文献[1]中,为了研究${{\Bbb R}}$上拟对称同胚映射的局部特性及其与伸缩商之间的相互关系,作者引入了实轴上同胚的拟对称(QS)指数概念.例如在文献[1]中,作者证明了对于实轴${{\Bbb R}}$上的任何拟对称同胚映射$f$,都有

其中$\alpha_f$是$f$的QS指数(定义见下文), $H_f$, $K_f$和$M_f$分别为$f$边界伸缩商、最大伸缩商和模伸缩商^[1].上述这些关系在探索等式$M_f = K_f$成立的充分必要条件和研究拟对称同胚映射的特性时起了重要作用^[1-6].不仅如此,这些概念还和拟极值距离常数(QED)等其他问题有紧密的联系^[7-12].

本文中,我们将介绍同胚映射的另外两个指数：Hölder指数和代数指数,并讨论了它们和拟对称指数之间的关系.

Beurling和Ahlfors在文献[13]中将实轴上的拟对称同胚定义为上半平面上的拟共形自映射的边界值.他们证明了${{\Bbb R}}$上同胚映射是拟对称映射的充分必要条件是该映射满足著名的$M$条件.后来这个重要的概念被推广到欧几里得空间和更一般的度量空间^[14-15].为了更好的理解拟对称指数的概念,我们回顾拟对称映射的如下定义和基本性质.

${{\Bbb R}}$上的拟对称同胚映射传统上是由Ahlfors的$M$条件定义的. Tukia和Väisälä定义了一般度量空间上的情形^[15].度量空间上的嵌入映射$f: X\rightarrow Y$称为拟对称(或QS),如果存在同胚映射$\eta: [0, \infty)\rightarrow [0, \infty)$使得对任意不同的点$a, b, c\in X$和所有的$t>0$,有

这时也称$f$为$\eta$ -拟对称. Tukia和Väisälä证明了这两个定义在${{\Bbb R}}$上是等价的^[15].从$\eta$ -拟对称的定义可知,如果相应距离的改变量是由偏差函数$\eta$控制的有界量,则映射$f$是拟对称.众所周知,在欧几里得空间中,偏差函数总是可以取为如下特殊形式的函数^[14-15]

这里$C\geq 1$, $\lambda\geq 1$均为常数.为了探索同胚映射的局部拟对称特征,在文献[1]中,定义了如下的拟对称指数概念.

设$f$是${{\Bbb R}}$到自身的同胚映.对任意给定的$x_0\in{{\Bbb R}}$, $f$在$x_0$的局部拟对称指数,记为$\alpha_f(x_0)$,定义为$\alpha_f(x_0) = \inf\lambda,$其中的下确界取遍具有如下特征的所有指数$\lambda\geq1$：存在常数$M$和$x_0$的一个邻域$U$,使得对任意不同的三点$x, y, z\in U$,有

$f$的拟对称指数定义为${ } \alpha_f = \sup\limits_{x\in {{\Bbb R}}}\alpha_f(x).$

如果$f:{{\Bbb R}} \rightarrow {{\Bbb R}}$为$\eta$-拟对称,则拟对称指数$\alpha_f$是有限数且仅依赖于$\eta$.然而这个命题的逆命题不成立.例如,设

对任意点$x_0\in {{\Bbb R}}$, $\alpha_f(x_0) = 1$,但是$f$不是拟对称的.因此拟对称指数仅仅刻画同胚映射的局部拟对称特征.

显然,拟对称同胚是局部Hölder连续的(见文[16-17]).因此可以定义同胚的Hölder指数.设$f$是${{\Bbb R}}$到自身的同胚映射.对任意给定的$x_0\in {{\Bbb R}}$, $f$在$x_0$的局部Hölder指数$\beta_f(x_0)$定义为$\beta_f(x_0) = \inf\lambda,$其中下确界取遍满足如下性质的指数$\lambda\geq 1$:存在常数$L$和$x_0$的邻域$U$使得对任意不同的$x, y\in U$, $\frac{1}{L}|x-y|^{\lambda}\leq |f(x)-f(y)|\leq L |x-y|^{\frac{1}{\lambda}}.$$f$的Hölder指数定义为${ } \beta_f = \sup\limits_{x\in {{\Bbb R}}}\beta_f(x).$

注意到拟对称指数和Hölder指数是分别用三个点和两个点的条件来定义,我们可用一个点条件来定义如下指数.设$f$为${{\Bbb R}}$到自身的同胚.对任意固定的点$x_0\in {{\Bbb R}}$, $f$在$x_0$的局部代数指数$\gamma_f(x_0)$定义为$\gamma_f(x_0) = \inf\lambda,$其中的下确界取遍满足如下性质的常数$\lambda\geq 1$:存在常数$K$和$x_0$的邻域$U$使得对任意的$x\in U$,有

$f$的代数指数定义为${ } \gamma_f = \sup\limits_{x\in {{\Bbb R}} } \gamma_f(x).$

在这节中,我们讨论上述定义的同胚指数之间关系.首先证明上述指数在逆映射下的不变性.

定理 3.1   设$f$是${{\Bbb R}}$到自身的同胚.则对任意的$x_0\in{{\Bbb R}}$,有

证  为了证明$\alpha_f(x_0) = \alpha_{f^{-1}}(f(x_0))$,不妨假设其中一个有限.在这种情形下, $f$和$f^{-1}$在$x_0$的某邻域内都是局部拟对称.为了符号的简便,记$\alpha = \alpha_f(x_0)$和$\alpha' = \alpha_{f^{-1}}(f(x_0))$.

固定$\epsilon>0$.由拟对称指数$\alpha_f(x_0)$的定义,存在常数$M$和$x_0$的邻域$U$使得对任意不同的$x, y, z\in U$,有

因此,对所有$f(x), f(y), f(z)\in U' = f(U)$,有

这表明对任意$\epsilon>0$, $f^{-1}$在$f(x_0)$点的(局部)拟对称指数不大于$\alpha+\epsilon$.故$\alpha'\leq \alpha$.类似的, $\alpha\leq \alpha'$也成立.

对Hölder指数,设$\beta = \beta_f(x_0)<\infty$.给定$\epsilon>0$,由定义可知存在常数$L$和$x_0$的邻域$U(x_0)$,使得对所有$x, y\in U(x_0)$,有

因此对所有$x, y\in U'(f(x_0)) = f(U(x_0))$,有

故$\beta_{f^{-1}}(f(x_0))\leq \beta_f(x_0)$.由对称性可得$\beta_f(x_0)\leq \beta_{f^{-1}}(f(x_0))$.故等式成立.

最后,由相同的方法可得到代数指数的等式.

接下来,我们给出关于代数指数、Hölder指数和拟对称指数的相应结果.

定理 3.2   设$f$是${{\Bbb R}}$到自身的同胚.则对任意的$x_0\in{{\Bbb R}}$,有

证  为了符号上的方便,记$\alpha = \alpha_f(x_0)$, $\beta = \beta_f(x_0)$和$\gamma = \gamma_f(x_0)$.给定$\epsilon>0$.由Hölder指数的定义,存在常数$L$和$x_0$的邻域$U(x_0)$使得

对任意的$x, y\in U(x_0)$都成立.令$y = x_0$可得

对任意的$x\in U(x_0)$都成立.由此$\gamma\leq \beta+\epsilon$.从而$\gamma\leq \beta$.

为了证明不等式$\beta \leq \alpha$,给定任意$\epsilon>0$,由$\alpha$的定义,存在常数$M$和$x_0$的邻域$U$使得

对任意不同的$x, y, z\in U$都成立.对任意$x, y\in U$,选取$z\in U$使得$|y-z|\geq d(U)/2$,其中$d(A)$为集合$A$的直径.这样$|f(x)-f(y)|$有上界

根据需要适当缩小邻域,不妨假设$d(U)\leq 1$且$d(f(U))\leq 1$.对所有$x, y\in U$以及

由上面不等式可知

对$f^{-1}$运用上面相同的步骤可知

对所有$x, y\in f(U)$和某个常数$L'$成立.结合上述不等式可知对任意不同的$x, y\in U$,有

由此可得$\beta_f(x_0)\leq \alpha+\epsilon$.令$\epsilon \rightarrow 0$即得$\beta\leq \alpha$.

在下一节中,我们将说明定理3.2的反向不等式一般是不成立的.

在本节中,我们利用前面得到的定理估计某些特殊同胚映射的各种指数.这些例子有助于理清一般情形下各种指数之间的关系.

例 1  考虑如下的同胚映射$f: {{\Bbb R}} \rightarrow {{\Bbb R}}$,

容易看出存在$0$的邻域$U(0)$使得对任意$x, y\in U(0)$,有

这表明

不仅如此,由于对所有$x>0$, $|f(x)| = |x|^2$,显然$\gamma_f(0)\geq 2$.由此可知

另一方面,由于$f$在$0$处不是局部拟对称,故$\alpha_f(0) = \infty$.这个例子说明定理3.2第二个不等式的反向不成立.

在下个例子中,我们考虑上半平面上的拟共形映射$f(z) = |z|^{\lambda-1}z$ ($\lambda\geq 1$)的边界值.值得指出的是,在拟共形映射理论中,这个函数是许多重要的极值问题的极值函数^{[16, 18]}.

例 2  设$\lambda\geq 1$.则对${{\Bbb R}}$到自身的同胚映射$f(x) = |x|^{\lambda-1}x$,有

证  由于$|f(x)| = |x|^{\lambda}$,因此$\gamma_f(0)\geq \lambda$.由定理3.2,我们只需证明$\alpha_f(0)\leq \lambda$即可.也即是只要证明存在常数$M$和$0$的邻域$U$使得

对任意不同的$x, y, z\in U$都成立.

用反证法.假如不成立.则存在序列$x_n, y_n, z_n \rightarrow 0$使得

这里

以及$x_n' = f(x_n)$, $y_n' = f(y_n)$, $z_n' = f(z_n)$.通过选取需要的子列,可进一步假设对所有$n$, $y_n\neq 0$,且下述极限存在或等于无穷

其中

使用前面的记号,记

为了得到与(4.2)矛盾的结果,我们将根据极限$r$和$t$的值分为如下几种情况进行讨论.

情形 1  若$r\neq 1$且$t\neq 1$.这时可得

这与(4.2)式矛盾.

情形 2  若$r = 1$且$t\neq 1$.简单计算可得

这同样与(4.2)式矛盾.

情形 3  若$r\neq 1$且$t = 1$.这时仍可得到

这与(4.2)式矛盾.

情形 4  若$r = 1$且$t = 1$.注意到

令$\tau_n\rightarrow \tau$可得

上面两个极限值之一必有限,与(4.2)式矛盾.由上述矛盾可知(4.1)式成立,因此$\alpha_f(0)\leq \lambda$.

由定理3.2,对${{\Bbb R}}$上的任意同胚$f$,有

例 1  说明对一般的同胚映射,等式$\beta_f(x_0) = \alpha_f(x_0)$未必成立.下面例子将说明等式$\gamma_f(x_0) = \beta_f(x_0)$也未必成立.不仅如此,下面的例子还说明对例2中的映射$|x|^{\lambda-1}x$的小扰动将极大的改变指数的关系.为了计算上的简单,我们仅考虑$\lambda = 1$的情形.

例 3   存在${{\Bbb R}}$到自身的同胚映射$f(x) = (1+g(x))x$使得

这里$g(x):{{\Bbb R}} \rightarrow {{\Bbb R}}$为连续函数且满足当$x\rightarrow 0$时$g(x)\rightarrow 0$.

证  首先我们构造函数$g(x)$.对$n = 1, 2, \cdots$,令

定义$g(x)$如下

注意到在区间$\left[\frac{1}{n}-s_n, \frac{1}{n}\right]$上,函数$g(x)$的图像是斜率为$n^2$的线段.这正是这个例子的关键特征.容易验证$g(x): {{\Bbb R}} \rightarrow \ [0, 1]$为连续递增函数且满足当$x\rightarrow 0$时$g(x)\rightarrow 0$.故

为${{\Bbb R}}$到自身的递增同胚映射.

下面分析在$0$处$g(x)$的小扰动对$f(x)$的三个指数的影响.在$0$的邻域内,显然

因此, $\gamma_f(0) = 1$.

接下来考虑拟对称指数.我们断言$f$不是局部拟对称.事实上,对任意的$n = 1, 2, \cdots$以及上面定义的$s_n$,记

通过简单计算可知,当$n\rightarrow\infty$时,

这证明了$f$在原点不是局部拟对称.因此$\alpha_f(0) = \infty$.

对Hölder指数$\beta_f(0)$讨论要更复杂一些.为了得到$\beta_f(0)$的下界,假设$x_n$和$y_n$为前面定义的序列.则

对任意的$0<\epsilon<\frac{1}{3}$,有

因此

为了得到反向不等式,我们将证明存在$0$的邻域$U$和常数$L<\infty$,使得对任意的$x, y\in U$,有

对任意$x<y$,由

可得(4.4)式的第一个不等式.为了证明第二个不等式,首先注意到如果$x<y\leq 0$或$x\leq 0<y$,则$|f(x)-f(y)| = |x-y|$或$|x-(1+g(y))y|.$由此可得(4.4)式.因此可以假设$0<x<y<1$.这种情况下,注意到

因此

由于上式不等号右边第二项以2为界,我们仅需证明不等号右边第一项也有界即可.固定整数$n>1$使得

对于$x$的位置,考虑两种情况.

情形 1    $x\geq\frac{1}{n+1}$.如果$g(y) = g(x)$,则(4.5)式不等号的右端第一项为0.由此可进一步假设$g(y)\neq g(x)$.此时分如下几种情况讨论.

情形 1.1   $x, y\in \left[\frac{1}{n}-s_n, \frac{1}{n}\right]$.在这种情形中, $x$和$y$都落在函数$g$的图像斜率为$n^2$的定义区间上.因此当$n\rightarrow\infty$时,有

由此可得(4.5)式不等号右边第一项是有界的.

情形 1.2  $x\in \left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}-s_n\right)$且$y\in \left[\frac{1}{n}-s_n, \frac{1}{n}\right]$.这时, $x$落在$g$取常数值$\frac{1}{n+1}$的定义区间上, $y$落在函数$g$的图像斜率为$n^2$的定义区间上.不难看出

因此

同样可得(4.5)式不等号右边第一项是有界的.

情形 1.3  $x\in \left[ \frac{1}{n}-s_n, \frac{1}{n}\right]$且$y\in \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n-1}-s_{n-1}\right]$.这种情况下, $x$落在$g$的图像斜率为$n^2$的定义区间上, $y$落在$g$取常数值$\frac{1}{n}$的定义区间上.使用与情形1.2类似的证明可得(4.5)式不等号右边第一项是有界的.

情形 1.4  $x\in \left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}-s_n\right)$和$y\in \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n-1}-s_{n-1}\right]$.此时$g(x) = 1/(n+1)$, $g(y) = 1/n$.由

可得(4.5)式不等号右边第一项是有界的.由此完成情形1的证明.

情形 2  $x<\frac{1}{n+1}$.此时

当$n\rightarrow\infty$时,有

综上所述,我们证明了(4.5)式不等号右边第一项在$0$的某邻域内有界.因此(4.4)式成立且有

证毕.