1940年,数学家Ulam提出了一个关于群同态的问题^[27]:设$ G_1 $是一个群, $ G_2 $是一个具有度量$ d(\cdot, \cdot) $的度量群.给定任意$ \varepsilon > 0 $,是否存在一个$ \delta > 0 $,使得如果对任何的$ x, y \in G_1 $映射$ h : G_1 \rightarrow G_2 $满足不等式$ d(h(xy), h(x)h(y)) < \delta $,那么存在一个同态$ H : G_1\rightarrow G_2 $,对所有的$ x \in G_1 $,满足$ d(h(x), H(x)) < \varepsilon $?数学家Hyers^[16]第一个部分地回答了Ulam提出的问题.我们把这类问题称为\ Hyers-Ulam稳定性问题.

1950年, Aoki^[4]对Hyers定理作了进一步的简化. 1978年, Rassias^[26]对Hyers定理又作了进一步的推广. Rassias的这一结果吸引了很多数学家的注意,他们在各类函数方程的稳定性研究上做了大量工作.由Rassias得到的这一结果也被称为函数方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性.近些年来,函数方程和微分方程的稳定性得到了广泛的研究.对于一些细节和例子,我们推荐读者参考以下文献:Aczél等^[1], Agarwal等^[2], Jung^[17], Mohiuddine等^[19-20], Xu等^[34-35],也可参考文献[5-9, 13-15, 18, 22, 25, 28-33, 36-37],包括这些文献中的参考文献.

近年来, Fassi^[11-12], Park等^[23-24], Park^[25], Alotaibi^[3]和Eskandani^[10]研究了2-Banach空间上函数方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题并得到了一系列结果.特别是Murali等^[21]在2-Banach空间研究了以下三次-四次混合型函数方程

$ \begin{eqnarray*} g(2x+y)+g(2x-y)& = &3g(x+y)+3g(x-y)+g(-x-y)+g(y-x)\\ && +18g(x)+6g(-x)-3g(y)-3g(-y). \end{eqnarray*} $

然而,尽我们所知, 2-Banach空间上一般的三次-四次混合型函数方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题研究还处于起步阶段.

受到上面相关工作的启发,在本文中,我们研究以下一般的三次-四次混合型函数方程

(1.1) $ \begin{eqnarray} f(kx+y)+f(kx-y) & = & \frac{k^2+k}{2}[f(x+y)+f(x-y)]+\frac{k^2 -k}{2}[f(-x-y)+f(y-x)]{}\\ &&+(k^4+k^3-k^2 -k)f(x)+(k^4-k^3-k^2+k)f(-x){}\\ &&-(k^2 -1)f(y)-(k^2 -1)f(-y) \end{eqnarray} $

的一般解和Hyers-Ulam-Rassias稳定性,这里$ k>1 $.当$ k = 2 $时,方程(1.1)与Murali等^[21]所研究的函数方程是一致的.

容易看到函数$ f(x) = ax^3+bx^4 $是函数方程(1.1)的一个解.本文的主要目的就是建立函数方程(1.1)的一般解并在2-Banach空间上研究该方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题.

本文分以下几个部分.第2部分介绍一些关于2-Banach空间的基本事实和一些预备结果.第3部分建立方程(1.1)的一般解.在第4部分中,我们在2-Banach空间上研究函数方程(1.1)的Hyers-Ulam-Rassias稳定性.

在这一部分,我们介绍一些关于2-Banach空间的基本事实和一些预备结果.

设$ X $是$ {\Bbb R} $上的一个线性空间,且$ \dim X >1 $,设$ \|\cdot, \cdot\|: X \times X\rightarrow{\Bbb R} $是一个满足下列性质的函数：

(a) $ \|x, y\| = 0 $当且仅当$ x $和$ y $是线性相关的;

(b)对任何的$ x, y\in X $, $ \|x, y\| = \|y, x\| $;

(c)对任何的$ x, y, z\in X $, $ \|x, y+z\|\leq \|x, y\|+\|x, z\| $;

(d)对$ \lambda \in {\Bbb R} $和$ x, y\in X $, $ \|\lambda x, y\| = |\lambda|\|x, y\| $.那么,称函数$ \|\cdot, \cdot\| $是$ X $上的2 -范数,称有序对$ (X, \|x, y\|) $是一个线性2 -赋范空间.有时条件(c)也称为三角不等式.

设$ \{x_n\} $是线性2 -赋范空间$ X $中的一个序列.若存在线性无关的$ y, z\in X $使得

(2.1) $ \begin{equation} \lim\limits_{n, m\rightarrow \infty}\|x_n-x_m, y\| = 0 = \lim\limits_{n, m\rightarrow \infty}\|x_n-x_m, z\| \end{equation} $

成立,则称$ \{x_n\} $是Cauchy序列.若存在$ x\in X $,使得

(2.2) $ \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|x_n-x, y\| = 0, \ \ y\in X \end{equation} $

成立,则称序列$ \{x_n\} $是收敛的,称$ x $是该序列的极限,记为$ x = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n $.若线性2 -赋范空间$ X $中的每一个Cauchy序列都是收敛的,则称$ X $是一个2-Banach空间.

我们应该注意到,在线性2 -赋范空间中每一个收敛的序列都只有一个极限,并且关于和以及数乘的标准性质也是成立的.我们容易证明以下性质.

引理2.1  若$ X $是一个线性2 -赋范空间, $ x, y_1, y_2\in X $, $ y_1, y_2 $是线性无关的并且

$ \|x, y_1\| = 0 = \|x, y_2\|, $

那么$ x = 0 $.

下面的引理可参见文献[25].

引理2.2  若$ X $是一个线性2 -赋范空间, $ \{x_n\} $是$ X $中的一个收敛序列,则

$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\|x_n, y\| = \left\|\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_n, y\right\|, \ \ y\in X. $

在这一部分,我们首先证明几个预备性结果和引理,证明主要结论时要用到它们.

引理3.1  设$ X, Y $是实向量空间.若一个奇映射$ f: X\rightarrow Y $满足方程(1.1),那么$ f $是三次的.

证  在方程(1.1)中取$ x = y = 0 $,得$ f(0) = 0 $.在方程(1.1)中取$ y = 0 $,由$ f $的奇性,得对任何的$ x\in X $,有$ f(kx) = k^3f(x) $.在方程(1.1)中应用$ f $的奇性,我们得

$ \begin{eqnarray*} \label{2.1} f(kx+y)+f(kx-y) & = & \frac{k^2+k}{2}f(x+y)+\frac{k^2+k}{2}f(x-y)-\frac{k^2 -k}{2}f(x+y)\\ &&-\frac{k^2 -k}{2}f(x-y)+2k^3f(x)-2kf(x)\\ & = &kf(x+y)+kf(x-y)+2k^3f(x)-2kf(x). \end{eqnarray*} $

于是,对任何的$ x, y\in X $,有

$ \begin{eqnarray*} f(kx+y)+f(kx-y) = kf(x+y)+kf(x-y)+2k^3f(x)-2kf(x) \end{eqnarray*} $

成立.因此, $ f:X\rightarrow Y $是一个三次映射.证毕.

引理3.2  设$ X, Y $是实向量空间.若一个偶映射$ f: X\rightarrow Y $满足方程(1.1),那么$ f $是四次的.

证  在方程(1.1)中取$ x = y = 0 $,得$ f(0) = 0 $.在方程(1.1)中令$ y = 0 $,由$ f $的偶性,得对任何的$ x\in X $,有$ f(kx) = k^4f(x) $.在方程(1.1)中应用$ f $的偶性,我们得

$ \begin{eqnarray*} &&f(kx+y)+f(kx-y)\\ & = & \frac{k^2+k}{2}[f(x+y)+f(x-y)]+\frac{k^2 -k}{2}[f(x+y)+f(x-y)]\\ && +(k^4+k^3-k^2 -k)f(x)+(k^4-k^3-k^2+k)f(x)-(k^2 -1)f(y)-(k^2 -1)f(y)\\ & = &k^2[f(x+y)+f(x-y)]+2k^2(k^2 -1)f(x)-2(k^2 -1)f(y). \end{eqnarray*} $

于是,对任何的$ x, y\in X $,有

$ \begin{eqnarray*} f(kx+y)+f(kx-y) = k^2[f(x+y)+f(x-y)]+2k^2(k^2 -1)f(x)-2(k^2 -1)f(y) \end{eqnarray*} $

成立.因此, $ f:X\rightarrow Y $是一个四次映射.证毕.

下面,我们研究函数方程(1.1)的一般解.

定理3.1  设$ X, Y $是实向量空间, $ f:X\rightarrow Y $是一个映射.那么,对任何$ x, y\in X $, $ f $满足方程(1.1)的充要条件是存在一个惟一的对称多重可加映射$ Q: X\times X\times X\times X\rightarrow Y $和一个惟一的映射$ C: X\times X\times X\rightarrow Y $使得对任何的$ x\in X $有$ f(x) = Q(x, x, x, x)+C(x, x, x) $,这里$ C $固定一个变量后关于另外两个变量是对称的,固定两个变量后关于另一个变量是可加的.

证  必要性.设$ f $满足方程(1.1).对任何的$ x\in X $,通过取

(3.1) $ \begin{equation} f_o(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2} \end{equation} $

和

(3.2) $ \begin{equation} f_e(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}, \end{equation} $

我们把$ f $分解为奇映射和偶映射两部分.容易看到, $ f_o $是奇映射, $ f_e $是偶映射,并且对任何的$ x\in X $,有$ f(x) = f_o(x)+f_e(x) $.

由方程(1.1),对任何的$ x, y\in X $,我们有

$ \begin{eqnarray*} &\quad&f_o(kx+y)+f_o(kx-y)\\ & = &\frac{1}{2}\left[f(kx+y)-f(-(kx+y))\right]+\frac{1}{2}\left[f(kx-y)-f(-(kx-y))\right]\\ & = &\frac{1}{2}\left[f(kx+y)+f(kx-y)\right]-\frac{1}{2}\left[f(-(kx+y))+f(-(kx-y))\right]\\ & = &\frac{k^2+k}{4}\left[f(x+y)+f(x-y)\right]+\frac{k^2 -k}{4}\left[f(-x-y)+f(y-x)\right]\\ &\quad&+\frac{k^4+k^3-k^2 -k}{2}f(x)+\frac{k^4-k^3-k^2+k}{2}f(-x)-\frac{k^2 -1}{2}f(y)-\frac{k^2 -1}{2}f(-y)\\ &\quad&-\frac{k^2+k}{4}\left[f(-x-y)+f(-x+y)\right]-\frac{k^2 -k}{4}\left[f(x+y)+f(x-y)\right]\\ &\quad&-\frac{k^4+k^3-k^2 -k}{2}f(-x)-\frac{k^4-k^3-k^2+k}{2}f(x)+\frac{k^2 -1}{2}f(-y)+\frac{k^2 -1}{2}f(y)\\ & = &\frac{k^2+k}{2}\left[\frac{f(x+y)-f(-(x+y))}{2}+\frac{f(x-y)-f(-x+y)}{2}\right]\\ &\quad&+\frac{k^2 -k}{2}\left[\frac{f(-x-y)-f(x+y)}{2}+\frac{f(y-x)-f(x-y)}{2}\right]\\ &\quad&+\frac{k^4+k^3-k^2 -k}{2}\left[f(x)-f(-x)\right]+\frac{k^4-k^3-k^2+k}{2}\left[f(-x)-f(x)\right]\\ &\quad&+\frac{k^2 -1}{2}\left[f(-y)-f(y)\right]+\frac{k^2 -1}{2}\left[f(y)-f(-y)\right]\\ & = &\frac{k^2+k}{2}\left[f_o(x+y)+f_o(x-y)\right]+\frac{k^2 -k}{2}\left[f_o(-x-y)+f_o(y-x)\right]\\ &\quad&+(k^4+k^3-k^2 -k)f_o(x)+(k^4-k^3-k^2+k)f_o(-x)\\ &\quad&-(k^2 -1)f_o(y)-(k^2 -1)f_o(-y). \end{eqnarray*} $

这就说明$ f_o $满足方程(1.1).类似地,我们能证明$ f_e $也满足方程(1.1).通过引理3.1和引理3.2, $ f_o $和$ f_e $分别是三次和四次映射.这样就存在一个映射$ C: X\times X\times X\rightarrow Y $和一个对称多重可加映射$ Q: X\times X\times X\times X\rightarrow Y $使得对任何的$ x\in X $有$ f_o(x) = C(x, x, x) $和$ f_e(x) = Q(x, x, x, x) $,这里$ C $固定一个变量后关于另外两个变量是对称的,固定两个变量后关于另一个变量是可加的.于是,对任何的$ x\in X $,有$ f(x) = C(x, x, x)+Q(x, x, x, x) $.

充分性的证明是平凡的.证毕.

在这一部分,设$ (X, \|\cdot, \cdot\|) $是一个2-Banach空间.对于映射$ f: X\rightarrow X $和任何的$ x, y\in X $,我们定义$ D_f: X\times X\rightarrow X $为

(4.1) $ \begin{eqnarray} D_f(x, y) & = & f(kx+y)+f(kx-y)-\frac{k^2+k}{2}[f(x+y)+f(x-y)]{}\\ &&-\frac{k^2 -k}{2}[f(-x-y)+f(y-x)] -(k^4+k^3-k^2 -k)f(x){}\\ &&-(k^4-k^3-k^2+k)f(-x)+(k^2 -1)f(y)+(k^2 -1)f(-y), \end{eqnarray} $

这里$ k>1 $.

定理4.1  设$ \beta\geq 0, 0< u, v<4 $.若$ f: (X, \|\cdot, \cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|) $是一个偶映射,并且对任何$ x, y, z\in X $都有

(4.2) $ \begin{equation} \|D_f(x, y), z\|\leq \beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v) \end{equation} $

成立,那么存在惟一的四次映射$ Q: X\rightarrow X $满足方程(1.1),并且对任何$ x, z\in X $,都有

(4.3) $ \begin{equation} \|f(x)-Q(x), z\|\leq \frac{\beta\|x, z\|^u}{2(k^4-k^u)}. \end{equation} $

证  在(4.2)式中,令$ x = y = 0 $,得对任何$ z\in X $,有$ \|2(k^2 -k^4)f(0), z\| = 0 $.于是有$ f(0) = 0 $.在(4.2)式中,令$ y = 0 $,得对任何$ x, z\in X $,有

(4.4) $ \begin{equation} \|2f(kx)-2k^4f(x), z\|\leq \beta\|x, z\|^u. \end{equation} $

因此,对任何$ x, z\in X $,我们得

(4.5) $ \begin{equation} \left\|\frac{f(kx)}{k^4}-f(x), z\right\|\leq \frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u. \end{equation} $

在(4.5)式中,用$ kx $代替$ x $并除以$ k^4 $,得对任何$ x, z\in X $,有

(4.6) $ \begin{equation} \left\|\frac{f(k^2x)}{k^8}-\frac{f(kx)}{k^4}, z\right\|\leq \frac{\beta k^u}{2k^8}\|x, z\|^u \end{equation} $

成立.结合(4.5)和(4.6)式,我们得对任何$ x, z\in X $,有

(4.7) $ \begin{equation} \left\|\frac{f(k^2x)}{k^8}-f(x), z\right\|\leq \frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\left(1+\frac{k^u}{k^4}\right) \end{equation} $

成立.通过对$ n $应用归纳法,我们能证明对任何$ x, z\in X $,有

(4.8) $ \begin{eqnarray} \left\|\frac{f(k^nx)}{k^{4n}}-f(x), z\right\| &\leq & \frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\sum\limits_{i = 0}^{n-1}k^{i(u-4)} = \frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\left(\frac{1-k^{n(u-4)}}{1-k^{u-4}}\right) \end{eqnarray} $

成立.对$ m, n\in {\Bbb N}, n<m $以及任何$ x, z\in X $,有

(4.9) $ \begin{eqnarray} \left\|\frac{f(k^mx)}{k^{4m}}-\frac{f(k^nx)}{k^{4n}}, z\right\| &\leq & \frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\sum\limits_{i = n}^{m-1}k^{i(u-4)}\\ & = & \frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\frac{k^{n(u-4)}\left(1-k^{(m-n)(u-4)}\right)}{1-k^{u-4}} \end{eqnarray} $

成立.因为在(4.9)式中,当$ n\rightarrow \infty $时,有$ \frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\frac{k^{n(u-4)}\left(1-k^{(m-n)(u-4)}\right)}{1-k^{u-4}}\rightarrow 0 $,于是对任何$ x \in X $,序列$ \left\{\frac{f(k^nx)}{k^{4n}}\right\} $是$ X $中的Cauchy列.因为$ X $是2-Banach空间,所以对任何$ x\in X $,序列$ \left\{\frac{f(k^nx)}{k^{4n}}\right\} $在$ X $中是收敛的.对任何$ x\in X $,定义$ Q: X\rightarrow X $为

(4.10) $ \begin{equation} Q(x): = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{f(k^nx)}{k^{4n}}. \end{equation} $

由(4.8)式,对任何$ x, z\in X $,得

(4.11) $ \begin{eqnarray} \|Q(x)-f(x), z\| &\leq & \frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\frac{1}{1-k^{u-4}} = \frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\frac{k^4}{k^4-k^u} = \frac{\beta\|x, z\|^u}{2(k^4-k^u)} \end{eqnarray} $

成立.

下面我们证明$ Q $满足方程(1.1).因为对任何$ x, y, z\in X $,有

$ \begin{eqnarray*} \|D_Q(x, y), z\| & = & \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{k^{4n}}\left\|D_f(k^nx, k^ny), z\right\|\\ &\leq & \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{k^{4n}}\beta \left(\|k^nx, z\|^u+\|k^ny, z\|^v\right) \\ & = & \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\beta \left(k^{n(u-4)}\|x, z\|^u+k^{n(v-4)}\|y, z\|^v\right) \\ & = & 0, \end{eqnarray*} $

所以对任何$ x, y\in X $,有$ D_Q(x, y) = 0 $.明显地, $ Q(x) $是一个偶映射.由引理3.2,我们得到$ Q $是四次的.

为了证明$ Q $是惟一的,我们假设存在另一个满足方程(1.1)和(4.3)式的四次映射$ Q':X\rightarrow X $.由于对任何的$ x\in X $,都有$ Q(k^nx) = k^{4n}Q(x) $, $ Q'(k^nx) = k^{4n}Q'(x) $,于是能证明

$ \begin{eqnarray*} \left\|Q'(x)-Q(x), z\right\| & = & \left\|\frac{1}{k^{4n}}Q'(k^nx)-\frac{1}{k^{4n}}Q(k^nx), z \right\|\nonumber\\ & = & \frac{1}{k^{4n}}\left\|Q'(k^nx)-Q(k^nx), z\right\|\nonumber\\ & = & \frac{1}{k^{4n}}\left\|Q'(k^nx)-f(k^nx)+f(k^nx)-Q(k^nx), z\right\|\nonumber\\ &\leq & \frac{1}{k^{4n}}\left(\left\|Q'(k^nx)-f(k^nx), z\right\|+\left\|f(k^nx)-Q(k^nx), z\right\|\right)\nonumber\\ &\leq & \frac{1}{k^{4n}}\left(\frac{\beta \|k^nx, z\|^u}{2(k^4-k^u)}+\frac{\beta \|k^nx, z\|^u}{2(k^4-k^u)}\right)\nonumber\\ & = & \frac{1}{k^{4n}}\frac{\beta k^{nu}\|x, z\|^u}{k^4-k^u} = \frac{\beta k^{n(u-4)}\|x, z\|^u}{k^4-k^u}, \end{eqnarray*} $

这里当$ n \rightarrow \infty $时,有$ \frac{\beta k^{n(u-4)}\|x, z\|^u}{k^4-k^u} \rightarrow 0 $.因此,对任何$ x\in X $都有$ Q'(x) = Q(x) $.证毕.

推论4.1  设$ \beta \geq 0, s>0, 0<u, v<4 $, $ (X, \|\cdot\|) $是一个实的赋范空间.如果$ f: (X, \|\cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|) $是一个偶映射并且对任何的$ x, y, z\in X $满足不等式

(4.12) $ \begin{equation} \|D_f(x, y), z\|\leq \beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s, \end{equation} $

那么存在惟一的四次映射$ Q: X\rightarrow X $满足方程(1.1),并且对任何的$ x, z\in X $有

(4.13) $ \begin{equation} \|Q(x)-f(x), z\|\leq \frac{\beta \|x\|^u\|z\|^s}{2(k^4-k^u)}. \end{equation} $

证  在定理4.1中,对任何$ x, y, z\in X $,用$ \beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s $代替$ \beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v) $,可得所要的结论.证毕.

定理4.2  设$ \beta\geq 0, u, v>4. $如果$ f: (X , \|\cdot, \cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|) $是一个偶映射并且对任何$ x, y, z\in X $有

(4.14) $ \begin{equation} \|D_f(x, y), z\|\leq \beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v), \end{equation} $

那么存在惟一的四次映射$ Q: X\rightarrow X $满足方程(1.1),并且对任何的$ x, z\in X $都有

(4.15) $ \begin{equation} \|Q(x)-f(x), z\|\leq \frac{\beta\|x, z\|^u}{2(k^u-k^4)}. \end{equation} $

证  在(4.14)式中,令$ x = y = 0 $,得到对任何$ z\in X $,有$ \|2(k^2 -k^4)f(0), z\| = 0 $.于是$ f(0) = 0 $.在(4.14)式中,令$ y = 0 $,得对任何的$ x, z \in X $,有

(4.16) $ \begin{equation} \|2f(kx)-2k^4f(x), z\|\leq \beta \|x, z\|^u. \end{equation} $

因此,对任何的$ x, z \in X $,有

(4.17) $ \begin{equation} \|f(kx)-k^4f(x), z\|\leq \frac{\beta}{2} \|x, z\|^u \end{equation} $

成立.在(4.17)式中,用$ \frac{x}{k} $代替$ x $,可得对任何$ x, z \in X, $有

(4.18) $ \begin{equation} \left\|f(x)-k^4f\left(\frac{x}{k}\right), z\right\|\leq \frac{\beta}{2k^u} \|x, z\|^u \end{equation} $

成立.在(4.18)式中,用$ \frac{x}{k} $代替$ x $,通过$ k^4 $乘以不等式两侧,可得对任何$ x, z \in X, $有

(4.19) $ \begin{equation} \left\|k^4f\left(\frac{x}{k}\right)-k^{4\cdot 2}f\left(\frac{x}{k^2}\right), z\right\|\leq \frac{\beta k^4}{2k^{2u}} \|x, z\|^u \end{equation} $

成立.由(4.18)和(4.19)式,我们得对任何的$ x, z \in X $,有

$ \begin{eqnarray*} \left\|k^{4\cdot 2}f\left(\frac{x}{k^2}\right)-f(x), z\right\| &\leq& \left\|k^{4\cdot 2}f\left(\frac{x}{k^2}\right)-k^4f\left(\frac{x}{k}\right), z\right\|+\left\|k^4f\left(\frac{x}{k}\right)-f(x), z\right\| \\ &\leq& \frac{\beta k^4}{2k^{2u}} \|x, z\|^u + \frac{\beta}{2k^u} \|x, z\|^u\\ &\leq& \frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\left(k^{2(4-u)}+k^{4-u}\right) \end{eqnarray*} $

成立.通过对$ n $应用归纳法,得对任何的$ x, z \in X $,有

(4.20) $ \begin{eqnarray} \left\|k^{4n}f\left(\frac{x}{k^n}\right)-f(x), z\right\| &\leq& \frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\left(k^{n(4-u)}+k^{(n-1)(4-u)}+\ldots+k^{4-u}\right) \\ & = &\frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\frac{k^{4-u}(1-k^{n(4-u)})}{1-k^{4-u}} \end{eqnarray} $

成立.对$ m, n\in {\Bbb N}, n< m $和任何$ x, z \in X $,得

$ \begin{eqnarray*} \left\|k^{4m}f\left(\frac{x}{k^m}\right)-k^{4n}f\left(\frac{x}{k^n}\right), z\right\| &\leq& \frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\sum\limits_{i = n+1}^mk^{i(4-u)} \nonumber\\ & = & \frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\frac{k^{(n+1)(4-u)}\left[1-k^{(m-n)(4-u)}\right]}{1-k^{4-u}} \end{eqnarray*} $

成立.因为当$ n\rightarrow \infty $时, $ \frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\frac{k^{(n+1)(4-u)}\left[1-k^{(m-n)(4-u)}\right]}{1-k^{4-u}}\rightarrow 0 $,所以对任何$ x\in X $,序列$ \left\{k^{4n}f\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\} $是$ X $中的Cauchy列.由于$ X $是2-Banach空间,对任何的$ x\in X $序列$ \left\{k^{4n}f\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\} $收敛.因此对任何的$ x\in X $,我们能定义映射$ Q: X\rightarrow X $为

(4.21) $ \begin{equation} Q(x): = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}k^{4n}f\left(\frac{x}{k^n}\right). \end{equation} $

由(4.20)式,得对任何$ x, z\in X $,有

(4.22) $ \begin{eqnarray} \|Q(x)-f(x), z\| &\leq& \frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\frac{k^{4-u}}{1-k^{4-u}} = \frac{\beta}{2k^4}\|x, z\|^u\frac{k^4}{k^u-k^4} = \frac{\beta\|x, z\|^u}{2(k^u-k^4)}. \end{eqnarray} $

接下来,我们证明$ Q(x) $满足方程(1.1).通过简单的计算,得对任何的$ x, z\in X $,有

(4.23) $ \begin{eqnarray} \|D_Q(x, y), z\| & = & \lim\limits_{n\rightarrow \infty}k^{4n}\left\|D_f\left(\frac{x}{k^n}, \frac{y}{k^n}\right), z\right\|\\ &\leq & \lim\limits_{n\rightarrow \infty}k^{4n}\beta \left(\left\|\frac{x}{k^n}, z\right\|^u+\left\|\frac{y}{k^n}, z\right\|^v\right) \\ & = & \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\beta \left(k^{n(4-u)}\|x, z\|^u+k^{n(4-v)}\|y, z\|^v\right) \\ & = & 0 \end{eqnarray} $

成立.于是,对任何$ x, y\in X $,有$ D_Q(x, y) = 0 $.由(4.21)式, $ Q(x) $是一个偶映射.由引理3.2,我们得$ Q $是四次的.

假设存在另一个四次映射$ Q':X\rightarrow X $满足方程(1.1)和(4.15)式.因为$ Q $和$ Q' $是四次的,我们得对任何的$ x\in X $,有$ Q(\frac{x}{k^n}) = \frac{1}{k^{4n}}Q(x) $, $ Q'(\frac{x}{k^n}) = \frac{1}{k^{4n}}Q'(x) $.于是,可以证明

$ \begin{eqnarray*} \left\|Q'(x)-Q(x), z\right\| & = & \left\|k^{4n}Q'\left(\frac{x}{k^n}\right)-k^{4n}Q\left(\frac{x}{k^n}\right), z \right\|\nonumber\\ & = & k^{4n}\left\|Q'\left(\frac{x}{k^n}\right)-Q\left(\frac{x}{k^n}\right), z\right\|\nonumber\\ & = & k^{4n}\left\|Q'\left(\frac{x}{k^n}\right)-f\left(\frac{x}{k^n}\right)+f\left(\frac{x}{k^n}\right)-Q\left(\frac{x}{k^n}\right), z\right\|\nonumber\\ &\leq & k^{4n}\left(\left\|Q'\left(\frac{x}{k^n}\right)-f\left(\frac{x}{k^n}\right), z\right\|+\left\|f\left(\frac{x}{k^n}\right)-Q\left(\frac{x}{k^n}\right), z\right\|\right)\nonumber\\ &\leq & k^{4n}\left(\frac{\beta \left\|\frac{x}{k^n}, z\right\|^u}{2(k^u-k^4)}+\frac{\beta \left\|\frac{x}{k^n}, z\right\|^u}{2(k^u-k^4)}\right)\nonumber\\ & = & k^{4n}\frac{\beta k^{-nu}\|x, z\|^u}{k^u-k^4} = \frac{\beta k^{n(4-u)}\|x, z\|^u}{k^u-k^4}. \end{eqnarray*} $

由于当$ n\rightarrow \infty $,有$ \frac{\beta k^{n(4-u)}\|x, z\|^u}{k^u-k^4}\rightarrow 0 $,我们得对任何的$ x\in X $,有$ Q'(x) = Q(x) $.于是$ Q(x) $是惟一的.证毕.

推论4.2  设$ \beta \geq 0, s>0, u, v>4 $, $ (X, \|\cdot\|) $是一个实赋范空间.如果映射$ f: (X, \|\cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|) $是一个偶映射并且对任何的$ x, y, z\in X $满足

(4.24) $ \begin{equation} \|D_f(x, y), z\|\leq \beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s, \end{equation} $

那么存在惟一的四次映射$ Q: X\rightarrow X $满足方程(1.1)并且对任何的$ x, z\in X $,有

(4.25) $ \begin{equation} \|Q(x)-f(x), z\|\leq \frac{\beta \|x\|^u\|z\|^s}{2(k^u-k^4)}. \end{equation} $

证  在定理4.2中,对任何的$ x, y, z\in X $,用$ \beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s $代替$ \beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v) $,我们就得到所要的结论.

定理4.3  设$ \beta\geq 0, 0< u, v<3 $.如果$ f: (X, \|\cdot, \cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|) $是一个奇映射,并且对任何$ x, y, z\in X $满足不等式

(4.26) $ \begin{equation} \|D_f(x, y), z\|\leq \beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v), \end{equation} $

那么存在惟一的三次映射$ C: X\rightarrow X $满足方程(1.1),并且对任何$ x, z\in X $有

(4.27) $ \begin{equation} \|C(x)-f(x), z\|\leq \frac{\beta\|x, z\|^u}{2(k^3-k^u)}. \end{equation} $

证  在(4.26)式中,令$ x = y = 0 $,得对任何的$ z\in X $,有$ \|2(k^2 -k^4)f(0), z\| = 0 $.于是,有$ f(0) = 0 $.在(4.26)式中,令$ y = 0 $并结合$ f $的奇性,得对任何的$ x, z\in X $,有

(4.28) $ \begin{equation} \|2f(kx)-2k^3f(x), z\|\leq \beta\|x, z\|^u \end{equation} $

成立.因此,对任何$ x, z\in X $,我们有

(4.29) $ \begin{equation} \left\|\frac{f(kx)}{k^3}-f(x), z\right\|\leq \frac{\beta}{2k^3}\|x, z\|^u \end{equation} $

成立.在(4.29)式中,用$ kx $代替$ x $并在两侧同时除以$ k^3 $,得对任何的$ x, z\in X $,有

(4.30) $ \begin{equation} \left\|\frac{f(k^2x)}{k^{3\cdot 2}}-\frac{f(kx)}{k^3}, z\right\|\leq \frac{\beta k^u}{2k^{3\cdot2}}\|x, z\|^u \end{equation} $

成立.结合(4.29)和(4.30)式,我们得对任何的$ x, z\in X $,有

(4.31) $ \begin{equation} \left\|\frac{f(k^2x)}{k^{3\cdot2}}-f(x), z\right\|\leq \frac{\beta}{2k^3}\|x, z\|^u\left(1+\frac{k^u}{k^3}\right) \end{equation} $

成立.通过对$ n $应用归纳法,我们能证明对任何的$ x, z\in X $,有

(4.32) $ \begin{eqnarray} \left\|\frac{f(k^nx)}{k^{3n}}-f(x), z\right\| &\leq & \frac{\beta}{2k^3}\|x, z\|^u\sum\limits_{i = 0}^{n-1}k^{i(u-3)} = \frac{\beta}{2k^3}\|x, z\|^u\left(\frac{1-k^{n(u-3)}}{1-k^{u-3}}\right) \end{eqnarray} $

成立.对$ m, n\in {\Bbb N} $和$ n<m $,得对任何的$ x, z\in X $,有

(4.33) $ \begin{eqnarray} \left\|\frac{f(k^mx)}{k^{3m}}-\frac{f(k^nx)}{k^{3n}}, z\right\| &\leq & \frac{\beta}{2k^3}\|x, z\|^u\sum\limits_{i = n}^{m-1}k^{i(u-3)}\\ & = & \frac{\beta}{2k^3}\|x, z\|^u\frac{k^{n(u-3)}\left(1-k^{(m-n)(u-3)}\right)}{1-k^{u-3}} \end{eqnarray} $

成立.在(4.33)式中,由于当$ n\rightarrow \infty $时,有$ \frac{\beta}{2k^3}\|x, z\|^u\frac{k^{n(u-3)}\left(1-k^{(m-n)(u-3)}\right)}{1-k^{u-3}}\rightarrow 0 $,所以对任何的$ x \in X $,序列$ \left\{\frac{f(k^nx)}{k^{3n}}\right\} $是$ X $中的Cauchy列.因为$ X $是2-Banach空间,对每一个$ x \in X $,序列$ \left\{\frac{f(k^nx)}{k^{3n}}\right\} $在$ X $中是收敛的.对每一个$ x \in X $,定义映射$ C: X\rightarrow X $为

(4.34) $ \begin{equation} C(x): = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{f(k^nx)}{k^{3n}}. \end{equation} $

由(4.32)式,对任何的$ x, z\in X $,我们得

(4.35) $ \begin{eqnarray} \|C(x)-f(x), z\| &\leq & \frac{\beta}{2k^3}\|x, z\|^u\frac{1}{1-k^{u-3}} = \frac{\beta}{2k^3}\|x, z\|^u\frac{k^3}{k^3-k^u} = \frac{\beta\|x, z\|^u}{2(k^3-k^u)} \end{eqnarray} $

成立.

下面,我们证明$ C(x) $满足方程(1.1).由(4.1), (4.26)和(4.34)式,得对任何$ x, z\in X $,我们有

$ \begin{eqnarray*} \|D_C(x, y), z\| & = & \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{k^{3n}}\left\|D_f(k^nx, k^ny), z\right\|\\ &\leq & \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{k^{3n}}\beta \left(\|k^nx, z\|^u+\|k^ny, z\|^v\right) \\ & = & \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\beta \left(k^{n(u-3)}\|x, z\|^u+k^{n(v-3)}\|y, z\|^v\right) \\ & = & 0 \end{eqnarray*} $

成立.因此,对任何的$ x, y\in X $,有$ D_C(x, y) = 0 $.由(4.34)式, $ C(x) $是一个奇映射.应用引理3.1,我们得到$ C $是三次的.

为了证明$ C $是惟一的,我们假设存在另一个三次映射$ C':X\rightarrow X $满足方程(1.1)和(4.27)式.因为$ C $和$ C' $都是三次的,对任何的$ x\in X $,我们有$ C(k^nx) = k^{3n}C(x) $, $ C'(k^nx) = k^{3n}C'(x) $.于是,有

$ \begin{eqnarray*} \left\|C'(x)-C(x), z\right\| & = & \left\|\frac{1}{k^{3n}}C'(k^nx)-\frac{1}{k^{3n}}C(k^nx), z \right\|\nonumber\\ & = & \frac{1}{k^{3n}}\left\|C'(k^nx)-C(k^nx), z\right\|\nonumber\\ & = & \frac{1}{k^{3n}}\left\|C'(k^nx)-f(k^nx)+f(k^nx)-C(k^nx), z\right\|\nonumber\\ &\leq & \frac{1}{k^{3n}}\left(\left\|C'(k^nx)-f(k^nx), z\right\|+\left\|f(k^nx)-C(k^nx), z\right\|\right)\nonumber\\ &\leq & \frac{1}{k^{3n}}\left(\frac{\beta \|k^nx, z\|^u}{2(k^3-k^u)}+\frac{\beta \|k^nx, z\|^u}{2(k^3-k^u)}\right)\nonumber\\ & = & \frac{1}{k^{3n}}\frac{\beta k^{nu}\|x, z\|^u}{k^3-k^u} = \frac{\beta k^{n(u-3)}\|x, z\|^u}{k^3-k^u}, \end{eqnarray*} $

这里当$ n \rightarrow \infty $时,有$ \frac{\beta k^{n(u-3)}\|x, z\|^u}{k^3-k^u} \rightarrow 0 $.因此对任何的$ x\in X $,有$ C'(x) = C(x) $,得$ C(x) $是惟一的.证毕.

推论4.3  设$ \beta \geq 0, s>0, 0<u, v<3 $, $ (X, \|\cdot\|) $是一个实赋范空间.如果$ f: (X, \|\cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|) $是一个奇映射并且对任何的$ x, y, z\in X $满足不等式

(4.36) $ \begin{equation} \|D_f(x, y), z\|\leq \beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s, \end{equation} $

那么就存在惟一的三次映射$ C: X\rightarrow X $满足方程(1.1),并且对任何的$ x, z\in X $,有

(4.37) $ \begin{equation} \|C(x)-f(x), z\|\leq \frac{\beta \|x\|^u\|z\|^s}{2(k^3-k^u)}. \end{equation} $

证  在定理4.3中,用$ \beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s $代替$ \beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v) $,我们就得到所要的结果.

定理4.4  设$ \beta\geq 0, u, v>3. $如果$ f: (X, \|\cdot, \cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|) $是一个奇映射并且对任何的$ x, y, z\in X $满足不等式

(4.38) $ \begin{equation} \|D_f(x, y), z\|\leq \beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v), \end{equation} $

那么存在惟一的三次映射$ C: X\rightarrow X $满足方程(1.1),并且对任何的$ x, z\in X $有

(4.39) $ \begin{equation} \|C(x)-f(x), z\|\leq \frac{\beta\|x, z\|^u}{2(k^u-k^3)}. \end{equation} $

证  在(4.38)式中,令$ x = y = 0 $,得对任何的$ z\in X $有$ \|2(k^2 -k^4)f(0), z\| = 0 $.于是,我们得$ f(0) = 0 $.在(4.38)式中,令$ y = 0 $,得对任何的$ x, z \in X $有

(4.40) $ \begin{equation} \|2f(kx)-2k^3f(x), z\|\leq \beta \|x, z\|^u \end{equation} $

成立.因此,对任何的$ x, z \in X $有

(4.41) $ \begin{equation} \|f(kx)-k^3f(x), z\|\leq \frac{\beta}{2} \|x, z\|^u \end{equation} $

成立.在(4.41)式中,用$ \frac{x}{k} $代替$ x $,我们得对任何的$ x, z \in X $有

(4.42) $ \begin{equation} \left\|f(x)-k^3f\left(\frac{x}{k}\right), z\right\|\leq \frac{\beta}{2k^u} \|x, z\|^u \end{equation} $

成立.在(4.42)式中,若用$ \frac{x}{k} $代替$ x $,得对任何的$ x, z \in X $有

(4.43) $ \begin{equation} \left\|f\left(\frac{x}{k}\right)-k^3f\left(\frac{x}{k^2}\right), z\right\|\leq \frac{\beta}{2k^{2u}} \|x, z\|^u \end{equation} $

成立.在(4.43)式的两侧同时乘以$ k^3 $,得对任何的$ x, z \in X $有

(4.44) $ \begin{equation} \left\|k^3f\left(\frac{x}{k}\right)-k^{3\cdot 2}f\left(\frac{x}{k^2}\right), z\right\|\leq \frac{\beta k^3}{2k^{2u}} \|x, z\|^u. \end{equation} $

通过对$ n $应用归纳法,我们能证明对任何$ x, z \in X $,有

(4.45) $ \begin{equation} \left\|k^{3(n-1)}f\left(\frac{x}{k^{n-1}}\right)-k^{3n}f\left(\frac{x}{k^n}\right), z\right\|\leq \frac{\beta k^{3n}}{2k^3\cdot k^{nu}} \|x, z\|^u \end{equation} $

成立.因此,对任何的$ x, z \in X $,有

(4.46) $ \begin{equation} \left\|f(x)-k^{3n}f\left(\frac{x}{k^n}\right), z\right\|\leq \frac{\beta \left(1-k^{n(3-u)}\right)}{2(k^u-k^3)} \|x, z\|^u. \end{equation} $

由(4.45)式,我们可得对任何的$ x, z \in X $,有

(4.47) $ \begin{equation} \left\|k^{3m}f\left(\frac{x}{k^m}\right)-k^{3n}f\left(\frac{x}{k^n}\right), z\right\|\leq \frac{\beta}{2k^3} \|x, z\|^u\frac{k^{(n+1)(3-u)}\left(1-k^{(m-n)(3-u)}\right)}{1-k^{3-u}}. \end{equation} $

当$ n\rightarrow \infty $,有$ \frac{k^{(n+1)(3-u)}\left(1-k^{(m-n)(3-u)}\right)}{1-k^{3-u}}\rightarrow 0 $.因此,对任何的$ x\in X $,序列$ \left\{k^{3n}f\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\} $是$ X $中的Cauchy列.因为$ X $是2-Banach空间,对每一个$ x\in X $,序列$ \left\{k^{3n}f\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\} $是收敛的.因此,对任何的$ x\in X $我们能定义映射$ C: X\rightarrow X $为

(4.48) $ \begin{equation} C(x): = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}k^{3n}f\left(\frac{x}{k^n}\right). \end{equation} $

由(4.46)式,得对任何的$ x, z\in X $有

$ \begin{eqnarray*} \|f(x)-C(x), z\|&\leq& \frac{\beta\|x, z\|^u}{2(k^u-k^3)} \end{eqnarray*} $

成立.现在,我们证明$ C(x) $满足方程(1.1).由(4.1), (4.38)和(4.48)式,我们得对任何的$ x, y, z\in X $有

(4.49) $ \begin{eqnarray} \|D_C(x, y), z\| & = & \lim\limits_{n\rightarrow \infty}k^{3n}\left\|D_f\left(\frac{x}{k^n}, \frac{y}{k^n}\right), z\right\|\\ &\leq & \lim\limits_{n\rightarrow \infty}k^{3n}\beta \left(\left\|\frac{x}{k^n}, z\right\|^u+\left\|\frac{y}{k^n}, z\right\|^v\right) \\ & = & \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\beta \left(k^{n(3-u)}\|x, z\|^u+k^{n(3-v)}\|y, z\|^v\right) \\ & = & 0. \end{eqnarray} $

因此,对任何的$ x, y\in X $有$ D_C(x, y) = 0 $.由(4.48)式, $ C(x) $是一个奇映射.由引理3.1,我们得$ C $是三次的.

为了证明$ C $的惟一性,设映射$ C': X\rightarrow X $是另一个满足方程(1.1)和(4.39)式的三次映射.由于$ C $和$ C' $都是三次的,我们得对任何的$ x\in X $,有$ C(\frac{x}{k^n}) = \frac{1}{k^{3n}}C(x) $和$ C'(\frac{x}{k^n}) = \frac{1}{k^{3n}}C'(x) $成立.这就证明了

$ \begin{eqnarray*} \left\|C'(x)-C(x), z\right\| & = & \left\|k^{3n}C'\left(\frac{x}{k^n}\right)-k^{3n}C\left(\frac{x}{k^n}\right), z \right\|\nonumber\\ & = & k^{3n}\left\|C'\left(\frac{x}{k^n}\right)-C\left(\frac{x}{k^n}\right), z\right\|\nonumber\\ & = & k^{3n}\left\|C'\left(\frac{x}{k^n}\right)-f\left(\frac{x}{k^n}\right)+f\left(\frac{x}{k^n}\right)-C\left(\frac{x}{k^n}\right), z\right\|\nonumber\\ &\leq & k^{3n}\left(\left\|C'\left(\frac{x}{k^n}\right)-f\left(\frac{x}{k^n}\right), z\right\|+\left\|f\left(\frac{x}{k^n}\right)-C\left(\frac{x}{k^n}\right), z\right\|\right)\nonumber\\ &\leq & k^{3n}\left(\frac{\beta \left\|\frac{x}{k^n}, z\right\|^u}{2(k^u-k^3)}+\frac{\beta \left\|\frac{x}{k^n}, z\right\|^u}{2(k^u-k^3)}\right)\nonumber\\ & = & k^{3n}\frac{\beta k^{-nu}\|x, z\|^u}{k^u-k^3} = \frac{\beta k^{n(3-u)}\|x, z\|^u}{k^u-k^3}. \end{eqnarray*} $

因为当$ n\rightarrow \infty $,有$ \frac{\beta k^{n(3-u)}\|x, z\|^u}{k^u-k^3}\rightarrow 0 $,得对任何的$ x\in X $,有$ C'(x) = C(x) $.于是$ C(x) $是惟一的.

推论4.4  设$ \beta \geq 0, s>0, u, v>3 $, $ (X, \|\cdot\|) $是一实赋范空间.如果$ f: (X, \|\cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|) $是一个奇映射,并且对任何的$ x, y, z\in X $满足不等式

(4.50) $ \begin{equation} \|D_f(x, y), z\|\leq \beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s, \end{equation} $

那么存在惟一的三次映射$ C: X\rightarrow X $满足方程(1.1),并且对任何的$ x, z\in X $有

(4.51) $ \begin{equation} \|C(x)-f(x), z\|\leq \frac{\beta \|x\|^u\|z\|^s}{2(k^u-k^3)}. \end{equation} $

证  在定理4.4中,用$ \beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s $代替$ \beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v) $,可得所要的结论.证毕.

定理4.5  设$ \beta\geq 0 $, $ 0< u, v<3 $.如果$ f: (X, \|\cdot, \cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|) $对任何的$ x, y, z\in X $都满足不等式

(4.52) $ \begin{equation} \|D_f(x, y), z\|\leq \beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v), \end{equation} $

那么存在惟一的四次映射$ Q: X\rightarrow X $和惟一的三次映射$ C: X\rightarrow X $都满足方程(1.1),并且对任何的$ x, z\in X $有

(4.53) $ \begin{equation} \|f(x)-Q(x)-C(x), z\|\leq \frac{\beta\|x, z\|^u}{2}\left(\frac{1}{k^4-k^u}+\frac{1}{k^3-k^u}\right). \end{equation} $

证  在(4.52)式中,令$ x = y = 0 $,得对任何的$ z\in X $有$ \|2(k^2 -k^4)f(0), z\| = 0 $.于是得$ f(0) = 0 $.定义$ f_e: X\rightarrow X $为$ f_e(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} $,定义$ f_o: X\rightarrow X $为$ f_o(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2} $.明显地, $ f_e $是一个偶映射, $ f_o $是一个奇映射.由$ f(0) = 0 $,我们得$ f_e(0) = 0 $和$ f_o(0) = 0 $.

对任何的$ x, y, z\in X $,我们有

(4.54) $ \begin{equation} \|D_{f_e}(x, y), z\|\leq \beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v) \end{equation} $

和

(4.55) $ \begin{equation} \|D_{f_o}(x, y), z\|\leq \beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v). \end{equation} $

由定理4.1,存在惟一的四次映射$ Q: X\rightarrow X $满足方程(1.1),并且对任何的$ x, z\in X $,有不等式

(4.56) $ \begin{equation} \|f_e(x)-Q(x), z\|\leq \frac{\beta\|x, z\|^u}{2(k^4-k^u)} \end{equation} $

成立.

由定理4.3,存在惟一的三次映射$ C: X\rightarrow X $满足方程(1.1),并且对任何的$ x, z\in X $,有不等式

(4.57) $ \begin{equation} \|f_o(x)-C(x), z\|\leq \frac{\beta\|x, z\|^u}{2(k^3-k^u)} \end{equation} $

成立.

由(4.56)和(4.57)式,我们得对任何的$ x, z\in X $有

$ \begin{eqnarray*} \left\|f(x)-Q(x)-C(x), z\right\| & = & \left\|f_e(x)+f_o(x)-Q(x)-C(x), z \right\|\nonumber\\ &\leq& \left\|f_e(x)-Q(x), z \right\|+\left\|f_o(x)-C(x), z \right\|\nonumber\\ &\leq & \frac{\beta \left\|x, z\right\|^u}{2(k^4-k^u)}+\frac{\beta \left\|x, z\right\|^u}{2(k^3-k^u)}\nonumber\\ & = & \frac{\beta\|x, z\|^u}{2}\left(\frac{1}{k^4-k^u}+\frac{1}{k^3-k^u}\right). \end{eqnarray*} $

定理4.5证毕.

推论4.5  设$ \beta \geq 0, s>0, 0<u, v<3 $, $ (X, \|\cdot\|) $是一实赋范空间.如果对任何的$ x, y, z\in X $,映射$ f: (X, \|\cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|) $满足不等式

(4.58) $ \begin{equation} \|D_f(x, y), z\|\leq \beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s, \end{equation} $

那么存在惟一的四次映射$ Q: X\rightarrow X $和惟一的三次映射$ C: X\rightarrow X $都满足方程(1.1),并且对任何的$ x, z\in X $有

(4.59) $ \begin{equation} \|f(x)-Q(x)-C(x), z\|\leq \frac{\beta\|x\|^u\|z\|^s}{2}\left(\frac{1}{k^4-k^u}+\frac{1}{k^3-k^u}\right). \end{equation} $

证  在定理4.5中,用$ \beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s $代替$ \beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v) $,并应用推论4.1和推论4.3,可得所要的结论.证毕.

定理4.6  设$ \beta\geq 0, u, v>4, $对任何的$ x, y, z\in X $,映射$ f: (X, \|\cdot, \cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|) $满足不等式

(4.60) $ \begin{equation} \|D_f(x, y), z\|\leq \beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v), \end{equation} $

那么存在惟一的四次映射$ Q: X\rightarrow X $和惟一的三次映射$ C: X\rightarrow X $都满足方程(1.1),并且对任何的$ x, z\in X $有

(4.61) $ \begin{equation} \|f(x)-Q(x)-C(x), z\|\leq \frac{\beta\|x, z\|^u}{2}\left(\frac{1}{k^u-k^4}+\frac{1}{k^u-k^3}\right). \end{equation} $

证  在(4.60)式中,令$ x = y = 0 $,得对任何的$ z\in X $有$ \|2(k^2 -k^4)f(0), z\| = 0 $.我们得$ f(0) = 0 $.定义$ f_e: X\rightarrow X $为$ f_e(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} $,定义$ f_o: X\rightarrow X $为$ f_o(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2} $.容易看到, $ f_e $是一个偶映射, $ f_o $是一个奇映射.由$ f(0) = 0 $,我们得$ f_e(0) = f_o(0) = 0 $.

由(4.60)和(4.1)式,得对任何的$ x, y, z\in X $有

(4.62) $ \begin{equation} \|D_{f_e}(x, y), z\|\leq \beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v) \end{equation} $

和

(4.63) $ \begin{equation} \|D_{f_o}(x, y), z\|\leq \beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v) \end{equation} $

成立.

由定理4.2,存在惟一的四次映射$ Q: X\rightarrow X $满足方程(1.1),并且对任何的$ x, z\in X $,有

(4.64) $ \begin{equation} \|f_e(x)-Q(x), z\|\leq \frac{\beta\|x, z\|^u}{2(k^u-k^4)} \end{equation} $

成立.

由定理4.4,存在惟一的三次映射$ C: X\rightarrow X $满足方程(1.1),并且对任何的$ x, z\in X $,有

(4.65) $ \begin{equation} \|f_o(x)-C(x), z\|\leq \frac{\beta\|x, z\|^u}{2(k^u-k^3)} \end{equation} $

成立.

由(4.64)和(4.65)式,我们得对任何的$ x, z\in X $,有

$ \begin{eqnarray*} \left\|f(x)-Q(x)-C(x), z\right\| & = & \left\|f_e(x)+f_o(x)-Q(x)-C(x), z \right\|\nonumber\\ &\leq& \left\|f_e(x)-Q(x), z \right\|+\left\|f_o(x)-C(x), z \right\|\nonumber\\ &\leq & \frac{\beta \left\|x, z\right\|^u}{2(k^u-k^4)}+\frac{\beta \left\|x, z\right\|^u}{2(k^u-k^3)}\nonumber\\ & = & \frac{\beta\|x, z\|^u}{2}\left(\frac{1}{k^u-k^4}+\frac{1}{k^u-k^3}\right) \end{eqnarray*} $

成立.证毕.

推论4.6  设$ \beta \geq 0, s>0, u, v>4 $, $ (X, \|\cdot\|) $是一实赋范空间.如果对任何的$ x, y, z\in X $,映射$ f: (X, \|\cdot\|)\rightarrow (X, \|\cdot, \cdot\|) $满足不等式

(4.66) $ \begin{equation} \|D_f(x, y), z\|\leq \beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s, \end{equation} $

那么存在惟一的四次映射$ Q: X\rightarrow X $和惟一的三次映射$ C: X\rightarrow X $都满足方程(1.1),并且对任何的$ x, z\in X $有

(4.67) $ \begin{equation} \|f(x)-Q(x)-C(x), z\|\leq \frac{\beta\|x\|^u\|z\|^s}{2}\left(\frac{1}{k^u-k^4}+\frac{1}{k^u-k^3}\right). \end{equation} $

证  在定理4.6中,用$ \beta(\|x\|^u+\|y\|^v)\|z\|^s $代替$ \beta(\|x, z\|^u+\|y, z\|^v) $,并应用推论4.2和推论4.4,可得该结论.证毕.

最后,我们给出一个例子来说明以上理论结果的有效性.

例4.1  容易看到,在$ {\Bbb R}^2 $上定义范数

$ \|(x_1, x_2), (y_1, y_2)\| = |x_1y_2 -x_2y_1|, \ \ (x_1, x_2), (y_1, y_2)\in {\Bbb R}^2, $

空间$ ({\Bbb R}^2, \|\cdot, \cdot\|) $就是一个2-Banach空间.

在空间$ ({\Bbb R}^2, \|\cdot, \cdot\|) $上,取映射$ f(\xi, \eta) = (\xi-\eta, \xi+\eta) $.当$ k = 2 $时,对任何的$ x = (x_1, x_2), y = (y_1, y_2)\in({\Bbb R}^2, \|\cdot, \cdot\|) $,由简单计算得

$ D_f(x, y) = (-12x_1, -12x_2). $

对任何的$ z = (z_1, z_2)\in({\Bbb R}^2, \|\cdot, \cdot\|) $,我们有

$ \begin{eqnarray*} \left\|D_f(x, y), z\right\| & = & \|(-12x_1, -12x_2), (z_1, z_2)\| = |-12x_1z_2+12x_2z_1| \\ & = & 12|x_1z_2 -x_2z_1| = 12\|x, z\| \leq 12(\|x, z\|+\|y, z\|). \end{eqnarray*} $

这样, $ \!\!f $就满足定理{4.3}的条件,这里$ \beta = 12, u = 1, v = 1. $因此存在惟一的三次映射$ C: ({\Bbb R}^2, \|\cdot, \cdot\|)\rightarrow({\Bbb R}^2, \|\cdot, \cdot\|) $满足方程(1),并且对任何的$ x, z\in ({\Bbb R}^2, \|\cdot, \cdot\|), $有

$ \|C(x)-f(x), z\|\leq\|x, z\|. $

类似地,我们也能构造一些与其它主要结果相关的例子.