1940年,数学家Ulam提出了一个关于群同态的问题^[27]:设$G_1$是一个群, $G_2$是一个具有度量$d(\cdot, \cdot)$的度量群.给定任意$\varepsilon > 0$,是否存在一个$\delta > 0$,使得如果对任何的$x, y \in G_1$映射$h : G_1 \rightarrow G_2$满足不等式$d(h(xy), h(x)h(y)) < \delta$,那么存在一个同态$H : G_1\rightarrow G_2$,对所有的$x \in G_1$,满足$d(h(x), H(x)) < \varepsilon$?数学家Hyers^[16]第一个部分地回答了Ulam提出的问题.我们把这类问题称为\ Hyers-Ulam稳定性问题.

1950年, Aoki^[4]对Hyers定理作了进一步的简化. 1978年, Rassias^[26]对Hyers定理又作了进一步的推广. Rassias的这一结果吸引了很多数学家的注意,他们在各类函数方程的稳定性研究上做了大量工作.由Rassias得到的这一结果也被称为函数方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性.近些年来,函数方程和微分方程的稳定性得到了广泛的研究.对于一些细节和例子,我们推荐读者参考以下文献:Aczél等^[1], Agarwal等^[2], Jung^[17], Mohiuddine等^[19-20], Xu等^[34-35],也可参考文献[5-9, 13-15, 18, 22, 25, 28-33, 36-37],包括这些文献中的参考文献.

近年来, Fassi^[11-12], Park等^[23-24], Park^[25], Alotaibi^[3]和Eskandani^[10]研究了2-Banach空间上函数方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题并得到了一系列结果.特别是Murali等^[21]在2-Banach空间研究了以下三次-四次混合型函数方程

然而,尽我们所知, 2-Banach空间上一般的三次-四次混合型函数方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题研究还处于起步阶段.

受到上面相关工作的启发,在本文中,我们研究以下一般的三次-四次混合型函数方程

的一般解和Hyers-Ulam-Rassias稳定性,这里$k>1$.当$k = 2$时,方程(1.1)与Murali等^[21]所研究的函数方程是一致的.

容易看到函数$f(x) = ax^3+bx^4$是函数方程(1.1)的一个解.本文的主要目的就是建立函数方程(1.1)的一般解并在2-Banach空间上研究该方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题.

本文分以下几个部分.第2部分介绍一些关于2-Banach空间的基本事实和一些预备结果.第3部分建立方程(1.1)的一般解.在第4部分中,我们在2-Banach空间上研究函数方程(1.1)的Hyers-Ulam-Rassias稳定性.

在这一部分,我们介绍一些关于2-Banach空间的基本事实和一些预备结果.

设$X$是${\Bbb R}$上的一个线性空间,且$\dim X >1$,设$\|\cdot, \cdot\|: X \times X\rightarrow{\Bbb R}$是一个满足下列性质的函数：

(a) $\|x, y\| = 0$当且仅当$x$和$y$是线性相关的;

(b)对任何的$x, y\in X$, $\|x, y\| = \|y, x\|$;

(c)对任何的$x, y, z\in X$, $\|x, y+z\|\leq \|x, y\|+\|x, z\|$;

(d)对$\lambda \in {\Bbb R}$和$x, y\in X$, $\|\lambda x, y\| = |\lambda|\|x, y\|$.那么,称函数$\|\cdot, \cdot\|$是$X$上的2 -范数,称有序对$(X, \|x, y\|)$是一个线性2 -赋范空间.有时条件(c)也称为三角不等式.

设$\{x_n\}$是线性2 -赋范空间$X$中的一个序列.若存在线性无关的$y, z\in X$使得

成立,则称$\{x_n\}$是Cauchy序列.若存在$x\in X$,使得

成立,则称序列$\{x_n\}$是收敛的,称$x$是该序列的极限,记为$x = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n$.若线性2 -赋范空间$X$中的每一个Cauchy序列都是收敛的,则称$X$是一个2-Banach空间.

我们应该注意到,在线性2 -赋范空间中每一个收敛的序列都只有一个极限,并且关于和以及数乘的标准性质也是成立的.我们容易证明以下性质.

引理2.1  若$X$是一个线性2 -赋范空间, $x, y_1, y_2\in X$, $y_1, y_2$是线性无关的并且

那么$x = 0$.

下面的引理可参见文献[25].

引理2.2  若$X$是一个线性2 -赋范空间, $\{x_n\}$是$X$中的一个收敛序列,则

在这一部分,我们首先证明几个预备性结果和引理,证明主要结论时要用到它们.

引理3.1  设$X, Y$是实向量空间.若一个奇映射$f: X\rightarrow Y$满足方程(1.1),那么$f$是三次的.

证  在方程(1.1)中取$x = y = 0$,得$f(0) = 0$.在方程(1.1)中取$y = 0$,由$f$的奇性,得对任何的$x\in X$,有$f(kx) = k^3f(x)$.在方程(1.1)中应用$f$的奇性,我们得

于是,对任何的$x, y\in X$,有

成立.因此, $f:X\rightarrow Y$是一个三次映射.证毕.

引理3.2  设$X, Y$是实向量空间.若一个偶映射$f: X\rightarrow Y$满足方程(1.1),那么$f$是四次的.

证  在方程(1.1)中取$x = y = 0$,得$f(0) = 0$.在方程(1.1)中令$y = 0$,由$f$的偶性,得对任何的$x\in X$,有$f(kx) = k^4f(x)$.在方程(1.1)中应用$f$的偶性,我们得

于是,对任何的$x, y\in X$,有

成立.因此, $f:X\rightarrow Y$是一个四次映射.证毕.

下面,我们研究函数方程(1.1)的一般解.

定理3.1  设$X, Y$是实向量空间, $f:X\rightarrow Y$是一个映射.那么,对任何$x, y\in X$, $f$满足方程(1.1)的充要条件是存在一个惟一的对称多重可加映射$Q: X\times X\times X\times X\rightarrow Y$和一个惟一的映射$C: X\times X\times X\rightarrow Y$使得对任何的$x\in X$有$f(x) = Q(x, x, x, x)+C(x, x, x)$,这里$C$固定一个变量后关于另外两个变量是对称的,固定两个变量后关于另一个变量是可加的.

证  必要性.设$f$满足方程(1.1).对任何的$x\in X$,通过取

和

我们把$f$分解为奇映射和偶映射两部分.容易看到, $f_o$是奇映射, $f_e$是偶映射,并且对任何的$x\in X$,有$f(x) = f_o(x)+f_e(x)$.

由方程(1.1),对任何的$x, y\in X$,我们有

这就说明$f_o$满足方程(1.1).类似地,我们能证明$f_e$也满足方程(1.1).通过引理3.1和引理3.2, $f_o$和$f_e$分别是三次和四次映射.这样就存在一个映射$C: X\times X\times X\rightarrow Y$和一个对称多重可加映射$Q: X\times X\times X\times X\rightarrow Y$使得对任何的$x\in X$有$f_o(x) = C(x, x, x)$和$f_e(x) = Q(x, x, x, x)$,这里$C$固定一个变量后关于另外两个变量是对称的,固定两个变量后关于另一个变量是可加的.于是,对任何的$x\in X$,有$f(x) = C(x, x, x)+Q(x, x, x, x)$.

充分性的证明是平凡的.证毕.

在这一部分,设$(X, \|\cdot, \cdot\|)$是一个2-Banach空间.对于映射$f: X\rightarrow X$和任何的$x, y\in X$,我们定义$D_f: X\times X\rightarrow X$为

这里$k>1$.

定理4.1  设$\beta\geq 0, 0< u, v<4$.若$f: (X, \|\cdot, \cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|)$是一个偶映射,并且对任何$x, y, z\in X$都有

成立,那么存在惟一的四次映射$Q: X\rightarrow X$满足方程(1.1),并且对任何$x, z\in X$,都有

证  在(4.2)式中,令$x = y = 0$,得对任何$z\in X$,有$\|2(k^2 -k^4)f(0), z\| = 0$.于是有$f(0) = 0$.在(4.2)式中,令$y = 0$,得对任何$x, z\in X$,有

因此,对任何$x, z\in X$,我们得

在(4.5)式中,用$kx$代替$x$并除以$k^4$,得对任何$x, z\in X$,有

成立.结合(4.5)和(4.6)式,我们得对任何$x, z\in X$,有

成立.通过对$n$应用归纳法,我们能证明对任何$x, z\in X$,有

成立.对$m, n\in {\Bbb N}, n<m$以及任何$x, z\in X$,有

成立.因为在(4.9)式中,当$n\rightarrow \infty$时,有$\frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\frac{k^{n(u-4)}\left(1-k^{(m-n)(u-4)}\right)}{1-k^{u-4}}\rightarrow 0$,于是对任何$x \in X$,序列$\left\{\frac{f(k^nx)}{k^{4n}}\right\}$是$X$中的Cauchy列.因为$X$是2-Banach空间,所以对任何$x\in X$,序列$\left\{\frac{f(k^nx)}{k^{4n}}\right\}$在$X$中是收敛的.对任何$x\in X$,定义$Q: X\rightarrow X$为

由(4.8)式,对任何$x, z\in X$,得

成立.

下面我们证明$Q$满足方程(1.1).因为对任何$x, y, z\in X$,有

所以对任何$x, y\in X$,有$D_Q(x, y) = 0$.明显地, $Q(x)$是一个偶映射.由引理3.2,我们得到$Q$是四次的.

为了证明$Q$是惟一的,我们假设存在另一个满足方程(1.1)和(4.3)式的四次映射$Q':X\rightarrow X$.由于对任何的$x\in X$,都有$Q(k^nx) = k^{4n}Q(x)$, $Q'(k^nx) = k^{4n}Q'(x)$,于是能证明

这里当$n \rightarrow \infty$时,有$\frac{\beta k^{n(u-4)}\|x, z\|^u}{k^4-k^u} \rightarrow 0$.因此,对任何$x\in X$都有$Q'(x) = Q(x)$.证毕.

推论4.1  设$\beta \geq 0, s>0, 0<u, v<4$, $(X, \|\cdot\|)$是一个实的赋范空间.如果$f: (X, \|\cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|)$是一个偶映射并且对任何的$x, y, z\in X$满足不等式

那么存在惟一的四次映射$Q: X\rightarrow X$满足方程(1.1),并且对任何的$x, z\in X$有

证  在定理4.1中,对任何$x, y, z\in X$,用$\beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s$代替$\beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v)$,可得所要的结论.证毕.

定理4.2  设$\beta\geq 0, u, v>4.$如果$f: (X , \|\cdot, \cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|)$是一个偶映射并且对任何$x, y, z\in X$有

那么存在惟一的四次映射$Q: X\rightarrow X$满足方程(1.1),并且对任何的$x, z\in X$都有

证  在(4.14)式中,令$x = y = 0$,得到对任何$z\in X$,有$\|2(k^2 -k^4)f(0), z\| = 0$.于是$f(0) = 0$.在(4.14)式中,令$y = 0$,得对任何的$x, z \in X$,有

因此,对任何的$x, z \in X$,有

成立.在(4.17)式中,用$\frac{x}{k}$代替$x$,可得对任何$x, z \in X,$有

成立.在(4.18)式中,用$\frac{x}{k}$代替$x$,通过$k^4$乘以不等式两侧,可得对任何$x, z \in X,$有

成立.由(4.18)和(4.19)式,我们得对任何的$x, z \in X$,有

成立.通过对$n$应用归纳法,得对任何的$x, z \in X$,有

成立.对$m, n\in {\Bbb N}, n< m$和任何$x, z \in X$,得

成立.因为当$n\rightarrow \infty$时, $\frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\frac{k^{(n+1)(4-u)}\left[1-k^{(m-n)(4-u)}\right]}{1-k^{4-u}}\rightarrow 0$,所以对任何$x\in X$,序列$\left\{k^{4n}f\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\}$是$X$中的Cauchy列.由于$X$是2-Banach空间,对任何的$x\in X$序列$\left\{k^{4n}f\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\}$收敛.因此对任何的$x\in X$,我们能定义映射$Q: X\rightarrow X$为

由(4.20)式,得对任何$x, z\in X$,有

接下来,我们证明$Q(x)$满足方程(1.1).通过简单的计算,得对任何的$x, z\in X$,有

成立.于是,对任何$x, y\in X$,有$D_Q(x, y) = 0$.由(4.21)式, $Q(x)$是一个偶映射.由引理3.2,我们得$Q$是四次的.

假设存在另一个四次映射$Q':X\rightarrow X$满足方程(1.1)和(4.15)式.因为$Q$和$Q'$是四次的,我们得对任何的$x\in X$,有$Q(\frac{x}{k^n}) = \frac{1}{k^{4n}}Q(x)$, $Q'(\frac{x}{k^n}) = \frac{1}{k^{4n}}Q'(x)$.于是,可以证明

由于当$n\rightarrow \infty$,有$\frac{\beta k^{n(4-u)}\|x, z\|^u}{k^u-k^4}\rightarrow 0$,我们得对任何的$x\in X$,有$Q'(x) = Q(x)$.于是$Q(x)$是惟一的.证毕.

推论4.2  设$\beta \geq 0, s>0, u, v>4$, $(X, \|\cdot\|)$是一个实赋范空间.如果映射$f: (X, \|\cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|)$是一个偶映射并且对任何的$x, y, z\in X$满足

那么存在惟一的四次映射$Q: X\rightarrow X$满足方程(1.1)并且对任何的$x, z\in X$,有

证  在定理4.2中,对任何的$x, y, z\in X$,用$\beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s$代替$\beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v)$,我们就得到所要的结论.

定理4.3  设$\beta\geq 0, 0< u, v<3$.如果$f: (X, \|\cdot, \cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|)$是一个奇映射,并且对任何$x, y, z\in X$满足不等式

那么存在惟一的三次映射$C: X\rightarrow X$满足方程(1.1),并且对任何$x, z\in X$有

证  在(4.26)式中,令$x = y = 0$,得对任何的$z\in X$,有$\|2(k^2 -k^4)f(0), z\| = 0$.于是,有$f(0) = 0$.在(4.26)式中,令$y = 0$并结合$f$的奇性,得对任何的$x, z\in X$,有

成立.因此,对任何$x, z\in X$,我们有

成立.在(4.29)式中,用$kx$代替$x$并在两侧同时除以$k^3$,得对任何的$x, z\in X$,有

成立.结合(4.29)和(4.30)式,我们得对任何的$x, z\in X$,有

成立.通过对$n$应用归纳法,我们能证明对任何的$x, z\in X$,有

成立.对$m, n\in {\Bbb N}$和$n<m$,得对任何的$x, z\in X$,有

成立.在(4.33)式中,由于当$n\rightarrow \infty$时,有$\frac{\beta}{2k^3}\|x, z\|^u\frac{k^{n(u-3)}\left(1-k^{(m-n)(u-3)}\right)}{1-k^{u-3}}\rightarrow 0$,所以对任何的$x \in X$,序列$\left\{\frac{f(k^nx)}{k^{3n}}\right\}$是$X$中的Cauchy列.因为$X$是2-Banach空间,对每一个$x \in X$,序列$\left\{\frac{f(k^nx)}{k^{3n}}\right\}$在$X$中是收敛的.对每一个$x \in X$,定义映射$C: X\rightarrow X$为

由(4.32)式,对任何的$x, z\in X$,我们得

成立.

下面,我们证明$C(x)$满足方程(1.1).由(4.1), (4.26)和(4.34)式,得对任何$x, z\in X$,我们有

成立.因此,对任何的$x, y\in X$,有$D_C(x, y) = 0$.由(4.34)式, $C(x)$是一个奇映射.应用引理3.1,我们得到$C$是三次的.

为了证明$C$是惟一的,我们假设存在另一个三次映射$C':X\rightarrow X$满足方程(1.1)和(4.27)式.因为$C$和$C'$都是三次的,对任何的$x\in X$,我们有$C(k^nx) = k^{3n}C(x)$, $C'(k^nx) = k^{3n}C'(x)$.于是,有

这里当$n \rightarrow \infty$时,有$\frac{\beta k^{n(u-3)}\|x, z\|^u}{k^3-k^u} \rightarrow 0$.因此对任何的$x\in X$,有$C'(x) = C(x)$,得$C(x)$是惟一的.证毕.

推论4.3  设$\beta \geq 0, s>0, 0<u, v<3$, $(X, \|\cdot\|)$是一个实赋范空间.如果$f: (X, \|\cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|)$是一个奇映射并且对任何的$x, y, z\in X$满足不等式

那么就存在惟一的三次映射$C: X\rightarrow X$满足方程(1.1),并且对任何的$x, z\in X$,有

证  在定理4.3中,用$\beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s$代替$\beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v)$,我们就得到所要的结果.

定理4.4  设$\beta\geq 0, u, v>3.$如果$f: (X, \|\cdot, \cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|)$是一个奇映射并且对任何的$x, y, z\in X$满足不等式

那么存在惟一的三次映射$C: X\rightarrow X$满足方程(1.1),并且对任何的$x, z\in X$有

证  在(4.38)式中,令$x = y = 0$,得对任何的$z\in X$有$\|2(k^2 -k^4)f(0), z\| = 0$.于是,我们得$f(0) = 0$.在(4.38)式中,令$y = 0$,得对任何的$x, z \in X$有

成立.因此,对任何的$x, z \in X$有

成立.在(4.41)式中,用$\frac{x}{k}$代替$x$,我们得对任何的$x, z \in X$有

成立.在(4.42)式中,若用$\frac{x}{k}$代替$x$,得对任何的$x, z \in X$有

成立.在(4.43)式的两侧同时乘以$k^3$,得对任何的$x, z \in X$有

通过对$n$应用归纳法,我们能证明对任何$x, z \in X$,有

成立.因此,对任何的$x, z \in X$,有

由(4.45)式,我们可得对任何的$x, z \in X$,有

当$n\rightarrow \infty$,有$\frac{k^{(n+1)(3-u)}\left(1-k^{(m-n)(3-u)}\right)}{1-k^{3-u}}\rightarrow 0$.因此,对任何的$x\in X$,序列$\left\{k^{3n}f\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\}$是$X$中的Cauchy列.因为$X$是2-Banach空间,对每一个$x\in X$,序列$\left\{k^{3n}f\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\}$是收敛的.因此,对任何的$x\in X$我们能定义映射$C: X\rightarrow X$为

由(4.46)式,得对任何的$x, z\in X$有

成立.现在,我们证明$C(x)$满足方程(1.1).由(4.1), (4.38)和(4.48)式,我们得对任何的$x, y, z\in X$有

因此,对任何的$x, y\in X$有$D_C(x, y) = 0$.由(4.48)式, $C(x)$是一个奇映射.由引理3.1,我们得$C$是三次的.

为了证明$C$的惟一性,设映射$C': X\rightarrow X$是另一个满足方程(1.1)和(4.39)式的三次映射.由于$C$和$C'$都是三次的,我们得对任何的$x\in X$,有$C(\frac{x}{k^n}) = \frac{1}{k^{3n}}C(x)$和$C'(\frac{x}{k^n}) = \frac{1}{k^{3n}}C'(x)$成立.这就证明了

因为当$n\rightarrow \infty$,有$\frac{\beta k^{n(3-u)}\|x, z\|^u}{k^u-k^3}\rightarrow 0$,得对任何的$x\in X$,有$C'(x) = C(x)$.于是$C(x)$是惟一的.

推论4.4  设$\beta \geq 0, s>0, u, v>3$, $(X, \|\cdot\|)$是一实赋范空间.如果$f: (X, \|\cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|)$是一个奇映射,并且对任何的$x, y, z\in X$满足不等式

那么存在惟一的三次映射$C: X\rightarrow X$满足方程(1.1),并且对任何的$x, z\in X$有

证  在定理4.4中,用$\beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s$代替$\beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v)$,可得所要的结论.证毕.

定理4.5  设$\beta\geq 0$, $0< u, v<3$.如果$f: (X, \|\cdot, \cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|)$对任何的$x, y, z\in X$都满足不等式

那么存在惟一的四次映射$Q: X\rightarrow X$和惟一的三次映射$C: X\rightarrow X$都满足方程(1.1),并且对任何的$x, z\in X$有

证  在(4.52)式中,令$x = y = 0$,得对任何的$z\in X$有$\|2(k^2 -k^4)f(0), z\| = 0$.于是得$f(0) = 0$.定义$f_e: X\rightarrow X$为$f_e(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$,定义$f_o: X\rightarrow X$为$f_o(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$.明显地, $f_e$是一个偶映射, $f_o$是一个奇映射.由$f(0) = 0$,我们得$f_e(0) = 0$和$f_o(0) = 0$.

对任何的$x, y, z\in X$,我们有

和

由定理4.1,存在惟一的四次映射$Q: X\rightarrow X$满足方程(1.1),并且对任何的$x, z\in X$,有不等式

成立.

由定理4.3,存在惟一的三次映射$C: X\rightarrow X$满足方程(1.1),并且对任何的$x, z\in X$,有不等式

成立.

由(4.56)和(4.57)式,我们得对任何的$x, z\in X$有

定理4.5证毕.

推论4.5  设$\beta \geq 0, s>0, 0<u, v<3$, $(X, \|\cdot\|)$是一实赋范空间.如果对任何的$x, y, z\in X$,映射$f: (X, \|\cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|)$满足不等式

那么存在惟一的四次映射$Q: X\rightarrow X$和惟一的三次映射$C: X\rightarrow X$都满足方程(1.1),并且对任何的$x, z\in X$有

证  在定理4.5中,用$\beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s$代替$\beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v)$,并应用推论4.1和推论4.3,可得所要的结论.证毕.

定理4.6  设$\beta\geq 0, u, v>4,$对任何的$x, y, z\in X$,映射$f: (X, \|\cdot, \cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|)$满足不等式

那么存在惟一的四次映射$Q: X\rightarrow X$和惟一的三次映射$C: X\rightarrow X$都满足方程(1.1),并且对任何的$x, z\in X$有

证  在(4.60)式中,令$x = y = 0$,得对任何的$z\in X$有$\|2(k^2 -k^4)f(0), z\| = 0$.我们得$f(0) = 0$.定义$f_e: X\rightarrow X$为$f_e(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$,定义$f_o: X\rightarrow X$为$f_o(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$.容易看到, $f_e$是一个偶映射, $f_o$是一个奇映射.由$f(0) = 0$,我们得$f_e(0) = f_o(0) = 0$.

由(4.60)和(4.1)式,得对任何的$x, y, z\in X$有

和

成立.

由定理4.2,存在惟一的四次映射$Q: X\rightarrow X$满足方程(1.1),并且对任何的$x, z\in X$,有

成立.

由定理4.4,存在惟一的三次映射$C: X\rightarrow X$满足方程(1.1),并且对任何的$x, z\in X$,有

成立.

由(4.64)和(4.65)式,我们得对任何的$x, z\in X$,有

成立.证毕.

推论4.6  设$\beta \geq 0, s>0, u, v>4$, $(X, \|\cdot\|)$是一实赋范空间.如果对任何的$x, y, z\in X$,映射$f: (X, \|\cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|)$满足不等式

那么存在惟一的四次映射$Q: X\rightarrow X$和惟一的三次映射$C: X\rightarrow X$都满足方程(1.1),并且对任何的$x, z\in X$有

证  在定理4.6中,用$\beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s$代替$\beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v)$,并应用推论4.2和推论4.4,可得该结论.证毕.

最后,我们给出一个例子来说明以上理论结果的有效性.

例4.1  容易看到,在${\Bbb R}^2$上定义范数

空间$({\Bbb R}^2, \|\cdot, \cdot\|)$就是一个2-Banach空间.

在空间$({\Bbb R}^2, \|\cdot, \cdot\|)$上,取映射$f(\xi, \eta) = (\xi-\eta, \xi+\eta)$.当$k = 2$时,对任何的$x = (x_1, x_2), y = (y_1, y_2)\in({\Bbb R}^2, \|\cdot, \cdot\|)$,由简单计算得

对任何的$z = (z_1, z_2)\in({\Bbb R}^2, \|\cdot, \cdot\|)$,我们有

这样, $\!\!f$就满足定理{4.3}的条件,这里$\beta = 12, u = 1, v = 1.$因此存在惟一的三次映射$C: ({\Bbb R}^2, \|\cdot, \cdot\|)\rightarrow({\Bbb R}^2, \|\cdot, \cdot\|)$满足方程(1),并且对任何的$x, z\in ({\Bbb R}^2, \|\cdot, \cdot\|),$有

类似地,我们也能构造一些与其它主要结果相关的例子.