设$ B $表示$ C^{n} $上的单位球, $ \partial B $表示单位球面, $ {\rm d}v $为标准体测度,满足$ v(B) = 1 $, $ {\rm d}\sigma $为标准面测度,满足$ \sigma(\partial $B$ ) = 1 $, $ H(B) $代表$ B $上的全纯函数类.

定义1.1  设$ 0<p<\infty, \alpha>-1, $记

$ {\cal A}_\alpha^p = \bigg\{f\in H(B):\|f\|_{{\cal A}_\alpha^p} = \bigg(\int_B|f(z)|^p{\rm d}v_\alpha(z)\bigg)^{\frac{1}{p}}<\infty\bigg\} $

表示$ B $上的加权Bergman型空间$ {\cal A}_\alpha^p $,其中$ {\rm d}v_\alpha(z) = c_\alpha(1-|z|^2)^{\alpha}{\rm d}v(z) $, $ c_\alpha = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!\Gamma(\alpha+1)} $.

当$ 1\leq p<\infty $时, $ {\cal A}_\alpha^p $在范数$ \|\cdot\|_{{\cal A}^p_\alpha} $下是一个Banach空间.当$ 0<p<1 $时, $ {\cal A}_\alpha^p $在准范$ \|\cdot\|_{{\cal A}^p_\alpha} $下构成一个Frechet空间,特别地, $ {\cal A}^p_0 $就是Bergman空间$ {\cal A}^p $.

定义1.2  对$ [0, 1) $上的连续函数$ \mu(r)>0 $,如果存在常数$ 0<a<b $,使得

(i)   $ \frac{\mu(r)}{(1-r)^a} $在$ [0, 1) $上单调递减且$ \lim\limits_{r\rightarrow 1^-}\frac{\mu(r)}{(1-r)^a} = 0, $

(ii)   $ \frac{\mu(r)}{(1-r)^b} $在$ [0, 1) $上单调递增且$ \lim\limits_{r\rightarrow1^-}\frac{\mu(r)}{(1-r)^b} = \infty, $

则称$ \mu $为$ [0, 1) $上的正规函数.

定义1.3  设$ \mu $为$ [0, 1) $上的正规函数, $ B $上的全纯函数$ f $如果满足

$ \|f\|_{\beta_\mu} = |f(0)|+\sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|Rf(z)|<\infty, $

则称$ f $属于$ \beta_\mu $空间,若$ \lim\limits_{|z|\rightarrow1}\mu(|z|)|Rf(z)| = 0 $,则称$ f $属于$ \beta_{\mu, 0} $空间.这里径向导数$ Rf(z) = \sum\limits_{j = 1}^nz_j\frac{\partial f(z)}{\partial z_j} $.

定义1.4  设$ \mu $为$ [0, 1) $上的正规函数, $ B $上的全纯函数$ f $如果满足

$ \|f\|_{{\cal Z}_\mu} = |f(0)|+\sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|R^{(2)}f(z)|<\infty, $

则称$ f $属于Zygmund型空间$ {\cal Z}_\mu $,若$ \lim\limits_{|z|\rightarrow1^-}\mu(|z|)|R^{(2)}f(z)| = 0 $,则称$ f $属于小Zygmund型空间$ {\cal Z}_{\mu, 0} $ (见文献[1-3]).如果$ \mu(r) = 1-r^2 $, Zygmund型空间$ {\cal Z}_\mu $ (小Zygmund型空间$ {\cal Z}_{\mu, 0} $)就是典型的Zygmund空间$ {\cal Z} $ (小Zygmund空间$ {\cal Z}_0 $).这里$ R^{(2)}f(z) = R(Rf(z)) $.

在单复变中定义了如下Cesàro算子

$ C[f](z) = \sum\limits_{j = 0}^\infty\bigg(\frac{1}{j+1}\sum\limits_{k = 0}^ja_k\bigg)z^j, f(z) = \sum\limits_{j = 0}^\infty a_jz^j\in H(D). $

文献[4-5]分别在Hardy空间和Bergman空间上讨论了加权Cesàro算子

$ T_g(f)(z) = \int_0^1f(t)g'(t){\rm d}t $

的有界性和紧性.对于多复变的情形,有以下定义:

定义1.5  给定$ g\in H(B) $,定义加权Cesàro算子$ T_g $为

$ T_g(f)(z) = \int_0^1f(tz)Rg(tz)\frac{{\rm d}t}{t}, f\in H(B), z\in B. $

文献[6-10]分别讨论了单位球上混合模空间、Dirichlet型空间到{Zygmund}型空间, {$ \beta_{\mu} $}空间之间以及{$ F(p, q, s) $}空间到{$ \beta_{\mu} $}型空间, Bergman空间上的加权Cesàro算子的有界性和紧性.而对于Bergman空间上的复合算子,文献[11-14]有了一些较好的结果.本文的主要工作就是在$ C^{n} $中的单位球上来给出$ T_{g} $为加权Bergman空间到$ {\cal Z}_\mu $空间上的有界算子和紧算子的充要条件.本文中$ z = (z_{1}, \cdots, z_{n}), \omega = (\omega_{1}, \cdots, \omega_{n}), \langle z, \omega\rangle = \sum\limits_{j = 1}^{n}z_{j}\overline{\omega}_{j} $,我们将用记号$ c, c_1, c_2, c_3 $来表示与变量$ z, \omega $无关的正数, $ c, c_1, c_2, c_3 $可以与某些范数或有界量有关,不同的地方可以表示不同的正常数.

引理2.1^[6]  设$ f, g\in H(B) $,则

$ R(T_gf)(z) = f(z)Rg(z), R^{(2)}(T_gf)(z) = Rf(z)Rg(z)+f(z)R^{(2)}g(z). $

引理2.2  设$ 0<p<\infty, \alpha>-1 $, $ f\in {\cal A}_\alpha^p $, $ \forall z\in B $,则

$ ({\rm i}) |f(z)|\leq \frac{\|f\|_{{\cal A}_\alpha^p}}{(1-|z|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}}}; $

$ ({\rm ii}) f\in\beta_{(1-r^2)^{\frac{n+1+p+\alpha}{p}}} $,且$ \|f\|_{\beta_{(1-r^2)^{\frac{n+1+p+\alpha}{p}}}}\leq c\|f\|_{{\cal A}_\alpha^p}; $

$ ({\rm iii}) Rf\in {\cal A}_{\alpha+p}^p $,且$ |Rf(z)|\leq\frac{\|Rf\|_{{\cal A}_{\alpha+p}^p}}{(1-|z|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}} \leq\frac{c\|f\|_{{\cal A}_{\alpha}^p}}{(1-|z|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}} $.

证   $ {\rm (i)(ii)} $见文献[11].下证$ ({\rm iii}) $.

由文献[15,定理2.16]知$ \int_B(1-|z|^2)^p|Rf(z)|^p{\rm d}v_\alpha(z)<\infty $,而

$ \begin{eqnarray*} \int_B|Rf(z)|^p{\rm d}v_{\alpha+p}(z)& = & c_{\alpha+p}\int_B(1-|z|^2)^{p+\alpha}|Rf(z)|^p{\rm d}v(z) \\ & = &\frac{\Gamma(n+1+\alpha+p)\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha+p+1)\Gamma(n+1+\alpha)}c_{\alpha}\int_B(1-|z|^2)^{p+\alpha}|Rf(z)|^p{\rm d}v(z) \\ & = &c\int_B(1-|z|^2)^p|Rf(z)|^p{\rm d}v_\alpha(z)<\infty. \end{eqnarray*} $

由$ {\cal A}_{\alpha+p}^p $的定义知$ Rf\in {\cal A}_{\alpha+p}^p $,再由(i)知

$ |Rf(z)|\leq\frac{\|Rf\|_{{\cal A}_{\alpha+p}^p}}{(1-|z|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}}. $

在文献[16]的定理3.2和文献[17]的定理3.1中取$ s = 0, q = \alpha $有

$ \begin{eqnarray*} |f(0)|^p+\int_B|R f(z)|^p{\rm d}v_{\alpha+p}(z)&\approx&|f(0)|^p+\int_B|\nabla f(z)|^p{\rm d}v_{\alpha+p}(z)\\ &\leq &c\int_B|f(z)|^p{\rm d}v_{\alpha}(z), \end{eqnarray*} $

即$ \|Rf\|_{{\cal A}_{\alpha+p}^p}\leq c\|f\|_{{\cal A}_{\alpha}^p}, $故$ ({\rm iii}) $中的不等式成立.

引理2.3  设$ 0<p<\infty, \alpha>-1, g\in H(B) $, $ \mu $为$ [0, 1) $上的正规函数,则$ T_g $是$ {{\cal A}}^p_\alpha $空间到$ {{\cal Z}}_{\mu} $型空间上的紧算子的充要条件是对任意满足条件: (1)在$ {{\cal A}}^p_\alpha $中有界; (2)在$ B $的任一紧子集上一致收敛于0的序列$ \{f_{j}\} $,都有

$ \|T_{g}(f_{j})\|_{{\cal Z}_{\mu}}\rightarrow0 (j\rightarrow\infty). $

证  由引理2.2和Montel定理按定义可证.

引理2.4^[3]   $ {\cal Z}_{\mu, 0} $中的闭子集$ K $是紧子集的充要条件是$ K $是有界集,且满足

$ \lim\limits_{|z|\rightarrow1^-}\sup\limits_{f\in K}\mu(|z|)|R^{(2)}f(z)| = 0. $

定理3.1  设$ t>0, \mu $是$ [0, 1) $上的正规函数, $ h\in H(B), $则

(i)   若$ \sup\limits_{z\in B} \frac{\mu(|z|)|h(z)|}{(1-|z|^2)^{t+1}} = M<\infty, $则$ \sup\limits_{z\in B} \frac{\mu(|z|)|Rh(z)|}{(1-|z|^2)^{t}}\leq cM; $

(ii)   若$ \lim\limits_{|z|\rightarrow1^-} \frac{\mu(|z|)|h(z)|}{(1-|z|^2)^{t+1}} = 0, $则$ \lim\limits_{|z|\rightarrow1^-} \frac{\mu(|z|)|Rh(z)|}{(1-|z|^2)^{t}} = 0. $

证   (i) $ \forall\omega\in B $,令$ F_\omega(z) = \frac{h(z)}{(1-\langle z, \omega\rangle)^{t+1}}, $由已知有

(3.1) $ \begin{equation} \mu(|z|)|F_\omega(z)| = \frac{\mu(|z|)|h(z)|}{|1-\langle z, \omega\rangle|^{t+1}}\leq2^{t+1}M. \end{equation} $

由文献[15,定理2.2]知

$ F_\omega(z) = \int_B \frac{F_\omega(\eta){\rm d}v_\gamma (\eta)}{(1-\langle z, \eta\rangle)^{n+1+\gamma}}, \gamma>b-1, z\in B, $

且$ RF_\omega(z) = \int_B \frac{(n+1+\gamma)F_\omega(\eta)\langle z, \eta\rangle} {(1-\langle z, \eta\rangle)^{n+1+\gamma+1}}{\rm d}v_\gamma (\eta). $根据(3.1)式和文献[15中的定理1.12,文献[18]中的引理2.2,有

(3.2) $ \begin{eqnarray} \mu(|z|)|RF_\omega(z)| &\leq &c\int_B \frac{|h(\eta)||\langle z, \eta\rangle|\mu(|z|)(1-|\eta|^2)^\gamma}{|1-\langle z, \eta\rangle|^{n+1+\gamma+1}|1-\langle \eta, \omega\rangle|^{t+1}}{\rm d}v(\eta) \\ &\leq& c_1\int_B \frac{|h(\eta)|\mu(|\eta|)\mu(|z|)(1-|\eta|^2)^\gamma}{|1-\langle z, \eta\rangle|^{n+1+\gamma+1}|1-\langle \eta, \omega\rangle|^{t+1}\mu(|\eta|)}{\rm d}v(\eta)\\ &\leq& c_1M\int_B \frac{\mu(|z|)(1-|\eta|^2)^\gamma}{|1-\langle z, \eta\rangle|^{n+1+\gamma+1}\mu(|\eta|)}{\rm d}v(\eta)\\ &\leq& c_2M\int_B \frac{(1-|z|^2)^a(1-|\eta|^2)^{\gamma-a}}{|1-\langle z, \eta\rangle|^{n+1+\gamma+1}}{\rm d}v(\eta)\\ &&+c_2M\int_B \frac{(1-|z|^2)^b(1-|\eta|^2)^{\gamma-b}}{|1-\langle z, \eta\rangle|^{n+1+\gamma+1}}{\rm d}v(\eta)\\ &\leq& \frac{2c_2M}{1-|z|^2}. \end{eqnarray} $

在(3.2)式中令$ z = \omega $,经过计算,由(3.1)式有

$ \begin{eqnarray*} \frac{\mu(|\omega|)|Rh(\omega)|}{(1-|\omega|^2)^t}&\leq& \frac{\mu(|\omega|)|RF_\omega(\omega)|(1-|\omega|^2)^{t+1}+(t+1)\mu(|\omega|)|F_\omega(\omega)|(1-|\omega|^2)^t|\omega|^2} {(1-|\omega|^2)^t}\\ &\leq& 2c_2M+\frac{c\mu(|\omega|)|h(\omega)|} {(1-|\omega|^2)^{t+1}}\leq c_3M. \end{eqnarray*} $

再由$ \omega $的任意性知命题成立.

(ii)   由$ \lim\limits_{|z|\rightarrow1^-} \frac{\mu(|z|)|h(z)|}{(1-|z|^2)^{t+1}} = 0 $有, $ \forall \varepsilon>0, $存在$ 0<\delta<\frac{1}{2}, $当$ |z|>1-2\delta $时,有

$ \frac{\mu(|z|)|h(z)|}{(1-|z|^2)^{t+1}}<\varepsilon. $

设$ z^j\subset B $是使得$ \lim\limits_{j\rightarrow\infty}|z^j| = 1 $的任一序列,令$ \overline{D}(z^j, \frac{1}{3}) = \{\omega:\omega\in B $且$ d(\omega, z^j)\leq\frac{1}{3}\}, $由$ |z^j|\rightarrow1\ (j\rightarrow\infty) $知,存在正整数$ N $,当$ j>N $时,有$ |z^j|>1-\delta $,由文献[19]中的引理2.3知,只要$ j>N, $且$ \omega\in\overline{D}(z^j, \frac{1}{3}), $取$ r = \frac{1}{3} $,得$ |\omega|>1-\frac{4\delta}{2+\delta}>1-2\delta $,所以

(3.3) $ \begin{equation} \frac{\mu(|\omega|)|h(\omega)|}{(1-|\omega|^2)^{t+1}}<\varepsilon. \end{equation} $

根据文献[15中的推论]1.22,当$ |z|\leq\frac{1}{6} $时有

$ d(\varphi_{z^j}(z), z^j) = d(\varphi_{z^j}(z), \varphi_{z^j}(0)) = d(z, 0) = |z|\leq\frac{1}{6}. $

如果$ \omega\in\overline{D}(\varphi_{z^j}(z), \frac{1}{6}), $则

(3.4) $ \begin{equation} d(\omega, z^j)\leq d(\omega, \varphi_{z^j}(z))+d(\varphi_{z^j}(z), z^j)\leq\frac{1}{3} \Rightarrow\overline{D}(\varphi_{z^j}(z), \frac{1}{6})\subseteq\overline{D}(z^j, \frac{1}{3}). \end{equation} $

记

$ F_j(z) = \frac{(1-|z^j|^2)^\sigma\mu(|z^j|)h(z)}{(1-\langle z, z^j\rangle)^{t+1+\sigma}}(\sigma>\max\{n-a, n+b-a-t-1\}), $

并令$ g_j = F_j\circ\varphi_{z^j}. $

由于$ \sigma>\max\{n-a, n+b-a-t-1\}, $故可选择$ \max\{-1, b-t-2\}<\gamma< \sigma-n-1+a<\sigma-n-1+b $,由文献[15}中的引理2.24和引理2.20, (3.3)–(3.4)式,文献[18]中的引理2.2及文献[20]中的命题1.4.10,当$ |z|\leq\frac{1}{6} $且$ j>N $时,有

$ \begin{eqnarray*} |g_j(z)|&\leq &\frac{c_1}{(1-|\varphi_{z^j}(z)|^2)^{\gamma+n+1}}\int_{\overline{D}(\varphi_{z^j}(z), \frac{1}{6})} |F_j(\omega)|{\rm d}v_\gamma(\omega)\\ &\leq& \frac{c_1}{(1-|\varphi_{z^j}(z)|^2)^{\gamma+n+1}}\int_{\overline{D}(z^j, \frac{1}{3})} |F_j(\omega)|{\rm d}v_\gamma(\omega)\\ &\leq& c_2\varepsilon(1-|z^j|^2)^{\sigma-\gamma-n-1}\int_{\overline{D}(z^j, \frac{1}{3})} \frac{(1-|\omega|^2)^{t+1+\gamma}\mu(|z^j|)}{|1-\langle\omega, z^j\rangle|^{t+1+\sigma}\mu(|\omega|)}{\rm d}v(\omega)\\ &\leq& c_3\varepsilon(1-|z^j|^2)^{\sigma-\gamma-n-1+a}\int_{B} \frac{(1-|\omega|^2)^{t+1+\gamma-a}}{|1-\langle\omega, z^j\rangle|^{t+1+\sigma}}{\rm d}v(\omega)\\ &&+c_3\varepsilon(1-|z^j|^2)^{\sigma-\gamma-n-1+b}\int_{B} \frac{(1-|\omega|^2)^{t+1+\gamma-b}}{|1-\langle\omega, z^j\rangle|^{t+1+\sigma}}{\rm d}v(\omega)\\ &\leq & c\varepsilon. \end{eqnarray*} $

所以$ \{g_j(z)\} $关于$ z $在闭区域$ \{z:|z|\leq\frac{1}{6}\} $上一致收敛于0,从而$ \{\nabla g_j(z)\} $关于$ z $在闭区域$ \{z:|z|\leq\frac{1}{12}\} $上必一致收敛于0,特别地,有

(3.5) $ \begin{equation} \lim\limits_{j\rightarrow\infty}|\nabla g_j(0)| = 0. \end{equation} $

另一方面,根据文献[15]中的引理2.14和(2.11)式可得

(3.6) $ \begin{equation} |\nabla g_j(0)|^2 = |\widetilde{\nabla }F_j(z^j)|^2\geq(1-|z^j|^2)^2|RF_j(z^j)|^2. \end{equation} $

(3.5)–(3.6)式表明

(3.7) $ \begin{equation} \lim\limits_{j\rightarrow\infty}(1-|z^j|^2)|RF_j(z^j)| = 0. \end{equation} $

直接计算可得

(3.8) $ \begin{equation} RF_j(z) = \frac{(1-|z^j|^2)^\sigma\mu(|z^j|)Rh(z)}{(1-\langle z, z^j\rangle)^{t+1+\sigma}}+\frac{(t+1+\sigma)\langle z, z^j\rangle(1-|z^j|^2)^\sigma\mu(|z^j|)h(z)}{(1-\langle z, z^j\rangle)^{t+1+\sigma+1}}. \end{equation} $

所以由(3.7)–(3.8)式得

$ \begin{eqnarray*} \frac{\mu(|z^j|)|Rh(z^j)|}{(1-|z^j|^2)^{t}}&\leq&(1-|z^j|^2)|RF_j(z^j)|+ \frac{(t+1+\sigma)|z^j|^2\mu(|z^j|)|h(z^j)|}{(1-|z^j|^2)^{t+1}}\\ &\leq&(1-|z^j|^2)|RF_j(z^j)|+ \frac{c\mu(|z^j|)|h(z^j)|}{(1-|z^j|^2)^{t+1}}<c_1\varepsilon. \end{eqnarray*} $

即就是

$ \lim\limits_{j\rightarrow\infty}\frac{\mu(|z^j|)|Rh(z^j)|}{(1-|z^j|^2)^{t}} = 0. $

再由$ z^j $的任意性知

$ \lim\limits_{|z|\rightarrow1^-}\frac{\mu(|z|)|Rh(z)|}{(1-|z|^2)^{t}} = 0. $

定理3.1证毕.

定理3.2  设$ 0<p<\infty, \alpha>-1, g\in H(B) $, $ \mu $在$ [0, 1) $上正规,则$ T_{g} $为$ {\cal A}_\alpha^p $到$ {\cal Z}_{\mu} $上的有界算子的充要条件是

(3.9) $ \begin{equation} N = \sup\limits_{z\in B}\frac{\mu(|z|)|Rg(z)|}{(1-|z|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}}<\infty. \end{equation} $

证  先证充分性: $ \forall f\in{\cal A}_\alpha^p $,因为$ T_g(f)(0) = 0 $,由引理2.1和引理2.2,结合(3.9)式,在定理3.1$ {\rm (i)} $中令$ t = \frac{n+1+\alpha}{p}, h(z) = Rg(z) $有

$ \begin{eqnarray*} \|T_{g}(f)\|_{{\cal Z}_{\mu}}&\leq &\sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|Rf(z)Rg(z)|+ \sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|f(z)R^{(2)}g(z)| \\ &\leq &\sup\limits_{z\in B}\frac{\mu(|z|)|R^{(2)}g(z)|}{(1-|z|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}}}\cdot\|f\|_{{\cal A}_\alpha^p} +\sup\limits_{z\in B}\frac{\mu(|z|)|Rg(z)|}{(1-|z|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}}\cdot\|Rf\|_{{\cal A}_{\alpha+p}^p} \\ &\leq& cN\cdot\|f\|_{{\cal A}_\alpha^p}. \end{eqnarray*} $

这表明$ T_{g} $是$ {\cal A}_\alpha^p $到$ {\cal Z}_{\mu} $的有界算子.

必要性:设$ T_{g} $是$ {\cal A}_\alpha^p $到$ {\cal Z}_{\mu} $的有界算子.取$ f(z) = 1\in{\cal A}_\alpha^p $,因为

$ \begin{eqnarray*} \sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|R^{(2)}(T_gf)(z)|& = &\sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|Rf(z)Rg(z)+f(z)R^{(2)}g(z)| \\ & = &\sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|R^{(2)}g(z)|<\infty. \end{eqnarray*} $

从而$ g\in {\cal Z}_{\mu}, Rg\in \beta_\mu $.因为

$ \begin{eqnarray*} \mu(|z|)|Rg(z)|& = &\mu(|z|)|Rg(0)+\int_0^1\langle\nabla Rg(tz), \overline{z}\rangle{\rm d}t| \\ &\leq&|z|\mu(|z|)\int_0^1\frac{\mu(t|z|)|\nabla Rg(tz)|}{\mu(t|z|)}{\rm d}t\\ &\leq& c\mu(|z|)\int_0^1\frac{\|Rg\|_{\beta_\mu}}{\mu(|z|)}{\rm d}t = c\|Rg\|_{\beta_\mu}<\infty. \end{eqnarray*} $

(i)   当$ |\omega|\leq\frac{1}{\sqrt{2}} $时,因为

(3.10) $ \begin{equation} \frac{\mu(|\omega|)|Rg(\omega)|}{(1-|\omega|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}} \leq 2^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}\mu(|\omega|)|Rg(\omega)|\leq c. \end{equation} $

(ii)   当$ \frac{1}{\sqrt{2}}<|\omega|<1 $时,取

$ h_\omega(z) = \frac{(1-|\omega|^2)^2}{(1-\langle z, \omega\rangle)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+2}}-\frac{(1-|\omega|^2)}{(1-\langle z, \omega\rangle)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}}. $

经计算,有

$ Rh_\omega(z) = \frac{(1-|\omega|^2)^2(\frac{n+1+\alpha}{p}+2)\langle z, \omega\rangle}{(1-\langle z, \omega\rangle)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+3}}-\frac{(1-|\omega|^2)(\frac{n+1+\alpha}{p}+1)\langle z, \omega\rangle}{(1-\langle z, \omega\rangle)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+2}}, $

所以$ h_\omega(\omega) = 0, Rh_\omega(\omega) = \frac{|\omega|^2}{(1-|\omega|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}} $,且由文献[15]中定理1.12有

$ \begin{eqnarray*} \|h_\omega\|_{{\cal A}_\alpha^p}& = & \bigg\{\int_B\frac{(1-|\omega|^2)^p|\langle z, \omega\rangle-|\omega|^2|^p}{|1-\langle z, \omega\rangle|^{n+1+\alpha+2p}}\cdot c_\alpha(1-|z|^2)^\alpha{\rm d}v(z)\bigg\}^{\frac{1}{p}} \\ & \leq& c(1-|\omega|^2)\bigg\{\int_B\frac{(1-|z|^2)^\alpha}{|1-\langle z, \omega\rangle|^{n+1+\alpha+p}}{\rm d}v(z)\bigg\}^{\frac{1}{p}} \\ & \leq& c(1-|\omega|^2)\frac{1}{1-|\omega|^2} = c. \end{eqnarray*} $

所以$ h_\omega\in {\cal A}_\alpha^p, $且$ \|h_\omega\|_{{\cal A}_\alpha^p}\leq c $.

取$ z = \omega $,由$ T_{g} $是$ {\cal A}_\alpha^p $到$ {\cal Z}_{\mu} $的有界算子知

(3.11) $ \begin{eqnarray} c\geq\|(T_gh_\omega)(z)\|_{{\cal Z}_\mu}&\geq& \mu(|\omega|)|Rg(\omega)Rh_\omega(\omega)+h_\omega(\omega)R^{(2)}g(\omega)|\\ & = &\frac{\mu(|\omega|)|Rg(\omega)||\omega|^2}{(1-|\omega|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}} \geq \frac{\mu(|\omega|)|Rg(\omega)|}{2(1-|\omega|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}}. \end{eqnarray} $

由(3.10)–(3.11)式知(3.9)式成立,所以定理3.2得证.

定理3.3  设$ 0<p<\infty, \alpha>-1, g\in H(B) $, $ \mu $在$ [0, 1) $上正规,则$ T_{g} $为$ {\cal A}_\alpha^p $到$ {\cal Z}_{\mu} $上的紧算子的充要条件是

(3.12) $ \begin{equation} \lim\limits_{|z|\rightarrow1^-}\frac{\mu(|z|)|Rg(z)|}{(1-|z|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}} = 0. \end{equation} $

证  先证充分性:假设(3.12)式成立,则由定理3.1的$ {\rm (ii)} $中令$ t = \frac{n+1+\alpha}{p}, h(z) = Rg(z) $有,对任给的$ \forall \varepsilon >0 $,存在$ 0<\delta<1 $,当$ |z|^2>1-\delta $时,有

(3.13) $ \begin{equation} \frac{\mu(|z|)|R^{(2)}g(z)|}{(1-|z|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}}}<\varepsilon, \end{equation} $

(3.14) $ \begin{equation} \frac{\mu(|z|)|Rg(z)|}{(1-|z|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}}<\varepsilon. \end{equation} $

设$ \{f_{j}\} $是在$ B $的任一紧子集上一致趋于0且满足$ \|f_{j}\|_{{\cal A}_\alpha^p}\leq1 $的任一全纯函数序列,则$ \{f_j\} $和$ \{Rf_j\} $在$ E = \{\omega:|\omega|^2\leq 1-\delta\} $上一致收敛于0.由定理3.2的证明可知,取$ f(z) = 1\in{\cal A}_\alpha^p $,有$ g\in{\cal Z}_\mu $,从而有$ \mu(|z|)|R^{(2)}g(z)|<\infty, \mu(|z|)|Rg(z)|<\infty. $

由引理2.2和(3.13)–(3.14)式有

$ \begin{eqnarray*} \|T_{g}f_{j}\|_{\cal {Z}_{\mu}}& = & \Big \{\sup\limits_{|z|^2\leq1-\delta }+\sup\limits_{|z|^2>1-\delta}\Big\}\mu(|z|)|Rg(z)Rf_{j}(z)+R^{(2)}g(z)f_j(z)|\\ &\leq& c\sup\limits_{|z|^2\leq1-\delta }\{\mu(|z|)|Rg(z)||Rf_{j}(z)|+\mu(|z|)|R^{(2)}g(z)||f_{j}(z)|\}\\ &&+c\sup\limits_{|z|^2>1-\delta}\bigg\{\frac{\mu(|z|)|Rg(z)|}{(1-|z|^{2})^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}}+ \frac{\mu(|z|)|R^{(2)}g(z)|}{(1-|z|^{2})^{\frac{n+1+\alpha}{p}}}\bigg\}\|f_{j}\|_{{\cal A}_\alpha^p}\\ &\leq& 2c\varepsilon+2c\varepsilon\|f_{j}\|_{{\cal A}_\alpha^p}<c\varepsilon (j\rightarrow\infty). \end{eqnarray*} $

由$ \varepsilon $的任意性知$ \lim\limits_{j\rightarrow \infty}\|T_{g}f_{j}\|_{{\cal Z}_\mu} = 0 $,由引理2.3知$ T_{g} $为$ {\cal A}_\alpha^p $到$ {\cal Z}_{\mu} $的紧算子.

必要性:设$ T_{g} $为$ {\cal A}_\alpha^p $到$ {\cal Z}_{\mu} $的紧算子,则$ T_{g} $为$ {\cal A}_\alpha^p $到$ {\cal Z}_{\mu} $的有界算子.

对于$ B $中满足$ \lim\limits_{j\rightarrow\infty}|z^j| = 1 $的任意序列$ \{z^j\}\ (j = 1, 2, \cdots) $,取

$ h_j(z) = \frac{(1-|z^j|^2)^2}{(1-\langle z, z^j\rangle)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+2}}-\frac{(1-|z^j|^2)}{(1-\langle z, z^j\rangle)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}}. $

类似(3.9)式中的证明知$ \|h_j\|_{{\cal A}_\alpha^p}\leq c, $$ h_j\in {\cal A}_\alpha^p $,且

$ h_j(z^j) = 0, Rh_j(z^j) = \frac{|z^j|^2}{(1-|z^j|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}}. $

下面再证$ \{h_{j}\} $在$ B $的任一紧子集上一致收敛于0.对任意$ 0<r<1 $,有

$ \begin{eqnarray*} \sup\limits_{|z|\leq r}|h_{j}(z)|& = &\sup\limits_{|z|\leq r} \frac{(1-|z^j|^2)|\langle z, z^j\rangle-|z^j|^2|} {|1-\langle z, z^j\rangle|^{\frac{n+1+\alpha}{p}+2}}\\ &\leq& \sup\limits_{|z|\leq r} c\frac{1-|z^j|^2} {(1-r)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+2}}\rightarrow0 (j\rightarrow\infty). \end{eqnarray*} $

所以$ \{h_{j}\} $在$ B $的任一紧子集上一致收敛于0.由引理2.3有$ \lim\limits_{j\rightarrow \infty}\|(T_{g}h_{j})\|_{{\cal Z}_\mu} = 0 $,即$ \forall\varepsilon>0, \exists N>0 $,当$ j>N $时, ($ \frac{1}{\sqrt{2}}<|z^j|\rightarrow1 $)有

$ \begin{eqnarray*} c\varepsilon>\|(T_{g}h_{j})\|_{{\cal Z}_\mu}&\geq&\mu(|z^j|)|Rh_j(z^j)Rg(z^j)+h_j(z^j) R^{(2)}g(z^j)|\\ & = & \frac{\mu(|z^j|)|Rg(z^j)||z^j|^2}{(1-|z^j|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}}\geq \frac{\mu(|z^j|)|Rg(z^j)|}{2(1-|z^j|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}}. \end{eqnarray*} $

所以(3.12)式成立.定理3.3得证.

定理3.4  设$ 0<p<\infty, \alpha>-1, g\in H(B) $, $ \mu $是$ [0, 1) $上的正规函数,则下列条件等价:

(1)   $ T_g $是$ {\cal A}_\alpha^p $到$ {\cal Z}_{\mu, 0} $上的紧算子;

(2)   $ T_g $是$ {\cal A}_\alpha^p $到$ {\cal Z}_{\mu, 0} $上的有界算子;

(3)   $ T_g $是$ {\cal A}_\alpha^p $到$ {\cal Z}_{\mu} $上的紧算子.

证   $ (1)\Rightarrow(2) $显然成立.下面证明$ (2)\Rightarrow(3) $.

任取$ f\in {\cal A}_\alpha^p $,有$ T_g(f)\in {\cal Z}_{\mu, 0} $,根据定理3.3,只需证明(3.12)式成立.假设(3.12)式不成立,则存在点列$ \{z^{j}\}\subset B $及常数$ \varepsilon_{0}>0 $,满足$ |z^{j}|\rightarrow1\ (j\rightarrow\infty) $时,有

(3.15) $ \begin{equation} \frac{\mu(|z^j|)|Rg(z^j)|}{(1-|z^j|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}}\geq\varepsilon_{0}. \end{equation} $

取定理3.3中证明(3.12)式的测试函数$ h_j(z) $,则易知$ T_g(f_j)\in {\cal Z}_{\mu, 0} $,从而

(3.16) $ \begin{equation} \lim\limits_{|z|\rightarrow1^-}\mu(|z|)|R^{(2)}(T_g(f_j))(z)| = 0. \end{equation} $

但由(3.15)式有

$ \begin{eqnarray*} \mu(|z|)|R^{(2)}(T_g(f_j))|\geq \mu(|z^j|)|Rh_j(z^j)||Rg(z^j)| \geq \frac{c\mu(|z^j|)|Rg(z^j)|}{(1-|z^j|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}}\geq\varepsilon_{0}, \end{eqnarray*} $

与(3.16)式矛盾,从而(3.12)式成立.

再证$ (3)\Rightarrow(1) $.先证$ (3)\Rightarrow(2) $.由定理3.1和定理3.3,对任意的$ f\in {\cal A}_\alpha^p $,有

(3.17) $ \begin{eqnarray} \mu(|z|)|R^{(2)}(T_g(f))|& = & \mu(|z|)|Rf(z)Rg(z)+f(z)R^{(2)}g(z)|\\ &\leq& c\bigg\{\frac{\mu(|z|)|R^{(2)}g(z)|}{(1-|z|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}}}+\frac{\mu(|z|)|Rg(z)|}{(1-|z|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}+1}}\bigg\} \|f\|_{{\cal A}_\alpha^p}\\ &\rightarrow &0 (|z|\rightarrow1^-). \end{eqnarray} $

于是$ T_g(f)\in {\cal Z}_{\mu, 0} $,因为$ T_g $是$ {\cal A}_\alpha^p $空间到$ {\cal Z}_{\mu} $型空间的紧算子,所以$ T_g $是$ {\cal A}_\alpha^p $空间到$ {\cal Z}_{\mu} $型空间的有界算子,从而$ T_g $是$ {\cal A}_\alpha^p $空间到$ {\cal Z}_{\mu, 0} $型空间的有界算子.

再证$ (3)\Rightarrow(1) $:若(3)成立,则(2)成立,集合$ T_g\{f\in {\cal A}_\alpha^p:\|f\|_{{\cal A}_\alpha^p}\leq1\} $在$ {\cal Z}_{\mu, 0} $空间中是有界的,且由定理3.1和定理3.2,再结合(3.17)式知

$ \lim\limits_{|z|\rightarrow1^-}\sup\limits_{\|f\|_{{\cal A}_\alpha^p}\leq1}\mu(|z|)|R^{(2)}(T_gf)(z)| = 0. $

所以由引理2.4知$ T_g $是$ {\cal A}_\alpha^p $空间到$ {\cal Z}_{\mu, 0} $型空间的紧算子.

从而定理3.4得证.