Hurst参数自英国水文学家Hurst通过$ R/S $分析方法观测得到以来,已被广泛应用于各个领域序列数据的长记忆性与自相似性的刻画.分数布朗运动及其增量序列(分数高斯噪声)是具有自相似性与长记忆性的信号序列的重要数学模型,成功地解释了通过$ R/S $分析方法观测到的Hurst现象,其参数$ H $被称为Hurst参数.基于Hurst参数的序列长记忆性与自相似性研究需要对序列Hurst参数进行估计.

目前已有很多Hurst参数的估计方法,例如$ R/S $方法、DFA(Detrended Fluctuation Analysis)方法及小波分析方法,参见文献[1-4].这些方法基本都是基于序列的长记忆性或自相似性来构建,其中一些已经推广到多维(多参数)情形. Wu和Ding根据分数布朗单(Fractional Brownian Sheet)的自相似性,利用小波分析方法估计了其各个维度上的Hurst参数,见文献[5-7].分数布朗单的矩形增量场为多参数的分数高斯噪声.类似地, Ramírez-Cobo等也利用自相似性和小波分析,估计了分数布朗场(Fractional Brownian Field)的Hurst参数,见文献[8-9]. Biermé和Richard利用generalized quadratic variations方法估计了扩展分数布朗场(Extended Fractional Brownian Field, EFBF)的Hurst参数,参见文献[10]. Roux等利用小波分析方法估计了operator scaling Gaussian random field的相关参数.关于多维长记忆性估计的研究,参见文献[11]. Wang利用GPH(Geweke and Porter-Hudak's estimator)方法估计了一类各向同性随机场的记忆参数,该随机场的谱密度与EFBF的增量场类似,参见文献[12]. Guo等利用Local Whittle estimator估计了一类各向异性随机场的Hurst参数,这类随机场的谱密度与多参数分数高斯噪声类似,参见文献[13]. Wang和Wang利用各维同尺度的小波分析方法估计了一类各向同性随机场的记忆参数,该随机场与多参数分数高斯噪声有相同谱密度,但各维记忆参数相同,参见文献[14].

目前各个应用领域已有很多利用Hurst参数及其估计分析长记忆性和自相似性的研究.但是大多数应用于实际数据的此类研究都忽略了讨论数据的重尾性质.在无限二阶矩的重尾分布情形时,利用Hurst参数刻画长记忆性与自相似性会存在一些问题^[15].特别是在刻画长记忆性的时候,此时联系长记忆性与Hurst参数的协方差可能无限,无法讨论,利用估计的Hurst参数研究长记忆性也不合适.本文即在有限二阶矩与重尾两种情形下,考察$ R/S $计算的Hurst参数与自相似性、长记忆性及重尾特性之间的关系.该内容能够使相关领域研究者对已被广泛应用的Hurst参数的实际意义有更加清晰的认识.

Hurst参数源于1951年英国水文学家Hurst在研究尼罗河水流量时利用$ R/S $分析方法(重标极差法, Resacled Adjusted Range)观测到的幂律现象.设$ X_1, X_2, \cdots , X_n $为一个观测序列, $ S_m = X_1+X_2+\cdots +X_m $, $ S_0 = 0 $.定义的统计量

(2.1) $ \begin{eqnarray} \frac{R}{S}(X_1 , \cdots X_n ) = \frac{{{ }\max\limits _{0 \le i \le n} (S_i - \frac{i}{n}S_n ) - \min\limits _{0 \le i \le n} (S_i - \frac{i}{n}S_n )}}{{ \Big(\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {(X_i - \frac{1}{n}S_n )^2 }\Big )^{1/2} }}. \end{eqnarray} $

该统计量被称为$ R/S $统计量. Hurst在研究尼罗河水流量时发现随着$ n $的增大, $ R/S $统计量近似满足$ n^{H}, H = 0.74 $ (参见文献[1]).这个现象被称为Hurst现象, $ H $被称为Hurst参数.因此$ R/S $分析法是Hurst参数最本质的估计方法.

分数布朗运动及其增量过程(分数高斯噪声)能够很好地解释Hurst现象.

定义2.1  设$ B^H (t) $为零均值的连续高斯过程,若其协方差函数满足

$ {\Bbb E}(B^H (t) B^H(s)) = \frac{1}{2}(|t|^{2H} + |s|^{2H} - |t - s |^{2H} ), s, t \in {{\Bbb R}} , $

则称$ B^H (t) $为分数布朗运动,其中$ H \in (0, 1) $,称为$ \rm Hurst $参数.

从定义可以知道分数布朗运动具有自相似性, $ \{ B^H(at), t \in {{\Bbb R}} \} $与$ \{ a^H B^H (t), t \in {{\Bbb R}} \} $有相同的概率分布,其中$ a>0 $.因此$ H $也被称为自相似参数.此外,分数布朗运动还具有平稳增量及连续的样本轨道,参见文献[16].

设$ X_n = B^H(n)-B^H(n-1), n\in {\Bbb Z}^+ $, $ \{X_n\} $为分数布朗运动的增量序列(分数高斯噪声),该序列是平稳的,且协方差函数可以计算出来^[16]

(2.2) $ \begin{eqnarray} r(k) = {\Bbb E}(X_n X_{n+k}) = 1/2 ( |k+1|^{2H}+|k-1|^{2H}-2|k|^{2H} ), H\neq 1/2, k\in {\Bbb Z}. \end{eqnarray} $

利用分数布朗运动的增量序列进行$ R/S $分析,很好的解释了Hurst现象,有如下定理(见文献[15, p181]).

定理2.1  设$ \{X_n, n\in {\Bbb Z}^+\} $为分数布朗运动的增量序列(分数高斯噪声),则当$ n \to +\infty $,其$ R/S $统计量

(2.3) $ \begin{eqnarray} n^{-H}\frac{R}{S}(X_1 , \cdots X_n ) \mathop\rightarrow \limits^d {\sup \limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}}({B^H}(t) - t{B^H}(1)) - {\inf \limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}}({B^H}(t) - t{B^H}(1)), \end{eqnarray} $

其中$ {B^H}(t) $为分数布朗运动.

证  该证明由文献[15,例5.1.1, p180-181]整理完善而来.同时也进一步得到$ R/S $统计量分子部分依期望收敛.

因为$ S_i = X_1+X_2+\cdots +X_i = B^H(i) $,并由$ \{ B^H (t)\} $的自相似性, $ \{X_n\} $的$ R/S $统计量的分子部分

$ \begin{eqnarray*} & &{\max _{0 \leqslant i \leqslant n}}({S_i} - \frac{i}{n}{S_n}) - {\min _{0 \leqslant i \leqslant n}}({S_i} - \frac{i}{n}{S_n})\\ & = & {\max _{0 \leqslant i \leqslant n}}({B^H}(i) - \frac{i}{n}{B^H}(n)) - {\min _{0 \leqslant i \leqslant n}}({B^H}(i) - \frac{i}{n}{B^H}(n))\\ &\mathop = \limits^d & n^H \left[ {\max _{0 \leqslant i \leqslant n}}({B^H}(\frac{i}{n}) - \frac{i}{n}{B^H}(1)) - {\min _{0 \leqslant i \leqslant n}}({B^H}(\frac{i}{n}) - \frac{i}{n}{B^H}(1)) \right]. \end{eqnarray*} $

定义连续泛函$ f: D[0, 1]\to {{\Bbb R}} $,

$ f({\bf X}) = {\sup\limits _{0 \leqslant t \leqslant 1}}(x(t) - tx(1)) - {\inf\limits _{0 \leqslant t \leqslant 1}}(x(t) - tx(1)), $

其中$ D[0, 1] $为定义在$ [0, 1] $上所有右连续左极限存在的函数构成的Skorokhod $ J_1 $度量空间. $ {\bf X} = \{x(t)\} \in D[0, 1] $.定义

$ {{\tilde B}^H}(t) = {B^H}(\frac{i}{n}), \quad \frac{i}{n} \leqslant t < \frac{{i + 1}}{n}, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1. $

其属于$ D[0, 1] $,则由$ B^H $样本轨道在闭区间$ [0, 1] $上的连续性(此时$ J_1 $收敛与一致收敛等价,参见文献[17]), $ {{\tilde B}^H}(t) $几乎必然一致收敛到$ {B^H}(t) $.再由$ f $的连续性,

$ f({{\tilde B}^H}(t)) \mathop{\longrightarrow} \limits^{\rm a.s.} f( {B^H}(t)). $

另如果研究的是有限方差独立平稳序列的$ R/S $统计量的渐近行为, $ n^{-1/2}S_{[nt]} $只有依分布收敛,此处则需要由连续映射定理得到$ f(n^{-1/2}S_{[nt]}) $依分布收敛(参见文献[15,例5.1.1]).

由上述收敛可知

$ \begin{eqnarray*} &&{\max _{0 \leqslant i \leqslant n}} ({S_i} - \frac{i}{n}{S_n}) - {\min _{0 \leqslant i \leqslant n}}({S_i} - \frac{i}{n}{S_n})\\ &\mathop = \limits^d &n^{H} \left[ {\max _{0 \leqslant i \leqslant n}}({B^H}(\frac{i}{n}) - \frac{i}{n}{B^H}(1)) - {\min _{0 \leqslant i \leqslant n}}({B^H}(\frac{i}{n}) - \frac{i}{n}{B^H}(1)) \right]\\ & = &n^{H}[ f({{\tilde B}^H}(t))-\frac{1}{n}|{B^H}(1)|] \mathop{\longrightarrow}\limits^{{\rm a.s.}} n^{H} f( {B^H}(t)), \end{eqnarray*} $

所以

(2.4) $ \begin{eqnarray} & &{\max _{0 \leqslant i \leqslant n}}({S_i} - \frac{i}{n}{S_n}) - {\min _{0 \leqslant i \leqslant n}}({S_i} - \frac{i}{n}{S_n}) {} \\ & \mathop \to\limits^{d} &n^{H}\left[ {\sup \limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}}({B^H}(t) - t{B^H}(1)) - {\inf \limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}}({B^H}(t) - t{B^H}(1)) \right]. \end{eqnarray} $

实际上,分子部分还可以进一步得到依期望收敛

(2.5) $ \begin{eqnarray} {\Bbb E} \left[ {\max _{0 \leqslant i \leqslant n}}({S_i} - \frac{i}{n}{S_n}) - {\min _{0 \leqslant i \leqslant n}}({S_i} - \frac{i}{n}{S_n})\right] \mathop \to C_{B^H} \cdot n^{H}, \end{eqnarray} $

其中

$ C_{B^H} = {\Bbb E} \left[ {\sup \limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}}({B^H}(t) - t{B^H}(1)) - {\inf \limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}}({B^H}(t) - t{B^H}(1)) \right]. $

注意到

$ \begin{eqnarray*} 0&<&\max _{0 \leqslant i \leqslant n} ({B^H}(\frac{i}{n}) - \frac{i}{n}{B^H}(1)) - {\min _{0 \leqslant i \leqslant n}}({B^H}(\frac{i}{n}) - \frac{i}{n}{B^H}(1)) \\ & \leq &{\sup \limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}}({B^H}(t) - t{B^H}(1)) - {\inf \limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}}({B^H}(t) - t{B^H}(1))\\ & <& {\sup \limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}}({B^H}(t)) - {\inf \limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}}({B^H}(t)) + |{B^H}(1)|. \end{eqnarray*} $

由文献[18,定理4.2], $ {\Bbb E}{\sup \limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}}({B^H}(t)) $与$ {\Bbb E}{\inf \limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}}({B^H}(t)) $均有限.

所以由其几乎必然收敛性及控制收敛定理,有

$ \begin{eqnarray*} &&{\Bbb E} \left[ {\max _{0 \leqslant i \leqslant n}}({B^H}(\frac{i}{n}) - \frac{i}{n}{B^H}(1)) - {\min _{0 \leqslant i \leqslant n}}({B^H}(\frac{i}{n}) - \frac{i}{n}{B^H}(1)) \right] {\nonumber} \\ && \longrightarrow {\Bbb E} \left[ {\sup \limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}}({B^H}(t) - t{B^H}(1)) - {\inf \limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}}({B^H}(t) - t{B^H}(1)) \right]. \end{eqnarray*} $

再由自相似性得到的同分布可知

$ \begin{eqnarray*} &&{\Bbb E} [ {\max _{0 \leqslant i \leqslant n}}({S_i} - \frac{i}{n}{S_n})- {\min _{0 \leqslant i \leqslant n}}({S_i} - \frac{i}{n}{S_n})] \\ & = & n^H {\Bbb E} \left[ {\max _{0 \leqslant i \leqslant n}}({B^H}(\frac{i}{n}) - \frac{i}{n}{B^H}(1)) - {\min _{0 \leqslant i \leqslant n}}({B^H}(\frac{i}{n}) - \frac{i}{n}{B^H}(1)) \right]. \end{eqnarray*} $

结合以上两个式子可得(2.5)式.

现考察$ R/S $统计量的分母部分.

由(2.2)式可知,分数高斯噪声的协方差函数有如下渐近关系

$ r(k) \sim H(2H-1) k^{2H - 2}, k\to+\infty. $

即随着$ k\to+\infty $, $ r(k)\to 0 $.由文献[15,例2.2.8, p45]的内容知, $ \{X_n\} $是混合的(mixing),从而是遍历的(ergodic).因此由文献[15,例2.1.5],有

(2.6) $ \begin{eqnarray} {\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {(X_i - \frac{1}{n}S_n )^2 } \right)^{1/2} } \mathop{\longrightarrow}\limits^{{\rm a.s.}} \sigma = 1. \end{eqnarray} $

另$ R/S $统计量的分母部分的论述,还可参见文献[18, p22].

结合(2.4)式与(2.6)式,证得$ R/S $统计量的依分布收敛.

此外,进一步还可以证到分数高斯噪声的$ R/S $统计量依期望收敛(见文献[19,推论3.2]).

定理2.2  设$ \{X_n, n\in {\Bbb Z}^+\} $为分数布朗运动的增量序列(分数高斯噪声),则当$ n \to +\infty $,其$ R/S $统计量的期望

(2.7) $ \begin{eqnarray} n^{-H} {\Bbb E} \frac{R}{S}(X_1 , \cdots X_n ) \rightarrow {\Bbb E}\left[ {\sup \limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}}({B^H}(t) - t{B^H}(1)) - {\inf \limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}}({B^H}(t) - t{B^H}(1)) \right], \end{eqnarray} $

其中$ {B^H}(t) $为分数布朗运动.

注2.1  由定理2.1与定理2.2可以知道$ R/S $统计量随着样本量$ n $的增加,以$ n^{H} $的速度地增长,其增长的幂次(Hurst参数)就是分数布朗运动的参数$ H $.由此可见,分数布朗运动模型很好的解释了$ \rm Hurst $现象,其参数$ H \in (0, 1) $.因此被称为$ \rm Hurst $参数.

注2.2  从定理证明还可以看出,分数布朗运动能够解释$ \rm Hurst $现象主要在于其由$ \rm Hurst $参数刻画的自相似性.因此具有有限方差的平稳增量自相似($ H $-SSSI)过程增量序列的$ R/S $统计量的渐近性质类似可得.具有有限方差的$ H $-SSSI过程$ \{Y(t), t\in {{\Bbb R}} \} $的均值函数及协方差函数如下(文献[15,引理8.2.1,引理8.2.12,命题8.2.13])

$ Y(0) = 0\; {\rm a.s., } \quad {\Bbb E}Y(t) = 0, \quad Cov(Y (t), Y(s)) = \frac{\sigma^2}{2}(|t|^{2H} + |s|^{2H} - |t - s |^{2H} ), s, t \in {{\Bbb R}} , $

其中$ H $为自相似参数, $ 0<H<1 $. $ \sigma^2 = {\rm Var}Y(1) $.其增量序列的协方差函数也可以算出,

(2.8) $ \begin{eqnarray} r(k) = \sigma^2/2 ( |k+1|^{2H}+|k-1|^{2H}-2|k|^{2H} ), \; H\neq 1/2, k\in {\Bbb Z}. \end{eqnarray} $

与分数布朗运动及其增量序列的协方差函数是一样的.另外, $ H $-SSSI过程的样本轨迹在$ H>0 $时是依概率连续的(文献[15,引理8.2.5]).一些构造的有限方差$ H $-SSSI过程的增量序列还是混合的(mixing) (文献[15,定理8.3.1,命题8.3.5]).

注2.3  利用$ R/S $统计量的幂律增长, $ \rm Hurst $参数$ H $可以通过$ R/S $统计量与使用的样本量$ n $的对数线性回归得到.为避免未知随机确定的常数项,对数线性回归中的$ R/S $统计量通常利用分段样本$ R/S $统计量的平均替代,此时$ n $为分段区间的样本长度.记此估计量为$ \hat H_{RS} $.可以证明,对于一类高斯分形过程的函数过程(包含分数布朗运动), $ \hat H_{RS} $是相合的,并且在$ 0<H\leq3/4 $时, $ \hat H_{RS} $的渐近分布为正态分布,在$ 3/4<H<1 $时, $ \hat H_{RS} $的渐近分布为$ \rm Rosenblatt $分布(见文献[20, 2.4节]).

长记忆性通常情况下定义在平稳过程的协方差函数上,用于衡量平稳序列中的关联强弱,需要平稳过程具有有限二阶矩.因此本节在具有有限二阶矩的平稳过程上研究Hurst参数与长记忆性之间的关系.具有有限二阶矩的平稳过程称为二阶平稳过程.

设$ \{X_n, n\in {\Bbb Z}^+\} $为二阶平稳过程,若其协方差函数$ r_X(k) $的部分和是发散的,

$ \sum\limits_{k = 0}^{\infty}{|r_X(k)|} = +\infty, $

则二阶平稳过程$ \{X_n, n\in {\Bbb Z}^+\} $为长记忆的.特别地,一般习惯假定

$ r_X(k) \sim C_r|k|^{2d-1}, \quad \mbox{as} \quad k \rightarrow \infty, \quad 0<d<1/2. $

基于以上论述,给出长记忆性的协方差定义.

定义3.1  设$ \{X_n, n\in {\Bbb Z}^+\} $为二阶平稳过程.若其协方差函数$ r_X(k) $满足

$ r_X(k) \sim C_r |k|^{2d-1}, \quad k \rightarrow \infty, \quad 0<d<1/2, $

称$ X(t) $具有长记忆性,其中$ d $称为记忆参数, $ C_X $为常数.

由维纳-辛钦定理及文献[21, p6-7],对于平稳过程而言,知道协方差函数等价于知道功率谱密度.

$ r_X(k) \sim C_r |k|^{2d-1}, \; k \to \infty $

与对应的功率谱密度

$ \Gamma_X(\nu) \sim C_\Gamma |\nu|^{-2d}, \; \nu \to 0 $

是等价的.因此等价的有长记忆性的谱定义.

定义3.2  设$ \{X_n, n\in {\Bbb Z}^+\} $为二阶平稳过程.若其功率谱密度$ \Gamma_X(\nu) $在原点处满足

$ \Gamma_X(\nu) \sim C_\Gamma |\nu|^{-2d}, \quad \nu \rightarrow 0, \quad 0<d<1/2, $

称$ X(t) $具有长记忆性，其中$ d $称为记忆参数, $ C_\Gamma $为常数.

该长记忆性的谱密度及其记忆参数的定义与$ M(d) $过程及其记忆参数的定义相符合(详见文献[7,定义2]).

结合长记忆性的协方差定义与分数高斯噪声协方差函数的渐近行为

$ r(k) \sim H(2H-1) |k|^{2H - 2}, k\to\infty, H\neq 1/2. $

容易知道分数高斯噪声的记忆参数$ d = H-1/2 $,在$ 1/2<H<1 $时,表现出长记忆性.而在$ H = 1/2 $时, $ r(k) = 0 $,为不相关的平稳序列.根据关系式$ d = H-1/2 $,很多时候也通过参数$ H $来定义长记忆性,例如长记忆性的协方差定义写成如下表述.

定义3.3  设$ \{X_n, n\in {\Bbb Z}^+\} $为二阶平稳过程.若其协方差函数$ r_X(k) $满足

$ r_X(k) \sim C_r |k|^{2H-2}, \quad k \rightarrow \infty, \quad 1/2<H<1, $

称$ X(t) $具有长记忆性,其中$ H $称为$ \rm Hurst $参数, $ C_X $为常数.

注3.1  定义3.3仅仅从分数布朗运动情形的关系式出发,引入参数$ H $,并称为$ \rm Hurst $参数.而$ \rm Hurst $参数$ H $最初由$ R/S $统计量定义.接下来简单讨论这两处定义的$ \rm Hurst $参数是否一致.

由定理2.1的证明及注2.2可知, $ R/S $统计量计算的$ \rm Hurst $参数主要基于过程的$ H $自相似性,等于自相似参数.事实上,对于具有长记忆性的二阶平稳过程$ \{X_n, n\in {\Bbb Z}^+\} $,随着$ n \to +\infty $,其部分和过程$ Y_n(t) = n^{-H}\sum\limits_{l = 1}^{[nt]} {{X_l}} $是渐近自相似的,其自相似参数就是定义3.3中的$ H $ (见文献[4, 2.1节, 4.3节]).由此可以知道长记忆性定义时由记忆参数给出的$ \rm Hurst $参数就是$ R/S $统计量定义的$ \rm Hurst $参数.

此外,文献[15,例5.1.1]论证了有限方差的独立同分布序列的$ R/S $统计量以$ n^{1/2} $的速度增长.这验证了$ \rm Hurst $参数$ H = 1/2 $时描述的无相关性.

因此常用Hurst参数的估计来检验平稳序列中的长记忆性,若估计的$ H\in(1/2, 1) $时,平稳序列具有长记忆性.相应的若估计的$ H $为$ 1/2 $时,则为不相关的序列. Hurst参数的估计方法有很多,常用的有$ R/S $方法^[1]、DFA方法^[2]及小波分析方法^[3-4]等.

由前面可知,在过程具有有限二阶矩的情形下, Hurst参数可以用来度量自相似性和长记忆性.但是如果过程具有无限二阶矩的重尾分布,则第3节中长记忆性的二阶矩定义将没有意义(协方差函数可能无限),从而使用Hurst参数$ H $来检验过程的长记忆性就显得很不合适.本节即讨论无限二阶矩的重尾分布下Hurst参数的意义,并介绍此情形下Hurst参数的相关结论.

首先给出重尾分布的正则变化随机变量的定义,参见文献[22].

定义4.1  尾指数为$ \alpha $的正则变化随机变量$ X $ (Regularly Varying Random Variable),其概率分布满足

$ P(|X| > x) = {x^{ - \alpha }}L(x), \quad x \ge 0, \quad \alpha \ge 0, $

其中$ L(x) $为正值慢变函数(Slowly Varying Function), i.e.对于任意$ \lambda>0 $,有

$ \lim \limits_{x \to \infty } \frac{{L(\lambda x)}}{{L(x)}} = 1. $

从定义可以看出正则变化随机变量具有重尾分布,其尾部概率收敛速度比正态的指数要快.特别地,慢变函数可以进一步假设: $ L(x) \to c $, $ c $为大于0的常数.此时正则变化随机变量具有幂尾分布(Power Tails)

$ P(|X| > x) \sim c{x^{ - \alpha }}, \quad x \to \infty. $

关于正则变化随机变量的矩，有如下结论(参见文献[15,命题4.2.1]).

定理4.1  设$ X $是尾指数为$ \alpha $的正则变化随机变量,对于$ p>0 $,有

$ \begin{eqnarray*} \left\{ {\begin{array}{ll} {\Bbb E}|X{|^p} < \infty , \quad &p < \alpha , \\ {\Bbb E}|X{|^p} = \infty , \quad &p > \alpha . \end{array}} \right. \end{eqnarray*} $

证  对于$ p>0 $,由分部积分法,有

$ {\Bbb E}|X{|^p} = p\int_0^\infty {{x^{p - 1}}P(|X| > x){\rm d}x} . $

而对于慢变函数$ L(x) $有如下结论(由文献[15, (10.33)式]),对于任意小的$ \varepsilon>0 $,

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{L(x)}}{{{x^{ - \varepsilon }}}} = \infty , \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{L(x)}}{{{x^\varepsilon }}} = 0. $

由此定理可证.

注4.1  该定理显示在$ \alpha<2 $时,正则变化随机变量没有有限的二阶矩.此外,在$ p = \alpha $时, $ E|X|^\alpha $是否有限,由慢变函数$ L(x) $的进一步性质决定.而对于具有幂尾分布的正则变化随机变量, $ E|X|^\alpha = \infty $.

本节假设随机过程具有正则变化随机变量的分布,则在$ 0<\alpha<2 $时,没有有限的二阶矩.此时无法通过长记忆性来考察Hurst参数.在有限二阶矩时, $ R/S $统计量计算出的Hurst参数依赖于过程的自相似性,为过程的自相似参数.在此重尾情形下,很自然的考虑通过自相似参数来考察由$ R/S $统计量计算出的Hurst参数,从而假定研究的过程为$ H $-SSSI过程.本节自相似参数也记为$ H $.在上述情形下,本节主要考察以下两个内容

$ \bullet $$ R/S $统计量与自相似参数$ H $、尾指数$ \alpha $的关系.

$ \bullet $自相似参数$ H $与尾指数$ \alpha $的关系.

为进一步讨论,给出平衡正则变化尾部的定义.

定义4.2  若尾指数为$ \alpha $的正则变化随机变量$ X $的尾概率满足:存在$ 0\leq p, q \leq 1 $, $ p+q = 1 $,有

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{P(X > x)}}{{P(|X| > x)}} = p, \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{P(X < - x)}}{{P(|X| > x)}} = q, $

则称其具有平衡正则变化的尾部(Balanced Regularly Varying Tails).

注4.2  $ \alpha $稳定随机变量($ \alpha $-stable Random Variable, $ 0<\alpha<2 $)是具有平衡幂尾分布的变量(文献[15,例4.2.8]),尾指数为$ \alpha $.其绝对值的$ \alpha $阶矩是无限的,由定理4.1,小于$ \alpha $阶的矩都是有限的.

在重尾情形下, $ R/S $统计量的理论性质研究比较困难.但对于独立同分布的重尾随机序列,已存在如下结论(文献[15,例5.1.2]).

定理4.2  设$ \{X_n, n\in {\Bbb Z}^+\} $为独立同分布的具有平衡尾部的正则变化随机序列, $ 0<\alpha<2 $,则当$ n \to +\infty $,其$ R/S $统计量

(4.1) $ \begin{eqnarray} n^{-1/2}\frac{R}{S}(X_1 , \cdots X_n ) \mathop\rightarrow \limits^d g(N), \end{eqnarray} $

其中

$ g(N) = \frac{{\mathop {\sup }\limits_{0\leq t \leq 1} \sum\limits_{j = 1}^\infty {({\bf 1}({U_j} \le t) - t){\theta _j}\Gamma _j^{ - 1/\alpha }} - \mathop {\inf }\limits_{0 \leq t \leq 1} \sum\limits_{j = 1}^\infty {({\bf 1}({U_j} \le t) - t){\theta _j}\Gamma _j^{ - 1/\alpha }} }}{{{ \Big(\sum\limits_{j = 1}^\infty {\Gamma _j^{ - 2/\alpha }} \Big)^{1/2}}}}, $

$ {U_j} $为独立同分布的均匀随机序列, $ \theta_j $为独立同分布的取值为1和-1的两点分布随机序列(概率分别为平衡尾部定义中的$ p, q $), $ \Gamma _j $为在$ (0, \infty) $上的标准泊松到达序列.

注4.3  从定理可以看见,尽管在重尾情形下,独立同分布的随机序列的$ R/S $统计量仍然和有限二阶矩情形一样,以$ n^{1/2} $的速度增长.因此仍然可以用$ R/S $统计量计算的$ \rm Hurst $参数来度量随机序列的不相关性(判断是否1/2).

从定理还可以知道,此时不管$ \alpha $是多少, $ R/S $统计量计算的$ \rm Hurst $参数一直是1/2,因此尾指数$ \alpha $与$ R/S $统计量没有单独的联系.

接下来讨论自相似参数$ H $与尾指数$ \alpha $的关系,并间接考察$ R/S $统计量与自相似参数的关系.首先给出以下结论(文献[15]中命题8.2.6的扩展).

定理4.3  设$ \{Y(t), t\in {{\Bbb R}} \} $为一个$ H $-SSSI过程, $ P(Y(1)\neq 0)>0 $.若$ {\Bbb E}|Y(1)|^v<\infty, $$ v>0 $,则

$ \begin{eqnarray*} \left\{ {\begin{array}{ll} H < 1/v , \quad& 0 <v < 1, \\ H \leq 1 , \quad\quad & v \geq 1. \end{array}} \right. \end{eqnarray*} $

证  先考虑$ 0 <v \leq 1 $的情形.

容易知道,对任意正整数$ n $,有

$ Y(n) = \sum\limits_{i = 1}^n {(Y(i) - Y(i - 1))}, $

然后根据平稳增量性可以得到以下关系

$ \begin{eqnarray*} {\Bbb E}|Y(n)|^v & = & {\Bbb E}{\left| {\sum\limits_{i = 1}^n {(Y(i) - Y(i - 1))} } \right|^v} \leq \sum\limits_{i = 1}^n {{\Bbb E}|Y(i) - Y(i - 1)|^v} = n{\Bbb E}|Y(1)|^v. \end{eqnarray*} $

根据自相似性,有

$ {n^{Hv}}{\Bbb E}|Y(1){|^v} = {\Bbb E}|Y(n)|^v \leq n{\Bbb E}|Y(1)|^v. $

又因为$ 0<{\Bbb E}|Y(1)|^v<\infty $,可得$ H \leq 1/v $.

不等式是否取等号,在于以下在$ 0 <v \leq 1 $时成立的不等式是否取等号

$ {\left| {\sum\limits_{i = 1}^n {(Y(i) - Y(i - 1))} } \right|^v} \leq \sum\limits_{i = 1}^n {|Y(i) - Y(i - 1)|^v}. $

令$ \{X_i = Y(i) - Y(i - 1), i = 1, \cdots , n\} $.

当$ v = 1 $,若$ \{X_i\} $全部取正数,不等式等号成立.

进一步,考虑期望运算.存在$ P(X_i \geq 0) = 1 $的可能(直线过程$ Y(t) = tY(1) $满足, $ H = 1 $,见文献[15,例8.2.9]),所以$ H\leq1 $.

当$ v<1 $时,需要$ \{X_i\} $最多一个非零,不等式等号成立.

进一步,考虑期望运算.由平稳增量性, $ \{X_i\} $的每个随机变量不等于0的概率相同,设为$ p = P(X_i\neq 0)>0 $.取$ n $使得$ np>1 $.此时事件$ \{X_i\neq 0\} $必有相交,即存在$ \{X_i\} $至少两个非零的情形,求期望后等号不成立.所以$ H<1/v $.

接下来考虑$ v>1 $的情形,由Hölder不等式,

$ {\Bbb E}|Y(1)| \leq {({\Bbb E}|Y(1)|^v)^{1/v}} < \infty, $

所以由前面$ v = 1 $的结论, $ H\leq1 $.

对于$ H $-SSSI过程$ \{Y(t)\} $,因为$ Y(t)\mathop = \limits^d {t^H}Y(1) $,只需对$ Y(1) $的分布进行假设,则$ H $-SSSI过程$ \{Y(t)\} $每一个时刻的分布都给定了.在考察重尾情形时,假定$ Y(1) $的分布是正则变化的,尾指数$ 0<\alpha<2 $.更特殊的,假定$ Y(1) $的分布为$ \alpha $稳定分布($ 0<\alpha<2 $),则其绝对值的$ \alpha $阶矩是无限的,小于$ \alpha $阶的矩都是有限的.此时有如下定理.

定理4.4  设$ \{Y(t), t\in {{\Bbb R}} \} $为一个对称$ \alpha $稳定(S$ \alpha $S)$ H $-SSSI过程, $ H>0 $, $ 0<\alpha<2 $.其自相似参数$ H $与尾指数$ \alpha $有如下关系

$ \begin{eqnarray*} \left\{ {\begin{array}{ll} H \in (0, 1/\alpha] , \quad& 0 <\alpha \leq 1, \\ H \in (0, 1], \quad\quad &1 <\alpha < 2. \end{array}} \right. \end{eqnarray*} $

证  由注4.2知,对于$ 0<v<\alpha $, $ {\Bbb E}|Y(1)|^v<\infty $,由定理4.3,有

当$ 1<\alpha<2 $时, $ v = 1<\alpha $,所以$ {\Bbb E}|Y(1)|<\infty $,有$ H\leq1 $.

当$ 0<\alpha\leq1 $时,设$ v = \alpha-\varepsilon<\alpha $, $ \varepsilon $为任意小的正数,所以$ {\Bbb E}|Y(1)|^{\alpha-\varepsilon}<\infty $,有$ H<\frac{1}{\alpha-\varepsilon} $.令$ \varepsilon\to0 $,得到$ H\leq \frac{1}{\alpha} $.

注4.4  需要特别提出的,对称$ \alpha $稳定$ \rm Lévy $过程$ \{Y(t), t\in {{\Bbb R}} , 0<\alpha\leq2\} $是自相似的,其自相似参数$ H = 1/\alpha $ (文献[15,例8.2.8]).该过程是具有独立平稳增量的无限可分(Infinitely divisible)过程,其概率分布由如下特征函数给出

$ {\Bbb E}{{\rm e}^{{\rm i}\theta Y(t)}} = {\left( {{\Bbb E}{{\rm e}^{{\rm i}\theta Y(1)}}} \right)^t} = {{\rm e}^{ - t{\sigma ^\alpha }|\theta |^\alpha }}, \quad t>0, \; \theta \in {{\Bbb R}} , \; \sigma >0, $

其中的第一个等式由无限可分性得到, $ Y(t) $的分布由$ Y(1) $所决定,而$ {\Bbb E}{{\rm e}^{{\rm i}\theta Y(1)}} = {{\rm e}^{ - {\sigma ^\alpha }|\theta |^\alpha}} $.当$ 0<\alpha<2 $时, $ Y(1) $为对称$ \alpha $稳定随机变量.当$ \alpha = 2 $时, $ Y(1) $为零均值的正态随机变量,对称$ \alpha $稳定Lévy过程退化为布朗运动.

自相似参数$ H $通过特征函数可以得到.由自相似性,有

$ {\Bbb E}{{\rm e}^{{\rm i}\theta Y(t)}} = {\Bbb E}{{\rm e}^{{\rm i}\theta {t^H}Y(1)}} = {{\rm e}^{ - {\sigma ^\alpha }|\theta {t^H}{|^\alpha }}}. $

对比前式,可得$ H\alpha = 1 $, $ H = 1/\alpha $.

注4.5  从定理4.4及注4.4可以看出,在重尾情形下(对称$ \alpha $稳定分布),自相似参数$ H $与尾指数$ \alpha $联系紧密,尾指数$ \alpha $决定了自相似参数的上界.特别的,在对称$ \alpha $稳定$ \rm Lévy $过程的情形下, $ H = 1/\alpha $.

注4.6  对称$ \alpha $稳定$ \rm Lévy $过程具有独立平稳增量.由注4.2及定理4.2知,其增量序列的$ R/S $统计量计算的$ \rm Hurst $参数值为1/2.而由注4.4可知,其自相似参数$ H = 1/\alpha $.所以重尾情形下, $ R/S $统计量与自相似参数$ H $没有必然的联系.