对于${\Bbb R}^n$上具有紧支撑的Borel概率测度$\mu$,如果在$L^2(\mu)$空间中存在指数正交基$E(\Lambda): = \{{\rm e}^{2\pi {\rm i}\langle \lambda, x\rangle }:\lambda\in\Lambda\}$,其中$\Lambda$是${\Bbb R}^n$中的离散集合,我们则称$\mu$为谱测度, $\Lambda$为$\mu$的谱.对于Lebesgue测度而言,众所周知, $L^2([0, 1])$中存在由正交指数函数形成的基,因此$[0, 1]$区间上的Lebesgue测度是一个谱测度.一个自然的问题是:存不存在奇异的谱测度? 1998年, Jorgenson和Pederson在文献[1]中首先发现奇异的、非原子的谱测度.

设${\cal D}$为${\Bbb Z}^n$中的有限集和$R\in M_n({\Bbb Z})$是$n$阶整数扩张矩阵(即$R$的所有特征值的模大于1).考虑迭代函数系(IFS): $\{\phi_d(x): = R^{-1}(x+d)\}_{d\in {\cal D}}$,那么存在唯一的紧集$T: = T(R, {\cal D})$和唯一的测度$\mu: = \mu_{R, {\cal D}}$满足$T = \bigcup\limits_{d\in {\cal D}}\phi_d(T)$和

容易看到$\mu$的支撑在$T$上.我们称满足方程(1.1)的测度为自仿测度.对于$T$,我们可以利用向径展开给出它的一个更显示的表达式

设$S\subset{\Bbb Z}^n$是与${\cal D}$具有相同基数的有限数字集, $R^*$表示$R$的共轭转置矩阵,对于对偶迭代函数系IFS: $\{\psi_s(x) = R^*x+s\}_{s\in S}$,我们用

表示$\{\psi_s(x)\}_{s\in S}$作用下零的轨道.

关于自仿测度的谱性问题已有许多的结论.一维情形下, Jorgensen和Pederson在文献[1]中证明了所有的$1/(2k)$ -康托测度都是谱测度($k\geq 1$).戴欣荣在文献[2]中证明了Bernoulli卷积$\mu_\rho$是谱测度的充要条件是$\rho = 1/(2k)$.平面情形下,李建林在文献[3-7]中考虑了某些自仿测度的谱性.然而对于高维情形的研究相对较少,目前只有少数的一些关于自仿测度谱性的结果参见文献[8-9].最近刘竟成和罗军在文献[10]中研究了由$n$阶整数扩张矩阵$R$和连续共线的数字集${\cal D} = \{0, 1, \cdots, q-1\}u\; (u\in {\Bbb Z}^n\setminus\{0\}, \; q\geq 2)$生成的自仿测度$\mu_{R, {\cal D}}$的谱性,给出了$\mu_{R, D}$为谱测度的一个充分条件,但没有给出它的谱.

定理1.1^[10]  设$R\in M_n({\Bbb Z})$为扩张矩阵,矩阵$R_1$由(2.7)式给出,并且数字集${\cal D} = \{0, 1, \cdots, q-1\}u, u\in {\Bbb Z}^n\setminus\{0\}$.若向量组$u, Ru, \cdots, R^{n-1}u$的秩为$r$,则

(ⅰ)如果$\gcd(q, \det(R_1)) > 1$,那么$\mu_{R, {\cal D}}$有无穷多个正交指数函数;

(ⅱ)如果$q\mid\det(R_1)$,那么$\mu_{R, {\cal D}}$是谱测度.

特别地,当$R_1$的特征多项式为$f(x) = x^r+c$时,上述两个充分条件可以改成充分必要条件.

受此激发,本文研究${\Bbb R}^n$中一类更一般的$N$ ($N\geq 2$)元数字集.对任意非零向量$u\in{\Bbb Z}^n$,令

由(1.4)式给出的数字集除了包含连续共线的数字集$\{0, 1, \cdots, q-1\}u$之外,还包含非连续的共线数字集,如$\{0, 1, 5\}u$,因此是文献[10]的一个推广.在本文中我们总是假设$u\in{\Bbb Z}^n\setminus\{0\}$.

定理1.2  设$R\in M_n({\Bbb Z})$为扩张矩阵和$N$元数字集${\cal D} = \{0, a_1, \cdots, a_{N-1}\} u\equiv\{0, 1, \cdots,$$N-1\}u \ ({\rm mod}N)$, $u\in{\Bbb Z}^n\setminus\{0\}$.如果$\gcd(N, \det(R)) > 1$并且向量组$u, Ru, \cdots, R^{n-1}u$是线性无关的,那么$L^2(\mu_{R, {\cal D}})$有无穷多个正交指数函数.进一步,如果$N\mid\det(R)$,则$\mu_{R, {\cal D}}$是谱测度.

特别地,如果数字集${\cal D} = \{0, a, b\} u\equiv \{0, 1, 2\}u \pmod 3$,矩阵$R$的特征多项式为$x^n+p$,我们得到了$\mu_{R, {\cal D}}$为谱测度的一个的充要条件,并给出其谱的一个表达式.

定理1.3  设三元数字集${\cal D} = \{0, a, b\} u\equiv \{0, 1, 2\}u \pmod 3$,整数扩张矩阵$R$的特征多项式为$x^n+p$,并且向量组$u, Ru, \cdots, R^{n-1}u$是线性无关的.那么$\mu_{R, {\cal D}}$是谱测度当且仅当$3\mid \det(R)$.

定理1.4  在定理1.3的假设下,

是$\mu_{R, {\cal D}}$的谱,这里$q = \gcd(a, b)$, $B = [R^{n-1}u, R^{n-2}u, \cdots, u]$并且$\widetilde{R} = B^{-1}RB$.

本文按以下方式组织的.在第2节中我们主要证明了定理1.2和1.3.在第3节中我们给出了定理1.3中$\mu_{R, {\cal D}}$的一个谱.此外如果向量组$u, Ru, \cdots, R^{n-1}u$线性相关,我们也得到了与定理1.2-1.4相似的结论,这些内容会放在第2和第3节讨论.

设$\mu$是${\Bbb R}^n$上具有紧支撑的概率测度, $\mu$的Fourier变换定义为$\widehat{\mu}(\xi) = \int {\rm e}^{2\pi {\rm i}\langle\xi, x\rangle}{\rm d}\mu(x)$.对于由方程(1.1)定义的自仿测度$\mu_{R, {\cal D}}$,我们容易得到

其中$R^*$表示$R$的共轭转置矩阵并且

$m_{\cal D}(x)$被称为数字集${\cal D}$的Mask多项式.若$D\subset {\Bbb Z}^n$,很显然$m_{\cal D}(x)$是一个${\Bbb Z}^n$ -周期函数.我们用${\cal Z}(m_{\cal D}) = \{x\in{\Bbb R}^n:m_{\cal D}(x) = 0\}$表示$m_{\cal D}(x)$的零点集.

接下来我们介绍几个定义和引理.

定义2.1  设$R$是$n$阶整数扩张矩阵, ${\cal D}$和${\cal V}$是${\Bbb Z}^n$中具有相同基数$N$的有限数字集.如果$n$阶矩阵$H = \frac1{\sqrt{N}}[{\rm e}^{2\pi {\rm i}\langle R^{-1}d, v\rangle}]_{d\in {\cal D}, v\in{\cal V}}$是酉矩阵(即$HH^*$为单位矩阵),称$(R^{-1}{\cal D}, {\cal V})$为和谐对,同时也称$(R, {\cal D}, {\cal V})$为Hadamard三元组.

引理2.1^[9]  设$R$是$n$阶整数扩张矩阵, ${\cal D}$和${\cal V}$是${\Bbb Z}^n$中具有相同基数的有限数字集.若$(R, {\cal D}, {\cal V})$是Hadamard三元组,则由方程(1.1)给出的自仿测度$\mu_{R, {\cal D}}$是谱测度.

设$R, \widetilde{R}$是两个$n$阶整数扩张矩阵, ${\cal D}, \widetilde{{\cal D}}, {\cal V}, \widetilde{{\cal V}}\subset {\Bbb Z}^n$是四个基数相同的数字集.如果存在可逆整数矩阵$B\in M_n({\Bbb Z})$,使得$\widetilde{R} = B^{-1}RB, \widetilde{{\cal D}} = B^{-1}{\cal D}$和${\cal V} = B^*{\cal V}$,则称两个三元组$(R, {\cal D}, {\cal V})$和$(\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}, \widetilde{{\cal V}})$是共轭的.

引理2.2^[10]  设$(R, {\cal D}, {\cal V})$和$(\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}, \widetilde{{\cal V}})$是两个共轭三元组.

(ⅰ)若$(R, {\cal D}, {\cal V})$是Hadamard三元组,则$(\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}, \widetilde{{\cal V}})$也是Hadamard三元组;

(ⅱ) $\mu_{R, {\cal D}}$为具有谱$\Lambda$的谱测度当且仅当$\mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}$为具有谱$B^*\Lambda$的谱测度;

(ⅲ) $\mu_{R, {\cal D}}$在$L^2(\mu_{R, {\cal D}})$中有无穷多个正交指数函数$E(\Lambda)$当且仅当$\mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}$在$L^2(\mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}})$中有无穷多个正交指数函数$E(B^*\Lambda)$.

定理1.2的证明  设$n$阶整数扩张矩阵$R$的特征多项式为$f(x) = x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0$.引入矩阵$B = [R^{n-1}u, R^{n-2}u, \cdots, Ru, u]$.根据文献[10]中的引理3.1,我们可得

和$B^{-1}u = (0, 0, \cdots, 0, 1)^t: = \widetilde{u}$.根据引理2.2,我们现只需证明定理对于由$\widetilde{R}$和$\widetilde{{\cal D}} = \{0, a_1, a_2, \cdots, a_{N-1}\}\widetilde{u}$所生成的测度$\mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}$成立.

令$d = \gcd(N, \det(R))$和$\alpha = (0, \cdots, 0, 1/d)^t$,容易验证$\alpha\in {\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}})$并且$\widetilde{R}^*\alpha = (-c_0/d, 0, 0, \cdots, 0)^t$.注意到$c_0 = (-1)^n \det(R)$,因此$\widetilde{R}^*\alpha\in {\Bbb Z}^n$.由文献[4]中的定理2可知$\mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}$有无穷多个正交指数函数,再由引理2.2即得定理1.2的第一部分的证明.

若$N\mid \det(R)$,设$v = (\frac{-c_0}N, 0\cdots0)^t, \widetilde{{\cal V}} = \{0, 1, 2, \cdots, N-1\}v$,则有$|\widetilde{{\cal D}}| = |\widetilde{{\cal V}}| = N$和$\widetilde{{\cal V}}\subset {\Bbb Z}^n$.另外

因此

是酉矩阵,从而$(\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}, \widetilde{{\cal V}})$是Hadamard三元组.由引理2.1和2.2可知$\mu_{R, {\cal D}}$是谱测度,这就完成定理的另一部分证明.

为了证明定理1.3,我们先介绍组合数学中著名的Ramsey定理,参见文献[11].

定理2.1 (Ramsey定理)  假设$X$是一个无限集合,令$X^{(k)}$表示$X$的所有只有$k$个元素的子集的全体集合.如果$X^{(k)}$能分成$r$个不相交的子集,即$X^{(k)} = C_1\cup\cdots\cup C_r$,那么存在$X$的一个无限子集$X_1$和某个$C_i (1\leq i \leq r)$使得$X_1^{(k)}\subset C_i$.

定理1.3的证明  类似于定理1.2,我们通过一个共轭变换将$\mu_{R, {\cal D}}$转化为测度$\mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}$,从而间接地研究其谱性.注意到$R$的特征多项式为$f(x) = x^n+p$,由(2.3)式知矩阵$\widetilde{R}$为

并且数字集$\widetilde{{\cal D}} = \{0, a, b\}\widetilde{u}$,其中$\widetilde{u} = (0, 0, \cdots, 1)^t$.类似于定理1.2的证明,我们很容易得到其充分性的证明.

下面我们证明必要性.假设$3\nmid\det(R)$.令${\cal Z}(\widehat{\mu}_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}})$为$\widehat{\mu}_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}$的零点集.我们首先断言

第一个等式来自于定义(2.1)式.对任意$x = (x_1, \cdots, x_n)^t\in{\Bbb R}^n$,容易验证

这就表明对所有的$k\geq0, 1\leq l\leq n$都有$\widetilde{R}^{*(kn+l)} {\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}}) = \widetilde{R}^{*l}((-p)^k {\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}}))$.注意到$\{a, b\}\equiv\{1, 2\}\ (\bmod 3)$并且$m_{\widetilde{{\cal D}}}(\eta) = \frac13(1+{\rm e}^{2\pi {\rm i}a\eta_n}+{\rm e}^{2\pi {\rm i}b\eta_n}), \eta = (\eta_1, \cdots, \eta_n)^t$.令$d = \gcd(a, b)$,不难证明${\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}})$具有以下的形式

对任意的$q\notin 3{\Bbb Z}, j\notin3{\Bbb Z}$,存在$1\leq i \leq 3d-1, 3\nmid i$使得$qj\equiv i \pmod {3d}$,这隐含了$q{\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}})\subset {\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}})$.因此(2.5)式成立.

既然$\mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}$是谱测度,令$\Lambda$是它的谱.由正交性知$(\Lambda-\Lambda)\setminus\{0\}\subset {\cal Z}(\widehat{\mu}_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}})$.根据Ramsey定理,存在$\Lambda$的一个无限子集$\Lambda_1$和$1\leq l \leq n$使得$(\Lambda_1-\Lambda_1) \setminus\{0\}\subset \widetilde{R}^{*l} {\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}})$ (这里可以把$\Lambda^{(2)}$分为$\cup_{l = 1}^n\{\{\lambda, \lambda'\}\colon \lambda-\lambda'\in \widetilde{R}^{*l}{\cal Z} (m_{\widetilde{{\cal D}}})\}$).我们可以假定$0\in \Lambda_1$,则$\Lambda_1\setminus\{0\}\subset \widetilde{R}^{*l}{\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}})$.注意$\widetilde{R}^{*l}{\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}})$中每个元素的第$l$个分量都具有$k-\frac{pj}{3d} \; (1\leq j\leq3d-1, 3\nmid j)$的形式.因此存在$1\leq j_0\leq3d-1, 3\nmid j_0$和$\Lambda_1$的一个无限子集$\Lambda_2$使得$\Lambda_2$中每个元素的第$l$个分量都具有$k-\frac{pj_0}{3d}$的形式.因此

这与$(\Lambda_2-\Lambda_2)\setminus\{0\}\subset \widetilde{R}^{*l} {\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}})$矛盾.从而$3\mid \det(R)$.

上面我们考虑了向组$u, Ru, \cdots, R^{n-1}u$线性无关的情形,接下来我们考虑线性相关的情形,为了得到后面的结论我们需要下面的一个引理.

引理2.3^[10]  设$u\in{\Bbb Z}^n\setminus\{0\}$和$R\in M_n({\Bbb Z})$为扩张矩阵.若$u, Ru, \cdots, R^{n-1}u$线性相关,其秩为$r(< n)$,则存在一个幺模矩阵$B\in M_n({\Bbb Z})$使得$Bu = (x_1, \cdots, x_r, 0, \cdots, 0)^t$且

其中$R_1\in M_r({\Bbb Z}), R_2\in M_{n-r}({\Bbb Z})$和$C\in M_{r, n-r}({\Bbb Z})$.

定理2.2  设$R\in M_n({\Bbb Z})$为扩张矩阵和数字集${\cal D} = \{0, a_1, \cdots, a_{N-1}\} u\equiv\{0, 1, \cdots,$$N-1\}u \ ({\rm mod}N)$.若向量组$u, Ru, \cdots, R^{n-1}u$线性相关,其秩为$r(< n)$,则以下叙述成立:

(ⅰ)如果$\gcd(N, \det(R_1)) > 1$,那么$L^2(\mu_{R, D})$有无穷多个正交指数函数,其中$R_1$由(2.7)式给出;

(ⅱ)如果$N\mid \det(R_1)$,那么$\mu_{R, {\cal D}}$是谱测度.

特别地,若${\cal D} = \{0, a, b\}u\equiv\{0, 1, 2\}u \pmod 3$和$R_1$的特征多项式为$f(x) = x^r+p$,则$\mu_{R, D}$是谱测度当且仅当$3\mid \det(R_1)$.

证  令幺模矩阵$B$, $\widetilde{u} = Bu = (x_1, \cdots, x_r, 0, \cdots, 0)^t$和矩阵$\widetilde{R}$都由引理2.3给出.设$\widetilde{{\cal D}} = \{0, a_1, a_2, \cdots, a_{N-1}\}\widetilde{u}$,因此我们只需考虑$\mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}$.对于$j\geq 1$,我们有

设${\cal D}' = \{0, a_1, \cdots, a_{N-1}\}u',~ u' = (x_1, \cdots, x_r)^t$.对于$\eta = (\eta_1, \cdots, \eta_n)^t\in{\Bbb R}^n$,我们记$\eta' = (\eta_1, \cdots, \eta_r)^t$.由(2.1)式和(2.2)式我们有

若$E(\Lambda)$是$L^2(\mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}})$的一个正交系或正交基,设$\Lambda_r = \{\lambda' = (\lambda_1, \cdots, \lambda_r)^t:\lambda = (\lambda_1\cdots\lambda_n)^t\in\Lambda\}$,则$E(\Lambda_r)$是$L^2(\mu_{R_1, {\cal D}'})$的一个正交系或正交基.相反地,若$E(\Lambda_r)$是$L^2(\mu_{R_1, {\cal D}'})$的一个正交系或正交基,我们设

其中$\psi:\Lambda_r\rightarrow {\Bbb R}^{n-r}$是一个任意的单值函数,因此$E(\Lambda)$是$L^2(\widehat{\mu}_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}})$的一个正交系或正交基.从而$\mu_{R_1, {\cal D}'}$和$\mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}$有相同的谱性.由引理2.3我们知向量$R_1^{r-1}u', R_1^{r-2}u', \cdots, R_1u', u'$是线性无关的.利用定理1.2和1.3可得定理2.2对$\mu_{R_1, {\cal D}'}$成立,从而对$\mu_{R, D}$也成立.

为了证明定理1.4,我们需要用到下面的引理.

引理3.1^[12]  设$R\in M_n({\Bbb Z})$为扩张矩阵, $D$和$S$是${\Bbb Z}^n$中两个具有相同基数的有限数字集,且满足$(R^{-1}D, S)$是和谐对,并且$0\in D\cap S$.如果$Z(m_{R^{-1}D})$的零点集与集合$T(R^*, S)$不相交,则$\Lambda(R, S)$是$\mu_{R, D}$的谱.

定理1.4的证明  我们分$\gcd(a, b) = 1$和$\gcd(a, b) = q > 1$两种情况来讨论$\mu_{R, {\cal D}}$的谱.

首先考虑$\gcd(a, b) = 1$的情形.设$\widetilde{{\cal D}} = \{0, 1, -1\}\widetilde{u}\pmod 3, \; \widetilde{u} = (0, 0, \cdots, 1)^t$和$\widetilde{R}$由(2.4)式给出,下面我们考虑$\mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}$的谱.设$\widetilde{S} = \{0, 1, -1\}(\frac{p}3, 0, \cdots, 0)^t$,由定理1.3知$(\widetilde{R}^{-1}\widetilde{D}, \widetilde{S})$是和谐对.记$\eta = (\eta_1, \cdots, \eta_n)^t\in{\Bbb R}^n$,由(2.2)式我们可知数字集$\widetilde{R}^{-1}\widetilde{{\cal D}}$的Mask多项式的零点集

这里${\cal Z}(m_{\widetilde{{\cal D}}})$由(2.6)式给出.因此

另外由(2.4)式通过递推可得

其中$I_{kn-j}, \; I_{j-(k-1)n}$分别为$kn-j$阶和$j-(k-1)n$阶单位矩阵.记$\xi = (\xi_1\cdots\xi_n)^t\in{\Bbb R}^n$,结合(1.2)式我们有

为证明${\cal Z}(m_{\widetilde{R}^{-1}\widetilde{D}}) \cap T(\widetilde{R}^*, \widetilde{S}) = \emptyset$,我们只需证明对任意的$\eta = (\eta_1, \cdots, \eta_n)\in {\cal Z}(m_{\widetilde{R}^{-1}\widetilde{D}})$和$\xi = (\xi_1, \cdots, \xi_n)\in T(\widetilde{R}^*, \widetilde{S})$都有$\eta_1\neq \xi_1$.根据(3.1)式和(3.2)式可知

另外$\eta_1 = kp+\frac{pi}3, k\in {\Bbb Z}, i = 1, 2$.很显然有$kp+\frac{pi}3\in {\Bbb Z}\setminus\{0\}$,即$\eta_1\notin (-\frac23, \frac23)$.因此, ${\cal Z}(m_{\widetilde{R}^{-1}\widetilde{D}})$与$T(\widetilde{R}^*, \widetilde{S})$不相交.由引理3.1和(1.3)式可知

是$\mu_{\widetilde{R}, \widetilde{D}}$的谱.由引理2.2(ii)可得$B^{*-1}\Lambda(\widetilde{R}, \widetilde{S})$为$\mu_{R, {\cal D}}$的谱.因此$\gcd(a, b) = 1$的情形得证.

接着我们考虑$\gcd(a, b) = q > 1$的情形.记$a = qs, b = qt$,其中$\gcd(s, t) = 1$.则${\cal D} = \{0, qs, qt\}u = \{0, s, t\}qu\equiv\{0, 1, 2\}qu \pmod3$.这时取$B' = \frac1qB$,重复上面的证明过程即得定理的证明.

接下来我们举一个例子,然后利用定理1.3来证明它是谱测度,并用定理1.4给出它的一个谱.

例3.1  设

和数字集${\cal D} = \{0, 1, 5\}u, u = (0, 0, 1)^t$.显然$R$为扩张矩阵,特征多项式为$f(x) = x^3+15$并且向量组$u, Ru, R^2u$线性无关.由定理1.3可知$\mu_{R, {\cal D}}$是谱测度.

现在我们用定理1.4来计算例3.1中测度$\mu_{R, {\cal D}}$的谱$\Lambda$.很容易能算出

因此不难得到

代入定理1.4,得到

其中对于$j\geq0$,

在本文的最后我们给出定理1.3中的$\mu_{R, {\cal D}}$在$u, Ru, \cdots, R^{n-1}u$线性相关时的谱.假设向量组$u, Ru, \cdots, R^{n-1}u$的秩为$r(< n)$,令$R_1$和$u' = (x_1, \cdots, x_r)^t$由引理2.3给出,并且${\cal D}' = \{0, a, b\}u'$.根据定理2.2,当$3\mid \det(R_1)$时$\mu_{R_1, {\cal D}'}$是谱测度,记它的谱为$\Lambda_r$.由此我们可以给出$\mu_{R, {\cal D}}$的一个谱.

定理3.1  在定理1.3中,假设向量组$u, Ru, \cdots, R^{n-1}u$线性相关并且秩为$r(< n)$.令$R_1$是引理2.3中给出的矩阵,那么当$3\mid \det(R_1)$时,

是$\mu_{R, {\cal D}}$的谱,其中$\psi:\Lambda_r\rightarrow {\Bbb R}^{n-r}$是一个任意的单值函数.

证  设$B_r = [R_1^{r-1}u', R_1^{r-2}u', \cdots, R_1u', u'], \widetilde{R}_1 = B^{-1}R_1B$,其中$u' = (x_1, \cdots, x_r)^t$.由引理2.3,我们知向量组$R_1^{r-1}u', R_1^{r-2}u', \cdots, R_1u', u'$是线性无关的.利用定理1.4可知

是$\mu_{R_1, {\cal D}'}$的谱,其中$\widetilde{S} = \{0, 1, -1\}(\frac{p}3, \underbrace{0, \cdots, 0}_{r-1})^t$, ${\cal D}' = \{0, a, b\}u'$.由(2.8)式可知

是$\mu_{\widetilde{R}, \widetilde{{\cal D}}}$的谱,其中$\psi:\Lambda_r\rightarrow {\Bbb R}^{n-r}$是任意的一个单值函数, $\widetilde{{\cal D}} = \{0, a, b\}(Bu)$.再由引理2.2(ⅱ)即得定理的结论.