对于$ {\Bbb R}^n $上具有紧支撑的Borel概率测度$ \mu $,如果在$ L^2(\mu) $空间中存在指数正交基$ E(\Lambda): = \{{\rm e}^{2\pi {\rm i}\langle \lambda, x\rangle }:\lambda\in\Lambda\} $,其中$ \Lambda $是$ {\Bbb R}^n $中的离散集合,我们则称$ \mu $为谱测度, $ \Lambda $为$ \mu $的谱.对于Lebesgue测度而言,众所周知, $ L^2([0, 1]) $中存在由正交指数函数形成的基,因此$ [0, 1] $区间上的Lebesgue测度是一个谱测度.一个自然的问题是:存不存在奇异的谱测度? 1998年, Jorgenson和Pederson在文献[1]中首先发现奇异的、非原子的谱测度.

设$ {\cal D} $为$ {\Bbb Z}^n $中的有限集和$ R\in M_n({\Bbb Z}) $是$ n $阶整数扩张矩阵(即$ R $的所有特征值的模大于1).考虑迭代函数系(IFS): $ \{\phi_d(x): = R^{-1}(x+d)\}_{d\in {\cal D}} $,那么存在唯一的紧集$ T: = T(R, {\cal D}) $和唯一的测度$ \mu: = \mu_{R, {\cal D}} $满足$ T = \bigcup\limits_{d\in {\cal D}}\phi_d(T) $和

(1.1) $ \begin{equation} \mu = \frac1{\#{\cal D}}\sum\limits_{d\in {\cal D}}\mu\circ\phi_d^{-1}. \end{equation} $

容易看到$ \mu $的支撑在$ T $上.我们称满足方程(1.1)的测度为自仿测度.对于$ T $,我们可以利用向径展开给出它的一个更显示的表达式

(1.2) $ \begin{eqnarray} T = \Big\{\sum\limits_{j = 1}^{\infty}R^{-j}d_j:d_j\in {\cal D}\Big\}. \end{eqnarray} $

设$ S\subset{\Bbb Z}^n $是与$ {\cal D} $具有相同基数的有限数字集, $ R^* $表示$ R $的共轭转置矩阵,对于对偶迭代函数系IFS: $ \{\psi_s(x) = R^*x+s\}_{s\in S} $,我们用

(1.3) $ \begin{eqnarray} \Lambda(R, S): = \Big\{\sum\limits_{j = 0}^{k-1}R^{*j}s_j: k\geq1, s_j\in S\Big\} \end{eqnarray} $

表示$ \{\psi_s(x)\}_{s\in S} $作用下零的轨道.

关于自仿测度的谱性问题已有许多的结论.一维情形下, Jorgensen和Pederson在文献[1]中证明了所有的$ 1/(2k) $ -康托测度都是谱测度($ k\geq 1 $).戴欣荣在文献[2]中证明了Bernoulli卷积$ \mu_\rho $是谱测度的充要条件是$ \rho = 1/(2k) $.平面情形下,李建林在文献[3-7]中考虑了某些自仿测度的谱性.然而对于高维情形的研究相对较少,目前只有少数的一些关于自仿测度谱性的结果参见文献[8-9].最近刘竟成和罗军在文献[10]中研究了由$ n $阶整数扩张矩阵$ R $和连续共线的数字集$ {\cal D} = \{0, 1, \cdots, q-1\}u\; (u\in {\Bbb Z}^n\setminus\{0\}, \; q\geq 2) $生成的自仿测度$ \mu_{R, {\cal D}} $的谱性,给出了$ \mu_{R, D} $为谱测度的一个充分条件,但没有给出它的谱.

定理1.1^[10]  设$ R\in M_n({\Bbb Z}) $为扩张矩阵,矩阵$ R_1 $由(2.7)式给出,并且数字集$ {\cal D} = \{0, 1, \cdots, q-1\}u, u\in {\Bbb Z}^n\setminus\{0\} $.若向量组$ u, Ru, \cdots, R^{n-1}u $的秩为$ r $,则

(ⅰ)如果$ \gcd(q, \det(R_1)) > 1 $,那么$ \mu_{R, {\cal D}} $有无穷多个正交指数函数;

(ⅱ)如果$ q\mid\det(R_1) $,那么$ \mu_{R, {\cal D}} $是谱测度.

特别地,当$ R_1 $的特征多项式为$ f(x) = x^r+c $时,上述两个充分条件可以改成充分必要条件.

受此激发,本文研究$ {\Bbb R}^n $中一类更一般的$ N $ ($ N\geq 2 $)元数字集.对任意非零向量$ u\in{\Bbb Z}^n $,令

(1.4) $ \begin{equation} {\cal D} = \{0, a_1, \cdots, a_{N-1}\} u\equiv\{0, 1, \cdots, N-1\}u \ ({\rm mod}N). \end{equation} $

由(1.4)式给出的数字集除了包含连续共线的数字集$ \{0, 1, \cdots, q-1\}u $之外,还包含非连续的共线数字集,如$ \{0, 1, 5\}u $,因此是文献[10]的一个推广.在本文中我们总是假设$ u\in{\Bbb Z}^n\setminus\{0\} $.

定理1.2  设$ R\in M_n({\Bbb Z}) $为扩张矩阵和$ N $元数字集$ {\cal D} = \{0, a_1, \cdots, a_{N-1}\} u\equiv\{0, 1, \cdots, $$ N-1\}u \ ({\rm mod}N) $, $ u\in{\Bbb Z}^n\setminus\{0\} $.如果$ \gcd(N, \det(R)) > 1 $并且向量组$ u, Ru, \cdots, R^{n-1}u $是线性无关的,那么$ L^2(\mu_{R, {\cal D}}) $有无穷多个正交指数函数.进一步,如果$ N\mid\det(R) $,则$ \mu_{R, {\cal D}} $是谱测度.

特别地,如果数字集$ {\cal D} = \{0, a, b\} u\equiv \{0, 1, 2\}u \pmod 3 $,矩阵$ R $的特征多项式为$ x^n+p $,我们得到了$ \mu_{R, {\cal D}} $为谱测度的一个的充要条件,并给出其谱的一个表达式.

定理1.3  设三元数字集$ {\cal D} = \{0, a, b\} u\equiv \{0, 1, 2\}u \pmod 3 $,整数扩张矩阵$ R $的特征多项式为$ x^n+p $,并且向量组$ u, Ru, \cdots, R^{n-1}u $是线性无关的.那么$ \mu_{R, {\cal D}} $是谱测度当且仅当$ 3\mid \det(R) $.

定理1.4  在定理1.3的假设下,

$ \begin{eqnarray*} \Lambda = \Big\{q\sum\limits_{j = 0}^{k-1}B^{*-1}(\widetilde{R}^{*j}s_j): k\geq1, s_j\in \{0, 1, -1\}(\frac{p}3, 0, \cdots, 0)^t\Big\} \end{eqnarray*} $

是$ \mu_{R, {\cal D}} $的谱,这里$ q = \gcd(a, b) $, $ B = [R^{n-1}u, R^{n-2}u, \cdots, u] $并且$ \widetilde{R} = B^{-1}RB $.

本文按以下方式组织的.在第2节中我们主要证明了定理1.2和1.3.在第3节中我们给出了定理1.3中$ \mu_{R, {\cal D}} $的一个谱.此外如果向量组$ u, Ru, \cdots, R^{n-1}u $线性相关,我们也得到了与定理1.2-1.4相似的结论,这些内容会放在第2和第3节讨论.

设$ \mu $是$ {\Bbb R}^n $上具有紧支撑的概率测度, $ \mu $的Fourier变换定义为$ \widehat{\mu}(\xi) = \int {\rm e}^{2\pi {\rm i}\langle\xi, x\rangle}{\rm d}\mu(x) $.对于由方程(1.1)定义的自仿测度$ \mu_{R, {\cal D}} $,我们容易得到

(2.1) $ \begin{eqnarray} \widehat{\mu}_{R, {\cal D}}(\xi) = \prod\limits_{j = 1}^{\infty}m_{\cal D}(R^{*-j}\xi),~\xi\in{\Bbb R}^n, \end{eqnarray} $

其中$ R^* $表示$ R $的共轭转置矩阵并且

(2.2) $ \begin{eqnarray} m_{\cal D}(x) = \frac1{\#{\cal D}}\sum\limits_{d\in {\cal D}}{\rm e}^{2\pi {\rm i}\langle d, x\rangle},~ x\in{\Bbb R}^n. \end{eqnarray} $

$ m_{\cal D}(x) $被称为数字集$ {\cal D} $的Mask多项式.若$ D\subset {\Bbb Z}^n $,很显然$ m_{\cal D}(x) $是一个$ {\Bbb Z}^n $ -周期函数.我们用$ {\cal Z}(m_{\cal D}) = \{x\in{\Bbb R}^n:m_{\cal D}(x) = 0\} $表示$ m_{\cal D}(x) $的零点集.

接下来我们介绍几个定义和引理.

定义2.1  设$ R $是$ n $阶整数扩张矩阵, $ {\cal D} $和$ {\cal V} $是$ {\Bbb Z}^n $中具有相同基数$ N $的有限数字集.如果$ n $阶矩阵$ H = \frac1{\sqrt{N}}[{\rm e}^{2\pi {\rm i}\langle R^{-1}d, v\rangle}]_{d\in {\cal D}, v\in{\cal V}} $是酉矩阵(即$ HH^* $为单位矩阵),称$ (R^{-1}{\cal D}, {\cal V}) $为和谐对,同时也称$ (R, {\cal D}, {\cal V}) $为Hadamard三元组.

引理2.1^[9]  设$ R $是$ n $阶整数扩张矩阵, $ {\cal D} $和$ {\cal V} $是$ {\Bbb Z}^n $中具有相同基数的有限数字集.若$ (R, {\cal D}, {\cal V}) $是Hadamard三元组,则由方程(1.1)给出的自仿测度$ \mu_{R, {\cal D}} $是谱测度.

设$ R, \widetilde{R} $是两个$ n $阶整数扩张矩阵, $ {\cal D}, \widetilde{{\cal D}}, {\cal V}, \widetilde{{\cal V}}\subset {\Bbb Z}^n $是四个基数相同的数字集.如果存在可逆整数矩阵$ B\in M_n({\Bbb Z}) $,使得$ \widetilde{R} = B^{-1}RB, \widetilde{{\cal D}} = B^{-1}{\cal D} $和$ {\cal V} = B^*{\cal V} $,则称两个三元组$ (R, {\cal D}, {\cal V}) $和$ (\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}, \widetilde{{\cal V}}) $是共轭的.

引理2.2^[10]  设$ (R, {\cal D}, {\cal V}) $和$ (\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}, \widetilde{{\cal V}}) $是两个共轭三元组.

(ⅰ)若$ (R, {\cal D}, {\cal V}) $是Hadamard三元组,则$ (\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}, \widetilde{{\cal V}}) $也是Hadamard三元组;

(ⅱ) $ \mu_{R, {\cal D}} $为具有谱$ \Lambda $的谱测度当且仅当$ \mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}} $为具有谱$ B^*\Lambda $的谱测度;

(ⅲ) $ \mu_{R, {\cal D}} $在$ L^2(\mu_{R, {\cal D}}) $中有无穷多个正交指数函数$ E(\Lambda) $当且仅当$ \mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}} $在$ L^2(\mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}) $中有无穷多个正交指数函数$ E(B^*\Lambda) $.

定理1.2的证明  设$ n $阶整数扩张矩阵$ R $的特征多项式为$ f(x) = x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0 $.引入矩阵$ B = [R^{n-1}u, R^{n-2}u, \cdots, Ru, u] $.根据文献[10]中的引理3.1,我们可得

(2.3) $ \begin{eqnarray} &B^{-1}RB = \left[ \begin{array}{ccccc} -c_{n-1}& 1 &0& \cdots &0\\ -c_{n-2}&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -c_1&0&0&\cdots&1\\ -c_0&0&0&\cdots&0\\ \end{array} \right]: = \widetilde{R} \end{eqnarray} $

和$ B^{-1}u = (0, 0, \cdots, 0, 1)^t: = \widetilde{u} $.根据引理2.2,我们现只需证明定理对于由$ \widetilde{R} $和$ \widetilde{{\cal D}} = \{0, a_1, a_2, \cdots, a_{N-1}\}\widetilde{u} $所生成的测度$ \mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}} $成立.

令$ d = \gcd(N, \det(R)) $和$ \alpha = (0, \cdots, 0, 1/d)^t $,容易验证$ \alpha\in {\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}}) $并且$ \widetilde{R}^*\alpha = (-c_0/d, 0, 0, \cdots, 0)^t $.注意到$ c_0 = (-1)^n \det(R) $,因此$ \widetilde{R}^*\alpha\in {\Bbb Z}^n $.由文献[4]中的定理2可知$ \mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}} $有无穷多个正交指数函数,再由引理2.2即得定理1.2的第一部分的证明.

若$ N\mid \det(R) $,设$ v = (\frac{-c_0}N, 0\cdots0)^t, \widetilde{{\cal V}} = \{0, 1, 2, \cdots, N-1\}v $,则有$ |\widetilde{{\cal D}}| = |\widetilde{{\cal V}}| = N $和$ \widetilde{{\cal V}}\subset {\Bbb Z}^n $.另外

$ \begin{eqnarray*} &\widetilde{R}^{-1}\widetilde{u} = \left[ \begin{array}{ccccc} 0& 0 &\cdots& 0 & \frac{-1}{c_0}\\ 1&0&\cdots&0& \frac{-c_{n-1}}{c_0}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0& \frac{-c_2}{c_0}\\ 0&0&\cdots&1& \frac{-c_1}{c_0}\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{-1}{c_0}\\ \frac{-c_{n-1}}{c_0}\\ \vdots\\ \frac{-c_2}{c_0}\\ \frac{-c_1}{c_0} \end{array} \right]. \end{eqnarray*} $

因此

$ \begin{eqnarray*} H = \frac1{\sqrt{N}}\Big[{\rm e}^{2\pi {\rm i}\langle\widetilde{R}^{-1}\widetilde{d}, \widetilde{v}\rangle }\Big]_{\widetilde{d}\in \widetilde{{\cal D}}, \widetilde{v}\in\widetilde{{\cal V}}} = \frac1{\sqrt{N}}\Big[{\rm e}^{2\pi {\rm i}\frac{kl}{N}}\Big]_{k, l\in\{0, 1, \cdots, N-1\}} \end{eqnarray*} $

是酉矩阵,从而$ (\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}, \widetilde{{\cal V}}) $是Hadamard三元组.由引理2.1和2.2可知$ \mu_{R, {\cal D}} $是谱测度,这就完成定理的另一部分证明.

为了证明定理1.3,我们先介绍组合数学中著名的Ramsey定理,参见文献[11].

定理2.1 (Ramsey定理)  假设$ X $是一个无限集合,令$ X^{(k)} $表示$ X $的所有只有$ k $个元素的子集的全体集合.如果$ X^{(k)} $能分成$ r $个不相交的子集,即$ X^{(k)} = C_1\cup\cdots\cup C_r $,那么存在$ X $的一个无限子集$ X_1 $和某个$ C_i (1\leq i \leq r) $使得$ X_1^{(k)}\subset C_i $.

定理1.3的证明  类似于定理1.2,我们通过一个共轭变换将$ \mu_{R, {\cal D}} $转化为测度$ \mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}} $,从而间接地研究其谱性.注意到$ R $的特征多项式为$ f(x) = x^n+p $,由(2.3)式知矩阵$ \widetilde{R} $为

(2.4) $ \begin{equation} \widetilde{R} = B^{-1}RB = \left[ \begin{array}{ccccc} 0& 1 &0& \cdots &0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ -p&0&0&\cdots&0\\ \end{array} \right], \end{equation} $

并且数字集$ \widetilde{{\cal D}} = \{0, a, b\}\widetilde{u} $,其中$ \widetilde{u} = (0, 0, \cdots, 1)^t $.类似于定理1.2的证明,我们很容易得到其充分性的证明.

下面我们证明必要性.假设$ 3\nmid\det(R) $.令$ {\cal Z}(\widehat{\mu}_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}) $为$ \widehat{\mu}_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}} $的零点集.我们首先断言

(2.5) $ \begin{equation} {\cal Z}(\widehat{\mu}_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}) = \bigcup\limits_{l = 1}^{\infty}\widetilde{R}^{*l}{\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}}) = \bigcup\limits_{l = 1}^{n}\widetilde{R}^{*l} {\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}}). \end{equation} $

第一个等式来自于定义(2.1)式.对任意$ x = (x_1, \cdots, x_n)^t\in{\Bbb R}^n $,容易验证

$ \widetilde{R}^{*}x = (-px_{n}, x_1, \cdots , x_{n-1})^t. $

这就表明对所有的$ k\geq0, 1\leq l\leq n $都有$ \widetilde{R}^{*(kn+l)} {\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}}) = \widetilde{R}^{*l}((-p)^k {\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}})) $.注意到$ \{a, b\}\equiv\{1, 2\}\ (\bmod 3) $并且$ m_{\widetilde{{\cal D}}}(\eta) = \frac13(1+{\rm e}^{2\pi {\rm i}a\eta_n}+{\rm e}^{2\pi {\rm i}b\eta_n}), \eta = (\eta_1, \cdots, \eta_n)^t $.令$ d = \gcd(a, b) $,不难证明$ {\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}}) $具有以下的形式

(2.6) $ \begin{equation} \left\{(\eta_1, \cdots, \eta_{n-1}, k+\frac{j}{3d})^t: \eta_1, \cdots, \eta_{n-1}\in{\Bbb R}, k\in {\Bbb Z}, 1\leq j\leq3d-1, 3\nmid j\right\}. \end{equation} $

对任意的$ q\notin 3{\Bbb Z}, j\notin3{\Bbb Z} $,存在$ 1\leq i \leq 3d-1, 3\nmid i $使得$ qj\equiv i \pmod {3d} $,这隐含了$ q{\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}})\subset {\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}}) $.因此(2.5)式成立.

既然$ \mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}} $是谱测度,令$ \Lambda $是它的谱.由正交性知$ (\Lambda-\Lambda)\setminus\{0\}\subset {\cal Z}(\widehat{\mu}_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}) $.根据Ramsey定理,存在$ \Lambda $的一个无限子集$ \Lambda_1 $和$ 1\leq l \leq n $使得$ (\Lambda_1-\Lambda_1) \setminus\{0\}\subset \widetilde{R}^{*l} {\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}}) $ (这里可以把$ \Lambda^{(2)} $分为$ \cup_{l = 1}^n\{\{\lambda, \lambda'\}\colon \lambda-\lambda'\in \widetilde{R}^{*l}{\cal Z} (m_{\widetilde{{\cal D}}})\} $).我们可以假定$ 0\in \Lambda_1 $,则$ \Lambda_1\setminus\{0\}\subset \widetilde{R}^{*l}{\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}}) $.注意$ \widetilde{R}^{*l}{\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}}) $中每个元素的第$ l $个分量都具有$ k-\frac{pj}{3d} \; (1\leq j\leq3d-1, 3\nmid j) $的形式.因此存在$ 1\leq j_0\leq3d-1, 3\nmid j_0 $和$ \Lambda_1 $的一个无限子集$ \Lambda_2 $使得$ \Lambda_2 $中每个元素的第$ l $个分量都具有$ k-\frac{pj_0}{3d} $的形式.因此

$ (\Lambda_2-\Lambda_2)\setminus \{0\} = \{(x_1, \cdots , x_{l-1}, k, x_{l+1}, \cdots , x_n)^t\colon x_1, \cdots , x_n\in{\Bbb R}, k\in{\Bbb Z}\}. $

这与$ (\Lambda_2-\Lambda_2)\setminus\{0\}\subset \widetilde{R}^{*l} {\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}}) $矛盾.从而$ 3\mid \det(R) $.

上面我们考虑了向组$ u, Ru, \cdots, R^{n-1}u $线性无关的情形,接下来我们考虑线性相关的情形,为了得到后面的结论我们需要下面的一个引理.

引理2.3^[10]  设$ u\in{\Bbb Z}^n\setminus\{0\} $和$ R\in M_n({\Bbb Z}) $为扩张矩阵.若$ u, Ru, \cdots, R^{n-1}u $线性相关,其秩为$ r(< n) $,则存在一个幺模矩阵$ B\in M_n({\Bbb Z}) $使得$ Bu = (x_1, \cdots, x_r, 0, \cdots, 0)^t $且

(2.7) $ \begin{eqnarray} \widetilde{R} = BRB^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} R_1&C\\ 0&R_2\\ \end{array} \right], \end{eqnarray} $

其中$ R_1\in M_r({\Bbb Z}), R_2\in M_{n-r}({\Bbb Z}) $和$ C\in M_{r, n-r}({\Bbb Z}) $.

定理2.2  设$ R\in M_n({\Bbb Z}) $为扩张矩阵和数字集$ {\cal D} = \{0, a_1, \cdots, a_{N-1}\} u\equiv\{0, 1, \cdots, $$ N-1\}u \ ({\rm mod}N) $.若向量组$ u, Ru, \cdots, R^{n-1}u $线性相关,其秩为$ r(< n) $,则以下叙述成立:

(ⅰ)如果$ \gcd(N, \det(R_1)) > 1 $,那么$ L^2(\mu_{R, D}) $有无穷多个正交指数函数,其中$ R_1 $由(2.7)式给出;

(ⅱ)如果$ N\mid \det(R_1) $,那么$ \mu_{R, {\cal D}} $是谱测度.

特别地,若$ {\cal D} = \{0, a, b\}u\equiv\{0, 1, 2\}u \pmod 3 $和$ R_1 $的特征多项式为$ f(x) = x^r+p $,则$ \mu_{R, D} $是谱测度当且仅当$ 3\mid \det(R_1) $.

证  令幺模矩阵$ B $, $ \widetilde{u} = Bu = (x_1, \cdots, x_r, 0, \cdots, 0)^t $和矩阵$ \widetilde{R} $都由引理2.3给出.设$ \widetilde{{\cal D}} = \{0, a_1, a_2, \cdots, a_{N-1}\}\widetilde{u} $,因此我们只需考虑$ \mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}} $.对于$ j\geq 1 $,我们有

$ \begin{eqnarray*} \widetilde{R}^{*-j} = \left[ \begin{array}{cc} R_1^{*-j}&0\\ \ast &R_2^{*-j}\\ \end{array} \right]. \end{eqnarray*} $

设$ {\cal D}' = \{0, a_1, \cdots, a_{N-1}\}u',~ u' = (x_1, \cdots, x_r)^t $.对于$ \eta = (\eta_1, \cdots, \eta_n)^t\in{\Bbb R}^n $,我们记$ \eta' = (\eta_1, \cdots, \eta_r)^t $.由(2.1)式和(2.2)式我们有

$ \begin{eqnarray*} \widehat{\mu}_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}(\eta)& = &\prod\limits_{j = 1}^{\infty} \left(\frac1{|\widetilde{{\cal D}}|}\sum\limits_{d\in \widetilde{{\cal D}}}{\rm e}^{2\pi {\rm i}\langle d, \widetilde{R^{*}}^{-j}\eta\rangle}\right) = \prod\limits_{j = 1}^{\infty}\left(\frac1N \big(1+\sum\limits_{i = 1}^{N-1}{\rm e}^{2\pi {\rm i}\langle a_i\widetilde{u}, \widetilde{R^{*}}^{-j}\eta\rangle}\big)\right)\\ & = &\prod\limits_{j = 1}^{\infty}\left(\frac1N \big(1+\sum\limits_{i = 1}^{N-1}{\rm e}^{2\pi {\rm i}\langle a_iu', \widetilde{R_1^{*}}^{-j}\eta'\rangle}\big)\right) = \widehat{\mu}_{R_1, {\cal D}'}(\eta'). \end{eqnarray*} $

若$ E(\Lambda) $是$ L^2(\mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}) $的一个正交系或正交基,设$ \Lambda_r = \{\lambda' = (\lambda_1, \cdots, \lambda_r)^t:\lambda = (\lambda_1\cdots\lambda_n)^t\in\Lambda\} $,则$ E(\Lambda_r) $是$ L^2(\mu_{R_1, {\cal D}'}) $的一个正交系或正交基.相反地,若$ E(\Lambda_r) $是$ L^2(\mu_{R_1, {\cal D}'}) $的一个正交系或正交基,我们设

(2.8) $ \begin{eqnarray} \Lambda = \left\{\left( \begin{array}{c} \lambda'\\ \psi(\lambda')\\ \end{array} \right):\lambda'\in\Lambda_r\right\}, \end{eqnarray} $

其中$ \psi:\Lambda_r\rightarrow {\Bbb R}^{n-r} $是一个任意的单值函数,因此$ E(\Lambda) $是$ L^2(\widehat{\mu}_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}) $的一个正交系或正交基.从而$ \mu_{R_1, {\cal D}'} $和$ \mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}} $有相同的谱性.由引理2.3我们知向量$ R_1^{r-1}u', R_1^{r-2}u', \cdots, R_1u', u' $是线性无关的.利用定理1.2和1.3可得定理2.2对$ \mu_{R_1, {\cal D}'} $成立,从而对$ \mu_{R, D} $也成立.

为了证明定理1.4,我们需要用到下面的引理.

引理3.1^[12]  设$ R\in M_n({\Bbb Z}) $为扩张矩阵, $ D $和$ S $是$ {\Bbb Z}^n $中两个具有相同基数的有限数字集,且满足$ (R^{-1}D, S) $是和谐对,并且$ 0\in D\cap S $.如果$ Z(m_{R^{-1}D}) $的零点集与集合$ T(R^*, S) $不相交,则$ \Lambda(R, S) $是$ \mu_{R, D} $的谱.

定理1.4的证明  我们分$ \gcd(a, b) = 1 $和$ \gcd(a, b) = q > 1 $两种情况来讨论$ \mu_{R, {\cal D}} $的谱.

首先考虑$ \gcd(a, b) = 1 $的情形.设$ \widetilde{{\cal D}} = \{0, 1, -1\}\widetilde{u}\pmod 3, \; \widetilde{u} = (0, 0, \cdots, 1)^t $和$ \widetilde{R} $由(2.4)式给出,下面我们考虑$ \mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}} $的谱.设$ \widetilde{S} = \{0, 1, -1\}(\frac{p}3, 0, \cdots, 0)^t $,由定理1.3知$ (\widetilde{R}^{-1}\widetilde{D}, \widetilde{S}) $是和谐对.记$ \eta = (\eta_1, \cdots, \eta_n)^t\in{\Bbb R}^n $,由(2.2)式我们可知数字集$ \widetilde{R}^{-1}\widetilde{{\cal D}} $的Mask多项式的零点集

$ \begin{eqnarray*} {\cal Z}(m_{\widetilde{R}^{-1}\widetilde{D}}) = \{x\in{\Bbb R}^n\colon m_{\widetilde{R}^{-1}\widetilde{D}}(x) = 0\} = \{x\in{\Bbb R}^n\colon m_{\widetilde{D}}(\widetilde{R}^{*-1}x) = 0\} = \widetilde{R}^*{\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}}), \end{eqnarray*} $

这里$ {\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}}) $由(2.6)式给出.因此

$ \begin{eqnarray*} {\cal Z}(m_{\widetilde{R}^{-1}\widetilde{D}}) = \{x = (kp+\frac{pi}3, x_2, \cdots, x_n)^t\in{\Bbb R}^n : x_1, \cdots, x_{n-1}\in{\Bbb R}, k\in {\Bbb Z}, i = 1, 2\}. \end{eqnarray*} $

另外由(2.4)式通过递推可得

(3.1) $ \begin{eqnarray} &\widetilde{R}^{*-j} = \left[ \begin{array}{cc} 0& \big(\frac{-1}{p}\big)^{k-1} I_{kn-j}\\ \big(\frac{-1}{p}\big)^k I_{j-(k-1)n}&0\\ \end{array} \right], \;\;(k-1)n< j\leq kn, \; k = 1, 2, \cdots, \end{eqnarray} $

其中$ I_{kn-j}, \; I_{j-(k-1)n} $分别为$ kn-j $阶和$ j-(k-1)n $阶单位矩阵.记$ \xi = (\xi_1\cdots\xi_n)^t\in{\Bbb R}^n $,结合(1.2)式我们有

(3.2) $ \begin{eqnarray} T(\widetilde{R}^*, \widetilde{S}) = \Big\{\xi = \sum\limits_{j = 1}^{\infty}\widetilde{R}^{*-j}s_j: s_j\in\widetilde{S}\Big\}. \end{eqnarray} $

为证明$ {\cal Z}(m_{\widetilde{R}^{-1}\widetilde{D}}) \cap T(\widetilde{R}^*, \widetilde{S}) = \emptyset $,我们只需证明对任意的$ \eta = (\eta_1, \cdots, \eta_n)\in {\cal Z}(m_{\widetilde{R}^{-1}\widetilde{D}}) $和$ \xi = (\xi_1, \cdots, \xi_n)\in T(\widetilde{R}^*, \widetilde{S}) $都有$ \eta_1\neq \xi_1 $.根据(3.1)式和(3.2)式可知

$ \begin{eqnarray*} \xi_1\in\frac{p}3\Big\{\sum\limits_{j = 1}^{\infty}\big(\frac{-1}{p}\big)^js_j:s_j\in\{0, 1, -1\}\Big\}\subset(-\frac23, \frac23). \end{eqnarray*} $

另外$ \eta_1 = kp+\frac{pi}3, k\in {\Bbb Z}, i = 1, 2 $.很显然有$ kp+\frac{pi}3\in {\Bbb Z}\setminus\{0\} $,即$ \eta_1\notin (-\frac23, \frac23) $.因此, $ {\cal Z}(m_{\widetilde{R}^{-1}\widetilde{D}}) $与$ T(\widetilde{R}^*, \widetilde{S}) $不相交.由引理3.1和(1.3)式可知

$ \begin{eqnarray*} \Lambda(\widetilde{R}, \widetilde{S}) = \Big\{\sum\limits_{j = 0}^{k-1}\widetilde{R}^{*j}s_j: k\geq1, s_j\in \widetilde{S} = \{0, 1, -1\}(\frac{p}3, 0, \cdots, 0)^t\Big\} \end{eqnarray*} $

是$ \mu_{\widetilde{R}, \widetilde{D}} $的谱.由引理2.2(ii)可得$ B^{*-1}\Lambda(\widetilde{R}, \widetilde{S}) $为$ \mu_{R, {\cal D}} $的谱.因此$ \gcd(a, b) = 1 $的情形得证.

接着我们考虑$ \gcd(a, b) = q > 1 $的情形.记$ a = qs, b = qt $,其中$ \gcd(s, t) = 1 $.则$ {\cal D} = \{0, qs, qt\}u = \{0, s, t\}qu\equiv\{0, 1, 2\}qu \pmod3 $.这时取$ B' = \frac1qB $,重复上面的证明过程即得定理的证明.

接下来我们举一个例子,然后利用定理1.3来证明它是谱测度,并用定理1.4给出它的一个谱.

例3.1  设

$ R = \left[ \begin{array}{ccc} 1& -2 &-2\\ 2&2&-1\\ 1&1&-3\\ \end{array} \right] $

和数字集$ {\cal D} = \{0, 1, 5\}u, u = (0, 0, 1)^t $.显然$ R $为扩张矩阵,特征多项式为$ f(x) = x^3+15 $并且向量组$ u, Ru, R^2u $线性无关.由定理1.3可知$ \mu_{R, {\cal D}} $是谱测度.

现在我们用定理1.4来计算例3.1中测度$ \mu_{R, {\cal D}} $的谱$ \Lambda $.很容易能算出

$ B = [R^{n-1}u, R^{n-2}u, \cdots, u] = \left[ \begin{array}{ccc} 6& -2 &0\\ -3&-1&0\\ 6&-3&1\\ \end{array} \right]. $

因此不难得到

$ B^{-1} = \frac{-1}{12}\left[ \begin{array}{ccc} -1& 2 &0\\ 3&6&0\\ 15&6&-12\\ \end{array} \right],~ B^{*-1} = \frac{-1}{12}\left[ \begin{array}{ccc} -1& 3 &15\\ 2&6&6\\ 0&0&-12\\ \end{array} \right], $

$ \widetilde{R} = B^{-1}RB = \left[ \begin{array}{ccc} 0& 1 &0\\ 0&0&1\\ -15&0&0\\ \end{array} \right],~ s_j\in\left\{ \left(\begin{array}{c} 0\\0\\0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 5\\0\\0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} -5\\0\\0 \end{array}\right)\right\}, $

$ \widetilde{R}^{*j} = \left[ \begin{array}{cc} 0&(-15)^{k} I_{j-3(k-1)}\\ (-15)^{k-1} I_{3k-j}&0\\ \end{array} \right],~ 3(k-1)< j\leq 3k, k = 1, 2, \cdots . $

代入定理1.4,得到

$ \Lambda = \left\{-5\sum\limits_{j = 0}^{k-1}(-15)^{[\frac{j}3]}\left\{ \left(\begin{array}{cc} -\frac{1}{12}\\ \frac{1}{6}\\ 0 \end{array}\right)\alpha_j+ \left(\begin{array}{cc} \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}\\ 0 \end{array}\right)\beta_j+ \left(\begin{array}{cc} \frac{5}{4}\\ \frac{1}{2}\\ -1 \end{array}\right)\gamma_j\right\}: k = 1, 2, \cdots \right\}, $

其中对于$ j\geq0 $,

$ \begin{eqnarray*} \alpha_j\in\left\{\begin{array}{ll} \{0, \pm1\}, & j = 3l, \\ \{0\}, & j\neq 3l. \end{array}\right. \beta_j\in\left\{\begin{array}{ll} \{0, \pm1\}, & j = 3l+1, \\ \{0\}, & j\neq 3l+1. \end{array}\right. \gamma_j\in\left\{\begin{array}{ll} \{0, \pm1\}, & j = 3l+2, \\ \{0\}, & j\neq 3l+2. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

在本文的最后我们给出定理1.3中的$ \mu_{R, {\cal D}} $在$ u, Ru, \cdots, R^{n-1}u $线性相关时的谱.假设向量组$ u, Ru, \cdots, R^{n-1}u $的秩为$ r(< n) $,令$ R_1 $和$ u' = (x_1, \cdots, x_r)^t $由引理2.3给出,并且$ {\cal D}' = \{0, a, b\}u' $.根据定理2.2,当$ 3\mid \det(R_1) $时$ \mu_{R_1, {\cal D}'} $是谱测度,记它的谱为$ \Lambda_r $.由此我们可以给出$ \mu_{R, {\cal D}} $的一个谱.

定理3.1  在定理1.3中,假设向量组$ u, Ru, \cdots, R^{n-1}u $线性相关并且秩为$ r(< n) $.令$ R_1 $是引理2.3中给出的矩阵,那么当$ 3\mid \det(R_1) $时,

$ \begin{eqnarray*} \Lambda = \left\{B^{*-1}\left( \begin{array}{c} \lambda\\ \psi(\lambda)\\ \end{array} \right):\lambda\in\Lambda_r\right\} \end{eqnarray*} $

是$ \mu_{R, {\cal D}} $的谱,其中$ \psi:\Lambda_r\rightarrow {\Bbb R}^{n-r} $是一个任意的单值函数.

证  设$ B_r = [R_1^{r-1}u', R_1^{r-2}u', \cdots, R_1u', u'], \widetilde{R}_1 = B^{-1}R_1B $,其中$ u' = (x_1, \cdots, x_r)^t $.由引理2.3,我们知向量组$ R_1^{r-1}u', R_1^{r-2}u', \cdots, R_1u', u' $是线性无关的.利用定理1.4可知

$ \begin{eqnarray*} \Lambda_r = \Big\{q\sum\limits_{j = 0}^{k-1}B_r^{*-1}(\widetilde{R}_1^{*j}s_j): k\geq1, s_j\in \widetilde{S}\Big\} \end{eqnarray*} $

是$ \mu_{R_1, {\cal D}'} $的谱,其中$ \widetilde{S} = \{0, 1, -1\}(\frac{p}3, \underbrace{0, \cdots, 0}_{r-1})^t $, $ {\cal D}' = \{0, a, b\}u' $.由(2.8)式可知

$ \begin{eqnarray*} \Lambda': = \left\{\left( \begin{array}{c} \lambda\\ \psi(\lambda)\\ \end{array} \right):\lambda\in\Lambda_r\right\} \end{eqnarray*} $

是$ \mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}} $的谱,其中$ \psi:\Lambda_r\rightarrow {\Bbb R}^{n-r} $是任意的一个单值函数, $ \widetilde{{\cal D}} = \{0, a, b\}(Bu) $.再由引理2.2(ⅱ)即得定理的结论.