本文考虑具有时变系数梯度源项的弱耦合反应-扩散方程组

(1.1) $ \begin{align} u_{t} = \Delta u+k_1(t)f(|\nabla v|), \quad (x, t)\in\Omega\times(0, t^{\ast}), \end{align} $

(1.2) $ \begin{align} v_t = \Delta v+k_2(t)g(|\nabla u|), \quad (x, t)\in\Omega\times(0, t^{\ast}), \end{align} $

给出齐次Dirichlet边界条件和初始条件

(1.3) $ \begin{align} u(x, t) = v(x, t) = 0, \quad (x, t)\in\partial\Omega\times(0, t^{\ast}), \end{align} $

(1.4) $ \begin{align} u(x, 0) = u_0(x), \quad v(x, 0) = v_0(x), \quad x\in\Omega, \end{align} $

其中$ \Omega\subset{{\Bbb R}} ^{N}(N\geq1) $为具有光滑边界$ \partial\Omega $的有界区域, $ t^{\ast}<+\infty $表示可能发生爆破的时间,反之$ t^{\ast} = +\infty $.时变系数$ k_1(t) $和$ k_2(t) $为有界$ C^{1} $类正函数,非线性梯度源项$ f(|\nabla v|) $和$ g(|\nabla u|) $为非负连续函数且满足适当的条件,非负初始值$ u_0(x) $和$ v_0(x) $为$ C^{1} $类函数且满足适当的相容性条件.因此,由经典抛物型理论^[1-2]知,问题(1.1)–(1.4)存在唯一的非负古典解$ (u(x, t), v(x, t)), $它的最大存在时间为$ t^\ast\in(0, +\infty]. $另外,若$ t^\ast<+\infty, $则$ (u(x, t), v(x, t)) $在$ C^1 $ -模意义下在有限时刻发生爆破,即

$ \limsup\limits_{t\to t^\ast}\sup\limits_{x\in\bar{\Omega}}{\{|u(x, t)|+|v(x, t)|+|\nabla u(x, t)|+|\nabla v(x, t)|\}} = +\infty. $

模型(1.1)–(1.2)常常被称为具有粘性的Hamilton-Jacobi方程组,并且模型(1.1)–(1.2)对应的单个方程与物理学理论中描述界面生长及粗化的Kardar-Parisi-Zhang方程有密切联系,详细的见文献[3-4]以及相关文献.注意到,模型(1.1)–(1.2)是非线性项依赖于一阶空间导数的最简单抛物型偏微分方程组的情形.此时,我们可利用在具有零阶非线性项方程组

$ u_t = \Delta u+|v|^{p-1}v, \quad v_t = \Delta v+|u|^{q-1}u, $

研究中采用的大量类似方法来考虑,见专著与综述性的文献[5-9].

特别地, Quittner和Souplet在文献[7,第3章和第4章]中详细介绍了具有齐次Dirichlet边界条件和常系数的反应-扩散方程(组)解的定性性质.粗略地讲,半线性抛物方程(组)整体解和非整体解的存在性以及解的行为依赖于非线性项、维数、初始值以及区域的大小等且梯度模型的另一个显著特征是在适当的条件下在边界或内部发生梯度爆破现象.本文中,我们感兴趣于时变系数梯度模型中解的爆破现象,其中重点导出具有齐次Dirichlet边界条件的问题中爆破解的爆破时间界的估计.

目前,关于不含梯度项的单个反应-扩散方程中解的爆破时间上下界的文献和方法较多且估计下界的文献大部分限制在三维空间中,主要困难在于Sobolev最优化常数的确定.我们提供给读者不含梯度项的参考文献[10-14]及相关文献.

关于具有梯度项的单个方程的研究方面, Hesaaraki和Moameni在文献[15,第二节]中指出了具有常系数梯度的反应模型, $ u_t = \Delta u+|\nabla u|^p, $当$ p>2 $时梯度爆破现象外还可能发生与具有零阶非线性项的反应模型类似的爆破现象. Payne和Song^[16]及Liu等^[17]分别考虑了如下半线性抛物型齐次Dirichlet和非线性Neumann初边值问题

$ u_t = \Delta u+u^p-|\nabla u|^q, \quad (x, t)\in\Omega\times(0, t^{\ast}). $

当$ p>q $时,他们均在三维空间中得到了爆破解的爆破时间的下界估计值.之后, Li等^[18]将文献[16]的结论推广到了高维情形$ (N\geq3). $在文献[19]中, Marras等讨论了具有时变系数和非线性梯度吸收项的反应-扩散方程Dirichlet初边值问题

$ u_t = \Delta u+k_1(t)u^p-k_2(t)|\nabla u|^{q}, \quad (x, t)\in\Omega\times(0, t^{\ast}). $

利用微分不等式技巧,他们在若干个边界条件下得到了三维空间中爆破解的爆破时间的下界.此外,关于具有梯度项的拟线性抛物型方程的研究,我们参考了文献[20-21].

但是,关于反应方程组中爆破解的爆破时间界的估计研究甚少.对不具有梯度项的反应模型的研究方面, Payne和Song^[22]考虑了如下的趋化模型

$ \left\{\begin{array}{ll} u_t = \Delta u-a_1(uv_{, i})_{, i}, \quad & (x, t)\in\Omega\times(0, t^\ast), \\ v_t = a_2\Delta v-a_3v+a_4u, \quad &(x, t)\in\Omega\times(0, t^\ast). \end{array}\right. $

他们在二维和三维空间中得到了具有齐次Neumann边界条件的初边值问题爆破解的爆破时间的下界.最近, Xu和Ye^[23]对大初值及某些参数范围内研究了如下弱耦合反应-扩散问题

$ \left\{\begin{array}{ll} u_t = \Delta u+u^pv^q, \quad &(x, t)\in\Omega\times(0, t^\ast), \\ v_t = \Delta v+v^ru^s, \quad &(x, t)\in\Omega\times(0, t^\ast). \end{array}\right. $

他们在齐次Dirichlet边界条件下得到了爆破解的确切的爆破时间. Payne和Philippin^[24]研究了如下具有时变系数的半线性抛物方程组

$ \left\{\begin{array}{ll} u_t = \Delta u+k_1(t)f_1(v), \quad& (x, t)\in\Omega\times(0, t^\ast), \\ v_t = \Delta v+k_2(t)f_2(u), \quad &(x, t)\in\Omega\times(0, t^\ast). \end{array}\right. $

在齐次Dirichlet边界条件下,他们得到了初边值问题的解在有限时刻爆破的条件及爆破时间的上界,并在二维和三维空间中得到了爆破时间的下界估计.但是,他们没有考虑高维情形以及时变系数的行为对解的爆破时间下界的影响. Tao和Fang^[25]研究了如下具有时变系数的反应-扩散方程组

$ \left\{\begin{array}{ll} u_t = \Delta u+k_1(t)u^pv^q, \quad &(x, t)\in\Omega\times(0, t^\ast), \\ v_t = \Delta v+k_2(t)v^ru^s, \quad &(x, t)\in\Omega\times(0, t^\ast). \end{array}\right. $

在齐次Dirichlet边界条件下,他们建立了爆破准则,并在高维空间($ N\geq3 $)中得到了爆破时间界.此外,关于非局部反应方程组的研究,我们参考文献[26-27].

关于具有梯度源项的反应方程组的研究方面, Petersson^[28]研究了如下半线性抛物型方程组

$ \left\{\begin{array}{ll} u_t = \Delta u+f(t, u, v, \nabla u), \quad &(x, t)\in\Omega\times(0, t^\ast), \\ v_t = \Delta v+g(t, u, v, \nabla v), \quad &(x, t)\in\Omega\times(0, t^\ast). \end{array}\right. $

他们在齐次Dirichlet边界条件下得到了解的整体存在性. Rasheed和Chlebik^[29]考虑了具有梯度项的反应-扩散方程组

$ \left\{\begin{array}{ll} u_t = \Delta u+|\nabla u|^{p}+v^{q}, \quad& (x, t)\in\Omega\times(0, t^\ast), \\ v_t = \Delta v+|\nabla v|^{r}+u^{s}, \quad &(x, t)\in\Omega\times(0, t^\ast). \end{array}\right. $

他们在适当的条件下导出了爆破速率.但是,文献[28-29]的结果没有涉及到爆破时间下界的估计问题.综上所述,具有时变系数梯度源项的反应-扩散方程组(1.1)–(1.2)的齐次Dirichlet初边值问题中解的爆破现象以及爆破时间界的研究还未得到展开.主要难点在于找到扩散项与非线性梯度源项之间的竞争关系、空间的维数及时变系数对问题爆破现象的影响.由此启发,结合修正微分不等式技巧及比较原理,我们研究问题(1.1)–(1.4)解的爆破现象,且在高维空间中导出爆破解的爆破时间界的估计值.

本文的其余部分结构如下:第二节,我们给出解整体存在的充分条件.第三节,我们对时变系数$ k_1(t) $和$ k_2(t) $以及非线性梯度源项$ f(|\nabla v|) $和$ g(|\nabla u|) $给出适当的假设,建立在若干个不同测度意义下解发生爆破的充分条件及爆破时间的上界.第四节,我们通过构造爆破上解的方法来估计爆破时间的下界.

本节中,我们给出时变系数$ k_1(t), k_2(t) $以及非线性梯度源项$ f, g $的适当条件来保证问题(1.1)–(1.4)的解在适当测度意义下的整体存在性.

定理2.1  令$ \Omega $为$ {{\Bbb R}} ^{N}(N\geq3) $中的有界区域,假设$ (u, v) $是问题(1.1)–(1.4)的古典解,时变系数$ k_1(t) $和$ k_2(t) $为有界正函数,非负梯度源函数$ f $和$ g $满足如下条件

(H₁)  $ f(|\nabla v|)\leq|\nabla v|^p, \quad g(|\nabla u|)\leq|\nabla u|^q, \quad 0<p, q\leq1 $,

则对于任意初值$ (u_0, v_0) $,问题(1.1)–(1.4)的解$ (u, v) $在适当的测度意义下整体存在.

证  记$ \bar{k}: = \max{\{k_1(t), k_2(t)\}} $.我们引进辅助函数

$ \Phi_1(t): = \int_\Omega u^{2k}+v^{2k}{\rm d}x, \quad \frac{1}{2}<k<1. $

首先,对$ \Phi_1(t) $直接求导并利用(1.1)–(1.3)式,条件(H$ _1) $以及Green公式,我们导出

(2.1) $ \begin{eqnarray} \Phi_1'(t)& = &2k\int_\Omega u^{2k-1}(\Delta u+k_1(t)f(|\nabla v|)){\rm d}x+2k\int_\Omega v^{2k-1}(\Delta v+k_2(t)g(|\nabla u|)){\rm d}x\\ &\leq&-2k(2k-1)\int_\Omega u^{2k-2}|\nabla u|^2{\rm d}x+2k\bar{k}\int_\Omega u^{2k-1}|\nabla v|^p{\rm d}x\\ &&-2k(2k-1)\int_\Omega v^{2k-2}|\nabla v|^2{\rm d}x+2k\bar{k}\int_\Omega v^{2k-1}|\nabla u|^q{\rm d}x\\ & = &-\frac{2(2k-1)}{k}\int_\Omega|\nabla u^k|^2{\rm d}x+2k\bar{k}\int_\Omega u^{2k-1}|\nabla v|^p{\rm d}x\\ && -\frac{2(2k-1)}{k}\int_\Omega|\nabla v^k|^2{\rm d}x+2k\bar{k}\int_\Omega v^{2k-1}|\nabla u|^q{\rm d}x. \end{eqnarray} $

下面,我们估计(2.1)式右端第二项和第四项.利用H$ \ddot{\rm o} $lder不等式和Young不等式,我们得到

(2.2) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega u^{2k-1}|\nabla v|^p{\rm d}x&\leq& \bigg(\int_\Omega v^{2(k-1)}|\nabla v|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{2}} \bigg (\int_\Omega u^{\frac{2(2k-1)}{2-p}}v^{\frac{2p(1-k)}{2-p}}{\rm d}x\bigg)^{1-\frac{p}{2}} \\&\leq&\frac{\eta_1p}{2}\int_\Omega v^{2(k-1)}|\nabla v|^2{\rm d}x+ \frac{2-p}{2\eta_1^{\frac{p}{2-p}}}\int_\Omega u^{\frac{2(2k-1)}{2-p}}v^{\frac{2p(1-k)}{2-p}}{\rm d}x \\ & = &\frac{\eta_1p}{2k^2}\int_\Omega|\nabla v^k|^2{\rm d}x+\frac{2-p}{2\eta_1^{\frac{p}{2-p}}}\int_\Omega u^{\frac{2(2k-1)}{2-p}}v^{\frac{2p(1-k)}{2-p}}{\rm d}x \end{eqnarray} $

及

(2.3) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega v^{2k-1}|\nabla u|^q{\rm d}x\leq\frac{\eta_2q}{2k^2}\int_\Omega|\nabla u^k|^2{\rm d}x+\frac{2-q}{2\eta_2^{\frac{q}{2-q}}}\int_\Omega v^{\frac{2(2k-1)}{2-q}}u^{\frac{2q(1-k)}{2-q}}{\rm d}x, \end{eqnarray} $

其中$ \eta_1, \eta_2 $是待定的正常数.

之后,利用推广的H$ \ddot{\rm o} $lder不等式和Young不等式,估计(2.2)式和(2.3)式右端第二项,则我们有

(2.4) $ \begin{eqnarray} &&\int_\Omega u^{\frac{2(2k-1)}{2-p}}v^{\frac{2p(1-k)}{2-p}}{\rm d}x{} \\ &\leq&\bigg(\int_\Omega u^{2k}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2k-1}{k(2-p)}}\bigg(\int_\Omega v^{2k}{\rm d}x\bigg)^{\frac{p(1-k)}{k(2-p)}}|\Omega|^{\frac{1-p}{k(2-p)}}{} \\ &\leq&\frac{\eta_3(2k-1)}{k(2-p)}\int_\Omega u^{2k}{\rm d}x+\frac{\eta_4p(1-k)}{\eta_3^{\frac{2k-1}{1-kp}}k(2-p)}\int_\Omega v^{2k}{\rm d}x +\frac{1-p}{\eta_3^{\frac{2k-1}{1-kp}}\eta_4^{\frac{p(1-k)}{1-p}}k(2-p)}|\Omega| \end{eqnarray} $

及

(2.5) $ \begin{eqnarray} &&\int_\Omega v^{\frac{2(2k-1)}{2-q}}v^{\frac{2q(1-k)}{2-q}}{\rm d}x{} \\&\leq&\frac{\eta_5(2k-1)}{k(2-q)}\int_\Omega v^{2k}{\rm d}x+\frac{\eta_6q(1-k)}{\eta_5^{\frac{2k-1}{1-kq}}k(2-q)}\int_\Omega u^{2k}{\rm d}x +\frac{1-q}{\eta_5^{\frac{2k-1}{1-kq}}\eta_6^{\frac{q(1-k)}{1-q}}k(2-q)}|\Omega|, \end{eqnarray} $

其中$ \eta_3, \eta_4, \eta_5, \eta_6 $是待定的正常数.将(2.2)–(2.5)式代入到(2.1)式中,我们可导出

(2.6) $ \begin{eqnarray} \Phi_1'(t)\leq A_1\int_\Omega u^{2k}{\rm d}x+A_2\int_\Omega v^{2k}{\rm d}x -A_3\int_\Omega|\nabla u^k|^2{\rm d}x-A_4\int_\Omega|\nabla v^k|^2{\rm d}x+A_5, \end{eqnarray} $

其中

$ \begin{eqnarray*} && A_1: = \frac{\eta_3\bar{k}(2k-1)}{\eta_1^{\frac{p}{2-p}}}+ \frac{\eta_6q\bar{k}(1-k)}{\eta_2^{\frac{q}{2-q}}\eta_5^{\frac{2k-1}{1-kq}}}, \nonumber {\quad} A_2: = \frac{\eta_5\bar{k}(2k-1)}{\eta_2^{\frac{q}{2-q}}}+ \frac{\eta_4p\bar{k}(1-k)}{\eta_1^{\frac{p}{2-p}}\eta_3^{\frac{2k-1}{1-kp}}}, \nonumber \\&& A_3: = \frac{2(2k-1)-\eta_2\bar{k}q}{k}, \nonumber {\quad} A_4: = \frac{2(2k-1)-\eta_1\bar{k}p}{k}, \nonumber \\&& A_5: = \Bigg(\frac{\bar{k}(1-p)}{\eta_1^{\frac{p}{2-p}}\eta_3^{\frac{2k-1}{1-kp}}\eta_4^{\frac{p(1-k)}{1-p}}} +\frac{\bar{k}(1-q)}{\eta_2^{\frac{q}{2-q}}\eta_5^{\frac{2k-1}{1-kq}}\eta_6^{\frac{q(1-k)}{1-q}}}\Bigg)|\Omega|.\nonumber \end{eqnarray*} $

我们选取$ \eta_1, \eta_2 $充分小使得$ A_3, A_4>0 $.

其次,利用Poincar$ \acute{\rm e} $不等式

(2.7) $ \begin{eqnarray} && \int_\Omega|u^k|^2{\rm d}x\leq C(\Omega, 2)\int_\Omega|\nabla u^k|^2{\rm d}x, \end{eqnarray} $

(2.8) $ \begin{eqnarray} && \int_\Omega|v^k|^2{\rm d}x\leq C(\Omega, 2)\int_\Omega|\nabla v^k|^2{\rm d}x, \end{eqnarray} $

其中$ C(\Omega, 2) $是$ W_0^{1, 2}(\Omega) $中的Poincar$ \acute{\rm e} $不等式常数,且将(2.7)式和(2.8)式代入到(2.6)式中,我们得到

(2.9) $ \begin{eqnarray} \Phi_1'(t)\leq(A_1-\frac{A_3}{C(\Omega, 2)})\int_\Omega u^{2k}{\rm d}x +(A_2-\frac{A_4}{C(\Omega, 2)})\int_\Omega v^{2k}{\rm d}x+A_5. \end{eqnarray} $

我们取

$ \begin{eqnarray} &&\eta_1: = \frac{2(2k-1)-kC(\Omega, 2)}{\bar{k}p}, \eta_2: = \frac{2(2k-1)-kC(\Omega, 2)}{\overline{k}q}, {} \\ &&\eta_3: = \frac{\eta_1^{\frac{p}{2-p}}}{4\bar{k}(2k-1)}, \eta_5: = \frac{\eta_2^{\frac{q}{2-q}}}{4\bar{k}(2k-1)}, {} \\ &&\eta_4: = \frac{\eta_1^{\frac{p}{2-p}}\eta_3^{\frac{2k-1}{1-kp}}}{4p\bar{k}(1-k)}, \eta_6: = \frac{\eta_2^{\frac{q}{2-q}}\eta_5^{\frac{2k-1}{1-kq}}}{4q\bar{k}(1-k)}, {} \end{eqnarray} $

使得$ A_1 = A_2 = \frac{1}{2}, A_3 = A_4 = C(\Omega, 2), $则(2.9)式改写为

(2.10) $ \begin{eqnarray} \Phi_1'(t)\leq-\frac{1}{2}\Phi_1(t)+A_5. \end{eqnarray} $

若$ u $或$ v $在有限时刻$ t^\ast $爆破,则$ \Phi_1(t) $在$ t^\ast $附近无界且由(2.10)式可知,存在$ t_0<t^\ast $使得$ t\in[t_0, t^\ast) $时有$ \Phi_1'(t)\leq0, $因此$ \Phi_1(t)\leq\Phi_1(t_0), t\in[t_0, t^\ast) $.这意味着$ \Phi_1(t) $在$ [t_0, t^\ast) $内有界,从而导致矛盾且问题(1.1)–(1.4)的解整体存在.定理2.1证毕.

下面,我们构造上解来证明问题(1.1)–(1.4)解的整体存在性.

定理2.2  假设$ (u, v) $是问题(1.1)–(1.4)的古典解,时变系数$ k_1(t) $和$ k_2(t) $为有界正函数,非负梯度源函数$ f $和$ g $满足如下条件:

(H₂)  $ f(|\nabla v|)\leq|\nabla v|^p, \quad g(|\nabla u|)\leq|\nabla u|^q, \quad p>0, \;q>\frac{s_1}{p}\; $或$ \;q>0 $, $ p>\frac{s_1}{q}, $

其中$ s_1>1 $.若充分小的初值$ (u_0, v_0) $满足$ (2.11) $式,则问题(1.1)–(1.4)的解$ (u, v) $整体存在.

证  不妨设$ p>0 $且$ q>\frac{s_1}{p} $其中$ s_1>1 $.我们构造函数

$ \overline{u}: = \frac{\phi(x)}{E+t}, \quad \overline{v}: = \frac{\phi(x)}{(E+t)^{\frac{s_1}{p}}}, \quad x\in\Omega, $

其中$ E $为待定正常数, $ \phi(x) $是如下问题对应于第一特征值$ \lambda_0 $且规范化为$ { }\max\limits_{x\in\bar{\Omega}}\phi(x) = 1 $的特征函数

$ -\Delta\phi(x) = \lambda\phi(x), \quad x\in\Omega, $

$ \phi(x) = 0, \quad x\in\partial\Omega, $

则$ \lambda_0>0 $且$ \phi(x)>0, x\in\Omega. $记$ { } h_1: = \min\limits_{x\in{\Omega}}\phi(x)>0 $, $ { } h_2: = \max\limits_{x\in{\Omega}}|\nabla\phi(x)|>0 $.

下面,利用条件(H$ _2) $,直接计算可得

$ \begin{eqnarray*} \overline{u}_t-\Delta\overline{u}-k_1(t)f(|\nabla \bar{v}|)&\geq&-\frac{\phi(x)}{(E+t)^2} +\frac{\lambda_0\phi(x)}{E+t}-\frac{\overline{k}|\nabla\phi|^p}{(E+t)^{s_1}}\\&\geq& \frac{1}{E+t}\bigg[-\frac{1}{E+t}+\lambda_0h_1-\frac{\overline{k}h_2^p}{(E+t)^{s_1-1}}\bigg], \quad x\in\Omega, \\ \overline{v}_t-\Delta\overline{v}-k_2(t)g(|\nabla \bar{u}|)&\geq& - \frac{\frac{s_1}{p}\phi(x)}{(E+t)^{\frac{s_1}{p}+1}}+\frac{\lambda_0\phi(x)} {(E+t)^{\frac{s_1}{p}}}-\frac{\overline{k}|\nabla\phi|^q}{(E+t)^{q}} \\&\geq& \frac{1}{(E+t)^{\frac{s_1}{p}}} \bigg[-\frac{\frac{s_1}{p}}{E+t}+\lambda_0h_1-\frac{\bar{k}h_2^q}{(E+t)^{q-\frac{s_1}{p}}}\bigg], \quad x\in\Omega. \end{eqnarray*} $

由于$ s_1>1 $, $ q>\frac{s_1}{p} $,我们可以选取$ E $充分大使得

$ -\frac{1}{E+t}+\lambda_0h_1-\frac{\overline{k}h_2^p}{(E+t)^{s_1-1}}\geq0, \;\;\, -\frac{\frac{s_1}{p}}{E+t}+\lambda_0h_1-\frac{\bar{k}h_2^q}{(E+t)^{q-\frac{s_1}{p}}}\geq0, \;\;\, x\in\Omega. $

则我们有

$ \overline{u}_t-\Delta\overline{u}-k_1(t)f(|\nabla\bar{v}|)\geq0, \;\;\, \overline{v}_t-\Delta\overline{v}-k_2(t)g(|\nabla\bar{u}|)\geq0, \;\;\, x\in\Omega. $

若初值$ (u_0, v_0) $充分小且满足

(2.11) $ \begin{eqnarray} u_0(x)\leq\frac{\phi(x)}{E}, \quad v_0(x)\leq\frac{\phi(x)}{E^{\frac{s_1}{p}}}, \quad x\in\Omega. \end{eqnarray} $

由比较原理可知$ (\overline{u}, \overline{v}) $是问题(1.1)–(1.4)的上解且整体存在.类似地可证$ q>0, p>\frac{s_1}{q} $的情形.定理2.2证毕.

注2.1  定理$ \rm2.2 $表明,当$ p = 1 $, $ q>1 $或$ 0<p<1 $, $ q>\frac{s_1}{p}>1 $或$ p>1 $, $ q>1 $ (取$ s_1 = p $)时,对于充分小的初值$ (u_0, v_0) $,问题(1.1)–(1.4)的解$ (u, v) $整体存在.类似地可分析$ q = 1 $, $ 0<q<1 $及$ q>1 $的情形.

注2.2  在定理$ \rm2.2 $中,对于充分大的初值,问题(1.1)–(1.4)的解在有限时刻可能发生爆破的结论还未得到.但是,如果把条件(H$ _2) $改为

$ f(|\nabla v|)\geq|\nabla v|^p, \quad g(|\nabla u|)\geq|\nabla u|^q, \quad p>0, \;q>1+\frac{s_2}{p} \ \mbox{或}\ q>0, p>1+\frac{s_2}{q}, $

其中$ s_2>2 $.则构造如下爆破下解的方法来易得到

$ \underline{u}: = \frac{\phi(x)}{L-t}, \; \underline{v}: = \frac{\phi(x)}{(L-t)^{\frac{s_2}{p}}} \ \mbox{或}\ \underline{u}: = \frac{\phi(x)}{(L-t)^{\frac{s_2}{q}}}, \; \underline{v}: = \frac{\phi(x)}{L-t}, $

其中$ x\in\Omega $, $ 0\leq t<L $且$ 0<L<1 $.

本节中,我们研究问题(1.1)–(1.4)的解在若干个不同测度意义下发生爆破的充分条件及爆破时间的上界估计.

首先,受到Hesaaraki和Moameni的文献[15]启发,我们得到了Kaplan测度意义下的爆破结论.

定理3.1  令$ \Omega\subset{{\Bbb R}} ^N(N\geq2) $为$ C^2 $类的一致正则区域,假设$ (u, v) $是问题(1.1)–(1.4)的古典解,时变系数$ k_1(t) $和$ k_2(t) $为有界正函数,非负梯度源函数$ f $和$ g $满足如下条件

(H$ _{3} $)  $ f(|\nabla v|)\geq|\nabla v|^p, \quad g(|\nabla u|)\geq|\nabla u|^q, \quad p, q>2. $

同时,假设存在正函数$ \varphi\in W_0^{1, \infty}(\Omega) $满足$ \int_\Omega\frac{1}{(\varphi (x))^{\frac{1}{s-1}}}{\rm d}x<\infty $且$ \int_\Omega\frac{1}{(\varphi(x))^{\frac{1}{sN}}}{\rm d}x<\infty, $$ \forall s>2. $定义辅助函数

$ \Phi_2(t): = \int_\Omega(u+v)\varphi(x) {\rm d}x. $

对$ p = q $及$ p<q $ (或$ q<p), $若充分大的初值$ (u_0, v_0) $分别满足$ (3.7) $式及$ (3.10) $式,则在$ \Phi_2(t) $测度意义下,问题(1.1)–(1.4)的解$ (u, v) $在有限时刻发生爆破,且爆破时间的上界为

$ t^\ast\leq\frac{2(\Phi_2(0))^{1-p}}{I_3(p-1)}, $

其中$ \Phi_2(0) = \int_\Omega(u_0+v_0)\varphi(x) {\rm d}x, $$ I_3 $是下面证明过程中给出的正常数.

为了证明定理3.1,我们回顾引理.

引理3.1^[15]

如果定理$ 3.1 $的条件成立,则

(ⅰ) $ u(t), v(t)\in W_0^{1, r}(\Omega), \quad \forall r\geq1; $

(ⅱ)存在常数$ C = C(\Omega, \varphi, s) $满足

$ \bigg(\int_\Omega u\varphi {\rm d}x\bigg)^s\leq C\int_\Omega|\nabla u|^s\varphi {\rm d}x, \quad \bigg (\int_\Omega v\varphi {\rm d}x\bigg)^s\leq C\int_\Omega|\nabla v|^s\varphi {\rm d}x, \quad \forall s>2. $

证  证明过程类似于文献[15]中的引理2.3,因此此处省略.

现在,我们给出定理3.1的证明.

证  记$ \underline{k}: = \min{\{k_1(t), k_2(t)\}} $.假设$ u_0(x), v_0(x)\in C_0^3(\Omega) $.由文献[30]的命题$ A_3 $和$ A_4 $可知,对任意有限$ r\geq sN, $我们有$ u(x, t), v(x, t)\in C^1([0, t^\ast), L^r(\Omega)) $且$ u(t), v(t)\in W_0^{1, r}(\Omega)\cap W^{2, r}(\Omega), t\in[0.t^\ast) $.

下面,对$ \Phi_2(t) $求导并利用(1.1)–(1.3)式,条件(H$ _3) $以及Green公式,我们有

(3.1) $ \begin{eqnarray} \Phi_2'(t)\geq-\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla\varphi {\rm d}x+\underline{k}\int_\Omega|\nabla v|^p\varphi {\rm d}x -\int_\Omega\nabla v\cdot\nabla\varphi {\rm d}x+\underline{k}\int_\Omega|\nabla u|^q\varphi {\rm d}x. \end{eqnarray} $

之后,我们估计(3.1)式右端第一项和第三项.利用Hölder不等式和Young不等式,我们导出

(3.2) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega\nabla u\cdot\nabla\varphi {\rm d}x&\leq&\int_\Omega|\nabla u||\nabla\varphi|{\rm d}x {} \\ & \leq&\bigg (\int_\Omega\varphi(x)|\nabla u|^q{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{q}} \bigg(\int_\Omega(\varphi(x))^{-\frac{1}{q-1}}|\nabla\varphi|^{\frac{q}{q-1}}{\rm d}x\bigg)^{1-\frac{1}{q}}{} \\ & = &\bigg(\frac{q\underline{k}}{2}\int_\Omega\varphi(x)|\nabla u|^q{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{q}} \bigg((\frac{q\underline{k}}{2})^{-\frac{1}{q-1}}\int_\Omega(\varphi(x))^{-\frac{1}{q-1}}|\nabla\varphi|^{\frac{q}{q-1}}{\rm d}x \bigg)^{1-\frac{1}{q}}{} \\ &\leq&\frac{\underline{k}}{2}\int_\Omega\varphi(x)|\nabla u|^q{\rm d}x+\frac{q-1}{q}(\frac{2}{q\underline{k}})^{\frac{1}{q-1}}\int_\Omega(\varphi(x))^{-\frac{1}{q-1}}|\nabla\varphi|^{\frac{q}{q-1}}{\rm d}x \end{eqnarray} $

及

(3.3) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega\nabla v\cdot\nabla\varphi {\rm d}x\leq\frac{\underline{k}}{2}\int_\Omega\varphi(x)|\nabla v|^p{\rm d}x+\frac{p-1}{p}(\frac{2}{p\underline{k}})^{\frac{1}{p-1}}\int_\Omega(\varphi(x))^{-\frac{1}{p-1}}|\nabla\varphi|^{\frac{p}{p-1}}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

将(3.2)式和(3.3)式代入到(3.1)式中,我们得到

(3.4) $ \begin{eqnarray} \Phi_2'(t)\geq\frac{\underline{k}}{2}\int_\Omega\varphi(x)|\nabla u|^q{\rm d}x+ \frac{\underline{k}}{2}\int_\Omega\varphi(x)|\nabla v|^p{\rm d}x-I_1-I_2, \end{eqnarray} $

其中

$ \begin{eqnarray} && I_1: = \frac{q-1}{q}(\frac{2}{q\underline{k}})^{\frac{1}{q-1}}\int_\Omega(\varphi(x))^{-\frac{1}{q-1}}|\nabla\varphi|^{\frac{q}{q-1}}{\rm d}x, {} \\ && I_2: = \frac{p-1}{p}(\frac{2}{p\underline{k}})^{\frac{1}{p-1}}\int_\Omega(\varphi(x))^{-\frac{1}{p-1}}|\nabla\varphi|^{\frac{p}{p-1}}{\rm d}x.{} \end{eqnarray} $

由条件$ \varphi\in W_0^{1, \infty} $且$ \int_\Omega\frac{1}{(\varphi(x))^{\frac{1}{s-1}}}{\rm d}x<\infty, \forall s>2 $,我们可知$ I_1, I_2<\infty $.

另外,根据引理3.1(ⅱ),我们可以导出

(3.5) $ \begin{eqnarray} \Phi_2'(t)\geq\frac{\underline{k}}{2C(\Omega, \varphi, q)}\bigg(\int_\Omega u\varphi {\rm d}x\bigg)^q+ \frac{\underline{k}}{2C(\Omega, \varphi, p)}\bigg(\int_\Omega v\varphi {\rm d}x\bigg)^p-I_1-I_2. \end{eqnarray} $

当$ p = q $时,利用不等式$ (a+b)^p\leq2^{p-1}(a^p+b^p) $及(3.5)式,我们有

(3.6) $ \begin{eqnarray} \Phi_2'(t)\geq I_3(\Phi_2(t))^p-I_1-I_2 = \frac{1}{2}I_3(\Phi_2(t))^p+(\frac{1}{2}I_3(\Phi_2(t))^p-I_1-I_2), \end{eqnarray} $

其中$ I_3: = \min{\{\frac{\underline{k}}{2^pC(\Omega, \varphi, q)}, \frac{\underline{k}}{2^pC(\Omega, \varphi, p)}\}} $.若初值$ (u_0, v_0) $充分大满足

(3.7) $ \begin{eqnarray} \Phi_2(0)>\bigg[\frac{2(I_1+I_2)}{I_3}\bigg]^{\frac{1}{p}}, \end{eqnarray} $

则(3.6)式改写为

(3.8) $ \begin{eqnarray} \Phi_2'(t)\geq\frac{1}{2}I_3(\Phi_2(t))^p. \end{eqnarray} $

当$ p\neq q $时,不妨设$ p<q $,利用文献[24]中的不等式

$ b^p\leq b^q+C(p, q), $

其中

$ C(p, q) = \frac{q-p}{q}(\frac{q}{p})^{-\frac{p}{q-p}}, $

则(3.5)式改写为

(3.9) $ \begin{eqnarray} \Phi_2'(t)&\geq&\frac{\underline{k}}{2C(\Omega, \varphi, q)} \bigg[\bigg(\int_\Omega u\varphi {\rm d}x\bigg)^p-C(p, q)\bigg]+ \frac{\underline{k}}{2C(\Omega, \varphi, p)}\bigg(\int_\Omega v\varphi {\rm d}x\bigg)^p-I_1-I_2{} \\ &\geq &I_3(\Phi_2(t))^p-I_1-I_2-I_4, \end{eqnarray} $

其中$ I_4: = \frac{\underline{k}C(p, q)}{2C(\Omega, \varphi, q)} $.若初值$ (u_0, v_0) $充分大满足

(3.10) $ \begin{eqnarray} \Phi_2(0)>\bigg[\frac{2(I_1+I_2+I_4)}{I_3}\bigg]^{\frac{1}{p}}, \end{eqnarray} $

则(3.9)式改写成(3.8)式.对(3.8)式,从0到$ t $积分,我们得到

$ \Phi_2(t)\geq\bigg[(\Phi_2(0))^{1-p}-\frac{p-1}{2}I_3t\bigg]^\frac{1}{1-p}. $

因此,问题(1.1)–(1.4)的解在$ \Phi_2(t) $测度意义下在有限时刻$ t^\ast $发生爆破且

$ t^\ast\leq\frac{2(\Phi_2(0))^{1-p}}{I_3(p-1)}. $

最后,利用文献[30]中的命题$ A_1 $ (解对初值的连续依赖性),我们可得到上述结论对任意充分大的初值$ (u_0, v_0)\in W_0^{1, r}, r\geq sN $成立.定理3.1证毕.

接下来,我们研究时变系数$ k_1(t), k_2(t) $的行为对问题(1.1)–(1.4)解的爆破时间上界的影响.

定理3.2  令$ \Omega $为$ {{\Bbb R}} ^N(N\geq3) $中的有界区域,假设$ (u, v) $是问题(1.1)–(1.4)的古典解,非负初值$ (u_0, v_0)\in C^2(\Omega)\times C^2(\Omega) $且对于任意$ x\in\Omega $,满足$ \Delta u_0+\underline{k}|\nabla v_0|^p\geq0 $及$ \Delta v_0+\underline{k}|\nabla u_0|^q\geq0 $,时变系数$ k_2(t)\geq k_1(t)\geq\underline{k} $且$ k_1(t) $在有限时刻$ T^{k_1}>0 $爆破.非负梯度源函数$ f, g $满足如下条件

(H$ _{4}) $  $ f(|\nabla v|)\geq|\nabla v|^p, \quad g(|\nabla u|)\geq|\nabla u|^q, \quad 4<p, q<2N. $

定义辅助函数

$ \Phi_3(t): = \int_\Omega u^2+v^2{\rm d}x. $

如果$ \int_\Omega(u_0(x))^{-1}{\rm d}x<\infty, \int_\Omega(v_0(x))^{-1}{\rm d}x<\infty $且对$ p = q $及$ p<q $ (或$ q<p), $充分大的初值$ (u_0, v_0) $分别满足$ (3.23) $式及$ (3.27) $式,则在$ \Phi_3(t) $测度意义下,问题(1.1)–(1.4)的解$ (u, v) $在有限时刻$ t^\ast $发生爆破,且上界分别为

$ t^\ast\leq T_1<T^{k_1}, \quad t^\ast\leq T_2<T^{k_1}, $

其中$ T_1 $, $ T_2 $分别由$ (3.25) $式, $ (3.29) $式所定义.

证  对$ \Phi_3(t) $直接求导并利用(1.1)–(1.3)式,条件(H$ _4) $以及Green公式,我们有

(3.11) $ \begin{eqnarray} \Phi_3'(t)\geq-2\int_\Omega|\nabla u|^2{\rm d}x+2k_1(t)\int_\Omega u|\nabla v|^p{\rm d}x -2\int_\Omega|\nabla v|^2{\rm d}x+2k_1(t)\int_\Omega v|\nabla u|^q{\rm d}x. \end{eqnarray} $

下面,我们估计(3.11)式右端第一项和第三项.利用H$ \ddot{\rm o} $lder不等式和Young不等式,我们得到

(3.12) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega|\nabla u|^2{\rm d}x&\leq& \bigg(k_1(t)\int_\Omega v|\nabla u|^q{\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{q}} \bigg ((k_1(t))^{-\frac{2}{q-2}}\int_\Omega v^{\frac{-2}{q-2}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{q-2}{q}}{} \\ &\leq&\frac{2\lambda_1k_1(t)}{q}\int_\Omega v|\nabla u|^q{\rm d}x+\frac{q-2}{(\lambda_1k_1(t))^{\frac{2}{q-2}}q}\int_\Omega v^{\frac{-2}{q-2}}{\rm d}x \end{eqnarray} $

及

(3.13) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega|\nabla v|^2{\rm d}x\leq\frac{2\lambda_2k_1(t)}{p}\int_\Omega u|\nabla v|^p{\rm d}x+ \frac{p-2}{(\lambda_2k_1(t))^{\frac{2}{p-2}}p}\int_\Omega u^{\frac{-2}{p-2}}{\rm d}x, \end{eqnarray} $

其中$ \lambda_1, \lambda_2 $是待定的正常数.

另一方面,由初值$ (u_0, v_0) $的条件及极值原理易知,问题(1.1)–(1.4)的解关于时间的单调非减性.因此,将(3.12)式和(3.13)式代入到(3.11)式中,我们可导出

(3.14) $ \begin{eqnarray} \Phi_3'(t)\geq J_1k_1(t)\int_\Omega u|\nabla v|^p{\rm d}x+J_2k_1(t)\int_\Omega v|\nabla u|^q{\rm d}x-J_3-J_4, \end{eqnarray} $

其中

$ \begin{eqnarray} &&J_1: = 2(1-\frac{2\lambda_2}{p}), {\qquad} J_2: = 2(1-\frac{2\lambda_1}{q}), {} \\ &&J_3: = \frac{2(p-2)}{(\lambda_2\underline{k})^{\frac{2}{p-2}}p}\int_\Omega u_0^{\frac{-2}{p-2}}{\rm d}x, {\quad} J_4: = \frac{2(q-2)}{(\lambda_2\underline{k})^{\frac{2}{q-2}}q}\int_\Omega v_0^{\frac{-2}{q-2}}{\rm d}x.{} \end{eqnarray} $

选取$ \lambda_1, \lambda_2 $充分小使得$ J_1, J_2>0 $.再利用反向Hölder不等式,估计(3.14)式右端第一项和第二项,我们得到

(3.15) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega u|\nabla v|^p{\rm d}x\geq\bigg(\int_\Omega u_0^{-1}{\rm d}x\bigg)^{-1} \bigg(\int_\Omega|\nabla v|^{\frac{p}{2}}{\rm d}x\bigg)^2 \end{eqnarray} $

及

(3.16) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega v|\nabla u|^q{\rm d}x\geq \bigg(\int_\Omega v_0^{-1}{\rm d}x\bigg)^{-1}\bigg(\int_\Omega|\nabla u|^{\frac{q}{2}}{\rm d}x\bigg)^2. \end{eqnarray} $

将(3.15)式和(3.16)式代入到(3.14)式中,我们有

(3.17) $ \begin{eqnarray} \Phi_3'(t)\geq J_5k_1(t) \bigg(\int_\Omega|\nabla v|^{\frac{p}{2}}{\rm d}x\bigg)^2+J_6k_1(t) \bigg(\int_\Omega|\nabla u|^{\frac{q}{2}}{\rm d}x\bigg)^2-J_3-J_4, \end{eqnarray} $

其中

$ J_5: = J_1\bigg(\int_\Omega u_0^{-1}{\rm d}x\bigg)^{-1}, \quad J_6: = J_2\bigg(\int_\Omega v_0^{-1}{\rm d}x\bigg)^{-1}. $

之后,对$ u $和$ v $分别利用$ W_0^{1, \frac{p}{2}}(\Omega) $和$ W_0^{1, \frac{q}{2}}(\Omega) $中的Sobolev嵌入不等式

(3.18) $ \begin{eqnarray} &&\int_\Omega u^{\frac{q}{2}}{\rm d}x\leq C(\Omega, N, q)\int_\Omega|\nabla u|^{\frac{q}{2}}{\rm d}x, \end{eqnarray} $

(3.19) $ \begin{eqnarray} &&\int_\Omega v^{\frac{p}{2}}{\rm d}x\leq C(\Omega, N, p)\int_\Omega|\nabla v|^{\frac{p}{2}}{\rm d}x, \end{eqnarray} $

其中$ C(\Omega, N, p), C(\Omega, N, q) $为Sobolev最优常数.因此,将(3.18)式和(3.19)式代入到(3.17)式中,我们导出

(3.20) $ \begin{eqnarray} \Phi_3'(t)\geq J_7k_1(t)\bigg(\int_\Omega|\nabla v|^{\frac{p}{2}}{\rm d}x\bigg)^2+J_8k_1(t) \bigg(\int_\Omega|\nabla u|^{\frac{q}{2}}{\rm d}x\bigg)^2-J_3-J_4, \end{eqnarray} $

其中

$ J_7: = J_5(C(\Omega, N, p))^{-2}, \quad J_8: = J_6(C(\Omega, N, q))^{-2}. $

最后,利用H$ \ddot{\rm o} $lder不等式

$ \begin{eqnarray} & &\int_\Omega u^2{\rm d}x\leq\bigg(\int_\Omega u^{\frac{q}{2}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{4}{q}}|\Omega|^{\frac{q-4}{q}}, {} \\ &&\int_\Omega v^2{\rm d}x\leq\bigg(\int_\Omega v^{\frac{p}{2}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{4}{p}}|\Omega|^{\frac{p-4}{p}}{} \end{eqnarray} $

和(3.20)式,我们可以算出

(3.21) $ \begin{eqnarray} \Phi_3'(t)\geq J_9k_1(t) \bigg[\bigg(\int_\Omega v^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{2}}+ \bigg(\int_\Omega u^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{q}{2}}\bigg]-J_3-J_4, \end{eqnarray} $

其中$ J_9: = \min{\{J_7|\Omega|^{-\frac{p-4}{2}}, J_8|\Omega|^{-\frac{q-4}{2}}\}} $.

当$ p = q $时,利用不等式$ (a+b)^{\frac{p}{2}}\leq2^{\frac{p}{2}-1}(a^{\frac{p}{2}}+b^{\frac{p}{2}}) $及(3.21)式,我们有

(3.22) $ \begin{eqnarray} \Phi_3'(t)\geq2^{1-\frac{p}{2}}J_9k_1(t)(\Phi_3(t))^{\frac{p}{2}}-J_3-J_4. \end{eqnarray} $

若初值$ (u_0, v_0) $充分大满足

(3.23) $ \begin{eqnarray} \Phi_3(0)>\bigg[\frac{2^{\frac{p}{2}}(J_3+J_4)}{\underline{k} J_9}\bigg]^{\frac{2}{p}}, \end{eqnarray} $

则(3.22)式改写为

(3.24) $ \begin{eqnarray} \Phi_3'(t)\geq2^{-\frac{p}{2}}J_9k_1(t)(\Phi_3(t))^{\frac{p}{2}}. \end{eqnarray} $

显然$ t^\ast\leq T^{k_1} $.对(3.24)式,从$ 0 $到$ t $积分,我们得到

$ \Phi_3(t)\geq\bigg[(\Phi_3(0))^{1-\frac{p}{2}}-\frac{(p-2)J_9}{2^{1+\frac{p}{2}}}\int_0^tk_1(s){\rm d}s\bigg]^{-\frac{2}{p-2}}. $

因此,在$ \Phi_3(t) $测度意义下,问题(1.1)–(1.4)的解在有限时刻$ t^\ast $发生爆破且

$ t^\ast\leq T_1<T^{k_1}, $

其中$ T_1 $满足

(3.25) $ \begin{eqnarray} \int_0^{T_1}k_1(s){\rm d}s = \frac{2^{1+\frac{p}{2}}(\Phi_3(0))^{1-\frac{p}{2}}}{(p-2)J_9}. \end{eqnarray} $

当$ p\neq q $时,不妨设$ p<q $,利用不等式$ b^{\frac{p}{2}}\leq b^{\frac{q}{2}}+C(\frac{p}{2}, \frac{q}{2}) $及(3.21)式,我们导出

(3.26) $ \begin{eqnarray} \Phi_3'(t)&\geq& J_9k_1(t) \bigg[\bigg(\int_\Omega v^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{2}}+ \bigg(\int_\Omega u^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{2}}-C(\frac{p}{2}, \frac{q}{2})\bigg]-J_3-J_4{} \\ &\geq&2^{1-\frac{p}{2}}J_9k_1(t)(\Phi_3(t))^{\frac{p}{2}}-J_9C(\frac{p}{2}, \frac{q}{2})k_1(t)-J_3-J_4. \end{eqnarray} $

若初值$ (u_0, v_0) $充分大满足

(3.27) $ \begin{eqnarray} \Phi_3(0)>\max{\bigg\{3\times2^{\frac{p}{2}-2}C(\frac{p}{2}, \frac{q}{2}), (\frac{3(J_3+J_4)}{2^{1-\frac{p}{2}}\underline{k} J_9})^{\frac{2}{p}}\bigg\}}, \end{eqnarray} $

则(3.26)式改写为

(3.28) $ \begin{eqnarray} 3\Phi_3'(t)\geq2^{1-\frac{p}{2}}J_9k_1(t)(\Phi_3(t))^{\frac{p}{2}}. \end{eqnarray} $

显然$ t^\ast\leq T^{k_1} $.对(3.28)式,从$ 0 $到$ t $积分,我们得到

$ \Phi_3(t)\geq\bigg[(\Phi_3(0))^{1-\frac{p}{2}}-\frac{(p-2)J_9}{3\times2^{1+\frac{p}{2}}}\int_0^tk_1(s){\rm d}s \bigg]^{-\frac{2}{p-2}}. $

因此,在$ \Phi_3(t) $测度意义下,问题(1.1)–(1.4)的解在有限时刻$ t^\ast $发生爆破且

$ t^\ast\leq T_2<T^{k_1}, $

其中$ T_2 $满足

(3.29) $ \begin{eqnarray} \int_0^{T_2}k_1(s){\rm d}s = \frac{3\times2^{\frac{p}{2}}(\Phi_3(0))^{1-\frac{p}{2}}}{(p-2)J_9}. \end{eqnarray} $

定理3.2证毕.

注3.1  显然,若$ k_1(t), k_2(t) $满足$ k_1(t)\geq k_2(t)\geq\underline{k} $且$ k_2(t) $在有限时刻$ T^{k_2} $爆破,则易得与定理$ 3.2 $类似的结论.

注3.2  实际上,我们取$ k_1(t) = (\beta_1-t)^{-\beta_2}, k_2(t) = (\beta_1-t)^{-\beta_2}+1 $$ (\beta_1, \beta_2>0) $且$ \underline{k} = {\beta_{1}}^{-\beta_2}, $则在定理$ 3.2 $的条件下,对$ p = q $和$ p<q $,我们可以算出

$ T_1 = \beta_1-\bigg[\beta_1^{1-\beta_2}+\frac{2^{1+\frac{p}{2}}(1-\beta_2)(\Phi_3(0))^{1-\frac{p}{2}}}{(p-2)J_9}\bigg]^{\frac{1}{1-\beta_2}} $

及

$ T_2 = \beta_1-\bigg[\beta_1^{1-\beta_2}+\frac{3\times2^{\frac{p}{2}}(1-\beta_2)(\Phi_3(0))^{1-\frac{p}{2}}}{(p-2)J_9}\bigg]^{\frac{1}{1-\beta_2}}. $

紧接着,不同于定理3.2中的测度$ \Phi_3(t) $,我们在加权测度意义下给出爆破时间下界的估计.

定理3.3  令$ \Omega $为$ {{\Bbb R}} ^N(N\geq2) $中的有界区域,假设$ (u, v) $是问题(1.1)–(1.4)的古典解,非负初值$ (u_0, v_0)\in C^2(\Omega)\times C^2(\Omega) $且对于任意$ x\in\Omega $,满足$ \Delta u_0+\underline{k}|\nabla v_0|^p\geq0 $及$ \Delta v_0+\underline{k}|\nabla u_0|^q\geq0 $,有界正时变系数$ k_1(t), k_2(t) $以及非负梯度源函数$ f, g $分别满足如下条件

(K$ _1) $  存在$ \xi_i>0, $使得$ \frac{k_i'(t)}{k_i(t)}\geq-\xi_i, \quad t>0, \; \;i = 1, 2 $;

(H$ _{5} $)  $ f(|\nabla v|)\geq|\nabla v|^p, \quad g(|\nabla u|)\geq|\nabla u|^q, \quad 4\leq p, q\leq2N $.

定义辅助函数

$ \Phi_4(t): = k_1(t)\int_\Omega u^n{\rm d}x+k_2(t)\int_\Omega v^n{\rm d}x, \quad 2\leq n\leq\min{\bigg\{\frac{p}{2}, \frac{q}{2}\bigg\}}. $

如果$ \int_\Omega(u_0(x))^{-1}{\rm d}x<\infty, \int_\Omega(v_0(x))^{-1}{\rm d}x<\infty $且对$ p = q $及$ p<q $ (或$ q<p), $充分大的初值$ (u_0, v_0) $分别满足$ (3.42) $式及$ (3.45) $式,则在$ \Phi_4(t) $测度意义下,问题(1.1)–(1.4)的解$ (u, v) $在有限时刻发生爆破,且爆破时间上界为

$ t^\ast\leq\frac{3n(\Phi_4(0))^{1-\frac{p}{n}}}{(p-n)M_{11}}, $

其中$ \Phi_4(0) = k_1(0)\int_\Omega u_0^n{\rm d}x+k_2(0)\int_\Omega v_0^n{\rm d}x, $$ M_{11} $是下面证明过程中给出的正常数.

证  令$ M_1: = \max{\{\xi_1, \xi_2\}} $.对$ \Phi_4(t) $求导并利用(1.1)–(1.3)式,条件(K$ _1 $)和(H$ _5) $以及Green公式,我们有

(3.30) $ \begin{eqnarray} \Phi_4'(t)& = &k_1'(t)\int_\Omega u^n{\rm d}x+nk_1(t)\int_\Omega u^{n-1}(\Delta u+k_1(t)f(|\nabla v|)){\rm d}x{} \\ &&+k_2'(t)\int_\Omega v^n{\rm d}x+nk_2(t)\int_\Omega v^{n-1}(\Delta v+k_2(t)g(|\nabla u|)){\rm d}x{} \\ &\geq&-M_1\Phi_4(t)-n(n-1)k_1(t)\int_\Omega u^{n-2}|\nabla u|^2{\rm d}x+n(k_1(t))^2\int_\Omega u^{n-1}|\nabla v|^p{\rm d}x{} \\ &&-n(n-1)k_2(t)\int_\Omega v^{n-2}|\nabla v|^2{\rm d}x+n(k_2(t))^2\int_\Omega v^{n-1}|\nabla u|^q{\rm d}x. \end{eqnarray} $

下面,我们估计(3.30)式右端第二项和第四项.利用Hölder不等式和Young不等式,我们得到

(3.31) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega u^{n-2}|\nabla u|^2{\rm d}x& = &\int_\Omega v^{\frac{2(n-1)}{q}}|\nabla u|^2u^{n-2}v^{-\frac{2(n-1)}{q}}{\rm d}x{} \\ &\leq&\bigg(\int_\Omega v^{n-1}|\nabla u|^q{\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{q}} \bigg(\int_\Omega u^{\frac{q(n-2)}{q-2}}v^{-\frac{2(n-1)}{q-2}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{q-2}{q}}{} \\ &\leq&\frac{2\gamma_1}{q}\int_\Omega v^{n-1}|\nabla u|^q{\rm d}x+\frac{q-2}{\gamma_1^{\frac{2}{q-2}}q}\int_\Omega u^{\frac{q(n-2)}{q-2}}v^{-\frac{2(n-1)}{q-2}}{\rm d}x \end{eqnarray} $

及

(3.32) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega v^{n-2}|\nabla v|^2{\rm d}x\leq\frac{2\gamma_2}{p}\int_\Omega u^{n-1}|\nabla v|^p{\rm d}x+\frac{p-2}{\gamma_2^{\frac{2}{p-2}}p}\int_\Omega v^{\frac{p(n-2)}{p-2}}u^{-\frac{2(n-1)}{p-2}}{\rm d}x, \end{eqnarray} $

其中$ \gamma_1, \gamma_2 $是待定的正常数.将(3.31)式和(3.32)式代入到(3.30)式中,我们可导出

(3.33) $ \begin{eqnarray} \Phi_4'(t)&\geq&-M_1\Phi_4(t)+M_2k_2(t)\int_\Omega u^{n-1}|\nabla v|^p{\rm d}x+M_3k_1(t)\int_\Omega v^{n-1}|\nabla u|^q{\rm d}x{} \\ && -M_4k_1(t)\int_\Omega u^{\frac{q(n-2)}{q-2}}v^{-\frac{2(n-1)}{q-2}}{\rm d}x-M_5k_2(t)\int_\Omega v^{\frac{p(n-2)}{p-2}}u^{-\frac{2(n-1)}{p-2}}{\rm d}x, \end{eqnarray} $

其中

$ \begin{eqnarray} & &M_2: = \min\limits_{0\leq t<t^\ast}\frac{n(k_1(t))^2}{k_2(t)}-\frac{2\gamma_2n(n-1)}{p}, {\quad} M_3: = \min\limits_{0\leq t<t^\ast}\frac{n(k_2(t))^2}{k_1(t)}-\frac{2\gamma_1n(n-1)}{q}, {} \\ &&M_4: = \frac{(q-2)n(n-1)}{\gamma_1^{\frac{2}{q-2}}q}, {\quad} M_5: = \frac{(p-2)n(n-1)}{\gamma_2^{\frac{2}{p-2}}p}.{} \end{eqnarray} $

我们选取$ \gamma_1, \gamma_2 $充分小使得$ M_2, M_3>0. $

另一方面,由初值$ (u_0, v_0) $的条件及极值原理易知,问题(1.1)–(1.4)的解关于时间的单调非减性.因此,再利用H$ \ddot{\rm o} $lder不等式和Young不等式,估计(3.33)式右端最后两项,我们可以算出

(3.34) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega u^{\frac{q(n-2)}{q-2}}v^{-\frac{2(n-1)}{q-2}}{\rm d}x &\leq&\bigg(\int_\Omega u^n{\rm d}x\bigg)^{\frac{q(n-2)}{n(q-2)}} \bigg(\int_\Omega v^{-\frac{n(n-1)}{q-n}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2(q-n)}{n(q-2)}}{} \\ &\leq&\frac{q(n-2)}{n(q-2)}\int_\Omega u^n{\rm d}x+\frac{2(q-n)}{n(q-2)}\int_\Omega v^{-\frac{n(n-1)}{q-n}}{\rm d}x{} \\ &\leq&\frac{q(n-2)}{n(q-2)}\int_\Omega u^n{\rm d}x+\frac{2(q-n)}{n(q-2)}\int_\Omega v_0^{-\frac{n(n-1)}{q-n}}{\rm d}x \end{eqnarray} $

及

(3.35) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega v^{\frac{p(n-2)}{p-2}}u^{-\frac{2(n-1)}{p-2}}{\rm d}x\leq\frac{p(n-2)}{n(p-2)}\int_\Omega v^n{\rm d}x+\frac{2(p-n)}{n(p-2)}\int_\Omega u_0^{-\frac{n(n-1)}{p-n}}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

将(3.34)式和(3.35)式代入到(3.33)式中,我们得到

(3.36) $ \begin{eqnarray} \Phi_4'(t)&\geq&-(M_1+M_6)\Phi_4(t)+M_2k_2(t)\int_\Omega u^{n-1}|\nabla v|^p{\rm d}x{} \\ && +M_3k_1(t)\int_\Omega v^{n-1}|\nabla u|^q{\rm d}x-k_1(t)M_7-k_2(t)M_8, \end{eqnarray} $

其中

$ \begin{eqnarray} &&M_6: = \max{\bigg\{M_4\frac{q(n-2)}{n(q-2)}, M_5\frac{p(n-2)}{n(p-2)}\bigg\}}, {} \\ &&M_7: = M_4\frac{2(q-n)}{n(q-2)}\int_\Omega v_0^{-\frac{n(n-1)}{q-n}}{\rm d}x, {} \\ &&M_8: = M_5\frac{2(p-n)}{n(p-2)}\int_\Omega u_0^{-\frac{n(n-1)}{p-n}}{\rm d}x.{} \end{eqnarray} $

再利用H$ \ddot{\rm o} $lder不等式,估计(3.36)式右端第二项和第三项,我们有

(3.37) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega u^{n-1}|\nabla v|^p{\rm d}x\geq \bigg(\int_\Omega u_0^{-(n-1)}{\rm d}x\bigg)^{-1}\bigg(\int_\Omega|\nabla v|^{\frac{p}{2}}{\rm d}x\bigg)^2 \end{eqnarray} $

及

(3.38) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega v^{n-1}|\nabla u|^q{\rm d}x\geq \bigg(\int_\Omega v_0^{-(n-1)}{\rm d}x\bigg)^{-1}\bigg(\int_\Omega|\nabla u|^{\frac{q}{2}}{\rm d}x\bigg)^2. \end{eqnarray} $

将(3.37)式和(3.38)式代入到(3.36)式且由(3.18)式和(3.19)式,我们可导出

(3.39) $ \begin{eqnarray} \Phi_4'(t)&\geq& M_9\bigg[k_1(t) \bigg(\int_\Omega u^{\frac{q}{2}}{\rm d}x\bigg)^2+k_2(t)\bigg(\int_\Omega v^{\frac{p}{2}}{\rm d}x\bigg)^2\bigg]{} \\ &&-(M_1+M_6)\Phi_4(t)-k_1(t)M_7-k_2(t)M_8, \end{eqnarray} $

其中

$ M_9: = \min{\bigg\{\frac{M_2}{\int_\Omega u_0^{-(n-1)}{\rm d}x}, \frac{M_3}{\int_\Omega v_0^{-(n-1)}{\rm d}x} \bigg\}}\times\min{\{(C(\Omega, N, p))^{-2}, (C(\Omega, N, q))^{-2}\}}. $

最后,利用H$ \ddot{\rm o} $lder不等式

$ \begin{eqnarray*} && \int_\Omega u^n{\rm d}x\leq\bigg(\int_\Omega u^{\frac{q}{2}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2n}{q}}|\Omega|^{\frac{q-2n}{q}}, \\ && \int_\Omega v^n{\rm d}x\leq\bigg(\int_\Omega v^{\frac{p}{2}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2n}{p}}|\Omega|^{\frac{p-2n}{p}} \end{eqnarray*} $

和(3.39)式,我们得到

(3.40) $ \begin{eqnarray} \Phi_4'(t)&\geq &M_{10} \bigg [k_1(t)\bigg(\int_\Omega u^n{\rm d}x\bigg)^{\frac{q}{n}}+k_2(t) \bigg(\int_\Omega v^n{\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{n}}\bigg]{} \\ && -(M_1+M_6)\Phi_4(t)-k_1(t)M_7-k_2(t)M_8{} \\ & = &M_{10} \bigg[\bigg((k_1(t))^{\frac{n}{q}}\int_\Omega u^n{\rm d}x\bigg)^{\frac{q}{n}}+ \bigg((k_2(t))^{\frac{n}{p}}\int_\Omega v^n{\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{n}} \bigg]{} \\ &&-(M_1+M_6)\Phi_4(t)-k_1(t)M_7-k_2(t)M_8, \end{eqnarray} $

其中$ M_{10}: = M_9\min{\{|\Omega|^{-\frac{p-2n}{n}}, |\Omega|^{-\frac{q-2n}{n}}\}} $.

当$ p = q $时,利用不等式$ (a+b)^{\frac{p}{n}}\leq2^{\frac{p}{n}-1}(a^{\frac{p}{n}}+b^{\frac{p}{n}}) $及(3.40)式,我们有

(3.41) $ \begin{eqnarray} \Phi_4'(t)&\geq&2^{1-\frac{p}{n}}M_{10} \bigg[(k_1(t))^{\frac{n}{q}}\int_\Omega u^n{\rm d}x+(k_2(t))^{\frac{n}{p}}\int_\Omega v^n{\rm d}x\bigg]^{\frac{p}{n}}{} \\ && -(M_1+M_6)\Phi_4(t)-k_1(t)M_7-k_2(t)M_8{} \\ &\geq &M_{11}(\Phi_4(t))^{\frac{p}{n}}-(M_1+M_6)\Phi_4(t)-k_1(t)M_7-k_2(t)M_8, \end{eqnarray} $

其中

$ M_{11}: = 2^{1-\frac{p}{n}}M_{10}\min\limits_{0\leq t<t^\ast}{\{(k_2(t))^{\frac{n}{p}-1}, (k_1(t))^{\frac{n}{q}-1}\}}. $

若初值$ (u_0, v_0) $充分大满足

(3.42) $ \begin{eqnarray} \Phi_4(0)>\max{\bigg\{ \bigg(\frac{3(M_1+M_6)}{M_{11}}\bigg)^{\frac{n}{p-n}}, \max\limits_{0\leq t<t^\ast} \bigg(\frac{3(k_1(t)M_7+k_2(t)M_8)}{M_{11}}\bigg)^{\frac{n}{p}}\bigg\}}, \end{eqnarray} $

则(3.41)式改写为

(3.43) $ \begin{eqnarray} \Phi_4'(t)\geq\frac{M_{11}}{3}(\Phi_4(t))^{\frac{p}{n}}. \end{eqnarray} $

当$ p\neq q $时,不妨设$ p<q $,利用不等式$ b^{\frac{p}{n}}\leq b^{\frac{q}{n}}+C(\frac{p}{n}, \frac{q}{n}) $及(3.40)式,我们导出

(3.44) $ \begin{eqnarray} \Phi_4'(t)&\geq &M_{10} \bigg[\bigg((k_1(t))^{\frac{n}{q}}\int_\Omega u^n{\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{n}} +\bigg((k_2(t))^{\frac{n}{p}}\int_\Omega v^n{\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{n}}-C(\frac{p}{n}, \frac{q}{n})\bigg]{} \\ && -(M_1+M_6)\Phi_4(t)-k_1(t)M_7-k_2(t)M_8{} \\ &\geq&2^{1-\frac{p}{n}}M_{10}((k_1(t))^{\frac{n}{q}}\int_\Omega u^n{\rm d}x+(k_2(t))^{\frac{n}{p}}\int_\Omega v^n{\rm d}x)^{\frac{p}{n}}{} \\ && -(M_1+M_6)\Phi_4(t)-k_1(t)M_7-k_2(t)M_8-M_{10}C(\frac{p}{n}, \frac{q}{n}){} \\ &\geq &M_{11}(\Phi_4(t))^{\frac{p}{n}}-(M_1+M_6)\Phi_4(t)-k_1(t)M_7-k_2(t)M_8-M_{10}C(\frac{p}{n}, \frac{q}{n}). \end{eqnarray} $

若初值$ (u_0, v_0) $充分大满足

(3.45) $ \begin{equation} \Phi_4(0)>\max{ \bigg\{\bigg(\frac{3(M_1+M_6)}{M_{11}}\bigg)^{\frac{n}{p-n}}, \max\limits_{0\leq t<t^\ast}\bigg(\frac{3(k_1(t)M_7+k_2(t)M_8) +M_{10}C(\frac{p}{n}, \frac{q}{n})}{M_{11}}\bigg)^{\frac{n}{p}}\bigg\}}, \end{equation} $

则(3.44)式改写为(3.43)式且从$ 0 $到$ t $积分,我们得到

$ \Phi_4(t)\geq\bigg[(\Phi_4(0))^{1-\frac{p}{n}}-\frac{(p-n)M_{11}}{3n}t\bigg]^{\frac{n}{n-p}}. $

因此,在$ \Phi_4(t) $测度意义下,问题(1.1)–(1.4)的解在有限时刻$ t^\ast $发生爆破且

$ t^\ast\leq\frac{3n(\Phi_4(0))^{1-\frac{p}{n}}}{(p-n)M_{11}}. $

定理3.3证毕.

总之,前述的定理3.1–3.3中我们给出了在适当的测度意义下具有充分大初值的问题(1.1)–(1.4)的解发生爆破的充分条件及爆破时间的上界估计值.然而,如果我们在(1.1)式和(1.2)式的右端分别加上某个正常数$ \sigma_1, \sigma_2 $,把(1.1)式和(1.2)式分别改写为

$ u_t = \Delta u + k_1(t)f(|\nabla v|)+\sigma_1, \quad (x, t)\in\Omega\times(0, T_1^\ast), \;\;\;\;\;\;(1.1)' $

$ v_t = \Delta v + k_2(t)g(|\nabla u|)+\sigma_2, \quad (x, t)\in\Omega\times(0, T_1^\ast), \;\;\;\;\;\;(1.2)' $

其中$ T_1^\ast $表示可能发生爆破的时间,则我们可得到具有任意不恒为零的非负初值的问题$ (1.1)', $$ (1.2)' $及(1.3), (1.4)解的爆破规则.

定理3.4  令$ \Omega $和$ \varphi(x) $与定理$ 3.1 $中的完全一样.假设$ (u, v) $是问题$ (1.1)', $$ (1.2)' $及$ (1.3), (1.4) $的非负古典解.如果$ u_0\geq0, v_0\geq0 $且不恒为零,则对于充分大的$ \sigma_1 $和$ \sigma_2 $, $ (u, v) $在$ \Phi_2(t) $测度意义下发生爆破且爆破时间的上界为

$ T_1^\ast\leq\frac{(\Phi_2(0))^{1-p}}{I_3(p-1)}, $

其中$ I_3 $是定理$ 3.1 $中定义的正常数.

证  类似于定理3.1的证明过程,对$ p = q $及$ p<q $,我们可得到不等式

(3.46) $ \begin{eqnarray} \Phi_2'(t)\geq I_3(\Phi_2(t))^p+(\sigma_1+\sigma_2)\int_\Omega\varphi(x){\rm d}x-I_1-I_2 \end{eqnarray} $

及

(3.47) $ \begin{eqnarray} \Phi_2'(t)\geq I_3(\Phi_2(t))^p+(\sigma_1+\sigma_2)\int_\Omega\varphi(x){\rm d}x-I_1-I_2-I_4, \end{eqnarray} $

其中$ I_1, I_2, I_3, I_4 $是定理3.1中定义的正常数.

下面,我们选取$ \sigma_1, \sigma_2 $充分大使得$ \sigma_1+\sigma_2\geq\frac{I_1+I_2+I_4}{\int_\Omega\varphi(x){\rm d}x}, $则(3.46)式和(3.47)式均改写为

(3.48) $ \begin{eqnarray} \Phi_2'(t)\geq I_3(\Phi_2(t))^p. \end{eqnarray} $

最后,对(3.48)式从$ 0 $到$ t $积分,我们可得出$ (u, v) $在$ \Phi_2(t) $测度意义下在有限时刻$ T_1^\ast $发生爆破且

$ T_1^\ast\leq\frac{(\Phi_2(0))^{1-p}}{I_3(p-1)}. $

定理3.4证毕.

如果我们将(1.1)式和(1.2)式中的粘性项$ \Delta u $和$ \Delta v $分别替换成$ {\rm div}(a_1(x)\nabla u) $和$ {\rm div}(a_2(x)\nabla v) $,把(1.1)式和(1.2)式分别改写为

$ u_t = {\rm div}(a_1(x)\nabla u) + k_1(t)f(|\nabla v|), \quad (x, t)\in\Omega\times(0, T_2^\ast), \;\;\;\;\;\;(1.1)'' $

$ v_t = {\rm div}(a_2(x)\nabla v) + k_2(t)g(|\nabla u|), \quad (x, t)\in\Omega\times(0, T_2^\ast), \;\;\;\;\;\;(1.2)'' $

其中$ T_2^\ast $表示可能发生爆破的时间.下面,我们对扩散系数$ a_1(x), a_2(x) $给出适当的条件,导出问题$ (1.1)'', (1.2)'' $及(1.3), (1.4)在新的加权测度意义下的爆破现象.

定理3.5  令$ \Omega $为$ {{\Bbb R}} ^N(N\geq3) $中的有界区域.假设$ (u, v) $是问题$ (1.1)'', (1.2)'' $及$ (1.3), (1.4) $的非负古典解,时变系数$ k_1(t) $和$ k_2(t) $为有界正函数,非负梯度源函数$ f $和$ g $满足$ \rm{(H_3)} $,扩散系数$ a_1(x), a_2(x)\in C^0(\bar\Omega)\cap C^1(\Omega) $为非负凸函数且满足下列条件

(a$ _{1} $)  $ s(x, t)\nabla a_j(x)\leq a_j(x)\nabla s(x, t)\Leftrightarrow s(x, t)\frac{\partial a_j(x)}{\partial x_i}\leq a_j(x) \frac{\partial s(x, t)}{\partial x_i}, \; j = 1, 2, \; x\in\Omega $,

其中$ s(x, t)\in C^1(\Omega) $且$ \nabla s(x, t)\neq0 $为任意非负函数.同时,定义辅助函数

$ \Phi_5(t): = \int_\Omega a_1(x)u+a_2(x)v{\rm d}x. $

如果充分大的初值$ (u_0, v_0) $满足$ (3.56) $式,则在$ \Phi_5(t) $测度意义下,问题$ (1.1)'', (1.2)'' $及$ (1.3), (1.4) $的解$ (u, v) $在有限时刻发生爆破且爆破时间的上界为

$ T_2^\ast\leq\frac{2(\Phi_5(0))^{-1}}{G_3}, $

其中$ \Phi_5(0) = \int_\Omega a_1(x)u_0+a_2(x)v_0{\rm d}x $, $ G_3 $是下面证明过程中给出的正常数.

证  对$ \Phi_5(t) $求导并利用$ (1.1)'' $式, $ (1.2)'' $式和(1.3)式,条件(H$ _3) $以及Green公式,我们有

(3.49) $ \begin{eqnarray} \Phi_5'(t)&\geq&\int_\Omega a_1(x){\rm div}(a_1(x)\nabla u){\rm d}x+\int_\Omega a_2(x){\rm div}(a_2(x)\nabla v){\rm d}x {} \\ && +\underline{k}\int_\Omega a_2(x)|\nabla u|^q{\rm d}x+\underline{k}\int_\Omega a_1(x)|\nabla v|^p{\rm d}x{} \\ & = &-\frac{1}{2}\int_\Omega\nabla(a_1(x))^2\cdot\nabla u{\rm d}x-\frac{1}{2}\int_\Omega\nabla(a_2(x))^2\cdot\nabla v{\rm d}x {} \\ && +\underline{k}\int_\Omega a_2(x)|\nabla u|^q{\rm d}x+\underline{k}\int_\Omega a_1(x)|\nabla v|^p{\rm d}x{} \\ & = &\int_\Omega u(a_1a_1''+(a_1')^2){\rm d}x+\int_\Omega v(a_2a_2''+(a_2')^2){\rm d}x {} \\ && +\underline{k}\int_\Omega a_2(x)|\nabla u|^q{\rm d}x+\underline{k}\int_\Omega a_1(x)|\nabla v|^p{\rm d}x{} \\ &\geq&\underline{k}\int_\Omega a_2(x)|\nabla u|^q{\rm d}x+\underline{k}\int_\Omega a_1(x)|\nabla v|^p{\rm d}x. \end{eqnarray} $

下面,对(3.49)式不等号右端最后两项,利用反向H$ \ddot{\rm o} $lder不等式和Young不等式,我们得到

(3.50) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega a_2(x)|\nabla u|^q{\rm d}x&\geq& \bigg(\int_\Omega(a_1(x))^2|\nabla u|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{q}{2}} \bigg (\int_\Omega(a_1(x))^{-\frac{2q}{q-2}}(a_2(x))^{\frac{-2}{q-2}}{\rm d}x\bigg)^{-\frac{q-2}{2}}{} \\ &\geq&\frac{q}{2}\int_\Omega(a_1(x))^2|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{q-2}{2}\int_\Omega(a_1(x))^{-\frac{2q}{q-2}}(a_2(x))^{\frac{-2}{q-2}}{\rm d}x \end{eqnarray} $

及

(3.51) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega a_1(x)|\nabla v|^p{\rm d}x\geq\frac{p}{2}\int_\Omega(a_2(x))^2|\nabla v|^2{\rm d}x-\frac{p-2}{2}\int_\Omega(a_1(x))^{-\frac{-2}{p-2}}(a_2(x))^{\frac{2p}{p-2}}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

然后,利用条件(a$ _1 $),我们有

(3.52) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega|\nabla(a_1(x)u)|^2{\rm d}x& = &\int_\Omega(a_1(x))^2|\nabla u|^2+u^2|\nabla a_1(x)|^2+2a_1(x)u\nabla a_1(x)\cdot\nabla u{\rm d}x{} \\ &\leq&4\int_\Omega(a_1(x))^2|\nabla u|^2{\rm d}x \end{eqnarray} $

及

(3.53) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega|\nabla(a_2(x)v)|^2{\rm d}x\leq4\int_\Omega(a_2(x))^2|\nabla v|^2{\rm d}x. \end{eqnarray} $

因此,将(3.50)–(3.53)式代入到(3.49)式中,我们可导出

(3.54) $ \begin{eqnarray} \Phi_5'(t)\geq\frac{\underline{k}q}{8}\int_\Omega|\nabla(a_1(x)u)|^2{\rm d}x+\frac{\underline{k}p}{8}\int_\Omega|\nabla(a_2(x)v)|^2{\rm d}x-G_1-G_2, \end{eqnarray} $

其中

$ \begin{eqnarray} &&G_1: = \frac{\underline{k}(p-2)}{2}\int_\Omega(a_1(x))^{-\frac{-2}{p-2}}(a_2(x))^{\frac{2p}{p-2}}{\rm d}x, {} \\ &&G_2: = \frac{\underline{k}(q-2)}{2}\int_\Omega(a_1(x))^{-\frac{2q}{q-2}}(a_2(x))^{\frac{-2}{q-2}}{\rm d}x.{} \end{eqnarray} $

最后,利用$ W_0^{1, 2}(\Omega) $中的Sobolev嵌入不等式

$ \begin{eqnarray} &&\int_\Omega a_1(x)u{\rm d}x\leq C(\Omega, N, 1, 2) \bigg(\int_\Omega|\nabla(a_1(x)u)|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}, {} \\ &&\int_\Omega a_2(x)v{\rm d}x\leq C(\Omega, N, 1, 2) \bigg(\int_\Omega|\nabla(a_2(x)v)|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}, {} \end{eqnarray} $

其中$ C(\Omega, N, 1, 2) $为最优常数,则(3.54)式改写为

(3.55) $ \begin{eqnarray} \Phi_5'(t)\geq G_3(\Phi_5(t))^2-G_1-G_2, \end{eqnarray} $

其中$ G_3: = \frac{\underline{k}(C(\Omega, N, 1, 2))^{-2}\min{\{p, q}\}}{16} $.若初值$ (u_0, v_0) $充分大满足

(3.56) $ \begin{eqnarray} \Phi_5(0)>\bigg[\frac{2(G_1+G_2)}{G_3}\bigg]^{\frac{1}{2}}, \end{eqnarray} $

则(3.55)式改写为

(3.57) $ \begin{eqnarray} \Phi_5'(t)\geq\frac{G_3}{2}(\Phi_5(t))^2. \end{eqnarray} $

对(3.57)式,从$ 0 $到$ t $积分,我们得到

$ \Phi_5(t)\geq\bigg[(\Phi_5(0))^{-1}-\frac{G_3}{2}t\bigg]^{-1}. $

因此,在$ \Phi_5(t) $测度意义下,问题$ (1.1)''(1.2)'' $和(1.3)(1.4)的解在有限时刻$ T_2^\ast $发生爆破且

$ T_2^\ast\leq\frac{2(\Phi_5(0))^{-1}}{G_3}. $

定理3.5证毕.

本节中,我们通过构造爆破上解的方法来估计问题(1.1)–(1.4)爆破解的爆破时间的下界.

定理4.1  假设$ (u, v) $是问题(1.1)–(1.4)的古典解,时变系数$ k_1(t) $和$ k_2(t) $为有界正函数,非负梯度源函数$ f $和$ g $满足如下条件:

(H$ _{6} $)  $ f(|\nabla v|)\leq|\nabla v|^p, \quad g(|\nabla u|)\leq|\nabla u|^q, \quad p, q>2, $

则在$ L^\infty $ -模意义下得到爆破时间的下界

$ t^\ast\geq\frac{1}{\alpha_2e^{\alpha_1}}, $

其中$ \alpha_1, \alpha_2 $是下面证明过程中给出的正常数.

证  我们构造函数

$ \overline{u} = \overline{v}: = \ln\frac{1}{e^{-\alpha_1}-\alpha_2t}, \quad 0<t<\frac{1}{\alpha_2e^{\alpha_1}}, $

其中$ { } \alpha_1: = \max{\{\max_{x\in\overline{\Omega}}u_0(x), \max_{x\in\overline{\Omega}}v_0(x)\}}, $$ \alpha_2 $为任意正常数.直接计算可知$ (\overline{u}, \overline{v}) $是问题(1.1)–(1.4)的上解且由比较原理易得到$ (u, v) $爆破时间的下界为

$ t^\ast\geq\frac{1}{\alpha_2e^{\alpha_1}}. $

定理4.1证毕.

注4.1  令$ \overline{u} = \overline{v}: = \frac{1}{\alpha_1-\alpha_2t}, $$ 0<t<\frac{\alpha_1}{\alpha_2}, $也可以得到问题(1.1)–(1.4)解的爆破时间下界

$ t^\ast\geq\frac{\alpha_1}{\alpha_2}, $

其中$ \alpha_1: = \frac{1}{\max{\{\max\limits_{x\in\overline{\Omega}}u_0(x), \max\limits_{x\in\overline{\Omega}}v_0(x)}\}}, $$ \alpha_2 $为任意正常数.