研究如下二阶左定Sturm-Liouville方程

其中系数函数$p$, $q$, $w$满足条件

这里${{\Bbb R}}$为实数集, $L_{loc}({{\Bbb R}}, {{\Bbb R}} )$是指区间${{\Bbb R}}$上的实值Lebesgue可积函数全体构成的空间.方程(1)的系数为周期系数,即$\exists h\in{{\Bbb R}}$, $0<h<\infty$,系数满足:

对于$\gamma\in(0, \pi)$, $K = I$,复共轭边界条件为:

对任意$a\in{{\Bbb R}}$,第$k$ -区间$[a, a+kh]$, $k\in{\Bbb N} = \{1, 2, 3, \cdots \}$,边界条件为

其中当$\gamma = 0$且$K = I$时,条件(5)为周期边界条件;当$\gamma = 0$且$K = -I$或$\gamma = \pi$且$K = I$时,条件(5)为半周期边界条件.

Yuan等人在文献[1-2]中给出了具有周期边界条件的右定问题在区间$[a, a+kh]$上的周期和半周期特征值,并得到了特征值不等式,本文根据左定问题与右定问题的关系,给出了左定问题周期特征值的相关结论.

此外, Kong等人在文献[3]中阐明了左定的判定条件,无论边界条件是分离的还是耦合的,方程(1)是左定的当且仅当在同种边界条件下,方程

的最小特征值是正的.为了方便研究左定问题,引入了一个含有两参数的二阶微分方程:

此方程通过“特征曲线”将左定问题与右定问题联系起来,本文对于具有周期系数的左定问题也能转化成同系数的右定问题来分析,其中右定问题参考文献[4-8],周期问题参考文献[9-12]. Kong等人在文献[3]中指出方程(1)与其相应的边界条件组成的Sturm-Liouville问题是左定问题的充要条件为相同边界条件下方程(7)中的$\xi_{0}(0)>0$,即当$\lambda = 0$时,方程(7)的最小特征值是正的.并且若方程(1)是左定的,则存在$n\in{\Bbb N}_{0} = \{0, 1, 2, 3, \cdots \}$,使得其特征值是$\xi_{n}(\lambda) = 0$的根.

通过左定问题与右定问题的联系,结合具有周期系数的右定问题的特征值情况,本文首先在第2节中确切地描述了关于具有周期系数的左定问题在区间$[a, a+kh]$上的周期和半周期特征值.此后在第3节中分别给出了在此区间上的周期和半周期特征值不等式及一一对应关系,最后在第4节中给出几个相关例子加以说明.

对于左定问题, $n\in{\Bbb N}_{0}$, $k\in{\Bbb N}$,设$\lambda_{\pm n}(\gamma)$是复共轭边界条件下的特征值, $\lambda^{P}_{\pm n}(k)$和$\lambda^{S}_{\pm n}(k)$分别为周期和半周期特征值.可以确定$\lambda_{\pm n}(\gamma)$的重数为$1$,但$\lambda^{P}_{\pm n}(k)$和$\lambda^{S}_{\pm n}(k)$重数可能为$1$或$2$.这里几何重数和代数重数是相等的,因此这里的重数可以是二者中的任意一个.

对于$a\in{{\Bbb R}}$, $\xi\in{\Bbb C}$,定义(7)式的两个线性无关解$u = u(\cdot, \xi)$, $v = v(\cdot, \xi)$,并满足初始条件

并令

方程(7)与下面的一阶系统等价:

这里由(3)式可知系数$p$, $q$, $w$是周期的,故$|w|$和$P$也是周期的.我们令$q_{1} = q-\lambda w$,则

而文献[1]中

把$(2.2)$式中的$q_{1}$看作$(2.3)$式的$q$, $\xi$看作$\lambda$, $|w|$看作$w$,这样能得到区间$[a, a+kh]$上的周期特征值$\xi_{n}^{P}(k, \lambda)$和半周期特征值$\xi_{n}^{S}(k, \lambda)$,两者都是关于$\lambda$的连续函数.下面我们研究对任意$n\in{\Bbb N}_{0}$, $k\in{\Bbb N}$, $k>1$时在区间$[a, a+kh]$上的每个特征值$\xi_{n}^{P}$, $\xi_{n}^{S}$都是$[a, a+h]$上复共轭边界条件下的特征值.下面两个定理阐述了对于$k>1$, $\gamma\in(0, \pi)$在区间$[a, a+h]$上复共轭边界条件下哪些$\gamma$值能产生区间$[a, a+kh]$上的周期和半周期特征值.

引理2.1$^{[1]}$  假设条件(3)成立,令$k\in{\Bbb N}$且令$D(\xi) = u(a+h, \xi)+(pv')(a+h, \xi)$,则方程(7)在${{\Bbb R}}$上有$kh$ -周期解当且仅当

其中$l\in{\Bbb Z} = \{\cdots , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots \}$.进一步,

(1)若$k = 2s$, $s>1$, $\gamma = 2l\pi/2s$, $l = 1, \cdots , s-1$,且对某个$n\in{\Bbb N}_{0}$,有$\xi = \xi_{n}(\gamma)$,则$\xi$是区间$[a, a+kh]$上重数为$2$的周期特征值,对应的特征函数可以扩展为整个${{\Bbb R}}$上的周期解.

(2)若$k = 2s+1$, $s\geq1$, $\gamma = 2l\pi/(2s+1)$, $l = 1, \cdots , s$,且对某个$n\in{\Bbb N}_{0}$,有$\xi = \xi_{n}(\gamma)$,则$\xi$是区间$[a, a+kh]$上重数为$2$的周期特征值,对应的特征函数可以扩展为整个${{\Bbb R}}$上的周期解.

引理2.2$^{[1]}$  假设条件(3)成立,令$k\in{\Bbb N}$且令$D(\xi) = u(a+h, \xi)+(pv')(a+h, \xi)$,则方程(7)在${{\Bbb R}}$上有$kh$ -半周期解当且仅当

其中$l\in{\Bbb Z} = \{\cdots , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots \}$.进一步,有

(1)若$k = 2s$, $s\geq1$, $\gamma = (2l+1)\pi/2s$, $l = 1, \cdots , s-1$,且对某个$n\in{\Bbb N}_{0}$,有$\xi = \xi_{n}(\gamma)$,则$\xi$是区间$[a, a+kh]$上重数为$2$的半周期特征值.

(2)若$k = 2s+1$, $s\geq1$, $\gamma = (2l+1)\pi/(2s+1)$, $l = 1, \cdots , s-1$,且对某个$n\in{\Bbb N}_{0}$,有$\xi = \xi_{n}(\gamma)$,则$\xi$是区间$[a, a+kh]$上重数为$2$的半周期特征值.

对$k\in{\Bbb N}$, $n\in{\Bbb N}_{0}$,令

这里$\xi_{n}^{P}(k, \lambda)$和$\xi_{n}^{S}(k, \lambda)$分别是(7)式在区间$[a, a+kh]$上的周期和半周期特征值,而$\xi_{n}(\gamma, \lambda)$表示(7)式在区间$[a, a+kh]$上的复共轭边界条件下的特征值.其中$\xi_{n}^{P}(k, \lambda)$, $\xi_{n}^{S}(k, \lambda)$和$\xi_{n}(\gamma, \lambda)$都是分别关于$\lambda_{\pm n}^{P}(k)$, $\lambda_{\pm n}^{S}(k)$和$\lambda_{\pm n}(\gamma)$的连续函数. $\lambda_{\pm n}^{P}(k)$, $\lambda_{\pm n}^{S}(k)$和$\lambda_{\pm n}(\gamma)$分别是$\xi_{n}^{P}(k, \lambda) = 0$, $\xi_{n}^{S}(k, \lambda) = 0$和$\xi_{n}(\gamma, \lambda) = 0$的正负根.由文献[3,注3.1]可知,对于任意$k\in{\Bbb N}$, $\xi_{n}^{P}(k, \lambda)$, $\xi_{n}^{S}(k, \lambda)$和$\xi_{n}(\gamma, \lambda)$满足下列不等式:

由文献[3,注3.1],方程(1)是左定问题,因此对于任意$k\in{\Bbb N}$,则有$\xi_{n}^{P}(k, 0)>0$, $\xi_{n}^{S}(k, 0)>0$且$\xi_{n}(\gamma, 0)>0$.

定理2.1  对每一个$k = 2s$, $s>1$和$k = 2s+1$, $s>0$,则有

特别地,对$k = 1$时,有

证  对于$k\in{\Bbb N}$,由引理$2.1$,方程(7)有周期为$kh$的非平凡解的充要条件为$D(\xi) = 2\cos(2l\pi/k)$,因此存在一个实值$\gamma = 2l\pi/k\in(0, \pi)$使得$\xi_{n}(2l\pi/k, \lambda)$是周期特征值.并且对于$k = 2s$, $s>1$和$k = 2s+1$, $s>0$,有

由文献[3,注3.1],方程(1)有周期为$kh$的非平凡解的充要条件为存在$\gamma = 2l\pi/k\in(0, \pi)$使得$\lambda_{\pm n}^{P}(k)$是周期特征值$\xi_{n}^{P}(k, \lambda) = 0$的根且$\lambda_{\pm n}(\gamma)$是$\xi_{n}(\gamma, \lambda) = 0$的根.因此有

特别地，对于$k = 1$,我们有$\xi_{n}^{P}(1, \lambda) = \xi_{n}(0, \lambda)$,则有$P_{\xi}(1) = \Gamma_{\xi}(0) = \{\xi_{n}^{P}(1) = \xi_{n}^{P}:n\in{\Bbb N}_{0}\}$.由于$\lambda_{\pm n}^{P}(1)$和$\lambda_{\pm n}(0)$分别是$\xi_{n}^{P}(1, \lambda) = 0$和$\xi_{n}(0, \lambda) = 0$的根,因此有

定理2.1证毕.

在定理$2.1$中,当$k = 2$是特殊的,因为对于$k = 2$没有对应$\gamma\in(0, \pi)$的周期特征值,对于$k>2$,至少存在一个这样的$\gamma\in(0, \pi)$.显然,若$\lambda$是区间$[a, a+h]$上的周期特征值,则$\lambda$也是区间$[a, a+2h]$上的周期特征值.同样地,若$\lambda$是$[a, a+h]$上的半周期特征值,则$\lambda$也是区间$[a, a+2h]$上的周期特征值.下面的推论告诉我们反过来结论依然成立:若$\lambda$是区间$[a, a+2h]$上的周期特征值,则$\lambda$是区间$[a, a+h]$上的周期或半周期特征值.

推论2.1  若定理$2.1$中的条件成立，则有

证  由$P_{\lambda}(k)$的表达式可知

无论$k$取何值, ${\lambda}_{\pm0}^{P}(k) = \lambda_{\pm0}$.证毕.

推论2.2  若定理$2.1$中的条件成立,则有

定理2.2  对每一个$k = 2s$, $s>1$和$k = 2s+1$, $s>0$,则有

特别地,对$k = 1$时,有

证  对于$k\in{\Bbb N}$,由引理$2.2$,方程(7)有半周期为$kh$的非平凡解的充要条件为$D(\xi) = 2\cos((2l+1)\pi/k)$,因此存在一个实值$\gamma = (2l+1)\pi/k\in(0, \pi)$使得$\xi_{n}((2l+1)\pi/k, \lambda)$是半周期特征值.并且对于$k = 2s$, $s>1$和$k = 2s+1$, $s>0$,有

由文献[3,注3.1],方程(1)有半周期为$kh$的非平凡解的充要条件为存在$\gamma = (2l+1)\pi/k\in(0, \pi)$使得$\lambda_{\pm n}^{S}(k)$是半周期特征值$\xi_{n}^{S}(k, \lambda) = 0$的根且$\lambda_{\pm n}(\gamma)$是$\xi_{n}(\gamma, \lambda) = 0$的根.因此有

特别地,对于$k = 1$,我们有$\xi_{n}^{S}(1, \lambda) = \xi_{n}(\pi, \lambda)$,则有$S_{\xi}(1) = \Gamma_{\xi}(\pi) = \{\xi_{n}^{S}(1) = \xi_{n}^{S}:n\in{\Bbb N}_{0}\}$.由于$\lambda_{\pm n}^{S}(1)$和$\lambda_{\pm n}(\pi)$分别是$\xi_{n}^{S}(1, \lambda) = 0$和$\xi_{n}(\pi, \lambda) = 0$的根,因此有

定理2.2证毕.

下面两个定理给出$P_{\lambda}(k) = \bigcup\limits_{n = 0}^{\infty}\lambda_{\pm n}^{P}(k)$, $S_{\lambda}(k) = \bigcup\limits_{n = 0}^{\infty}\lambda_{\pm n}^{S}(k)$和$\Gamma_{\lambda}(\gamma) = \bigcup\limits_{n = 0}^{\infty}\lambda_{\pm n}(\gamma)$间的不等式关系.对于区间$[a, a+kh]$上的周期特征值,有如下定理.

定理3.1  对任意的$k>2$,令

(1)若$k = 2s$, $s>1$,则

因此有

(2)若$k = 2s+1$, $s>1$,则

因此有

证  已知方程(1)是左定的,由文献[3,注3.1]可知,对于任意的$k\in{\Bbb N}$, $\xi_{0}^{P}(k, 0)>0$,因此我们有$\xi_{0}^{P}(0, 0)>0$.若$k = 2s$,由文献[1]有

由文献[4]知对任意$n\in{\Bbb N}_{0}$,有

由$\xi_{n}(\gamma, \lambda)$的连续性,则有对于每一个$n\in{\Bbb N}_{0}$,存在$\lambda_{\pm n}(\gamma)$满足$\lambda_{-n}(\gamma)<0<\lambda_{n}(\gamma)$且$\xi_{n}(\gamma, \lambda_{\pm n}) = 0$.由文献[3,注3.1]可知$\lambda_{\pm n}(\gamma)$是左定方程(1)的周期特征值.同理可得, $\lambda_{\pm n}^{P}(k)$和$\lambda_{\pm n}^{S}(k)$也分别为左定方程(1)的周期特征值.因此不等式的排序由以上不等式可得.

对于$\gamma\neq0$且$\gamma\neq\pi$,我们下面证明$\lambda_{\pm n}(\gamma)$是唯一的,即$\lambda_{\pm n}(\gamma)$是单重的.若$\lambda_{\pm n}(\gamma)$不是唯一的,不失一般性,假设$0<\lambda_{*}<\lambda_{**}$是两个相邻顺序的特征值,并且有$\xi_{n}(\gamma, \lambda_{*}) = \xi_{n}(\gamma, \lambda_{**}) = 0$.由于$\xi_{n}(\gamma, 0)>0$.有$\xi_{n}(\gamma, \lambda_{*})<\xi_{0}(\gamma, 0)$,由文献[3,推论$3.1$]知,对于$\lambda\geq\lambda_{*}>0$, $\xi_{n}(\gamma, \lambda)$是严格减的,与$\xi_{n}(\gamma, \lambda_{*}) = \xi_{n}(\gamma, \lambda_{**}) = 0$矛盾.

对于$k = 2s+1$,同理可证得不等式成立.证毕.

对于区间$[a, a+kh]$上的半周期特征值,也有类似的定理.

定理3.2  设定理$3.1$上的条件成立,则有

(1)若$k = 2s$, $s>1$,则有

因此有

(2)若$k = 2s+1$, $s>1$,则有

因此有

下面的定理给出了区间$[a, a+kh]$上周期、半周期特征值和区间$[a, a+h]$上特征值的一一对应关系.

定理3.3  设定理$3.1$中的条件成立,则有

(1)若$k = 2s$, $s\in{\Bbb N}$,则

(i)当$m$是偶数时,有

(ii)当$m$是奇数时,有

(2)若$k = 2s+1$, $s\in{\Bbb N}$,则

(i)当$m$是偶数时,有

(ii)当$m$是奇数时,有

定理3.4  设定理$3.2$中的条件成立,则有

(1)若$k = 2s$, $s\in{\Bbb N}$,则

(i)当$m$是偶数时,有

(ii)当$m$是奇数时,有

(2)若$k = 2s+1$, $s\in{\Bbb N}$,则

(i)当$m$是偶数时,有

(ii)当$m$是奇数时,有

例4.1  $k = 2$,由推论$2.1$知, $k = 2$是一种特殊情况,有$P_{\lambda}(2) = P_{\lambda}(1) \bigcup S_{\lambda}(1)$,因此不等式为

一一对应关系为:

例4.2  $k = 2s$, $s = 4$.由定理$3.1$有

一一对应关系为:

(1)当$m = 0$,有

(2)当$m = 1$,有

依次下去,当$m$为奇数时, $\gamma$值次序为$\pi$, $\frac{6\pi}{8}$, $\frac{4\pi}{8}$, $\frac{2\pi}{8}$, $0$;当$m$为偶数时, $\gamma$值次序为$0$, $\frac{2\pi}{8}$, $\frac{4\pi}{8}$, $\frac{6\pi}{8}$, $\pi$.

例4.3  $k = 2s+1$, $s = 4$.由定理$3.1$有

一一对应关系为:

(1)当$m = 0$,有

(2)当$m = 1$,有

(3)当$m = 2$,有

例4.4  $k = 2s$, $s = 4$.由定理$3.2$有

特征值不等式为

一一对应关系为:

(1)当$m = 0$,有

(2)当$m = 1$,有

依次下去,当$m$为奇数时, $\gamma$值次序为$\frac{7\pi}{8}$, $\frac{5\pi}{8}$, $\frac{3\pi}{8}$, $\frac{\pi}{8}$;当$m$为偶数时, $\gamma$值次序为$\frac{\pi}{8}$, $\frac{3\pi}{8}$, $\frac{5\pi}{8}$, $\frac{7\pi}{8}$.

例4.5  $k = 2s+1$, $s = 4$.由定理$3.2$有

特征值不等式为

一一对应关系为:

(1)当$m = 0$,有

(2)当$m = 1$,有

(3)当$m = 2$,有