无限级Laplace-Stieltjes变换所表示的整函数的增长性与逼近

无限级Laplace-Stieltjes变换所表示的整函数的增长性与逼近

徐洪焱^,¹^,², 刘三阳²

The Approximation and Growth of Entire Function Represented by Laplace-Stieltjes Transform with Infinite Order

Xu Hongyan^,¹^,², Liu Sanyang²

通讯作者: 徐洪焱，E-mail: xhyhhh@126.com

收稿日期: 2019-04-23

基金资助:

国家自然科学基金.  11561033
国家自然科学基金.  61877046
江西省自然科学基金.  20181BAB201001
江西省教育厅科学技术项目.  GJJ180734
江西省教育厅科学技术项目.  GJJ180735

Received: 2019-04-23

Fund supported:

the NSFC.  11561033
the NSFC.  61877046
the NSF of Jiangxi Province .  20181BAB201001
the Foundation of Education Department of Jiangxi .  GJJ180734
the Foundation of Education Department of Jiangxi .  GJJ180735

摘要

通过引入双下q-型的概念，讨论了具有非正规增长的全平面收敛的Laplace-Stieltjes变换的增长性与逼近，得到了Laplace-Stieltjes变换的尾项与双下q-型，A_n^*以及λ_n的关系定理，推广了罗茜，孔荫莹，Singhal与Srivastava等的结果.

关键词： Laplace-Stieltjes变换 ; 逼近 ; q-非正规增长

Abstract

The main purpose of this article is to investigate the growth and approximation of Laplace-Stieltjes transform with irregular growth converges in the whole plane, by introducing the concept of the double lower q-type. We obtain some relation theorems concerning the double lower q-type, the error, A_n^* and λ_n, which are extension and improvement of the previous theorems given by Luo-Kong, Singhal-Srivastava.

Keywords： Laplace-Stieltjes transform ; Approximation ; Double lower q-type

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本文引用格式

徐洪焱, 刘三阳. 无限级Laplace-Stieltjes变换所表示的整函数的增长性与逼近. 数学物理学报[J], 2020, 40(3): 556-568 doi:

Xu Hongyan, Liu Sanyang. The Approximation and Growth of Entire Function Represented by Laplace-Stieltjes Transform with Infinite Order. Acta Mathematica Scientia[J], 2020, 40(3): 556-568 doi:

1 引言与相关结果

Laplace-Stieltjes变换(以下简称L-S变换)

$\begin{equation} G(s) = \int_0^{+\infty}e^{-sx}{\rm d}\alpha(x), s = \sigma+{\rm i}t, \end{equation}$

(1.1)

其中 $\alpha(x)$ 为区间 $[0, Y](0<Y<+\infty)$ 上的有界变差函数, $\sigma, t$ 为实数.若选取 $\{\lambda_n\}_0^{\infty}$ 满足

$\begin{equation} 0\leq \lambda_1<\lambda_2<\cdots<\lambda_n<\cdots, \lambda_n\rightarrow\infty, \; \; n\rightarrow\infty \end{equation}$

(1.2)

与

$\alpha(x) = \left\{\begin{array}{ll} a_1+a_2+\cdots+a_n, &\lambda_n\leq x<\lambda_{n+1}, \\ 0, &x = 0, \\ \frac{\alpha(x+)+\alpha(x-)}{2}, \; \; &x>0, \end{array}\right.$

那么

$G(s) = \int_0^{+\infty}e^{-sx}{\rm d}\alpha(x) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}a_ne^{-s\lambda_n}: = f(s),$

上述级数被称为Dirichlet级数.若 $a_n, \lambda_n, n$ 满足某些特定条件, $f(s)$ 于全平面或半平面内解析.过去的几十年间, Dirichlet级数所表示的整函数的增长性与值分布研究经典而有趣,出现了许多重要的成果(参见文献[3, 13-14, 17, 20-21, 27-28]).

1963年,余家荣^[26]首次介绍了全平面内收敛的L-S变换所表示的整函数的``最大模" $M_u(\sigma, G)$ 、``最大项" $\mu(\sigma, G)$ 、Borel线以及级等概念,并分析了它们的性质,同时证明了L-S变换的收敛横坐标,绝对收敛横坐标以及一致收敛横坐标的Valiron-Knopp-Bohr公式.

定理A^[26] 若L-S变换(0.1)满足条件(0.2),且

$\begin{equation} \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}(\lambda_{n+1}-\lambda_n) = h<+\infty, \; \; \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\log n}{\lambda_n} = D<+\infty, \end{equation}$

(1.3)

则

$\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\log B_n^\ast}{\lambda_n}\leq \sigma_u^G\leq \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\log B_n^\ast}{\lambda_n}+\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\log n}{\lambda_n},$

这里 $\sigma_u^G$ 为 $G(s)$ 一致收敛横坐标,

$B_n^* = \sup\limits_{\lambda_n<x\leq \lambda_{n+1}, -\infty<t<+\infty}\left|\int_{\lambda_n}^xe^{-{\rm i}ty}{\rm d}\alpha(y)\right|.$

随后,国内外许多学者对L-S变换所表示的解析函数的增长性与值分布等问题投入了大量的关注,得到了很多有意义的结果(参见文献[1, 4, 9, 12]).文献[5-6, 8]讨论了零级,有限级以及无限级L-S变换所表示解析函数的增长性,获得了L-S变换具有各种增长级的等价关系;文献[15-16, 22-23, 29]研究了L-S变换的值分布性质,得到了L-S变换具有Borel点与Borel线等各种奇异方向的条件.

2012年与2014年,罗茜,刘兴臻以及孔荫莹^[10-11]讨论了形式与变换(1.1)不同的L-S变换

$\begin{equation} F(s) = \int_0^{+\infty}e^{sx}{\rm d}\alpha(x), s = \sigma+{\rm i}t, \end{equation}$

(1.4)

其中 $\alpha(x)$ 如(0.1)式所述, $\{\lambda_n\}$ 满足条件(1.2)和(1.3).若

$\begin{equation} \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\log A_n^\ast}{\lambda_n} = -\infty, \end{equation}$

(1.5)

这里

$A_n^* = \sup\limits_{\lambda_n<x\leq \lambda_{n+1}, -\infty<t<+\infty}\left|\int_{\lambda_n}^xe^{{\rm i}ty}{\rm d}\alpha(y)\right|,$

利用文献[26]中的讨论,易得 $\sigma_u^F = +\infty$ ,即, $F(s)$ 为整函数.为简便,记 $\overline{L}_\beta$ 为形如(1.4)式并于半平面 $\Re s<\beta(-\infty <\beta<\infty)$ 内收敛,以及序列 $\{\lambda_n\}$ 满足条件(0.2)与(0.3); $L_\infty$ 为形如(1.4)式并于全平面 $\Re s<+\infty$ 内收敛,以及序列 $\{\lambda_n\}$ 满足条件(0.2), (0.3)和(0.5).这样,若 $F(s)\in L_\infty$ ,则 $F(s)\in \overline{L}_\beta$ ,对 $-\infty<\beta<+\infty$ .

令

$M_u(\sigma, F) = \sup\limits_{0<x<+\infty, -\infty<t<+\infty}\left|\int_0^xe^{(\sigma+{\rm i}t)y}{\rm d}\alpha(y)\right|,$

$\mu(\sigma, F) = \max\limits_{n\in N}\{A_n^*e^{\lambda_n\sigma}\}, N(\sigma, F) = \max\{\lambda_n: \; A_n^*e^{\lambda_n\sigma} = \mu(\sigma, F)\}.$

在叙述文献[10-11]结果前,先介绍L-S变换的级,下级,型与下型的概念如下(参见文献[10-11, 24]).

定义1.1 若L-S变换 $F(s)\in L_\infty$ 满足

$\limsup\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log^+\log^+M_u(\sigma, F)}{\sigma} = \rho,$

则称 $\rho$ 为 $F(s)$ 的级,这里 $\log^+x = \max\{\log x, 0\}$ .如果 $\rho\in (0, +\infty)$ ,则称 $F(s)$ 为有限级整函数. $F(s)$ 的下级定义为

$\liminf\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log^+\log^+M_u(\sigma, F)}{\sigma} = \mu.$

注1.1 若 $\rho = \mu$ ,则称 $F(s)$ 具有正规增长;若 $\rho\neq\mu$ ,则称 $F(s)$ 具有非正规增长.

定义1.2 若L-S变换 $F(s)\in L_\infty$ 具有级 $\rho (0<\rho<\infty)$ ,那么L-S变换 $F(s)$ 的型与下型分别定义为

$\limsup\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log^+M_u(\sigma, F)}{e^{\sigma\rho}} = T, \; \; \; \; \liminf\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log^+M_u(\sigma, F)}{e^{\sigma\rho}} = \tau.$

根据文献[7, 10, 24, 26],我们容易得到L-S变换(1.4)的级,下级,型与下型的相关结果.

定理B^[10] 若L-S变换 $F(s)\in L_\infty$ ,其级为 $\rho (0<\rho<\infty)$ ,则

$\rho = \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\lambda_n\log\lambda_n}{-\log A_n^*}.$

定理C^[24] 若L-S变换 $F(s)\in L_\infty$ ,其级为 $\rho (0<\rho<\infty)$ ,型为 $T$ ,则

$T = \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\lambda_n}{\rho e}(A_n^*)^{\frac{\rho}{\lambda_n}}.$

进一步,若 $F(s)$ 的下级为 $\mu$ ,下型为 $\tau$ ,且 $\lambda_n\sim\lambda_{n+1}$ ,函数

$\psi(n) = \frac{\log A^*_n-\log A^*_{n+1}}{\lambda_{n+1}-\lambda_n}$

关于 $n(>n_0)$ 非减,则

$\mu = \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\lambda_n\log\lambda_n}{-\log A_n^*}, \; \; \; \tau = \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\lambda_n}{\rho e}(A_n^*)^{\frac{\rho}{\lambda_n}}.$

此外,文献[11]与[25]讨论了慢增长L-S变换(1.4)的增长性,证明了变换的 $h$ -级,对数级,对数型与 $A_n^*$ , $\lambda_n$ 的几个关系定理.然而,较少有涉及无限级L-S变换(1.4)的文献.本文第一个目的是通过引入 $q$ -级,下 $q$ -级, $q$ -型,下 $q$ -型以及双下 $q$ -型等概念,讨论无限级L-S变换(1.4)的增长性.

定义1.3 令 $q\geq 1$ , $q\in {\Bbb N}_+$ ,定义L-S变换 $F(s)\in L_\infty$ 的 $q$ -级 $\rho_q$ 为

$\limsup\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_{q+1} M_u(\sigma, F)}{\sigma} = \rho_q, \; \; \rho_q\in [0, +\infty].$

如果 $\rho_q\in (0, +\infty)$ ,则称 $F(s)$ 为具有有限 $q$ -级的整函数.此外,定义 $F(s)$ 的下 $q$ -级为

$\liminf\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_{q+1}M_u(\sigma, F)}{\sigma} = \mu_q.$

注1.2 显然,若 $q = 1$ ,有 $\rho_q = \rho$ , $\mu_q = \mu$ ;若 $q\geq 2$ , $\rho_q\in (0, +\infty)$ ,则 $\rho = \infty$ .如无特别说明,本文约定 $q\geq 2$ .

注1.3 若 $\rho_q = \mu_q$ ,则称 $F(s)$ 具有 $q$ -正规增长,否则,称 $F(s)$ 为 $q$ -非正规增长.

定义1.4 若L-S变换 $F(s)\in L_\infty$ ,具有有限 $q$ -级 $\rho_q (0<\rho_q<\infty)$ ,定义 $F(s)$ 的 $q$ -型 $T_q$ ,下 $q$ -型 $\tau_q$ 分别为

$\limsup\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_{q}M_u(\sigma, F)}{e^{\sigma\rho_q}} = T_q, \; \; \; \; \liminf\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_{q}M_u(\sigma, F)}{e^{\sigma\rho_q}} = \tau_q.$

类似定理B与定理C,对于有限 $q$ -级L-S变换(1.4),这里不加证明的给出下列结果.

定理1.1 若L-S变换 $F(s)\in L_\infty$ ,具有有限 $q$ -级 $\rho_q (0<\rho_q<\infty)$ 与 $q$ -型 $T_q$ ,则

$\rho_q = \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\lambda_n\log_q\lambda_n}{-\log A_n^*}, \; \; \; T_q = \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\log_{q-1}\left[\frac{\lambda_n}{e\rho_q}\right](A_n^*)^{\frac{\rho_q}{\lambda_n}}.$

进一步,若 $F(s)$ 具有下 $q$ -级 $\mu_q$ 与下 $q$ -型 $\tau_q$ ,且函数 $\psi(n)$ 关于 $n(>n_0)$ 非减,以及当 $n\rightarrow+\infty$ 时, $\log_{q-1}\lambda_n\sim\log_{q-1}\lambda_{n+1}$ ,则

$\mu_q = \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\lambda_n\log_q\lambda_n}{-\log A_n^*}, \; \; \; \tau_q = \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\log_{q-1}\left[\frac{\lambda_n}{e\rho_q }\right](A_n^*)^{\frac{\rho_q}{\lambda_n}}.$

问题注意下 $q$ -型定义,若 $e^{\sigma\rho_q}$ 被 $e^{\mu_q\sigma}$ 替换,情况会怎样呢?因此,先给出如下定义:

定义1.5 若L-S变换 $F(s)\in L_\infty$ ,具有有限 $q$ -级 $\rho_q (0<\rho_q<\infty)$ 与下 $q$ -级 $\mu_q(0<\mu_q<\infty)$ ,且 $\mu_q\neq \rho_q$ ,定义 $F(s)$ 的双下 $q$ -型 $\tau_{\mu_q}$ 为

$\liminf\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_qM_u(\sigma, F)}{e^{\sigma\mu_q}} = \tau_{\mu_q}.$

注1.4 显然, $\tau_{\mu_q}\geq \tau_q$ .不过,很难确定是否 $\tau_{\mu_q}\geq T_q$ 或 $\tau_{\mu_q}\leq T_q$ .

对L-S变换的 $q$ -非正规增长,我们得到:

定理1.2 若L-S变换 $F(s)\in L_\infty$ ,具有有限 $q$ -级 $\rho_q$ ,下 $q$ -级 $\mu_q$ ,且 $0\leq \mu_q\neq \rho_q<\infty$ ,则

$\begin{equation} \tau_q = \liminf\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_q M(\sigma, F)}{e^{\rho_q\sigma}} = \liminf\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_q\mu(\sigma, F)}{e^{\rho_q\sigma}} = \liminf\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_{q-1}N(\sigma, F)}{e^{\rho_q\sigma}} = 0. \end{equation}$

(1.6)

定理1.3 若L-S变换 $F(s)\in L_\infty$ ,具有有限 $q$ -级 $\rho_q$ ,下 $q$ -级 $\mu_q$ ,且 $0\leq \mu_q\neq \rho_q<\infty$ ,如果当 $n\rightarrow+\infty$ 时, $\log_q\lambda_n\sim\log_q\lambda_{n+1}$ ,则

$\begin{equation} \tau_{\mu_q}\geq \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}(A^*_n)^{\frac{\mu_q}{\lambda_n}}\log_{q-1}\left(\frac{\lambda_n}{e\mu_q}\right), \; \; \; \; (0\leq \tau_{\mu_q}\leq \infty). \end{equation}$

(1.7)

进一步,存在正整数 $n_0$ 使得

$\psi(n) = \frac{\log A^*_n-\log A^*_{n+1}}{\lambda_{n+1}-\lambda_n}$

关于 $n(>n_0)$ 非减,则

$\begin{equation} \tau_{\mu_q} = \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}(A^*_n)^{\frac{\mu_q}{\lambda_n}}\log_{q-1}\left(\frac{\lambda_n}{e\mu_q}\right), \; \; \; \; (0\leq \tau_{\mu_q}\leq \infty). \end{equation}$

(1.8)

2017年, Singhal-Srivastava^[18]讨论了有限级L-S变换(1.4)的逼近,得到

定理D^[18] 若L-S变换 $F(s)\in L_\infty$ ,具有有限级 $\rho (0<\rho<\infty)$ 与型 $T$ ,则对任意实数 $\beta(-\infty<\beta<+\infty)$ ,有

$\rho = \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\lambda_n\log\lambda_n}{-\log E_{n-1}(F, \beta)\exp(-\beta\lambda_n)} = \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\lambda_n\log\lambda_n}{-\log E_{n-1}(F, \beta)}$

与

$T = \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\lambda_n}{\rho e}(E_{n-1}(F, \beta)\exp(-\beta\lambda_n))^{\frac{\rho}{\lambda_n}} = \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\lambda_n}{\rho\exp(\rho\beta+1)}(E_{n-1}(F, \beta))^{\frac{\rho}{\lambda_n}}.$

进一步,若 $F(s)$ 具有下级 $\mu$ 与下型 $\tau$ ,且 $\lambda_n\sim\lambda_{n+1}$ 以及函数 $\psi(n)$ 关于 $n(>n_0)$ 非减,则

$\mu = \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\lambda_n\log\lambda_n}{-\log E_{n-1}(F, \beta)}, \; \; \; \tau = \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\lambda_n}{\rho \exp(\rho\beta+1)}(E_{n-1}(F, \beta))^{\frac{\rho}{\lambda_n}}.$

注1.5

$E_n(F, \beta) = \inf\limits_{p\in\Pi_n}\parallel F-p\parallel_\beta, n = 1, 2, \cdots ,$

其中

$\parallel F-p\parallel_\beta = \max\limits_{-\infty<t<+\infty}|F(\beta+{\rm i}t)-p(\beta+{\rm i}t)|,$

$\Pi_k = \left\{\sum\limits_{j = 1}^k b_je^{\lambda_js}: (b_1, b_2, \cdots , b_k)\in {\Bbb C}^k\right\}.$

注1.6 若L-S变换(1.4)满足 $n\geq k+1$ 时, $A^*_n = 0$ 且 $A^*_k\neq0$ ,则称 $F(s)$ 为阶为 $k$ 的指数型多项式,记为 $p_k$ ,即, $p_k(s) = \int^{\lambda_k}_0\exp(sy){\rm d}\alpha(y)$ .若选取适合的 $\alpha(y)$ ,函数 $p_k(s)$ 可简化为 $\exp(s\lambda_i)$ 项的多项式,即, $\sum\limits_{i = 1}^kb_i\exp(s\lambda_i)$ .

受文献[18, 24-25]启发,本文将讨论逼近算子 $E_n(F, \beta)$ 与双下 $q$ -型 $\tau_{\lambda_q}$ 的内在关系,证明了下述结果.

定理1.4 若L-S变换 $F(s)\in L_\infty$ ,具有下 $q$ -级 $\lambda_q (0\leq \mu_q\neq \rho_q<\infty)$ ,若 $\log_q\lambda_n\sim\log_q\lambda_{n+1}$ ,则对任意的实数 $\beta(-\infty<\beta<+\infty)$ ,有

$\begin{equation} \tau_{\mu_q}\geq \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}(E_{n-1}(F, \beta)\exp(-\beta\lambda_n))^{\frac{\mu_q}{\lambda_n}}\log_{q-1}\left(\frac{\lambda_n}{e\mu_q}\right), \; \; \; \; (0\leq \tau_{\mu_q}\leq \infty). \end{equation}$

(1.9)

进一步,若函数 $\psi(n)$ 关于 $n(>n_0)$ 非减,则

$\tau_{\mu_q} = \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}(E_{n-1}(F, \beta)\exp(-\beta\lambda_n))^{\frac{\mu_q}{\lambda_n}}\log_{q-1}\left(\frac{\lambda_n}{e\mu_q}\right), \; \; \; \; (0\leq \tau_{\mu_q}\leq \infty),$

即

$\begin{equation} \exp(\beta\mu_q)\tau_{\mu_q} = \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\log_{q-1}\left(\frac{\lambda_n}{e\mu_q}\right)(E_{n-1}(F, \beta))^{\frac{\mu_q}{\lambda_n}}. \end{equation}$

(1.10)

2 定理1.2与1.3的证明

为证明定理1.2与1.3,需要以下两引理.

引理2.1^[10] 若L-S变换 $F(s)\in L_\infty$ ,则对任意的 $\sigma(-\infty<\sigma<+\infty)$ 和 $\varepsilon(>0)$ ,有

$\frac{1}{2}\mu(\sigma, F)\leq M_u(\sigma, F)\leq K\mu((1+2\varepsilon)\sigma, F),$

这里 $K$ 为常数.

引理2.2^[11] 若L-S变换 $F(s)\in L_\infty$ ,则对 $\sigma_0>0$ ,有

$\log \mu(\sigma, F) = \log \mu(\sigma_0, F)+\int_{\sigma_0}^\sigma N(t, F){\rm d}t.$

定理1.2的证明 由 $F(s)$ 的下 $q$ -级为 $\mu_q$ 且 $\rho_q>\mu_q>0$ ,则对任意小的 $\varepsilon\ (0<\varepsilon<\rho_q-\mu_q)$ ,存在常数 $\sigma_0$ ,使得当 $\sigma>\sigma_0$ 时,有

$\begin{equation} \log_q M_u(\sigma, F)>\exp\{(\mu_q-\varepsilon)\sigma\}, \end{equation}$

(2.1)

以及趋于无穷的一序列 $\{\sigma_k\}$ ,使得

$\begin{equation} \log_q M_u(\sigma_k, F)<\exp\{(\mu_q+\varepsilon)\sigma_k\}. \end{equation}$

(2.2)

那么,当 $k\rightarrow+\infty$ 时,有

$\exp\{(\mu_q-\varepsilon-\rho_q)\sigma_k\}\leq \frac{\log_q M_u(\sigma, F)}{\exp(\rho_q\sigma_k)} \leq \exp\{(\mu_q+\varepsilon-\rho_q)\sigma_k\}.$

结合 $0<\varepsilon<\rho_q-\mu_q$ ,可得

$\begin{equation} \liminf\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_q M_u(\sigma, F)}{\exp(\rho\sigma)} = 0. \end{equation}$

(2.3)

再根据引理2.1与引理2.2,有

$\rho_q = \limsup\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_{q+1} M_u(\sigma, F)}{\sigma} = \limsup\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_{q+1} \mu(\sigma, F)}{\sigma} = \limsup\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_{q} N(\sigma, F)}{\sigma}$

与

$\mu_q = \liminf\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_{q+1} M_u(\sigma, F)}{\sigma} = \liminf\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_{q+1} \mu(\sigma, F)}{\sigma} = \liminf\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_{q} N(\sigma, F)}{\sigma}.$

类似于(2.3)式的证明,易得

$\liminf\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_q \mu(\sigma, F)}{\exp(\rho_q\sigma)} = \liminf\limits_{\sigma\rightarrow+\infty}\frac{\log_{q-1}N(\sigma, F)}{\exp(\rho_q\sigma)} = 0.$

故定理1.2证毕.

定理1.3的证明 分两情形证明定理1.3.

情形2.1 $q = 2$ .令

$\vartheta = \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}(A_n^*)^{\frac{\mu_2}{\lambda_n}}\log \frac{\lambda_n}{e\mu_2}, \; \; \; (0<\vartheta<+\infty).$

于是,对任意的 $\varepsilon>0$ ,存在整数 $n_0(\varepsilon)$ 使得当 $n>n_0(\varepsilon)$ 时,有

$\begin{equation} \log A_n^*>\frac{\lambda_n}{\mu_2}\log\left\{(\vartheta-\varepsilon)\left(\log \frac{\lambda_n}{e\mu_2}\right)^{-1}\right\}. \end{equation}$

(2.4)

依据引理2.1与(2.4)式,对 $n>n_0(\varepsilon)$ ,可得

$\begin{eqnarray} \frac{\log_2 M_u(\sigma, F)}{e^{\mu_2\sigma}}&\geq& \frac{\log(\log A_n^*+\lambda_n\sigma-\log 2)}{e^{\mu_2\sigma}} \nonumber\\ & >&e^{-\mu_2\sigma}\log\left\{\frac{\lambda_n}{\mu_2}\log\left\{(\vartheta-\varepsilon)\left(\log \frac{\lambda_n}{e\mu_2}\right)^{-1}\right\}+\lambda_n\sigma-\log2\right\}. \end{eqnarray}$

(2.5)

令

$\frac{1}{\mu_2}\left[\log\frac{\log\frac{\lambda_n}{e\mu_2}}{\vartheta} \right] \leq \sigma<\frac{1}{\mu_2}\left[\log\frac{\log\frac{\lambda_{n+1}}{e\mu_2}}{\vartheta} +\frac{1}{\log\frac{\lambda_n}{e\mu_2}}\right],$

选取

$\sigma = \frac{1}{\mu_2}\left[\log \frac{\log\left(\frac{\lambda_n}{e\mu_2}\right)}{\vartheta} +\frac{1}{\log\frac{\lambda_n}{e\mu_2}}\right].$

于是,根据(2.5)式得

$\begin{equation} \frac{\log_2 M_u(\sigma, F)}{e^{\mu_2\sigma}} \geq\frac{\vartheta\log\left\{\frac{\lambda_n}{\mu_2}\left[\log\frac{\vartheta-\varepsilon}{\vartheta} +\frac{1}{\log\frac{\lambda_n}{e\mu_2}}\right]-\log2\right\}} {\log\left(\frac{\lambda_{n+1}}{e\mu_2}\right)\exp\left(\frac{1}{\log\frac{\lambda_n}{e\mu_2}}\right)}. \end{equation}$

(2.6)

又因为当 $n\rightarrow+\infty$ 时, $\lambda_n\sim\lambda_{n+1}$ 和 $\lambda_n\rightarrow+\infty$ ,那么

$\begin{equation} \log\frac{\lambda_{n+1}}{\log\frac{\lambda_n}{e\mu_2}} \sim\log\left(\frac{\lambda_n}{\mu_2}\right), \; \; \; e^{\frac{1}{\log\frac{\lambda_n}{e\mu_2}}}\rightarrow1, \; \; n\rightarrow+\infty. \end{equation}$

(2.7)

让 $\varepsilon\rightarrow0$ 和 $n\rightarrow+\infty$ ,由(2.6)与(2.7)式,易得 $\tau_{\mu_2}\geq \vartheta.$

若 $\vartheta = 0$ ,显然有 $\tau_{\mu_q}\geq \vartheta$ ;若 $\vartheta = \infty$ ,类似上述讨论可得 $\tau_{\mu_2}\geq \vartheta$ .于是, (1.7)式成立.

接下来证明(0.8)式对 $q = 2$ 成立.令 $\mu(\sigma, F)$ 为 $\Re s = \sigma, -\infty<t<+\infty$ 时 $F(s)$ 的最大项.由

$\psi(n) = \frac{\log A^*_n-\log A^*_{n+1}}{\lambda_{n+1}-\lambda_n}$

关于 $n(>n_0)$ 非减,若 $\psi(n-1)\leq \sigma<\psi(n)$ ,有

$\log \mu(\sigma, F) = \log A_n^*+\lambda_n\sigma.$

由 $\tau_{\mu_2}<\infty$ ,根据定理1.2的证明,对任意小的 $\varepsilon>0$ ,以及 $\sigma>\sigma_0$ ,对满足 $\psi(n-1)\leq \sigma<\psi(n)$ 的所有 $n$ ,有

$\begin{equation} \log \mu(\sigma, F) = \log A_n^*+\lambda_n\sigma\geq (\tau_{\mu_2}-\varepsilon)\exp(\mu_2\sigma). \end{equation}$

(2.8)

令 $A_{n_1}^*\exp(\sigma\lambda_{n_1})$ 和 $A_{n_2}^*\exp(\sigma\lambda_{n_2})$ 为 $\Re s = \sigma(>\sigma_0)$ 的两个连续最大项,这里 $n_1>n_0,$ $\psi(n-1)>\sigma_0$ 以及 $n_2-1\geq n_1$ .这样,由(1.8)式,对于所有的 $\sigma>\sigma_0$ 且满足 $\psi(n_2-1)\leq \sigma<\psi(n_2)$ ,有

$\log(\log A_{n_2}^*+\lambda_{n_2}\sigma)\geq (\tau_{\mu_2}-\varepsilon)\exp(\mu_2\sigma);$

对 $n_1\leq n\leq n_2-1$ ,有

$\psi(n_1) = \psi(n_1+1) = \cdots = \psi(n) = \cdots = \psi(n_2-1),$

以及当 $\sigma = \psi(n)$ 时,有 $A_n^*\exp(\lambda_n\sigma) = A_{n_2}^*\exp(\lambda_{n_2}\sigma)$ .因此,存在正整数 $n_1'$ 使得当 $n>n_1' = \max\{n_0, n_1\}$ , $\sigma>\sigma_0$ 时,有

$A_n^*>\exp\left\{\exp\left\{(\tau_{\mu_2}-\varepsilon)e^{\mu_2\sigma}\right\}-\lambda_n\sigma\right\}.$

于是

$\begin{equation} (A_n^*)^{\frac{\mu_2}{\lambda_n}} >\exp\left\{\frac{\mu_2}{\lambda_n} \exp\exp\left[\log(\tau_{\mu_2}-\varepsilon)+\mu_2\sigma\right]-\mu_2\sigma\right\}. \end{equation}$

(2.9)

取

$\sigma = \frac{1}{\mu_2}\left[\log\frac{\log(\frac{\lambda_n}{e\mu_2})}{\tau_{\mu_2}}+o(\frac{1}{\log\lambda_n})\right],$

那么

$\begin{eqnarray} (A_n^*)^{\frac{\mu_2}{\lambda_n}} &>&\exp\left\{\frac{\mu_2}{\lambda_n}\exp\exp\left[\log\frac{\tau_{\mu_2}-\varepsilon}{\tau_{\mu_2}} +\log\log(\frac{\lambda_n}{e\mu_2})+o(\frac{1}{\log\lambda_n})\right]\right.\\ & &\left.-\log\log(\frac{\lambda_n}{e\mu_2})-o(\frac{1}{\log\lambda_n})\right\}\\ &>& \exp\left\{\frac{1}{e}\exp\exp\left[\log\frac{\tau_{\mu_2}-\varepsilon}{\tau_{\mu_2}}+o(\frac{1}{\log\lambda_n})\right] +\log\frac{\tau_{\mu_2}}{\log(\frac{\lambda_n}{e\mu_2})}-o(\frac{1}{\log\lambda_n})\right\}. \end{eqnarray}$

(2.10)

上式让 $\varepsilon\rightarrow0$ 和 $n\rightarrow+\infty$ ,结合对任意 $x>0$ 有 $e^x\geq ex$ 成立,则

$\begin{equation} \vartheta = \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}(A_n^*)^{\frac{\mu_2}{\lambda_n}}\log\left(\frac{\lambda_n}{e\mu_2}\right)\geq \tau_{\mu_2}. \end{equation}$

(2.11)

这样,结合(0.7)与(1.11)式,即(0.8)式当 $q = 2$ 时成立.

情形2.2 $q\geq 3$ .置

$\vartheta_1 = \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}(A_n^*)^{\frac{\mu_q}{\lambda_n}}\log_{q-1}\left(\frac{\lambda_n}{e\mu_q}\right), \; \; \; (0<\vartheta<+\infty).$

于是,对任意的 $\varepsilon>0$ ,存在正整数 $n_0(\varepsilon)$ ,使得当 $n>n_0(\varepsilon)$ 时,有

$\begin{equation} \log A_n^*>\frac{\lambda_n}{\mu_q}\log\left[ (\vartheta_1-\varepsilon)\left(\log_{q-1}\left(\frac{\lambda_n}{e\mu_q}\right)\right)^{-1}\right]. \end{equation}$

(2.12)

那么,对 $n>n_0(\varepsilon)$ ,由(1.12)式与引理2.1,有

$\begin{eqnarray} \frac{\log_{q} M_u(\sigma, F)}{e^{\mu_q\sigma}} & \geq &\frac{\log_{q-1}(\log A_n^*+\lambda_n\sigma-\log 2)}{e^{\mu_q\sigma}} \\ &>&e^{-\mu_q\sigma}\log_{q-1}\left\{\frac{\lambda_n}{\mu_q}\log\left\{(\vartheta_1-\varepsilon)\left(\log_{q-1} \frac{\lambda_n}{e\mu_q}\right)^{-1}\right\}+\lambda_n\sigma-\log2\right\}.\end{eqnarray}$

(2.13)

令

$\frac{1}{\mu_q}\left[\log\frac{\log_{q-1}\frac{\lambda_n}{e\mu_q}}{\vartheta_1} \right] \leq \sigma<\frac{1}{\mu_q}\left[\log\frac{\log_{q-1}\frac{\lambda_{n+1}}{e\mu_q}}{\vartheta_1} +\frac{1}{\log_{q-1}\lambda_n}\right],$

取

$\sigma = \frac{1}{\mu_q}\left[\log \frac{\log_{q-1}\left(\frac{\lambda_n}{e\mu_q}\right)}{\vartheta} +\frac{1}{\log_{q-1}\lambda_n}\right].$

于是

$\frac{\log_{q} M_u(\sigma, F)}{e^{\mu_q\sigma}} \geq\frac{\vartheta_1\log\left\{\frac{\lambda_n}{\mu_q}\left[\log\frac{\vartheta_1-\varepsilon}{\vartheta_1} +\frac{1}{\log_{q-1}\lambda_n}\right]-\log2\right\}} {\log_{q-1}\left(\frac{\lambda_{n+1}}{e\mu_q}\right)\exp\left(\frac{1}{\log_{q-1}\lambda_n}\right)}.$

类似情形2.1可得 $\tau_{\mu_q}\geq \vartheta_1$ .

另一方面,类似情形2.1,存在正整数 $n_3$ ,使得当 $n>n_3$ , $\sigma>\sigma_0$ 时,有

$A_n^*>\exp\left\{\exp_{p-1}\left\{(\tau_{\mu_q}-\varepsilon)e^{\mu_q\sigma}\right\}-\lambda_n\sigma\right\},$

这里 $\exp_0(x) = x, \exp_1x = e^x$ , $\exp_p(x) = \exp(\exp_{p-1}(x))$ .于是,有

$\begin{equation} (A_n^*)^{\frac{\mu_q}{\lambda_n}} >\exp\left\{\frac{\mu_q}{\lambda_n} \exp_q\left[\log(\tau_{\mu_q}-\varepsilon)+\mu_q\sigma\right]-\mu_q\sigma\right\}. \end{equation}$

(2.14)

取

$\sigma = \frac{1}{\mu_q}\left[\log\frac{\log_{q-1}(\frac{\lambda_n}{e\mu_q})}{\tau_{\mu_q}}+o(\frac{1}{\log_{q-1}\lambda_n})\right],$

类似(2.10)式的讨论易得 $\vartheta_1\geq \mu_q$ ,即(0.8)式对 $q\geq 3$ 时也成立.

定理1.3证毕.

3 定理1.4的证明

分两种情形证明定理1.4.

情形3.1 $q = 2$ .置

$\vartheta_2 = \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\log\left(\frac{\lambda_n}{e\mu_2}\right)(E_{n-1}(F, \beta)\exp(-\beta\lambda_n))^{\frac{\mu_2}{\lambda_n}} , \; \; \; \; (0<\vartheta_1<+\infty).$

由上式知,对任意小的 $\varepsilon>0$ ,存在正整数 $n_0(\varepsilon)$ ,使得当 $n>n_0(\varepsilon)$ 时,有

$\begin{equation} \log (E_{n-1}(F, \beta)\exp(-\beta\lambda_n))>\frac{\lambda_n}{\mu_2}\log\left[ (\vartheta_2-\varepsilon)\left(\log\left(\frac{\lambda_n}{e\mu_2}\right)\right)^{-1}\right]. \end{equation}$

(3.1)

因为 $F(s)\in L_\infty$ ,即,对 $\beta(-\infty<\beta<+\infty)$ , $F(s)\in \overline{L}_\beta$ .于是

$\begin{eqnarray} E_n(F, \beta) &\leq&\parallel F-p_n\parallel_\beta\leq |F(\beta+{\rm i}t)-p_n(\beta+{\rm i}t)|\\ &\leq &\left|\int_0^{+\infty}\exp\{(\beta+{\rm i}t)y\}{\rm d}\alpha(y)-\int_0^{\lambda_n}\exp\{(\beta+{\rm i}t)y\}{\rm d}\alpha(y)\right|\\ & = &\left|\int_{\lambda_n}^\infty\exp\{(\beta+{\rm i}t)y\}{\rm d}\alpha(y)\right|, \end{eqnarray}$

(3.2)

$\left|\int_{\lambda_{k}}^\infty\exp\{(\beta+{\rm i}t)y\}{\rm d}\alpha(y)\right| = \lim\limits_{b\rightarrow+\infty}\left|\int_{\lambda_{k}}^b\exp\{(\beta+{\rm i}t)y\}{\rm d}\alpha(y)\right|.$

记 $I_{j+k}(b;{\rm i}t) = \int_{\lambda_{j+k}}^b\exp\{{\rm i}ty\}{\rm d}\alpha(y)$ , $\lambda_{j+k}<b\leq \lambda_{j+k+1}$ ,那么 $|I_{j+k}(b;{\rm i}t)|\leq A_{j+k}^*$ 与

$\begin{eqnarray*} & &\left|\int_{\lambda_{k}}^b\exp\{(\beta+{\rm i}t)y\}{\rm d}\alpha(y)\right|\\ & = &\left|\sum\limits_{j = k}^{n+k-1}\int_{\lambda_j}^{\lambda_{j+1}}\exp\{\beta y\}{\rm d}_yI_j(y;{\rm i}t)+ \int_{\lambda_{n+k}}^b\exp\{\beta y\}{\rm d}_yI_{n+k}(y;{\rm i}t)\right|\\ & = &\left|\left[\sum\limits_{j = k}^{n+k-1}e^{\lambda_{j+1}\beta}I_j(\lambda_{j+1};{\rm i}t)-\beta\int_{\lambda_j}^{\lambda_{j+1}}e^{\beta y}I_j(y;{\rm i}t){\rm d}y\right]\right.\\ & &\left.+e^{\beta b}I_{n+k}(b;{\rm i}t)-\beta\int_{\lambda_{n+k}}^{b}e^{\beta y}I_j(y;{\rm i}t){\rm d}y\right|\\ &\leq&\sum\limits_{j = k}^{n+k-1}\left[A_j^*e^{\lambda_{j+1}\beta}+A_j^*(e^{\lambda_{j+1}\beta}-e^{\lambda_{j}\beta})\right] +2e^{\beta\lambda_{n+k+1}}A_{n+k}^*-e^{\beta\lambda_{n+k}}A_{n+k}^*\\ & \leq&2\sum\limits_{j = k}^{n+k} A_n^*e^{\beta\lambda_{n+1}}. \end{eqnarray*}$

上式 $b\rightarrow+\infty$ 时,得

$\begin{equation} \left|\int_{\lambda_{k}}^\infty\exp\{(\beta+{\rm i}t)y\}{\rm d}\alpha(y)\right|\leq 2\sum\limits_{n = k}^{+\infty}A_n^*\exp\{\beta\lambda_{n+1}\}. \end{equation}$

(3.3)

又因为对任意的 $\sigma(\beta<\sigma<+\infty)$ , $A_n^*\leq 2 M_u(\sigma, F)e^{-\sigma\lambda_n}$ .于是,由(3.2)与(3.3)式,得

$\begin{equation} E_n(F, \beta)\leq 2\sum\limits_{k = n+1}^\infty A_{k-1}^*\exp\{\beta\lambda_k\}\leq 4M_u(\sigma, F)\sum\limits_{k = n+1}^\infty\exp\{(\beta-\sigma)\lambda_k\}. \end{equation}$

(3.4)

选取 $h'(0<h'<h)$ ,使得对 $n\geq0$ , $(\lambda_{n+1} -\lambda_n)\geq h'$ ,再结合(3.4)式,对 $\sigma\geq \beta+1$ ,可得

$\begin{eqnarray*} E_n(F, \beta) &\leq& 4M_u(\sigma, F)\exp\{\lambda_{n+1}(\beta-\sigma)\}\sum\limits_{k = n+1}^\infty \exp\{(\lambda_k-\lambda_{n+1})(\beta-\sigma)\}\\ &\leq& 4M_u(\sigma, F)\exp\{\lambda_{n+1}(\beta-\sigma)\}\exp\{h'(n+1)\}\sum\limits_{k = n+1}^\infty (\exp\{-h'k\})\\ & = &4M_u(\sigma, F)\exp\{\lambda_{n+1}(\beta-\sigma)\}\left(1-\exp\{h'\}\right)^{-1}, \end{eqnarray*}$

即

$\begin{equation} E_{n-1}(F, \beta)\leq KM_u(\sigma, F)\exp\{\lambda_{n}(\beta-\sigma)\}, \end{equation}$

(3.5)

这里 $K$ 是常数.令

$\begin{equation} \gamma_n = E_{n-1}(F, \beta)\exp(-\beta\lambda_n), \; n = 1, 2, \cdots. \end{equation}$

(3.6)

由(3.1), (3.5)和(3.6)式,对 $n>n_0(\varepsilon)$ ,有

$\begin{eqnarray*} \nonumber \frac{\log_2 M_u(\sigma, F)}{e^{\mu_2\sigma}}&\geq& \frac{\log(\log \gamma_n+\lambda_n\sigma-\log K)}{e^{\mu_2\sigma}} \\ & >&e^{-\mu_2\sigma}\log\left\{\frac{\lambda_n}{\mu_2}\log\left\{(\vartheta_2-\varepsilon)\left(\log \frac{\lambda_n}{e\mu_2}\right)^{-1}\right\}+\lambda_n\sigma-\log K\right\}. \end{eqnarray*}$

取

$\sigma = \frac{1}{\mu_2}\left[\log \frac{\log\left(\frac{\lambda_n}{e\mu_2}\right)}{\vartheta_2} +\frac{1}{\log\frac{\lambda_n}{e\mu_2}}\right],$

类似情形2.1易得 $\tau_{\mu_2}\geq \vartheta_2$ .

另一方面,由

$\psi(n) = \frac{\log A^*_n-\log A^*_{n+1}}{\lambda_{n+1}-\lambda_n}$

关于 $n(>n_0)$ 非减,类似定理1.3,存在正整数 $n_4$ ,使得当 $n>n_4$ , $\sigma>\sigma_0$ 时,有

$\begin{equation} \log A_n^*>\exp\left\{(\tau_{\mu_2}-\varepsilon)e^{\mu_2\sigma}\right\}-\lambda_n\sigma. \end{equation}$

(3.7)

又因为对 $\beta<+\infty$ ,有

$\begin{eqnarray*} \nonumber A_n^*\exp\{\beta\lambda_n\}& = &\sup\limits_{\lambda_n<x\leq\lambda_{n+1}, -\infty<t<+\infty}\left|\int_{\lambda_n}^x\exp\{{\rm i}ty\}{\rm d}\alpha(y)\right|\exp\{\beta\lambda_n\}\\ &\leq& \sup\limits_{\lambda_n<x\leq\lambda_{n+1}, -\infty<t<+\infty}\left|\int_{\lambda_n}^x\exp\{(\beta+{\rm i}t)y\}{\rm d}\alpha(y)\right| \\ &\leq &\sup\limits_{-\infty<t<+\infty}\left|\int_{\lambda_n}^\infty\exp\{(\beta+{\rm i}t)y\}{\rm d}\alpha(y)\right|, \end{eqnarray*}$

以及由 $\Pi_{n-1}$ 定义知,存在 $p_1\in \Pi_{n-1}$ 使得

$\begin{equation} \|F-p_1\|_\beta\leq 2E_{n-1}(F, \beta). \end{equation}$

(3.8)

那么,对任意的 $p\in \Pi_{n-1}$ ,有

$\begin{equation} A_n^*\exp\{\beta\lambda_n\}\leq |F(\beta+{\rm i}t)-p(\beta+{\rm i}t)|\leq \|F-p\|_\beta, \end{equation}$

(3.9)

结合(3.8)式可得

$A_n^*\exp\{\beta\lambda_n\}\leq 2E_{n-1}(F, \beta).$

这样,对任意 $\beta<+\infty$ 与 $F(s)\in L_\infty$ ,再结合 $\gamma_n$ 的定义,得

$\begin{equation} \gamma_n\geq \frac{A_n^*}{2}. \end{equation}$

(3.10)

结合(3.7)与(3.10)式得

$\begin{equation} (\gamma_n)^{\frac{\mu_2}{\lambda_n}} >\exp\left\{\frac{\mu_2}{\lambda_n} \exp\exp\left[\log(\tau_{\mu_2}-\varepsilon)+\mu_2\sigma\right]-\mu_2\sigma-\frac{\mu_2\log 2}{\lambda_n}\right\}. \end{equation}$

(3.11)

取

$\sigma = \frac{1}{\mu_2}\left[\log\frac{\log(\frac{\lambda_n}{e\mu_2})}{\tau_{\mu_2}}+o(\frac{1}{\log\lambda_n})\right],$

又由 $x>0$ , $e^x\geq ex$ 成立.这样,类似情形2.1易得, $\tau_{\mu_2}\leq \vartheta_2$ .

这样,对 $q = 2$ , $\tau_{\mu_q} = \vartheta_2$ 成立.

情形3.2 $q\geq3$ .类似情形2.2与情形3.1,有

$\tau_{\mu_q} = \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}(E_{n-1}(F, \beta)\exp(-\beta\lambda_n))^{\frac{\mu_q} {\lambda_n}}\log_{q-1}\left(\frac{\lambda_n}{e\mu_q}\right).$

又由 $[\exp(-\beta\lambda_n)]^{\frac{\mu_q}{\lambda_n}} = \exp(-\beta\mu_q)$ ,故(0.10)式得证.

定理1.4证毕.

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1990

... 随后,国内外许多学者对L-S变换所表示的解析函数的增长性与值分布等问题投入了大量的关注,得到了很多有意义的结果(参见文献[1, 4, 9, 12]).文献[5-6, 8]讨论了零级,有限级以及无限级L-S变换所表示解析函数的增长性,获得了L-S变换具有各种增长级的等价关系;文献[15-16, 22-23, 29]研究了L-S变换的值分布性质,得到了L-S变换具有Borel点与Borel线等各种奇异方向的条件. ...

Picard points of random Dirichlet series

2000

On generalized orders and generalized types of Dirichlet series in the right half-plane

2014

... 上述级数被称为Dirichlet级数.若

$a_n, \lambda_n, n$

满足某些特定条件,

$f(s)$

于全平面或半平面内解析.过去的几十年间, Dirichlet级数所表示的整函数的增长性与值分布研究经典而有趣,出现了许多重要的成果(参见文献[3, 13-14, 17, 20-21, 27-28]). ...

über die Konvergenzabszisse des Laplace-integrals

1951

半平面解析的无穷级Laplace-Stieltjes变换

2012

半平面解析的无穷级Laplace-Stieltjes变换

2012

右半平面解析的Laplace-Stieltjes变换的广义级与型

2016

右半平面解析的Laplace-Stieltjes变换的广义级与型

2016

2010

... 根据文献[7, 10, 24, 26],我们容易得到L-S变换(1.4)的级,下级,型与下型的相关结果. ...

On the growth of zero order Laplace-Stieltjes transform convergent in the right half-plane

2008

On the growth properties of the Laplace-Stieltjes transform

2014

在全平面上解析的Laplace-Stieltjes变换的正规增长性

2014

... 2012年与2014年,罗茜,刘兴臻以及孔荫莹^[10-11]讨论了形式与变换(1.1)不同的L-S变换 ...

... 在叙述文献[10-11]结果前,先介绍L-S变换的级,下级,型与下型的概念如下(参见文献[10-11, 24]). ...

... ]结果前,先介绍L-S变换的级,下级,型与下型的概念如下(参见文献[10-11, 24]). ...

... 根据文献[7, 10, 24, 26],我们容易得到L-S变换(1.4)的级,下级,型与下型的相关结果. ...

... 定理B^[10] 若L-S变换

$F(s)\in L_\infty$

,其级为

$\rho (0<\rho<\infty)$

,则 ...

... 引理2.1^[10] 若L-S变换

$F(s)\in L_\infty$

,则对任意的

$\sigma(-\infty<\sigma<+\infty)$

和

$\varepsilon(>0)$

,有 ...

在全平面上解析的Laplace-Stieltjes变换的正规增长性

2014

... 2012年与2014年,罗茜,刘兴臻以及孔荫莹^[10-11]讨论了形式与变换(1.1)不同的L-S变换 ...

... 在叙述文献[10-11]结果前,先介绍L-S变换的级,下级,型与下型的概念如下(参见文献[10-11, 24]). ...

... ]结果前,先介绍L-S变换的级,下级,型与下型的概念如下(参见文献[10-11, 24]). ...

... 根据文献[7, 10, 24, 26],我们容易得到L-S变换(1.4)的级,下级,型与下型的相关结果. ...

... 定理B^[10] 若L-S变换

$F(s)\in L_\infty$

,其级为

$\rho (0<\rho<\infty)$

,则 ...

... 引理2.1^[10] 若L-S变换

$F(s)\in L_\infty$

,则对任意的

$\sigma(-\infty<\sigma<+\infty)$

和

$\varepsilon(>0)$

,有 ...

全平面上慢增长的Laplace-Stieltjes变换的级与型

2012

... 2012年与2014年,罗茜,刘兴臻以及孔荫莹^[10-11]讨论了形式与变换(1.1)不同的L-S变换 ...

... 在叙述文献[10-11]结果前,先介绍L-S变换的级,下级,型与下型的概念如下(参见文献[10-11, 24]). ...

... -11, 24]). ...

... 此外,文献[11]与[25]讨论了慢增长L-S变换(1.4)的增长性,证明了变换的

$h$

-级,对数级,对数型与

$A_n^*$

$\lambda_n$

的几个关系定理.然而,较少有涉及无限级L-S变换(1.4)的文献.本文第一个目的是通过引入

$q$

-级,下

$q$

-级,

$q$

-型,下

$q$

-型以及双下

$q$

-型等概念,讨论无限级L-S变换(1.4)的增长性. ...

... 引理2.2^[11] 若L-S变换

$F(s)\in L_\infty$

,则对

$\sigma_0>0$

,有 ...

全平面上慢增长的Laplace-Stieltjes变换的级与型

2012

... 2012年与2014年,罗茜,刘兴臻以及孔荫莹^[10-11]讨论了形式与变换(1.1)不同的L-S变换 ...

... 在叙述文献[10-11]结果前,先介绍L-S变换的级,下级,型与下型的概念如下(参见文献[10-11, 24]). ...

... -11, 24]). ...

... 此外,文献[11]与[25]讨论了慢增长L-S变换(1.4)的增长性,证明了变换的

$h$

-级,对数级,对数型与

$A_n^*$

$\lambda_n$

的几个关系定理.然而,较少有涉及无限级L-S变换(1.4)的文献.本文第一个目的是通过引入

$q$

-级,下

$q$

-级,

$q$

-型,下

$q$

-型以及双下

$q$

-型等概念,讨论无限级L-S变换(1.4)的增长性. ...

... 引理2.2^[11] 若L-S变换

$F(s)\in L_\infty$

,则对

$\sigma_0>0$

,有 ...

A Tauberian theorem for the Laplace-Stieltjes integral and the Dirichlet series (Russian)

1989

Growth of entire functions represented by Dirichlet series

1996

... 上述级数被称为Dirichlet级数.若

$a_n, \lambda_n, n$

满足某些特定条件,

$f(s)$

Entire functions defined by Dirichlet series

2008

... 上述级数被称为Dirichlet级数.若

$a_n, \lambda_n, n$

满足某些特定条件,

$f(s)$

Laplace-Stieltjes变换所定义的无限级整函数的增长性

2007

Laplace-Stieltjes变换所定义的无限级整函数的增长性

2007

Laplace-Stieltjes变换所表示的解析函数的值分布

2008

Laplace-Stieltjes变换所表示的解析函数的值分布

2008

On the derivative of a Dirichlet series

1998

... 上述级数被称为Dirichlet级数.若

$a_n, \lambda_n, n$

满足某些特定条件,

$f(s)$

... 2017年, Singhal-Srivastava^[18]讨论了有限级L-S变换(1.4)的逼近,得到 ...

... 定理D^[18] 若L-S变换

$F(s)\in L_\infty$

,具有有限级

$\rho (0<\rho<\infty)$

与型

$T$

,则对任意实数

$\beta(-\infty<\beta<+\infty)$

,有 ...

... 受文献[18, 24-25]启发,本文将讨论逼近算子

$E_n(F, \beta)$

与双下

$q$

-型

$\tau_{\lambda_q}$

的内在关系,证明了下述结果. ...

On the distribution of values of random Dirichlet series II

1990

... 上述级数被称为Dirichlet级数.若

$a_n, \lambda_n, n$

满足某些特定条件,

$f(s)$

... 上述级数被称为Dirichlet级数.若

$a_n, \lambda_n, n$

满足某些特定条件,

$f(s)$

... 在叙述文献[10-11]结果前,先介绍L-S变换的级,下级,型与下型的概念如下(参见文献[10-11, 24]). ...

... 根据文献[7, 10, 24, 26],我们容易得到L-S变换(1.4)的级,下级,型与下型的相关结果. ...

... 定理C^[24] 若L-S变换

$F(s)\in L_\infty$

,其级为

$\rho (0<\rho<\infty)$

,型为

$T$

,则 ...

... 受文献[18, 24-25]启发,本文将讨论逼近算子

$E_n(F, \beta)$

与双下

$q$

-型

$\tau_{\lambda_q}$

的内在关系,证明了下述结果. ...

慢增长的Laplace-Stieltjes变换的逼近

2019

... 此外,文献[11]与[25]讨论了慢增长L-S变换(1.4)的增长性,证明了变换的

$h$

-级,对数级,对数型与

$A_n^*$

$\lambda_n$

的几个关系定理.然而,较少有涉及无限级L-S变换(1.4)的文献.本文第一个目的是通过引入

$q$

-级,下

$q$

-级,

$q$

-型,下

$q$

-型以及双下

$q$

-型等概念,讨论无限级L-S变换(1.4)的增长性. ...

... 受文献[18, 24-25]启发,本文将讨论逼近算子

$E_n(F, \beta)$

与双下

$q$

-型

$\tau_{\lambda_q}$

的内在关系,证明了下述结果. ...

慢增长的Laplace-Stieltjes变换的逼近

2019

... 此外,文献[11]与[25]讨论了慢增长L-S变换(1.4)的增长性,证明了变换的

$h$

-级,对数级,对数型与

$A_n^*$

$\lambda_n$

的几个关系定理.然而,较少有涉及无限级L-S变换(1.4)的文献.本文第一个目的是通过引入

$q$

-级,下

$q$

-级,

$q$

-型,下

$q$

-型以及双下

$q$

-型等概念,讨论无限级L-S变换(1.4)的增长性. ...

... 受文献[18, 24-25]启发,本文将讨论逼近算子

$E_n(F, \beta)$

与双下

$q$

-型

$\tau_{\lambda_q}$

的内在关系,证明了下述结果. ...

Laplace-Stieltjes变換所定义的整函数之Borel线

1963

... 1963年,余家荣^[26]首次介绍了全平面内收敛的L-S变换所表示的整函数的``最大模"

$M_u(\sigma, G)$

、``最大项"

$\mu(\sigma, G)$

、Borel线以及级等概念,并分析了它们的性质,同时证明了L-S变换的收敛横坐标,绝对收敛横坐标以及一致收敛横坐标的Valiron-Knopp-Bohr公式. ...

... 定理A^[26] 若L-S变换(0.1)满足条件(0.2),且 ...

... 利用文献[26]中的讨论,易得

$\sigma_u^F = +\infty$

,即,

$F(s)$

为整函数.为简便,记

$\overline{L}_\beta$

为形如(1.4)式并于半平面

$\Re s<\beta(-\infty <\beta<\infty)$

内收敛,以及序列

$\{\lambda_n\}$

满足条件(0.2)与(0.3);

$L_\infty$

为形如(1.4)式并于全平面

$\Re s<+\infty$

内收敛,以及序列

$\{\lambda_n\}$

满足条件(0.2), (0.3)和(0.5).这样,若

$F(s)\in L_\infty$

,则

$F(s)\in \overline{L}_\beta$

,对

$-\infty<\beta<+\infty$

. ...

... 根据文献[7, 10, 24, 26],我们容易得到L-S变换(1.4)的级,下级,型与下型的相关结果. ...

Laplace-Stieltjes变換所定义的整函数之Borel线

1963

... 1963年,余家荣^[26]首次介绍了全平面内收敛的L-S变换所表示的整函数的``最大模"

$M_u(\sigma, G)$

、``最大项"

$\mu(\sigma, G)$

、Borel线以及级等概念,并分析了它们的性质,同时证明了L-S变换的收敛横坐标,绝对收敛横坐标以及一致收敛横坐标的Valiron-Knopp-Bohr公式. ...

... 定理A^[26] 若L-S变换(0.1)满足条件(0.2),且 ...

... 利用文献[26]中的讨论,易得

$\sigma_u^F = +\infty$

,即,

$F(s)$

为整函数.为简便,记

$\overline{L}_\beta$

为形如(1.4)式并于半平面

$\Re s<\beta(-\infty <\beta<\infty)$

内收敛,以及序列

$\{\lambda_n\}$

满足条件(0.2)与(0.3);

$L_\infty$

为形如(1.4)式并于全平面

$\Re s<+\infty$

内收敛,以及序列

$\{\lambda_n\}$

满足条件(0.2), (0.3)和(0.5).这样,若

$F(s)\in L_\infty$

,则

$F(s)\in \overline{L}_\beta$

,对

$-\infty<\beta<+\infty$

. ...

... 根据文献[7, 10, 24, 26],我们容易得到L-S变换(1.4)的级,下级,型与下型的相关结果. ...

1997

... 上述级数被称为Dirichlet级数.若

$a_n, \lambda_n, n$

满足某些特定条件,

$f(s)$

1997

... 上述级数被称为Dirichlet级数.若

$a_n, \lambda_n, n$

满足某些特定条件,

$f(s)$

Sur les droites de Borel de certaines fonction entières

1951

... 上述级数被称为Dirichlet级数.若

$a_n, \lambda_n, n$

满足某些特定条件,

$f(s)$

右半平面上Laplace-Stieltjes变换的值分布

2012

右半平面上Laplace-Stieltjes变换的值分布

2012

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