自变量分段连续微分方程与生物医学当中的一些模型相似,所以对于自变量分段连续延迟微分方程的研究有着非常广泛的应用意义.在近几十年来,此类方程被详细研究. 1984年, Cooke和Wiener^[1]研究了没有脉冲的微分方程,并且注意到这些方程与脉冲和差分方程有关.之后自变量分段连续微分方程的不连续解的振动由Wiener在文献[2]中作为一个开放问题提出.

最近几年,脉冲微分方程的理论发展迅速,是因为它能用来模拟某些自然科学(例如医学、人口、生态、生物等)的现象.已经有很多文章研究了脉冲微分方程.例如,文献[3]和^[4]研究了脉冲和随机延迟差分方程的欧拉方法.文献[5]研究了脉冲延迟差分方程.文献[6]研究了自变量分段连续超前脉冲微分方程.特别地,文献[7]研究了$ \theta $-方法下自变量分段连续超前脉冲微分方程的振动性.本文研究自变量分段连续混合型脉冲微分方程

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x'(t) = ax(t)+bx([t-1])+cx([t])+dx([t+1]), \qquad t\geq0, t\neq k, k = 0, 1, 2, \cdots, \\ \Delta x(k) = qx(k), \qquad k = 0, 1, 2, \cdots, \\ x(0) = x_0, x(1) = x_1, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ a, b, c, d, q $及$ x_0, x_1 \in R $，$ \triangle x(k) = x(k)-x(k^-) $, $ [\cdot] $代表最大整数函数.

本文安排如下:第2节,得出方程(1.1)的精确解,并且研究方程(1.1)精确解的振动性;第3节,讨论方程(1.1)的数值解的振动性;第4节,研究$ \theta $ -方法保持方程(1.1)振动性的条件;最后,给出了一些算例进行验证所获理论成果的正确性.

定义2.1^[6]  设$ x(t) $是定义在无穷区间$ [-1, \infty) $上的连续函数,若$ x(t) $满足下列条件,我们就称函数$ x(t) $为方程(1.1)的解

1) $ x:[-1, \infty]\rightarrow \mathbb{R} $在$ t\in [-1, \infty) $上连续,在$ [t]\in [-1, \infty) $可能不连续;

2) $ x(t) $在$ t = k $右连续且有左极限;

3)对任意$ t\in \mathbb{R}^+ $，$ x(t) $是可微的,且满足$ x'(t) = ax(t)+bx([t-1])+cx([t])+dx([t+1]) $,在$ [t]\in [-1, \infty) $可能存在单侧导数;

4) $ x(t) $满足$ \Delta x(n) = qx(n), n\in N, x(0) = x_0, x(1) = x_1 $.

下面的定理给出了方程(1.1)的解.

定理2.1  令$ a = 0 $时,方程(1.1)在$ t\in [n, n+1), n = 0, 1, 2, \cdots , $上存在唯一解$ x(t) $

(2.1) $ \begin{equation} x(t) = b\{t\}x(n-1)+(1+c\{t\})x(n)+d\{t\}x(n+1) \end{equation} $

且

(2.2) $ \begin{equation} (1-q)x(n+1)-bx(n-1)-(1+c)x(n)-dx(n+1) = 0. \end{equation} $

令$ a\neq 0 $时,方程(1.1)在$ t\in [n, n+1), n = 0, 1, 2, \cdots , $上存在唯一解$ x(t) $

(2.3) $ \begin{equation} x(t) = m_{-1}(\{t\})x(n-1)+m_0(\{t\})x(n)+m_1(\{t\})x(n+1) \end{equation} $

且

(2.4) $ \begin{equation} (1-q)x(n+1)-m_{-1}(1)x(n-1)-m_0(1)x(n)-m_1(1)x(n+1) = 0, \end{equation} $

其中$ \{t\} = t-[t], \; m_{-1}(t) = \frac b a (e^{at}-1), \; m_0(t) = e^{at}+\frac c a(e^{at}-1), \; m_1(t) = \frac d a(e^{at}-1) $.

证  假设$ x_n(t) $是方程$ (1.1) $在$ [n, n+1) $的一个解,令$ x(n-1) = A_{n-1}, $$ x(n) = A_n, $$ x(n+1) = A_{n+1} $有

$ x_n'(t) = ax_n(t)+bA_{n-1}+cA_n+dA_{n+1}, $

一般解为

$ x_n(t) = Ae^{a(t-n)}-a^{-1}(bA_{n-1}+cA_n+dA_{n+1}), $

令$ t = n $,有

$ A_n = x_n(n) = A-a^{-1}(bA_{n-1}+cA_n+dA_{n+1}), $

则有

$ A = A_n+\frac b a A_{n-1}+\frac c aA_n+\frac d aA_{n+1}, $

$ \begin{eqnarray*} x_n(t)& = &Ae^{a(t-n)}-a^{-1}(bA_{n-1}+cA_n+dA_{n+1})\\ & = &(A_n+\frac b a A_{n-1}+\frac c aA_n+\frac d aA_{n+1})e^{a(t-n)}-a^{-1}(bA_{n-1}+cA_n+dA_{n+1})\\ & = &[(1+\frac c a)e^{a(t-n)}-\frac c a]A_n+(\frac b ae^{a(t-n)}-\frac b a)A_{n-1}+(\frac d ae^{a(t-n)}-\frac d a)A_{n+1}\\ & = &[e^{a(t-n)}+\frac c a(e^{a(t-n)}-1)]A_n+\frac b a (e^{a(t-n)}-1)A_{n-1}+\frac d a (e^{a(t-n)}-1)A_{n+1}, \end{eqnarray*} $

即

$ x(t) = \frac b a(e^{a(t-n)}-1)x(n-1)+[e^{a(t-n)}+\frac c a(e^{a(t-n)}-1)]x(n)+(\frac d ae^{a(t-n)}-\frac d a)x(n+1), $

令$ \{t\} = t-[t] $,有

$ x(t) = m_{-1}(\{t\})x(n-1)+m_0(\{t\})x(n)+m_1(\{t\})x(n+1), $

(2.3)式成立.由脉冲条件$ (1-q)x(n+1) = x(n+1)^- $得出

$ (1-q)x(n+1)-m_{-1}(1)x(n-1)-m_0(1)x(n)-m_1(1)x(n+1) = 0, $

(2.4)式成立.证毕.

由方程(2.4)得出方程(2.3)的差分方程,即

(2.5) $ \begin{equation} x(n+1) = \frac{\frac b a(e^{a}-1)} {1-q-\frac d a(e^{a}-1)}x(n-1)+ \frac{e^{a}+ \frac c a(e^{a}-1)}{1-q-\frac d a(e^{a}-1)}x(n), \end{equation} $

它的特征方程为

(2.6) $ \begin{equation} \lambda^2+\frac{ \frac c a(1-e^a)-e^a}{1-q-\frac d a(e^a-1)}\lambda+\frac{\frac b a(1-e^a)} {1-q-\frac d a(e^a-1)} = 0. \end{equation} $

引理2.1^[8]  方程(1.1)的每一个解振动的充要条件是差分方程(2.5)的特征方程(2.6)无正根,方程(1.1)存在一个非振动解的充要条件是差分方程(2.5)的特征方程(2.6)至少有一个正根.

根据引理$ 2.1 $,我们给出方程(1.1)的解析解振动的充要条件.

定理2.2  方程(1.1)的每一个解振动的充要条件是满足下列条件之一

当$ a = 0 $, $ q\neq1 $时, $ (1)\ d>1-q, c\geq-1 , b\geq 0, $$ (2)\ d<1-q , c\leq-1 , b\leq 0 $;

当$ a = 0 $, $ q = 1 $时, $ (1)\ d>0, c\geq-1 , b\geq 0, $$ (2)\ d<0 , c\leq-1 , b\leq 0 $;

当$ a\neq0 $, $ q\neq1 $时, $ (1)\ d> \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\geq \frac a {e^{-a}-1} , b\geq 0, $$ (2)\ d< \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\leq \frac a {e^{-a}-1} , b\leq 0 $;

当$ a\neq0 $, $ q = 1 $时, $ (1)\ d>0, c\geq\frac a {e^{-a}-1} , b\geq 0, $$ (2)\ d<0 , c\leq\frac a {e^{-a}-1} , b\leq 0. $

方程(1.1)存在一个非振动解的充要条件是满足下列条件之一

当$ a = 0 $, $ q\neq1 $时,

$ (1)\ d>1-q , c\geq-1 , b\leq 0 $; $ (2)\ d>1-q , c\leq-1 , b\leq 0 $; $ (3)\ d<1-q , c\geq-1, b\geq 0 $;

$ (4)\ d<1-q , c\leq-1 , b\geq 0 $; $ (5)\ d>1-q , c\leq-1 , b\geq 0 $; $ (6)\ d<1-q , c\geq-1 , b\leq 0 $.

当$ a = 0 $, $ q = 1 $时,

$ (1)\ d>0 , c\geq-1 , b\leq 0 $; $ (2)\ d>0 , c\leq-1 , b\leq 0 $; $ (3)\ d<0 , c\geq-1, b\geq 0 $;

$ (4)\ d<0 , c\leq-1 , b\geq 0 $; $ (5)\ d>0, c\leq-1 , b\geq 0 $; $ (6)\ d<0 , c\geq-1 , b\leq 0. $

当$ a\neq0 $, $ q\neq1 $时,

$ (1)\ d> \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\geq \frac a {e^{-a}-1} , b\leq 0 $; $ (2)\ d> \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\leq \frac a {e^{-a}-1} , b\leq 0 $;

$ (3)\ d< \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\geq \frac a {e^{-a}-1} , b\geq 0 $; $ (4)\ d< \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\leq \frac a {e^{-a}-1} , b\geq 0 $;

$ (5)\ d> \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\leq \frac a {e^{-a}-1} , b\geq 0 $; $ (6)\ d< \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\geq \frac a {e^{-a}-1} , b\leq 0. $

当$ a\neq0 $, $ q = 1 $时,

$ (1)\ d>0 , c\geq\frac a {e^{-a}-1} , b\leq 0 $; $ (2)\ d>0 , c\leq\frac a {e^{-a}-1} , b\leq 0 $; $ (3)\ d<0 , c\geq\frac a {e^{-a}-1}, b\geq 0 $;

$ (4)\ d<0 , c\leq\frac a {e^{-a}-1} , b\geq 0 $; $ (5)\ d>0 , c\leq\frac a {e^{-a}-1} , b\geq 0 $; $ (6)\ d<0 , c\geq\frac a {e^{-a}-1} , b\leq 0. $

证  我们只证$ a\neq0 $，$ q\neq1 $的情况,其他情况类似.由引理$ 2.1 $,方程(1.1)存在一个非振动解的充要条件是方程(2.5)的特征方程(2.6)至少有一个正根,即

$ \lambda_1>0, \lambda_2\geq0\mbox{\或}\ \lambda_1>0, \lambda_2 \leq 0. $

由$ \lambda_1>0, \lambda_2\geq0 $,根据根与系数的关系可得

$ \left\{\begin{array}{l} { } \lambda_1+\lambda_2 = -\frac{ \frac c a(1-e^a)-e^a}{1-q-\frac d a(e^a-1)}>0, \\ { } \lambda_1\lambda_2 = \frac{\frac b a(1-e^a)} {1-q-\frac d a(e^a-1)}\geq 0, \end{array} \right. $

即

$ \left\{\begin{array}{l} { } 1-q-\frac d a(e^a-1)>0, \\ { } \frac c a(1-e^a)-e^a<0, \\ { } \frac b a(1-e^a)\geq0. \end{array} \right. $

或者

$ \left\{\begin{array}{l} { } 1-q-\frac d a(e^a-1)<0, \\ { } \frac c a(1-e^a)-e^a>0, \\ { } \frac b a(1-e^a) \leq 0. \end{array} \right. $

得出

$ { } d> \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c<\frac a {e^{-a}-1} , b\geq 0, \\ { } d< \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c>\frac a {e^{-a}-1} , b\leq 0. $

由$ \lambda_1>0, \lambda_2\leq0 $,根据根与系数的关系可得

$ \lambda_1\lambda_2 = \frac{\frac b a(1-e^a)} {1-q-\frac d a(e^a-1)}\leq 0, $

即

$ \left\{\begin{array}{l} { } 1-q-\frac d a(e^a-1)>0, \\ { } \frac b a(1-e^a)\leq0. \end{array} \right. $

或者

$ \left\{\begin{array}{l} { } 1-q-\frac d a(e^a-1)<0, \\ { } \frac b a(1-e^a) \geq 0. \end{array} \right. $

得出

$ \begin{eqnarray*} &&d> \frac {a(1-q)} {e^a-1} , b\leq 0, \\ &&d< \frac {a(1-q)} {e^a-1} , b\geq 0. \end{eqnarray*} $

整理得

$ \begin{eqnarray*} && d> \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\geq \frac a {e^{-a}-1} , b\leq 0, \\ &&d> \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\leq \frac a {e^{-a}-1} , b\leq 0, \\ &&d< \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\geq \frac a {e^{-a}-1} , b\geq 0, \\ &&d< \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\leq \frac a {e^{-a}-1} , b\geq 0. \end{eqnarray*} $

证毕.

当$ a = 0 $时,把线性$ \theta $ -方法运用到方程(1.1)可得

(3.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x_{km+l+1} = x_{km+l}+hbx_{(k-1)m}+hcx_{km}+hdx_{(k+1)m}, \\ (1-q)x_{(k+1)m} = x_{(k+1)m}, \\ x(0) = x_0, x(1) = x_1, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ h = \frac 1 m, m\geq1, x_n = x_{km+l}, n = km+l, k = 0, 1, 2, , \cdots , l = 0, 1, , \cdots m-1, $$ x_n $是方程(1.1)的解$ x(nh) $的近似.由第一个方程迭代可得

(3.2) $ \begin{equation} x_n = x_{km+l} = lbhx_{(k-1)m}+(1+lhc)x_{km}+lhdx_{(k+1)m}, \end{equation} $

则有

$ \begin{eqnarray*} x_{(k+1)m} = (1+c)x_{km}+bx_{(k-1)m}+dx_{(k+1)m}, \end{eqnarray*} $

由脉冲条件得到

$ \begin{eqnarray*} (1-q)x_{(k+1)m} = (1+c)x_{km}+bx_{(k-1)m}+dx_{(k+1)m}, \end{eqnarray*} $

得出(3.1)式的差分方程,即

(3.3) $ \begin{equation} x_{(k+1)m} = \frac {1+c}{1-q-d}x_{km}+\frac {b}{1-q-d}x_{(k-1)m}, \end{equation} $

它的特征方程为

(3.4) $ \begin{equation} \lambda^2+\frac {1+c}{d+q-1}\lambda+\frac {b}{d+q-1} = 0. \end{equation} $

定理3.1  假设$ \{x_n\} $和$ \{x_{km}\} $分别是方程(3.2)和(3.3)的解,则

(1) $ \{x_n\} $非振动当且仅当$ \{x_{km}\} $非振动; (2) $ \{x_n\} $振动当且仅当$ \{x_{km}\} $振动.

证  显然,若$ \{x_n\} $非振动,则$ \{x_{km}\} $非振动.现假设$ \{x_{km}\} $非振动,不妨设$ \{x_{km}\} $为最终正解,即存在$ k_0 $使得当$ k>k_0 $时, $ x_{km}>0. $下证对于任意$ k, k>k_0+1 $时都有$ x_{km+l}>0 , l = 0, 1, 2, \cdots m-1, $由方程(3.3)变形有

$ x_{(k-1)m} = \frac{1-q-d}{b} x_{(k+1)m}- \frac{1+c}{b}x_{km}, $

代入方程(3.2)有

$ \begin{eqnarray*} x_{km+l}& = &lbh(\frac{1-q-d}{b} x_{(k+1)m}- \frac{1+c}{b}x_{km})+(1+lhc)x_{km}+lhdx_{(k+1)m}\\ & = &(1-lh)x_{km}+lh(1-q)x_{(k+1)m}. \end{eqnarray*} $

由脉冲条件得出$ x_{km+l} = (1-lh)x_{km}+lhx_{(k+1)m}. $又因为$ l = 0, 1, \cdots m-1, $所以$ 1-lh>0 $,因此有$ x_{km+l}>0 $.证毕.

定理3.2  方程(3.1)的每一个解振动的充要条件是满足下列条件之一

当$ q\neq1 $时, $ (1)\ d>1-q, c\geq-1 , b\geq 0 $, $ (2)\ d<1-q , c\leq-1 , b\leq 0 $;

当$ q = 1 $时, $ (1)\ d>0, c\geq-1 , b\geq 0, $$ (2)\ d<0 , c\leq-1 , b\leq 0. $

方程(3.1)存在一个非振动解的充要条件是满足下列条件之一

当$ q\neq1 $时,

(1) $ d>1-q , c\geq-1 , b\leq 0, $$ (2)\ d>1-q , c\leq-1 , b\leq 0, $$ (3)\ d<1-q , c\geq-1, b\geq 0, $

(4) $ d<1-q , c\leq-1 , b\geq 0, $$ (5)\ d>1-q , c\leq-1 , b\geq 0, $$ (6)\ d<1-q , c\geq-1 , b\leq 0 $;

当$ q = 1 $时,

$ (1)\ d>0 , c\geq-1 , b\leq 0, $$ (2)\ d>0 , c\leq -1, b\leq 0, $$ (3)\ d<0 , c\geq-1, b\geq 0, $

$ (4)\ d<0 , c\leq-1 , b\geq 0, $$ (5)\ d>0 , c\leq-1 , b\geq 0, $$ (6)\ d<0 , c\geq -1, b\leq 0. $

证  由定理$ 3.1 $可知,要研究方程(3.1)的数值解的振动性,只需研究方程(3.3)的解$ \{x_{km}\} $的振动性即可.方程(3.3)存在一个非振动解的充要条件是特征方程(3.4)至少有一个正根,即

$ \lambda_1>0, \lambda_2\geq0$或$ \lambda_1>0, \lambda_2\leq0.$ \\

由$ \lambda_1>0, \lambda_2\geq0 $,根据根与系数的关系可得

$ \left\{\begin{array}{l} { } \lambda_1+\lambda_2 = -\frac{ 1+c}{d+q-1}>0 , \\ { } \lambda_1\lambda_2 = \frac{b} {d+q-1}\geq 0, \end{array} \right. $

即

$ \left\{\begin{array}{l} d+q-1>0, \\ 1+c<0, \\ b\geq0 \end{array} \right. $

或者

$ \left\{\begin{array}{l} d+q-1<0, \\ 1+c>0, \\ b\leq 0, \end{array} \right. $

所以

$ \begin{eqnarray*} &&d> 1-q , c<-1 , b\geq 0, \\ &&d< 1-q , c>-1 , b\leq 0. \end{eqnarray*} $

由$ \lambda_1>0, \lambda_2\leq0, $根据根与系数的关系可得

$ \lambda_1\lambda_2 = \frac{b} {d+q-1}\leq 0, $

即

$ \left\{\begin{array}{l} d+q-1>0, \\ b\leq0 \end{array} \right. $

或者

$ \left\{\begin{array}{l} d+q-1<0, \\ b \geq 0, \end{array} \right. $

所以

$ \begin{eqnarray*} &&d> 1-q , b\leq 0, \\ &&d< 1-q , b\geq 0. \end{eqnarray*} $

整理得

$ \begin{eqnarray*} && d> 1-q , c\geq -1 , b\leq 0, \\ &&d> 1-q , c\leq -1 , b\leq 0, \\ &&d< 1-q , c\geq -1 , b\geq 0, \\ &&d<1-q , c\leq -1 , b\geq 0. \end{eqnarray*} $

证毕.

$ a \neq 0 $时,把线性$ \theta $ -方法运用到方程(3.1)可得

(3.5) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x_{km+l+1} = x_{km+l}+ha(1-\theta )x_{km+l}+ha\theta x_{km+l+1}+hbx_{(k-1)m}+hcx_{km}+hdx_{(k+1)m}, \\ (1-q)x_{(k+1)m} = x_{(k+1)m}, \\ x(0) = x_0, x(1) = x_1, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ n = km+l, l = 0, 1, \cdots m-1, $$ h = \frac 1 m, m\geq1, x_n = x_{km+l}, k = 0, 1, 2, , \cdots , $$ x_n $是方程(1.1)的解$ x(nh) $的近似.由第一个方程迭代有

(3.6) $ \begin{equation} x_n = x_{km+l} = [Q^l(x)+\frac c a(Q^l(x)-1)]x_{km}+\frac b a(Q^l(x)-1)x_{(k-1)m}+\frac d a(Q^l(x)-1)x_{(k+1)m}, \end{equation} $

其中$ x = ah, Q(x) = 1+\frac x {1-\theta x} $.所以有

$ \begin{eqnarray*} x_{(k+1)m} = [Q^m(x)+\frac c a(Q^m(x)-1)]x_{km}+\frac b a(Q^m(x)-1)x_{(k-1)m}+\frac d a(Q^m(x)-1)x_{(k+1)m}, \end{eqnarray*} $

由脉冲条件$ (1-q)x_{(k+1)m} = x_{(k+1)m} $得方程(3.5)的差分方程

(3.7) $ \begin{equation} x_{(k+1)m} = \frac{\frac b a(Q^m(x)-1)} {1-q-\frac d a(Q^m(x)-1)}x_{(k-1)m}+ \frac{Q^m(x)+ \frac c a(Q^m(x)-1)}{1-q-\frac d a(Q^m(x)-1)}x_{km}, \end{equation} $

它的特征方程为

(3.8) $ \begin{equation} \lambda^2+\frac { \frac c a(1-Q^m(x))-Q^m(x)}{1-q-\frac d a(Q^m(x)-1)}\lambda+\frac {\frac b a(1-Q^m(x))}{1-q-\frac d a(Q^m(x)-1)} = 0. \end{equation} $

定理3.3  假设$ \{x_n\} $和$ \{x_{km}\} $分别是方程(3.6)和(3.7)的解,那么

$ (1) $$ \{x_n\} $非振动当且仅当$ \{x_{km}\} $非振动; $ (2) $$ \{x_n\} $振动当且仅当$ \{x_{km}\} $振动.

证  显然,若$ \{x_n\} $非振动,则$ \{x_{km}\} $非振动.现假设$ \{x_{km}\} $非振动,不妨设$ \{x_{km}\} $为最终正解,即存在$ k_0 $使得当$ k>k_0 $时, $ x_{km}>0. $下证对于所有的$ k, k>k_0+1 $时都有$ x_{km+l}>0 , l = 0, 1, 2, \cdots m-1. $

由(3.7)式有

$ \begin{eqnarray*} x_{(k-1)m}& = &\frac{1-q-\frac b a(Q^m(x)-1)}{\frac b a(Q^m(x)-1)} \bigg[ x_{(k+1)m}- \frac{Q^m(x)+\frac c a(Q^m(x)-1)}{1-q-\frac b a(Q^m(x)-1)}x_{km}\bigg]\\ & = &\frac{1-q-\frac b a(Q^m(x)-1)}{\frac b a(Q^m(x)-1)} x_{(k+1)m}-\frac{Q^m(x)+ \frac c a(Q^m(x)-1)}{\frac b a(Q^m(x)-1)}x_{km}. \end{eqnarray*} $

代入(3.6)式有

$ \begin{eqnarray*} x_{km+l}& = &[Q^l(x)+\frac c a(Q^l(x)-1)]x_{km}+\frac d a(Q^l(x)-1)x_{(k+1)m}\\ &&+\frac b a(Q^l(x)-1)\bigg[\frac{1-q-\frac b a(Q^m(x)-1)}{\frac b a(Q^m(x)-1)} x_{(k+1)m} -\frac{Q^m(x)+ \frac c a(Q^m(x)-1)}{\frac b a(Q^m(x)-1)}x_{km}\bigg]\\ & = &\frac {(1-q)(Q^l(x)-1)}{Q^m(x)-1}x_{(k+1)m}+\frac{Q^m(x)-Q^l(x)}{Q^m(x)-1}x_{km}\\ & = &\frac {Q^l(x)-1}{Q^m(x)-1}x_{(k+1)m}+\frac{Q^m(x)-Q^l(x)}{Q^m(x)-1}x_{km}. \end{eqnarray*} $

若$ Q(x)>1 $,则$ Q^l(x)>1, Q^m(x)>1, Q^m(x)-Q^l(x)>0 $.所以

$ \frac {Q^l(x)-1}{Q^m(x)-1}x_{(k+1)m}+\frac{Q^m(x)-Q^l(x)}{Q^m(x)-1}x_{km}>0, $

若$ Q(x)<1 $,则$ Q^l(x)<1, Q^m(x)<1, Q^m(x)-Q^l(x)<0 $.所以

$ \frac {Q^l(x)-1}{Q^m(x)-1}x_{(k+1)m}+\frac{Q^m(x)-Q^l(x)}{Q^m(x)-1}x_{km}>0, $

因此有$ x_{km+l}>0 $.证毕.

定理3.4  方程(3.5)的每一个解振动的充要条件是满足下列条件之一

当$ q\neq1 $时, $ (1)\ d> \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , c\geq \frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\geq 0, $$ (2)\ d< \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , c\leq \frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\leq 0 $;

当$ q = 1 $时, $ (1)\ d>0, c\geq\frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\geq 0, $$ (2)\ d<0 , c\leq\frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\leq 0. $

方程(3.5)存在一个非振动解的充要条件是满足下列条件之一

当$ q\neq1 $时,

$ (1)\ d> \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , c\geq \frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\leq 0, $$ (2)\ d> \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , c\leq \frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\leq 0, $

$ (3)\ d< \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , c\geq \frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\geq 0, $$ (4)\ d< \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , c\leq \frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\geq 0, $

$ (5)\ d> \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , c\leq \frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\geq 0, $$ (6)\ d< \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , c\geq \frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\leq 0. $

当$ q = 1 $时,

$ (1)\ d>0 , c\geq \frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\leq 0, $$ (2)\ d>0 , c\leq\frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\leq 0, $

$ (3)\ d<0 , c\geq\frac a {Q^{-m}(x)-1}, b\geq 0, $$ (4)\ d<0 , c\leq \frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\geq 0, $

$ (5)\ d>0 , c\leq\frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\geq 0, $$ (6)\ d<0 , c\geq\frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\leq 0. $

证  由引理$ 2.2 $知,方程(3.5)存在一个非振动解的充要条件是特征方程(3.8)至少有一个正根,即

$ \lambda_1>0, \lambda_2\geq0$或$ \lambda_1>0, \lambda_2\leq0.$ \\

若$ \lambda_1>0, \lambda_2\geq0 $,根据根与系数的关系可得

$ \left\{\begin{array}{l} { } \lambda_1+\lambda_2 = -\frac{ \frac c a(1-Q^m(x))-R^m(x)}{1-q-\frac d a(Q^m(x)-1)}>0, \\ { } \lambda_1\lambda_2 = \frac{\frac b a(1-Q^m(x))} {1-q-\frac d a(Q^m(x)-1)}\geq 0. \end{array} \right. $

即

$ \left\{\begin{array}{l} { } 1-q-\frac d a(Q^m(x)-1)>0, \\ { } \frac c a(1-Q^m(x))-Q^m(x)<0, \\ \frac b a(1-Q^m(x))\geq0 \end{array} \right. $

或者

$ \left\{\begin{array}{l} { } 1-q-\frac d a(Q^m(x)-1)<0, \\ { } \frac c a(1-Q^m(x))-Q^m(x)>0, \\ { } \frac b a(1-Q^m(x)) \leq 0, \end{array} \right. $

所以

$ \begin{eqnarray*} && d> \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , c<\frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\geq 0, \\ && d< \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , c>\frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\leq 0. \end{eqnarray*} $

由$ \lambda_1>0, \lambda_2\leq0 $,根据根与系数的关系可得

$ \lambda_1\lambda_2 = \frac{\frac b a(1-Q^m(x))} {1-q-\frac d a(Q^m(x)-1)}\leq 0, $

即

$ \left\{\begin{array}{l} { } 1-q-\frac d a(Q^m(x)-1)>0, \\ { } \frac b a(1-Q^m(x))\leq0 \end{array} \right. $

或者

$ \left\{\begin{array}{l} { } 1-q-\frac d a(Q^m(x)-1)<0, \\ { } \frac b a(1-Q^m(x)) \geq 0, \end{array} \right. $

所以

$ \begin{eqnarray*} &&d> \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , b\leq 0, \\ &&d< \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , b\geq 0. \end{eqnarray*} $

整理得

$ \begin{eqnarray*} && d> \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , c\geq \frac a{ Q^{-m}(x)-1} , b\leq 0, \\ &&d> \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , c\leq \frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\leq 0, \\ &&d< \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , c\geq \frac a{ Q^{-m}(x)-1} , b\geq 0, \\ &&d< \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , c\leq \frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\geq 0. \end{eqnarray*} $

证毕.

引理3.1^[7]  对所有$ m>|a| $有对$ a<0 $,

$ (1)\ 1+\frac x {1-\theta x}\geq e^x $当且仅当$ \varphi(-1)\leq\theta \leq1 $, $ (2)\ 1+\frac x {1-\theta x}\leq e^x $当且仅当$ 0\leq\theta\leq \frac 1 2 $;对$ a>0 $,

$ (1)\ 1+\frac x {1-\theta x}\geq e^x $当且仅当$ \frac 1 2\leq\theta\leq 1 $, $ (2)\ 1+\frac x {1-\theta x}\leq e^x $当且仅当$ 0 \leq \theta\leq\varphi(1) $.其中$ \varphi(x) = \frac 1 x-\frac 1 {e^x-1} $.

由引理$ 3.1 $可得如下定理.

定理3.5   $ (1) $当$ d> \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\geq \frac a {e^{-a}-1} , b\geq 0 $时,方程(3.5)的每一个解振动的充要条件是满足下列条件之一

$ {\rm (i)}\ a>0, 1-q<0, 0 \leq \theta\leq\varphi(1) $, $ {\rm (ii)}\ a<0, 1-q<0, \varphi(-1)\leq\theta \leq1 $;

$ (2) $\当$ d< \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\leq \frac a {e^{-a}-1} , b\leq 0 $时,方程(3.5)的每一个解振动的充要条件是满足下列条件之一

$ {\rm (i)}\ a>0, 1-q<0, \frac 1 2\leq\theta\leq 1 $, (ii)\ $ a<0, 1-q<0, 0\leq\theta\leq \frac 1 2 $;

$ (3) $\当$ d< \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c \geq \frac a {e^{-a}-1} $,方程(3.5)存在一个非振动解的充要条件是满足下列条件之一

$ \rm(i) $\ $ a>0, 1-q>0, 0 \leq \theta\leq\varphi(1) $, (ii)\ $ a<0, 1-q>0, \varphi(-1)\leq\theta \leq1 $;

$ (4) $\当$ d> \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\leq \frac a {e^{-a}-1} $,方程(3.5)存在一个非振动解的充要条件是满足下列条件之一

$ {\rm (i)}\ a>0, 1-q>0, \frac 1 2\leq\theta\leq 1 $, $ {\rm (ii)}\ a<0, 1-q>0, 0\leq\theta\leq \frac 1 2 $;

$ (5) $\当$ d> \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\geq \frac a {e^{-a}-1} , b\leq 0 $时,方程(3.5)存在一个非振动解的充要条件是满足下列条件之一

$ {\rm (i)}\ a>0, 1-q<0, 0 \leq \theta\leq\varphi(1) $, $ {\rm (ii)}\ a<0, 1-q<0, \varphi(-1)\leq\theta \leq1 $;

$ (6) $\当$ d< \frac {a(1-q)} {e^a-1} , c\leq \frac a {e^{-a}-1} , b\geq 0 $时,方程(3.5)存在一个非振动解的充要条件是满足下列条件之一

$ {\rm (i)}\ a>0, 1-q<0, \frac 1 2\leq\theta\leq 1 $, (ii)\ $ a<0, 1-q<0, 0\leq\theta\leq \frac 1 2 $.

证  我们只证$ (1) $的情况,其他情况类似.

(ⅰ)当$ 0 \leq \theta\leq\varphi(1) $时,由引理$ 3.1 $,有$ Q(x)\leq e^x $,因为$ x = ah, h = \frac 1 m, $所以有$ e^a\geq Q^m(x) $,即

$ \frac 1 {e^a-1}\leq \frac 1 {Q^m(x)-1}, \frac 1 {e^{-a}-1}\geq\frac 1 {Q^{-m}(x)-1}, $

又因为$ a>0, 1-q<0, $所以有

$ \frac {a(1-q)} {e^a-1}\geq \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1}, \frac a {e^{-a}-1}\geq\frac a {Q^{-m}(x)-1}, $

因为

$ d> \frac {a(1-q)} {e^a-1}\geq \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , c\geq \frac a {e^{-a}-1}\geq\frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\geq 0, $

由定理$ 3.4 $可知,方程(3.5)的每一个解振动.

(ⅱ)当$ \varphi(-1)\leq\theta \leq1 $时,由引理$ 3.1 $,有$ Q(x)\geq e^x $,因为$ x = ah, h = \frac 1 m, $所以有$ e^a\leq Q^m(x) $,即

$ \frac 1 {e^a-1}\geq \frac 1 {Q^m(x)-1}, \frac 1 {e^{-a}-1}\leq\frac 1 {Q^{-m}(x)-1}, $

又因为$ a<0, 1-q<0, $所以有

$ \frac {a(1-q)} {e^a-1}\geq \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1}, \frac a {e^{-a}-1}\geq\frac a {Q^{-m}(x)-1}, $

因为

$ d> \frac {a(1-q)} {e^a-1}\geq \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} , c\geq \frac a {e^{-a}-1}\geq\frac a {Q^{-m}(x)-1} , b\geq 0, $

由定理$ 3.4 $可知,方程(3.5)的每一个解振动.证毕.

定义4.1^[8]  若方程(1.1)振动,存在一个$ h_0 $使得$ h<h_0 $时方程(3.1)振动,就说$ \theta $ -方法保持了方程(1.1)振动性,若方程(1.1)有一个非振动解,存在一个$ h_0 $使得$ h<h_0 $时方程(3.1)也有一个非振动解,就说$ \theta $ -方法保持了方程(1.1)非振动性.

定理4.1  由定理$ 2.2 $和定理$ 3.2 $知,当$ a = 0 $时, $ \theta $ -方法即保持方程(1.1)的解析解的振动性,又保持方程(1.1)的解析解的非振动性.

定理4.2  记$ B = \frac {a(1-q)} {e^a-1}, B(m) = \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1}, C = \frac a {e^{-a}-1}, C(m) = \frac a{ Q^{-m}(x)-1} $,

● $ B\geq B(m) $当且仅当$ a>0 $时: $ (1)\ 1-q>0, Q(x)\geq e^x $, $ (2)\ 1-q<0, Q(x)\leq e^x, $\\ $ a<0 $时: $ (3)\ 1-q>0, Q(x)\leq e^x $, $ (4)\ 1-q<0, Q(x)\geq e^x. $

● $ B\leq B(m) $当且仅当

$ a>0 $时: $ (1)\ 1-q>0, Q(x)\leq e^x $, $ (2)\ 1-q<0, Q(x)\geq e^x, $

$ a<0 $时: $ (3)\ 1-q>0, Q(x)\geq e^x $, $ (4)\ 1-q<0, Q(x)\leq e^x. $

● $ C\geq C(m) $当且仅当

$ (1)\ a>0, Q(x)\leq e^x, $$ (2)\ a<0, Q(x)\geq e^x. $

● $ C\leq C(m) $当且仅当

$ (1)\ a>0, Q(x)\geq e^x, $$ (2)\ a<0, Q(x)\leq e^x. $

证  我们只证$ B\geq B(m) $的情况,其他情况类似.

当$ a>0, 1-q>0, Q(x)\geq e^x $时,由$ Q(x)\geq 1, x = ah, h = \frac 1 m $有

$ e^a\leq Q^m(x), $

从而有

$ \frac {a(1-q)} {e^a-1}\geq \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1}. $

当$ a>0, 1-q<0, Q(x)\leq e^x $时,由$ Q(x)\geq 1, x = ah, h = \frac 1 m $有

$ e^a\geq Q^m(x), $

从而有

$ \frac {a(1-q)} {e^a-1}\geq \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1}. $

同理有$ a<0 $, $ 1-q>0, Q(x)\leq e^x $或$ a<0 $, $ 1-q<0, Q(x)\geq e^x $时, $ \frac {a(1-q)} {e^a-1}\geq \frac {a(1-q)} {Q^m(x)-1} $.

定理4.3  由定理$ 2.2 $和定理$ 3.4 $知，$ \theta $ -方法保持了方程(1.1)振动性,当且仅当$ B\geq B(m), C\geq C(m) $或$ B\leq B(m), C\leq C(m) $. $ \theta $ -方法保持了方程(1.1)非振动性,当且仅当$ B\geq B(m), C\leq C(m) $或$ B\geq B(m), C\geq C(m) $或$ B\leq B(m), C\geq C(m) $或$ B\leq B(m), C\leq C(m) $.

证  我们只证$ B\geq B(m), C\geq C(m) $的情况,其他情况类似.

当$ d> B , c\geq C , b\geq 0 $时,由定理$ 2.2 $可知,方程(1.1)的解析解振动.又因为$ B\geq B(m), $$ C\geq C(m) $.所以有$ d> B(m) , c\geq C(m) , b\geq 0 $,定理$ 3.4 $可知,方程(1.1)的解析解振动.

由定理$ 4.2 $和定理$ 4.3 $知,我们有以下结论成立.

定理4.4   $ (1) $当$ q\geq1 $时, $ \theta $ -方法能保持方程解析解的振动性;

(2)对任意$ q \in R $, $ \theta $ -方法都能保持方程解析解的非振动性.

证  我们只证$ (1) $的情况, $ (2) $情况类似.由定理$ 4.3 $知$ \theta $ -方法保持了方程(1.1)振动性,当且仅当$ B\geq B(m), $$ C\geq C(m) $或$ B\leq B(m), $$ C\leq C(m) $.

当$ B\geq B(m), C\geq C(m) $时,有$ a>0, 1-q<0, Q(x)\leq e^x, $和$ a<0, 1-q<0, Q(x)\geq e^x. $

即$ q>1 $时,

● $ a>0, Q(x)\leq e^x, $

● $ a<0, Q(x)\geq e^x. $

当$ B \leq B(m), C\leq C(m) $时,有$ a>0, 1-q<0, Q(x)\geq e^x, $和$ a<0, 1-q<0, Q(x)\leq e^x. $

即$ q>1 $时,

● $ a>0, Q(x)\geq e^x, $

● $ a<0, Q(x)\leq e^x. $

综上,当$ q>1 $时,无论$ a $的正负,还是$ Q(x), e^x $的大小关系如何, $ \theta $ -方法能保持方程解析解的振动性.同理$ q = 1 $时, $ \theta $ -方法能保持方程解析解的振动性.证毕.

例1  考虑方程

(5.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x'(t) = x([t-1])+0.8x([t])+1.6x([t+1]), \qquad t\geq0, t\neq k, k = 0, 1, 2, \cdots , \\ \Delta x(k) = 2x(k), \qquad k = 0, 1, 2, \cdots , \\ x(0) = 1, x(1) = 2, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ x(0) = 1, x(1) = 2, b = 1, c = 0.8, d = 1.6, q = 2 $,参数满足定理$ 2.2 $,所以方程(5.1)所有解振动.图$ 1\mbox{、}\; 2 $中,我们分别给出了方程(5.1)的解析解和数值解$ (\theta = 0.5, \; h = 0.1) $.由图可以看出,解析解和数值解都是振动的,与定理$ 4.1 $的结论吻合.

例2  考虑方程

(5.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x'(t) = -x(t)+x([t-1])+0.8x([t])+1.6x([t+1]), \qquad t\geq0, t\neq k, k = 0, 1, 2, \cdots , \\ \Delta x(k) = 2x(k), \qquad k = 0, 1, 2, \cdots , \\ x(0) = 1, x(1) = 2, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ x(0) = 1, x(1) = 2, a = -1, b = 1, c = 0.8, d = 1.6, q = 2 $,参数满足定理$ 2.2 $,所以方程(5.2)所有解振动.图$ 3\mbox{、}\; 4 $中,我们分别给出了方程(5.2)的解析解和数值解$ (\theta = 0.5, \; h = 0.1) $.由图可以看出,解析解和数值解都是振动的,与定理$ 4.4 $的结论吻合.

例3  考虑方程

(5.3) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x'(t) = -x(t)-3x([t-1])+0.8x([t])+1.6x([t+1]), \qquad t\geq0, t\neq k, k = 0, 1, 2, \cdots , \\ \Delta x(k) = x(k), \qquad k = 0, 1, 2, \cdots , \\ x(0) = 1, x(1) = 2, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ x(0) = 1, x(1) = 2, a = -1, b = -3, c = 0.8, d = 1.6, q = 1 $,参数满足定理$ 2.2 $,所以方程(5.3)存在一个非振动解.图$ 5\mbox{、}\; 6 $中,我们分别给出了方程(5.3)的解析解和数值解$ (\theta = 0.5, \; h = 0.1) $.由图可以看出,解析解和数值解都是非振动的,与定理$ 4.4 $的结论吻合.