在本文中, $ (X, \rho_X) $和$ (Y, \rho_Y) $总表示拟度量空间,有关拟度量空间更多的性质请参见文献[1-8],其具体的定义如下.

定义1.1  设$ X $是一个非空集合,常数$ K\geq 1 $, $ \rho_X:X\times X\rightarrow [0, \infty) $是一个映射.对于$ X $中任意的三个点$ x, y, z\in X $,如果有

$ (1) $$ \rho_X(x, y)\geq 0 $,当且仅当$ x = y $时,有$ \rho_X(x, y) = 0 $;

$ (2) $$ \rho_X(x, y) = \rho_X(y, x) $;

$ (3) $$ \rho_X(x, z)\leq K\big(\rho_X(x, y)+\rho_X(y, z)\big) $.

则称$ \rho_X $为一个拟度量, $ (X, \rho_X) $是一个$ K $ -拟度量空间,也可以简记为$ X $.对于任意的$ x, y\in X $,则$ x $和$ y $之间的距离称为拟距离,记为$ \rho_X(x, y) $.

注1.1  如果定义$ 1.1 $中$ K = 1 $,则$ \rho_X $是一般的度量,此时$ (X, \rho_X) $是一个度量空间.

拟对称映射的概念最早是由Beurling和Ahlfors在文献[9]中提出来的,他们肯定地回答了直线上的拟对称自同胚正好是上半平面(或单位圆)到自身的拟共形映射延拓到边界上的同胚映射.反过来,一个拟对称映射一定是拟共形映射的边界值映射.拟对称映射的定义可参考文献[8-18].本文将在拟度量空间中给出拟对称映射与弱拟对称映射的定义.

定义1.2  设$ X $和$ Y $是两个拟度量空间, $ f:X\rightarrow Y $是一个同胚映射.如果存在一个同胚映射$ \eta: [0, \infty)\rightarrow [0, \infty) $, $ \eta(0) = 0 $,对于任意的三个不同点$ x $, $ a $, $ b\in X $,以及$ t>0 $,当$ \rho_X(x, a)\leq t\rho_X(x, b) $时,有

$ \rho_Y\big(f(x), f(a)\big)\leq \eta(t)\rho_Y\big(f(x), f(b)\big), $

则称$ f $是$ \eta $ -拟对称映射,或者简称$ \eta $-$ QS $映射.

定义1.3  设$ X $和$ Y $是两个拟度量空间, $ h>0 $和$ H\geq 1 $, $ f:X\rightarrow Y $是一个同胚映射.如果对于$ X $中任意的三个不同点$ x, a, b $,当$ \rho_X(x, a)\leq h\rho_X(x, b) $时,有

$ \rho_Y\big(f(x), f(a)\big)\leq H\rho_Y\big(f(x), f(b)\big), $

则称$ f $是弱$ (h, H) $ -拟对称映射,或者简称弱$ (h, H) $-$ QS $映射.

注1.2  在定义$ 1.3 $中,若$ h = 1 $,则称$ f $是一个弱$ H $ -拟对称映射.显然,弱$ (h, H) $ -拟对称映射是弱$ H $ -拟对称映射的一般化推广.如果$ f $是$ \eta $ -拟对称映射,则$ f $是弱$ (h, H) $ -拟对称映射,其中$ H = \eta(h) $, $ h>0 $.

对于任意的$ x\in X $, $ r>0 $,分别记

$ \label{eq:ball} B_{\rho_X}(x, r) = \big\{y\in X, \rho_X(x, y)<r\big\} {\mbox{和}}\overline{B_{\rho_X}}(x, r) = \big\{y\in X, \rho_X(x, y)\leq r \big\} $

来表示以$ x $为中心, $ r $为半径的拟度量开球和拟度量闭球.对于任意的集合$ A\subset X $,我们总用$ \partial A $来表示$ A $的边界.

为了研究拟度量空间中弱拟对称映射的某种特征,本文引入$ (s, r) $ -环和$ (M, \alpha) $ -环性质的概念.下面我们先介绍$ (s, r) $ -环的概念,请参看文献[13, 19].

定义2.1  设$ X $是拟度量空间, $ A $, $ \widetilde{A} $是$ X $中的两个子集,且满足$ A\subset \widetilde{A} $, $ s\geq 1 $和$ r>0 $.如果存在拟度量开球$ B_{\rho_X} = B_{\rho_X}(x, r) $使得

(2.1) $ \begin{equation} B_{\rho_X}\subset A\subset \widetilde{A}\subset \overline{s{B}_{\rho_X}} \end{equation} $

成立,则我们称集合对$ (A, \widetilde{A}) $为$ (s, r) $ -环, $ x $, $ r $分别称为$ (s, r) $ -环$ (A, \widetilde{A}) $中拟度量开球$ B_{\rho_X} $的中心和半径,其中$ \overline{s{B}_{\rho_X}} $表示扩张拟度量闭球$ \overline{B_{\rho_X}}(x, sr) $.如果定义中对$ s $的选取可以是任意的,我们可简记$ (s, r) $ -环为环.

任意$ x\in X $, $ s\geq 1 $和$ r>0 $,令

${\Re _s}(X,x)\;\;({\Re _s}(X)\;\;{\text{和}}\;\;\Re (X)) $

表示拟度量空间$ X $中以$ x $为中心的所有$ (s, r) $ -环$ (A, \widetilde{A}) $的集合$ \big( $$ X $中所有$ (s, r) $ -环$ (A, \widetilde{A}) $的集合和$ X $中所有环$ (A, \widetilde{A}) $的集合$ \big) $.

引理2.1  设$ X $和$ Y $是两个拟度量空间, $ f:X\rightarrow Y $是一个$ \eta $ -拟对称同胚映射.设$ A $, $ \widetilde{A} $是$ X $中的两个子集,且$ A\subset \widetilde{A} $,对于任意的$ s\geq 1 $和$ r>0 $.如果集合对$ (A, \widetilde{A}) $是一个$ (s, r) $ -环,则集合对$ \big(f(A), f(\widetilde{A})\big) $也是一个$ \big(\eta(s), \lambda \big) $ -环,其中$ \lambda = \inf\big\{\rho_Y \big(f(z), f(x)\big): {z\in X\backslash B_{\rho_X}}\big\} $, $ B_{\rho_X} $满足(2.1)式.

证  因为$ A $, $ \widetilde{A}\subset X $满足$ (s, r) $ -环的条件,所以对于$ B_{\rho_X} = B_{\rho_X}(x, r) $, $ s\geq 1 $,有

(2.2) $ \begin{equation} B_{\rho_X}\subset A\subset \widetilde{A}\subset \overline{sB_{\rho_X}}. \end{equation} $

接下来,我们需要证明$ \big(f(A), f(\widetilde{A})\big) $是一个$ \big(\eta(s), \lambda \big) $ -环,即就是想证明

(2.3) $ \begin{equation} B'_{\rho_Y}\subset f(A)\subset f(\widetilde{A})\subset \overline{\eta(s)B'_{\rho_Y}}, \end{equation} $

其中$ B'_{\rho_Y} = B_{\rho_Y}\big(f(x), \lambda\big) $,以及$ \lambda = \inf\big\{\rho_Y \big(f(z), f(x)\big): {z\in X\backslash B_{\rho_X}}\big\} $.

下面分两种情形讨论:

情形1   如果$ B_{\rho_X} = X $.则此时拟度量空间$ X $是有界的,因为映射$ f $是一个同胚映射,所以拟度量空间$ Y $也是一个有界的.此时(2.3)式显然成立.

情形2   如果$ B_{\rho_X}\subsetneqq X $.对于任意的点$ x\in X $,再任意取两个点$ y\in \overline{sB_{\rho_X}} $, $ z\in X\setminus B_{\rho_X} $,则有

$ \rho_X(x, y)\leq s\rho_X(x, z). $

因为$ f:X\rightarrow Y $是一个$ \eta $ -拟对称同胚映射,所以有

$ \rho_{Y}\big(f(x), f(y)\big)\leq \eta(s)\rho_{Y}\big(f(x), f(z)\big). $

由于$ y $和$ z $的任意性,我们进一步可以推出

$ \sup\limits_{y\in \overline{sB_{\rho_X}}}\big\{\rho_{Y}\big(f(x), f(y)\big)\big\} \leq \inf\limits_{z\in X\setminus B_{\rho_X}}\big\{\eta(s)\rho_{Y}\big(f(x), f(z)\big)\big\}. $

又因为$ f $是一个同胚映射,结合(2.2)式,我们可以得到(2.3)式成立.因此, $ \big(f(A), f(\widetilde{A})\big) $是一个$ \big(\eta(s), \lambda \big) $ -环.引理2.1得证.

注2.1  关于引理$ 2.1 $中$ \lambda $的选取,目的是为了确保$ B'_{\rho_Y}\subset f(A) $,其中

$ B'_{\rho_Y} = B_{\rho_Y}\big(f(x), \lambda\big). $

有关$ (M, \alpha) $ -环性质的概念请参看文献[14, 20-22],在引入$ (M, \alpha) $ -环性质的定义之前,我们先简单介绍如下的几个概念.

设$ X $和$ Y $是两个有界的$ K $ -拟度量空间,子集$ G\subseteq X $的直径定义为

$ \mbox{diam}(G) = \sup\{\rho_X(x, y): {x, y\in G}\}, $

两个子集$ G, H\subseteq X $之间的距离定义为

$ \mbox{dist}(G, H) = \inf\{\rho_X(x, y): {{x\in G}, {y\in H}}\}. $

对于拟度量空间$ X $中的任意一点$ x\in X $,我们用$ \delta(x) $表示点$ x $到$ X $的边界$ \partial X $的距离,即

$ \delta(x) = {\mbox{dist}}\big(x, \partial X\big). $

定义2.2  设$ X $和$ Y $是两个有界的拟度量空间.对于任意的点$ x\in X $和常数$ \alpha>1 $,记

$ r_{x, \alpha} = \frac{\delta(x)}{\alpha}, B_{\rho_X} = B_{\rho_X}(x, r) {\mbox{和}}\alpha B_{\rho_X} = B_{\rho_X}(x, \alpha r). $

假设$ f:X\rightarrow Y $是一个同胚映射,如果对于常数$ M>0 $,有

$ \sup\limits_{0<r<r_{x, \alpha}}\left\{\frac{{\mbox{diam}}\big( f(\overline{B_{\rho_X}})\big)} {{\mbox{dist}}\big(f(\overline{B_{\rho_X}}), \, \, Y\backslash f(\alpha B_{\rho_X})\big)}\right\}\leq M, $

则我们称$ f $满足$ (M, \alpha) $ -环性质(ring property).

注2.2  根据$ \delta(x) $的定义,立即有$ B_{\rho_X}\big(x, \delta(x)\big)\subseteq X, $其中

$ B_{\rho_X}\big(x, \delta(x)\big) = \big\{y\in X\, :\, \rho_X(x, y)< \delta(x)\big\}. $

在定义$ 2.2 $中,因为$ \alpha r<\delta(x) $,我们知道$ Y\backslash f(\alpha B_{\rho_X})\neq \emptyset $.因此,定义$ 2.2 $是一个良定义.

在介绍引理之前,本文还需要引入$ \kappa $-HTB和$ \tau $ -一致完全空间两个概念,请参见文献[10, 18].

定义3.1  设$ X $是拟度量空间.对于任意的常数$ r>0 $,如果存在一个单调递增的映射$ \kappa:[\frac{1}{2}, \infty)\rightarrow [1, \infty) $, $ \alpha\geq 1/2 $,且空间$ X $中的每一个拟度量闭球$ \overline{B_{\rho_X}}(x, r) $都能被$ X $中的集合族$ A_1, A_2, \cdots, A_s $所覆盖,使得$ s\leq \kappa(\alpha) $和$ {\mbox{diam}}(A_j)<r/\alpha $, $ 1\leq j\leq s $.则称空间$ X $为$ \kappa $ -齐性完全有界的(homogeneously totally bounded),或者简称为$ \kappa $-HTB.

定义3.2  设$ X $是一个拟度量空间.对于任意的$ x\in X $和$ r>0 $,如果存在常数$ \tau\in (0, 1) $和拟度量开球$ B_{\rho_X}(x, r) $,使得$ X\setminus B_{\rho_X}(x, r)\neq \emptyset $,然而都有$ B_{\rho_X}(x, r)\setminus B_{\rho_X}(x, \tau r)\neq \emptyset $.则称$ X $为$ \tau $ -一致完全空间(uniformly perfect space).

为了文章主要结论的完整性,下面介绍两个重要的引理,其中引理介绍并证明了拟度量空间中弱拟对称映射与拟对称映射之间的关系,请参看文献[18].

引理3.1^{[18, Lemma 4.1]}  设$ X $和$ Y $是两个$ K $ -拟度量, $ \kappa $-HTB和$ \tau $ -一致完全空间.如果同胚映射$ f:X\rightarrow Y $是弱$ (h, H) $ -拟对称映射, $ h>0 $, $ H\geq 1 $.则$ f^{-1} $是弱$ (h', H') $ -拟对称映射,其中$ h' $和$ H' $仅仅依赖于$ K $, $ \kappa $, $ \tau $, $ h $和$ H $.

引理3.2^{[18, Theorem 4.1]}  设$ X $和$ Y $是两个$ K $ -拟度量, $ \kappa $-HTB和$ \tau $ -一致完全空间.如果同胚映射$ f:X\rightarrow Y $是弱$ (h, H) $ -拟对称映射, $ h>0 $, $ H\geq 1 $.则$ f $是一个$ \eta $ -拟对称映射,其中$ \eta $仅仅依赖于$ K $, $ \kappa $, $ \tau $, $ h $和$ H $.

定理4.1  设$ X $和$ Y $是两个$ K $ -拟度量, $ \kappa $-HTB和$ \tau $ -一致完全空间.假如$ f:X\rightarrow Y $是一个同胚映射,对于任意的$ x\in X $和$ y\in Y $,存在常数$ H_0\geq 1 $,以及存在一个单调递增的同胚映射$ \eta_1:[1, \infty)\rightarrow [H_0, \infty) $满足条件:对于任意的$ t\geq 1 $, $ \eta_1(t)\geq t $,使得

(4.1) $ \begin{equation} f:{\mathfrak R}_s(X, x)\rightarrow {\mathfrak R}_{\eta_1(s)}\big(Y, f(x)\big) \end{equation} $

和

(4.2) $ \begin{equation} f^{-1}:{\mathfrak R}_s(Y, y)\rightarrow {\mathfrak R}_{\eta_1(s)}\big(X, f^{-1}(y)\big) \end{equation} $

成立,其中$ s\geq 1 $.则$ f:X\rightarrow Y $和$ f^{-1}: Y\rightarrow X $都满足$ (M, \alpha) $ -环性质,其中$ M $, $ \alpha $仅仅依赖于$ K $, $ \kappa $, $ \tau $, $ \eta_1 $和$ H_0 $.

证  定理的证明分为三个步骤进行.

Step 1   在定理的假设条件之下,证明$ f:X\rightarrow Y $是$ \eta $ -拟对称映射,其中$ \eta = \eta(\eta_1, H_0) $.

对于任意三个不同的点$ x, a, b\in X $,令

$ t = \frac{\rho_X(x, a)}{\rho_X(x, b)}{\mbox{和}}t' = \frac{\rho_Y\big(f(x), f(a)\big)}{\rho_Y\big(f(x), f(b)\big)}. $

为了证明$ f $是一个$ \eta $ -拟对称映射,即需要证明$ t'\leq\eta(t) $,其中当$ t\rightarrow 0 $时,有$ \eta(t)\rightarrow 0 $.

下面对Step 1分四种情形来进行讨论.

情形1.1  $ t<1 $.

设$ B_{\rho_X} = B_{\rho_X}\big(x, \rho_X(x, b)\big) $.因为$ \rho_X(x, a) = t\rho_X(x, b) $以及$ t<1 $,显然有

$ a\in B_{\rho_X}{\mbox{和}}b\notin B_{\rho_X}. $

根据假设条件(4.1),存在拟度量开球$ B'_{\rho_Y} = B_{\rho_Y}\big(f(x), \lambda\big) $使得

$ B'_{\rho_Y}\subset f(B_{\rho_X})\subset \overline{H_0B'_{\rho_Y}}, $

其中$ \lambda = \inf\big\{\rho_Y \big(f(z), f(x)\big): z\in X\backslash B_{\rho_X}\big\} $.则由此我们可得$ f(a)\in \overline{H_0B'_{\rho_Y}} $和$ f(b)\notin B'_{\rho_Y} $.因此,我们进一步可以推出

$ \rho_Y\big(f(x), f(a)\big)\leq H_0\lambda\leq H_0 \rho_Y\big(f(x), f(b)\big). $

情形1.2 $ t\geq 1 $.

设$ B_{\rho_X} = B_{\rho_X}\big(x, \rho_X(x, b)\big) $, $ A = B_{\rho_X} $, $ \widetilde{A} = \overline{B_{\rho_X}}\big(x, \rho_X(x, a)\big) $.则根据假设(4.1)可知集合对$ (A, \widetilde{A}) $是一个$ (s, r) $ -环,即$ (A, \widetilde{A})\in {\mathfrak R}_s(X, x) $.再根据已知$ \rho_X(x, a) = t\rho_X(x, b) $和$ t\geq 1 $,显然有

$ a\in \widetilde{A}{\mbox{和}}b\notin A. $

在定理的假设(4.1)之下,存在拟度量开球$ B'_{\rho_Y} = B_{\rho_Y}\big(f(x), \lambda\big) $使得

$ B'_{\rho_Y}\subset f(A)\subset f(\widetilde{A})\subset\overline{\eta_1(t)B'_{\rho_Y}}, $

其中$ \lambda = \inf\big\{\rho_Y \big(f(z), f(x)\big): z\in X\backslash B_{\rho_X}\big\} $,则有$ \big(f(A), f(\widetilde{A})\big)\in {\mathfrak R}_{\eta_1(s)}\big(Y, f(x)\big) $.此时,我们还可以得到$ f(a)\in \overline{\eta_1(t)B'_{\rho_Y}} $和$ f(b)\notin B'_{\rho_Y} $.故有

$ \rho_Y\big(f(x), f(a)\big)\leq \eta_1(t)\lambda\leq \eta_1(t) \rho_Y\big(f(x), f(b)\big). $

情形1.3 $ t'>1 $.

设$ B'_{\rho_Y} = B_{\rho_Y}\big(f(x), \rho_Y(f(x), f(a))\big) $.因为$ \rho_Y\big(f(x), f(a)\big) = t'\rho_Y\big(f(x), f(b)\big) $和$ t'>1 $,显然可以得到

$ f(b)\in B'_{\rho_Y}{\mbox{和}}f(a)\notin B'_{\rho_Y}. $

在假设(4.2)下,存在拟度量开球$ B_{\rho_X} = B_{\rho_X}(x, \mu) $使得

$ B_{\rho_X}\subset f^{-1}(B'_{\rho_Y})\subset \overline{H_0B_{\rho_X}}, $

其中$ \mu = \inf\big\{\rho_X (z, x): f(z)\in Y\backslash B'_{\rho_Y}\big\} $.由此可得$ b\in \overline{H_0B_{\rho_X}} $和$ a\notin B_{\rho_X} $.因此,我们可以得到

$ \rho_X(x, b)\leq H_0\mu\leq H_0 \rho_X(x, a). $

进一步还可以推出

$ t = \frac{\rho_X(x, a)}{\rho_X(x, b)}\geq \frac{1}{H_0}. $

情形1.4 $ t'\leq 1 $.

设$ f(A) = B'_{\rho_Y} = B_{\rho_Y}\big(f(x), \rho_Y(f(x), f(a))\big) $, $ f(\widetilde{A}) = \overline{B_{\rho_Y}}\big(f(x), \rho_Y(f(x), f(b))\big) $.根据假设(4.2)可知$ \big(f(A), f(\widetilde{A})\big) $是一个$ (s, r) $ -环,即$ \big(f(A), f(\widetilde{A})\big)\in {\mathfrak R}_{s}\big(Y, y\big) $.

已知$ \rho_Y\big(f(x), f(a)\big) = t'\rho_Y\big(f(x), f(b)\big) $和$ t'\leq 1 $,则有

$ f(b)\in f(\widetilde{A}){\mbox{和}}f(a)\notin f(A). $

结合假设(4.2),则存在拟度量开球$ B_{\rho_X} = B_{\rho_X}(x, \mu) $使得

$ B_{\rho_X}\subset A\subset \widetilde{A}\subset\overline{\eta_1(1/t')B_{\rho_X}}, $

其中$ \mu = \inf\big\{\rho_X (z, x): f(z)\in Y\backslash B'_{\rho_Y}\big\} $,即有$ (A, \widetilde{A})\in {\mathfrak R}_{\eta_1(s)}\big(X, f^{-1}(y)\big) $.我们还可以得到$ b\in \overline{\eta_1(1/t')B_{\rho_X}} $和$ a\notin B_{\rho_X} $.故有

$ \rho_X(x, b)\leq \eta_1(1/t')\mu\leq \eta_1(1/t')\rho_X(x, a). $

因此,进一步推出

$ t = \frac{\rho_X(x, a)}{\rho_X(x, b)}\geq \frac{1}{\eta_1(1/t')}, $

即

$ t'\leq \frac{1}{\eta_1^{-1}(1/t)}. $

综合上述四种情形,我们可以得到同胚映射$ f:X\rightarrow Y $是一个$ \eta $ -拟对称映射,其中$ \eta $仅仅依赖于$ \eta_1 $和$ H_0 $, $ \eta(t) $的定义如下:

$ \eta(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \eta_1(t), & t\geq 1, \\ H_0 , & \frac{1}{H_0}\leq t < 1, \\ \frac{1}{\eta_1^{-1}(1/t)}, & t<\frac{1}{H_0}, \end{array} \right. $

显然,当$ t\rightarrow 0 $时,有$ \eta(t)\rightarrow 0 $.

Step 2   在定理的假设条件之下,证明$ f $和$ f^{-1} $是两个弱$ (h, H) $ -拟对称映射,其中$ h $, $ H $仅仅依赖于$ K $, $ \kappa $, $ \tau $, $ \eta_1 $和$ H_0 $.

由Step 1可知$ f $是一个$ \eta $ -拟对称映射.根据拟对称映射与弱拟对称映射的定义,对于任意的$ h_1>0 $,显然可以得到$ f $是弱$ (h_1, H_1) $ -拟对称映射,其中$ H_1 = \eta(h_1) $.因为$ X $和$ Y $是两个$ K $ -拟度量, $ \kappa $-HTB和$ \tau $ -一致完全空间,再结合引理3.1,我们可以得到$ f^{-1} $是弱$ (h_2, H_2) $ -拟对称映射,其中$ h_2 $, $ H_2 $仅仅依赖于$ K $, $ \kappa $, $ \tau $, $ h_1 $和$ H_1 $.因此, $ f $和$ f^{-1} $是两个弱$ (h, H) $ -拟对称映射,其中$ h $, $ H $仅仅依赖于$ K $, $ \kappa $, $ \tau $, $ \eta_1 $和$ H_0 $.

Step 3   在定理的假设条件之下,证明$ f $和$ f^{-1} $都满足$ (M, \alpha) $ -环性质,其中$ M, \alpha $仅仅依赖于$ K $, $ H $, $ \tau $, $ \kappa $和$ \eta_1 $.

在下文中,结合Step 2的结论,我们仅需要证明$ f $满足$ (M, \alpha) $ -环性质,而$ f^{-1} $满足$ (M, \alpha) $ -环性质的证明方法和$ f $的证明方法完全类似.

对于任意的点$ x\in X $和常数$ \alpha>1 $,记

$ r_{x, \alpha} = \frac{\delta(x)}{\alpha}, B_{\rho_X} = B_{\rho_X}(x, r) {\mbox{和}}\alpha B_{\rho_X} = B_{\rho_X}(x, \alpha r). $

由Step 2可知$ f $是一个弱$ (h, H) $ -拟对称映射,下面分两种情形进行讨论:

情形3.1 $ 0<h<1 $.

假设$ x\in G $和$ 0<r<r_{x, 3K/h^2} $.对于任意的两点$ a, b\in \overline{B_{\rho_X}} $.设任意的$ y \in\partial\big((1/h)B_{\rho_X}\big) $,以及$ z \in X\backslash \big((3K/h^2) B_{\rho_X}\big) $.

因为任意的$ a, b \in\overline{B_{\rho_X}} $和$ y \in\partial\big((1/h)B_{\rho_X}\big) $,显然有

$ \max \big\{\rho_X(a, x), \rho_X(b, x)\big\}\leq h\rho_X(x, y). $

根据Step 2,我们可知$ f $是弱$ (h, H) $ -拟对称映射,于是根据定义可得

$ \rho_Y\big(f(a), f(x)\big) \leq H \rho_Y \big(f(y), f(x)\big){\mbox{和}} \rho_Y\big(f(b), f(x)\big) \leq H \rho_Y \big(f(y), f(x)\big). $

因此,结合拟度量的定义,有

(4.3) $ \begin{equation} \rho_Y \big(f(a), f(b)\big) \leq K\big(\rho_Y(f(a), f(x))+\rho_Y(f(b), f(x))\big) \leq 2KH \rho_Y\big(f(y), f(x)\big). \end{equation} $

又根据拟度量的定义可知

$ \rho_X(z, x)\leq K\big(\rho_X(x, y)+\rho_X(z, y)\big), $

对于任意的点$ z\in X\backslash \big((3K/h^2) B_{\rho_X}\big) $,以及$ 0<h<1 $,我们可得

$ \rho_X(z, y)\geq\frac{1}{K}\rho_X(z, x)-\rho_X(x, y) \geq\frac{1}{K}\cdot\frac{3Kr}{h^2}-\frac{r}{h} = \frac{(3-h)r}{h^2}\geq\frac{2r}{h^2}>\frac{1}{h}\rho_X(x, y). $

再应用弱$ (h, H) $ -拟对称映射的定义,可以得到

(4.4) $ \begin{equation} \rho_Y \big(f(x), f(y)\big) \leq H \rho_Y \big(f(z), f(y)\big). \end{equation} $

结合不等式(4.3)和(4.4),可以推出

$ \rho_Y \big(f(a), f(b)\big) \leq 2KH^2 \rho_Y \big(f(z), f(y)\big). $

因此,由于$ a $和$ b $的任意性可以得到

(4.5) $ \begin{equation} {\mbox{diam}}\big(f(\overline{B_{\rho_X}})\big)\leq 2KH^2\rho_Y \big(f(z), f(y)\big). \end{equation} $

对于任意的点$ c\in\overline{B_{\rho_X}}(x, r) $,有

(4.6) $ \begin{equation} \rho_X(y, c)\leq \mbox{diam}\big((1/h)B_{\rho_X}\big) = \frac{2r}{h}. \end{equation} $

再次根据拟度量的定义有

$ \rho_X(z, x)\leq K\big(\rho_X(x, c)+\rho_X(z, c)\big), $

进一步可以推得

(4.7) $ \begin{equation} \rho_X(z, c)\geq\frac{1}{K}\rho_X(z, x)-\rho_X(x, c) \geq\frac{1}{K}\cdot\frac{3Kr}{h^2}-r = \frac{(3-h^2)r}{h^2}\geq \frac{2r}{h^2}. \end{equation} $

再结合不等式(4.6)和(4.7),我们可得

$ \rho_X(y, c)\leq h\rho_X(z, c). $

因此,根据弱$ (h, H) $ -拟对称映射的定义,立即得到

$ \rho_Y \big(f(y), f(c)\big)\leq H \rho_Y\big(f(z), f(c)\big), $

进一步可以推出

(4.8) $ \begin{eqnarray} \rho_Y \big(f(z), f(y)\big) &\leq &K \big(\rho_Y(f(z), f(c))+\rho_Y(f(c), f(y))\big)\\ &\leq& K(H+1)\rho_Y\big(f(z), f(c)\big). \end{eqnarray} $

我们再结合不等式(4.5)和(4.8),可以得到

$ {\mbox{diam}}\big(f(\overline{B_{\rho_X}})\big) \leq 2K^2H^2(H+1)\rho_Y (f(z), f(c)). $

由于$ c $和$ z $的任意性,可得

$ {\mbox{diam}}\big(f(\overline{B_{\rho_X}})\big) \leq 2K^2H^2(H+1)\cdot{\mbox{dist}}\big(f(\overline{B_{\rho_X}}), Y\backslash f((3K/h^2) B_{\rho_X})\big), $

即有

$ \sup\limits_{0<r<r_{x, 3K/h^2}}\left\{\frac{{\mbox{diam}}\big( f(\overline{B_{\rho_X}})\big)} {{\mbox{dist}}\big(f(\overline{B_{\rho_X}}), \, \, Y\backslash f((3K/h^2) B_{\rho_X})\big)}\right\}\leq 2K^2H^2(H+1). $

所以$ f $满足$ \big(2K^2H^2(H+1), 3K/h^2\big) $ -环性质.

情形3.2 $ h\geq 1 $.

假设$ x\in G $和$ 0<r<r_{x, 3K} $.对于任意的两点$ a, b \in\overline{B_{\rho_X}} $,设任意的点$ y \in\partial (B_{\rho_X}) $, $ z \in X\backslash (3KB_{\rho_X}) $,以及$ c\in\overline{B_{\rho_X}}(x, r) $,显然可以推出

$ \max \big\{\rho_X(a, x), \rho_X(b, x)\big\}\leq \rho_X(x, y)\leq h\rho_X(x, y) $

和

$ \rho_X(x, y)\leq\rho_X(z, y)\leq h\rho_X(z, y). $

又根据拟度量的定义有$ \rho_X(z, x)\leq K\big(\rho_X(x, c)+\rho_X(z, c)\big) $,故我们可以得到

$ \rho_X(z, c)\geq\frac{1}{K}\rho_X(z, x)-\rho_X(x, c) \geq\frac{1}{K}\cdot3Kr-r = 2r. $

所以有

$ \rho_X(y, c)\leq\mbox{diam}\big(B_{\rho_X}\big) = 2r\leq \rho_X(z, c)\leq h\rho_X(z, c). $

再结合弱$ (h, H) $ -拟对称映射的定义,类似于情形1的推导方法,由于$ a $, $ b $, $ c $和$ z $的任意性,我们同样可以得到

$ {\mbox{diam}}\big(f(\overline{B_{\rho_X}})\big) \leq 2K^2H^2(H+1)\cdot{\mbox{dist}}\big(f(\overline{B_{\rho_X}}), Y\backslash f(3KB_{\rho_X})\big), $

故有

$ \sup\limits_{0<r<r_{x, 3K}}\left\{\frac{{\mbox{diam}}\big( f(\overline{B_{\rho_X}})\big)} {{\mbox{dist}}\big(f(\overline{B_{\rho_X}}), \, \, Y\backslash f(3KB_{\rho_X})\big)}\right\}\leq 2K^2H^2(H+1). $

所以$ f $满足$ \big(2K^2H^2(H+1), 3K\big) $ -环性质.

因此,根据情形3.1和情形3.2可以得到$ f:X\rightarrow Y $满足$ (M, \alpha) $ -环性质,其中

$ M = 2K^2H^2(H+1), \, \, \alpha = \max\big\{3K, 3K/h^2\big\}. $

综上所述,我们可以得到$ f $和$ f^{-1} $都满足$ (M, \alpha) $ -环性质,其中$ M, \alpha $仅仅依赖于$ K $, $ \kappa $, $ \tau $, $ \eta_1 $和$ H_0 $.定理4.1得证.

利用定理4.1,我们可以得到如下的结论.

定理4.2  设$ X $和$ Y $是两个$ K $ -拟度量, $ \kappa $-HTB和$ \tau $ -一致完全空间.如果$ f:X\rightarrow Y $是一个同胚映射,则下列结论是等价的:

$ \rm(i) $$ f $是一个弱$ (h, H) $ -拟对称映射,其中$ H\geq 1 $, $ h>0 $;

$ \rm(ii) $对于任意的$ x\in X $和$ y\in Y $,如果存在一个单调递增的同胚映射$ \eta_1:[1, \infty)\rightarrow [H_0, \infty) $满足条件:对于任意的$ t\geq 1 $, $ \eta_1(t)\geq t $,使得

(4.9) $ \begin{equation} f:{\mathfrak R}_s(X, x)\rightarrow {\mathfrak R}_{\eta_1(s)}\big(Y, f(x)\big) \end{equation} $

和

(4.10) $ \begin{equation} f^{-1}:{\mathfrak R}_s(Y, y)\rightarrow {\mathfrak R}_{\eta_1(s)}\big(X, f^{-1}(y)\big) \end{equation} $

成立,其中$ s\geq 1 $.

证  根据定理4.1的Step 1和Step 2,可以得知(ii)$ \Rightarrow $ (i)的证明是显然的,此时$ h $和$ H $仅仅依赖于$ K $, $ \kappa $, $ \tau $, $ \eta_1 $和$ H_0 $.接下来我们完成(i)$ \Rightarrow $ (ii)的证明.

(i) $ \Rightarrow $ (ii)设$ f:X\rightarrow Y $是一个弱$ (h, H) $ -拟对称映射,因为$ X $和$ Y $是两个$ K $ -拟度量, $ \kappa $-HTB和$ \tau $ -一致完全空间,则根据引理3.2,我们可以得到$ f:X\rightarrow Y $是一个$ \eta $ -拟对称映射,其中$ \eta $仅仅依赖于$ K $, $ \kappa $, $ \tau $, $ h $和$ H $.利用引理2.1的结论,即拟对称映射可以将环映为环,故立即可以得到(4.9)式成立.再根据引理3.1,我们还可以得到$ f^{-1}:Y\rightarrow X $是$ (h', H') $ -拟对称映射,其中$ h' $和$ H' $仅仅依赖于$ K $, $ \kappa $, $ \tau $, $ h $和$ H $.类似于上面的方法,再次应用引理2.1,可以推出(4.10)式成立.所以(ii)的结论成立.定理4.2得证.