一类p-Laplacian方程解的存在性与对称性研究

一类p-Laplacian方程解的存在性与对称性研究

钱红丽, 黄小涛^,

A Symmetry Result for a Class of p-Laplace Involving Baouendi-Grushin Operators via Constrained Minimization Method

Qian Hongli, Huang Xiaotao^,

通讯作者: 黄小涛, E-mail: xiaotao huang2008@hotmail.com

收稿日期: 2019-06-11

基金资助:

南京航空航天大学青年科技创新基金. NS2019044
南京航空航天大学研究生创新基地（实验室）开放基金. KFJJ20180803

Received: 2019-06-11

Fund supported:

the Nanjing University of Aeronautics and Astronautics Youth Technology Innovation Fund. NS2019044
the Foundation of the Graduate Innovation Center, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics. KFJJ20180803

摘要

该文研究一类含Baouendi-Grushin算子的p-Laplace方程解的存在性与对称性问题.通过重排方程对应的极小化约束泛函，得到此泛函关于某点中心对称的最小极值，从而获得方程正解的一些存在性和对称性结果.此结论推广了经典p-Laplace方程和Baouendi-Grushin型Laplace方程的相关结果.

关键词： p-Laplace方程 ; Baouendi-Grushin算子 ; 存在性和对称性 ; 重排 ; 约束最小化方法

Abstract

The purpose of this paper is to investigate a spacial p-Laplace equation involving Baouendi-Grushin operators. Some existence and symmetry results for positive solutions are obtained by rearrangement of its corresponding constrained minimization. These results are in accordance with those for the classical p-Laplace equations and the Baouendi-Grushin type sub-Laplacian equations.

Keywords： p-Laplace equations ; Baouendi-Grushin operators ; Existence and symmetry ; rearrangement ; Constrained minimization method

PDF (341KB) 元数据多维度评价相关文章导出 EndNote| Ris| Bibtex 收藏本文

本文引用格式

钱红丽, 黄小涛. 一类p-Laplacian方程解的存在性与对称性研究. 数学物理学报[J], 2020, 40(3): 725-734 doi:

Qian Hongli, Huang Xiaotao. A Symmetry Result for a Class of p-Laplace Involving Baouendi-Grushin Operators via Constrained Minimization Method. Acta Mathematica Scientia[J], 2020, 40(3): 725-734 doi:

1 引言

近年来,诸多学者对 $p$ -Laplace方程进行广泛的研究.本文讨论一类推广情形

$\begin{equation} {\rm div}\big(|A\nabla u|^{p-2}A\nabla u \big) = f(x), \end{equation}$

(1.1)

其中 $1<p<\infty$ , $A = \{a_{ij}(x)\}_{n\times n}$ 为对称矩阵且满足一致椭圆条件

$\begin{equation} \lambda|\xi|^2\leq A(x)\xi\cdot\xi\leq \Lambda|\xi|^2 \end{equation}$

(1.2)

对任意 $\xi, x\in R^n$ 及常数 $0<\lambda<\Lambda<\infty$ 成立.此类偏微分方程一般来自几何、调和映射、流体动力学等方面,其理论已被广泛研究. Ladyzhenskaja和Ural'tzeva在文献[1]中利用DeGiorgi迭代^[2]的方法证明了方程(1.1)的弱解是H $\ddot{\mbox{o}}$ lder连续的. Serrin^[3]和Trudinger^[4]通过Moser迭代^[5]证明了方程的非负解满足Harnack原理.文献[6-7]等证明了具有不连续系数的一般 $p$ -Laplace方程解的正则性问题.在本文中,我们研究一类含Baouendi-Grushin算子的 $p$ -Laplace方程

$\nabla_{G}(|\nabla_{G} u|^{p-2}\nabla_{G} u) = f(z), \; z\in {{\Bbb R}}^N,$

其中 $z = (x, y)\in {{\Bbb R}}^n\times {{\Bbb R}}^m = {{\Bbb R}}^N$ , $1<p<+\infty$ . Baouendi-Grushin向量场 $\nabla_G$ 定义为(参见文献[8])

$\nabla_{G} = \bigg(\nabla_x, |x|^{\gamma}\nabla_y\bigg) = \bigg(\frac{\partial}{\partial x_1}, \cdots , \frac{\partial}{\partial x_n}, |x|^{{\gamma}}\frac{\partial}{\partial y_1}, \cdots , |x|^{{\gamma}}\frac{\partial}{\partial y_m}\bigg), \gamma\geq0,$

则Baouendi-Grushin型sub-Laplace算子定义为

$\begin{equation} \Delta_Gu = \nabla_G\cdot\nabla_G(u(x)) = \Delta _xu+|x|^{2{\gamma}}\Delta _yu = \bigg(\begin{array}{cc} I_{n\times n}{\quad}&0\\ 0{\quad}&|x|^{2\gamma}*I_{m\times m} \end{array}\bigg)\bigg(D_{ij}u \bigg), \end{equation}$

(1.3)

其中 $\Delta_x$ 和 $\Delta_y$ 分别表示 ${{\Bbb R}}^n$ 与 ${{\Bbb R}}^m$ 空间上的一般Laplacian算子.当 $x\neq0$ 时,算子满足一致椭圆条件;当 $x = 0$ 时,算子是退化的.近年来,关于Baouendi-Grushin算子(1.3)已有大量研究. Jerison和Lee在文献[9]中研究了含Baouendi-Grushin算子的 $p$ -Laplace方程

$\begin{equation} \Delta_Gu = \Delta _xu+|x|^{2{\gamma}}\Delta _yu = f(x, y) \end{equation}$

(1.4)

与Cauchy-Riemann Yamabe问题的关系. Monti和Morbidelli在文献[10]中研究了临界半线性Baouendi-Grushin方程,并通过kelvin变换给出了对称性结果.在文献[11]中, Ferrari和Valdinoci证明了几何Sobolev-Poincaré不等式以及Grushin平面中稳定解的一些对称结果.有关更多详细信息请参见文献[12]和^[13].通过使用Carnot-Caratheodory度量, Franchi在文献[14]中证明了加权Sobolev-Poincare不等式、Harnack不等式和弱解的 $C^\alpha$ 估计.最近,在文献[15]中,王证明了方程(1.4)解的 $C^{2, \alpha}_*$ 正则性估计.宋、王等人在文献[16]得到了方程解的最佳梯度估计. $p$ -Laplace型Baouendi-Grushin算子定义为

$\begin{equation} \Delta _G^p[u]: = \nabla_{G}(|\nabla_{G} u|^{p-2}\nabla_{G } u). \end{equation}$

(1.5)

在 $\{(x, y):x\neq0\}$ 的区域上,此算子可以看成是经典的 $p$ -Laplace算子;而在 $\{(x, y):x = 0\}$ 区域附近时,算子是退化( $p>2$ )或奇异的( $1<p<2$ ).在文献[8]中, Kombe证明了带Baouendi-Grushin算子的非线性抛物 $p$ -Laplace方程正解的一些存在性结果.在文献[17]中,黄、马和王研究了 $p$ -Laplace型Baouendi-Grushin方程解的梯度估计.

在本文中,我们研究带Baouendi-Grushin算子的Schrödinger型 $p$ -Laplace方程

$\begin{equation} -\Delta _G^pu+\mu u = \lambda |u|^{q-1}u, \; \; \lambda>0, \mu>0. \end{equation}$

(1.6)

为了利用约束最小化方法研究方程(1.6),我们需要引入一类新的Sobolev空间

$S^{1, p}_{{\gamma}}({{\Bbb R}}^N): = \Big\{u:\; u\in L^p({{\Bbb R}}^N), \nabla_G u\in L^p({{\Bbb R}}^N) \Big\}.$

本文的主要存在性和对称性结果如下:

定理1.1 令 $Q = n+(1+\gamma)m, 1<p<Q$ 及 $p^* = \frac{Qp}{Q-p}-1$ .当 $q\in(1, p^*)$ 时,方程(1.6)存在一个对称的正解 $u\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)$ .

当 $p = 2$ 时,方程(1.6)为Schrödinger型Laplace方程

$-\Delta_G u+ \mu u = \lambda |u|^{q-1}u.$

此方程的存在性与对称性被广泛研究,具体可参考文献[18].特别的,当 $p = 2, \gamma = 0$ ,方程(1.6)变为Allen-Cahn方程(非线性Schrödinger方程)

$-\Delta u+ \mu u = \lambda |u|^{q-1}u.$

此方程的解随着半径增加到最大值,并在无穷远处减小且收敛为零.因此,不能利用移动平面法研究此类Schrödinger方程.在文献[19]中, Berestycki和Lions通过约束最小化方法给出了此类方程的一些对称性结果.利用相同的方法, Dipierro、Palatucci和Valdinoci在文献[20]中研究了以下Schrödinger型分数阶Laplace方程

$(-\Delta)^s u+ \mu u = \lambda |u|^{q-1}u, \; \; \; \; x\in {{\Bbb R}}^n, \; \; s\in(0, 1)$

正解的对称性问题.最近,本文的第一作者在文献[21]中给出了分数阶 $p$ -Laplace方程

$(-\Delta)^s_p u+ \mu u = \lambda |u|^{q-1}u, \; \; \; \; x\in {{\Bbb R}}^n, \; \; s\in(0, 1)$

解的存在性和对称性结果.

在本节的最后,我们介绍与问题(1.6)相关的拉格朗日泛函

$\begin{equation} L(u) = \frac{1}{p}\int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G u|^p{\rm d}z-\int_{{{\Bbb R}}^N}G(u){\rm d}z, \end{equation}$

(1.7)

其中

$G(u) = \int^u_0g(t){\rm d}t, \; g(t) = \lambda|t|^{q}-\mu|t|.$

函数 $L(u)$ 是与问题(1.6)相关的能量泛函.基于 $G(u)$ 中存在 $-\mu|t|$ 项,导致 $L(u)$ 在空间 $S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)$ 上是无界的,所以无法寻找函数 $L(u)$ 的临界点.因此本文将问题(1.6)转化为以下约束极小化问题,而不是通过寻找 $L$ 的临界点来解决问题.

$\begin{equation} I: = \min \Big\{M(v):v\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), A(v) = 1\Big\}, \end{equation}$

(1.8)

其中

$M(v) = \int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G v|^p{\rm d}z, \; A(v) = \int_{{{\Bbb R}}^N}G(v(z)){\rm d}z, \; G(v) = \frac{\lambda|v|^{q+1}}{q+1}-\frac{\mu|v|^2}{2}.$

上式极小化问题的解也是方程(1.6)的解.事实上,我们假定 $u$ 是方程(1.8)的一个解,则存在拉格朗日乘数 $\theta$ ,使得

$\begin{eqnarray*} -\Delta_G^pu = \theta g(u), \; \; \; z\in {{\Bbb R}}^N. \end{eqnarray*}$

设 $u_\sigma(z) = u(z/\sigma) = u(\xi)$ ,则有

$\begin{eqnarray*} -\Delta_G^pu_\sigma = -\nabla_G(|\nabla_Gu_\sigma|^{p-2}\nabla_Gu_\sigma) & = &-\frac{1}{\sigma^p}\nabla_G(|\nabla_Gu(\xi)|^{p-2}\nabla_Gu(\xi))\\ & = &-\frac{1}{\sigma^p}\Delta_G^pu(\xi), \; \; \; z\in {{\Bbb R}}^N. \end{eqnarray*}$

$-\Delta_G^pu = \theta g(u), \; \; \; z\in {{\Bbb R}}^N,$

由上式可得

$-\Delta_G^pu_\sigma = \frac{\theta}{\sigma^p} g(u_\sigma).$

取 $\sigma = \theta^{1/p}$ ,可以得到 $u_\sigma$ 是方程(1.6)的解.因此,本文主要证明约束最小化问题(1.8)存在对称解,从而得到方程(1.6)解的对称性.

2 预备知识

在本节中,我们陈述一些初步结果,这些结果会在下文证明中使用.在全文中,我们规定 $Q = n+(1+\gamma)m$ 和 $N = n+m$ .

2.1 内在度量与Sobolev空间

对任意的 $z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2)$ , Carnot-Caratheodory距离定义为

$d_G(z_1, z_2) = |x_1-x_2|+\frac{|y_1-y_2|}{|x_1|^{\gamma}+|x_2|^{\gamma}+|y_1-y_2|^{\frac{\gamma}{1+\gamma}}},$

其中 $d_G(z)$ 满足以下放缩性(请参见文献[15])

$d_G(rz_1, rz_2) = rd_G(z_1, z_2).$

Sobolev空间

$S^{1, p}_{{\gamma}}({{\Bbb R}}^N): = \Big\{u:\; u\in L^p({{\Bbb R}}^N), \nabla_G u\in L^p({{\Bbb R}}^N) \Big\}$

在范数

$||u||_{S^{1, p}_{{\gamma}}({{\Bbb R}}^N)} = \bigg\{ \int_{{{\Bbb R}}^N}|u|^p+\int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G u|^p\bigg\}^{\frac{1}{p}}$

下是一个Banach空间.若 $\Omega$ 有界且 $2<q <\frac{pQ}{Q-p}$ ,则有以下紧嵌入(参见文献[22])

$\begin{equation} S^{1, p}_\gamma(\Omega)\hookrightarrow L^q(\Omega). \end{equation}$

(2.1)

2.2 Schwarz对称

再次,我们回顾Schwarz对称的定义和基本性质.

若 $\Omega$ 是 ${{\Bbb R}}^N$ 中的开集, $u:\Omega\rightarrow{{\Bbb R}}$ 是度量函数,分布函数 $\varphi_u(t)$ 为

$\varphi_u(t) = \left |{x\in{{{\Bbb R}}^N}:|u(x)|>t} \right|,$

其中 $|\cdot|$ 表示Lebesgue测度,则方程 $\varphi_u$ 是递减且右连续的. $u$ 的递减重排可以定义为

$u^\sharp(s) = \sup\big\{t\geq0:\varphi_u(t)\geq s\big\},$

$u^*(x) = u^\sharp(\omega_N|x|^N), \; x\in {{\Bbb R}}^N,$

其中 $u^*(x)$ 表示 $u$ 的Schwarz对称化,其具有递减性与对称性. Schwarz对称化具有以下基本属性,具体可参考文献[23-24].

引理2.1 设 $v, w$ 是 ${{\Bbb R}}^N$ 中的积分函数,并且 $g: {{\Bbb R}}^N\rightarrow {{\Bbb R}}$ 为一个递增的非负函数,则有

$\int_{{{\Bbb R}}^N}g(|v(x)|){\rm d}x = \int^{|{{\Bbb R}}^N|}_{0}g(v^*(s)){\rm d}s = \int_{{{\Bbb R}}^N}g(v^\sharp(x)){\rm d}x.$

在文献[18]中, Lascialfari和Pardo对Baouendi-Grushin算子进行了研究,并得到了如下重排结果.

引理2.2 假设 $u\in S^{1, 2}_{{\gamma}}({{\Bbb R}}^N)$ ,且 $u$ 是紧支集非负函数,则有

$\int_{{{\Bbb R}}^n}|\nabla_G u^*|^2{\rm d}x\leq \int_{{{\Bbb R}}^n}|\nabla_G u|^2{\rm d}x.$

Franchi和Lanconelli在文献[22]中证明了如下不等式.

引理2.3 若 $u\in S^{1, p}_{{\gamma}}({{\Bbb R}}^N) (p\geq1)$ ,则 $u^* \in S^{1, p}_{{\gamma}}({{\Bbb R}}^N)$ ,且有

$\int_{{{\Bbb R}}^n}|\nabla_G u^*|^p{\rm d}x\leq \int_{{{\Bbb R}}^n}|\nabla_G u|^p{\rm d}x,$

此引理也可以由引理2.2推导得到.

3 定理1.1的证明

在本节中,我们给出定理1.1的证明.在引言中提到过定理1.1的证明可以转化为研究以下约束最小化问题

$\begin{equation} I: = \min\Big\{M(v):v\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), A(v) = 1\Big\}, \end{equation}$

(3.1)

其中

$M(v) = \int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G v|^p{\rm d}z, \; \; A(v) = \int_{{{\Bbb R}}^N}G(v(z)){\rm d}z, \; \; G(v) = \frac{\lambda|v|^{q+1}}{q+1}-\frac{\mu|v|^2}{2}.$

现在我们证明问题(3.1)存在对称正解.本文在引言中介绍了极小化问题(3.1)中解的对称性意味着方程(1.6)解的对称性.

定理1.1的证明分为以下两个步骤:

步骤1 证明非空集合 $\big\{v\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), A(v) = 1\big\}$ 里存在对称的序列 $u^*_k$ .

步骤2 证明此序列子列的极限是问题(3.1)的解.

步骤1 首先证明集合 $\big\{v\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), A(v) = 1\big\}$ 非空.对 $\rho>1, d>0$ ,定义

$\begin{equation} w_\rho(z) = \left\{\begin{array}{ll} d, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &|z|\leq \rho, \\ d(\rho+1-|z|), \; \; \; \; &\rho<|z|< \rho+1, \\ 0, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; &|z|\geq \rho+1. \end{array} \right. \end{equation}$

(3.2)

经计算

$\int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G w_\rho(z)|^p{\rm d}z = C\int^{\rho+1}_\rho\bigg|\frac{{\rm d}w_\rho(r)}{{\rm d}r}\bigg|^pr^{N-1}{\rm d}r = C\int^{\rho+1}_\rho r^{N-1}{\rm d}r<C,$

可得到 $w_\rho(z)\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)$ .对任意固定的 $\sigma>0$ ,定义

$w_{\rho, \sigma}(z) = w_\rho\bigg(\frac{z}{\sigma}\bigg),$

可得 $w_{\rho, \sigma}(z)\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)$ .由于

$\begin{eqnarray*} A(w_\rho(z))& = &\int_{{{\Bbb R}}^N}G(w_\rho(z)){\rm d}z = \int_{B_{\rho+1}}G(w_\rho(z)){\rm d}z\\ & = &\int_{B_\rho}G(w_\rho(z)){\rm d}z+\int_{B_{\rho+1}\backslash B_{\rho}}G(w_\rho(z)){\rm d}z\\ &\geq &C_1\big|B_\rho\big|-C_2\big|B_{\rho+1}\backslash B_\rho\big|\geq C_1\rho^N-C_2\rho^{N-1}, \end{eqnarray*}$

其中 $C_1>0$ , $C_2>0$ .取 $\rho_1>0$ 足够大,对任意的 $\rho>\rho_1$ ,有 $\int_{{{\Bbb R}}^N}A(w_\rho(z)){\rm d}z>0$ .取合适的常数 $\sigma>0$ ,可以得到

$\begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}}^N}G(w_{\rho, \sigma}(z)){\rm d}z = \sigma^N\int_{{{\Bbb R}}^N}G(w_\rho(z)){\rm d}z = 1, \end{eqnarray*}$

所以 $w_{\rho, \sigma}(z)$ 是集合 $\big\{v\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), A(v) = 1\big\}$ 中的元素.

其次证明此集合中存在对称的序列 $u_k$ 为问题(3.1)的解,并对 ${u_k}$ 作先验估计.由于集合 $\{v\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), A(v) = 1\}$ 非空,我们选择 $\{u_k \}\subset S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)$ 使得 $\int_{{{\Bbb R}}^N}G(u_k (z)){\rm d}z = 1$ 且满足

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\rightarrow \infty}[u_k ]^p_{S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)} = \inf\bigg\{[v]^p_{S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)}: v\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), \int_{{{\Bbb R}}^N}G(v) = 1 \bigg\} = I>0. \end{eqnarray*}$

令 $u^*_k$ 表示 $u_k$ 的Schwarz重排.由Schwarz对称性可知 $u^*_k$ 具有对称性与递减性,并且有

$\begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G u^*_k |^p\leq \int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G u_k |^p<C, \; \; \int_{{{\Bbb R}}^N}G(u^*_k ){\rm d}z = \int_{{{\Bbb R}}^N}G(u_k ){\rm d}z, \end{eqnarray*}$

结合上式,可得到

$u^*_k \in {S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)}, \; \; \int_{{{\Bbb R}}^N}G(u^*_k ){\rm d}z = 1,$

这意味着 $u^* _k$ 也是方程(3.1)的解.在不失一般性的情况下,我们可以选择一个正序列 $\{u^*_k\}$ ,使其满足对称性,此外有

$\lim\limits_{k\rightarrow \infty}[u^*_k ]^p_{S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)} = \inf\bigg\{[v]^p_{S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)}: v\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), \int_{{{\Bbb R}}^N}G(v) = 1 \bigg\}.$

对任意 $q\in[2, \frac{Qp}{Q-p}]$ ,现在估计 $||u^*_k ||_{L^q({{\Bbb R}}^N)}$ 和 $||u^*_k ||_{S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)}$ 的有界性.由 $u^*_k$ 的选择可得到

$[u^*_k ]_{S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)}\leq C.$

通过Sobolev嵌入定理,我们有

$||u^*_k ||_{L^{p^*}({{\Bbb R}}^N)}\leq C [u^*_k ]_{S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)}<C,$

其中 $p^* = \frac{Qp}{Q-p}$ .

现在我们证明 $||u^*_k ||_{L^2({{\Bbb R}}^N)}$ 是有界的.定义

$g_1(t) = \lambda|t|^{q-1}t, g_2(t) = \mu t, G_1(t) = \frac{\lambda|t|^{q+1}}{q+1}, \; G_2(t) = \frac{\mu|t|^2}{2}.$

经计算有

$g_2(t) = g_1(t)-g(t), \; G_2(u) = G_1(u)-G(u).$

对任意的 $q\in(1, \frac{Qp}{Q-p}-1)$ 及固定的 $\epsilon>0$ ,存在常数 $C(\epsilon)>0$ ,有

$\lambda|t|^{q}\leq \mu\epsilon |t|+{\frac{ C(\epsilon)Qp}{Q-p}}|t|^{\frac{Qp}{Q-p}-1}.$

对上不等式从 $0$ 到 $u$ 进行积分,则有

$G_1(u)\leq \epsilon G_2(u)+C(\epsilon)|u|^{\frac{Qp}{Q-p}}.$

结合条件 $\int_{{{\Bbb R}}^N}G(u^*_k ){\rm d}z = 1$ ,计算可得

$\begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}}^N}G_2(u^*_k ){\rm d}z& = &\int_{{{\Bbb R}}^N}G_1(u^*_k ){\rm d}z-\int_{{{\Bbb R}}^N}G(u^*_k ){\rm d}z = \int_{{{\Bbb R}}^N}G_1(u^*_k){\rm d}z-1\\ &\leq&\int_{{{\Bbb R}}^N}G_1(u^*_k){\rm d}z\leq \epsilon\int_{{{\Bbb R}}^N} G_2(u^*_k){\rm d}z+C(\epsilon)\int_{{{\Bbb R}}^N}|u^*_k |^{\frac{Qp}{Q-p}}{\rm d}z. \end{eqnarray*}$

取 $\epsilon = \frac{1}{2}$ ,则 $||u^*_k ||_{L^2({{\Bbb R}}^N)}$ 有界,即

$\int_{{{\Bbb R}}^N}|u^*_k |^2{\rm d}z = \frac{2}{\mu}\int_{{{\Bbb R}}^N}G_2(u^*_k ){\rm d}z\leq C\int_{{{\Bbb R}}^N}|u^*_k |^{\frac{Qp}{Q-p}}{\rm d}z<C.$

最后由 $||u^*_k ||_{L^2({{\Bbb R}}^N)}$ 和 $||u^*_k ||_{L^{p^*}({{\Bbb R}}^N)}$ 的有界性,可得对任意的 $s\in[2, p^*]$ ,有

$||u^*_k ||_{L^s({{\Bbb R}}^N)}<C.$

步骤2 证明步骤1中序列的极限是问题(3.1)的解.在此步骤中,证明存在正函数 $\bar u$ ,其满足对称性且 $\bar u$ 是最小化问题(3.1)的一个解.则意味等式(1.6)具有正解 $\bar u_\sigma$ 且满足对称性.

由步骤1中选取的 $\{u^*_k \}$ ,可知它是对称的且满足

$\lim\limits_{k\rightarrow \infty}[u^*_k ]^p_{S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)} = I,$

易知 $\{u^*_k\}$ 在 $S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)$ 中是有界的,且存在序列 $u^*_k$ (仍然用 $u^*_k$ 表示)和函数 $\bar u\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)$ 有

$\begin{eqnarray*} &&u^*_k \rightharpoonup \bar u, \; \; \; \; {\rm in}\; \; S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), \\ &&u^*_k \rightarrow \bar u, \; \; \; \; {\rm a.e. \; \; in}\; \; {{\Bbb R}}^N. \end{eqnarray*}$

易知 $\bar u$ 具有对称性与递减性.接下来证明 $\bar u$ 是问题(3.1)的解,即

$\begin{equation} [\bar u ]^p_{S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)} = \inf\bigg\{[v]^p_{S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N)}: v\in S_\gamma^{1, p}({{\Bbb R}}^N), \int_{{{\Bbb R}}^N}G(v) = 1 \bigg\}. \end{equation}$

(3.3)

其次本文需要证明

$\int_{{{\Bbb R}}^N}|u^*_k |^{q+1}{\rm d}z\rightarrow \int_{{{\Bbb R}}^N}|\bar u|^{q+1}{\rm d}z, \; \; \; \; k\rightarrow +\infty.$

由 $q\in (1, \frac{Qp}{Q-p}-1)$ ,可得

$\frac{|u^*_k |^{q+1}}{|u^*_k |^2+|u^*_k |^{\frac{Qp}{Q-p}}}\rightarrow 0, \; \; \; u^*_k \rightarrow 0 \; \mbox{或} \; u^*_k \rightarrow \infty.$

对任意的 $x\in {{\Bbb R}}^N$ ,经计算可以得到

$|u^*_k (z)|^{q+1}\leq C_1|u^*_k (z)|^2+C_2|u^*_k (z)|^{\frac{Qp}{Q-p}}.$

对任意的 $q\in (1, \frac{Qp}{Q-p}-1)$ ,利用Fatou's引理,计算可得

$\int_{{{\Bbb R}}^N}|u^*_k (z)|^{q+1}{\rm d}z<C\int_{{{\Bbb R}}^N}|u^*_k |^{2}{\rm d}z+C\int_{{{\Bbb R}}^N}|u^*_k |^{\frac{Qp}{Q-p}}{\rm d}z<C,$

$\int_{{{\Bbb R}}^N}|\bar u(z)|^{q+1}{\rm d}z<C\int_{{{\Bbb R}}^N}|u^*_k |^{2}{\rm d}z+C\int_{{{\Bbb R}}^N}|u^*_k |^{\frac{Qp}{Q-p}}{\rm d}z<C,$

对任意的 $\epsilon>0$ 及固定的 $R_1>0$ ,存在 $N>0$ ,对所有 $n>N$ ,有

$\begin{equation} \int_{|z|\leq R_1}|(u^*_k) ^{q+1}-{\bar u}^{q+1}|{\rm d}z\leq C\epsilon. \end{equation}$

(3.4)

对任意的 $s\in [2, p^*]$ ,我们由步骤1可知 $u^*_k \in L^{s}({{\Bbb R}}^N)$ 是递减函数,则对任意 $r = |z|>0$ ,有

$\|u^*_k\|^{s}_{L^{s}({{\Bbb R}}^N)} = \int_{{{\Bbb R}}^N}|u^*_k|^{s}(z){\rm d}z\geq \alpha(N)\int^{R}_{0}|u^*_k|^{s}(r)r^{N-1}{\rm d}r\geq \alpha(N)|u^*_k|^{s}(R)\frac{R^N}{N},$

简单计算有

$|u^*_k|^{s}(R)\leq \frac{N}{\alpha(N)R^N}\|u^*_k\|^{s}_{L^{s}({{\Bbb R}}^N)}.$

整理得

$|u^*_k(z)|\leq C|z|^{-\frac{N}{s}}||u^*_k||_{L^{s}({{\Bbb R}}^N)}<C|z|^{-\frac{N}{s}},$

即

$u^*_k (z)\rightarrow0\; \; as \; \; |z|\rightarrow+\infty.$

对任意 $\epsilon>0$ ,存在 $R_1>0$ 足够大使得任意 $|z|>R_1$ ,有

$\begin{equation} \int_{|z|>R_1}| u^*_k |^{q+1}{\rm d}z\leq C \int_{|z|>R_1}| u^*_k |^{2}{\rm d}z\leq C\epsilon. \end{equation}$

(3.5)

通过Fatou's引理,计算得

$\begin{equation} \int_{|z|>R_1}|\bar u|^{q+1}{\rm d}z\leq C\epsilon. \end{equation}$

(3.6)

整理(3.4)–(3.6)式,计算可知对任意得 $\epsilon>0$ ,有

$\begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}}^N}\big||u^*_k |^{q+1}-|\bar u|^{q+1} \big|{\rm d}z\leq C\epsilon, \end{eqnarray*}$

即 $k\rightarrow +\infty$ 时,

$\int_{{{\Bbb R}}^N}|u^*_k |^{q+1}{\rm d}z\rightarrow \int_{{{\Bbb R}}^N}|\bar u|^{q+1}{\rm d}z.$

由前面条件

$G_1(u) = \frac{\lambda|u|^{q}u}{q+1}, G(u^*_k ) = G_1(u^*_k )-G_2(u^*_k ), \int_{{{\Bbb R}}^N}G(u^*_k ){\rm d}z = 1,$

通过Fatou's引理,计算得

$\int_{{{\Bbb R}}^N}\frac{\lambda|{\bar u}|^{q+1}}{q+1}{\rm d}z = \int_{{{\Bbb R}}^N}G_1(\bar u){\rm d}z\geq \int_{{{\Bbb R}}^N}G_2(\bar u){\rm d}z+1,$

$\int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G \bar u|^p{\rm d}z\leq \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G u^*_k |^p{\rm d}z = I.$

最后利用反证法证明

$\int_{{{\Bbb R}}^N}G(\bar u){\rm d}z = 1.$

假设 $\int_{{{\Bbb R}}^N}G(\bar u){\rm d}z>1$ .令 $\bar u_{\sigma}(z) = \bar u(z/\sigma)$ .则存在 $\sigma\in(0, 1)$ 使得

$\begin{equation} \int_{{{\Bbb R}}^N}G(\bar u_\sigma(z)){\rm d}z = \sigma^N\int_{{{\Bbb R}}^N}G(\bar u(z/\sigma)){\rm d}(z/\sigma) = 1, \end{equation}$

(3.7)

且有

$\int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G \bar u_\sigma|^p{\rm d}z = \sigma^{N-p}\int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G \bar u(z)|^p{\rm d}z\leq \sigma^{N-p} I.$

通过 $I$ 的定义及不等式(3.7),可得

$\begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G \bar u_\sigma|^p{\rm d}z\geq I = \inf\bigg\{\int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G v|^p{\rm d}z : \int_{{{\Bbb R}}^N}G(v){\rm d}z = 1\bigg\}. \end{eqnarray*}$

合并上式,对给定的 $\sigma\in(0, 1)$ ,有

$\begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G \bar u_\sigma|^p{\rm d}z = \sigma^{N-p}\int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G \bar u(z)|^p{\rm d}z\leq \sigma^{N-p} \int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G \bar u_\sigma|^p{\rm d}z. \end{eqnarray*}$

整理得

$\int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G \bar u_\sigma|^p{\rm d}z = 0,$

因此产生矛盾,所有

$\int_{{{\Bbb R}}^N}G(\bar u){\rm d}z = 1,$

进一步可以得到

$\int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G \bar u|^p{\rm d}z = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{{{\Bbb R}}^N}|\nabla_G u^*_k |^p{\rm d}z = I,$

故式(3.3)得证,即完成定理1.1的证明.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Ladyzhenskaya

, Ural'tseva

N N

Linear and Quasilinear Elliptic Equations. New York: Academic Press, 1968

[本文引用: 1]

[2]

Giorgi

, E

Sulla differenziabilitae l'analiticitá delle estremali degli integrali multipli regolari

Accad Sci Torino Cl Sci Fis Mat Nat, 1957, 3, 25- 43

[本文引用: 1]

[3]

Serrin

Local behavior of solutions of quasi-linear equations

Acta Mathematica, 1964, 111 (1): 247- 302

URL [本文引用: 1]

[4]

Trudinger

N S

On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations

Communications on Pure and Applied Mathematics, 1967, 20 (4): 721- 747

DOI:10.1002/cpa.3160200406 [本文引用: 1]

[5]

Moser

On Harnack's theorem for elliptic differential equations

Communications on Pure and Applied Mathematics, 1961, 14 (3): 577- 591

DOI:10.1002/cpa.3160140329 [本文引用: 1]

[6]

Auscher

, Qafsaoui

Equivalence between regularity theorems and heat kernel estimates for higher order elliptic operators and systems under divergence form

Journal of Functional Analysis, 2000, 177 (2): 310- 364

DOI:10.1006/jfan.2000.3643 [本文引用: 1]

[7]

Byun

S S

, Wang

Elliptic equations with BMO coefficients in Reifenberg domains

Communications on Pure and Applied Mathematics, 2004, 57 (10): 1283- 1310

DOI:10.1002/cpa.20037 [本文引用: 1]

[8]

Kombe

Nonlinear degenerate parabolic equations for Baouendi-Grushin operators

Mathematische Nachrichten, 2006, 279 (7): 756- 773

DOI:10.1002/mana.200310391 [本文引用: 2]

[9]

Jerison

, Lee

J M

The Yamabe problem on CR manifolds

Journal of Differential Geometry, 1987, 25 (2): 167- 197

DOI:10.4310/jdg/1214440849 [本文引用: 1]

[10]

Monti

, Morbidelli

Kelvin transform for Grushin operators and critical semilinear equations

Duke Mathematical Journal, 2006, 131 (1): 167- 202

DOI:10.1215/S0012-7094-05-13115-5 [本文引用: 1]

[11]

Ferrari

, Valdinoci

Geometric PDEs in the Grushin plane:weighted inequalities and flatness of level sets

International Mathematics Research Notices, 2009, 2009 (22): 4232- 4270

URL [本文引用: 1]

[12]

Birindelli

, Ferrari

, Valdinoci

Semilinear PDEs in the Heisenberg group:The role of the right invariant vector fields

Nonlinear Anal, 2010, 72 (2): 987- 997

DOI:10.1016/j.na.2009.07.039 [本文引用: 1]

[13]

Birindelli

, Valdinoci

On the Allen-Cahn equation in the Grushin plane:A monotone entire solution that is not one-dimensional

Discrete Continuous Dynamical Systems, 2012, 29 (3): 823- 838

DOI:10.3934/dcds.2011.29.823 [本文引用: 1]

[14]

Franchi

Weighted Sobolev-Poincaré inequalities and pointwise estimates for a class of degenerate elliptic equations

Transactions of the American Mathematical Society, 1991, 327 (1): 125- 158

DOI:10.2307/2001837 [本文引用: 1]

[15]

Wang

Hölder estimates for subelliptic operators

Journal of Functional Analysis, 2003, 199 (1): 228- 242

DOI:10.1016/S0022-1236(03)00093-4 [本文引用: 2]

[16]

Song

, Lu

, Shen

, et al.

Regularity of a class of degenerate elliptic equations

Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa-Classe di Scienze, 2011, 10 (3): 645- 667

URL [本文引用: 1]

[17]

Huang

, Ma

, Wang

L_q regularity for p-Laplace type Baouendi-Grushin equations

Nonlinear Analysis:Theory, Methods Applications, 2015, 113, 137- 146

DOI:10.1016/j.na.2014.10.001 [本文引用: 1]

[18]

Lascialfari

, Pardo

Compact embedding of a degenerate Sobolev space and existence of entire solutions to a semilinear equation for a Grushin-type operator

Rend Seminario Mat Univ Padova, 2002, 107, 139- 152

URL [本文引用: 2]

[19]

Berestycki

, Lions

P L

Nonlinear scalar field equations, I:Existence of a ground state

Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1983, 82 (4): 313- 345

DOI:10.1007/BF00250555 [本文引用: 1]

[20]

Dipierro

, Palatucci

, Valdinoci

Existence and symmetry results for a Schrödinger type problem involving the fractional Laplacian

Matematiche Catania, 2013, 63, 201- 216

[本文引用: 1]

[21]

Xie

, Huang

, Wang

Radial symmetry for positive solutions of fractional p-Laplacian equations via constrained minimization method

Applied Mathematics and Computation, 2018, 337, 54- 62

DOI:10.1016/j.amc.2018.05.028 [本文引用: 1]

[22]

Franchi

, Lanconelli

An embedding theorem for sobolev spaces related to non-smooth vector fieldsand harnack inequality

Communications in Partial Differential Equations, 1984, 9 (13): 1237- 1264

DOI:10.1080/03605308408820362 [本文引用: 2]

[23]

Bandle

Isoperimetric inequalities and applications

Monographs and Studies in Mathematics, 1980, 2, 453- 488

URL [本文引用: 1]

[24]

Kawohl

Rearrangements and Convexity of Level Sets in PDE. Berlin: Springer-Verlag, 1985

[本文引用: 1]

1968

... 对任意

$\xi, x\in R^n$

及常数

$0<\lambda<\Lambda<\infty$

成立.此类偏微分方程一般来自几何、调和映射、流体动力学等方面,其理论已被广泛研究. Ladyzhenskaja和Ural'tzeva在文献[1]中利用DeGiorgi迭代^[2]的方法证明了方程(1.1)的弱解是H

$\ddot{\mbox{o}}$

lder连续的. Serrin^[3]和Trudinger^[4]通过Moser迭代^[5]证明了方程的非负解满足Harnack原理.文献[6-7]等证明了具有不连续系数的一般

$p$

-Laplace方程解的正则性问题.在本文中,我们研究一类含Baouendi-Grushin算子的

$p$

-Laplace方程 ...

Sulla differenziabilitae l'analiticitá delle estremali degli integrali multipli regolari

1957

... 对任意

$\xi, x\in R^n$

及常数

$0<\lambda<\Lambda<\infty$

$\ddot{\mbox{o}}$

lder连续的. Serrin^[3]和Trudinger^[4]通过Moser迭代^[5]证明了方程的非负解满足Harnack原理.文献[6-7]等证明了具有不连续系数的一般

$p$

-Laplace方程解的正则性问题.在本文中,我们研究一类含Baouendi-Grushin算子的

$p$

-Laplace方程 ...

Local behavior of solutions of quasi-linear equations

1964

... 对任意

$\xi, x\in R^n$

及常数

$0<\lambda<\Lambda<\infty$

$\ddot{\mbox{o}}$

lder连续的. Serrin^[3]和Trudinger^[4]通过Moser迭代^[5]证明了方程的非负解满足Harnack原理.文献[6-7]等证明了具有不连续系数的一般

$p$

-Laplace方程解的正则性问题.在本文中,我们研究一类含Baouendi-Grushin算子的

$p$

-Laplace方程 ...

On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations

1967

... 对任意

$\xi, x\in R^n$

及常数

$0<\lambda<\Lambda<\infty$

$\ddot{\mbox{o}}$

lder连续的. Serrin^[3]和Trudinger^[4]通过Moser迭代^[5]证明了方程的非负解满足Harnack原理.文献[6-7]等证明了具有不连续系数的一般

$p$

-Laplace方程解的正则性问题.在本文中,我们研究一类含Baouendi-Grushin算子的

$p$

-Laplace方程 ...

On Harnack's theorem for elliptic differential equations

1961

... 对任意

$\xi, x\in R^n$

及常数

$0<\lambda<\Lambda<\infty$

$\ddot{\mbox{o}}$

lder连续的. Serrin^[3]和Trudinger^[4]通过Moser迭代^[5]证明了方程的非负解满足Harnack原理.文献[6-7]等证明了具有不连续系数的一般

$p$

-Laplace方程解的正则性问题.在本文中,我们研究一类含Baouendi-Grushin算子的

$p$

-Laplace方程 ...

Equivalence between regularity theorems and heat kernel estimates for higher order elliptic operators and systems under divergence form

2000

... 对任意

$\xi, x\in R^n$

及常数

$0<\lambda<\Lambda<\infty$

$\ddot{\mbox{o}}$

lder连续的. Serrin^[3]和Trudinger^[4]通过Moser迭代^[5]证明了方程的非负解满足Harnack原理.文献[6-7]等证明了具有不连续系数的一般

$p$

-Laplace方程解的正则性问题.在本文中,我们研究一类含Baouendi-Grushin算子的

$p$

-Laplace方程 ...

Elliptic equations with BMO coefficients in Reifenberg domains

2004

... 对任意

$\xi, x\in R^n$

及常数

$0<\lambda<\Lambda<\infty$

$\ddot{\mbox{o}}$

lder连续的. Serrin^[3]和Trudinger^[4]通过Moser迭代^[5]证明了方程的非负解满足Harnack原理.文献[6-7]等证明了具有不连续系数的一般

$p$

-Laplace方程解的正则性问题.在本文中,我们研究一类含Baouendi-Grushin算子的

$p$

-Laplace方程 ...

Nonlinear degenerate parabolic equations for Baouendi-Grushin operators

2006

... 其中

$z = (x, y)\in {{\Bbb R}}^n\times {{\Bbb R}}^m = {{\Bbb R}}^N$

$1<p<+\infty$

. Baouendi-Grushin向量场

$\nabla_G$

定义为(参见文献[8]) ...

... 在

$\{(x, y):x\neq0\}$

的区域上,此算子可以看成是经典的

$p$

-Laplace算子;而在

$\{(x, y):x = 0\}$

区域附近时,算子是退化(

$p>2$

)或奇异的(

$1<p<2$

).在文献[8]中, Kombe证明了带Baouendi-Grushin算子的非线性抛物

$p$

-Laplace方程正解的一些存在性结果.在文献[17]中,黄、马和王研究了

$p$

-Laplace型Baouendi-Grushin方程解的梯度估计. ...

The Yamabe problem on CR manifolds

1987

... 其中

$\Delta_x$

和

$\Delta_y$

分别表示

${{\Bbb R}}^n$

与

${{\Bbb R}}^m$

空间上的一般Laplacian算子.当

$x\neq0$

时,算子满足一致椭圆条件;当

$x = 0$

时,算子是退化的.近年来,关于Baouendi-Grushin算子(1.3)已有大量研究. Jerison和Lee在文献[9]中研究了含Baouendi-Grushin算子的

$p$

-Laplace方程 ...

Kelvin transform for Grushin operators and critical semilinear equations

2006

... 与Cauchy-Riemann Yamabe问题的关系. Monti和Morbidelli在文献[10]中研究了临界半线性Baouendi-Grushin方程,并通过kelvin变换给出了对称性结果.在文献[11]中, Ferrari和Valdinoci证明了几何Sobolev-Poincaré不等式以及Grushin平面中稳定解的一些对称结果.有关更多详细信息请参见文献[12]和^[13].通过使用Carnot-Caratheodory度量, Franchi在文献[14]中证明了加权Sobolev-Poincare不等式、Harnack不等式和弱解的

$C^\alpha$

估计.最近,在文献[15]中,王证明了方程(1.4)解的

$C^{2, \alpha}_*$

正则性估计.宋、王等人在文献[16]得到了方程解的最佳梯度估计.

$p$

-Laplace型Baouendi-Grushin算子定义为 ...

Geometric PDEs in the Grushin plane:weighted inequalities and flatness of level sets

2009

$C^\alpha$

估计.最近,在文献[15]中,王证明了方程(1.4)解的

$C^{2, \alpha}_*$

正则性估计.宋、王等人在文献[16]得到了方程解的最佳梯度估计.

$p$

-Laplace型Baouendi-Grushin算子定义为 ...

Semilinear PDEs in the Heisenberg group:The role of the right invariant vector fields

2010

$C^\alpha$

估计.最近,在文献[15]中,王证明了方程(1.4)解的

$C^{2, \alpha}_*$

正则性估计.宋、王等人在文献[16]得到了方程解的最佳梯度估计.

$p$

-Laplace型Baouendi-Grushin算子定义为 ...

On the Allen-Cahn equation in the Grushin plane:A monotone entire solution that is not one-dimensional

2012

$C^\alpha$

估计.最近,在文献[15]中,王证明了方程(1.4)解的

$C^{2, \alpha}_*$

正则性估计.宋、王等人在文献[16]得到了方程解的最佳梯度估计.

$p$

-Laplace型Baouendi-Grushin算子定义为 ...

Weighted Sobolev-Poincaré inequalities and pointwise estimates for a class of degenerate elliptic equations

1991

$C^\alpha$

估计.最近,在文献[15]中,王证明了方程(1.4)解的

$C^{2, \alpha}_*$

正则性估计.宋、王等人在文献[16]得到了方程解的最佳梯度估计.

$p$

-Laplace型Baouendi-Grushin算子定义为 ...

H?lder estimates for subelliptic operators

2003

$C^\alpha$

估计.最近,在文献[15]中,王证明了方程(1.4)解的

$C^{2, \alpha}_*$

正则性估计.宋、王等人在文献[16]得到了方程解的最佳梯度估计.

$p$

-Laplace型Baouendi-Grushin算子定义为 ...

... 其中

$d_G(z)$

满足以下放缩性(请参见文献[15]) ...

Regularity of a class of degenerate elliptic equations

2011

$C^\alpha$

估计.最近,在文献[15]中,王证明了方程(1.4)解的

$C^{2, \alpha}_*$

正则性估计.宋、王等人在文献[16]得到了方程解的最佳梯度估计.

$p$

-Laplace型Baouendi-Grushin算子定义为 ...

L_q regularity for p-Laplace type Baouendi-Grushin equations

2015

... 在

$\{(x, y):x\neq0\}$

的区域上,此算子可以看成是经典的

$p$

-Laplace算子;而在

$\{(x, y):x = 0\}$

区域附近时,算子是退化(

$p>2$

)或奇异的(

$1<p<2$

).在文献[8]中, Kombe证明了带Baouendi-Grushin算子的非线性抛物

$p$

-Laplace方程正解的一些存在性结果.在文献[17]中,黄、马和王研究了

$p$

-Laplace型Baouendi-Grushin方程解的梯度估计. ...

Compact embedding of a degenerate Sobolev space and existence of entire solutions to a semilinear equation for a Grushin-type operator

2002

... 此方程的存在性与对称性被广泛研究,具体可参考文献[18].特别的,当

$p = 2, \gamma = 0$

,方程(1.6)变为Allen-Cahn方程(非线性Schrödinger方程) ...

... 在文献[18]中, Lascialfari和Pardo对Baouendi-Grushin算子进行了研究,并得到了如下重排结果. ...

Nonlinear scalar field equations, I:Existence of a ground state

1983

... 此方程的解随着半径增加到最大值,并在无穷远处减小且收敛为零.因此,不能利用移动平面法研究此类Schrödinger方程.在文献[19]中, Berestycki和Lions通过约束最小化方法给出了此类方程的一些对称性结果.利用相同的方法, Dipierro、Palatucci和Valdinoci在文献[20]中研究了以下Schrödinger型分数阶Laplace方程 ...

Existence and symmetry results for a Schr?dinger type problem involving the fractional Laplacian

2013

Radial symmetry for positive solutions of fractional p-Laplacian equations via constrained minimization method

2018

... 正解的对称性问题.最近,本文的第一作者在文献[21]中给出了分数阶

$p$

-Laplace方程 ...

An embedding theorem for sobolev spaces related to non-smooth vector fieldsand harnack inequality

1984

... 下是一个Banach空间.若

$\Omega$

有界且

$2<q <\frac{pQ}{Q-p}$

,则有以下紧嵌入(参见文献[22]) ...

... Franchi和Lanconelli在文献[22]中证明了如下不等式. ...

Isoperimetric inequalities and applications

1980

... 其中

$u^*(x)$

表示

$u$

的Schwarz对称化,其具有递减性与对称性. Schwarz对称化具有以下基本属性,具体可参考文献[23-24]. ...

1985

... 其中

$u^*(x)$

表示

$u$

的Schwarz对称化,其具有递减性与对称性. Schwarz对称化具有以下基本属性,具体可参考文献[23-24]. ...

〈

〉