含有中心二项式系数以及广义调和数的无穷级数恒等式

含有中心二项式系数以及广义调和数的无穷级数恒等式

刘红梅^,

Infinite Series Involving Central Binomial Coefficients and Generalized Harmonic Numbers

Liu Hongmei^,

收稿日期: 2019-06-5

基金资助:

国家自然科学基金. 11501081

Received: 2019-06-5

Fund supported:

the NSFC. 11501081

作者简介 About authors

刘红梅,E-mail:liuhm7911@163.com , E-mail：liuhm7911@163.com

摘要

该文以两个高斯超几何求和公式为基础，建立一系列关于中心二项式系数和广义调和数的无穷级数恒等式.

关键词： 超几何级数 ; 中心二项式系数 ; 广义调和数 ; 求和公式

Abstract

In this paper, by appling Gauss's two hypergeometric summation formulas, we derive some infinite series expressions for the central binomial coefficients and the generalized harmonic numbers.

Keywords： Hypergeometric series ; Central binomial coefficients ; Generalized harmonic numbers ; Summation formulas

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本文引用格式

刘红梅. 含有中心二项式系数以及广义调和数的无穷级数恒等式. 数学物理学报[J], 2020, 40(3): 631-640 doi:

Liu Hongmei. Infinite Series Involving Central Binomial Coefficients and Generalized Harmonic Numbers. Acta Mathematica Scientia[J], 2020, 40(3): 631-640 doi:

1 引言

中心二项式系数在数论、统计学和概率论等数学领域有着重要应用. 1979年Apéry^[2]证明了下列无穷级数公式:

$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^3\big({}^{2n}_{\;n}\big)} = \frac{2}{5}\zeta(3),$

这里的 $\zeta(s)$ 为Riemann zeta函数,它的定义为

$\zeta(s) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^s}, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\cal R}(s)>1.$

Hurwitz zeta函数为Riemann zeta函数的一个推广:

$\zeta(s, q) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{(k+q)^s}, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\cal R}(s)>1.$

之后,形式为 $\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{a_n}{({}^{2n}_{\; n}\big) }$ ( $a_n$ 为 $n$ 的函数)的级数被广泛研究,这种级数也被称为类Apéry级数.当然关于二项式系数的另外一种级数形式 $\sum\limits_{n = 0}^{\infty}b_n\big({}^{2n}_{\; n}\big)$ ( $b_n$ 是 $n$ 的函数)也受到了很多学者的关注.利用积分、差分和特殊取值方法, Lehmer^[15]建立了许多关于这两种级数的求和公式.由Dirichlets $L$ -级数, Sun^[19]和Zucker^[24]也建立了大量这两种类型级数的求和公式.利用Fa $\grave{a}$ di Bruno公式, Wang和Xu^[21]建立了一系列关于调和数和二项式系数的恒等式.另外,计算机代数方法也被应用到证明和计算这些求和公式中来.例如, Ablinger^[1]提供了Mathematica包{HarmonicSums},发现并验证了大量包含中心二项式系数和调和数的无穷级数公式.

最近, Chu^[8]将超几何方法^[7]应用到建立类Apéry级数恒等式的研究中来.这种方法的应用,我们也可参见文献[5-7, 12-13, 20, 23].本文将推广超几何方法,建立更多关于中心二项式系数和广义调和数的无穷限求和公式.

广义调和数 $H_n^{(s)}(x)$ 定义如下

$H_0^{(s)}(x) = 0, \, \, \, \, \, \, H_n^{(s)}(x) = \sum\limits_{j = 0}^{n-1}\frac{1}{(j+x)^s}, \, \, \, \, \, \, x\in{\Bbb C}/{\Bbb Z}^-, \, \, n, s = 1, 2, \cdots.$

当 $x = 1$ 时,

$H_0^{(s)} = 0, \, \, \, \, \, \, H_n^{(s)} = \sum\limits_{j = 1}^n\frac{1}{j^s}, \, \, \, \, \, \, n, s = 1, 2, \cdots.$

当 $s = 1$ 时,

$H_0(x) = 0, \, \, \, \, \, \, H_n(x) = \sum\limits_{j = 0}^{n-1}\frac{1}{j+x}, \, \, \, \, \, \, x\in{\Bbb C}/{\Bbb Z}^-, \, \, n = 1, 2, \cdots.$

显然,当 $x = 1$ 且 $s = 1$ 时, $H_n^{(s)}(x)$ 即为经典调和数 $H_n$ .再介绍另外一种调和数的推广形式^[9]

$O_0^{l} = 0, \, \, \, \, \, \, O_n^{(l)} = \sum\limits_{k = 1}^{n}\frac{1}{(2k-1)^l} = \frac{1}{2^l}H_n^{(l)}(\frac{1}{2}), \, \, \, \, \, \, n, l\geq1,$

这里 $O_n = O_n^{(1)} = \sum\limits_{k = 1}^{n}\frac{1}{2k-1}$ .

为了推广超几何方法,需要将Bell多项式的相关内容作一介绍.对一个序列 $t: = (t_1, t_2, \cdots)$ , Bell多项式 $\Omega_i(t): = \Omega_i(t_1, t_2, \cdots, t_i)$ 定义为

$\begin{equation} \sum\limits_{m = 0}^{\infty}\Omega_m(t)x^m = \exp \Big\{\sum\limits_{k = 1}^{\infty}t_k\frac{x^k}{k}\Big\}, \end{equation}$

(1.1)

具体表达式为

$\Omega_i(t) = \sum\limits_{\sigma(i)}\frac{1}{a_1!a_2!\cdots a_i!}\Big(\frac{t_1}{1}\Big)^{a_1}\Big(\frac{t_2}{2}\Big)^{a_2}\cdots\Big(\frac{t_i}{i}\Big)^{a_i},$

这里的 $\sigma(i)$ 为取遍所有非负整数 $a_1, a_2, \cdots, a_i$ ,使得 $a_1+2a_2+\cdots+ia_i = i$ ,或者等价地, $\sigma(i)$ 为取遍 $i$ 的所有分拆,参考文献[10, Sect 3.3]和[16, Sect 4.2].由上述式子,下面列出几个简单的Bell多项式的表达式:

$\Omega_0(t) = 1, \, \, \, \, \, \Omega_1(t) = t_1, \, \, \, \, \, \Omega_2(t) = \frac{1}{2}(t_1^2+t_2),$

$\Omega_3(t) = \frac{1}{6}(t_1^3+3t_1t_2+2t_3), \, \, \, \Omega_4(t) = \frac{1}{24}(t_1^4+6t_1^2t_2+3t_2^2+8t_1t_3+6t_4).$

令 $[x^m]f(x)$ 为形式幂级数 $f(x)$ 的 $x^m$ 前的系数.由生成函数方法,发现下列两个关于Bell多项式、升阶乘和广义调和数的关系式,这两个关系式分别是文章^[5]中的公式(5a)和(5b)的推广.

引理1.1 设 $\lambda$ 是一个变量,则有下列关系式成立:

$\begin{eqnarray} &&[x^m]\frac{(a+\lambda x)_n}{(a)_n} = \Omega_m(u), \, \, \, \, \, \, \, u_i = (-1)^{i-1}\lambda^iH_n^{(i)}(a), \end{eqnarray}$

(1.2)

$\begin{eqnarray} &&[x^m]\frac{(a)_n}{(a+\lambda x)_n} = \Omega_m(v), \, \, \, \, \, \, \, v_i = (-1)^{i}\lambda^iH_n^{(i)}(a), \end{eqnarray}$

(1.3)

其中 $(x)_n$ 为升阶乘,定义为

$(x)_0 = 1, \, \, \, \, \, \, \, \, (x)_n = x(x+1)\cdots(x+n-1), \, \, \, \, \, \, \, \, \, n\in{\Bbb N}.$

证根据对数函数的幂级数展开公式,有

$\begin{eqnarray*} \ln\frac{(a+\lambda x)_n}{(a)_n}& = &\sum\limits_{k = 0}^{n-1}\ln(1+\frac{\lambda x}{a+k}) = \sum\limits_{k = 0}^{n-1}\sum\limits_{i = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{i-1}}{i}\frac{(\lambda x)^i}{(a+k)^i}\\ & = &\sum\limits_{i = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{i-1}(\lambda x)^i}{i}\sum\limits_{k = 0}^{n-1}\frac{1}{(a+k)^i} = \sum\limits_{i = 1}^{\infty}(-1)^{i-1}\lambda^iH_n^{(i)}(a)\frac{x^i}{i}. \end{eqnarray*}$

由Bell多项式的定义(1.1),公式(1.2)得证.用相似的方法,可以推导出公式(1.3).

下面我们给出gamma函数的幂级数展开公式.为此,将Weierstrass定义的gamma公式先列出来:

$\begin{equation} \Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod\limits_{n = 1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}e^{z/n}, \end{equation}$

(1.4)

这里 $\gamma \approx 0.577216$ 是Euler-Mascheroni常数.

引理1.2 设 $\lambda$ 为一变量,则下列公式成立:

$\begin{eqnarray} \frac{\Gamma(a+x)}{\Gamma(a)} = \exp\Big\{\sum\limits_{k = 1}^{\infty}v_k(a)\frac{x^k}{k}\Big\}, \end{eqnarray}$

(1.5)

其中序列 $\{v_k(a)\}$ 定义为

$v_1(a) = -\gamma+\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(\frac{1}{n}-\frac{1}{a+n})-\frac{1}{a}, \, \, \, \, \, \, \, v_k(a) = (-1)^k\zeta(k, a), \, \, \, k = 2, 3, \cdots.$

证由(1.4)式,有

$\begin{eqnarray*} \ln\frac{\Gamma(a+x)}{\Gamma(a)}& = &\ln\Big[e^{-\gamma x}\cdot\frac{a}{a+x}\cdot\prod\limits_{n = 1}^{\infty}\big(1+\frac{x}{n+a}\big)^{-1}\cdot e^{x/n}\Big]\\ & = &-\gamma x-\ln(1+\frac{x}{a})-\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\big[\ln(1+\frac{x}{a+n})-\frac{x}{n}\big]\\ & = &-\gamma x+\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k}\big(\frac{x}{a}\big)^k +\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\Big[\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k}\big(\frac{x}{a+n}\big)^k+\frac{x}{n}\Big]. \end{eqnarray*}$

因此,公式(1.5)得证.

在公式(1.5)中,分别令 $a = 1$ 和 $a = \frac{1}{2}$ ,将变量 $x$ 换为 $-x$ ,公式(1.5)将简化为文章[7]中的(0.6a)和(0.6b)式.

2 基于Gauss定理的无穷限求和公式

在经典超几何级数理论中, Gauss定理^{[3, 18]}发挥了非常重要的作用,形式如下:

$\begin{eqnarray} \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{n!(c)_n} = \frac{\Gamma{(c)}\Gamma{(c-a-b)}}{\Gamma{(c-a)}\Gamma{(c-b)}}, \, \, \, \, {\cal R}(c-a-b)>0. \end{eqnarray}$

(2.1)

在(2.1)中,作参数变换 $a\rightarrow a+\lambda x$ , $b\rightarrow b+\mu x$ 且 $c\rightarrow c+\sigma x$ , Gauss定理转换为下列形式的无穷和恒等式:

$\begin{eqnarray} \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{n!(c)_n}\frac{\frac{(a+\lambda x)_n}{(a)_n} \frac{(b+\mu x)_n}{(b)_n}}{\frac{(c+\sigma x)_n}{(c)_n}} = \frac{\frac{\Gamma(c+\sigma x)}{\Gamma(c)}\frac{\Gamma(c-a-b+(\sigma-\lambda-\mu) x)} {\Gamma(c-a-b)}}{\frac{\Gamma(c-a+(\sigma-\lambda) x)} {\Gamma(c-a)}\frac{\Gamma(c-b+(\sigma-\mu) x)}{\Gamma(c-b)}} \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}. \end{eqnarray}$

(2.2)

提取上述式子左右两边的 $x^m$ 的系数,利用引理1.1和1.2,推导出如下一般求和定理.

定理2.1 对 $m\in{\Bbb N}$ , $a$ , $b$ 和 $c$ 为非负整数,并且 $c-a-b > 0$ ,则

$\begin{eqnarray} \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{n!(c)_n}\Omega_m(r) = \frac{\Gamma{(c)}\Gamma{(c-a-b)}} {\Gamma{(c-a)}\Gamma{(c-b)}}\Omega_m(s), \end{eqnarray}$

(2.3)

其中两个序列 $\{r, s\}$ 定义为

$r_i = (-1)^i(\sigma^iH_n^{(i)}(c)-\lambda^iH_n^{(i)}(a)-\mu^iH_n^{(i)}(b)),$

$s_i = \sigma^iv_i(c)+(\sigma-\lambda-\mu)^iv_i(c-a-b)-(\sigma-\lambda)^iv_i(c-a)-(\sigma-\mu)^iv_i(c-b),$

这里 $v_i(x)$ 为在引理1.2中的表达式.

注意到,这一定理等价于文献[14]中的结果(24)和(25).当 $a$ , $b$ , $c$ 选取不同的特殊值时,将得到几个关于中心二项式系数的一般公式.例如,在(2.3)式中,取 $a = 1$ , $b = \frac{1}{2}$ , $c = 2$ ,有如下推论.

推论2.1 对 $m\in{\Bbb N}$ ,下列关于中心二项式系数的求和公式成立:

$\begin{equation} \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\;n}\big) }{4^n(n+1)}\Omega_m(r) = 2\Omega_m(s), \end{equation}$

(2.4)

其中

$r_i = (-1)^i(\sigma^i(H_{n+1}^{(i)}-1)-\lambda^iH_n^{(i)}-\mu^i2^iO_n^{(i)}),$

$s_i = \sigma^iv_i(2)+(\sigma-\lambda-\mu)^iv_i(\frac{1}{2})-(\sigma-\lambda)^iv_i(1)-(\sigma-\mu)^iv_i(\frac{3}{2}).$

根据Riemann和Hurwitz zeta函数的相关性质, $v_i(1)$ , $v_i(2)$ , $v_i(\frac{1}{2})$ 和 $v_i(\frac{3}{2})$ 可表示为

$v_i(1) = \left\{ \begin{array}{ll} -\gamma\, , &i = 1\, , \\ (-1)^i\zeta(i)\, , &i>1\, , \end{array} \right.~~ v_i(2) = \left\{ \begin{array}{ll} -\gamma+1\, , &i = 1\, , \\ (-1)^i(\zeta(i)-1)\, , &i>1\, , \end{array} \right.$

$v_i(\frac{1}{2}) = \left\{ \begin{array}{ll} -\gamma-2\ln2\, , &i = 1\, , \\ (-1)^i(2^i-1)\zeta(i)\, , &i>1\, , \end{array} \right.~~ v_i(\frac{3}{2}) = \left\{ \begin{array}{ll} -\gamma-2\ln2+2\, , &i = 1\, , \\ (-1)^i(2^i-1)\zeta(i)-(-2)^i\, , &i>1\, . \end{array} \right.$

在(2.3)式中,令 $a = \frac{1}{2}$ , $b = \frac{1}{2}$ , $c = \frac{3}{2}$ ,得

推论2.2 对 $m\in{\Bbb N}$ ,下列关于中心二项式系数的求和公式成立:

$\begin{equation} \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\;n}\big) }{4^n(2n+1)}\Omega_m(r) = \frac{\pi}{2}\Omega_m(s), \end{equation}$

(2.5)

其中 $r_i = (-2\sigma)^i(O_{n+1}^{(i)}-1)-(-2)^i(\lambda^i+\mu^i)O_n^{(i)},$

$s_i = \sigma^iv_i(\frac{3}{2})+(\sigma-\lambda-\mu)^iv_i(\frac{1}{2})-(\sigma-\lambda)^iv_i(1)-(\sigma-\mu)^iv_i(1).$

在(2.3)式中,令 $a = \frac{1}{2}$ , $b = \frac{1}{2}$ , $c = 2$ ,得

推论2.3 对 $m\in{\Bbb N}$ ,下列关于中心二项式系数的求和公式成立:

$\begin{equation} \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{{({}^{2n}_{\;n}\big) }^2}{16^n(n+1)}\Omega_m(r) = \frac{4}{\pi}\Omega_m(s), \end{equation}$

(2.6)

其中 $r_i = (-1)^i[\sigma^i(H_{n+1}^{(i)}-1)-(\lambda^i+\mu^i)2^iO_n^{(i)}],$

$s_i = \sigma^iv_i(2)+(\sigma-\lambda-\mu)^iv_i(1)-(\sigma-\lambda)^iv_i(\frac{3}{2})-(\sigma-\mu)^iv_i(\frac{3}{2}).$

由上述三个推论,可以推导出一系列的关于二项式系数与广义调和数的求和公式,这些公式用下文中的表 1, 表 2, 表 3表示.

表 1 由推论2.1给出的关于中心二项式系数的求和公式

$m$	$\lambda$	$\mu$	$\sigma$	central binomial coefficient summation formulas
$0$				$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n}) }{4^n(n+1)}=2$
$1$	$1$	$0$	$0$	$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n}) }{4^n(n+1)}H_n=4\ln2$ [13, (2.11)]
$1$	$0$	$1$	$0$	$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n}) }{4^n(n+1)}O_n=2$ [13, (2.13)]
$1$	$0$	$0$	$1$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n}) }{4^n(n+1)}H_{n+1}=4$ [13, (2.12)]
$2$	$1$	$0$	$0$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n}) }{4^n(n+1)}(H_n^2-H_n^{(2)})=8 \ln^22+\frac{2}{3}\pi^2$ [14, Ex.4.1]
$2$	$0$	$1$	$0$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n}) }{4^n(n+1)}(O_n^2-O_n^{(2)})=4$ [14, Ex.4.22]
$2$	$0$	$0$	$1$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n}) }{4^n(n+1)}(H_{n+1}^{(2)}+H_{n+1}^2 -2H_{n+1})=8$ [14, Ex.4.24]
$3$	$1$	$0$	$0$	$\begin{array}{l}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n})}{4^n(n+1)}(H_{n}^{3}-3H_{n}H_n^{(2)}+2H_{n}^{(3)})\\ =4(4\ln^32+\pi^2\ln2+6\zeta(3)) \ {\rm [14, \; Ex.4.11]} \end{array}$
$3$	$0$	$1$	$0$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n})}{4^n(n+1)}(O_{n}^{3}-3O_{n}O_n^{(2)}+2O_{n}^{(3)})=12$ [14, Ex.4.23]
$3$	$0$	$0$	$1$	$\begin{array}{l}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n})}{4^n(n+1)}(H_{n+1}^3-3H_{n+1}^2+3H_{n+1}H_{n+1}^{(2)} \\ -3H_{n+1}^{(2)}+2H_{n+1}^{(3)})=48\ {\rm [14, \; Ex.4.25]}\end{array}$
$4$	$1$	$0$	$0$	$\begin{array}{l} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n}) }{4^n(n+1)}(H_{n}^4-6H_{n}^2H_n^{(2)}+3(H_{n}^{(2)})^2+8H_{n}H_n^{(3)}-6H_{n}^{(4)})\\ =2(16\ln^42+8\pi^2\ln^22+\pi^4/3+96\ln2\cdot\zeta(3)+84\zeta(4)) \end{array}$
$4$	$0$	$1$	$0$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n}) }{4^n(n+1)}(O_{n}^{4}-6O_{n}^2O_n^{(2)}+3(O_n^{(2)})^2+8O_nO_{n}^{(3)}-6O_n^{(4)})=48$
$4$	$0$	$0$	$1$	$\begin{array}{l} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n})}{4^n(n+1)}(-4H_{n+1}^3+H_{n+1}^4-12H_{n+1}H_{n+1}^{(2)}+6H_{n+1}^2H_{n+1}^{(2)} \\+3(H_{n+1}^{(2)})^2-8H_{n+1}^{(3)}+8H_{n+1}H_{n+1}^{(3)}+6H_{n+1}^{(4)})=384 \end{array}$

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表 2 由推论2.2给出的关于中心二项式系数的求和公式

$m$	$\lambda$	$\mu$	$\sigma$	central binomial coefficient summation formulas
$0$				$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n}) }{4^n(2n+1)}=\frac{\pi}{2}$
$1$	$1$	$0$	$0$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n}) }{4^n(2n+1)}O_n=\frac{\pi}{2}\ln2$ [13, (2.15)]
$1$	$0$	$0$	$1$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n})}{4^n(2n+1)}O_{n+1}=\pi\ln2$ [13, (2.16)]
$2$	$1$	$0$	$0$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n})}{4^n(2n+1)}(O_n^2-O_n^{(2)})=\frac{\pi}{2}\ln^22+\frac{\pi^3}{24}$
$2$	$0$	$0$	$1$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n}) }{4^n(2n+1)}(O_{n+1}^2-2O_{n+1}+O_{n+1}^{(2)}) =2\pi\ln^22-2\pi\ln2+\frac{\pi^3}{12}$
$3$	$1$	$0$	$0$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n})}{4^n(2n+1)}(O_n^3-3O_nO_n^{(2)}+2O_n^{(3)})= \frac{\pi}{8}(4\ln^32+\pi^2\ln2+6\zeta(3))$
$3$	$0$	$0$	$1$	$\begin{array}{l} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n}) }{4^n(2n+1)}(3O_{n+1}^2 -O_{n+1}^3+3O_{n+1}^{(2)}-3O_{n+1}O_{n+1}^{(2)}-2O_{n+1}^{(3)})\\ =\frac{\pi}{4}(24\ln^22-16\ln^32+\pi^2-2\pi^2\ln2-6\zeta(3)) \end{array}$
$4$	$1$	$0$	$0$	$\begin{array}{l} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n}) }{4^n(2n+1)}(O_{n}^{4}-6O_{n}^2O_n^{(2)}+3(O_n^{(2)})^2+8O_nO_{n}^{(3)}-6O_n^{(4)})\\ =\frac{\pi}{2}(\ln^42+\frac{\ln^22}{2}\pi^2+\frac{\pi^4}{48}+6\ln2\cdot \zeta(3)+4\zeta(4)) \end{array}$
$4$	$0$	$0$	$1$	$\begin{array}{l} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{({}^{2n}_{\; n}) }{4^n(2n+1)}(-4O_{n+1}^3+O_{n+1}^4-12O_{n+1}O_{n+1}^{(2)}+6O_{n+1}^2O_{n+1}^{(2)}+3(O_{n+1}^{(2)})^2\\ -8O_{n+1}^{(3)}+8O_{n+1}O_{n+1}^{(3)}+6O_{n+1}^{(4)})=\pi(-16\ln^32+8\ln^42-2\ln2\cdot\pi^2 \\ +2\ln^22\cdot\pi^2+\frac{1}{24}\pi^4-6\zeta(3)+12\ln2\cdot\zeta(3)+\frac{21}{4}\zeta(4))\end{array}$

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表 3 由推论2.3给出的关于中心二项式系数的求和公式

$m$	$\lambda$	$\mu$	$\sigma$	central binomial coefficient summation formulas
$0$				$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{({}^{2n}_{\; n}) }^2}{16^n(n+1)}=\frac{4}{\pi}$
$1$	$1$	$0$	$0$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{({}^{2n}_{\; n}) }^2}{16^n(n+1)}O_n=\frac{4}{\pi}(1-\ln2)$ [13, (2.17)]
$1$	$0$	$0$	$1$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{({}^{2n}_{\; n}) }^2}{16^n(n+1)}H_{n+1}=\frac{16}{\pi}(1-\ln2)$ [13, (2.18)]
$2$	$1$	$0$	$0$	$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{({}^{2n}_{\; n})}^2}{16^n(n+1)}(O_n^2-O_n^{(2)}) =\frac{4}{\pi}(2-2\ln2+\ln^22-\frac{\pi^2}{12})$ [14, Ex.4.2]
$2$	$0$	$0$	$1$	$\begin{array}{l} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{({}^{2n}_{\; n})}^2}{16^n(n+1)}(H_{n+1}^{(2)}\!+\!H_{n+1}^2\!-\!2H_{n+1}) \!=\!\frac{4}{\pi}(16\ln^22\!-\!24\ln2\!+\!16\!-\!\frac{2\pi^2}{3}) {\rm [14, Ex.4.7]} \end{array}$
$3$	$1$	$0$	$0$	$\begin{array}{l} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{({}^{2n}_{\; n}) }^2}{16^n(n+1)}(O_{n}^3-3O_{n}O_n^{(2)}+2O_{n}^{(3)}) \\ =\frac{1}{\pi}(24-16\ln2+4\ln^22-4\ln^32-\pi^2+\pi^2\ln2-6\zeta(3))\ {\rm [14, Ex.4.12]} \end{array}$
$3$	$0$	$0$	$1$	$\begin{array}{l} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{({}^{2n}_{\; n}) }^2}{16^n(n+1)}(H_{n+1}^3 -3H_{n+1}^2+3H_{n+1}H_{n+1}^{(2)}-3H_{n+1}^{(2)}+2H_{n+1}^{(3)}) \\ =\frac{8}{\pi}(60-60\ln2+24\ln^22-32\ln^32-3\pi^2+4\pi^2\ln2-12\zeta(3))\ {\rm [14, Ex.4.13]} \end{array}$
$4$	$1$	$0$	$0$	$\begin{array}{l} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{({}^{2n}_{\; n})}^2}{16^n(n+1)}(O_{n}^{4}-6O_{n}^2O_n^{(2)} +3(O_n^{(2)})^2+8O_nO_{n}^{(3)}-6O_n^{(4)})\\ =\frac{4}{\pi}(24-24\ln2+12\ln^22-4\ln^32+\ln^42-\pi^2+\pi^2\ln2 -\frac{1}{2}\pi^2\ln^22\\ +\frac{\pi^4}{48}-6\zeta(3)+6\zeta(3)\ln2-\frac{21}{4}\zeta(4)) \end{array}$
$4$	$0$	$0$	$1$	$\begin{array}{l} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{({}^{2n}_{\; n}) }^2}{16^n(n+1)}(-4H_{n+1}^3+H_{n+1}^4-12H_{n+1}H_{n+1}^{(2)} +6H_{n+1}^2H_{n+1}^{(2)}\\ +3(H_{n+1}^{(2)})^2-8H_{n+1}^{(3)}+8H_{n+1}H_{n+1}^{(3)}+6H_{n+1}^{(4)}) \\ =\frac{4}{\pi}(1152-1920\ln2+1536\ln^22-768\ln^32+256\ln^42-64\pi^2+96\pi^2\ln2 \\ -64\pi^2\ln^22+\frac{4}{3}\pi^4-288\zeta(3)+384\ln2\cdot\zeta(3)-168\zeta(4)) \end{array}$

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注2.1 在推论2.3和表 3中的关于中心二项式系数平方的公式在文章[4]和[22]中已被验证.

3 基于Gauss第二定理的无穷限求和公式

Gauss第二定理,参见文献[3, 18]:

$\begin{eqnarray} \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{(a)_n(c)_n}{n!(\frac{1+a+c}{2})_n}\big(\frac{1}{2}\big)^n = \frac{\Gamma{(\frac{1}{2})}\Gamma{(\frac{1+a+c}{2})}}{\Gamma{(\frac{1+a}{2})}\Gamma{(\frac{1+c}{2})}}. \end{eqnarray}$

(3.1)

在(3.1)式中,作变量替换 $a\rightarrow a+\lambda x$ , $c\rightarrow c+\mu x$ ,提取上式左右两边 $x^m$ 前的系数,利用引理1.1和引理1.2,可建立下列恒等式.

定理3.1 对 $m\in{\Bbb N}$ , $a$ , $c$ 为非负整数,下列无穷级数恒等式成立:

$\begin{eqnarray} \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{(a)_n(c)_n}{n!(\frac{1+a+c}{2})_n}\big(\frac{1}{2}\big)^n\Omega_m(u) = \frac{\sqrt{\pi}\Gamma{(\frac{1+a+c}{2})}}{\Gamma{(\frac{1+a}{2})}\Gamma{(\frac{1+c}{2})}}\Omega_m(t), \end{eqnarray}$

(3.2)

其中两个序列 $\{u, t\}$ 定义为:

$u_i = (-1)^{i-1}\big[\lambda^iH_n^{(i)}(a)+\mu^iH_n^{(i)}(c)-(\frac{\lambda+\mu}{2})^iH_n^{(i)}(\frac{1+a+c}{2})\big],$

$t_i = (\frac{\lambda+\mu}{2})^iv_i(\frac{1+a+c}{2})-(\frac{\lambda}{2})^iv_i(\frac{1+a}{2})-(\frac{\mu}{2})^iv_i(\frac{1+c}{2}).$

在(3.2)式中,令 $a = c = 1$ , $\lambda = 1$ , $\mu = -1$ ,可推导出类Apéry级数恒等式[9, Eq 3b].

在(3.2)式中,令 $a = \frac{1}{2}$ , $c = \frac{3}{2}$ ,有下列推论.

推论3.1 对 $m\in{\Bbb N}$ ,有

$\begin{equation} \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{\big({}^{2n}_{\;n}\big) }{8^n}\Omega_m(u) = \sqrt{2}\Omega_m(t), \end{equation}$

(3.3)

其中

$u_i = (-1)^{i-1}2^i\big[\lambda^iO_n^{(i)}+\mu^i(O_{n+1}^{(i)}-1)-(\frac{\lambda+\mu}{2})^i(O_{n+1}^{(i)}-1)\big],$

$t_i = (\frac{\lambda+\mu}{2})^iv_i(\frac{3}{2})-(\frac{\lambda}{2})^iv_i(\frac{3}{4})-(\frac{\mu}{2})^iv_i(\frac{5}{4}).$

例3.1 在(3.3)式中,令 $m = 0$ ,有

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{\big({}^{2n}_{\;n}\big) }{8^n} = \sqrt{2}.$

这个恒等式在文献[15]也可看到.

例3.2 在(3.3)式中,令 $m = 1$ , $\lambda = \mu = 1$ ,有

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{\big({}^{2n}_{\;n}\big)}{8^n}O_n = \frac{\sqrt{2}}{2}\ln2.$

证在(3.3)式中,令 $m = 1$ , $\lambda = \mu = 1$ ,有

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{\big({}^{2n}_{\;n}\big)}{8^n}O_n = \frac{\sqrt{2}}{2}t_1, \, \, \, \, \, \, t_1 = -\zeta(1, \frac{3}{2})+\frac{1}{2}\zeta(1, \frac{3}{4}) +\frac{1}{2}\zeta(1, \frac{5}{4}). \end{eqnarray*}$

Hurwitz zeta函数( $m$ 是非负整数)与polygamma函数的关系为

$\begin{eqnarray} \psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}m!\zeta(m+1, z). \end{eqnarray}$

(3.4)

由这个关系式,有

$t_1 = \psi(\frac{3}{2})-\frac{1}{2}\psi(\frac{3}{4})-\frac{1}{2}\psi(\frac{5}{4}),$

其中 $\psi(x) = \psi^{(0)}(x)$ 是digamma函数,关于它的一些特殊值可以参考文献[17]:

$\begin{eqnarray*} \psi(\frac{1}{2}) = -2\ln2-\gamma, \, \, \, \, \psi(\frac{1}{4}) = -\frac{\pi}{2}-3\ln2-\gamma. \end{eqnarray*}$

根据digamma函数的关系式:

$\psi(x+1) = \psi(x)+\frac{1}{x},$

$\psi(1-x)-\psi(x) = \pi\cot(\pi x),$

可以得到

$\begin{eqnarray*} \psi(\frac{3}{2}) = -2\ln2-\gamma+2, \, \, \, \, \psi(\frac{3}{4}) = -\frac{\pi}{2}-3\ln2-\gamma+\pi, \, \, \, \, \psi(\frac{5}{4}) = -\frac{\pi}{2}-3\ln2-\gamma+4. \end{eqnarray*}$

因此 $t_1 = \ln2$ ,进而结论得证.

相似地,有下列求和公式成立.

例3.3 在(3.3)式中,令 $m = 1$ , $\lambda = 0$ , $\mu = 1$ ,有

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{\big({}^{2n}_{\;n}\big) }{8^n}O_{n+1} = \sqrt{2}(\frac{1}{2}\ln2+\frac{\pi}{4}).$

例3.4 在(3.3)式中,令 $m = 2$ , $\lambda = \mu = 1$ ,有

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{\big({}^{2n}_{\;n}\big) }{8^n}(O_{n}^2-O_n^{(2)}) = \frac{\sqrt{2}}{4}\ln^22.$

证在(3.3)式中,令 $m = 2$ , $\lambda = \mu = 1$ ,利用关系式(3.4),有

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{\big({}^{2n}_{\;n}\big) }{8^n}(O_{n}^2-O_n^{(2)}) = \frac{\sqrt{2}}{4}(t_1^2+t_2), \, \, \, \, \, \, t_2 = \psi'(\frac{3}{2})-\frac{1}{4}\psi'(\frac{3}{4}) -\frac{1}{4}\psi'(\frac{5}{4})), \end{eqnarray*}$

其中 $\psi'(x) = \psi^{(1)}(x)$ .而 $\psi'(\frac{1}{2})$ , $\psi'(\frac{1}{4})$ 以及 $\psi'(\frac{3}{4})$ 的值为

$\begin{eqnarray*} \psi'(\frac{1}{2}) = \frac{\pi^2}{2}, \, \, \, \, \psi'(\frac{1}{4}) = \pi^2+8G, \, \, \, \psi'(\frac{3}{4}) = \pi^2-8G, \end{eqnarray*}$

其中 $G$ 为Catalan常数,这些值可参考文献[11].另外,由polygamma函数的递推关系

$\begin{equation} \psi^{(n)}(x+1) = \psi^{(n)}(x)+\frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}, \end{equation}$

(3.5)

可得 $\psi'(\frac{3}{2}) = \frac{\pi^2}{2}-4$ , $\psi'(\frac{5}{4}) = \pi^2+8G-16$ ,因此计算出 $t_2 = 0$ .结论得证.

例3.5 在(3.3)式中,令 $m = 2$ , $\lambda = 0$ , $\mu = 1$ ,有

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{\big({}^{2n}_{\;n}\big) }{8^n}(O_{n+1}^2-2O_{n+1}-3O_{n+1}^{(2)}) = \sqrt{2}(\frac{1}{4}\ln^22+\frac{\pi}{4}\ln2 -\ln2-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^2}{16}-2G).$

例3.6 在(3.3)式中,令 $m = 3$ , $\lambda = \mu = 1$ ,有

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{\big({}^{2n}_{\;n}\big) }{8^n}(O_{n}^3-3O_nO_n^{(2)}+2O_n^{(3)}) = \frac{\sqrt{2}}{8}\ln^32.$

证在(3.3)式中,令 $m = 3$ , $\lambda = \mu = 1$ ,利用关系式(3.4),有

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{\big({}^{2n}_{\;n}\big) }{8^n}(O_{n}^3-3O_nO_n^{(2)}+2O_n^{(3)}) = \frac{\sqrt{2}}{8}(t_1^3+3t_1t_2+2t_3),$

$t_3 = \frac{1}{2}(\psi''(\frac{3}{2})-\frac{1}{8}\psi''(\frac{3}{4})-\frac{1}{8}\psi''(\frac{5}{4})),$

其中 $\psi''(x) = \psi^{(2)}(x)$ .在文献[17]中,发现

$\begin{eqnarray*} \psi''(\frac{1}{2}) = -14\zeta(3), \, \, \, \, \psi''(\frac{1}{4}) = -2\pi^3-56\zeta(3), \, \, \, \psi''(\frac{3}{4}) = 2\pi^3-56\zeta(3). \end{eqnarray*}$

根据关系式(3.5),可以推导出 $t_3 = 0$ ,结论得证.

例3.7 在(3.3)式中,令 $m = 3$ , $\lambda = 0$ , $\mu = 1$

$\begin{eqnarray*} &&\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{\big({}^{2n}_{\;n}\big) }{8^n}(O_{n+1}^3-3O_{n+1}^2+12O_{n+1}-9O_{n+1}O_{n+1}^{(2)}+9O_{n+1}^{(2)}+14O_{n+1}^{(3)})\\ & = &\sqrt{2}(6\ln2-\frac{3}{4}\ln^22+\frac{\ln^32}{8}+3\pi-\frac{3}{4}\ln2\cdot\pi+\frac{3}{16}\ln^22\cdot\pi+\frac{3}{16}\pi^2\\ &&-\frac{3}{32}\ln2\cdot\pi^2+\frac{11}{64}\pi^3+6G-3\ln2\cdot G-\frac{3}{2}\pi G+\frac{21}{4}\zeta(3)). \end{eqnarray*}$

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Ablinger

Discovering and proving infinite binomial sums identities

Exp Math, 2017, 26 (1): 62- 71

[本文引用: 1]

[2]

Apéry

Irrationalité de $\zeta(2)$ et $\zeta(3)$

Astérisque, 1979, 61, 11- 13

[本文引用: 1]

[3]

Bailey

W N

Generalized Hypergeometric Series. Cambridge: Cambridge Univ Press, 1935

[本文引用: 2]

[4]

Campbell

J M

Ramanujan-like series for $\frac{1}{\pi}$ involving harmonic numbers

Ramanujan J, 2018, 46 (2): 373- 387

DOI:10.1007/s11139-018-9995-9

[5]

Chen

, Chu

The Gauss $_2F_1(1)$ -summation theorem and harmonic number identities

Integral Transforms Spec Funct, 2009, 20 (12): 925- 935

DOI:10.1080/10652460903016166 [本文引用: 2]

[6]

Chen

, Chu

Dixon's $_3F_2(1)$ -series and identities involving harmonic numbers and Riemann zeta function

Discrete Math, 2010, 310, 83- 91

DOI:10.1016/j.disc.2009.07.029

[7]

Chu

Hypergeometric series and the Riemann zeta function

Acta Arith, 1997, 82 (2): 103- 118

DOI:10.4064/aa-82-2-103-118 [本文引用: 2]

[8]

Chu

Hypergeometric approch to Apéry-like series

Integral Transforms Spec Funct, 2017, 28 (7): 505- 518

DOI:10.1080/10652469.2017.1315416 [本文引用: 1]

[9]

Chu

, Zheng

D Y

Infinite series with harmonic numbers and central binomial coefficients

Int J Number Theory, 2009, 5 (3): 429- 448

[本文引用: 2]

[10]

Comtet L. Advanced Combinatorics. Dordrecht: Klumer, 1974

[本文引用: 1]

[11]

Kölbig

K S

The polygamma function $\psi^{(k)}(x)$ for $x=\frac{1}{4}$ and $x=\frac{3}{4}$

J Comput Appl Math, 1996, 75, 43- 46

[本文引用: 1]

[12]

Liu

, Wang

Harmonic number identities via hypergeometric series and Bell polynomials

Integral Transforms Spec Funct, 2012, 23 (1): 49- 68

DOI:10.1080/10652469.2011.553718 [本文引用: 1]

[13]

Liu

, Zhou

, Ding

Generalized harmonic number summation formulae via hypergeometric series and digamma functions

J Differ Equ Appl, 2017, 23 (7): 1204- 1218

DOI:10.1080/10236198.2017.1318861 [本文引用: 1]

[14]

Liu

, Wang

Gauss's theorem and harmonic number summation formulae with certain mathematical constants

J Differ Equ Appl, 2019, 25 (3): 313- 330

DOI:10.1080/10236198.2019.1572127 [本文引用: 1]

[15]

Lehmer

D H

Interesting series involving the central binomial coefficient

Amer Math Monthly, 1985, 92, 449- 457

DOI:10.1080/00029890.1985.11971651 [本文引用: 2]

[16]

Riordan J. An Introduction to Combinatorial Analysis. Reprint of the 1958 Original. Mineola: Dover, 2002

[本文引用: 1]

[17]

Srivastava H M, Choi J. Series Associated with the Zeta and Related Functions. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001

[本文引用: 2]

[18]

Slater

L J

Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge: Cambridge Univ Press, 1966

[本文引用: 2]

[19]

Sun

New series for some special values of $L$ -functions

Nanjing Univ J Math, 2015, 32 (2): 189- 218

[本文引用: 1]

[20]

Wang

, Jia

Harmonic number identities via the Newton-Andrews method

Ramanujan J, 2014, 35 (2): 263- 285

DOI:10.1007/s11139-013-9511-1 [本文引用: 1]

[21]

Wang

, Xu

Evaluations of sums involving harmonic numbers and binomial coefficients

J Differ Equ Appl, 2019, 25 (7): 1007- 1023

DOI:10.1080/10236198.2019.1647184 [本文引用: 1]

[22]

Wang

, Chu

Further Ramanujan-like series containing harmonic numbers and squared binomial coefficients

Ramanujan J, 2019

DOI:10.1007/s11139-019-00140-5

[23]

Zheng

Further summation formulae related to generalized harmonic numbers

J Math Anal Appl, 2007, 335 (1): 692- 706

DOI:10.1016/j.jmaa.2007.02.002 [本文引用: 1]

[24]

Zucker

I J

On the series $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \big({}^{2k}_{\; k}\big)^{-1}k^{-n}$

J Number Theory, 1985, 20, 92- 102

DOI:10.1016/0022-314X(85)90019-8 [本文引用: 1]

Discovering and proving infinite binomial sums identities

2017

... 之后,形式为

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{a_n}{({}^{2n}_{\; n}\big) }$

(

$a_n$

为

$n$

的函数)的级数被广泛研究,这种级数也被称为类Apéry级数.当然关于二项式系数的另外一种级数形式

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}b_n\big({}^{2n}_{\; n}\big)$

(

$b_n$

是

$n$

的函数)也受到了很多学者的关注.利用积分、差分和特殊取值方法, Lehmer^[15]建立了许多关于这两种级数的求和公式.由Dirichlets

$L$

-级数, Sun^[19]和Zucker^[24]也建立了大量这两种类型级数的求和公式.利用Fa

$\grave{a}$

di Bruno公式, Wang和Xu^[21]建立了一系列关于调和数和二项式系数的恒等式.另外,计算机代数方法也被应用到证明和计算这些求和公式中来.例如, Ablinger^[1]提供了Mathematica包{HarmonicSums},发现并验证了大量包含中心二项式系数和调和数的无穷级数公式. ...

Irrationalité de

$\zeta(2)$

$\zeta(3)$

1979

... 中心二项式系数在数论、统计学和概率论等数学领域有着重要应用. 1979年Apéry^[2]证明了下列无穷级数公式: ...

1935

... 在经典超几何级数理论中, Gauss定理^{[3, 18]}发挥了非常重要的作用,形式如下: ...

... Gauss第二定理,参见文献[3, 18]: ...

Ramanujan-like series for

$\frac{1}{\pi}$

involving harmonic numbers

2018

The Gauss

$_2F_1(1)$

-summation theorem and harmonic number identities

2009

... 最近, Chu^[8]将超几何方法^[7]应用到建立类Apéry级数恒等式的研究中来.这种方法的应用,我们也可参见文献[5-7, 12-13, 20, 23].本文将推广超几何方法,建立更多关于中心二项式系数和广义调和数的无穷限求和公式. ...

... 令

$[x^m]f(x)$

为形式幂级数

$f(x)$

的

$x^m$

前的系数.由生成函数方法,发现下列两个关于Bell多项式、升阶乘和广义调和数的关系式,这两个关系式分别是文章^[5]中的公式(5a)和(5b)的推广. ...

Dixon's

$_3F_2(1)$

-series and identities involving harmonic numbers and Riemann zeta function

2010

Hypergeometric series and the Riemann zeta function

1997

... -7, 12-13, 20, 23].本文将推广超几何方法,建立更多关于中心二项式系数和广义调和数的无穷限求和公式. ...

Hypergeometric approch to Apéry-like series

2017

Infinite series with harmonic numbers and central binomial coefficients

2009

... 显然,当

$x = 1$

且

$s = 1$

时,

$H_n^{(s)}(x)$

即为经典调和数

$H_n$

.再介绍另外一种调和数的推广形式^[9] ...

... 在(3.2)式中,令

$a = c = 1$

$\lambda = 1$

$\mu = -1$

,可推导出类Apéry级数恒等式[9, Eq 3b]. ...

... 这里的

$\sigma(i)$

为取遍所有非负整数

$a_1, a_2, \cdots, a_i$

,使得

$a_1+2a_2+\cdots+ia_i = i$

,或者等价地,

$\sigma(i)$

为取遍

$i$

的所有分拆,参考文献[10, Sect 3.3]和[16, Sect 4.2].由上述式子,下面列出几个简单的Bell多项式的表达式: ...

The polygamma function

$\psi^{(k)}(x)$

for

$x=\frac{1}{4}$

and

$x=\frac{3}{4}$

1996

... 其中

$G$

为Catalan常数,这些值可参考文献[11].另外,由polygamma函数的递推关系 ...

Harmonic number identities via hypergeometric series and Bell polynomials

2012

Generalized harmonic number summation formulae via hypergeometric series and digamma functions

2017

Gauss's theorem and harmonic number summation formulae with certain mathematical constants

2019

... 注意到,这一定理等价于文献[14]中的结果(24)和(25).当

$a$

$b$

$c$

选取不同的特殊值时,将得到几个关于中心二项式系数的一般公式.例如,在(2.3)式中,取

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 2$

,有如下推论. ...

Interesting series involving the central binomial coefficient

1985

... 之后,形式为

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{a_n}{({}^{2n}_{\; n}\big) }$

(

$a_n$

为

$n$

的函数)的级数被广泛研究,这种级数也被称为类Apéry级数.当然关于二项式系数的另外一种级数形式

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}b_n\big({}^{2n}_{\; n}\big)$

(

$b_n$

是

$n$

的函数)也受到了很多学者的关注.利用积分、差分和特殊取值方法, Lehmer^[15]建立了许多关于这两种级数的求和公式.由Dirichlets

$L$

-级数, Sun^[19]和Zucker^[24]也建立了大量这两种类型级数的求和公式.利用Fa

$\grave{a}$

... 这个恒等式在文献[15]也可看到. ...

... 这里的

$\sigma(i)$

为取遍所有非负整数

$a_1, a_2, \cdots, a_i$

,使得

$a_1+2a_2+\cdots+ia_i = i$

,或者等价地,

$\sigma(i)$

为取遍

$i$

的所有分拆,参考文献[10, Sect 3.3]和[16, Sect 4.2].由上述式子,下面列出几个简单的Bell多项式的表达式: ...

... 其中

$\psi(x) = \psi^{(0)}(x)$

是digamma函数,关于它的一些特殊值可以参考文献[17]: ...

... 其中

$\psi''(x) = \psi^{(2)}(x)$

.在文献[17]中,发现 ...

1966

... 在经典超几何级数理论中, Gauss定理^{[3, 18]}发挥了非常重要的作用,形式如下: ...

... Gauss第二定理,参见文献[3, 18]: ...

New series for some special values of

$L$

-functions

2015

... 之后,形式为

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{a_n}{({}^{2n}_{\; n}\big) }$

(

$a_n$

为

$n$

的函数)的级数被广泛研究,这种级数也被称为类Apéry级数.当然关于二项式系数的另外一种级数形式

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}b_n\big({}^{2n}_{\; n}\big)$

(

$b_n$

是

$n$

的函数)也受到了很多学者的关注.利用积分、差分和特殊取值方法, Lehmer^[15]建立了许多关于这两种级数的求和公式.由Dirichlets

$L$

-级数, Sun^[19]和Zucker^[24]也建立了大量这两种类型级数的求和公式.利用Fa

$\grave{a}$

Harmonic number identities via the Newton-Andrews method

2014

Evaluations of sums involving harmonic numbers and binomial coefficients

2019

... 之后,形式为

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{a_n}{({}^{2n}_{\; n}\big) }$

(

$a_n$

为

$n$

的函数)的级数被广泛研究,这种级数也被称为类Apéry级数.当然关于二项式系数的另外一种级数形式

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}b_n\big({}^{2n}_{\; n}\big)$

(

$b_n$

是

$n$

的函数)也受到了很多学者的关注.利用积分、差分和特殊取值方法, Lehmer^[15]建立了许多关于这两种级数的求和公式.由Dirichlets

$L$

-级数, Sun^[19]和Zucker^[24]也建立了大量这两种类型级数的求和公式.利用Fa

$\grave{a}$

Further Ramanujan-like series containing harmonic numbers and squared binomial coefficients

2019

Further summation formulae related to generalized harmonic numbers

2007

On the series

$\sum\limits_{k=1}^{\infty} \big({}^{2k}_{\; k}\big)^{-1}k^{-n}$

1985

... 之后,形式为

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{a_n}{({}^{2n}_{\; n}\big) }$

(

$a_n$

为

$n$

的函数)的级数被广泛研究,这种级数也被称为类Apéry级数.当然关于二项式系数的另外一种级数形式

$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}b_n\big({}^{2n}_{\; n}\big)$

(

$b_n$

是

$n$

的函数)也受到了很多学者的关注.利用积分、差分和特殊取值方法, Lehmer^[15]建立了许多关于这两种级数的求和公式.由Dirichlets

$L$

-级数, Sun^[19]和Zucker^[24]也建立了大量这两种类型级数的求和公式.利用Fa

$\grave{a}$

〈

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