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数学物理学报, 2020, 40(4): 833-841 doi:

论文

非等熵Chaplygin气体测度值解存在性

陈雨风,1, 陈停停,2, 王振,1

The Existence of the Measure Solution for the Non-Isentropic Chaplygin Gas

Chen Yufeng,1, Chen Tingting,2, Wang Zhen,1

通讯作者: 陈停停，E-mail: chentt@cug.edu.cn

收稿日期: 2020-01-2  

基金资助: 国家自然科学基金.  11771442
中国地质大学（武汉）中央高校基本科研业务费专项资金.  CUGL180827

Received: 2020-01-2  

Fund supported: the NSFC.  11771442
the Fundamental Research Funds for the Central Universities, China University of Geosciences (Wuhan).  CUGL180827

作者简介 About authors

陈雨风,E-mail:cyf20081015@163.com , E-mail：cyf20081015@163.com

王振,E-mail:zwang@whut.edu.cn , E-mail：zwang@whut.edu.cn

摘要

该文研究了一维非等熵Chaplygin气体动力学方程组的黎曼问题.考虑压力和内能均满足一般表示的情况下，利用特征分析的方法，分析经典弱解存在的充要条件.由于该弱解密度会出现集中的现象，因此会产生δ波.该文在Radon测度值解意义下，推导广义Rankine-Hugoniot条件，结合经典熵条件，构造一般黎曼问题的测度值解.该结果是等熵Chaplygin气体弱解存在性的推广.

关键词： 非等熵Chaplygin气体 ; 黎曼问题 ; 测度值解 ; 广义Rankine-Hugoniot条件

Abstract

In this paper, we consider the Riemann problem of one-dimensional non-isentropic Chaplygin gas dynamics. In the case that the pressure and internal energy are general, we construct the classical solution by the characteristic analysis under a sufficient and necessary condition on the Riemann data. As the density ρ concentrates, the δ shock waves exist. According to the theory of Radon measure, the general Rankine-Hugoniot is induced. Combining with entropy condition, we obtain the measure solution for this problem. This extends the result for the isentropic Chaplygin gas.

Keywords： Non-isentropic Chaplygin gas ; Riemann problem ; Measure solution ; General Rankine-Hugoniot condition

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本文引用格式

陈雨风, 陈停停, 王振. 非等熵Chaplygin气体测度值解存在性. 数学物理学报[J], 2020, 40(4): 833-841 doi:

Chen Yufeng, Chen Tingting, Wang Zhen. The Existence of the Measure Solution for the Non-Isentropic Chaplygin Gas. Acta Mathematica Scientia[J], 2020, 40(4): 833-841 doi:

1 引言

一维非等熵欧拉方程组可描述为

{ρt+(ρu)x=0,(ρu)t+(ρu2+p)x=0,(ρE)t+(ρuE+pu)x=0,
(1.1)

其中ρ, u, p, E=12u2+e,分别表示密度,速度,压力,能量.当状态方程满足

p(ρ,s)=g(s)−1ρf(s),
(1.2)

f(s)>0, g(s)是熵s的函数,且f′(s)>0时, (1.1)–(1.2)式被称为Chaplygin气体方程.由热力学方程

Tds=de+pd1ρ,
(1.3)

计算可得

(T+1ρg′(s)−12ρ2f′(s))ds=d(e+1ρg(s)−12ρ2f(s)).
(1.4)

即,存在熵s的函数h(s)使得

T=12ρ2f′(s)−1ρg′(s)+h′(s),
(1.5)

e=12ρ2f(s)−1ρg(s)+h(s),
(1.6)

其中T表示温度, f′(s)>0,h′(s)>0,g′2(s)<2f′(s)h′(s) (参见文献[1]).

这类气体方程由Chaplygin和Tsien分别在文献[2]和[3]中引入,用于计算在空气动力学中飞机机翼的升力的数学近似.关于Chaplygin气体更多的物理背景,可以参考文献[1, 4-5].在数学上, Chaplygin气体是一类典型的线性退化模型,在经典的弱解意义下非全局可解. 2005年, Brenier首先分析给出等熵Chaplygin气体黎曼问题的δ -波解(见文献[6]).随后,文献[7]中利用广义特征分析的方法,详细讨论了初始含有狄拉克测度的广义黎曼问题,并构造了该问题的解.屈和王在文献[8]中证明了该模型等熵时黎曼问题解的稳定性.对于非等熵情形,文献[9]中分析构造压力及内能分别为p=1ρ, e=12ρ2+f(s)时,密度和内能均含有狄拉克函数的δ激波,并给出了数值分析.通过对经典黎曼初始扰动,文献[10]中得到初始含有δ初值问题与经典黎曼问题的本质区别.有关更多的δ激波理论,可以参看文献[11-14]及其引用文献.

本文考虑方程组(1.1)的黎曼问题,黎曼初值如下

(ρ,u,s)(x,t)|t=0={(ρl,ul,sl),x<0,(ρr,ur,sr),x>0.
(1.7)

利用特征分析的方法,构造出经典黎曼问题的解.但是,在一般弱解意义下,初始的取值范围限制了弱解的存在性.该文通过Radon测度重新定义弱解[15],推导了广义Rankine-Hugoniot条件,并构造了经典熵条件下的δ波解.

2 经典Riemann问题弱解的存在性

本节我们利用特征分析的方法,计算非等熵Chaplygin气体的基本波,并构造经典黎曼问题的弱解.在光滑解意义下,当es≠0时,方程(1.1)可以等价为

(ρus)t+(uρ0f(s)ρ3ug′(s)ρ−f′(s)ρ200u)(ρus)x=0,
(2.1)

则系数矩阵的三个特征值分别

λ1=u−√f(s)ρ,λ2=u,λ3=u+√f(s)ρ,
(2.2)

相应的右特征向量为

→r1=(1,−√f(s)ρ2,0)T,→r2=(1,0,0)T,→r3=(1,√f(s)ρ2,0)T,
(2.3)

由∇λi⋅→ri=0 (i=1,2,3),该模型的特征均是线性退化的[16].

由于该模型具有尺度不变性,我们首先考虑自相似解(ρ,u,s)(ξ)(ξ=xt),代入方程(1.1)得

{−ξρξ+(ρu)ξ=0,−ξ(ρu)ξ+(ρu2+p)=0,−ξ(ρE)ξ+(ρuE+pu)ξ=0.
(2.4)

对于光滑解,方程(2.4)可以表示为

(u−ξρ0f(s)ρ3u−ξg′(s)ρ−f′(s)ρ200u−ξ)(ρus)ξ=0.
(2.5)

于是,后向稀疏波满足

{s=sl,u=ul+√f(s)(1ρ−1ρl),ρ<ρl,
(2.6)

前向稀疏波满足

{s=sl,u=ul−√f(s)(1ρ−1ρl),ρ>ρl.
(2.7)

接下来我们将考虑该模型的有界间断解.设间断线为σ=dxdt,根据Rankine-Hugoniot条件[16],该间断解满足

{−σ[ρ]+[ρu]=0,−σ[ρu]+[ρu2+p]=0,−σ[ρE]+[ρuE+pu]=0.
(2.8)

这里“[ ]”表示跨过间断的跳跃.例如, [ρ]=ρr−ρl,其中ρl与ρr分别表示ρ在间断处的左右状态.方程(2.8)也可写成

{(ur−σ)[ρ]+ρl[u]=0,f(sr)ρlρr[ρ]+ρr(ur−σ)[u]−1ρl[f(s)]+[g(s)]=0,(ur−σ)(−ρl+ρr2ρl[g(s)]+12ρl[f(s)]+ρr[h(s)])=0,
(2.9)

其中,交换下标r和l的位置,方程组(2.9)仍然成立.为了得到非平凡解,假设方程组(2.9)系数矩阵的秩小于3,则可求得接触间断满足

σ=ul=ur,[u]=[p]=0,[ρ]≠0,
(2.10)

后向激波满足

{sr=sl,ur=ul+√f(s)(1ρr−1ρl),ρr>ρl.
(2.11)

前向激波满足

{sr=sl,ur=ul−√f(s)(1ρr−1ρl),ρr<ρl.
(2.12)

综合上述分析, Riemann问题(1.7)的解可构造如下

(ρ,u,s)(x,t)={(ρl,ul,sl),x<(ul−√f(sl)ρl)t,(ρ1,u,sl),(ul−√f(sl)ρl)t<x<ut,(ρ2,u,sr),ut<x<(ur+√f(sr)ρr)t,(ρr,ur,sr),(ur+√f(sr)ρr)t<x,
(2.13)

其中ρ1,ρ2,u满足

{ρ1=√f(sl)(√f(sl)+√f(sr))√f(sr)(ur+√f(sr)ρr−ul+√f(sl)ρl)+g(sl)−g(sr),[7mm]ρ2=√f(sr)(√f(sl)+√f(sr))√f(sl)(ur+√f(sr)ρr−ul+√f(sl)ρl)−g(sl)+g(sr),[7mm]u=ul−√f(sl)ρl+√f(sr)(ur+√f(sr)ρr−ul+√f(sl)ρl)+g(sl)−g(sr)√f(sl)+√f(sr).
(2.14)

易见,若使得密度ρ1,ρ2>0,初始条件应满足

ur+√f(sr)ρr−ul+√f(sl)ρl>max
(2.15)

因此,我们有如下结论.

引理2.1 方程组(1.1), (1.2), (1.6)的经典黎曼问题弱解满足(2.13)–(2.14)式的充要条件为初始条件(1.7)满足条件(2.15).

注2.1 上述引理表明,当初值不满足条件(2.15)时,该方程的经典黎曼问题无解.特别地,当初始条件满足

u_r+\frac{\sqrt{f(s_r)}}{\rho_r}-u_l+\frac{\sqrt{f(s_l)}}{\rho_l} \rightarrow \max\bigg\{\frac{g(s_r)-g(s_l)}{\sqrt{f(s_r)}}, \frac{g(s_l)-g(s_r)}{\sqrt{f(s_l)}}\bigg\},

则有 \rho_1\rightarrow \infty 或 \rho_2\rightarrow \infty ,对应有 u\rightarrow u_l-\frac{\sqrt{f(s_l)}}{\rho_l} 或 u\rightarrow u_r+\frac{\sqrt{f(s_r)}}{\rho_r} .

3 含 \delta 波的测度值解

本节将利用测度值解的定义,推导广义Rankine-Hugoniot条件,结合熵条件,证明一般Riemann问题的弱解存在性.为了证明的需要,我们首先引入测度论的一些基本概念.假设 {\cal B} 是 {{\Bbb R}} ^{2} 上的博雷尔 \sigma -代数, m 是 {\cal B} 上的Radon测度,则 m 可以看成是 C_0({{\Bbb R}} ^{2}) 空间上的有界线性泛函,满足

\begin{equation} \langle m, \phi\rangle = \int_{{{\Bbb R}} ^{2}}\phi(x, y)m({\rm d}x{\rm d}t), \end{equation}
(3.1)

其中 \phi\in C_0({{\Bbb R}} ^{2}) 是任意检验函数.

定义3.1 对于Lipschitz曲线 L = (x(s), t(s):\alpha\leq s \leq \beta) 上的带权 \delta 函数 w(s)\delta_L 定义为

\begin{equation} \langle w_L\delta_L, \phi\rangle = \int_{\alpha}^{\beta}w_L(s)\phi(x(s), t(s)) {\rm d}s, \forall\phi\in C_0({{\Bbb R}} ^{2}). \end{equation}
(3.2)

下面我们将给出一般Riemann问题的Radon测度值解的定义.

定义3.2 令 m^{i}, n^{i}\;(i = 0, 1, 2), \wp^{i}\;(i = 1, 2) 为 \bar \Omega 上的 \rm{Radon} 测度,称 (\rho, u, s) 为问题 (1.1) 的测度值解,当如下条件成立

i)对任意的 \phi\in C_0({{\Bbb R}} ^{2}) ,下式成立

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { }\langle m^{0}, \phi_t\rangle +\langle n^{0}, \phi_x\rangle+\int_{{{\Bbb R}} }\rho_0\phi(0, x){\rm d}x = 0, \\ { }\langle m^{1}, \phi_t\rangle +\langle n^{1}, \phi_x\rangle+\langle \wp^{1}, \phi_{x}\rangle+\int_{{{\Bbb R}} }\rho_0u_0\phi(0, x){\rm d}x = 0, \\ { } \langle m^{2}, \phi_t\rangle +\langle n^{2}, \phi_x\rangle+\langle \wp^{2}, \phi_{x}\rangle+\int_{{{\Bbb R}} }\rho_0E_0\phi(0, x){\rm d}x = 0. \end{array} \right. \end{equation}
(3.3)

ii) m^{0} 是非负的 \rm{Radon} 测度,满足 n^{0}\ll m^{0}, (m^k, n^k)\ll (m^{0}, n^{0})\;(k = 1, 2) ,且关于 m^{0} 的 \rm{Radon-Nikodym} 导数满足

\begin{equation} \begin{array}{ll} { } u = \frac{n^{0}({\rm d}x{\rm d}t)}{m^{0}({\rm d}x{\rm d}t)} = \frac{m^{1}({\rm d}x{\rm d}t)}{m^{0}({\rm d}x{\rm d}t)}, \\ { } E = \frac{m^{2}({\rm d}x{\rm d}t)}{m^{0}({\rm d}x{\rm d}t)} \quad {\rm a.e., } \end{array} \end{equation}
(3.4)

其中 \lambda\ll \mu 表示测度 \lambda 关于非负测度 \mu 是绝对连续的.

iii)间断处熵条件成立.

基于上述定义,我们可以得到如下结论.

定理3.1 方程组(1.1), (1.2), (1.6)的一般 \rm{Riemann} 问题(1.7)存在测度值解.

证 令 I_\Omega 为区域 \Omega\subset{{\Bbb R}} ^{2} 上的特征函数. {\cal L}^{2} 是 {{\Bbb R}} ^{2} 平面上的勒贝格测度.现假设有如下的测度值解

\begin{equation} \begin{array}{ll} &m^{0} = \rho_{0}I_{\Omega}{\cal L}^{2}+w_{m}^{0}(t)\delta_w, n^{0} = \rho_0u_0I_\Omega{\cal L}^{2}+w_{n}^{0}(t)\delta_w, \\ &m^{1} = \rho_{0}u_0I_{\Omega}{\cal L}^{2}+w_{m}^{1}(t)\delta_w, n^{1} = \rho_0u_0^{2}I_\Omega{\cal L}^{2}+w_{n}^{1}(t)\delta_w, \\ &m^{2} = \rho_{0}E_0I_{\Omega}{\cal L}^{2}+w_{m}^{2}(t)\delta_w, n^{2} = \rho_0u_0E_0I_\Omega{\cal L}^{2}+w_{n}^{2}(t)\delta_w, \\ &\wp^{1} = p_0I_\Omega{\cal L}^{2}, \wp^{2} = u_0p_0I_\Omega{\cal L}^{2}. \end{array} \end{equation}
(3.5)

根据(3.3)式中的第一个式子,有

\begin{eqnarray} 0& = &\langle m^{0}, \phi_t\rangle +\langle n^{0}, \phi_x\rangle+\int_{{{\Bbb R}} }\rho_0\phi(0, x){\rm d}x{}\\ & = &{\int\!\!\!\int}_\Omega\rho_0\phi_t{\rm d}x{\rm d}t+\int_{0}^{+\infty}w_{m}^{0}(t)\phi_t{\rm d}t +{\int\!\!\!\int}_\Omega\rho_0u_0\phi_x{\rm d}x{\rm d}t{}\\ & & +\int_{0}^{+\infty}w_{n}^{0}(t)\phi_{x}{\rm d}t+\int_{t = 0}\rho_0\phi(0, x){\rm d}x{}\\ & = &\int_{0}^{+\infty}\phi([\rho]\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}-[\rho u]){\rm d}t+\int_{0}^{+\infty}w_{m}^{0}{\rm d}\phi{}\\ & & -\int_{0}^{+\infty}w_{m}^{0}\phi_x{\rm d}x+\int_{0}^{+\infty}w_{n}^{0}\phi_x{\rm d}t{}\\ & = &\int_{0}^{+\infty}\phi([\rho]\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}-[\rho u]){\rm d}t-w_{m}^{0}(0)\phi(0, 0){}\\ & & -\int_{0}^{+\infty}\phi{\rm d}w_{m}^{0}(t)+\int_{0}^{+\infty}(w_{n}^{0}(t)-w_{m}^{0}(t) \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t})\phi_{x}{\rm d}t{}\\ & = &-\int_{0}^{+\infty}\phi(\frac{{\rm d}w_{m}^{0}(t)}{{\rm d}t}-[\rho]\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} +[\rho u]){\rm d}t-w_{m}^{0}(0)\phi(0, 0){}\\ & & +\int_{0}^{+\infty}(w_{n}^{0}(t)-w_{m}^{0}(t)\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t})\phi_{x}{\rm d}t. \end{eqnarray}
(3.6)

由 \phi 的任意性,可得

\begin{equation} \begin{array}{ll} { } \frac{{\rm d}w_{m}^{0}(t)}{{\rm d}t} = [\rho]x'(t)-[\rho u], \\ w_{m}^{0}(0) = 0, w_{n}^{0}(t) = w_{m}^{0}(t)x'(t). \end{array} \end{equation}
(3.7)

同理,根据(3.3)式中的第二式和第三式,分别得到

\begin{equation} \begin{array}{ll} { }\frac{{\rm d}w_{m}^{1}(t)}{{\rm d}t} = [\rho u]x'(t)-[\rho u^{2}+P], \\ w_{m}^{1}(0) = 0, w_{n}^{1}(t) = w_{m}^{1}(t)x'(t), \end{array} \end{equation}
(3.8)

\begin{equation} \begin{array}{ll} { }\frac{{\rm d}w_{m}^{2}(t)}{{\rm d}t} = [\rho E]x'(t)-[\rho uE+up], \\ w_{m}^{2}(0) = 0, w_{n}^{2}(t) = w_{m}^{1}(t)x'(t). \end{array} \end{equation}
(3.9)

由于初始间断处满足 x(0) = 0, w_m^i(0) = 0\; (i = 1, 2, 3) ,则对(3.7)–(3.9)式积分可得

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} &w_{m}^{0}(t) = [\rho]x(t)-[\rho u]t, \\ &w_{m}^{1}(t) = [\rho u]x(t)-[\rho u^{2}+p]t, \\ &w_{m}^{2}(t) = [\rho E]x(t)-[\rho uE+up]t. \end{array} \right. \end{equation}
(3.10)

又由(3.5)式知 n^{0} = m^{1} ,即, w_{n}^{0}(t) = w_{m}^{1}(t) = w_{m}^{0}(t)x'(t) ,于是结合(3.10)式的第一式和第二式,我们有

\begin{equation} [\rho]x'(t)x(t)-[\rho u]x'(t)t-[\rho u]x(t)+[\rho u^{2}+p]t = 0. \end{equation}
(3.11)

继续对上式积分,可得

\begin{equation} [\rho]x^{2}(t)-2[\rho u]x(t)t+[\rho u^{2}+p]t^{2} = 0, \end{equation}
(3.12)

即,有

i)若 [\rho] = 0 ,

\begin{equation} x(t) = \frac{[\rho u^{2}+p]}{2[\rho u]}t, \end{equation}
(3.13)

ii)若 [\rho]\neq0 ,

\begin{equation} x_1(t) = \frac{[\rho u]-\sqrt{[{\rho u}]^{2}-[\rho][\rho u^{2}+p]}}{[\rho]}t, \end{equation}
(3.14)

\begin{equation} x_2(t) = \frac{[\rho u]+\sqrt{[{\rho u}]^{2}-[\rho][\rho u^{2}+p]}}{[\rho]}t. \end{equation}
(3.15)

另外,由熵条件

\begin{equation} u_r+\frac{\sqrt{f(s_r)}}{\rho_r}\leq x'(t)\leq u_l-\frac{\sqrt{f(s_l)}}{\rho_l}, \end{equation}
(3.16)

知 [u]\leq0 .若间断线 x(t) = x_1(t) ,

i)当 [\rho]>0 ,

\begin{eqnarray} I_1& = &u_r+\frac{\sqrt{f(s_r)}}{\rho_r}-\frac{[\rho u]-\sqrt{[{\rho u}]^{2}-[\rho][\rho u^{2}+p]}}{[\rho]}{}\\ & = &\frac{[\rho]u_r+[\rho]\frac{\sqrt{f(s_r)}}{\rho_r}-[\rho u]+\sqrt{[{\rho u}]^{2}-[\rho][\rho u^{2}+p]}}{[\rho]}{}\\ & = &\frac{u_r\rho_r-u_r\rho_l-\rho_ru_r+\rho_lu_l+[\rho]\frac{\sqrt{f(s_r)}}{\rho_r}+\sqrt{[{\rho u}]^{2}-[\rho][\rho u^{2}+p]}}{[\rho]}{}\\ & = &\frac{-\rho_l[u]+[\rho]\frac{\sqrt{f(s_r)}}{\rho_r}+\sqrt{[{\rho u}]^{2}-[\rho][\rho u^{2}+p]}}{[\rho]}, \end{eqnarray}
(3.17)

显然 I_1>0 ,与(3.16)式矛盾.

ii)当 [\rho]<0 ,

\begin{eqnarray} I_2& = &\frac{[\rho u]-\sqrt{[{\rho u}]^{2}-[\rho][\rho u^{2}+p]}-[\rho]u_l +[\rho]\frac{\sqrt{f(s_l)}}{\rho_l}}{[\rho]} {}\\ & = &\frac{\rho_r[u]-\sqrt{[{\rho u}]^{2}-[\rho][\rho u^{2}+p]}+[\rho]\frac{\sqrt{f(s_l)}}{\rho_l}}{[\rho]}, \end{eqnarray}
(3.18)

可知 I_2>0 ,亦与(3.16)式矛盾.综上,间断线 x_1(t) 不满足熵条件应舍去.于是,当 [\rho] = 0 时,间断线满足(3.13)式,且

\begin{equation} u_r+\frac{\sqrt{f(s_r)}}{\rho_r}\leq \frac{[\rho u^{2}+p]}{2[\rho u]} \leq u_l-\frac{\sqrt{f(s_l)}}{\rho_l}. \end{equation}
(3.19)

若 [\rho] \neq 0 ,间断线满足 x(t) = x_2(t) ,且

\begin{equation} u_r+\frac{\sqrt{f(s_r)}}{\rho_r}\leq \frac{[\rho u]+\sqrt{[{\rho u}]^{2}-[\rho][\rho u^{2}+p]}}{[\rho]} \leq u_l-\frac{\sqrt{f(s_l)}}{\rho_l}. \end{equation}
(3.20)

由(3.10)式,计算可得 w_m^i(i = 0, 1, 2) ,继而根据(3.7)–(3.9)式可以得到 w_n^i(i = 0, 1, 2) .

定理3.1证毕.

注3.1 经典弱解亦可由(3.5)式构造.

注3.2 满足(3.20)式的初始集合非空,例如

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} (\rho_l, u_l, g(s_l), f(s_l)) = (1, 4, 1, 1), \\ (\rho_r, u_r, g(s_r), f(s_r)) = (5, -1, 1, 4). \end{array} \right. \end{equation}
(3.21)

于是

\begin{eqnarray} u_r+\frac{\sqrt{f(s_r)}}{\rho_r}& = &-\frac{3}{5}<\frac{[\rho u]+\sqrt{[{\rho u}]^{2}-[\rho][\rho u^{2}+p]}}{[\rho]}{}\\ & = &\frac{\sqrt{3605}-45}{20}<u_l-\frac{\sqrt{f(s_l)}}{\rho_l} = 3. \end{eqnarray}
(3.22)

注3.3 当状态方程(1.2)和(1.6)满足 g(s) = 0 , h(s) = 0 时, \delta -波解的初始只有在(3.20)式两边取等号时成立.本文在一般形式的状态方程下推广了初始的可解域.

注3.4 如果第一特征与第二特征重叠或者第二与第三特征重叠的情形,在经典的熵条件下,其 \delta 波速介于两特征速度之间,其分析方法与上述方法相同.

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Zhu L , Sheng W .

The Riemann problem of adiabatic Chaplygin gas dynamic system

Comm Appl Math Comput, 2010, 24 (1): 9- 16

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Cheng H .

Riemann problem for one-dimensional system of conservation laws of mass, momentum and energy in zeropressure gas dynamics

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Cheng H , Yang H .

Delta shock waves in chromatography equation

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Yang H , Zhang Y .

Delta shock waves with Dirac delta function in both components for systems of conservation laws

J Differential Equations, 2014, 257 (12): 4369- 4402

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Qu A, Yuan H, Zhao Q. High Mach number limit of one-dimensional piston problem for non-isentropic compressible Euler equations: polytropic gas. 2019, arXiv: 1904.03362

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Smoller J. Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations. New York: Springer-Verlag, 1994

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