考虑如下形式的修正Gross-Pitaevskii方程

(1.1) $ \begin{equation} -\triangle u-\triangle\sqrt{1+u^2}\frac{u}{2\sqrt{1+u^2}}-|u|^{p-2}u = \mu u, \qquad x \in{{\Bbb R}} ^N, \end{equation} $

其中$ 2＜p＜2^* $, $ \mu $是常数.方程(1.1)来源于等离子体中的超短激光脉冲模型(参见文献[2-3]),即方程(1.1)是如下方程的驻波解

(1.2) $ \begin{equation} {\rm i}z_t = -\triangle z-|z|^{p-2}z-\left[\triangle\sqrt{1+z^2}\right]\frac{z}{2\sqrt{1+z^2}}, \qquad x\in{{\Bbb R}} ^N, \end{equation} $

其中$ z: {{\Bbb R}} \times{{\Bbb R}} ^N\rightarrow \mathbb{C} $且$ z(x, t) = \exp (-{\rm i}\mu t)u(x) $,其中$ \mu\in{{\Bbb R}} $, $ u>0 $是实函数.易知函数$ z(x, t) $满足方程(1.2)当且仅当函数$ u(x) $满足方程(1.1).在文献[2-3]中,作者得到了方程(1.2)极小解的整体存在性以及一维柯西问题解的整体存在性和渐近行为.据我们所知，对于方程(1.1), Shen和Wang首先引入变量代换结合山路引理得到了非平凡解的存在性(见文献[13]). Cheng和Yang, Cheng和Yao将文献[13]的结果推广到了更一般的非线性情形,并分别得到了正解和孤立波解的存在性(参见文献[4-5]).上述结果都是在非线性项满足经典的(AR)条件下得到非平凡解的存在性.最近,邱,张和Abdelgadir改进了经典的(AR)条件,利用变量代换结合临界点理论得到了非平凡解的存在性(见文献[12]).对于方程(1.1)非平凡解或者正解的存在性文献较多,而关于方程(1.1)基态解的存在性及其相关性质的研究结果非常少.

本文希望利用将能量泛函约束在质量泛函对应$ L^2 $流形上的约束极小方法来研究方程(1.1)基态解的存在性,即研究方程(1.1)基态解的存在性等价于研究如下极小值问题极小解的存在性：

(1.3) $ \begin{equation} e(c) = \inf\limits_{u\in S_c}E(u), \end{equation} $

其中

$ \begin{eqnarray*} E(u) = \frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u^2}{1+u^2}|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{1}{p}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|u|^p{\rm d}x, \end{eqnarray*} $

$ S_c = \bigg\{u\in H^1({{\Bbb R}} ^N):\int_{{{\Bbb R}} ^N}u^2{\rm d}x = c^2\bigg\}. $

利用约束极小方法求方程基态解的存在性在半线性椭圆型方程中相关结论非常丰富,而后对于不同的方程,也有相当部分文献将半线性椭圆型方程约束变分问题的技巧和结论推广到更复杂的方程中去.例如古,孙和曾在文献[7]中利用约束极小技巧考虑了一般的$ p $次拉普拉斯方程,并进一步得到了非线性项系数趋于临界值时基态解的爆破行为. Zeng和Zhang在文献[14]中将该技巧用于Kirchhoff方程,得到了非线性项是幂次的Kirchhoff基态解的存在性和唯一性,并细致刻画了非线性指数和基态解存在性的依赖关系.进一步, Zeng和Zhang在文献[15-16]利用约束极小技巧研究了拟线性椭圆型方程基态解的存在性,并分析了不同参数趋于临界值时基态解的爆破行为和爆破率.而后, Zeng, Zhang和Zhou在文献[17]中利用约束极小探讨了两组分方程组基态解的存在性,并得到了基态解集的稳定性.朱在文献[18]研究了薛定谔-泊松方程,利用约束极小原理得到了相应方程基态解的存在性,并进一步在文献[19]中研究了方程基态解的爆破行为.

本文希望研究极小化问题(1.3)极小元的存在性,即方程(1.1)基态解的存在性.与半线性椭圆型方程对应约束变分问题不同的是,方程(1.1)中多了修正项$ \frac{u}{2\sqrt{1+u^2}}\triangle\sqrt{1+u^2} $,这导致相应的极小化问题(1.3)中出现项$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u^2}{1+u^2}|\nabla u|^2{\rm d}x $,该项虽然可以用梯度项来控制且有正的下界,但是如果用经典的集中紧原理来证明极小化序列的收敛性时,很难用现有的技巧去排除二分的发生.因此本文引入文献[6]中技巧,利用泛函的凸性得到对应泛函的弱下半连续性,进而利用极小化序列的递减重排序列的性质等得到基态解的存在性.

在介绍本文结果之前,先引入如下Gagliardo-Nirenberg不等式(参见文献[1])

(1.4) $ \begin{equation} \|u\|^{p}_{p}\leq \frac{p}{2\|\phi\|^{p-2}_{2}}\|\nabla u\|^{\frac{N(p-2)}{2}}_{2}\|u\|^{\frac{2p+2N-pN}{2}}_{2}, N\geq 1, 2＜p＜2^*, \end{equation} $

其中等式成立当且仅当函数$ u(x) $是函数$ \phi(x) $的伸缩平移, $ \phi(x) $是如下半线性椭圆型方程

$ \begin{eqnarray*} -\frac{N(p-2)}{4}\triangle u+\frac{2p-N(p-2)}{4}u-u^{p-1} = 0 \end{eqnarray*} $

唯一径向对称基态解.上述方程结合Pohozaev恒等式可得

(1.5) $ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla \phi|^2{\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}} ^N}{\phi}^2{\rm d}x = \frac{2}{p}\int_{{{\Bbb R}} ^N}{\phi}^p{\rm d}x. \end{equation} $

定理1.1 (i) 若$ 2＜p＜2+\frac{4}{N} $,则问题(1.3)存在一个极小解$ u $,且存在常数$ \mu＜0 $,使得函数$ u $满足$ \rm{Euler-Lagrange} $方程

$ -\Delta u-\frac{u}{2(1+u^2)^{1/2}}\Delta(1+u^2)^{1/2}-|u|^{p-2}u = \mu u. $

(ii)  若$ p = 2+\frac{4}{N} $且$ c\leq\|\phi\|_2 $或者$ c>\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{N}{4}}\|\phi\|_2 $时,问题(1.3)不存在极小解.若$ \|\phi\|_2＜c＜\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{N}{4}}\|\phi\|_2 $,不清楚问题(1.3)是否存在极小解.

(iii)  若$ p>2+\frac{4}{N} $,问题(1.3)不存在极小解.

本文中, $ ||u||_r $表示$ L^r({{\Bbb R}} ^N)\ (2\leq r＜2^*) $中的范数.

引理2.1 假设$ 2＜p＜2+\frac{4}{N} $,则对任意的$ c>0 $, $ -\infty＜e(c)＜0 $.

证 对任意$ c>0 $和$ u\in S_c $.令$ u_{\lambda}(x) = {\lambda}^{\frac{N}{2}}u(\lambda x) $,通过计算知

$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u_{\lambda}(x)|^2{\rm d}x = {\lambda}^2\int_{{{\Bbb R}} ^N}{\lambda}^N|\nabla u({\lambda}x)|^2{\rm d}x = {\lambda}^2\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x, $

$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u_{\lambda}^2}{1+u_{\lambda}^2}|\nabla u_{\lambda}|^2{\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{{\lambda}^Nu^2(\lambda x)}{1+{\lambda}^Nu^2(\lambda x)}{\lambda}^2{\lambda}^N|\nabla u(\lambda x)|^2{\rm d}x = {\lambda}^2\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{{\lambda}^Nu^2}{1+{\lambda}^Nu^2}|\nabla u|^2{\rm d}x, $

$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}|u_{\lambda}|^p{\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}} ^N}{\lambda}^{\frac{p}{2}N}|u(\lambda x)|^p{\rm d}x = {\lambda}^{(\frac{p}{2}-1)N}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|u|^p{\rm d}x, $

$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}|u_{\lambda}|^2{\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}} ^N}|u|^2{\rm d}x = c^2\in S_c. $

代入$ E(u) $可得当$ \lambda\rightarrow 0 $时,有

(2.1) $ \begin{equation} E(u_{\lambda}) = \frac{\lambda^2}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{\lambda^2}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{{\lambda}^Nu^2}{1+{\lambda}^Nu^2}|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{{\lambda}^{(\frac{p}{2}-1)N}}{p}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|u|^p{\rm d}x \rightarrow 0. \end{equation} $

由此可知,对任意$ c>0 $, $ e(c)\leq 0 $.进一步,若$ 2＜p＜2+\frac{4}{N} $,则$ \frac{p-2}{2}N＜2 $,由(2.1)式知当$ \lambda $足够小时, $ \int_{{{\Bbb R}} ^n}|u|^p{\rm d}x $是控制项.因此可知$ 2＜p＜2+\frac{4}{N} $时,对任意$ c>0 $, $ e(c)＜ 0 $.

另一方面,利用(1.4)式可知

(2.2) $ \begin{eqnarray} E(u)& = &\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u^2}{1+u^2}|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{1}{p}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|u|^p{\rm d}x \\ &\geq& \frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u^2}{1+u^2}|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{c^{\frac{2(p+N)-pN}{2}}}{2\|\phi\|^{p-2}_2} \bigg(\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u|^2\bigg)^{\frac{N(p-2)}{4}}. \end{eqnarray} $

由$ p＜2+\frac{4}{N} $可知, $ \frac{N(p-2)}{4}＜1 $,结合(2.2)式可知泛函$ E(u) $在流形$ S_c $上是下有界的,且$ e(c)>-\infty $.引理2.1证毕.

引理2.2 假设$ e(c)＜0 $,则对任意$ \lambda>1 $,有$ e(\lambda c)\leq \lambda^2 e(c) $.

证 假设$ \{u_n\} $是$ e(c) $的任意极小化序列.相似(2.2)式有

(2.3) $ \begin{equation} E(u_n)\geq \frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u_n|^2{\rm d}x-\frac{c^{\frac{2(p+N)-pN}{2}}}{2\|\phi\|^{p-2}_2} \bigg(\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u_n|^2\bigg)^{\frac{N(p-2)}{4}}. \end{equation} $

若$ p＜ 2+\frac{4}{N} $,则$ \frac{N(p-2)}{4}＜1 $,由上式可知$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u_n|^2{\rm d}x $有界.

设$ u^\lambda_n = u_n(\lambda^{-\frac{2}{N}}x) $, $ \lambda >1 $,则$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}|u_n^{\lambda}(x)|^2{\rm d}x = \lambda^2\int_{{{\Bbb R}} ^N}|u_n(x)|^2{\rm d}x = \lambda^2 c^2 $,即$ u_{\lambda}(x)\in S_{\lambda c} $.且

$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u_n^{\lambda}(x)|^2{\rm d}x = \lambda^{2-\frac{4}{N}} \int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u_n|^2{\rm d}x, $

$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{(u_n^\lambda)^2}{1+(u_n^\lambda)^2}|\nabla u_n^\lambda (x)|^2{\rm d}x = \lambda^{2-\frac{4}{N}}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u_n^2}{1+u_n^2}|\nabla u_n|^2{\rm d}x, $

$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}|u_n^{\lambda}|^p{\rm d}x = \lambda^2\int_{{{\Bbb R}} ^N}|u_n|^p{\rm d}x. $

综合上述各式,结合$ \lambda>1 $,可得

$ \begin{eqnarray*} e(\lambda c)&\leq& \lim\limits_{n\rightarrow \infty}E(u^\lambda_n(x))\\ & = &\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\lambda^{2-\frac{4}{N}}}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u_n|^2{\rm d}x+\frac{\lambda^{2-\frac{4}{N}}}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u_n^2}{1+u_\lambda^2}|\nabla u_n|^2{\rm d}x-\frac{\lambda^2}{p}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|u_n|^p{\rm d}x \nonumber\\ & = &\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\bigg[\lambda^2E(u_n)+(\lambda^{2-\frac{4}{N}}-\lambda^2) \bigg(\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u_n|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u_n^2}{1+u_n^2}|\nabla u_n|^2{\rm d}x\bigg)\bigg] \nonumber\\ &\leq&\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\lambda^2E(u_n) = \lambda^2e(c). \end{eqnarray*} $

引理2.2证毕.

定理1.1(i)的证明 假设$ \{u_n\}\in S_c $是$ e(c) $的一个极小化序列.类似(2.3)式可知$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u_n|^2{\rm d}x $有界.结合$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}u_n^2{\rm d}x = c^2 $可知序列$ \{u_n\} $在$ H^1({{\Bbb R}} ^N) $中有界.由此可知存在有界序列$ \{u_n\}\in H^1({{\Bbb R}} ^N) $，使得$ { }\lim_{n\rightarrow \infty}E(u_n) = e(c) = \inf\{E(u):u\in S_c\}. $而由$ \{u_n\}\in H^1({{\Bbb R}} ^N) $知$ |u_n|\in H^1({{\Bbb R}} ^N) $,且$ E(|u_n|) = E(u_n) $.

设$ u_n^* $是$ |u_n| $的Schwarz对称递减重排,由文献[8,命题3.3]可知

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u_n^*|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{{u_n^*}^2}{1+{u_n^*}^2}|\nabla u_n^*|^2{\rm d}x\leq \frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u_n|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u_n^2}{1+u_n^2}|\nabla u_n|^2{\rm d}x \end{eqnarray*} $

且

$ \begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}} ^N}|{u_n^*}|^2{\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}} ^N}|u_n|^2{\rm d}x = c^2, \ \ \int_{{{\Bbb R}} ^N}|{u_n^*}|^p{\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}} ^N}|u_n|^p{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

因此

(2.4) $ \begin{equation} e(c)\leq E(u_n^*)\leq E(u_n). \end{equation} $

由此可知序列$ \{u_n^*\} $也是极小化问题(1.3)的一个极小化序列,是径向对称且关于$ |x| $单调递减.进而可得序列$ \{u_n^*\} $在空间$ H^1({{\Bbb R}} ^N) $中是有界的,存在$ \{u_n^*\} $的子序列,仍记作$ \{u_n^*\} $,存在$ u \in H^1({{\Bbb R}} ^N) $,使得在空间$ H^1({{\Bbb R}} ^N) $中$ u_n^* \rightharpoonup u, $且

$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}|{u}|^2{\rm d}x\leq \liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{{{\Bbb R}} ^N}|{u_n^*}|^2{\rm d}x = c^2. $

设$ j:[0, +\infty)\times [0, +\infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^N $为$ j(s, \xi) = \frac{1}{2}\xi^2+\frac{1}{4}\frac{s^2}{1+s^2}\xi^2 $,因此知$ j(s, \xi) $关于$ \xi $是凸的,由文献[9-10]知相应泛函满足弱下半连续性,即

(2.5) $ \begin{eqnarray} && \frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u^2}{1+u^2}|\nabla u|^2{\rm d}x{}\\ &\leq & \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\bigg(\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla {u_n^*}|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{{u_n^*}^2}{1+{u_n^*}^2}|\nabla {u_n^*}|^2{\rm d}x\bigg). \end{eqnarray} $

另外,由于$ \{u_n^*\} $是径向递减函数,相似文献中[11]中径向引理,可以获得$ \{u_n^*\} $关于$ N $和$ |x| $在无穷远处一致衰减,由标准的讨论可知

(2.6) $ \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|{u_n^*}|^p{\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}} ^N}|u|^p{\rm d}x. \end{equation} $

结合(2.4)和(2.5)式,可得

(2.7) $ \begin{equation} E(u)\leq \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}E(u_n) = e(c). \end{equation} $

上式结合引理2.1中$ e(c)＜0 $,可得$ u\neq 0 $.因此若设$ 0＜\int_{{{\Bbb R}} ^N}|u|^2{\rm d}x = d^2＜c^2\ (d>0). $由(2.7)式可知$ e(d)\leq e(c)＜0 $.设$ \lambda = \frac{c}{d} $,则$ \lambda >1 $且$ \lambda^2d^2 = c^2 $,因此由引理2.2可知$ e(c) = e(\lambda d)\leq\lambda^2 e(d)＜e(d). $矛盾.故$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}|u|^2{\rm d}x = c^2 $,即$ u $是问题(1.3)的一个极小解.进一步,由(2.6)和(2.7)式,可得

$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla {u_n^*}|^2{\rm d}x\rightarrow \int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla {u}|^2{\rm d}x \quad (n\rightarrow \infty), $

$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{{u_n^*}^2}{1+{u_n^*}^2}|\nabla {u_n^*}|^2{\rm d}x\rightarrow \int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u^2}{1+u^2}|\nabla u|^2{\rm d}x \quad (n\rightarrow \infty). $

即Schwarz对称序列$ \{u_n^*\} $强收敛到$ u $.

由上面的证明可知$ u $是问题(1.3)的极小解,因此存在一个Lagrange乘子$ \mu $,使得$ E'(u) = \mu u $,即函数$ u(x) $满足如下的Euler-Lagrange方程

(2.8) $ \begin{equation} -\Delta u-\frac{u}{2(1+u^2)^{1/2}}\Delta(1+u^2)^{1/2}-|u|^{p-2}u = \mu u. \end{equation} $

求方程(2.8)对应Pohozaev恒等式可得

$ \begin{eqnarray*} \frac{N-2}{2N}\bigg[\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u^2}{1+u^2}|\nabla u|^2{\rm d}x\bigg] = \frac{\mu}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|u|^2{\rm d}x+\frac{1}{p}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|u|^p{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

代入$ E(u) $可得

$ \begin{eqnarray*} E(u)& = &\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u^2}{1+u^2}|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{1}{p}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|u|^p{\rm d}x \nonumber\\ & = &\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u^2}{1+u^2}|\nabla u|^2{\rm d}x\\ & &-\frac{N-2}{2N} \bigg[\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u^2}{1+u^2}|\nabla u|^2{\rm d}x\bigg]+\frac{\mu}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|u|^2{\rm d}x \nonumber\\ & = &\frac{2}{N}\bigg[\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u^2}{1+u^2}|\nabla u|^2{\rm d}x \bigg]+\frac{\mu}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|u|^2{\rm d}x \nonumber\\ &\geq& \frac{\mu}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|u|^2{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

而当$ p＜ 2+\frac{4}{N} $时,由引理2.1可知$ e(c) = E(u)＜0 $,因此$ \mu ＜0 $.

定理1.1(ii)的证明 当$ p = 2+\frac{4}{N} $时,由(2.2)式可知

(2.9) $ \begin{eqnarray} E(u)&\geq& \frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u^2}{1+u^2}|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{c^{\frac{4}{N}}}{2\|\phi\|^{\frac{4}{N}}_2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x\\ & = &\frac{1}{2}\bigg(1-\frac{c^{\frac{4}{N}}}{\|\phi\|^{\frac{4}{N}}_2}\bigg)\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u^2}{1+u^2}|\nabla u|^2{\rm d}x. \end{eqnarray} $

由表达式(2.9)可知,当$ c\leq\|\phi\|_2 $时, $ E(u)\geq \frac{1}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{u^2}{1+u^2}|\nabla u|^2{\rm d}x>0 $对任意$ u\in S_c $成立.另一方面,对任意$ c>0 $和$ u\in S_c $.令$ u_{\lambda}(x) = {\lambda}^{\frac{N}{2}}u(\lambda x) $,则由(2.1)式可知, $ e(c)\leq 0 $.矛盾,因此当$ p = 2+\frac{4}{N} $且$ c\leq\|\phi\|_2 $时,问题(1.3)不存在极小解.

令$ u_\lambda(x) = \frac{c\lambda^{\frac{N}{2}}}{||\phi|\_2}\phi(\lambda x) $,其中$ \lambda>0 $是常数,利用(1.5)可知$ u_\lambda \in S_c $,且

$ \int_{{{\Bbb R}} ^n}|\nabla u_{\lambda}(x)|^2{\rm d}x = c^2\lambda^2, $

$ \int_{{{\Bbb R}} ^n}\frac{u_\lambda^2}{1+u_\lambda^2}|\nabla u_\lambda (x)|^2{\rm d}x = \frac{c^2\lambda^2}{||\phi||_2^2}\int_{{{\Bbb R}} ^n}\frac{c^2\lambda^N \phi^2(x)}{||\phi||_2^2+c^2\lambda^N\phi^2(x)}|\nabla \phi(x)|^2{\rm d}x, $

$ \int_{{{\Bbb R}} ^n}|u_{\lambda}|^p{\rm d}x = \frac{pc^p\lambda^{\frac{N(p-2)}{2}}}{2||\phi||_2^{p-2}}. $

代入能量泛函可得

$ \begin{eqnarray*} E(u_\lambda)& = &\frac{1}{2}c^2\lambda^2+\frac{c^2\lambda^2}{4||\phi||_2^2}\int_{{{\Bbb R}} ^n}\frac{c^2\lambda^N \phi^2(x)}{||\phi||_2^2+c^2\lambda^N\phi^2(x)}|\nabla \phi(x)|^2{\rm d}x-\frac{c^{2+\frac{4}{N}}\lambda^2}{2||\phi||_2^{\frac{4}{N}}}\\ & = &\left(1-\frac{c^{\frac{4}{N}}}{||\phi||_2^{\frac{4}{N}}}\right)\frac{1}{2}c^2\lambda^2+\frac{c^2\lambda^2}{4||\phi||_2^2}\int_{{{\Bbb R}} ^n}\frac{c^2\lambda^N \phi^2(x)}{||\phi||_2^2+c^2\lambda^N\phi^2(x)}|\nabla \phi(x)|^2{\rm d}x\\ &\leq& \left(\frac{3}{2}-\frac{c^{\frac{4}{N}}}{||\phi||_2^{\frac{4}{N}}}\right)\frac{1}{2}c^2\lambda^2. \end{eqnarray*} $

即当$ c>\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{N}{4}}\|\phi\|_2 $时,可得当$ \lambda\rightarrow \infty $时, $ E(u_\lambda)\rightarrow -\infty $,这意味着当$ p = 2+\frac{4}{N} $且$ c>\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{N}{4}}\|\phi\|_2 $时$ e(c) = -\infty $,因此问题(1.3)不存在极小解.

定理1.1(iii)的证明 对任意$ c>0 $和$ u\in S_c $.令$ u_{\lambda}(x) = {\lambda}^{\frac{N}{2}}u(\lambda x) $,通过计算知$ \int_{{{\Bbb R}} ^N}|u_{\lambda}|^2{\rm d}x = c^2\in S_c $且

(2.10) $ \begin{equation} E(u_{\lambda}) = \frac{\lambda^2}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{\lambda^2}{4}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{{\lambda}^Nu^2}{1+{\lambda}^Nu^2}|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{{\lambda}^{(\frac{p}{2}-1)N}}{p}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|u|^p{\rm d}x. \end{equation} $

若$ p>2+\frac{4}{N} $,则可知$ (\frac{p}{2}-1)N>2 $,此时上式中的控制项是$ \frac{{\lambda}^{(\frac{p}{2}-1)N}}{p}\int_{{{\Bbb R}} ^N}|u|^p{\rm d}x $.因此当$ \lambda\rightarrow \infty $时有$ E(u_{\lambda})\rightarrow -\infty $.这意味着当$ p>2+\frac{4}{N} $时,对任意的$ c>0 $,均有$ e(c) = -\infty $.此时极小化问题(1.3)不存在极小解.