本文考虑如下形式的第一类Volterra积分方程

(1.1) $ \begin{equation} \int^{x}_{-1}k(x, s)u(s){\rm d}s = g(x), \; \; \; \; \; x\in[-1, 1], \end{equation} $

其中核函数$ k(x, s), (x, s)\in \Delta: = \{(x, s)| -1 < s < x < 1\} $,以及源函数$ g(x), x\in I: = [-1, 1] $是给定的,而$ u(s) $是一个要求解的未知函数.

令

(1.2) $ \begin{equation} Ku: = \int_{-1}^{x}k(x, s)u(s){\rm d}s,~ x\in[-1, 1]. \end{equation} $

通过对核函数$ k(x, s) $在$ s > x $上补充定义(即$ k(x, s) = 0, s > x $),我们可以将核函数$ k(x, s) $延拓为$ [-1, 1]\times [-1, 1] $区域上的函数.则方程(1.1)转化为第一类Fredholm方程

(1.3) $ \begin{equation} \int_{-1}^{1}k(x, s)u(s){\rm d}s = g(x),~ x\in[-1, 1]. \end{equation} $

众所周知,具有弱奇性核或连续核的第一类积分算子是紧的.因此,方程(1.1)是不适定的,即:解(如果存在)不连续依赖于数据$ g(x) $.但是,因为在使用数值积分公式处理积分项时,不可避免的要产生离散误差.因此,不能直接简单通过离散化直接处理第一类积分方程.随着离散的加细,数值解变得"更糟"不收敛于精确解.在实际问题中,右侧$ g(x) $是不能准确知道的,只知道带有一定误差的测量数据,即假设已知$ g^\delta $为

(1.4) $ \begin{equation} \|g(x)-g^\delta(x)\|\leq \delta, \end{equation} $

其中$ \delta > 0 $是已知的误差水平.我们的目标是解扰动的方程

(1.5) $ \begin{equation} Ku^\delta(x) = \int_{-1}^{x}k(x, \tau)u^\delta(\tau){\rm d}\tau = g^\delta(x),~ x\in[-1, 1]. \end{equation} $

在这种情况下,必须考虑一种正则化策略来近似求解.至今已有许多求解Volterra型积分方程的数值方法,见文献[1-4, 7-8, 10-12, 15-16]及其参考文献.然而这些文献中很少有工作是求解带扰动数据的第一类Volterra型积分方程.本文的主要目的是通过同时使用Legendre配置方法和正则化策略来求解方程(1.5).我们对所提出的方法给出了严格的收敛性分析,通过一些数值实验验证了所提方法的有效性.

本文结构如下:第2节中我们介绍第一类Volterra积分方程的谱方法;第3节中提供了收敛性分析中所需要的引理;第4节中分别给出了$ L^{\infty} $和$ L^{2} $空间中的收敛性分析;在第5节中进行了数值实验;最后,在第6节中给出了简要结论.

如引言中所示,方程(1.1)是不适定的.在这种情况下,解决问题的自然想法是考虑以下正则化策略:

(2.1) $ \begin{equation} \alpha u^{\alpha, \delta}(x)+\int_{-1}^{x}k(x, \tau)u^{\alpha, \delta}(\tau){\rm d}\tau = g^\delta(x),~ x\in[-1, 1], \end{equation} $

其中$ \alpha > 0 $是正则化参数.

引理2.1  令$ k(x, s)\in C(\bar{\Delta}) $,则方程(2.1)存在唯一解$ u^{\alpha, \delta}(x)\in C(I) $.

证  首先,众所周知,如果核函数$ k(x, s)\in L^2(\Delta) $,那么由(1.2)式定义的算子$ K $是从$ L^2(I) $到$ L^2(I) $的紧算子,并且若$ k(x, s)\in C(\bar{\Delta}) $,则由(1.2)式定义的算子$ K $也是由$ C(I) $到$ C(I) $的紧算子.下面,我们将证明以下齐次方程只有平凡解$ u(x) = 0 $,

$ \alpha u(x)+\int_{-1}^{x}k(x, s)u(x){\rm d}s = 0,~ x\in[-1, 1]. $

事实上,通过迭代过程,很容易看出来

$ \mid u(x)\mid\leq\parallel u\parallel_{L^{\infty}(I)}\frac{(\frac{\mu}{\alpha})^{n}(x+1)^{n}}{n!},~ x\in[-1, 1], \; \; n = 1, 2, \cdots, $

其中$ \mu = \max_{-1\leq s\leq x\leq1}\mid k(x, s)\mid. $

令$ n\to\infty $,我们得到$ u(x) = 0, x\in I $.最后,利用Riesz定理,非齐次方程(2.1)有唯一解,且$ (\alpha I+K)^{-1} $是有界的.证毕.

方程(2.1)的解$ u^{\alpha, \delta}(x) $可以写成

(2.2) $ \begin{equation} u^{\alpha, \delta}(x) = (\alpha I+K)^{-1}g^\delta(x): = R_\alpha g^\delta. \end{equation} $

注2.1  求解问题(1.1)的另一种方法是考虑Tikhonov正则化策略,即

(2.3) $ \begin{equation} u^{\alpha, \delta}(x) = (\alpha I+K^*K)^{-1}K^*g^\delta(x): = R_\alpha g^\delta, \end{equation} $

其中$ K^* $表示$ K $的伴随算子.

下面,我们使用Legendre配置方法求解方程(2.1).配置点取成$ (N+1) $次Legendre-Gauss或Gauss-Radau或Gauss-Lobatto节点$ \{x_{i}\}_{i = 0}^{N} $.假设方程(2.1)在$ x_{i} $处成立,即

(2.4) $ \begin{equation} \alpha u^{\alpha, \delta}(x_i)+\int_{-1}^{x_{i}}k(x_{i}, \tau)u^{\alpha, \delta}(\tau){\rm d}\tau = g^\delta(x_{i}),~ 0\leq i\leq N. \end{equation} $

对于较小的$ x_{i} $, $ u^{\alpha, \delta}(s) $的可用信息较少.为了克服这个困难,我们将积分区间$ [-1, x_{i}] $变换成固定区间$ [-1, 1] $,然后利用适当的求积公式处理.准确地说,我们首先做一个简单的线性变换$ \tau = s(x_{i}, \theta), \theta\in [-1, 1] $,其中

(2.5) $ \begin{equation} s(x_{i}, \theta) = \frac{x_{i}+1}{2}\theta+\frac{x_{i}-1}{2}. \end{equation} $

则(2.4)式变为

(2.6) $ \begin{equation} \alpha u^{\alpha, \delta}(x_i)+\frac{x_{i}+1}{2}\int_{-1}^{1}k(x_{i}, s(x_{i}, \theta))u^{\alpha, \delta}(s(x_{i}, \theta)){\rm d}\theta = g^\delta(x_{i}),~ 0\leq i\leq N. \end{equation} $

使用$ (N+1) $个节点的Gauss求积公式可得出

(2.7) $ \begin{equation} \alpha u^{\alpha, \delta}(x_i)+\frac{x_{i}+1}{2}\sum\limits_{j = 0}^{N}k(x_{i}, s(x_{i}, \theta_{j}))u^{\alpha, \delta}(s(x_{i}, \theta_{j}))\cdot\omega_{j} = g^\delta(x_{i}),~ 0\leq i\leq N, \end{equation} $

其中$ \omega_{j}, 0\leq j\leq N $是Legendre权重.

我们将使用$ u_i^{\alpha, \delta}, 0\leq i\leq N $来表示$ u^{\alpha, \delta}(s(x_i, \theta_j)) $,其中$ u_i^{\alpha, \delta} = u^{\alpha, \delta}(x_i) $.为此,我们使用Lagrange插值多项式逼近$ u^{\alpha, \delta}(x) $,即

(2.8) $ \begin{equation} u^{\alpha, \delta}(x)\approx\sum\limits_{p = 0}^{N}u_{p}^{\alpha, \delta}L_{p}(x), \end{equation} $

其中$ L_p $是$ p $次Lagrange基函数.联立(2.7)和(2.8)式得

(2.9) $ \begin{equation} \alpha u_i^{\alpha, \delta}+\frac{x_{i}+1}{2}\sum\limits_{j = 0}^{N}k(x_{i}, s(x_{i}, \theta_{j}))\sum\limits_{p = 0}^{N}u_{p}^{\alpha, \delta}L_{p}(s(x_{i}, \theta_{j}))\cdot\omega_{j} = g^\delta(x_{i}),~ 0\leq i\leq N. \end{equation} $

交换求和顺序得

(2.10) $ \begin{equation} \alpha u_i^{\alpha, \delta}+\frac{x_{i}+1}{2}\sum\limits_{p = 0}^{N}u_{p}^{\alpha, \delta} \bigg[\sum\limits_{j = 0}^{N}k(x_{i}, s(x_{i}, \theta_{j}))L_{p}(s(x_{i}, \theta_{j}))\cdot\omega_{j}\bigg] = g^\delta(x_{i}),~ 0\leq i\leq N. \end{equation} $

下面讨论谱配置算法如何实现.记$ U_N^{\alpha, \delta} = (u_{0}^{\alpha, \delta}, u_{1}^{\alpha, \delta}, \cdots u_{N}^{\alpha, \delta})^{T} $和$ g^\delta_{N} = (g^{\delta}(x_{0}) $, $ g^\delta(x_{1}), $$ \cdots, $$ g^\delta(x_{N}))^{T} $,我们可以得到一个矩阵形式的方程

(2.11) $ \begin{equation} \alpha U_{N}^{\alpha, \delta}+AU_{N}^{\alpha, \delta} = g^\delta_{N}, \end{equation} $

其中矩阵$ A $的项由$ a_{i, j} $给出:

(2.12) $ \begin{equation} a_{ij} = \frac{x_{i}+1}{2}\sum\limits_{p = 0}^{N}k(x_{i}, s(x_{i}, \theta_{p}))L_{j}(s(x_{i}, \theta_{p}))\omega_{p},~ i, j = 0, \cdots, N. \end{equation} $

我们定义第一类Volterra积分方程的正则解$ u_N^{\alpha, \delta}(x) $如下:

(2.13) $ \begin{equation} u_{N}^{\alpha, \delta}(x) = \sum\limits_{p = 0}^{N}u_{p}^{\alpha, \delta}L_{p}(x). \end{equation} $

注2.2  此处我们给出计算$ L_j $的一种有效算法.这个想法是用Legendre函数$ \{P_p(x)\}_{p = 0}^N $来表示$ L_j $:

(2.14) $ \begin{equation} L_{j}(\sigma) = \sum\limits_{p = 0}^{N}\beta_{jp}P_{p}(\sigma), \end{equation} $

其中$ \beta_{jp} $称为$ L_j $的离散多项式系数,它可表示为(见文献[5])

(2.15) $ \begin{equation} \beta_{jp} = \frac{1}{r_{p}}\sum\limits_{k = 0}^{N}L_{j}(x_{k})P_{p}(x_{k})\omega_{k} = \frac{1}{r_{p}}P_{p}(x_{j})\omega_{j}, \end{equation} $

其中$ r_p = \sum\limits_{k = 0}^{N}P_{p}^{2}(x_{k})\omega_{k} = (p+\frac{1}{2})^{-1} $, $ p < N $;对于Gauss和Gauss-Radau公式$ r_N = (N+1/2)^{-1} $;对于Gauss-Lobatto公式$ r_N = 2/N $.从(2.9)和(2.10)式可以得出

(2.16) $ \begin{equation} L_{j}(\sigma) = \omega_{j}\sum\limits_{n = 0}^{N}\frac{P_{n}(x_{j})P_{n}(\sigma)}{r_{n}}, \end{equation} $

结合$ L_p(s) $递推公式可以有效计算$ L_j $,进而

(2.17) $ \begin{equation} a_{ij} = \frac{x_{i}+1}{2}\omega_{j}\sum\limits_{p = 0}^{N}k(x_{i}, s(x_{i}, \theta_{p}))\omega_{p}\sum\limits_{n = 0}^{N}\frac{P_{n}(x_{j})P_{n}(s(x_{i}, \theta_{p}))}{r_{n}}. \end{equation} $

注2.3  对于另一个正则化策略(2.3),我们可以使用类似的过程获得方程

(2.18) $ \begin{equation} \alpha U_{N}^{\alpha, \delta}+A^*AU_{N}^{\alpha, \delta} = A^*g^\delta_{N}, \end{equation} $

其中, $ A^* $表示$ A $的伴随.

本节给出一些引理,这些引理将应用于以后的收敛性分析.

引理3.1^[5]  设$ u\in H^{m}(I) $, $ I: = [-1, 1] $, $ m\geq 1 $, $ \phi \in{\mathcal P}_{N} $.使用带有Legendre权的$ (N+1) $点Gauss,或Gauss-Radau,或Gauss-Lobatto求积公式计算$ u\phi $的积分,则存在一个与$ N $无关的常数$ C $,满足

(3.1) $ \begin{equation} \bigg|\int_{-1}^1 u(x)\phi(x){\rm d}x-(u, \phi)_N\bigg|\leq CN^{-m}|u|_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}\|\phi\|_{L^2(I)}, \end{equation} $

其中

(3.2) $ \begin{equation} |u|_{\widetilde{H}_{m, N}(I)} = \bigg(\sum\limits_{j = min(m, N+1)}^{m}\|u^{(j)}\|^2_{L^2(I)}\bigg)^{1/2},~ (u, \phi)_{N}: = \sum\limits_{j = 0}^{N}u(x_{j})\phi(x_{j})\omega_{j}. \end{equation} $

引理3.2^[5]  设$ u\in H^{m}(I) $, $ I_{N}u $表示$ u $的$ (N+1) $点Gauss,或Gauss-Radau,或Gauss-Lobatto点插值多项式,即

$ I_{N}u = \sum\limits_{j = 0}^{N}u(x_{j})L_j(x), $

则以下估计式成立

(3.3) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} \parallel u-I_Nu\parallel_{L^{2}(I)}&\leq {\cal C}N^{-m}\mid u\mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}, \\ \parallel u-I_Nu\parallel_{H^{l}(I)}&\leq {\cal C}N^{2l-1/2-m}\mid u\mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}, \ \ \ 1\leq l\leq m. \end{array} \end{equation} $

引理3.3 (Gronwall)不等式  如果可积函数$ u(x) $满足

$ u(x) = \lambda\int_{-1}^{x}k(x, s)u(s){\rm d}s+\lambda f(x), $

其中$ f(x) $是可微函数, $ \lambda > 0 $是一个给定的常数.那么

(3.4) $ \begin{equation} \mid u(x)\mid\leq\lambda\mid f(x)\mid+\lambda^{2}\mu e^{\lambda\mu x}\int_{-1}^{x}\mid f(s)\mid e^{-\lambda\mu s}{\rm d}s,~ x\in [-1, 1], \end{equation} $

并且

(3.5) $ \begin{equation} \parallel u\parallel_{L^{2}(I)}\leq{\cal C}_{\lambda}\parallel f\parallel_{L^{2}(I)}, \end{equation} $

其中$ \mu = \max_{x, s\in I}\mid k(x, s)\mid $并且$ {\cal C}_{\lambda} = \lambda(2-2\lambda\mu-\frac{1}{2}+\frac{e^{4\lambda\mu}}{2})^{\frac{1}{2}}. $

证  直接计算可得

$ \begin{eqnarray*} \mid u(x)\mid&\leq&\lambda\int_{-1}^{x}\mid k(x, s)\mid \cdot\mid u(s)\mid {\rm d}s+\lambda\mid f(x)\mid\\ &\leq&\lambda\max\limits_{x, s\in I}\mid k(x, s)\mid \int_{-1}^{x}\mid u(s)\mid {\rm d}s+\lambda\mid f(x)\mid\\ &\leq&\lambda\mu\int_{-1}^{x}\mid u(s)\mid {\rm d}s+\lambda\mid f(x)\mid. \end{eqnarray*} $

令

$ \xi(x): = \lambda\mu\int_{-1}^{x}\mid u(s)\mid {\rm d}s+\lambda\mid f(x)\mid, $

我们可得

$ \xi'(x) = \lambda\mu\mid u(x)\mid+\lambda(\mid f(x)\mid)' \leq\lambda\mu\xi(x)+\lambda(\mid f(x)\mid)', $

即

$ (e^{-\lambda\mu x}\xi(x))'\leq\lambda e^{-\lambda\mu x}(\mid f(x)\mid)'. $

在区间$ [-1, x] $上,对上面不等式求积分可得

$ e^{-\lambda\mu x}\xi(x)\leq e^{\lambda\mu}\xi(-1)+\lambda\int_{-1}^{x}e^{-\lambda\mu s}(\mid f(s)\mid)'{\rm d}s. $

进而

$ \begin{eqnarray*} \xi(x)&\leq& e^{\lambda\mu (x+1)}\lambda\mid f(-1)\mid+\lambda e^{\lambda\mu x}\int_{-1}^{x} e^{-\lambda\mu s}(\mid f(s)\mid)'{\rm d}s\\ & = &e^{\lambda\mu (x+1)}\lambda\mid f(-1)\mid+\lambda e^{\lambda\mu x}[e^{-\lambda\mu s}\mid f(s)\mid|_{-1}^{x}-\int_{-1}^{x}\mid f(s)\mid(-\lambda\mu)e^{-\lambda\mu s}{\rm d}s]\\ & = &e^{\lambda\mu (x+1)}\lambda\mid f(-1)\mid+\lambda\mid f(x)\mid-\lambda e^{\lambda\mu (x+1)}\mid f(-1)\mid+\lambda^{2}\mu e^{\lambda\mu x}\int_{-1}^{x}\mid f(s)\mid e^{-\lambda\mu s}{\rm d}s\\ &\leq &\lambda\mid f(x)\mid+\lambda^{2}\mu e^{\lambda\mu x}\int_{-1}^{x}\mid f(s)\mid e^{-\lambda\mu s}{\rm d}s. \end{eqnarray*} $

于是

$ \mid u(x)\mid\leq\xi(x)\leq \lambda\mid f(x)\mid+\lambda^{2}\mu e^{\lambda\mu x}\int_{-1}^{x}\mid f(s)\mid e^{-\lambda\mu s}{\rm d}s, $

即

$ \mid u(x)\mid\leq\lambda\mid f(x)\mid+\lambda^{2}\mu e^{\lambda\mu x}\int_{-1}^{x}\mid f(s)\mid e^{-\lambda\mu s}{\rm d}s. $

简单的计算可得

$ \begin{eqnarray*} \int_{-1}^{x}\mid u(x)\mid^{2}{\rm d}x&\leq&2\lambda^{2}\int_{-1}^{x}\mid f(x)\mid^{2}{\rm d}x+2\lambda^{4}\mu^{2}\int_{-1}^{1}e^{2\lambda\mu x} \bigg(\int_{-1}^{x}\mid f(s)\mid e^{-\lambda\mu s}{\rm d}s^{2}\bigg){\rm d}x\\ &\leq&2\lambda^{2}\int_{-1}^{x}\mid f(x)\mid^{2}{\rm d}x+2\lambda^{4}\mu^{2}\int_{-1}^{1} \bigg(e^{2\lambda\mu x}\int_{-1}^{x}e^{-2\lambda\mu s}{\rm d}s\bigg){\rm d}x\int_{-1}^{1}\mid f(x)\mid^{2}{\rm d}x\\ & = &\lambda^{2}\bigg(2+\frac{e^{4\lambda\mu}-1}{2}-2\lambda\mu\bigg)\int_{-1}^{1}\mid f(x)\mid^{2}{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

因此

$ \parallel u\parallel_{L^{2}(I)}\leq \lambda \bigg(2-2\lambda\mu-\frac{1}{2}+\frac{e^{4\lambda\mu}}{2}\bigg)^{\frac{1}{2}}\parallel f\parallel_{L^{2}(I)} = {\cal C}_{\lambda}\parallel f\parallel_{L^{2}(I)}. $

引理3.3证毕.

在本节中,我们将在$ L^{2} $和$ L^{\infty} $空间中分别进行收敛性分析.为此,我们假设无扰动方程(1.1)存在唯一解.通过应用三角形不等式,精确解$ u(x) $与正则解$ u_{N}^{\alpha, \delta}(x) $之间的误差分成两部分

(4.1) $ \begin{equation} \|u(x)-u_{N}^{\alpha, \delta}(x)\| \leq \|u(x)-u^{\alpha, \delta}(x)\|+\|u^{\alpha, \delta}(x)-u_{N}^{\alpha, \delta}(x)\|. \end{equation} $

接下来,我们将分别估计$ \|u(x)-u^{\alpha, \delta}(x)\| $和$ \|u^{\alpha, \delta}(x)-u_{N}^{\alpha, \delta}(x)\| $.

对任意常数$ \alpha > 0 $,令$ u_{i}^{\alpha, \delta} $为方程(2.10)的解,即

(4.2) $ \begin{equation} \alpha u_{i}^{\alpha, \delta}+\frac{x_{i}+1}{2}\sum\limits_{p = 0}^{N}u_{p}^{\alpha, \delta} \bigg[\sum\limits_{j = 0}^{N}k(x_{i}, s(x_{i}, \theta_{j}))L_{p}(s(x_{i}, \theta_{j}))\omega_{j}\bigg] = g^\delta(x_{i}), \; \; \; \; \; 0\leq i\leq N. \end{equation} $

按照(3.2)式的表示,令

(4.3) $ \begin{equation} (k(x, s), \phi(s))_{N, s}: = \sum\limits_{j = 0}^{N}k(x, s(x, \theta_{j}))\cdot\phi(s(x, \theta_{j}))\omega_{j}. \end{equation} $

那么(4.2)式可以写成

(4.4) $ \begin{equation} \alpha u_{i}^{\alpha, \delta}+\frac{x_{i}+1}{2}(k(x_{i}, s), u_{N}^{\alpha, \delta}(s))_{N, s} = g^\delta(x_{i}), \end{equation} $

于是有

(4.5) $ \begin{equation} \alpha u_{i}^{\alpha, \delta}+\frac{x_{i}+1}{2}\int_{-1}^{1}k(x_{i}, s(x_{i}, \theta_{j}))u_{N}^{\alpha, \delta}(s(x_{i}, \theta)){\rm d}\theta = g^\delta(x_{i})+E_{1}(x_{i}), \; \; \; \; \; 0\leq i\leq N, \end{equation} $

其中

$ E_{1}(x) = \frac{x+1}{2}\int_{-1}^{1}k(x, s(x, \theta))u_{N}^{\alpha, \delta}(s(x, \theta)){\rm d}\theta-\frac{x+1}{2}(k(x, s), u_{N}^{\alpha, \delta}(s))_{N, s}. $

根据引理3.1可得

$ \mid E_{1}(x)\mid<{\cal C}N^{-m}\mid k(x, s(x, \theta))\mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}\cdot\parallel u_{N}^{\alpha, \delta}\parallel_{L^{2}(I)}. $

从(4.5), (2.7)和(2.9)式可得

(4.6) $ \begin{equation} \alpha u_{i}^{\alpha, \delta}+\int_{-1}^{x_{i}}k(x_{i}, s)u_{N}^{\alpha, \delta}(s){\rm d}s = g^\delta(x_{i})+E_{1}(x_{i}), \; \; \; \; \; 0\leq i\leq N. \end{equation} $

在(4.5)式两边同时乘以$ L_{i}(x) $并从$ 0 $到$ N $求和得到

(4.7) $ \begin{equation} \alpha u_{N}^{\alpha, \delta}(x)+I_{N}\bigg(\int_{-1}^{x}k(x, s)u^{\alpha, \delta}(s){\rm d}s\bigg) +I_{N}\bigg(\int_{-1}^{x}k(x, s)e^{\alpha, \delta}(s){\rm d}s\bigg) = I_{N}(g^\delta)+I_{N}(E_{1}), \end{equation} $

其中$ I_N $是引理3.2中定义的插值算子, $ e^{\alpha, \delta} $表示误差函数,即

$ e^{\alpha, \delta} = u_N^{\alpha, \delta}(x)-u^{\alpha, \delta}(x). $

由(4.7)和(2.7)式得出

(4.8) $ \begin{equation} \alpha e^{\alpha, \delta}(x)+\int_{-1}^{x}k(x, s)e^{\alpha, \delta}(s){\rm d}s = I_{N}(E_{1})+E_{2}+E_{3}, \end{equation} $

其中

$ E_{2} = \alpha (I_{N}(u^{\alpha, \delta}(x))-u^{\alpha, \delta}(x)), \ \ E_{3} = \int_{-1}^{x}k(x, s)e^{\alpha, \delta}(s){\rm d}s-I_{N}\bigg(\int_{-1}^{x}k(x, s)e^{\alpha, \delta}(s){\rm d}s\bigg). $

应用Gronwall不等式得出

(4.9) $ \begin{equation} \parallel e^{\alpha, \delta}\parallel_{L^{2}(I)}\leq{\cal C}_{\alpha}(\parallel I_{N}(E_{1})\parallel_{L^{2}(I)}+ \parallel E_{2}\parallel_{L^{2}(I)}+\parallel E_{3}\parallel_{L^{2}(I)}), \end{equation} $

其中

$ {\cal C}_{\alpha} = \frac{1}{\alpha} \bigg(\frac{2}{\alpha^{2}}-\frac{2\mu}{\alpha}-\frac{1}{2}+\frac{e^{\frac{4\mu}{\alpha}}}{2} \bigg)^{\frac{1}{2}}\leq e^{\frac{2\mu}{\alpha}}, \ \ ({\alpha \ \hbox {足够小}}). $

下面我们分别估计(4.9)式的最后三项.

(4.10) $ \begin{eqnarray} \parallel I_{N}(E_{1})\parallel_{L^{2}(I)} &\leq&{\cal C}N^{-m}\max\limits_{x\in I}\mid k(x, s(x, .))\mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}\cdot\parallel u_{N}^{\alpha, \delta}\parallel_{L^{2}(I)}\max\limits_{x\in I}\sum\limits_{j = 0}^N\mid L_{j(x)}\mid \\ &\leq&{\cal C}N^{\frac{1}{2}-m}\max\limits_{x\in I}\mid k(x, s(x, .))\mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}\cdot\parallel u_{N}^{\alpha, \delta}\parallel_{L^{2}(I)} \\ &\leq&{\cal C}N^{\frac{1}{2}-m}\max\limits_{x\in I}\mid k(x, s(x, .))\mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}\cdot(\parallel e^{\alpha, \delta}\parallel_{L^{2}(I)}+\parallel u^{\alpha, \delta}\parallel_{L^{2}(I)}). \end{eqnarray} $

根据引理3.2得

(4.11) $ \begin{equation} \parallel E_{2}\parallel_{L^{2}(I)}\leq{\cal C}N^{-m}\mid u^{\alpha, \delta}(x)\mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}, \end{equation} $

(4.12) $ \begin{equation} \parallel E_{3}\parallel_{L^{2}(I)}\leq{\cal C}N^{-1}\parallel k(x, x)e^{\alpha, \delta}(x)+\int_{-1}^{x}k(x, s)e^{\alpha, , \delta}(s){\rm d}s\parallel_{L^{2}(I)}. \end{equation} $

应用以上估计及(4.9)式可得

(4.13) $ \begin{eqnarray} \parallel e^{\alpha, \delta}\parallel_{L^{2}(I)}&\leq&{\cal C}_{\alpha}N^{\frac{1}{2}-m}\max\limits_{x\in I}\mid k(x, s(x, .)) \mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}(\parallel e^{\alpha, \delta}\parallel_{L^{2}(I)} +\parallel u^{\alpha, \delta}\parallel_{L^{2}(I)}) \\ &&+{\cal C}_{\alpha}N^{-m}\mid u^{\alpha, \delta}\mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}+{\cal C}_{\alpha}N^{-1}\parallel e^{\alpha, \delta}\parallel_{L^{2}(I)}. \end{eqnarray} $

令$ N $充分大,我们有

(4.14) $ \begin{eqnarray} \parallel u^{\alpha, \delta}(x)-u_{N}^{\alpha, \delta}(x)\parallel_{L^{2}(I)}&\leq&{\cal C}_{\alpha}N^{\frac{1}{2}-m}\max\limits_{x\in I}\mid k(x, s(x, .))\mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}\parallel u^{\alpha, \delta}\parallel_{L^{2}(I)}\\ &&+{\cal C}_{\alpha}N^{-m}\mid u^{\alpha, \delta}\mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)} \\ &\leq&e^{\frac{2\mu}{\alpha}}N^{\frac{1}{2}-m}\max\limits_{x\in I}\mid k(x, s(x, .))\mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}\parallel u^{\alpha, \delta}\parallel_{L^{2}(I)} \\ &&+e^{\frac{2\mu}{\alpha}}N^{-m}\mid u^{\alpha, \delta}\mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}. \end{eqnarray} $

定理4.1  令$ u(x) $是Volterra方程(1.1)的精确解,并假设

$ u_{N}^{\alpha, \delta}(x) = \sum\limits_{p = 0}^{N}u_{p}^{\alpha}L_{p}(x), $

其中$ u_{p}^{\alpha} $由(2.9)式给出,而$ L_{p}(x) $是与Gauss点$ \{x_{j}\}_{j = 0}^{N} $相关的$ p $次Lagrange基函数.如果$ u\in H^{m}(I) $,则对于$ m\geq 1 $, $ N $充分大时有

$ \begin{eqnarray*} \parallel u^{\alpha, \delta}(x)-u_{N}^{\alpha, \delta}(x)\parallel_{L^{2}(I)}&\leq&{\cal C}_{\alpha}N^{\frac{1}{2}-m}\max\limits_{x\in I}\mid k(x, s(x, .))\mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}\parallel u^{\alpha, \delta}\parallel_{L^{2}(I)}\\ &&+{\cal C}_{\alpha}N^{-m}\mid u^{\alpha, \delta}\mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}, \end{eqnarray*} $

其中$ s(x_{i}, \theta) $由(2.5)式定义,并且$ C $是一个与$ N $无关的常数.

注4.1  按照与定理4.1相同的步骤,我们还可以得到

$ \begin{eqnarray*} \parallel u^{\alpha, \delta}(x)-u_{N}^{\alpha, \delta}(x)\parallel_{L^{\infty}(I)} &\leq&{\cal C}_{\alpha}N^{\frac{1}{2}-m}\max\limits_{x\in I}\mid k(x, s(x, .))\mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}\parallel u^{\alpha, \delta}\parallel_{L^{2}(I)}\\ &&+{\cal C}_{\alpha}N^{\frac{3}{4}-m}\mid u^{\alpha, \delta}\mid_{\widetilde{H}_{m, N}(I)}. \end{eqnarray*} $

令$ (\mu_j, \phi_j, \psi_j)^{+\infty}_{j = 1} $为算子$ K $的奇异系统.由Picard定理方程(1.1)的解$ u(x) $可写为如下收敛级数的形式

(4.15) $ \begin{equation} u(x) = \sum\limits_{j = 1}^\infty \frac{1}{\mu_j}(g(x), \psi_j(x))\phi_j(x). \end{equation} $

利用$ K $的奇异系统$ (\mu_j, \phi_j, \psi_j) $的性质,方程(2.1)的解$ u^{\alpha, \delta}(x) $具有如下形式

(4.16) $ \begin{equation} R_\alpha g^\delta = u^{\alpha, \delta}(x) = \sum\limits_{j = 1}^\infty \frac{1}{\alpha+\mu_j}(g^\delta(x), \psi_j(x))\phi_j(x). \end{equation} $

利用三角不等式简单计算得

(4.17) $ \begin{eqnarray} \parallel u^{\alpha, \delta}(x)-u(x)\parallel& \leq& \parallel u^{\alpha, \delta}(x) -R_\alpha g(x)\parallel+\|R_\alpha g(x)-u(x)\| \\ & \leq &\|R_\alpha\|\parallel g^\delta(x) - g(x)\parallel+\|R_\alpha Ku(x)-u(x)\| \\ & \leq& \|R_\alpha\|\delta+\bigg\|\sum\limits_{j = 1}^\infty \frac{\alpha}{\alpha+\mu_j}(u(x), \phi_j(x))\phi_j(x)\bigg\| \\ & = &\|R_\alpha\|\delta+\bigg(\sum\limits_{j = 1}^\infty\frac{\alpha^2}{(\alpha+\mu_j)^2}(u(x), \phi_j(x))^2\bigg)^{1/2}. \end{eqnarray} $

显然,当$ \alpha\to 0 $时第二项趋于零,而$ \|R_\alpha\| $趋向于$ \infty $,因此,我们需要选择依赖于$ \delta $的$ \alpha = \alpha(\delta) $以使总误差尽可能小,即

(4.18) $ \begin{equation} \lim\limits_{\delta\to 0} \alpha(\delta) = 0,~ \lim\limits_{\delta\to 0}(\|R_{\alpha(\delta)}\|\delta+ \|R_{\alpha(\delta)} Ku(x)-u(x)\|) = 0. \end{equation} $

$ \alpha = \alpha(\delta) $的选取要根据核函数$ k(x, s) $的具体表达式去确定.对于取定的$ \alpha = \alpha(\delta) $,从误差表达式(4.14)可知,当$ N $趋于无穷大时$ \parallel u^{\alpha, \delta}(x)-u_{N}^{\alpha, \delta}(x)\parallel_{L^{2}(I)} $趋于零.因此,当$ \delta $趋于零时,精确$ u(x) $与正则解$ u_{N}^{\alpha, \delta}(x) $之间的总误差趋于零,即我们的方法是收敛的.

注4.2  对于另一种正则化策略(2.3),即$ u^{\alpha, \delta}(x) = (\alpha I+K^*K)^{-1}K^*g^\delta(x): = R_\alpha g^\delta $, $ \|u(x)-u^{\alpha, \delta}(x)\| $的估计如下

$ \begin{eqnarray*} \parallel u^{\alpha, \delta}(x)-u(x)\parallel& \leq& \|R_\alpha\|\delta+\|R_\alpha Ku(x)-u(x)\|\\ & = & \|R_\alpha\|\delta+\bigg(\sum\limits_{j = 1}^\infty \frac{\alpha^2}{(\alpha+\mu_j^2)^2}(u(x), \phi_j(x))^2\bigg)^{1/2}. \end{eqnarray*} $

本节的目的是给出一些简单的示例说明所提方法的有效性.数值实验是使用Matlab语言实现的.不失一般性,我们只使用Legendre-Gauss节点(即$ L_{N+1}(x) $的零点作为配置点).对于Legendre-Gauss点,相应的权重为$ \omega_{j} = \frac{2}{(1-x_{j}^{2})[p'_{N+1}(x_{j})]^{2}}, \; 0\leq j\leq N $.离散噪声数据$ g^{\delta} $是通过在精确数据$ g $中加入随机噪声而得到的,即

$ g^{\delta} = g+\varepsilon {\rm randn}(size(g)), $

$ \delta $是在均方根意义下的误差水平,

$ \delta: = \|g^{\delta}-g\|_{l^{2}} = \sqrt{\frac{1}{N+1}\sum^{N}_{i = 0}(g^{\delta}_{i}-g_{i})^{2}}. $

在这里,函数$ {\rm randn}(size(g)) $返回一个随机数组(其元素是由均值$ 0 $,方差$ \sigma^{2} = 1 $的正态分布生成),其大小与$ g $相同.

RMSE表示

$ {\rm RMSE}: = \sqrt{\frac{1}{N+1}\sum^{N}_{j = 0}(u(x_j)-u_j)^{2}} , $

其中$ N $是测试点的总数.

例5.1  第一个例子是一个数值微分问题.更准确地说,在方程(2.1)中核函数$ k(x, s) $和$ g(x) $取为

$ k(x, s) = 1,~ g(x) = x^3+1. $

相应的精确解由$ u(x) = 3x^{2} $给出.

从表 1可以看出,如果数据无扰动,通过使用谱方法求解第一类Volterra方程可以获得谱精度.我们还可以从表 1中看到,误差不随$ N $的增加而减小,因为第一类Volterra积分算子是紧的,即,我们解决的问题是不适定的.

从表 2可以看出,如果数据扰动时,使用谱方法(未使用正则化时)计算误差显著增加了.

表 3给出的是误差级数$ \epsilon $给定条件下,取不同正则化参数时的正则化解的误差.由表 3可以看出正则化参数要适当的选取,既不能太大,也不能太小,要与$ N $有关.

例5.2  第二个例子中,考虑方程(2.1)中

$ k(x, s) = e^{xs},~ g(x) = \frac{1}{x+4}(e^{x(x+4)}-e^{-(x+4)}). $

$ u(x) = e^{4x} $是相应的精确解.表 4-5显示了具有不同参数的正则化解的误差.

本文利用Legendre配点法和正则化策略,给出了第一类Volterra积分方程的数值解法.这项工作最重要的贡献在于,我们对所提出的方法进行了严格的收敛分析.通过数值试验验证了该方法的有效性.然而,本文尚未给出收敛速度.这一点将在我们未来的工作中加以考虑.