拓扑压是研究动力系统的一个有效工具,在遍历理论、维数理论和平衡态理论中都有重要的作用和广泛的应用.势函数为可加的情形下, Ruelle首先在扩张动力系统中提出了拓扑压的概念(参见文献[1]),后来Walters将其推广至一般的紧度量空间中(参见文献[2]).

设$(X, d)$是紧度量空间, $T:X\to X$是$X$上的连续映射, $f:X\to {\Bbb R}$是连续势函数.对$n\in {\Bbb N}$和$\varepsilon>0$,记$S_nf(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(T^ix)$,定义

$P_n(T, f, \varepsilon)=\sup\left\{\sum\limits_{x\in E}e^{S_nf(x)}\mid \ \mbox{$E$是$X$的$(n, \varepsilon)$分离集}\right\}, $

则映射$T$关于势函数$f$的拓扑压为

$P(T, f)=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log P_n(T, f, \varepsilon).$

记$M(X, T)$是$X$上所有$T$ -不变的Borel概率测度的集合, $h_\mu(T)$是映射$T$关于$\mu$的测度理论熵.作为熵的变分原理的推广, Walters也给出了拓扑压的变分原理.

定理1.1^{[2,定理9.10]}  设$T:X\to X$是$X$上的连续映射, $f:X\to {\Bbb R}$是连续势函数,则有

$P(T, f)=\sup\left\{h_{\mu}(T)+\int f{\rm d}\mu\mid \mu\in M(X, T)\right\}.$

上述可加情形的经典热力学形式在共形排斥子的维数理论中具有非常重要的作用,但是随着维数理论的进一步深入,人们更加关注自仿系统以及非共形排斥子的维数估计等问题,这就需要对经典的拓扑压进行推广,考虑势函数为非可加情形.在文献[3-4]中, Falconer分别定义了自仿系统的拓扑压和具有约束条件的$C^2$非共形排斥子的次可加拓扑压; Barreira在文献[5]中定义了非可加势函数的拓扑压; Cao, Feng和Huang在文献[6]中用$(n, \varepsilon)$分离集定义了一般的次可加势函数的拓扑压并证明了相应的变分原理.下面我们陈述Cao等人的结果.

定义1.1  设$T:X\to X$是紧度量空间$(X, d)$上的连续映射, $f_n(n\in{\Bbb N})$是$X$上的非负连续函数,如果对于任意的$x\in X, m, n\in{\Bbb N}$,总有

$0\leq f_{n+m}(x)\leq f_n(x)+f_m(T^nx), $

则函数序列${\cal F}=\{f_n\}_{n=1}^\infty$称为是次可加的.

定义${\cal F}$关于$T$的拓扑压为

$P(T, {\cal F})=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log P_n(T, {\cal F}, \varepsilon), $

其中$P_n(T, {\cal F}, \varepsilon)=\sup\left\{\sum\limits_{x\in E}e^{f_n(x)}\mid E\mbox{是}X\mbox{的}(n, \varepsilon)\mbox{分离集}\right\}(n\in {\Bbb N}, \varepsilon>0)$.对任意$\mu\in M(X, T)$,称${\cal F}_*(\mu)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\int f_n{\rm d}\mu$为${\cal F}$关于测度$\mu$的Lyapunov指数.在文献[6]中,作者证明了次可加拓扑压的变分原理.

定理1.2^[6]  设$(X, d)$是紧度量空间, ${\cal F}$是动力系统$(X, T)$上的次可加势函数序列,若对于任意$\mu\in M(X, T)$,都有${\cal F}_*(\mu)=-\infty$,则$P(T, f)=-\infty$,否则有

$P(T, {\cal F})=\sup\left\{h_\mu(T)+{\cal F}_*(\mu)|\mu\in M(X, T)\right\}.$

次可加拓扑压的变分原理已广泛应用于自仿集的维数估计、平衡态以及非共形排斥子的维数估计,如文献[7-9]等.事实上,所有这些应用所考虑的系统都是可扩系统,如:自仿集对应的符号系统,扩张映射等.而对于可扩系统,熵映射是上半连续的.本文在熵映射上半连续的情形下,给出次可加拓扑压变分原理的一个简单证明.

定理2.1  设${\cal F}$是动力系统$(X, T)$上的次可加势函数序列,熵映射$\mu\mapsto h_\mu(f)$是上半连续的,若$P(T, f)\neq-\infty$,则有

$P(T, {\cal F})=\sup\left\{h_\mu(T)+{\cal F}_*(\mu)|\mu\in M(X, T)\right\}.$

证  首先,对任意$m\in{\Bbb N}$,我们断言

(2.1) $ \begin{equation} \label{yl1}P(T, {\cal F})\leq P(T, \frac{f_m}{m}). \end{equation} $

事实上,对上述取定的$m$和任意$n>m$,不妨设$n=lm+r, 0\leq r\leq m-1$.因为${\cal F}$是次可加的,所以有

$\begin{array}{rl} f_n(x)&\leq f_m(x)+f_m(T^mx)+\cdots+f_m(T^{(l-2)m}x)+f_{m+r}(T^{(l-1)m}x), \\ f_n(x)&\leq f_1(x)+f_m(Tx)+f_m(T^{m+1}x)+\cdots+f_m(T^{(l-2)m+1}x)+f_{m+r-1}(T^{(l-1)m+1}x), \\ &\cdots \\ f_n(x)&\leq f_{m-1}(x)+f_m(T^{m-1}x)+f_m(T^{2m-1}x)+\cdots+f_m(T^{(l-1)m-1}x)+f_{r+1}(T^{lm-1}x), \end{array}$

将上述各式相加,可得

$\begin{eqnarray*} mf_n(x)&\leq& A_m+\sum\limits_{i=0}^{(l-1)m-1}f_m(T^ix)+B_m\\ &=&A_m+\sum\limits_{i=0}^{n-1}f_m(T^ix)-\sum\limits_{i=(l-1)m}^{n-1}f_m(T^ix)+B_m, \end{eqnarray*}$

其中$A_m=\sum\limits_{i=1}^{m-1}f_i(x), B_m=\sum\limits_{i=r+1}^{m+r}f_i(T^{n-i}x)$.

若记$C=\max\limits_{x\in X}\{|f_1(x)|, |f_2(x)|, \cdots, |f_{m+r}(x)|\}$,则有

$f_n(x)\leq 4C+\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{f_m(T^ix)}{m}.$

从而$P(T, {\cal F}, \varepsilon)\leq P(T, \frac{f_m}{m}, \varepsilon)\cdot e^{4C}$,所以$P(T, {\cal F})\leq P(T, \frac{f_m}{m})$,上述断言成立.

下面,我们证明$P(T, {\cal F})\leq\sup\left\{h_\mu(T)+{\cal F}_*(\mu)|\mu\in M(X, T)\right\}$成立.对任意$k\in{\Bbb N}$,由经典拓扑压的变分原理可知

$P(T, \frac{f_{2^k}}{2^k})=\sup\left\{h_\mu(T)+\int\frac{f_{2^k}}{2^k}{\rm d}\mu\Big|\mu\in M(X, T)\right\}, $

因为熵映射是上半连续性的,所以存在$\mu_k\in M(X, T)$,使得

$P(T, \frac{f_{2^k}}{2^k})=h_{\mu_k}(T)+\int\frac{f_{2^k}}{2^k}{\rm d}\mu_k, $

由$M(X, T)$的紧致性可知$\{\mu_k\}$有极限点$\mu^*$.不失一般性,不妨假设$\lim\limits_{k\to\infty}\mu_k=\mu^*$.由(2.1)式可知

$P(T, {\cal F})\leq P(T, \frac{f_{2^k}}{2^k})=h_{\mu_k}(T)+\int\frac{f_{2^k}}{2^k}{\rm d}\mu_k, $

类似的,有

$P(T, {\cal F})\leq P(T, \frac{f_{2^{k+1}}}{2^{k+1}})=h_{\mu_{k+1}}(T)+\int\frac{f_{2^{k+1}}}{2^{k+1}}{\rm d}\mu_{k+1}.$

因为${\cal F}$是次可加的,所以$f_{2^{k+1}}(x)\leq f_{2^k}(x)+f_{2^k}(T^{2^k}x)$.又因为$\mu_{k+1}\in M(X, T)$,所以

$\int \frac{f_{2^{k+1}}}{2^{k+1}}{\rm d}\mu_{k+1}\leq \int \frac{2f_{2^k}}{2^{k+1}}{\rm d}\mu_{k+1}=\int \frac{f_{2^k}}{2^k}{\rm d}\mu_{k+1}, $

因此$P(T, {\cal F})\leq h_{\mu_{k+1}}(T)+\int\frac{f_{2^k}}{2^k}{\rm d}\mu_{k+1}$.

对一般的$l\in{\Bbb N}$,同理可得$P(T, {\cal F})\leq h_{\mu_{k+l}}(T)+\int\frac{f_{2^k}}{2^k}{\rm d}\mu_{k+l}$.令$l\to\infty$则有

$P(T, {\cal F})\leq h_{\mu^*}(T)+\int\frac{f_{2^k}}{2^k}{\rm d}\mu^*.$

由$k$的任意性可得$P(T, {\cal F})\leq h_{\mu^*}(T)+{\cal F}_*(\mu^*)\leq\sup\left\{h_\mu(T)+{\cal F}_*(\mu)|\mu\in M(X, T)\right\}$.定理2.1证毕.

注2.1  上述证明过程主要简化了定理中$P(T, {\cal F})\leq\sup\limits_\mu\left\{h_\mu(T)+{\cal F}_*(\mu)\right\}$这一部分的证明, "$\geq$"的部分以下仅在符号空间里作一些讨论,一般情形的证明可参考文献[6].

设$T$是符号空间$\Sigma=\{1, 2, \cdots, m\}^N(m\geq2)$上的移位映射, $A$是$m\times m$的$0-1$矩阵,即$A$中元素均为$0$或$1$.我们考虑$T:\Sigma_A\to\Sigma_A$ ($\Sigma_A$的详细定义可参考文献[10])以及$\Sigma_A$上的次可加函数序列$\{f_n(x)\}$.记$\Sigma_{A, n}$是所有长度为$n$的允许指标所组成的集合,对$J=j_1j_2\cdots j_n\in\Sigma_{A, n}$,将柱体集$\{x=(x_i)\in\Sigma_{A, n}|x_i=j_i, 1\leq i\leq n\}$记为$[J]$.在文献[6]中,作者证明了

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log\sum\limits_{I\in\Sigma_{A, n}}e^{\sup\limits_{x\in [I]}f_n(x)}=P(T, {\cal F}).$

对$\Sigma_A$的次可加拓扑压,下面我们可以给出下界的一个简单证明,也即

$P(T, {\cal F})\geq\sup\left\{h_\mu(T)+{\cal F}_*(\mu)|\mu \in M(\Sigma_A, T)\right\}.$

引理2.1^{[2,引理9.9]}  设$a_1, a_2, \cdots, a_k$是实数, $p_i\geq 0$且$\sum\limits_{i=1}^kp_i=1$,则有

$\sum\limits_{i=1}^kp_i(a_i-\log p_i)\leq\log (\sum\limits_{i=1}^ke^{a_i}).$

对任意$\mu\in M(\Sigma_A, T)$及任意$n\in{\Bbb N}$,由引理2.1可知

$ \begin{eqnarray*} \log\sum\limits_{I\in\Sigma_{A, n}}e^{\sup\limits_{x\in [I]}f_n(x)}&\geq&\sum\limits_{I\in\Sigma_{A, n}}(-\mu([I])\log\mu([I])+\mu([I])\sup\limits_{x\in [I]}f_n(x))\\ &\geq&\sum\limits_{I\in\Sigma_{A, n}}(-\mu([I])\log\mu([I]))+\int f_n(x){\rm d}\mu(x). \end{eqnarray*}$

两边除以$n$,令$n\to\infty$可得$P(T, {\cal F})\geq h_\mu(T)+{\cal F}_*(\mu)$.由$\mu$的任意性可得

$P(T, {\cal F})\geq\sup\left\{h_\mu(T)+{\cal F}_*(\mu)|\mu\in M(\Sigma_A, T)\right\}.$

本文的方法也可应用到次可加不稳定拓扑压变分原理证明中去.

设$M$是$n$维光滑连通紧致无边的黎曼流形, $f: M\rightarrow M$是$C^1$同胚.在$M$上取适当的黎曼度量,如果对切丛$TM$存在$Df$ -不变的非平凡直和分解$TM=E^s\bigoplus E^c\bigoplus E^u$,使得对任意$x\in M$和所有单位向量$v^a\in E^a_x(a=c, s, u)$,总有

$\|D_xfv^s\|<\|D_xfv^c\|<\|D_xfv^u\|, \ \|D_xf|_{E_x^s}\|<1, \ \|D_xf^{-1}|_{E_x^u}\|<1, $

则称映射$f$是部分双曲的, $E^s, E^c, E^u$分别称为稳定、中心、不稳定分布.稳定分布$E^s$对稳定流形$W^s$是可积的,因此有$TW^s=E^s$,同理$TW^u=E^u$.

在文献[11-12]中,作者分别引入了不稳定拓扑熵、不稳定拓扑压和不稳定度量熵的概念,下面我们回顾一下这些概念.设$\varphi:M\to{\Bbb R}$是连续函数,记$d^u$是不稳定流形$W^u$上由黎曼结构所导出的度量, $W^u(x, \delta)$是$d^u$度量下$W^u(x)$中以$x$为中心,以$\delta$为半径的开球.令$d^u_n(x, y)=\max\limits_{0\leq j\leq n-1}d^u(f^ix, f^iy)$.设$E\subset \overline{W^u(x, \delta)}$,如果对$E$中任意两点$y, z$,都有$d^u_n(y, z)\geqslant\varepsilon$,则称$E$是$\overline{W^u(x, \delta)}$的一个$(n, \varepsilon)\ u$ -分离子集.令

$P^u(f, \varphi, \varepsilon, n, x, \delta)=\sup\limits_E\left\{\sum\limits_{y\in E}\exp(S_n\varphi (y))\Big |\;E\ \mbox{是$\overline{W^u(x, \delta)}$的$(n, \varepsilon)\ u$ -分离子集}\right\}, $

$P^u(f, \varphi, \overline{w^{u}(x, \delta)})=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \limsup _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \log P^u(f, \varphi, \varepsilon, n, x, \delta).$

则流形$M$上映射$f$关于势函数$\varphi$的不稳定拓扑压定义为

$P^{u}(f, \varphi)=\lim _{\delta \rightarrow 0} \sup _{x \in M} P^u(f, \varphi, \overline{w^{u}(x, \delta)}).$

显然,当势函数$\varphi\equiv 0$时, $P^{u}(f, 0)$就是不稳定拓扑熵$h^u_{top}(f)$.

记${\cal M}_{f}$是$M$上所有的$f$ -不变测度的集合, ${\cal M}_{f}^{e}$是$M$上所有的$f$ -遍历测度的集合.在文献[11]中,作者证明了不稳定熵的变分原理,即

$h_{top}^{u}(f)=\sup \left\{h_{\mu}^{u}(f)| \mu \in {\cal M}_{f}^{e}\right\}, $

在文献[12]中,作者证明了不稳定压的变分原理,即

$P^u(f, \varphi)=\sup \left\{h_{\mu}^u(f)+\int_{M} \varphi {\rm d}\mu | \mu \in {\cal M}_{f}^{e}\right\}.$

另一方面,在文献[11]中,作者还证明了定义在${\cal M}_{f}$上的不稳定熵映射$\mu\mapsto h_{\mu}^u(f)$关于$\mu$是上半连续的.

现考虑$M$上的次可加函数列$\{\varphi_n\}$,令

$P^u(f, \{\varphi_n\}, \varepsilon, n, x, \delta)=\sup\limits_E\left\{\sum\limits_{y\in E}\exp(\varphi_n (y))\Big |\;E\ \mbox{是$\overline{W^u(x, \delta)}$的$(n, \varepsilon)\ u$ -分离子集}\right\}, $

$P^{u}\left(f, \left\{\varphi_{n}\right\}, \overline{W^{u}(x, \delta)}\right)=\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \limsup _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}\log P^{u}(f, \{\varphi_n\}, \varepsilon, n, x, \delta).$

类似于不稳定拓扑熵的定义,我们定义次可加不稳定拓扑压为

$P^{u}\left(f, \left\{\varphi_{n}\right\}\right)=\lim _{\delta \rightarrow 0} \sup _{x \in M} P^{u}\left(f, \left\{\varphi_{n}\right\}, \overline{W^{u}(x, \delta)}\right).$

利用本文的方法,我们首先证明对任意$k\geq 0$,有

$P^u\left(f, \{\varphi_{n}\}\right) \leq P^u\left(f, \frac{\varphi_{2^k}}{2^k}\right).$

又因为熵映射$\mu\mapsto h^u_{\mu}(f)$是上半连续的,由不稳定压的变分原理,对任意$k$,存在$\mu_k\in {\cal M}_{f}$使得$P^{u}\left(f, \frac{\varphi_{2^k}}{2^{k}}\right)=h_{\mu_{k}}^{u}(f)+\int \frac{\varphi_{2^k}}{2^k} {\rm d}\mu_{k}$.若$\mu^*$是$\{\mu_{k}\}$的极限点,利用上一节的方法,可得

$P^{u}\left(f, \{\varphi_{n}\}\right)\leq h_{\mu^{*}}^{u}(f)+\lim _{n \rightarrow +\infty} \int \frac{\varphi_{n}}{n} {\rm d}\mu^{*}$

于是得到了次可加不稳定拓扑压变分原理中"$\leq$"方向的证明, "$\geq$"方向的证明可类似于文献[11]和[6]中的证明方法得到.