由于许多实际问题可以看成或转换成一个约束优化问题,因此约束优化问题的研究受到了学者们的广泛关注.特别地,锥约束优化问题引起了学者们的高度重视,他们利用内点条件,闭性条件,上图类条件等,建立了锥约束优化问题的对偶理论, Farkas类引理,最优性条件等(参看文献[1-2, 5, 7-8, 12, 15]).注意到,上述优化问题大多假设输入的信息是精确的,这种假设没有考虑到模型的质量及可行集受到的信息不确定性的影响.实际上,由于测量误差或模型本身的缺陷,或者决策阶段缺乏信息等原因,许多优化问题的数据是受到干扰的或是不确定的,并且概率分布也无法预知.因此,如何在信息不确定的情形下研究如下锥约束优化问题

$ ({\Bbb P}) \begin{array}{ll} \quad\quad\quad\quad & \inf f(x)\\ & \mbox{s. t. } x\in C, g_u(x)\in -S, \forall u\in U \end{array} $

的对偶理论,成为了现代优化理论研究的一个难题与热点问题.其中$ X $, $ Y $和$ W $是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $ C $是$ X $的非空凸子集, $ S $是$ Y $中的闭凸锥, $ Y $是由$ S $所定义的序空间, $ U $是$ W $的不确定集, $ f: X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} }: = {{\Bbb R}} \cup\{+\infty\} $是真凸函数,对任意$ u\in U $, $ g_u: X\rightarrow Y^\bullet: = Y\cup \{\infty_Y\} $是真$ S $ -凸函数, $ \infty_Y $是关于偏序$ \leq_S $的最大元.许多学者对问题$ ({\Bbb P}) $进行了深入研究,得到了一系列有意义的结论(参看文献[4, 9, 13-14, 16]).例如文献[16]在函数$ f $为下半连续函数,集合$ C = X $, $ g_u $($ u\in U $)为连续函数的前提下,利用闭性条件,等价刻画了问题$ ({\Bbb P}) $与其对偶问题之间的强对偶;文献[9]在函数$ f $为真凸函数, $ g_u $($ u\in U $)为真$ S $ -凸函数,集合$ C $是$ X $中的非空凸子集的假设下,利用上图类条件,建立了问题$ ({\Bbb P}) $与其对偶问题之间的Lagrange稳定零对偶.

与此同时,许多实际问题,例如凸优化问题,极小极大问题,最佳一致逼近问题,可以转换成如下的复合优化问题

$ (P)\begin{array}{ll} \quad\quad\quad\quad & \inf f({\varphi}(x))\\ & \mbox{s.t. } x\in C, g(x)\in -S, \end{array} $

其中$ Z $是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $ K $是$ Z $中的闭凸锥, $ Z $是$ K $所定义的序空间, $ \varphi: X\rightarrow Z^\bullet: = Z\cup \{\infty_Y\} $是真$ K $ -凸函数, $ f: Z^\bullet\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} } $是真凸$ K $ -增函数, $ \infty_Z $是关于偏序$ \leq_K $的最大元.问题$ (P) $的研究引起了学者们的极大兴趣(参看文献[3, 6, 10-11, 17-18, 20]).特别地,文献[6, 10]利用上图类条件,等价刻画了问题$ (P) $与其对偶问题之间的Lagrange强对偶、稳定强对偶、Farkas引理、零对偶及稳定零对偶.

注意到,上述问题的研究主要集中于复合优化问题和鲁棒优化问题的对偶理论,据目前掌握的文献所知,很少有学者对信息不确定情形下的复合优化问题进行研究.受此启发,本文主要研究如下鲁棒复合优化问题

$ (RP)\begin{array}{ll} \quad\quad\quad\quad & \inf f({\varphi}(x))\\ & \mbox{s.t. } x\in C, g_u(x)\in -S, \forall u\in U \end{array} $

的对偶理论.本文在函数不一定下半连续,集合不一定是闭集的情形下,利用共轭函数的上图性质,引入两类新的约束规范条件,建立了问题$ (RP) $与其Lagrange对偶问题之间的零对偶,强对偶,稳定零对偶及稳定强对偶.由于鲁棒锥约束优化问题及复合凸优化问题都是问题$ (RP) $的特例,因此本文推广和改进了前人的相关结论.

设$ X $, $ Y $和$ Z $是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $ X^\ast $, $ Y^\ast $和$ Z^\ast $分别是$ X $, $ Y $和$ Z $的共轭空间,分别赋予弱$ ^\ast $拓扑$ w^\ast(X^\ast, X) $, $ w^\ast(Y^\ast, Y) $和$ w^\ast(Z^\ast, Z) $. $ \langle x^\ast, x\rangle $表示泛函$ x^{\ast}\in X^{\ast} $在$ x\in X $处的值,即$ \langle x^\ast, x\rangle = x^\ast(x) $.设$ D $是$ X $的非空子集,记$ D $的内部,闭包和凸包分别为$ {\rm int}\, D $, $ {\rm cl}\, D $和$ {\rm co}\, D $.集合$ D $的对偶锥和示性函数分别定义为

$ D^\oplus : = \left\{ x^{*} \in X^{*} : \langle x^{*}, x\rangle\ge 0 , \forall x\in D \right\}, $

$ \delta_D(x) : = \left\{\begin{array}{ll} 0, \quad &{x\in D, }\\ +\infty, &\mbox{其它}. \end{array}\right. $

设$ f:X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} } $是真凸函数,定义$ f $的有效定义域,上图和共轭函数分别为

$ \mbox{dom}\, f: = \{x\in X: f(x)<+\infty\}, $

$ {\rm epi}\, f: = \{(x, r)\in X\times {{\Bbb R}} :\; f(x)\le r\}, $

$ f^\ast(x^\ast): = \sup\{\langle x^\ast, x\rangle-f(x):\; x\in X\}, \forall x^\ast\in X^\ast. $

显然, $ f^\ast $是真凸下半连续函数, $ {\rm epi}\, f^\ast $是弱$ ^\ast $闭集.设$ {\rm cl}\, f $和$ {\rm clco}\, f $分别表示$ f $的下半连续包及下半连续凸包,则有

$ {\rm epi}({\rm cl}f) = {\rm cl}({\rm epi}f), {\rm epi}({\rm cl}({\rm co}f)) = {\rm cl}({\rm co}({\rm epi}f)). $

由文献[19,定理2.3.1]知

(2.1) $ \begin{equation} f^\ast = ({\rm cl}f)^\ast = ({\rm cl} ({\rm co}f))^\ast, \quad f^{\ast\ast}\leq{\rm cl} ({\rm co}f)\leq{\rm cl} f\leq f, \end{equation} $

且Young-Fenchel不等式成立,即

(2.2) $ \begin{equation} f(x)+f^\ast(x^\ast)\ge \langle x, x^\ast \rangle, \forall(x, x^\ast)\in X\times X^\ast. \end{equation} $

若$ g, h:X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} } $为真凸函数且满足$ {\rm{\rm dom}}\, g\cap{\rm{\rm dom}}\, h\neq \emptyset $,则

(2.3) $ \begin{equation} {\rm {\rm epi}}\, g^\ast+{\rm {\rm epi}}\, h^\ast\subseteq{\rm {\rm epi}}\, (g+h)^\ast, \end{equation} $

(2.4) $ \begin{equation} g\le h \Rightarrow g^\ast\ge h^\ast \Leftrightarrow {\rm {\rm epi}}\, g^\ast\subseteq {\rm {\rm epi}}\, h^\ast. \end{equation} $

特别地,对任意的$ p\in X^\ast $, $ r\in {{\Bbb R}} $,下列等式成立

(2.5) $ \begin{equation} (f+p+r)^\ast (x^\ast) = f^\ast (x^\ast-p)-r, \forall x^\ast\in X^\ast, \end{equation} $

(2.6) $ \begin{equation} {\rm epi}\, (f+p+r)^\ast = {\rm epi}\, f^\ast+(p, -r). \end{equation} $

进一步,设函数$ \psi: Z\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} } $,对任意的$ x, y\in Z $,若当$ y\leq _Kx $时有$ \psi(y)\leq\psi(x) $,则称函数$ \psi $是$ K $ -增函数.定义函数$ \phi: X \rightarrow Y^\bullet $的有效定义域和$ S $ -上图分别为$ {\rm dom }\phi = \{x\in X:\phi(x) \in Y \} $和$ {\rm epi}_{S}\phi: = \{(x, y)\in X\times Y: y\in \phi(x)+S\} $.若$ {\rm dom}\phi \neq \emptyset $,则称$ \phi $是真函数.若$ {\rm epi}_{S}\phi $是闭集,则称$ \phi $是$ S $ -上图闭函数.若对任意的$ x_1, x_2\in X $和$ t\in [0, 1] $,有

$ \phi(tx_1+(1-t)x_2)\leq_{S}t\phi(x_1)+(1-t)\phi(x_2), $

则称$ \phi $是$ S $ -凸函数.对任意的$ \lambda\in S^\oplus $,定义$ (\lambda \phi)(\cdot): X\rightarrow\overline{{{\Bbb R}} } $为

$ (\lambda \phi)(x): = \left\{\begin{array}{ll} \langle \lambda, \phi(x)\rangle, &\mbox{若}\, \, x\in {\rm dom}\, \phi, \\ +\infty, &\mbox{其它}. \end{array}\right. $

若对任意的$ \lambda\in S^\oplus $,函数$ \lambda \phi $是下半连续函数,则称$ \phi $是star $ S $ -下半连续函数.显然,若$ \phi $是star $ S $ -下半连续函数,则$ \phi $为$ S $ -上图闭函数.

设$ W $, $ X $, $ Y $和$ Z $是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $ X^\ast $, $ Y^\ast $和$ Z^\ast $分别是$ X $, $ Y $和$ Z $的共轭空间.设$ C $是$ X $的非空凸子集, $ U $是$ W $的不确定集, $ \varphi: X\rightarrow Z^\bullet $是真$ K $ -凸函数, $ f: Z^\bullet\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} } $是真凸$ K $ -增函数,其中$ f(\infty_Z) = +\infty $,对任意$ u\in U $, $ g_u: X\rightarrow Y^\bullet $是真$ S $ -凸函数.为简便起见,记$ A: = \{x\in C:g_{u}(x)\in -S, \forall u\in U\} $,

$ \Omega: = \bigcup\limits_{{u\in U}, {\lambda\in S^{\oplus}}, {\beta\in {\rm dom}\, f^\ast}}{\rm epi}(\beta\varphi-f^\ast(\beta)+\delta_C+\lambda g_u)^\ast, $

$ (f\circ\varphi)(x) = \left\{\begin{array}{ll} f(\varphi(x)), &\mbox{若}\, \, x\in {\rm dom}\, \varphi, \\ +\infty, &\mbox{其它}, \end{array}\right. $

则$ f\circ\varphi $是真凸函数.如不加特殊说明,下文均假设$ A \cap {\rm dom}\, ({f\circ\varphi})\neq \emptyset $.

为研究鲁棒复合优化问题与其对偶问题之间的Lagrange对偶,本文首先引入以下约束规范条件

$ {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast\subseteq{\rm cl}\Omega, \quad\quad\quad\quad{(ACQ)} $

$ {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast\subseteq \Omega.\quad\quad\quad\quad{(CQ)} $

命题3.1  以下包含关系成立

(3.1) $ \begin{equation} \Omega\subseteq{\rm cl}\Omega \subseteq{\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast. \end{equation} $

因此

(3.2) $ \begin{equation} (ACQ)\Longleftrightarrow {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast = {\rm cl}\Omega, \end{equation} $

(3.3) $ \begin{equation} (CQ)\Longleftrightarrow {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast = \Omega. \end{equation} $

证  由于$ {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast $为弱$ ^\ast $闭凸集,因此,欲证(3.1)式,只需证

(3.4) $ \begin{equation} \Omega \subseteq{\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast. \end{equation} $

为此,任取$ (x^\ast, r)\in \Omega $.则存在$ \overline{u}\in U, \overline{\lambda}\in S^{\oplus} $和$ \overline{\beta}\in {\rm dom}\, f^\ast $使得

(3.5) $ \begin{equation} (\overline{\beta}\varphi-f^\ast(\overline{\beta})+\delta_C+\overline{\lambda}g\overline{_u})^\ast(x^\ast)\leq r. \end{equation} $

由Young-Fenchel不等式(2.2)可知

(3.6) $ \begin{equation} f(\varphi(x))\geq(\overline{\beta}\varphi)(x)-f^\ast(\overline{\beta}), \forall x\in X. \end{equation} $

同时,由于

$ \label{eq3.30} \delta_A(x)\geq\delta_C(x)+\sup\limits_{u\in U} \overline{\lambda} g_u(x) \geq\delta_C(x) +\overline{\lambda} g_{\overline {u}}(x), \forall x\in X. $

因此

(3.7) $ \begin{equation} f(\varphi(x))+\delta_A(x)\geq(\overline{\beta}\varphi)(x)+\delta_C(x)+(\overline{\lambda} g_{\overline {u}})(x)-f^\ast(\overline{\beta}), \forall x\in X. \end{equation} $

由(2.4)式, (3.5)式及上式可知

$ \label{eq3.32} (f\circ\varphi+\delta_A)^\ast(x^\ast)\leq(\overline{\beta}\varphi-f^\ast(\overline{\beta})+\delta_C +\overline{\lambda} g_{\overline {u}})^\ast(x^\ast)\leq r, $

即$ (x^\ast, r)\in {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast $.故(3.4)式成立.

命题3.2  假设$ f $是下半连续函数, $ \varphi $是star $ K $ -下半连续函数, $ C $是闭集,且对任意的$ u\in U $, $ g_{u} $是$ S $ -上图闭函数,则下面结论成立

(ⅰ) $ (ACQ) $条件成立当且仅当$ \Omega $是凸集;

(ⅱ) $ (CQ) $条件成立当且仅当$ \Omega $是弱$ ^\ast $闭凸集.

证  欲证此命题,只需证

(3.8) $ \begin{equation} {\rm cl}({\rm co}(\Omega)) = {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast. \end{equation} $

由于$ C $是闭集且对任意的$ u\in U $, $ g_{u} $是$ S $ -上图闭函数,因此$ A $为闭集.故由[9,命题3.1 (ⅲ)]可知

(3.9) $ \begin{equation} {\rm epi}\delta_A^\ast = {\rm cl}({\rm co}({\rm epi}\delta_C^\ast+\bigcup\limits_{u\in U, \lambda\in S^{\oplus}}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast)). \end{equation} $

同时,由于$ A $为闭集,故$ \delta_A $是下半连续函数.又由于$ f $是下半连续函数, $ \varphi $是star $ K $ -下半连续函数,故由文献[3, (2)]可知, $ f\circ{\varphi}+\delta_A $是真凸下半连续函数.因此由文献[3,推论3.2]和[9,引理2.2 (ⅰ)]可得

(3.10) $ \begin{eqnarray} {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast& = &{\rm cl}(\bigcup\limits_{\beta\in {\rm dom}f^\ast}{\rm epi}(\beta\varphi-f^\ast(\beta)+ \delta_A)^\ast){}\\ & = &{\rm cl}(\bigcup\limits_{\beta\in {\rm dom}f^\ast}{\rm epi}(\beta\varphi-f^\ast(\beta))^\ast+{\rm epi}\delta_A^\ast). \end{eqnarray} $

显然,由(2.3)式知

$ \bigcup\limits_{\beta\in {\rm dom}f^\ast}{\rm epi}(\beta\varphi-f^\ast(\beta))+{\rm epi}\delta_C^\ast+\bigcup\limits_{u\in U, \lambda\in S^{\oplus}}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast\subseteq\Omega. $

故由(3.9)式, (3.10)式及上式可得

(3.11) $ \begin{equation} {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast\subseteq{\rm cl}({\rm co}(\Omega)). \end{equation} $

另一方面,由于$ f\circ{\varphi}+\delta_A $是真凸下半连续函数,故$ {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast $是弱$ ^\ast $闭凸集,因此由(3.1)式知

$ {\rm cl}({\rm co}(\Omega))\subseteq{\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast. $

于是, $ (3.8) $式成立.

设$ p\in X^\ast $,考虑带扰动的鲁棒复合优化问题

$ (RP)_p\begin{array}{ll} \quad\quad\quad\quad & \inf f({\varphi}(x))-\langle p, x\rangle \\ & \mbox{s. t. } x\in C, g_u(x)\in -S, \forall u\in U \end{array} $

及其Lagrange对偶问题

$ (OLD)_p\quad\quad\sup\limits_{(\lambda, \beta)\in {S^{\oplus}\times {\rm dom}f^\ast}}\sup\limits_{u \in U}\inf\limits_{x \in C}\{(\beta\varphi)(x)-f^\ast(\beta)+(\lambda g_u)(x)-\langle p, x\rangle\}, $

$ (RLD)_p\quad\quad\sup\limits_{(\lambda, \beta)\in {S^{\oplus}\times {\rm dom}f^\ast}}\inf\limits_{x \in C}\sup\limits_{u \in U}\{(\beta\varphi)(x)-f^\ast(\beta)+(\lambda g_u)(x)-\langle p, x\rangle\}. $

特别地,当$ p = 0 $时,问题$ (RP)_p $即为前述问题$ (RP) $,而问题$ (OLD)_p $和问题$ (RLD)_p $分别转化为$ (OLD) $和$ (RLD) $,即

$ (OLD)\quad\quad \sup\limits_{(\lambda, \beta)\in {S^{\oplus}\times {\rm dom}f^\ast}}\sup\limits_{u \in U}\inf\limits_{x \in C}\{(\beta\varphi)(x)-f^\ast(\beta)+(\lambda g_u)(x)\}, $

$ (RLD)\quad\quad \sup\limits_{(\lambda, \beta)\in {S^{\oplus}\times {\rm dom}f^\ast}}\inf\limits_{x \in C}\sup\limits_{u \in U}\{(\beta\varphi)(x)-f^\ast(\beta)+(\lambda g_u)(x)\}. $

令$ \upsilon((RP)_p) $, $ \upsilon((OLD)_p) $和$ \upsilon((RLD)_p) $分别表示问题$ (RP)_p $, $ ({OLD})_p $和$ ({RLD})_p $的最优值,则有

(4.1) $ \begin{equation} \upsilon((OLD)_p)\leq\upsilon((RLD)_p)\leq\upsilon((RP)_p), \forall p\in X^\ast, \end{equation} $

即问题$ (RP) $与$ (OLD) $及问题$ (RP) $与$ (RLD) $之间的Lagrange稳定弱对偶成立.由共轭函数的定义有

(4.2) $ \begin{equation} \inf\limits_{x\in A}\{f({\varphi}(x))-\langle p, x\rangle\} = -(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast(p), \forall p\in X^\ast, \end{equation} $

故对任意的$ r\in {{{\Bbb R}} } $和$ p\in X^\ast $,以下结论成立

(4.3) $ \begin{equation} (p, r)\in {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast\Leftrightarrow \upsilon ((RP)_p)\geq-r. \end{equation} $

定义4.1  $ \rm(a) $若$ \upsilon(RP) = \upsilon(OLD) $ (或$ \upsilon(RP) = \upsilon(RLD) $),则称问题$ (RP) $与$ (OLD) $ (或$ (RLD) $)之间的Lagrange零对偶成立;

(b)若对任意的$ p\in X^\ast $,问题$ (RP)_p $与$ (OLD)_p $ (或$ (RLD)_p $)之间的Lagrange零对偶成立,则称问题$ (RP) $与$ (OLD) $ (或$ (RLD) $)之间的Lagrange稳定零对偶成立.

定理4.1  考虑以下命题

(ⅰ) $ (ACQ) $条件成立;

(ⅱ)问题$ ({RP}) $与$ ({OLD}) $之间的Lagrange稳定零对偶成立;

(ⅲ)问题$ ({RP}) $与$ ({RLD}) $之间的Lagrange稳定零对偶成立;

则有(ⅰ)$ \Leftrightarrow $(ⅱ)$ \Rightarrow $(ⅲ).

若对任意$ {\lambda\in S^{\oplus}} $和$ \beta\in {\rm dom}\, f^\ast $有$ \bigcup\limits_{u\in U}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast $是弱$ ^\ast $闭凸集且

(4.4) $ \begin{equation} {\rm epi}(\beta\varphi+\delta_C+\sup\limits_{u\in U}\lambda g_u)^\ast \subseteq{\rm epi}(\beta\varphi+\delta_C)^\ast+{\rm epi}(\sup\limits_{u\in U}\lambda g_u)^\ast, \end{equation} $

则(ⅰ)$ \Leftrightarrow $(ⅱ)$ \Rightarrow $(ⅲ).

证  (ⅰ)$ \Rightarrow $(ⅱ)假设(ⅰ)成立.设$ p\in X^\ast $, $ -r: = \upsilon((RP)_p)\in {{\Bbb R}} $ (若$ \upsilon((RP)_p) = -\infty $,则(ⅱ)自然成立).由(4.3)式及$ (ACQ) $条件得

(4.5) $ \begin{equation} (p, r)\in {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast\subseteq {\rm cl}\Omega. \end{equation} $

任取$ \epsilon >0 $,则$ (p, r+\epsilon)\in \Omega $.故存在$ \overline{u}\in U, \overline{\lambda}\in S^\oplus $和$ \overline{\beta}\in {\rm dom}\, f^\ast $,使得

$ (\overline{\beta}\varphi-f^\ast(\overline{\beta})+\delta_C+{\overline{\lambda}} g_{\overline{u}})^\ast(p)\leq r+\epsilon. $

即

$ \inf\limits_{x\in C}\{(\overline{\beta}\varphi)(x)-f^\ast(\overline{\beta})+({\overline{\lambda}} g_{\overline{u}})(x)-\langle p, x \rangle\}\geq -r-\epsilon. $

因此

$ \begin{eqnarray*} v((OLD)_p) = \sup\limits_{u\in U, \lambda\in S^\oplus}\sup\limits_{\beta\in {\rm dom}f^\ast}\inf\limits_{x\in C}\{(\beta\varphi)(x)-f^\ast(\beta)+({\lambda} g_u)(x)-\langle p, x \rangle\}\geq -r-\epsilon. \end{eqnarray*} $

令$ \epsilon\rightarrow 0 $,则有$ v((OLD)_p)\geq -r = v((RP)_p) $.从而,由(4.1)式可得$ v((OLD)_p) = v((RP)_p) $.于是命题$ \rm(ii) $成立.

(ⅱ)$ \Rightarrow $(ⅰ)假设(ⅱ)成立.任取$ (p, r)\in {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast $.由(4.3)式可知, $ v((RP)_p)\geq-r $.于是$ v((OLD)_p)\geq-r $.任取$ \epsilon > 0 $,由上确界定义可知,存在$ u_\epsilon\in U $, $ \lambda_\epsilon\in S^{\oplus} $和$ \beta_\epsilon\in{\rm dom}f^\ast $使得

$ ({\beta_\epsilon}\varphi)(x)+\delta_C(x)+({\lambda_\epsilon} g_{u_\epsilon})(x)-f^\ast(\beta_{\epsilon})-\langle p, x\rangle\geq-r-\epsilon, \forall x\in X. $

从而

$ ({\beta_\epsilon}\varphi+\delta_C+{\lambda_\epsilon} g_{u_\epsilon}-f^\ast(\beta_{\epsilon}))^\ast(p)\leq r+\epsilon. $

于是

$ (p, r+\epsilon)\in {\rm epi}({\beta_\epsilon}\varphi+\delta_C+{\lambda_\epsilon} g_{u_\epsilon}-f^\ast(\beta_{\epsilon}))^\ast\subseteq\Omega. $

从而可得$ (p, r)\in {\rm cl}\Omega $.因此, $ (ACQ) $成立.

(ⅱ)$ \Rightarrow $(ⅲ)假设(ⅱ)成立,则对任意的$ p\in X^\ast $,有$ \upsilon((RP)_p) = \upsilon((OLD)_p) $.于是由(4.1)式可知, $ \upsilon((RP)_p) = \upsilon((RLD)_p) $.因此, $ \rm(iii) $成立.

(ⅲ)$ \Rightarrow $(ⅰ)假设对任意$ {\lambda\in S^{\oplus}} $和$ \beta\in {\rm dom}\, f^\ast $有$ \bigcup\limits_{u\in U}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast $是弱$ ^\ast $闭凸集且(4.4)式成立.设(ⅲ)成立,任取$ (p, r)\in {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast $.由(4.3)式得$ \upsilon((RP)_p)\geq -r $,因此$ \upsilon((RLD)_p)\geq-r $.任取$ \epsilon > 0 $,由上确界定义可知,存在$ \lambda_\epsilon\in S^{\oplus} $和$ \beta_\epsilon\in{\rm dom}f^\ast $使得

$ (\beta_\epsilon\varphi)(x)+\delta_C(x)+(\sup\limits_{u\in U} {\lambda_\epsilon}g_{u})(x)-f^\ast(\beta_\epsilon)-\langle p, x\rangle\geq-r-\epsilon, \forall x\in X. $

从而

$ ({\beta_\epsilon}\varphi+\delta_C+\sup\limits_{u\in U}{\lambda_\epsilon} g_{u_\epsilon}-f^\ast(\beta_{\epsilon}))^\ast(p)\leq r+\epsilon, $

于是

$ (p, r+\epsilon)\in{\rm epi}(\beta_\epsilon\varphi-f^\ast(\beta_\epsilon)+\delta_C+\sup\limits_{u\in U}\lambda_\epsilon g_u)^\ast \subseteq\bigcup\limits_{\lambda\in S^{\oplus}, {\beta\in {\rm dom}\, f^\ast}}{\rm epi}(\beta\varphi-f^\ast(\beta)+\delta_C+\sup\limits_{u\in U}\lambda g_u)^\ast. $

故由(4.4)式可知

(4.6) $ \begin{equation} (p, r+\epsilon)\in\bigcup\limits_{{\beta\in {\rm dom}\, f^\ast}}{\rm epi}(\beta\varphi-f^\ast(\beta)+\delta_C)^\ast+\bigcup\limits_{\lambda\in S^{\oplus}}{\rm epi}(\sup\limits_{u\in U}\lambda g_u)^\ast. \end{equation} $

对任意的$ {\lambda\in S^{\oplus}} $,由已知条件知$ \bigcup\limits_{u\in U}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast $是弱$ ^\ast $闭凸集,因此由文献[9,引理2.1 (ⅰ)]可得

$ {\rm epi}(\sup\limits_{u\in U}\lambda g_u)^\ast = {\rm cl}({\rm co}(\bigcup\limits_{u\in U}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast)) = \bigcup\limits_{u\in U}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast. $

从而,由(2.3)式, (4.6)式及上式可知

$ (p, r+\epsilon)\in \bigcup\limits_{u\in U, {\lambda\in S^{\oplus}}, \beta\in {\rm dom}\, f^\ast}{\rm epi}({\beta}\varphi+\delta_C+{\lambda} g_{u}-f^\ast(\beta))^\ast = \Omega. $

因此$ (p, r)\in {\rm cl}\Omega $.于是$ (ACQ) $条件成立.

注4.1  令$ {\rm cont} \psi $表示函数$ \psi $的所有连续点构成的集合.设$ \beta\in{\rm dom}f^\ast $.若$ {\rm cont}(\beta\varphi+ \delta_C)\cap A\neq \emptyset $,则对任意的$ u\in U $和$ {\lambda\in S^{\oplus}} $,有$ {\rm cont}(\beta\varphi+\delta_C)\cap {\rm dom}(\lambda g_u)\neq \emptyset $.因此,由文献[9,引理2.2 (ⅱ)]可知(4.4)式成立.

由命题3.2及定理4.1知,推论4.1成立.

推论4.1  假设$ f $是下半连续函数, $ \varphi $是star $ K $ -下半连续函数, $ C $是闭集,且对任意的$ u\in U $, $ g_{u} $是$ S $ -上图闭函数,则以下结论成立

(ⅰ)问题$ ({RP}) $与其对偶问题$ ({OLD}) $之间的Lagrange稳定零对偶成立当且仅当$ \Omega $是凸集;

(ⅱ)若对任意的$ {\lambda\in S^{\oplus}} $和$ \beta\in {\rm dom}\, f^\ast $有$ \bigcup\limits_{u\in U}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast $是弱$ ^\ast $闭凸集且(4.4)式成立,则问题$ ({RP}) $与其对偶问题$ ({RLD}) $之间的Lagrange稳定零对偶成立当且仅当$ \Omega $是凸集.

定理4.2  以下命题等价

(ⅰ)下面条件成立

(4.7) $ \begin{equation} {\rm epi}\delta_A^\ast = {\rm cl}(\bigcup\limits_{{u\in U}, {\lambda\in S^{\oplus}}}{\rm epi}(\delta_C+\lambda g_u)^\ast); \end{equation} $

(ⅱ)若存在$ x_0\in A \cap\varphi ^{-1} ({\rm dom}f) $使得$ f $和$ \varphi $分别在$ \varphi(x_0) $和$ x_0 $处连续,则

(4.8) $ \begin{equation} \inf\limits_{x\in A} f(\varphi(x)) = \sup\limits_ {(\lambda, \beta)\in S^{\oplus}\times{\rm dom}f^\ast}\sup\limits_{u \in U}\inf\limits_ {x \in C}\{(\beta\varphi)(x)+(\lambda g_u)(x)-f^\ast(\beta)\}; \end{equation} $

(ⅲ)对任意的$ p\in X^\ast $,有

(4.9) $ \begin{equation} \inf\limits_{x\in A} p(x) = \sup\limits_ {\lambda\in S^{\oplus}}\sup\limits_{u \in U}\inf\limits_ {x \in C}\{p(x)+(\lambda g_u)(x)\}. \end{equation} $

证  (ⅰ) $ \Rightarrow $(ⅱ)假设(ⅰ)成立.令$ x_0\in A \cap\varphi ^{-1} ({\rm dom}f) $使得$ f $和$ \varphi $分别在$ \varphi(x_0) $和$ x_0 $处连续,则由文献[9,引理2.2 (ⅱ)]及(4.7)式可得

(4.10) $ \begin{equation} {\rm epi}(f\circ\varphi+\delta_A)^\ast = {\rm epi}(f\circ\varphi)^\ast+{\rm epi}\delta_A^\ast = {\rm epi}(f\circ\varphi)^\ast+{\rm cl}(\bigcup\limits_{{u\in U}, {\lambda\in S^{\oplus}}}{\rm epi}(\delta_C+\lambda g_u)^\ast). \end{equation} $

同时由文献[10,引理2.1]可知

$ {\rm epi}(f\circ\varphi)^\ast = \bigcup\limits_{\beta\in {\rm dom}\, f^\ast}{\rm epi}(\beta\varphi-f^\ast(\beta))^\ast. $

因此,由(2.3)式, (4.10)式及上式可得

$ {\rm epi}(f\circ\varphi+\delta_A)^\ast = \bigcup\limits_{\beta\in {\rm dom}\, f^\ast}{\rm epi}(\beta\varphi-f^\ast(\beta))^\ast+{\rm cl}(\bigcup\limits_{{u\in U}, {\lambda\in S^{\oplus}}}{\rm epi}(\delta_C+\lambda g_u)^\ast)\subseteq{\rm cl}\Omega, $

即$ (ACQ) $条件成立.从而由定理4.1的(ⅰ)$ \Rightarrow $(ⅱ)可知(4.8)式成立.

(ⅱ)$ \Rightarrow $(ⅲ)假设命题(ⅱ)成立.设$ p\in X^\ast $,则$ {\rm dom}p^\ast = \{p\} $.从而由命题(ⅱ) $ (\{p, \rm{Id} $$ _X\} $取代$ \{f, \varphi\} $,其中$ \rm{Id} $$ _X $为单位算子)易知(4.9)式成立.

(ⅲ)$ \Rightarrow $(ⅰ)假设命题(ⅲ)成立.则由定理4.1的(ⅱ) $ \Rightarrow $ (ⅰ) ($ f = \varphi = 0 $)和(3.2)式可得(4.7)式成立.

定理4.3  假设对任意的$ {\lambda\in S^{\oplus}} $, $ \bigcup\limits_{u\in U}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast $是弱$ ^\ast $闭凸集且

(4.11) $ \begin{equation} {\rm epi}(\delta_C+\sup\limits_{u\in U}\lambda g_u)^\ast \subseteq{\rm epi}\delta_C^\ast+{\rm epi}(\sup\limits_{u\in U}\lambda g_u)^\ast, \end{equation} $

则以下命题等价

(ⅰ)条件(4.7)式成立;

(ⅱ)若存在$ x_0\in A \cap\varphi ^{-1} ({\rm dom}f) $使得$ f $和$ \varphi $分别在$ \varphi(x_0) $和$ x_0 $处连续,则

(4.12) $ \begin{equation} \inf\limits_{x\in A} f(\varphi(x)) = \sup\limits_ {(\lambda, \beta)\in S^{\oplus}\times{\rm dom}f^\ast}\inf\limits_ {x \in C}\sup\limits_{u \in U}\{(\beta\varphi)(x)+(\lambda g_u)(x)-f^\ast(\beta)\}; \end{equation} $

(ⅲ)对任意的$ p\in X^\ast $,有

(4.13) $ \begin{equation} \inf\limits_{x\in A} p(x) = \sup\limits_ {\lambda\in S^{\oplus}}\inf\limits_ {x \in C}\sup\limits_{u \in U}\{p(x)+(\lambda g_u)(x)\}. \end{equation} $

定义5.1  (a)若$ \upsilon(RP) = \upsilon(OLD) $ (或$ \upsilon(RP) = \upsilon(RLD) $)且问题$ (OLD) $ (或$ (RLD) $)有最优解,则称问题$ (RP) $与$ (OLD) $ (或$ (RLD) $)之间的Lagrange强对偶成立.

(b)若对任意的$ p\in X^\ast $,问题$ (RP)_p $与$ (OLD)_p $ (或$ (RLD)_p $)之间的Lagrange强对偶成立,则称问题$ (RP) $与$ (OLD) $ (或$ (RLD) $)之间的Lagrange稳定强对偶成立.

定理5.1  考虑以下命题

(ⅰ) $ (CQ) $条件成立;

(ⅱ)问题$ ({RP}) $与其对偶问题$ ({OLD}) $之间的Lagrange稳定强对偶成立;

(ⅲ)问题$ ({RP}) $与其对偶问题$ ({RLD}) $之间的Lagrange稳定强对偶成立;

则有(ⅰ)$ \Leftrightarrow $(ⅱ)$ \Rightarrow $(ⅲ).

若对任意$ {\lambda\in S^{\oplus}} $和$ \beta\in {\rm dom}\, f^\ast $, $ \bigcup\limits_{u\in U}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast $是弱$ ^\ast $闭凸集且(4.4)式成立,则(ⅰ)$ \Leftrightarrow $(ⅱ)$ \Leftrightarrow $(ⅲ).

证  (ⅰ)$ \Rightarrow $(ⅱ)假设(ⅰ)成立.设$ p\in X^\ast $.如果$ \upsilon((RP)_p) = -\infty $,由(4.1)式易证(ⅱ)成立.下设$ -r: = \upsilon((RP)_p)\in {{\Bbb R}} $.由(4.3)式及$ (CQ) $条件可知

(5.1) $ \begin{equation} (p, r)\in {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast\subseteq\Omega. \end{equation} $

因此,存在$ \overline{u}\in U, \overline{\lambda}\in S^{\oplus} $和$ \overline{\beta}\in {\rm dom}\, f^\ast $使得

(5.2) $ \begin{equation} (\overline{\beta}\varphi-f^\ast(\overline{\beta})+\delta_C+\overline{\lambda} g\overline{_u})^\ast(p)\leq r. \end{equation} $

由上确界的定义及上式可知

$ \begin{eqnarray*} \sup\limits_ {(u, \lambda, \beta)\in U\times{S^{\oplus}\times {\rm dom}f^\ast}}\{-(\beta\varphi-f^\ast(\beta)+\delta_C+{\lambda}g_u)^\ast(p)\} &\geq&\{-(\overline{\beta}\varphi-f^\ast(\overline{\beta})+\delta_C+\overline{\lambda}g\overline{_u})^\ast(p)\}\\ &\geq&-r. \end{eqnarray*} $

结合(4.1)式及上式得, $ \upsilon((OLD)_p) = \upsilon((RP)_p) $且$ (\overline{u}, \overline{\lambda}, \overline{\beta}) $是问题$ (OLD)_p $的最优解.

(ⅱ)$ \Rightarrow $(ⅰ)假设(ⅱ)成立.任取$ (p, r)\in {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast $.由(4.3)式可知, $ \upsilon ((RP)_p)\geq-r $.故由命题(ⅱ)可知$ \upsilon ((OLD)_p)\geq-r $,且存在$ \overline{u}\in U $, $ \overline {\lambda}\in S^{\oplus} $和$ \overline{\beta}\in{\rm dom}f^\ast $使得

$ (\overline{\beta}\varphi-f^\ast(\overline{\beta})+\delta_C+\overline {\lambda}g_{\overline{u}})(x)-\langle p, x\rangle\geq-r, \forall x\in X. $

因此

$ (\overline{\beta}\varphi-f^\ast(\overline{\beta})+\delta_C+\overline {\lambda}g_{\overline{u}})^\ast(p)\leq r. $

从而

$ (p, r)\in {\rm epi}(\overline{\beta}\varphi-f^\ast(\overline{\beta})+\delta_C+ \overline{\lambda} g_{\overline{u}})^\ast\subseteq\Omega. $

于是, $ (CQ) $条件成立.

(ⅱ)$ \Rightarrow $(ⅲ)假设(ⅱ)成立,即对任意的$ p\in X^\ast $, $ \upsilon((RP)_p) = \upsilon((OLD)_p) $且$ (\overline{u}, \overline{\lambda}, \overline{\beta}) $是问题$ (OLD)_p $的最优解.由(4.1)式可知, $ \upsilon((RP)_p) = \upsilon((RLD)_p) $且$ (\overline{\lambda}, \overline{\beta}) $是问题$ (RLD)_p $的最优解,即命题$ \rm(iii) $成立.

(ⅲ)$ \Rightarrow $(ⅰ)假设对任意$ {\lambda\in S^{\oplus}} $和$ \beta\in {\rm dom}\, f^\ast $, $ \bigcup\limits_{u\in U}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast $是弱$ ^\ast $闭凸集且(4.4)式成立.假设(ⅲ)成立.任取$ (p, r)\in {\rm epi}(f\circ{\varphi}+\delta_A)^\ast $.由(4.3)式可知, $ \upsilon ((RP)_p)\geq-r $.故由命题(ⅲ)可知$ \upsilon ((RLD)_p)\geq-r $,则存在$ \overline {\lambda}\in S^{\oplus} $和$ \overline{\beta}\in {\rm dom}\, f^\ast $使得

$ (\overline{\beta}\varphi-f^\ast(\overline{\beta})+\delta_C+\sup\limits_{u\in U}\overline {\lambda}g_{u})(x)-\langle p, x\rangle\geq-r, \forall x\in X. $

故

$ (p, r)\in{\rm epi}(\overline{\beta}\varphi-f^\ast(\overline{\beta})+\delta_C+\sup\limits_{u\in U}\overline {\lambda}g_u)^\ast \subseteq\bigcup\limits_{\lambda\in S^{\oplus}, {\beta\in {\rm dom}\, f^\ast}}{\rm epi}(\beta\varphi-f^\ast(\beta)+\delta_C+\sup\limits_{u\in U}\lambda g_u)^\ast. $

由(4.4)式及上式可知

(5.3) $ \begin{equation} (p, r)\in\bigcup\limits_{{\beta\in {\rm dom}\, f^\ast}}{\rm epi}(\beta\varphi-f^\ast(\beta)+\delta_C)^\ast+\bigcup\limits_{\lambda\in S^{\oplus}}{\rm epi}(\sup\limits_{u\in U}\lambda g_u)^\ast. \end{equation} $

由于对任意的$ {\lambda\in S^{\oplus}} $, $ \bigcup\limits_{u\in U}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast $是弱$ ^\ast $闭凸集,因此由文献[9,引理2.1 (ⅰ)]得

$ {\rm epi}(\sup\limits_{u\in U}\lambda g_u)^\ast = {\rm cl}({\rm co}(\bigcup\limits_{u\in U}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast)) = \bigcup\limits_{u\in U}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast. $

从而,由(2.3)式, (5.3)式及上式得

$ (p, r)\in \bigcup\limits_{{u\in U}, {\lambda\in S^{\oplus}}, {\beta\in {\rm dom}\, f^\ast}}{\rm epi}(\beta\varphi-f^\ast(\beta)+\delta_C+\lambda g_u)^\ast = \Omega. $

于是, $ (CQ) $条件成立.定理5.1证毕.

由命题3.2及定理5.1可得以下推论.

推论5.1  假设$ f $是下半连续函数, $ \varphi $是star $ K $ -下半连续函数, $ C $是闭集,且对任意的$ u\in U $, $ g_{u} $是$ S $ -上图闭函数,则以下结论成立

(ⅰ)问题$ ({RP}) $与其对偶问题$ ({OLD}) $之间的Lagrange稳定强对偶成立当且仅当$ \Omega $是弱$ ^\ast $闭凸集;

(ⅱ)若对任意的$ {\lambda\in S^{\oplus}} $和$ \beta\in {\rm dom}\, f^\ast $有$ \bigcup\limits_{u\in U}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast $是弱$ ^\ast $闭凸集且(4.4)式成立,则问题$ ({RP}) $与其对偶问题$ ({RLD}) $之间的Lagrange稳定强对偶成立当且仅当$ \Omega $是弱$ ^\ast $闭凸集.

类似于定理4.2的证明可得以下定理.

定理5.2  以下命题等价

(ⅰ)下面条件成立

(5.4) $ \begin{equation} {\rm epi}\delta_A^\ast = \bigcup\limits_{{u\in U}, {\lambda\in S^{\oplus}}}{\rm epi}(\delta_C+\lambda g_u)^\ast; \end{equation} $

(ⅱ)若存在$ x_0\in A \cap\varphi ^{-1} ({\rm dom}f) $使得$ f $和$ \varphi $分别在$ \varphi(x_0) $和$ x_0 $处连续,则

(5.5) $ \begin{equation} \inf\limits_{x\in A} f(\varphi(x)) = \max\limits_ {\lambda\in S^{\oplus}, \beta \in {\rm dom}f^\ast}\max\limits_{u \in U}\inf\limits_ {x \in C}\{(\beta\varphi)(x)+(\lambda g_u)(x)-f^\ast(\beta)\}; \end{equation} $

(ⅲ)对任意的$ p\in X^\ast $,有

(5.6) $ \begin{equation} \inf\limits_{x\in A} p(x) = \max\limits_ {\lambda\in S^{\oplus}}\max\limits_{u \in U}\inf\limits_ {x \in C}\{p(x)+(\lambda g_u)(x)\}. \end{equation} $

类似地,由定理5.1及(4.1)式可得以下定理.

定理5.3  设对任意的$ {\lambda\in S^{\oplus}} $和$ \beta\in {\rm dom}\, f^\ast $有$ \bigcup\limits_{u\in U}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast $是弱$ ^\ast $闭凸集且(4.11)式成立,则以下命题等价

(ⅰ)条件(5.4)式成立;

(ⅱ)若存在$ x_0\in A \cap\varphi ^{-1} ({\rm dom}f) $使得$ f $和$ \varphi $分别在$ \varphi(x_0) $和$ x_0 $处连续,则

(5.7) $ \begin{equation} \inf\limits_{x\in A} f(\varphi(x)) = \max\limits_ {\lambda\in S^{\oplus}, \beta \in {\rm dom}f^\ast}\inf\limits_ {x \in C}\sup\limits_{u \in U}\{(\beta\varphi)(x)+(\lambda g_u)(x)-f^\ast(\beta)\}; \end{equation} $

(ⅲ)对任意的$ p\in X^\ast $,有

(5.8) $ \begin{equation} \inf\limits_{x\in A} p(x) = \max\limits_ {\lambda\in S^{\oplus}}\inf\limits_ {x \in C}\sup\limits_{u \in U}\{p(x)+(\lambda g_u)(x)\}. \end{equation} $

设$ p\in X^\ast $, $ X = Z $, $ \varphi: = \rm{Id} $$ _X $,则问题$ (RP)_p $转化为带扰动的鲁棒锥规划问题

$ ({\Bbb P}_p)\quad\quad\begin{array}{ll} & \inf f(x)-\langle p, x\rangle , \\ & \mbox{s.t. } x\in C, g_u(x)\in -S, \forall u\in U. \end{array} $

由于

$ (\beta\varphi)^\ast(x^\ast): = \left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{若}\, \, x^\ast = \beta, \\ +\infty, &\mbox{其它}, \end{array}\right. $

因此,对偶问题$ (OLD)_p $和$ (RLD)_p $分别转化为问题$ ({\Bbb P}_p) $的Fenchel-Lagrange对偶问题

$ ({\Bbb D}_p)\quad\quad \sup\limits_{(\lambda, x^\ast)\in {S^{\oplus}\times {\rm dom}f^\ast}}\sup\limits_{u \in U}\{-(\delta_C+\lambda g_u)^\ast(p-x^\ast)-f^\ast(x^\ast)\}, $

$ ({ \overline{\Bbb D}}_p)\quad\quad \sup\limits_{(\lambda, x^\ast)\in {S^{\oplus}\times {\rm dom}f^\ast}}\{-(\delta_C+\sup\limits_{u \in U}\lambda g_u)^\ast(p-x^\ast)-f^\ast(x^\ast)\}. $

当$ p = 0 $时,分别记问题$ ({\Bbb P}_p) $, $ ({\Bbb D}_p) $和$ ({\overline{\Bbb D}}_p) $为$ ({\Bbb P}) $, $ ({\Bbb D}) $和$ ({\overline{\Bbb D}}) $.同时, $ (ACQ) $条件和$ (CQ) $条件分别转化为

$ {\rm epi}(f+\delta_A)^\ast\subseteq{\rm cl}({\rm epi}f^\ast+\bigcup\limits_{{u\in U}, {\lambda\in S^{\oplus}}}{\rm epi}(\delta_C+\lambda g_u)^\ast), \quad\quad\quad\quad{(ACQ1)} $

$ {\rm epi}(f+\delta_A)^\ast\subseteq {\rm epi}f^\ast+\bigcup\limits_{{u\in U}, {\lambda\in S^{\oplus}}}{\rm epi}(\delta_C+\lambda g_u)^\ast. \quad\quad\quad\quad{(CQ1)} $

从而由定理4.1和定理5.1可知下面定理成立.

定理6.1  考虑以下命题

(ⅰ) $ (ACQ1) $条件成立;

(ⅱ)问题$ ({\Bbb P}) $与其对偶问题$ ({\Bbb D}) $之间的Fenchel-Lagrange稳定零对偶成立;

(ⅲ)问题$ ({\Bbb P}) $与其对偶问题$ (\overline{{\Bbb D}}) $之间的Fenchel-Lagrange稳定零对偶成立;

则有(ⅰ)$ \Leftrightarrow $(ⅱ)$ \Rightarrow $(ⅲ).

若对任意的$ {\lambda\in S^{\oplus}} $, $ \bigcup\limits_{u\in U}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast $是弱$ ^\ast $闭凸集且(4.11)式成立,则(ⅰ)$ \Leftrightarrow $(ⅱ)$ \Leftrightarrow $(ⅲ).

定理6.2  考虑以下命题

(ⅰ) $ (CQ1) $条件成立;

(ⅱ)问题$ ({\Bbb P}) $与其对偶问题$ ({\Bbb D}) $之间的Fenchel-Lagrange稳定强对偶成立;

(ⅲ)问题$ ({\Bbb P}) $与其对偶问题$ ({ \overline{\Bbb D}}) $之间的Fenchel-Lagrange稳定强对偶成立;

则有(ⅰ)$ \Leftrightarrow $(ⅱ)$ \Rightarrow $(ⅲ).

若对任意的$ {\lambda\in S^{\oplus}} $, $ \bigcup\limits_{u\in U}{\rm epi}(\lambda g_u)^\ast $是弱$ ^\ast $闭凸集且(4.11)式成立.则(ⅰ)$ \Leftrightarrow $(ⅱ)$ \Leftrightarrow $(ⅲ).

注6.1  当$ U $为单点集,问题$ ({\Bbb P}) $与其对偶问题$ ({\Bbb D}) $即为文献[10]的$ ({\cal P}) $和$ ({\cal D}) $,同时定理6.2的(i)和(ⅱ)转化为文献[10,定理5.4]的(ⅲ)和(ⅳ).因此,本文的定理6.2推广了文献[10]中的相关结论.

设$ U $为单点集, $ p\in X^\ast $,则问题$ (RP)_p $转化为带线性扰动的复合锥规划问题

$ ({P_p})\quad\quad \begin{array}{ll} & \inf f({\varphi}(x))-\langle p, x\rangle , \\ & \mbox{s. t. } x\in C, g(x)\in -S, \end{array} $

而问题$ (OLD)_p $和$ (RLD)_p $则转化为

$ ({D_p})\quad\quad\quad\quad \sup\limits_{\lambda\in {S^{\oplus}}}\{-(\beta\varphi+\lambda g)^\ast(p)-f^\ast(\beta)\}. $

当$ p = 0 $时,分别记问题$ (P_p) $和$ (D_p) $为$ (P) $和$ (D) $.同时, $ (ACQ) $条件和$ (CQ) $条件分别转化为

$ {\rm epi}(f\circ\varphi+\delta_A)^\ast\subseteq{\rm cl}(\bigcup\limits_{{\lambda\in S^{\oplus}}, {\beta\in {\rm dom}\, f^\ast}}{\rm epi}(\beta\varphi-f^\ast(\beta)+\delta_C+\lambda g)^\ast), \quad\quad\quad\quad{(ACQ2)} $

$ {\rm epi}(f\circ\varphi+\delta_A)^\ast\subseteq \bigcup\limits_{{\lambda\in S^{\oplus}}, {\beta\in {\rm dom}\, f^\ast}}{\rm epi}(\beta\varphi-f^\ast(\beta)+\delta_C+\lambda g)^\ast. \quad\quad\quad\quad{(CQ2)} $

于是,由定理4.1和定理5.1直接可得以下结论,其中定理6.4为文献[10,定理4.1]中的(ⅰ)$ \Leftrightarrow $(ⅴ).

定理6.3  问题$ ({P}) $与其对偶问题$ ({D}) $之间的Lagrange稳定零对偶成立当且仅当$ (ACQ2) $条件成立.

定理6.4  问题$ ({P}) $与其对偶问题$ ({D}) $之间的Lagrange稳定强对偶成立当且仅当$ (CQ2) $条件成立.