(1-|\xi|^{2} )^{p\delta-q-n-1-pa}|1-\langle w, \xi\rangle|^{n+1+a+b}}\ {\rm d}v(w)\\ & \lesssim&\| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p}. \end{eqnarray*}$

若 $0<p\leq 1$ ,则条件 $q+1+\min\{s, n\}>0$ 和

$b>\frac{1}{p}\max\{s, n\}+\frac{q+n+1}{p}-(n+1)$

表明 $b' = p(n+1+b)-n-1>-1$ .

固定 $z\in B$ ,我们考虑函数

${F_{z}(w) = \frac{f(w)}{(1-\langle w, z\rangle)^{n+1+a+b}}} \ \ (w\in B).$

利用文献[30]中引理2.15得到

$\int_{B}|F_{z}(w)|(1-|w|^{2})^{b}\ {\rm d}v(w)\leq \frac{\| F_{z}\| _{p, b'}}{c_{b'}}.$

这表明

$\begin{eqnarray} |T_{a, b}f(z)|^{p}&\lesssim&(1-|z|^{2})^{pa}\left\{\int_{B}\frac{|f(w)|}{|1-\langle z, w\rangle|^{n+1+a+b}}\ {\rm d}v_{b}(w)\right\}^{p}{}\\ & \lesssim&(1-|z|^{2})^{pa}\| F_{z}\| _{p, b'}^{p} = \int_{B} \frac{(1-|z|^{2})^{pa}|f(w)|^{p}}{|1-\langle w, z\rangle|^{n+1+pa+b'}}\ {\rm d}v_{b'}(w) . \end{eqnarray}$

(3.8)

当 $0<s\neq pa+q+n+1$ 时,我们利用 $pa$ 和 $b'$ 分别代替(3.3)式中的 $pa-p\delta$ 和 $a+b+p\delta-pa$ ,通过(3.8)式,其证明类似情形 $p>1$ .这意味着我们能得：到当 $0<s\neq pa+q+n+1$ 时, $\| T_{a, b}f\| _{L(p, a, s, k)}\leq c\| f\| _{L(p, q, s, k)}$ .我们省略详细过程.

此外,显然有

$\begin{eqnarray} \sup\limits_{0<x<2} x^{\sigma_{0}}\log^{l}\frac{e}{x} = \max\left\{2^{\sigma_{0}}\log^{l}\frac{e}{2}, e^{\sigma_{0}-l}\left(\frac{l}{\sigma_{0}}\right)^{l}\right\} \ \ (\sigma_{0}>0, \ l>0). \end{eqnarray}$

(3.9)

若 $s = pa+q+n+1$ ,则需要分情况 $k>-1$ 、 $k = -1$ 、 $k<-1$ 考虑.

条件 $pa+q+1+\min\{s, n\}>0$ 和 ${b>\frac{1}{p}\max\{s, n\}+\frac{q+n+1}{p}}-n-1$ 意味着 $b'-q-n-1>-1$ 、 $q+s+pa>-1$ 、 $q+n+1+pa>0$ 和 $(b'+n+1+pa)-(q+s+pa)>n+1 = 2s-(q+s+pa).$

若 $k>-1$ ,则通过引理2.2(3)可得

$\begin{eqnarray} I(w, \xi)& = &\int_{B}\frac{ (1-|z|^{2})^{q+s+pa}\log^{k}\frac{e}{1-|z|^{2}}} {|1-\langle w, z\rangle|^{b'+n+1+pa}|1-\langle z, \xi\rangle|^{2s}}\ {\rm d}v(z) {}\\ & \simeq& \frac{1}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{b'+n+1+pa}}\log^{k}\frac{e}{1-|\xi|^{2}}\log\frac{e}{|1-\langle \xi, \varphi_{\xi}(w)\rangle|} {}\\ && + \frac{1}{(1-|w|^{2})^{b'-q-s}|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}} \ \ (w, \xi\in B). \end{eqnarray}$

(3.10)

我们取 $0<\sigma_{0}<s$ .通过(3.8)–(3.10)式和(3.1)式、文献[30]中引理1.2、Fubini定理、引理2.2(1) (取 $t = b'+n+1+pa-\sigma_{0}$ 和 $r = 0$ ),我们得到

$\begin{eqnarray*} \|T_{a, b}f\|_{L(p, q, s, k)}^{p} &\lesssim&\sup\limits_{\xi\in B}\int_{B}|f(w)|^{p}(1-|\xi|^{2})^{s}I(w, \xi)\ {\rm d}v_{b'}(w)\\ &\lesssim&\sup\limits_{\xi\in B}\int_{B}|f(w)|^{p}\frac{(1-|w|^{2})^{q+s}(1-|\xi|^{2})^{s}}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\ {\rm d}v(w) \\ &&+ \| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p} \sup\limits_{\xi\in B}\int_{B} \frac{(1-|\xi|^{2})^{s-\sigma_{0}}(1-|w|^{2})^{b'-q-n-1}} {|1-\langle w, \xi\rangle|^{b'+n+1+pa-\sigma_{0}}}\\ &&\times \log^{k}\frac{e}{1-|\xi|^{2}}\log^{-k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\ {\rm d}v(w)\\ & \lesssim&\| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p}. \end{eqnarray*}$

若 $k = -1$ ,则通过引理2.2(4)得到

$\begin{eqnarray} I(w, \xi)& = &\int_{B}\frac{ (1-|z|^{2})^{q+s+pa}\log^{k}\frac{e}{1-|z|^{2}}} {|1-\langle w, z\rangle|^{b'+n+1+pa}|1-\langle z, \xi\rangle|^{2s}}\ {\rm d}v(z) {}\\ & \leq &\frac{c\log\frac{e}{|1-\langle \xi, \varphi_{\xi}(w)\rangle|}}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{b'+n+1+pa}}\log^{-1}\frac{e}{1-|\xi|^{2}}\log\log\frac{e^{2}}{|1-\langle \xi, \varphi_{\xi}(w)\rangle|}{}\\ && + \ \frac{c}{(1-|w|^{2})^{b'-q-s}|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{-1}\frac{e}{1-|w|^{2}} \ \ (w, \xi\in B). \end{eqnarray}$

(3.11)

我们取 $0<\sigma_{0}<s/2$ .利用 $x>1$ 时 $\log x<x$ 、(3.8)–(3.9)式、(3.11)和(3.1)式、文献[30]中引理1.2、Fubini定理、引理2.2(1) (取 $t = b'+n+1+pa-2\sigma_{0}$ 和 $r = 0$ ),我们得到

$\begin{eqnarray*} \|T_{a, b}f\|^{p}_{L(p, q, s, k)} &\lesssim&\sup\limits_{\xi\in B}\int_{B}\frac{|f(w)|^{p}(1-|w|^{2})^{q+s}}{(1-|\xi|^{2})^{-s}|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\ {\rm d}v(w)\\ &&+ \| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p} \sup\limits_{\xi\in B}\int_{B} \frac{(1-|w|^{2})^{b'-q-n-1}\log^{-1}\frac{e}{1-|\xi|^{2}} \log\frac{e}{1-|w|^{2}}}{(1-|\xi|^{2})^{-s}|1-\langle w, \xi\rangle|^{b'+n+1+pa}}\\ &&\times\log^{2}\frac{e}{|1-\langle \xi, \varphi_{\xi}(w)\rangle|}\ {\rm d}v(w)\\ &\lesssim&\sup\limits_{\xi\in B}\int_{B}|f(w)|^{p}\frac{(1-|w|^{2})^{q+s}(1-|\xi|^{2})^{s}}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\ {\rm d}v(w)\\ &&+ \| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p} \sup\limits_{\xi\in B}\int_{B} \frac{(1-|\xi|^{2})^{s-2\sigma_{0}}(1-|w|^{2})^{b'-q-n-1}} {|1-\langle w, a\rangle|^{b'+n+1+pa-2\sigma_{0}}}\\ &&\times \log^{-1}\frac{e}{1-|\xi|^{2}}\log\frac{e}{1-|w|^{2}}\ {\rm d}v(w)\\ &\lesssim&\|f\|_{L(p, q, s, k)}^{p}. \end{eqnarray*}$

若 $k<-1$ ,则通过引理2.2(5)可得

$\begin{eqnarray} I(w, \xi)& = &\int_{B}\frac{ (1-|z|^{2})^{q+s+pa}\log^{k}\frac{e}{1-|z|^{2}}} {|1-\langle w, z\rangle|^{b'+n+1+pa}|1-\langle z, \xi\rangle|^{2s}}\ {\rm d}v(z) {}\\ & \simeq& \frac{1}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{b'+n+1+pa}}\log^{k+1}\frac{e}{|1-\langle w, \xi\rangle|}\log^{-1}\frac{e}{1-|\xi|^{2}}\log\frac{e}{|1-\langle \xi, \varphi_{\xi}(w)\rangle|}{}\\ &&+ \ \frac{1}{(1-|w|^{2})^{b'-q-s}|1-\langle w, \xi\rangle|^{2s}}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}} \ \ (w, \xi\in B). \end{eqnarray}$

(3.12)

此外,显然有

$\begin{eqnarray} &&\frac{2}{ {\log \frac{e}{2}}}\log\frac{e}{|1-\langle w, \xi\rangle|}\log \frac{e}{|1-\langle \xi, \varphi_{\xi}(w)\rangle|}{}\\ &\geq &\log \frac{e}{|1-\langle \xi, \varphi_{\xi}(w)\rangle|}+\log\frac{e}{|1-\langle w, \xi\rangle|} = \log\frac{e^{2}}{1-|\xi|^{2}}. \end{eqnarray}$

(3.13)

设 $0<\sigma_{0}<s$ .通过(3.8)–(3.9)和(3.12)–(3.13)式、(3.1)式、文献[30]中引理1.2、 $k+1<0$ 、Fubini定理和引理2.2(1) (取 $t = b'+n+1+pa-\sigma_{0}$ 和 $r = 0$ ),我们有

$\begin{eqnarray*} \| T_{a, b}f\| ^{p}_{L(p, q, s, k)} &\lesssim &\| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p}+ \| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p} \sup\limits_{\xi\in B}\int_{B} \frac{(1-|w|^{2})^{b'-q-n-1}(1-|\xi|^{2})^{s}}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{b'+n+1+pa}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}} \\ &&\times\log^{k}\frac{e}{1-|\xi|^{2}} \log^{-k} \frac{e}{|1-\langle \xi, \varphi_{\xi}(w)\rangle|}\ {\rm d}v(w)\\ &\lesssim&\| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p} + \| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p} \sup\limits_{\xi\in B}\int_{B} \frac{(1-|w|^{2})^{b'-q-n-1}(1-|\xi|^{2})^{s-\sigma_{0}}}{|1-\langle w, \xi\rangle|^{b'+n+1+pa-\sigma_{0}} \log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}} \\ &&\times\log^{k}\frac{e}{1-|\xi|^{2}}\ {\rm d}v(w) \\ &\lesssim&\| f\| _{L(p, q, s, k)}^{p}. \end{eqnarray*}$

这表明 $\| T_{a, b}f\| _{L(p, q, s, k)}\leq c\| f\| _{L(p, q, s, k)}$ 对所有 $f\in A(p, q, s, k)$ 成立.从而 $T_{a, b}$ 是 $A(p, q, s.k)$ 到 $L(p, q, s, k)$ 的有界算子.

类似定理3.1的证明,我们可以得到下列结果.

定理 3.2 设 $k$ 为实数、 $p>0$ 、 $s> 0$ 、 $q+s>-1$ 、 $q+n>-1$ .若参数分别满足下列条件,则 $Q_{\alpha}$ 在 $F(p, q, s, k)$ 上有界.

(1) 当 $p>1$ 时, $\alpha>q+\max\{s, n\}$ .

(2) 当 $0<p\leq 1$ 时, ${\alpha>\frac{q+n+1}{p}+\frac{1}{p}\max\{s, n\}-n-1}$ .

最后,我们考虑投影算子 $P_{\alpha}$ 在 $F(p, q, s, k)$ 上的有界性.

定理 3.3 设 $k$ 为实数、 $p>0$ 、 $s> 0$ 、 $q+s>p-1$ 、 $q+n>p-1$ .若参数分别满足下列条件,则 $P_{\alpha}$ 在 $F(p, q, s, k)$ 上有界.

(1) 当 $p>1$ 时, $\alpha>q+\max\{s, n\}-1$ .

(2) 当 $0<p\leq 1$ 时, ${\alpha>\frac{q+n+1}{p}+\frac{1}{p}\max\{s, n\}-n-2}$ .

证若 $f\in F(p, q, s, k)$ ,则通过引理2.3可得

$\begin{eqnarray} (1-|w|^{2})^{q+n+1}|Rf(w)|^{p}\log^{k}\frac{e}{1-|w|^{2}}\leq c\| f\| _{F(p, q, s, k)}^{p} \ \ (w\in B). \end{eqnarray}$

(3.14)

因此,如果 $\beta>(q+n+1)/p-1$ ,则 $Rf\in A_{\beta}^{1}$ .利用文献[30]中定理2.2就有

$Rf(z) = \int_{B}\frac{Rf(u)}{(1-\langle z, u\rangle)^{n+1+\beta}}\ {\rm d}v_{\beta}(u) \ \ (z\in B).$

通过Fubini定理和 $Rf(0) = 0$ ,我们可得到

$f(z)-f(0) = \int_{B}Rf(u)\left\{\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{(1-\langle\rho z, u\rangle)^{n+\beta+1}}-1\right)\frac{1}{\rho}\ {\rm d}\rho\right\}{\rm d}v_{\beta}(u).$

通过简单计算就有

$\left|\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{(1-\langle\rho z, u\rangle)^{n+\beta+1}}-1\right)\frac{1}{\rho}\ {\rm d}\rho\right|\lesssim \frac{1}{|1-\langle z, u\rangle|^{n+\beta}},$

这表明

$\begin{eqnarray} |f(z)-f(0)| \lesssim\int_{B}\frac{|Rf(u)|}{|1-\langle z, u\rangle|^{n+\beta}}\ {\rm d}v_{\beta}(u). \end{eqnarray}$

(3.15)

另一方面,很显然

$P_{\alpha}f(z) = \int_{B}\frac{ f(w)\ {\rm d}v_{\alpha}(w)}{(1-\langle z, w\rangle)^{n+\alpha+1}} = \int_{B}\frac{f(w)-f(0)}{(1-\langle z, w\rangle)^{n+\alpha+1}}\ {\rm d}v_{\alpha}(w)+f(0) \ \ \ (z\in B).$

若 $\beta>\alpha+1$ ,则通过引理2.2中情形(2) (取 $k = 0$ )可得

$\begin{eqnarray} &&\int_{B}\frac{1}{|1-\langle z, w\rangle|^{n+\alpha+2}|1-\langle w, u\rangle|^{n+\beta}}\ {\rm d}v_{\alpha}(w) {}\\ & \simeq &\frac{1}{(1-|z|^{2})|1-\langle z, u\rangle|^{ n+\beta}}+ \frac{1}{(1-|u|^{2})^{\beta-\alpha-1} |1-\langle w, a\rangle|^{ n+\alpha+2}}. \end{eqnarray}$

(3.16)

因此,通过Fubini定理以及(3.15)–(3.16)式可得

$\begin{eqnarray} |RP_{\alpha}f(z)|& = &(n+1+\alpha)\left|\int_{B}\frac{\{f(w)-f(0)\}\langle z, w\rangle}{(1-\langle z, w\rangle)^{n+\alpha+2}}\ {\rm d}v_{\alpha}(w)\right| {}\\ & \lesssim&\int_{B}|Rf(u)|\left\{\frac{(1-|z|^{2})^{-1}}{|1-\langle z, u\rangle|^{n+\beta}}+\frac{(1-|u|^{2})^{-\beta+\alpha+1}}{|1-\langle z, u\rangle|^{n+\alpha+2}} \right\}{\rm d}v_{\beta}(u). \end{eqnarray}$

(3.17)

然后,我们选择充分大的 $\beta$ .通过(3.14)和(3.17)式,余下的证明类似定理3.1的处理,我们省略具体证明过程.

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... 当

$p\geq 1$

时,在范数

$\| \ \| _{F(p, q, s)}$

下,

$F(p, q, s)$

构成一个Banach空间.如果

$0<p<1$

,则

$F(p, q, s)$

在度量

$\rho(f, g) = \| f-g\| ^{p}_{F(p, q, s)}$

下构成一个完备的度量空间.单位圆盘上的

$F(p, q, s)$

空间是由赵如汉教授首先在文献[1]中引进,很快大量数学研究者就各种维数单位球上的该空间进行了研究,并且与

$F(p, q, s)$

相关的函数空间得到了广泛地研究,例如文献[2-27]等.

$F(p, q, s)$

含有一些经典的函数空间,例如, Bergman空间、加权Bergman空间、Besov空间、Dirichlet型空间、

$H^{2}$

空间、BMOA空间、Bloch型空间、Lipshitz型空间、

$Q_{s}$

空间等(参见文献[23]).当

$0<s<n$

时,该空间又是一个不同于上述任何函数空间的新函数空间. ...

Composition operators from β^α to F(p, q, s)

2003

... 当

$p\geq 1$

时,在范数

$\| \ \| _{F(p, q, s)}$

下,

$F(p, q, s)$

构成一个Banach空间.如果

$0<p<1$

,则

$F(p, q, s)$

在度量

$\rho(f, g) = \| f-g\| ^{p}_{F(p, q, s)}$

下构成一个完备的度量空间.单位圆盘上的

$F(p, q, s)$

空间是由赵如汉教授首先在文献[1]中引进,很快大量数学研究者就各种维数单位球上的该空间进行了研究,并且与

$F(p, q, s)$

相关的函数空间得到了广泛地研究,例如文献[2-27]等.

$F(p, q, s)$

含有一些经典的函数空间,例如, Bergman空间、加权Bergman空间、Besov空间、Dirichlet型空间、

$H^{2}$

空间、BMOA空间、Bloch型空间、Lipshitz型空间、

$Q_{s}$

空间等(参见文献[23]).当

$0<s<n$

时,该空间又是一个不同于上述任何函数空间的新函数空间. ...

Weighted composition operator from F(p, q, s) to Bloch type spaces on the unit ball

2008

Generalized weighted composition operators from the F(p, q, s) space to the Bloch-type space

2012

Weighted composition operators from F(p, q, s) into logarithmic Bloch space

2008

Product of extended Cesáro operator and composition operator from the logarithmic Bloch-type space to F(p, q, s) space on the unit ball

2013

Volterra composition operators from F(p, q, s) spaces to Bloch-type spaces

2011

On an integral-type operator from a weighted-type space to F(p, q, s) on the unit ball

2015

两个解析函数空间的加权复合算子

2006

两个解析函数空间的加权复合算子

2006

The equivalent norms of F(p, q, s) space in Cⁿ

2013

Gleason问题在多复变F(p, q, s)空间上的可解性

2010

Gleason问题在多复变F(p, q, s)空间上的可解性

2010

Cⁿ中空间F(p, q, s)到

$\beta^{\frac{q+n+1}{p}}$

的复合算子

2008

Cⁿ中空间F(p, q, s)到

$\beta^{\frac{q+n+1}{p}}$

的复合算子

2008

Cⁿ中F(p, q, s)空间的等价刻画及应用

2011

Cⁿ中F(p, q, s)空间的等价刻画及应用

2011

Compactness of the composition operators from the Bloch space B to Q_K spaces

2005

Cⁿ中F(p, q, s)型空间上的Bergman型算子

2017

... 众所周知,当

$p>1$

时,算子

$P_{\alpha}$

在Bergman空间

$A^{p}(B)$

上总是有界的,但当

$\alpha\neq 0$

时,它不是Hilbert空间

$L^{2}(B)$

到

$A^{2}(B)$

的正交投影.为了解决这个问题, Kolaski在文献[28]中考虑了从

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\beta})$

到

$A^{2}_{\beta}(B)$

$(\beta>-1)$

的投影算子,他证明了

$P_{\alpha}$

总是

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha})$

到

$L^{2}_{\alpha}(B)$

的有界算子,进一步他给出了

$P_{\alpha}$

是

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha})$

到

$L^{2}_{\alpha}(B)$

正交投影的充要条件为

$\alpha = \beta$

.在1991年,朱克和教授在文献[29]中研究了更一般的Bergman型算子

$T_{a, b}$

.至于为何要研究这类算子,至少有两方面的理由,一是Bergman型算子的共轭算子仍是这种形式,二是利用该算子可以刻画形如

$(1-|z|^{2})^{|m|}D^{m}f$

\ (其中

$m$

是多重指标)这类函数.鉴于算子

$T_{a, b}$

应用的广泛性,因此有很多数学研究者对其在相应函数空间之间的有界性条件做了系统性讨论.比如,朱克和教授在文献[30]中就

$p\geq 1$

情形给出了

$T_{a, b}$

在

$L^{p}_{\alpha}(B)$

上有界的充要条件;任广斌教授在文献[31]以及刘永民教授在文献[32]中就

$1\leq p\leq\infty$

且

$1\leq q\leq\infty$

情形分别在混合模空间

$L_{p, q}(\varphi)$

上讨论了同样的问题；黎深莲等在文献[15]中讨论过

$T_{a, b}$

从

$A(p, q, s)$

到

$L(p, q, s)$

的有界性.在文献[30]中,朱克和教授给出了当

$p\geq 1$

时

$T_{a, b}$

在

$L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$

上有界的充要条件为

$-pa<\beta+1<p(b+1)$

.既然空间

$L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$

是

$L(p, q, s, k)$

的特殊情形(

$q = \beta, s = k = 0$

),那么我们自然就问:在空间

$L(p, q, s, k)$

上有这么完美的结果吗?要解决这个问题,需要对空间

$L(p, q, s, k)$

做一系列前期工作,比如等价刻画、对偶空间、

$T_{a, b}$

的共轭算子等,这都是有相当难度的工作.本文中,我们只对

$T_{a, b}$

做点初步探讨,就所有

$p>0$

和实数

$k$

给出

$A(p, q, s, k)$

到

$L(p, q, s, k)$

算子

$T_{a, b}$

有界的一个充分条件,进一步在

$F(p, q, s, k)$

上考虑算子

$P_{\alpha}$

和

$Q_{\alpha}$

有界的充分条件,其中

$\alpha>-1$

且 ...

... 上述积分估计是球内单变点情形,毋庸置疑有着广泛地应用.至于球内双变点情形,最近在文献[15-17]中有系统讨论.为了对所有实数

$k$

讨论从空间

$A(p, q, s, k)$

到

$L(p, q, s, k)$

之间Bergman型算子的有界性,我们需要下列引理. ...

Cⁿ中F(p, q, s)型空间上的Bergman型算子

2017

... 众所周知,当

$p>1$

时,算子

$P_{\alpha}$

在Bergman空间

$A^{p}(B)$

上总是有界的,但当

$\alpha\neq 0$

时,它不是Hilbert空间

$L^{2}(B)$

到

$A^{2}(B)$

的正交投影.为了解决这个问题, Kolaski在文献[28]中考虑了从

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\beta})$

到

$A^{2}_{\beta}(B)$

$(\beta>-1)$

的投影算子,他证明了

$P_{\alpha}$

总是

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha})$

到

$L^{2}_{\alpha}(B)$

的有界算子,进一步他给出了

$P_{\alpha}$

是

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha})$

到

$L^{2}_{\alpha}(B)$

正交投影的充要条件为

$\alpha = \beta$

.在1991年,朱克和教授在文献[29]中研究了更一般的Bergman型算子

$T_{a, b}$

.至于为何要研究这类算子,至少有两方面的理由,一是Bergman型算子的共轭算子仍是这种形式,二是利用该算子可以刻画形如

$(1-|z|^{2})^{|m|}D^{m}f$

\ (其中

$m$

是多重指标)这类函数.鉴于算子

$T_{a, b}$

应用的广泛性,因此有很多数学研究者对其在相应函数空间之间的有界性条件做了系统性讨论.比如,朱克和教授在文献[30]中就

$p\geq 1$

情形给出了

$T_{a, b}$

在

$L^{p}_{\alpha}(B)$

上有界的充要条件;任广斌教授在文献[31]以及刘永民教授在文献[32]中就

$1\leq p\leq\infty$

且

$1\leq q\leq\infty$

情形分别在混合模空间

$L_{p, q}(\varphi)$

上讨论了同样的问题；黎深莲等在文献[15]中讨论过

$T_{a, b}$

从

$A(p, q, s)$

到

$L(p, q, s)$

的有界性.在文献[30]中,朱克和教授给出了当

$p\geq 1$

时

$T_{a, b}$

在

$L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$

上有界的充要条件为

$-pa<\beta+1<p(b+1)$

.既然空间

$L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$

是

$L(p, q, s, k)$

的特殊情形(

$q = \beta, s = k = 0$

),那么我们自然就问:在空间

$L(p, q, s, k)$

上有这么完美的结果吗?要解决这个问题,需要对空间

$L(p, q, s, k)$

做一系列前期工作,比如等价刻画、对偶空间、

$T_{a, b}$

的共轭算子等,这都是有相当难度的工作.本文中,我们只对

$T_{a, b}$

做点初步探讨,就所有

$p>0$

和实数

$k$

给出

$A(p, q, s, k)$

到

$L(p, q, s, k)$

算子

$T_{a, b}$

有界的一个充分条件,进一步在

$F(p, q, s, k)$

上考虑算子

$P_{\alpha}$

和

$Q_{\alpha}$

有界的充分条件,其中

$\alpha>-1$

且 ...

... 上述积分估计是球内单变点情形,毋庸置疑有着广泛地应用.至于球内双变点情形,最近在文献[15-17]中有系统讨论.为了对所有实数

$k$

讨论从空间

$A(p, q, s, k)$

到

$L(p, q, s, k)$

之间Bergman型算子的有界性,我们需要下列引理. ...

An integral estimate and the equivalent norms on F(p, q, s, k) spaces in the unit ball

2018

... 证当

$k\geq 0$

时,结果来自文献[16].当

$k<0$

时,其证明类似文献[16]中定理3.1的处理,但证明难度会大很多,处理需要更精细, 17种完整双向估计的结果和证明可参考学位论文[34],这里我们省略详细证明. ...

... 时,其证明类似文献[16]中定理3.1的处理,但证明难度会大很多,处理需要更精细, 17种完整双向估计的结果和证明可参考学位论文[34],这里我们省略详细证明. ...

Cⁿ中单位球上一般Hardy型空间的几种等价刻画

2019

... 上述积分估计是球内单变点情形,毋庸置疑有着广泛地应用.至于球内双变点情形,最近在文献[15-17]中有系统讨论.为了对所有实数

$k$

讨论从空间

$A(p, q, s, k)$

到

$L(p, q, s, k)$

之间Bergman型算子的有界性,我们需要下列引理. ...

Cⁿ中单位球上一般Hardy型空间的几种等价刻画

2019

... 上述积分估计是球内单变点情形,毋庸置疑有着广泛地应用.至于球内双变点情形,最近在文献[15-17]中有系统讨论.为了对所有实数

$k$

讨论从空间

$A(p, q, s, k)$

到

$L(p, q, s, k)$

之间Bergman型算子的有界性,我们需要下列引理. ...

M?bius invariant gradient and little α-Bloch functions

2002

Weighted composition operators between μ-Bloch spaces on the unit ball

2005

On an integral-type operator from ω-Bloch spaces to μ-Zygmund spaces

2010

Characterizations of Bergman spaces and Bloch space in the unit ball of Cⁿ

1995

Composition operators on the Bloch space of several complex variables

2000

超球上F(p, q, s)空间上的几个问题

2009

... 当

$p\geq 1$

时,在范数

$\| \ \| _{F(p, q, s)}$

下,

$F(p, q, s)$

构成一个Banach空间.如果

$0<p<1$

,则

$F(p, q, s)$

在度量

$\rho(f, g) = \| f-g\| ^{p}_{F(p, q, s)}$

下构成一个完备的度量空间.单位圆盘上的

$F(p, q, s)$

空间是由赵如汉教授首先在文献[1]中引进,很快大量数学研究者就各种维数单位球上的该空间进行了研究,并且与

$F(p, q, s)$

相关的函数空间得到了广泛地研究,例如文献[2-27]等.

$F(p, q, s)$

含有一些经典的函数空间,例如, Bergman空间、加权Bergman空间、Besov空间、Dirichlet型空间、

$H^{2}$

空间、BMOA空间、Bloch型空间、Lipshitz型空间、

$Q_{s}$

空间等(参见文献[23]).当

$0<s<n$

时,该空间又是一个不同于上述任何函数空间的新函数空间. ...

超球上F(p, q, s)空间上的几个问题

2009

... 当

$p\geq 1$

时,在范数

$\| \ \| _{F(p, q, s)}$

下,

$F(p, q, s)$

构成一个Banach空间.如果

$0<p<1$

,则

$F(p, q, s)$

在度量

$\rho(f, g) = \| f-g\| ^{p}_{F(p, q, s)}$

下构成一个完备的度量空间.单位圆盘上的

$F(p, q, s)$

空间是由赵如汉教授首先在文献[1]中引进,很快大量数学研究者就各种维数单位球上的该空间进行了研究,并且与

$F(p, q, s)$

相关的函数空间得到了广泛地研究,例如文献[2-27]等.

$F(p, q, s)$

含有一些经典的函数空间,例如, Bergman空间、加权Bergman空间、Besov空间、Dirichlet型空间、

$H^{2}$

空间、BMOA空间、Bloch型空间、Lipshitz型空间、

$Q_{s}$

空间等(参见文献[23]).当

$0<s<n$

时,该空间又是一个不同于上述任何函数空间的新函数空间. ...

Composition operators on F(p, q, s) type spaces in the unit ball of Cⁿ

2019

The Gleason's problem on F(p, q, s) type spaces in the unit ball of Cⁿ

2018

The equivalent characterization of F(p, q, s) space on bounded symmetric domains of Cⁿ

2017

Projections on spaces of holomorphic functions on balls

1974

... 当

$p\geq 1$

时,在范数

$\| \ \| _{F(p, q, s)}$

下,

$F(p, q, s)$

构成一个Banach空间.如果

$0<p<1$

,则

$F(p, q, s)$

在度量

$\rho(f, g) = \| f-g\| ^{p}_{F(p, q, s)}$

下构成一个完备的度量空间.单位圆盘上的

$F(p, q, s)$

空间是由赵如汉教授首先在文献[1]中引进,很快大量数学研究者就各种维数单位球上的该空间进行了研究,并且与

$F(p, q, s)$

相关的函数空间得到了广泛地研究,例如文献[2-27]等.

$F(p, q, s)$

含有一些经典的函数空间,例如, Bergman空间、加权Bergman空间、Besov空间、Dirichlet型空间、

$H^{2}$

空间、BMOA空间、Bloch型空间、Lipshitz型空间、

$Q_{s}$

空间等(参见文献[23]).当

$0<s<n$

时,该空间又是一个不同于上述任何函数空间的新函数空间. ...

... 在文献[27]中, Forelli和Rudin首先引进如下投影算子 ...

A new look at a theorem of Forelli and Rudin

1979

... 众所周知,当

$p>1$

时,算子

$P_{\alpha}$

在Bergman空间

$A^{p}(B)$

上总是有界的,但当

$\alpha\neq 0$

时,它不是Hilbert空间

$L^{2}(B)$

到

$A^{2}(B)$

的正交投影.为了解决这个问题, Kolaski在文献[28]中考虑了从

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\beta})$

到

$A^{2}_{\beta}(B)$

$(\beta>-1)$

的投影算子,他证明了

$P_{\alpha}$

总是

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha})$

到

$L^{2}_{\alpha}(B)$

的有界算子,进一步他给出了

$P_{\alpha}$

是

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha})$

到

$L^{2}_{\alpha}(B)$

正交投影的充要条件为

$\alpha = \beta$

.在1991年,朱克和教授在文献[29]中研究了更一般的Bergman型算子

$T_{a, b}$

.至于为何要研究这类算子,至少有两方面的理由,一是Bergman型算子的共轭算子仍是这种形式,二是利用该算子可以刻画形如

$(1-|z|^{2})^{|m|}D^{m}f$

\ (其中

$m$

是多重指标)这类函数.鉴于算子

$T_{a, b}$

应用的广泛性,因此有很多数学研究者对其在相应函数空间之间的有界性条件做了系统性讨论.比如,朱克和教授在文献[30]中就

$p\geq 1$

情形给出了

$T_{a, b}$

在

$L^{p}_{\alpha}(B)$

上有界的充要条件;任广斌教授在文献[31]以及刘永民教授在文献[32]中就

$1\leq p\leq\infty$

且

$1\leq q\leq\infty$

情形分别在混合模空间

$L_{p, q}(\varphi)$

上讨论了同样的问题；黎深莲等在文献[15]中讨论过

$T_{a, b}$

从

$A(p, q, s)$

到

$L(p, q, s)$

的有界性.在文献[30]中,朱克和教授给出了当

$p\geq 1$

时

$T_{a, b}$

在

$L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$

上有界的充要条件为

$-pa<\beta+1<p(b+1)$

.既然空间

$L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$

是

$L(p, q, s, k)$

的特殊情形(

$q = \beta, s = k = 0$

),那么我们自然就问:在空间

$L(p, q, s, k)$

上有这么完美的结果吗?要解决这个问题,需要对空间

$L(p, q, s, k)$

做一系列前期工作,比如等价刻画、对偶空间、

$T_{a, b}$

的共轭算子等,这都是有相当难度的工作.本文中,我们只对

$T_{a, b}$

做点初步探讨,就所有

$p>0$

和实数

$k$

给出

$A(p, q, s, k)$

到

$L(p, q, s, k)$

算子

$T_{a, b}$

有界的一个充分条件,进一步在

$F(p, q, s, k)$

上考虑算子

$P_{\alpha}$

和

$Q_{\alpha}$

有界的充分条件,其中

$\alpha>-1$

且 ...

A Forelli-Rudin type theorem with applications

1991

... 众所周知,当

$p>1$

时,算子

$P_{\alpha}$

在Bergman空间

$A^{p}(B)$

上总是有界的,但当

$\alpha\neq 0$

时,它不是Hilbert空间

$L^{2}(B)$

到

$A^{2}(B)$

的正交投影.为了解决这个问题, Kolaski在文献[28]中考虑了从

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\beta})$

到

$A^{2}_{\beta}(B)$

$(\beta>-1)$

的投影算子,他证明了

$P_{\alpha}$

总是

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha})$

到

$L^{2}_{\alpha}(B)$

的有界算子,进一步他给出了

$P_{\alpha}$

是

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha})$

到

$L^{2}_{\alpha}(B)$

正交投影的充要条件为

$\alpha = \beta$

.在1991年,朱克和教授在文献[29]中研究了更一般的Bergman型算子

$T_{a, b}$

.至于为何要研究这类算子,至少有两方面的理由,一是Bergman型算子的共轭算子仍是这种形式,二是利用该算子可以刻画形如

$(1-|z|^{2})^{|m|}D^{m}f$

\ (其中

$m$

是多重指标)这类函数.鉴于算子

$T_{a, b}$

应用的广泛性,因此有很多数学研究者对其在相应函数空间之间的有界性条件做了系统性讨论.比如,朱克和教授在文献[30]中就

$p\geq 1$

情形给出了

$T_{a, b}$

在

$L^{p}_{\alpha}(B)$

上有界的充要条件;任广斌教授在文献[31]以及刘永民教授在文献[32]中就

$1\leq p\leq\infty$

且

$1\leq q\leq\infty$

情形分别在混合模空间

$L_{p, q}(\varphi)$

上讨论了同样的问题；黎深莲等在文献[15]中讨论过

$T_{a, b}$

从

$A(p, q, s)$

到

$L(p, q, s)$

的有界性.在文献[30]中,朱克和教授给出了当

$p\geq 1$

时

$T_{a, b}$

在

$L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$

上有界的充要条件为

$-pa<\beta+1<p(b+1)$

.既然空间

$L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$

是

$L(p, q, s, k)$

的特殊情形(

$q = \beta, s = k = 0$

),那么我们自然就问:在空间

$L(p, q, s, k)$

上有这么完美的结果吗?要解决这个问题,需要对空间

$L(p, q, s, k)$

做一系列前期工作,比如等价刻画、对偶空间、

$T_{a, b}$

的共轭算子等,这都是有相当难度的工作.本文中,我们只对

$T_{a, b}$

做点初步探讨,就所有

$p>0$

和实数

$k$

给出

$A(p, q, s, k)$

到

$L(p, q, s, k)$

算子

$T_{a, b}$

有界的一个充分条件,进一步在

$F(p, q, s, k)$

上考虑算子

$P_{\alpha}$

和

$Q_{\alpha}$

有界的充分条件,其中

$\alpha>-1$

且 ...

2005

... 众所周知,当

$p>1$

时,算子

$P_{\alpha}$

在Bergman空间

$A^{p}(B)$

上总是有界的,但当

$\alpha\neq 0$

时,它不是Hilbert空间

$L^{2}(B)$

到

$A^{2}(B)$

的正交投影.为了解决这个问题, Kolaski在文献[28]中考虑了从

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\beta})$

到

$A^{2}_{\beta}(B)$

$(\beta>-1)$

的投影算子,他证明了

$P_{\alpha}$

总是

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha})$

到

$L^{2}_{\alpha}(B)$

的有界算子,进一步他给出了

$P_{\alpha}$

是

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha})$

到

$L^{2}_{\alpha}(B)$

正交投影的充要条件为

$\alpha = \beta$

.在1991年,朱克和教授在文献[29]中研究了更一般的Bergman型算子

$T_{a, b}$

.至于为何要研究这类算子,至少有两方面的理由,一是Bergman型算子的共轭算子仍是这种形式,二是利用该算子可以刻画形如

$(1-|z|^{2})^{|m|}D^{m}f$

\ (其中

$m$

是多重指标)这类函数.鉴于算子

$T_{a, b}$

应用的广泛性,因此有很多数学研究者对其在相应函数空间之间的有界性条件做了系统性讨论.比如,朱克和教授在文献[30]中就

$p\geq 1$

情形给出了

$T_{a, b}$

在

$L^{p}_{\alpha}(B)$

上有界的充要条件;任广斌教授在文献[31]以及刘永民教授在文献[32]中就

$1\leq p\leq\infty$

且

$1\leq q\leq\infty$

情形分别在混合模空间

$L_{p, q}(\varphi)$

上讨论了同样的问题；黎深莲等在文献[15]中讨论过

$T_{a, b}$

从

$A(p, q, s)$

到

$L(p, q, s)$

的有界性.在文献[30]中,朱克和教授给出了当

$p\geq 1$

时

$T_{a, b}$

在

$L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$

上有界的充要条件为

$-pa<\beta+1<p(b+1)$

.既然空间

$L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$

是

$L(p, q, s, k)$

的特殊情形(

$q = \beta, s = k = 0$

),那么我们自然就问:在空间

$L(p, q, s, k)$

上有这么完美的结果吗?要解决这个问题,需要对空间

$L(p, q, s, k)$

做一系列前期工作,比如等价刻画、对偶空间、

$T_{a, b}$

的共轭算子等,这都是有相当难度的工作.本文中,我们只对

$T_{a, b}$

做点初步探讨,就所有

$p>0$

和实数

$k$

给出

$A(p, q, s, k)$

到

$L(p, q, s, k)$

算子

$T_{a, b}$

有界的一个充分条件,进一步在

$F(p, q, s, k)$

上考虑算子

$P_{\alpha}$

和

$Q_{\alpha}$

有界的充分条件,其中

$\alpha>-1$

且 ...

... 的有界性.在文献[30]中,朱克和教授给出了当

$p\geq 1$

时

$T_{a, b}$

在

$L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$

上有界的充要条件为

$-pa<\beta+1<p(b+1)$

.既然空间

$L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$

是

$L(p, q, s, k)$

的特殊情形(

$q = \beta, s = k = 0$

),那么我们自然就问:在空间

$L(p, q, s, k)$

上有这么完美的结果吗?要解决这个问题,需要对空间

$L(p, q, s, k)$

做一系列前期工作,比如等价刻画、对偶空间、

$T_{a, b}$

的共轭算子等,这都是有相当难度的工作.本文中,我们只对

$T_{a, b}$

做点初步探讨,就所有

$p>0$

和实数

$k$

给出

$A(p, q, s, k)$

到

$L(p, q, s, k)$

算子

$T_{a, b}$

有界的一个充分条件,进一步在

$F(p, q, s, k)$

上考虑算子

$P_{\alpha}$

和

$Q_{\alpha}$

有界的充分条件,其中

$\alpha>-1$

且 ...

... 证 (1) 对

$z\in B$

和

$r>0$

,设

$D(z, r)$

表示以

$z$

为中心、

$r$

为半径的Bergman球.根据文献[30]中引理2.24和引理2.20可得 ...

... 通过(3.3)和(3.5)式、文献[30]中的引理1.2、Fubini定理可得 ...

... 条件

$p\delta>0$

和

$b>q+(p-1)a+n$

表明

$a+b+p\delta-pa-q-n-1>-1$

.通过(3.2)和(3.4)以及(3.7)式、文献[30]中引理1.2、Fubini定理、引理2.2 (1) (取

$t = a+b+n+1$

和

$r = 0$

),我们得到 ...

... 利用文献[30]中引理2.15得到 ...

... 我们取

$0<\sigma_{0}<s$

.通过(3.8)–(3.10)式和(3.1)式、文献[30]中引理1.2、Fubini定理、引理2.2(1) (取

$t = b'+n+1+pa-\sigma_{0}$

和

$r = 0$

),我们得到 ...

... 我们取

$0<\sigma_{0}<s/2$

.利用

$x>1$

时

$\log x<x$

、(3.8)–(3.9)式、(3.11)和(3.1)式、文献[30]中引理1.2、Fubini定理、引理2.2(1) (取

$t = b'+n+1+pa-2\sigma_{0}$

和

$r = 0$

),我们得到 ...

... 设

$0<\sigma_{0}<s$

.通过(3.8)–(3.9)和(3.12)–(3.13)式、(3.1)式、文献[30]中引理1.2、

$k+1<0$

、Fubini定理和引理2.2(1) (取

$t = b'+n+1+pa-\sigma_{0}$

和

$r = 0$

),我们有 ...

... 因此,如果

$\beta>(q+n+1)/p-1$

,则

$Rf\in A_{\beta}^{1}$

.利用文献[30]中定理2.2就有 ...

Bergman type operator on mixed norm space and applications

1997

... 众所周知,当

$p>1$

时,算子

$P_{\alpha}$

在Bergman空间

$A^{p}(B)$

上总是有界的,但当

$\alpha\neq 0$

时,它不是Hilbert空间

$L^{2}(B)$

到

$A^{2}(B)$

的正交投影.为了解决这个问题, Kolaski在文献[28]中考虑了从

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\beta})$

到

$A^{2}_{\beta}(B)$

$(\beta>-1)$

的投影算子,他证明了

$P_{\alpha}$

总是

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha})$

到

$L^{2}_{\alpha}(B)$

的有界算子,进一步他给出了

$P_{\alpha}$

是

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha})$

到

$L^{2}_{\alpha}(B)$

正交投影的充要条件为

$\alpha = \beta$

.在1991年,朱克和教授在文献[29]中研究了更一般的Bergman型算子

$T_{a, b}$

.至于为何要研究这类算子,至少有两方面的理由,一是Bergman型算子的共轭算子仍是这种形式,二是利用该算子可以刻画形如

$(1-|z|^{2})^{|m|}D^{m}f$

\ (其中

$m$

是多重指标)这类函数.鉴于算子

$T_{a, b}$

应用的广泛性,因此有很多数学研究者对其在相应函数空间之间的有界性条件做了系统性讨论.比如,朱克和教授在文献[30]中就

$p\geq 1$

情形给出了

$T_{a, b}$

在

$L^{p}_{\alpha}(B)$

上有界的充要条件;任广斌教授在文献[31]以及刘永民教授在文献[32]中就

$1\leq p\leq\infty$

且

$1\leq q\leq\infty$

情形分别在混合模空间

$L_{p, q}(\varphi)$

上讨论了同样的问题；黎深莲等在文献[15]中讨论过

$T_{a, b}$

从

$A(p, q, s)$

到

$L(p, q, s)$

的有界性.在文献[30]中,朱克和教授给出了当

$p\geq 1$

时

$T_{a, b}$

在

$L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$

上有界的充要条件为

$-pa<\beta+1<p(b+1)$

.既然空间

$L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$

是

$L(p, q, s, k)$

的特殊情形(

$q = \beta, s = k = 0$

),那么我们自然就问:在空间

$L(p, q, s, k)$

上有这么完美的结果吗?要解决这个问题,需要对空间

$L(p, q, s, k)$

做一系列前期工作,比如等价刻画、对偶空间、

$T_{a, b}$

的共轭算子等,这都是有相当难度的工作.本文中,我们只对

$T_{a, b}$

做点初步探讨,就所有

$p>0$

和实数

$k$

给出

$A(p, q, s, k)$

到

$L(p, q, s, k)$

算子

$T_{a, b}$

有界的一个充分条件,进一步在

$F(p, q, s, k)$

上考虑算子

$P_{\alpha}$

和

$Q_{\alpha}$

有界的充分条件,其中

$\alpha>-1$

且 ...

Boundedness of the Bergman type operators on mixed norm spaces

2002

... 众所周知,当

$p>1$

时,算子

$P_{\alpha}$

在Bergman空间

$A^{p}(B)$

上总是有界的,但当

$\alpha\neq 0$

时,它不是Hilbert空间

$L^{2}(B)$

到

$A^{2}(B)$

的正交投影.为了解决这个问题, Kolaski在文献[28]中考虑了从

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\beta})$

到

$A^{2}_{\beta}(B)$

$(\beta>-1)$

的投影算子,他证明了

$P_{\alpha}$

总是

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha})$

到

$L^{2}_{\alpha}(B)$

的有界算子,进一步他给出了

$P_{\alpha}$

是

$L^{2}(B, {\rm d}v_{\alpha})$

到

$L^{2}_{\alpha}(B)$

正交投影的充要条件为

$\alpha = \beta$

.在1991年,朱克和教授在文献[29]中研究了更一般的Bergman型算子

$T_{a, b}$

.至于为何要研究这类算子,至少有两方面的理由,一是Bergman型算子的共轭算子仍是这种形式,二是利用该算子可以刻画形如

$(1-|z|^{2})^{|m|}D^{m}f$

\ (其中

$m$

是多重指标)这类函数.鉴于算子

$T_{a, b}$

应用的广泛性,因此有很多数学研究者对其在相应函数空间之间的有界性条件做了系统性讨论.比如,朱克和教授在文献[30]中就

$p\geq 1$

情形给出了

$T_{a, b}$

在

$L^{p}_{\alpha}(B)$

上有界的充要条件;任广斌教授在文献[31]以及刘永民教授在文献[32]中就

$1\leq p\leq\infty$

且

$1\leq q\leq\infty$

情形分别在混合模空间

$L_{p, q}(\varphi)$

上讨论了同样的问题；黎深莲等在文献[15]中讨论过

$T_{a, b}$

从

$A(p, q, s)$

到

$L(p, q, s)$

的有界性.在文献[30]中,朱克和教授给出了当

$p\geq 1$

时

$T_{a, b}$

在

$L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$

上有界的充要条件为

$-pa<\beta+1<p(b+1)$

.既然空间

$L^{p}(B, {\rm d}v_{\beta})$

是

$L(p, q, s, k)$

的特殊情形(

$q = \beta, s = k = 0$

),那么我们自然就问:在空间

$L(p, q, s, k)$

上有这么完美的结果吗?要解决这个问题,需要对空间

$L(p, q, s, k)$

做一系列前期工作,比如等价刻画、对偶空间、

$T_{a, b}$

的共轭算子等,这都是有相当难度的工作.本文中,我们只对

$T_{a, b}$

做点初步探讨,就所有

$p>0$

和实数

$k$

给出

$A(p, q, s, k)$

到

$L(p, q, s, k)$

算子

$T_{a, b}$

有界的一个充分条件,进一步在

$F(p, q, s, k)$

上考虑算子

$P_{\alpha}$

和

$Q_{\alpha}$

有界的充分条件,其中

$\alpha>-1$

且 ...

Function Theory in the Unit Ball of Cⁿ

1980

... 这个结果来自文献[33,命题1.4.10]. ...

... 证当

$k\geq 0$

时,结果来自文献[16].当

$k<0$

... 证当

$k\geq 0$

时,结果来自文献[16].当

$k<0$

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