数学物理学报, 2020, 40(3): 725-734 doi:

论文

一类p-Laplacian方程解的存在性与对称性研究

钱红丽, 黄小涛,

A Symmetry Result for a Class of p-Laplace Involving Baouendi-Grushin Operators via Constrained Minimization Method

Qian Hongli, Huang Xiaotao,

通讯作者: 黄小涛, E-mail: xiaotao huang2008@hotmail.com

收稿日期: 2019-06-11  

基金资助: 南京航空航天大学青年科技创新基金.  NS2019044
南京航空航天大学研究生创新基地(实验室)开放基金.  KFJJ20180803

Received: 2019-06-11  

Fund supported: the Nanjing University of Aeronautics and Astronautics Youth Technology Innovation Fund.  NS2019044
the Foundation of the Graduate Innovation Center, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics.  KFJJ20180803

摘要

该文研究一类含Baouendi-Grushin算子的p-Laplace方程解的存在性与对称性问题.通过重排方程对应的极小化约束泛函,得到此泛函关于某点中心对称的最小极值,从而获得方程正解的一些存在性和对称性结果.此结论推广了经典p-Laplace方程和Baouendi-Grushin型Laplace方程的相关结果.

关键词: p-Laplace方程 ; Baouendi-Grushin算子 ; 存在性和对称性 ; 重排 ; 约束最小化方法

Abstract

The purpose of this paper is to investigate a spacial p-Laplace equation involving Baouendi-Grushin operators. Some existence and symmetry results for positive solutions are obtained by rearrangement of its corresponding constrained minimization. These results are in accordance with those for the classical p-Laplace equations and the Baouendi-Grushin type sub-Laplacian equations.

Keywords: p-Laplace equations ; Baouendi-Grushin operators ; Existence and symmetry ; rearrangement ; Constrained minimization method

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本文引用格式

钱红丽, 黄小涛. 一类p-Laplacian方程解的存在性与对称性研究. 数学物理学报[J], 2020, 40(3): 725-734 doi:

Qian Hongli, Huang Xiaotao. A Symmetry Result for a Class of p-Laplace Involving Baouendi-Grushin Operators via Constrained Minimization Method. Acta Mathematica Scientia[J], 2020, 40(3): 725-734 doi:

1 引言

近年来,诸多学者对$ p $-Laplace方程进行广泛的研究.本文讨论一类推广情形

$ \begin{equation} {\rm div}\big(|A\nabla u|^{p-2}A\nabla u \big) = f(x), \end{equation} $

其中$ 1<p<\infty $, $ A = \{a_{ij}(x)\}_{n\times n} $为对称矩阵且满足一致椭圆条件

$ \begin{equation} \lambda|\xi|^2\leq A(x)\xi\cdot\xi\leq \Lambda|\xi|^2 \end{equation} $

对任意$ \xi, x\in R^n $及常数$ 0<\lambda<\Lambda<\infty $成立.此类偏微分方程一般来自几何、调和映射、流体动力学等方面,其理论已被广泛研究. Ladyzhenskaja和Ural'tzeva在文献[1]中利用DeGiorgi迭代[2]的方法证明了方程(1.1)的弱解是H$ \ddot{\mbox{o}} $lder连续的. Serrin[3]和Trudinger[4]通过Moser迭代[5]证明了方程的非负解满足Harnack原理.文献[6-7]等证明了具有不连续系数的一般$ p $-Laplace方程解的正则性问题.在本文中,我们研究一类含Baouendi-Grushin算子的$ p $-Laplace方程

其中$ z = (x, y)\in {{\Bbb R}}^n\times {{\Bbb R}}^m = {{\Bbb R}}^N $, $ 1<p<+\infty $. Baouendi-Grushin向量场$ \nabla_G $定义为(参见文献[8])

则Baouendi-Grushin型sub-Laplace算子定义为

$ \begin{equation} \Delta_Gu = \nabla_G\cdot\nabla_G(u(x)) = \Delta _xu+|x|^{2{\gamma}}\Delta _yu = \bigg(\begin{array}{cc} I_{n\times n}{\quad}&0\\ 0{\quad}&|x|^{2\gamma}*I_{m\times m} \end{array}\bigg)\bigg(D_{ij}u \bigg), \end{equation} $

其中$ \Delta_x $$ \Delta_y $分别表示$ {{\Bbb R}}^n $$ {{\Bbb R}}^m $空间上的一般Laplacian算子.当$ x\neq0 $时,算子满足一致椭圆条件;当$ x = 0 $时,算子是退化的.近年来,关于Baouendi-Grushin算子(1.3)已有大量研究. Jerison和Lee在文献[9]中研究了含Baouendi-Grushin算子的$ p $-Laplace方程

$ \begin{equation} \Delta_Gu = \Delta _xu+|x|^{2{\gamma}}\Delta _yu = f(x, y) \end{equation} $

与Cauchy-Riemann Yamabe问题的关系. Monti和Morbidelli在文献[10]中研究了临界半线性Baouendi-Grushin方程,并通过kelvin变换给出了对称性结果.在文献[11]中, Ferrari和Valdinoci证明了几何Sobolev-Poincaré不等式以及Grushin平面中稳定解的一些对称结果.有关更多详细信息请参见文献[12]和[13].通过使用Carnot-Caratheodory度量, Franchi在文献[14]中证明了加权Sobolev-Poincare不等式、Harnack不等式和弱解的$ C^\alpha $估计.最近,在文献[15]中,王证明了方程(1.4)解的$ C^{2, \alpha}_* $正则性估计.宋、王等人在文献[16]得到了方程解的最佳梯度估计. $ p $-Laplace型Baouendi-Grushin算子定义为

$ \begin{equation} \Delta _G^p[u]: = \nabla_{G}(|\nabla_{G} u|^{p-2}\nabla_{G } u). \end{equation} $

$ \{(x, y):x\neq0\} $的区域上,此算子可以看成是经典的$ p $-Laplace算子;而在$ \{(x, y):x = 0\} $区域附近时,算子是退化($ p>2 $)或奇异的($ 1<p<2 $).在文献[8]中, Kombe证明了带Baouendi-Grushin算子的非线性抛物$ p $-Laplace方程正解的一些存在性结果.在文献[17]中,黄、马和王研究了$ p $-Laplace型Baouendi-Grushin方程解的梯度估计.

在本文中,我们研究带Baouendi-Grushin算子的Schrödinger型$ p $-Laplace方程

$ \begin{equation} -\Delta _G^pu+\mu u = \lambda |u|^{q-1}u, \; \; \lambda>0, \mu>0. \end{equation} $

为了利用约束最小化方法研究方程(1.6),我们需要引入一类新的Sobolev空间

本文的主要存在性和对称性结果如下:

定理1.1  令$ Q = n+(1+\gamma)m, 1<p<Q $$ p^* = \frac{Qp}{Q-p}-1 $.$ q\in(1, p^*) $时,方程(1.6)存在一个对称的正解$ u\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N) $.

$ p = 2 $时,方程(1.6)为Schrödinger型Laplace方程

此方程的存在性与对称性被广泛研究,具体可参考文献[18].特别的,当$ p = 2, \gamma = 0 $,方程(1.6)变为Allen-Cahn方程(非线性Schrödinger方程)

此方程的解随着半径增加到最大值,并在无穷远处减小且收敛为零.因此,不能利用移动平面法研究此类Schrödinger方程.在文献[19]中, Berestycki和Lions通过约束最小化方法给出了此类方程的一些对称性结果.利用相同的方法, Dipierro、Palatucci和Valdinoci在文献[20]中研究了以下Schrödinger型分数阶Laplace方程

正解的对称性问题.最近,本文的第一作者在文献[21]中给出了分数阶$ p $-Laplace方程

解的存在性和对称性结果.

在本节的最后,我们介绍与问题(1.6)相关的拉格朗日泛函

$ \begin{equation} L(u) = \frac{1}{p}\int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G u|^p{\rm d}z-\int_{{{\Bbb R}}^N}G(u){\rm d}z, \end{equation} $

其中

函数$ L(u) $是与问题(1.6)相关的能量泛函.基于$ G(u) $中存在$ -\mu|t| $项,导致$ L(u) $在空间$ S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N) $上是无界的,所以无法寻找函数$ L(u) $的临界点.因此本文将问题(1.6)转化为以下约束极小化问题,而不是通过寻找$ L $的临界点来解决问题.

$ \begin{equation} I: = \min \Big\{M(v):v\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), A(v) = 1\Big\}, \end{equation} $

其中

上式极小化问题的解也是方程(1.6)的解.事实上,我们假定$ u $是方程(1.8)的一个解,则存在拉格朗日乘数$ \theta $,使得

$ u_\sigma(z) = u(z/\sigma) = u(\xi) $,则有

由上式可得

$ \sigma = \theta^{1/p} $,可以得到$ u_\sigma $是方程(1.6)的解.因此,本文主要证明约束最小化问题(1.8)存在对称解,从而得到方程(1.6)解的对称性.

2 预备知识

在本节中,我们陈述一些初步结果,这些结果会在下文证明中使用.在全文中,我们规定$ Q = n+(1+\gamma)m $$ N = n+m $.

2.1 内在度量与Sobolev空间

对任意的$ z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2) $, Carnot-Caratheodory距离定义为

其中$ d_G(z) $满足以下放缩性(请参见文献[15])

Sobolev空间

在范数

下是一个Banach空间.若$ \Omega $有界且$ 2<q <\frac{pQ}{Q-p} $,则有以下紧嵌入(参见文献[22])

$ \begin{equation} S^{1, p}_\gamma(\Omega)\hookrightarrow L^q(\Omega). \end{equation} $

2.2 Schwarz对称

再次,我们回顾Schwarz对称的定义和基本性质.

$ \Omega $$ {{\Bbb R}}^N $中的开集, $ u:\Omega\rightarrow{{\Bbb R}} $是度量函数,分布函数$ \varphi_u(t) $

其中$ |\cdot| $表示Lebesgue测度,则方程$ \varphi_u $是递减且右连续的. $ u $的递减重排可以定义为

其中$ u^*(x) $表示$ u $的Schwarz对称化,其具有递减性与对称性. Schwarz对称化具有以下基本属性,具体可参考文献[23-24].

引理2.1  设$ v, w $$ {{\Bbb R}}^N $中的积分函数,并且$ g: {{\Bbb R}}^N\rightarrow {{\Bbb R}} $为一个递增的非负函数,则有

在文献[18]中, Lascialfari和Pardo对Baouendi-Grushin算子进行了研究,并得到了如下重排结果.

引理2.2  假设$ u\in S^{1, 2}_{{\gamma}}({{\Bbb R}}^N) $,且$ u $是紧支集非负函数,则有

Franchi和Lanconelli在文献[22]中证明了如下不等式.

引理2.3  若$ u\in S^{1, p}_{{\gamma}}({{\Bbb R}}^N) (p\geq1) $,则$ u^* \in S^{1, p}_{{\gamma}}({{\Bbb R}}^N) $,且有

此引理也可以由引理2.2推导得到.

3 定理1.1的证明

在本节中,我们给出定理1.1的证明.在引言中提到过定理1.1的证明可以转化为研究以下约束最小化问题

$ \begin{equation} I: = \min\Big\{M(v):v\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), A(v) = 1\Big\}, \end{equation} $

其中

现在我们证明问题(3.1)存在对称正解.本文在引言中介绍了极小化问题(3.1)中解的对称性意味着方程(1.6)解的对称性.

定理1.1的证明分为以下两个步骤:

步骤1  证明非空集合$ \big\{v\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), A(v) = 1\big\} $里存在对称的序列$ u^*_k $.

步骤2  证明此序列子列的极限是问题(3.1)的解.

步骤1  首先证明集合$ \big\{v\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), A(v) = 1\big\} $非空.对$ \rho>1, d>0 $,定义

$ \begin{equation} w_\rho(z) = \left\{\begin{array}{ll} d, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &|z|\leq \rho, \\ d(\rho+1-|z|), \; \; \; \; &\rho<|z|< \rho+1, \\ 0, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &|z|\geq \rho+1. \end{array} \right. \end{equation} $

经计算

可得到$ w_\rho(z)\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N) $.对任意固定的$ \sigma>0 $,定义

可得$ w_{\rho, \sigma}(z)\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N) $.由于

其中$ C_1>0 $, $ C_2>0 $.$ \rho_1>0 $足够大,对任意的$ \rho>\rho_1 $,有$ \int_{{{\Bbb R}}^N}A(w_\rho(z)){\rm d}z>0 $.取合适的常数$ \sigma>0 $,可以得到

所以$ w_{\rho, \sigma}(z) $是集合$ \big\{v\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), A(v) = 1\big\} $中的元素.

其次证明此集合中存在对称的序列$ u_k $为问题(3.1)的解,并对$ {u_k} $作先验估计.由于集合$ \{v\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), A(v) = 1\} $非空,我们选择$ \{u_k \}\subset S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N) $使得$ \int_{{{\Bbb R}}^N}G(u_k (z)){\rm d}z = 1 $且满足

$ u^*_k $表示$ u_k $的Schwarz重排.由Schwarz对称性可知$ u^*_k $具有对称性与递减性,并且有

结合上式,可得到

这意味着$ u^* _k $也是方程(3.1)的解.在不失一般性的情况下,我们可以选择一个正序列$ \{u^*_k\} $,使其满足对称性,此外有

对任意$ q\in[2, \frac{Qp}{Q-p}] $,现在估计$ ||u^*_k ||_{L^q({{\Bbb R}}^N)} $$ ||u^*_k ||_{S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)} $的有界性.由$ u^*_k $的选择可得到

通过Sobolev嵌入定理,我们有

其中$ p^* = \frac{Qp}{Q-p} $.

现在我们证明$ ||u^*_k ||_{L^2({{\Bbb R}}^N)} $是有界的.定义

经计算有

对任意的$ q\in(1, \frac{Qp}{Q-p}-1) $及固定的$ \epsilon>0 $,存在常数$ C(\epsilon)>0 $,有

对上不等式从$ 0 $$ u $进行积分,则有

结合条件$ \int_{{{\Bbb R}}^N}G(u^*_k ){\rm d}z = 1 $,计算可得

$ \epsilon = \frac{1}{2} $,则$ ||u^*_k ||_{L^2({{\Bbb R}}^N)} $有界,即

最后由$ ||u^*_k ||_{L^2({{\Bbb R}}^N)} $$ ||u^*_k ||_{L^{p^*}({{\Bbb R}}^N)} $的有界性,可得对任意的$ s\in[2, p^*] $,有

步骤2  证明步骤1中序列的极限是问题(3.1)的解.在此步骤中,证明存在正函数$ \bar u $,其满足对称性且$ \bar u $是最小化问题(3.1)的一个解.则意味等式(1.6)具有正解$ \bar u_\sigma $且满足对称性.

由步骤1中选取的$ \{u^*_k \} $,可知它是对称的且满足

易知$ \{u^*_k\} $$ S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N) $中是有界的,且存在序列$ u^*_k $ (仍然用$ u^*_k $表示)和函数$ \bar u\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N) $

易知$ \bar u $具有对称性与递减性.接下来证明$ \bar u $是问题(3.1)的解,即

$ \begin{equation} [\bar u ]^p_{S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)} = \inf\bigg\{[v]^p_{S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)}: v\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), \int_{{{\Bbb R}}^N}G(v) = 1 \bigg\}. \end{equation} $

其次本文需要证明

$ q\in (1, \frac{Qp}{Q-p}-1) $,可得

对任意的$ x\in {{\Bbb R}}^N $,经计算可以得到

对任意的$ q\in (1, \frac{Qp}{Q-p}-1) $,利用Fatou's引理,计算可得

对任意的$ \epsilon>0 $及固定的$ R_1>0 $,存在$ N>0 $,对所有$ n>N $,有

$ \begin{equation} \int_{|z|\leq R_1}|(u^*_k) ^{q+1}-{\bar u}^{q+1}|{\rm d}z\leq C\epsilon. \end{equation} $

对任意的$ s\in [2, p^*] $,我们由步骤1可知$ u^*_k \in L^{s}({{\Bbb R}}^N) $是递减函数,则对任意$ r = |z|>0 $,有

简单计算有

整理得

对任意$ \epsilon>0 $,存在$ R_1>0 $足够大使得任意$ |z|>R_1 $,有

$ \begin{equation} \int_{|z|>R_1}| u^*_k |^{q+1}{\rm d}z\leq C \int_{|z|>R_1}| u^*_k |^{2}{\rm d}z\leq C\epsilon. \end{equation} $

通过Fatou's引理,计算得

$ \begin{equation} \int_{|z|>R_1}|\bar u|^{q+1}{\rm d}z\leq C\epsilon. \end{equation} $

整理(3.4)–(3.6)式,计算可知对任意得$ \epsilon>0 $,有

$ k\rightarrow +\infty $时,

由前面条件

通过Fatou's引理,计算得

最后利用反证法证明

假设$ \int_{{{\Bbb R}}^N}G(\bar u){\rm d}z>1 $.$ \bar u_{\sigma}(z) = \bar u(z/\sigma) $.则存在$ \sigma\in(0, 1) $使得

$ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}}^N}G(\bar u_\sigma(z)){\rm d}z = \sigma^N\int_{{{\Bbb R}}^N}G(\bar u(z/\sigma)){\rm d}(z/\sigma) = 1, \end{equation} $

且有

通过$ I $的定义及不等式(3.7),可得

合并上式,对给定的$ \sigma\in(0, 1) $,有

整理得

因此产生矛盾,所有

进一步可以得到

故式(3.3)得证,即完成定理1.1的证明.

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