近些年来,针对欧氏空间$ \mathbb{R} ^{n} $ ($ n\geq 2 $)中不同的区域出现了大量关于高阶椭圆偏微分方程的边值问题(BVPs)的研究.众所周知,关于这些边值问题的研究主要有两个不同的方向:其一是寻求问题明确的显式解(参见文献[7-16]);其二是在无法给出显式解的情形下寻找问题的可解条件讨论解的存在和惟一性(参见文献[22, 24, 25]).由于可供选择的边值条件繁多以及极大原理的缺失,高阶椭圆边值问题的研究较之二阶椭圆边值问题更为困难和复杂.即使对于高阶模型方程(譬如,多调和方程等),由于问题的边值条件不同,其研究方法也不相同.在正则型区域情形,特别针对单位圆盘, Begehr等人考虑了其上的一类齐次多调和Dirichlet问题(简记为PHD问题),通过利用多调和函数的分解将该问题转化成关于解析函数的Riemann边值问题进行研究,通过Cauchy积分算子的迭代(即多Cauchy积分算子)给出问题的积分表示解^[7],该方法由于使用了Cauchy积分算子的迭代仅适用于阶数较低的多调和方程.对于这类齐次PHD问题,杜志华及其合作者通过引入和构造不同正则型区域(譬如,单位圆盘、单位球、上半平面和上半空间等)上的高阶Poisson核,并利用它们给出了相应区域上该类边值问题的积分表示解^[12-15].此外,杜志华、郭国安和潘堪达^[16]通过利用高阶Poisson核和高阶Pompeiu算子研究了上半平面上一类带$ L^{p} $边值的非齐次PHD问题.更早地, Begehr和杜志华等人运用复变方法（涉及多解析和多调和函数的分解等）研究了单位圆盘上带连续边值的相同类型的非齐次PHD问题(参见文献[9]).在其他类型的多调和边值问题的研究中, Turmetov和Ashurov^[25]研究了单位球上一类非齐次多调和Neumann问题(简记为PHN问题),其方法是将其转化成与之对应的一类非齐次PHD问题进行求解(由于边值条件的不同,后者不同于文献[7]中的非齐次PHD问题),通过利用转化后的PHD问题的Green函数给出了该类PHN问题的可解的充分和必要条件.稍早地, Karachik^[22]考虑了单位球上该类非齐次PHN问题对应的齐次PHN问题(即其边值条件相同),并给出了该类问题的可解条件.另外, Turmetov^[24]讨论了单位球上带分数阶边值(其边值理解为特定的意义)的一些非齐次多调和边值问题.在非光滑区域情形, Dahlberg, Kenig和Verchota等利用经典的层位势方法^[26]对一些双调和Dirichlet问题、多调和Dirichlet问题^[27]和双调和Neumann问题^[28]进行了研究.在文献[11]中,杜志华引入了一个多层位势(multi-layer potentials)系列(这些多层位势是经典的单、双层位势的高阶类似物),并利用其研究$ \mathbb{R} ^{n} $ ($ n\geq 3 $)中有界和无界Lipschitz区域上三类带$ L^{p} $边值的齐次多调和边值问题(即齐次多调和Dirichlet, Neumann和正则性问题).换言之,通过发展经典的层位势方法,出现在文献[11]中的三类高维Lipschitz区域上的多调和边值问题明确的积分表示解可以依据一些新定义的高阶层位势(higher order layer potentials)给出.本文将主要利用文献[11]中发展出的(高阶)层位势方法,求解二维Lipscitz区域上带$ L^{p} $边值的一类非齐次多调和Neumann问题,该问题的齐次情形见文献[11]而不同于文献[25]或^[28]中相应的问题(因为其中的边值条件不同).

具体地,设$ D $是$ \mathbb{R} ^{2} $中一有界Lipscitz区域,本文将考虑如下的非齐次PHN问题:

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \Delta^m u = f, & \mbox{于} \, D \, \mbox{内}, \\ \frac{\partial}{\partial N}\Delta ^{j}u = g_j, &\mbox{于}\, \partial D\, \mbox{上} \end{array}\right. \end{equation} $

且满足一些估计(譬如, $ \|\nabla(u-{\cal M}_1\overline{g}_0)\|_{L^p(D)}\leq C\big(\sum\limits_{j = 1}^{m-1}\|g_j\|_{L^p(\partial D)}+\|f\|_{L^{\infty}(D)}\big) $),其中, $ 0\leq j\leq {m-1} $, $ X = (x_1, x_2)\in D $, $ \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x_1 ^2}+ \frac{\partial^2}{\partial x_2 ^2} $是二维Laplace算子, $ \frac{\partial}{\partial N} $是$ \partial D $上的外法向导数, $ f\in L^\infty(D) $, $ g_j\in L^p(\partial D) $, $ \overline g_0 $与$ g_j $和$ f $有关, $ 1\leq p < +\infty $, $ {\cal M}_1 $是经典的单层位势(除一个加法常数外).通常地,在本文中, $ \Gamma_\alpha(Q) $表示非切向区域.具体地,有

(1.2) $ \begin{equation} \Gamma_\alpha(Q) = \{X\in D:|X-Q|<(1+\alpha) {{\rm dist}}(X, \partial D)\}, \, \, Q\in \partial D, \end{equation} $

其中$ \alpha > 0 $, $ |\cdot| $表示$ \mathbb{R} ^{n} $中通常的欧氏距离, $ n\in {\Bbb N} $ (即$ |X| = \sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}} $, $ X = (x_{1}, \ldots, x_{n})\in \mathbb{R} ^{n} $), $ {\rm dist}(X, \partial D) $表示$ X $到$ \partial D $的距离.

值得注意地,在现有文献中关于多调和边值问题许多结果通常是一些个案研究(one-case study),其主要原因在于适用于高阶椭圆边值问题的边值条件很多且彼此不同.一般地,方程阶数越高,可选的边值条件越多.正如上所述,文献[25] (或[28])中的多调和Neumann边值问题不同于本文中的多调和Neumann问题.前者通常称为经典的多调和Neumann问题.尽管如此,当$ m = 1 $时,这两类不同的多调和Neumann问题都退化成经典的调和Neumann问题.关于更多其他类型的多调和边值问题的研究,可见参考文献[1-6, 19].此外,一个(可能较为困难的)好问题是对于一些带特定边值的多调和边值问题是否存在适定性理论.换言之,为了建立多调和边值问题的适定性理论,最主要的问题是在大量可选的边值条件中如何确定出合适的边值条件.然而,要回答这个问题,将是另外的一个故事.关于这个方向的一些讨论,可见Gazzola, Grunau和Sweers所写的关于多调和边值问题的专著^[19].

本节主要回顾一些已知事实,其中包括Lipschitz区域和高阶Poisson核的定义,以及经典单、双层位势的一些性质.

在$ \mathbb{R} ^{n} $中,一个有界Lipschitz区域是一个有界域,其边界局部地由Lipschitz图给出.具体地,设$ D $是$ \mathbb{R} ^{n} $内一个有界Lipschitz区域,其边界为$ \partial D $.对于任意$ Q\in \partial D $,存在坐标圆柱$ L $,使得其底边和$ \partial D $的距离是正的.在此局部坐标系中,存在一个Lipschitz函数$ \varphi:\, \mathbb{R} ^{n-1}\rightarrow\mathbb{R} $,满足

(ⅰ)对于任意$ X^{\prime}, Y^{\prime}\in \mathbb{R} ^{n-1} $, $ |\varphi(X^{\prime})-\varphi(Y^{\prime})|\leq {\cal L}|X^{\prime}-Y^{\prime}| $,其中$ 0 < {\cal L} < \infty $;

(ⅱ) $ L\cap D = \{X = (X^{\prime}, x_{n})\in \mathbb{R} ^{n}: x_{n} > \varphi(X^{\prime})\} $;

(ⅲ) $ L\cap \partial D = \{X = (X^{\prime}, x_{n})\in \mathbb{R} ^{n}: x_{n} = \varphi(X^{\prime})\} $;

(ⅳ) $ Q = (0^{\prime}, \varphi(0^{\prime})) $,

其中, $ X^{\prime} = (x_{1}, \ldots, x_{n-1})\in \mathbb{R} ^{n-1} $, $ 0^{\prime} $是$ \mathbb{R} ^{n-1} $中的原点.

众所周知,在$ \mathbb{R} ^2 $中,共轭Poisson核和Poisson核可以表示为(相差一个乘法常数$ \frac{1}{2} $)[21, \, 23]:

(2.1) $ \begin{equation} P_j(X) = \frac1{2\pi}\frac{x_j}{|X|^2}, \end{equation} $

其中$ X = (x_1, x_2)\in \mathbb{R} ^2, \, \, j = 1, 2 $.它们可以由二维Laplace算子的基本解(也称为调和基本解)

(2.2) $ \begin{equation} \Gamma(X) = \frac{1}{2\pi}\log|X| \end{equation} $

诱导给出.事实上, $ \nabla\Gamma(X) = (P_{1}(X), P_{2}(X)) $.利用调和基本解、共轭Poisson核和Poisson核作为积分核,可以分别定义单、双层位势如下:

(2.3) $ \begin{equation} {\cal S}f(X) = \int_{\partial D}\Gamma(X-Q){\rm d}\sigma(Q) = \frac{1}{2\pi}\int_{\partial D}\log|X-Q|f(Q){\rm d}\sigma(Q), \, \, X\in \mathbb{R} ^{n}, \end{equation} $

及

(2.4) $ \begin{eqnarray} {\cal D}f(X)& = &\int_{\partial D}\langle\nabla\Gamma(Q-X), n_{Q}\rangle f(Q) {\rm d}\sigma(Q)\\ & = &\frac{1}{2\pi}\int_{\partial D}\frac{\langle Q-X, n_{Q}\rangle}{|Q-X|^{2}}f(Q){\rm d}\sigma(Q), \, \, \, X\in \mathbb{R} ^{n}\setminus\partial D, \end{eqnarray} $

其中, $ f $是定义在$ \partial D $上的函数,梯度$ \nabla = \nabla_{X} = (\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}}) $, $ n_{Q} $是$ \partial D $上$ Q $点处的单位外法向量, $ \langle \cdot, \, \cdot\rangle $表示$ \ell^{2}(\mathbb{R} ^{2}) $中的内积.

对应的边界层算子及其共轭算子定义如下:

(2.5) $ \begin{eqnarray} Tf(P)& = &{\rm P.V.} \frac 1{2\pi}\int_{\partial D}\frac{\langle Q-P, n_{Q}\rangle}{{|Q-P|}^2}f(Q) {\rm d}{\sigma(Q)}\\ & = &\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\frac 1{2\pi}\int_{\partial D\setminus B_{\epsilon}(P)}\frac{\langle Q-P, n_{Q}\rangle}{{|P-Q|}^2}f(Q) {\rm d}{\sigma(Q)}, \, \, P\in{\partial{D}}, \end{eqnarray} $

及

(2.6) $ \begin{eqnarray} T^{*}f(P)& = &{\rm P.V.} \int_{\partial D}\frac{\langle P-Q, n_P\rangle}{|P-Q|^{2}} f(Q) {\rm d}{\sigma(Q)}\\ & = &\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\frac 1{2\pi}\int_{\partial D\setminus B_{\epsilon}(P)}\frac{\langle P-Q, n_{P}\rangle}{{|P-Q|}^2}f(Q) {\rm d}{\sigma(Q)}, \, \, P\in{\partial{D}}, \end{eqnarray} $

其中$ B_{\epsilon}(P) = \{X\in \mathbb{R} ^{2}: |X-P| < \epsilon\} $.

对于某些$ 1 < p < \infty $,算子$ \pm\frac{1}{2}I-T $和$ \pm\frac{1}{2}I-T^{*} $在$ L^{p}(\partial D) $上是可逆的,其中$ D $是$ \mathbb{R} ^{n} $中的有界Lipschitz区域, $ n\geqslant 2 $.具体地,有

定理2.1^{[10, 26]}  设$ D $是$ \mathbb{R} ^{n} $中的有界Lipschitz区域, $ n\geqslant 2 $,则存在$ \varepsilon = \varepsilon({D})>0 $,使得对于任意$ 2-\varepsilon< p < \infty $, $ \pm\frac{1}{2}I-T $于$ L^{p}(\partial D) $上是可逆的;对于任意$ 1<{p}<2+\varepsilon $, $ \pm\frac{1}{2}I-T^{*} $于$ L^{p}(\partial D) $上是可逆的.

在下文中,我们将会用到$ \mathbb{R} ^{2} $中的高阶共轭Poisson核和Poisson核,它们是经典的共轭Poisson核和Poisson核的高阶类似物.在文献[11]中,杜志华引入了$ \mathbb{R} ^n $ ($ n\geqslant 3 $)中的高阶共轭Poisson核和Poisson核.其主要的思想对于本文中的$ \mathbb{R} ^{2} $的情形也是有效的.

定义2.1  对于任意$ m\in {\Bbb N} $且$ m\geq 2 $,令

(2.7) $ \begin{equation} K_{1}^{(j)}(X, V) = \frac{1}{2\pi}\frac{(x_{j}-v_{j})}{|X-V|^{2}} \end{equation} $

及

(2.8) $ \begin{equation} {K}_{m}^{(j)}(X, V) = \frac{1}{4\pi\alpha_{2}\cdots\alpha_{2m-4}}(x_{j}-v_{j})|X-V|^{2m-4}\bigg[\log|X-V| -\sum\limits_{t = 1}^{m-2}\Big(\frac{1}{2t}+\frac{1}{2t+2}\Big)\bigg], \end{equation} $

其中$ X = (x_{1}, x_{2}), \, V = (v_{1}, v_{2})\in \mathbb{R} ^{2} $且$ X\ne V $, $ \alpha_{s} = s(s+2) $, $ j = 1, 2 $,则称$ K_{m}^{(1)} $为$ \mathbb{R} ^{2} $中的$ m $阶共轭Poisson核, $ K_{m}^{(2)} $为$ \mathbb{R} ^{2} $中的$ m $阶Poisson核.为简单记, $ K_{m}^{(1)} $和$ K_{m}^{(2)} $统称为高阶Poisson核,其中$ m\geqslant 2 $.

容易得到

(2.9) $ \begin{equation} \Delta K_{1}^{(j)}(X, V) = 0 \, \, \mbox{和}\, \, \Delta K_{m}^{(j)}(X, V) = K_{m-1}^{(j)}(X, V), \, \, m\geq2, \, j = 1, 2. \end{equation} $

如同文献[11],令

(2.10) $ \begin{equation} {K}_{m}(X, V) = ({K}_{m}^{(1)}(X, V), \, {K}_{m}^{(2)}(X, V)), \end{equation} $

其中$ X, V\in \mathbb{R} ^{n} $且$ X\ne V $, $ \Delta = \Delta_{X} = \frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}} $. $ K_{m} $称为$ m $阶Poisson场.

本节主要给出在文献[11]中引入的多调和基本解和多层${\cal S}$位势一些基本事实,其中前者是调和基本解的高阶类似物.多调和基本解和多层${\cal S}$位势对于本文中的非齐次PHN问题(以及其齐次情形^[11])的求解至关重要.

首先,考虑多调和基本解.为此,我们先建立如下调和递推公式.

引理3.1  设$X=(x_1, x_2)\in \mathbb{R} ^2\setminus\{0\}$,则对于任意$s\in \mathbb{R} $,有

(3.1) $\begin{equation}\label{31} \Delta(|X|^s)=s^2|X|^{s-2}\end{equation}$

及

(3.2) $\begin{equation}\label{32} \Delta(|X|^s\log|X|)=s^2|X|^{s-2} \log|X|+2s|X|^{s-2}, \end{equation}$

其中$\Delta=\sum\limits_{i=1}^2\frac{\partial^2}{\partial{x_{i}^2}}$.

证  经直接计算,可得

$ \frac{\partial}{\partial x_i}(|X|^s\log|X|)=sx_i|X|^{s-2}\log|X|+x_i|X|^{s-2}, $

$ \frac{\partial}{\partial x_i}(|X|^s)=sx_i|X|^{s-2}, $

及

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}(|X|^s\log|X|)&=&s(s-2)x_i^2|X|^{s-4}\log|X|+sx_i^2|X|^{s-4}\\& &+s|X|^{s-2}\log|X|+|X|^{s-2}+(s-2)x_i^2|X|^{s-4}, \end{eqnarray*}$

$ \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}(|X|^s)=s(s-2)x_i^2|X|^{s-4}+s|X|^{s-2}.$

于是

$ \Delta(|X|^s)=s^2|X|^{s-2}, \\\Delta(|X|^s\log|X|)=s^2|X|^{s-2} \log|X|+2s|X|^{s-2}.$

证毕.

由上述引理,对于$s\ne 0$, (3.1)和(3.2)式可以改写为

(3.3) $\begin{equation}\label{}\Delta(\frac1{s^2}|X|^s\log|X|)=|X|^{s-2} \log|X|+\frac{2}{s}|X|^{s-2}\end{equation}$

及

(3.4) $\begin{equation}\label{} \Delta(\frac1{s^2}|X|^s)=|X|^{s-2}.\end{equation}$

定义3.1  设$X, \, V\in \mathbb{R} ^2$且$X\ne V$.令

(3.5) $\begin{equation}\label{} {\cal K}_m(X, V)=\frac1{2\pi[2(m-1)!!]^2}|X-V|^{2(m-1)}\left[\log|X-V|+\frac 1 {2}-\sum\limits_{k=1}^{m-1}\frac1k\right], \, \, m\geqslant 1, \end{equation}$

则对于任意$m\in {\Bbb N}$,称${\cal K}_m$为$m$多调和基本解.

注3.1  值得注意地,比较于经典的情形(见(2.2)式), ${\cal K}_{1}(X, V)=\frac1{2\pi}\left[\log|X-V|+\frac 1 {2}\right]$是调和基本解(除了一个加法常数$\frac{1}{4\pi}$外).即${\cal K}_{1}(X, V)=\Gamma(X-V)+\frac{1}{4\pi}$,其中$X, \, V\in \mathbb{R} ^2$且$X\ne V$.在下文中,我们将利用${\cal K}_{1}(X, V)$代替$\Gamma(X-V)$定义单层位势${\cal M}_{1}$ (见(3.12)式).考虑到求导运算的作用,积分核的如此替换对调和Neumann问题的求解没有影响.因此,在经典的层位势方法中,关于调和Neumann问题的求解,与经典单层位势有关的结果也适用于${\cal M}_{1}$.譬如,对于${\cal M}_{1}$,下文中的(3.13)式成立,因为它是经典单层位势${\cal S}$的一个性质.

利用引理3.1,容易得到下面关于多调和基本解的递推关系.

引理3.2  设${\cal K}_{m}$是$m$阶多调和基本解, $m\in {\Bbb N}$,则

(3.6) $\begin{equation}\label{37} \Delta {\cal K}_1(X, V)=0\, \, \, \mbox{及}\, \, \, \Delta{\cal K}_m(X, V)= {\cal K}_{m-1}(X, V), \, \, m\geqslant 2, \end{equation}$

其中$X=(x_1, x_2), \, V=(v_1, v_2)\in \mathbb{R} ^2$且$X\ne V$, $\Delta=\Delta_{X}=\sum\limits_{i=1}^2\frac{\partial^2}{\partial{x_{i}^2}}$.

从定义可知, ${\cal K}_m$关于其变量是对称的.具体地,有

命题3.1  对于任意$m\in {\Bbb N}$,

(3.7) $ \begin{equation}\label{38} {\cal K}_m(X, V)={\cal K}_m(V, X), \end{equation} $

其中$X, \, V\in \mathbb{R} ^2$且$X\ne V$.

此外,高阶Poisson核和多调和基本解存在一种自然的联系,即前者是后者的偏导数.

定理3.1  设$K_m^{(j)}$和${\cal K}_m$如上,则

(3.8) $ \begin{equation}\label{} \frac{\partial}{\partial x_j}{\cal K}_m(X, V)=K_m^{(j)}(X, V) \end{equation} $

及

(3.9) $ \begin{equation}\label{} \frac{\partial}{\partial v_j}{\cal K}_m(X, V)=K_m^{(j)}(X, V), \end{equation}$

其中$X=(x_{1}, x_{2}), V=(v_{1}, v_{2})\in \mathbb{R} ^2$且$X\neq V$, $j=1, 2$.

证  由对称性,只须证明(3.8)式.当$m=1$时,由简单计算,容易得到$\frac{\partial}{\partial x_j}{\cal K}_1(X, V)=K_1^{(j)}(X, V)$.当$m\geqslant 2$时,一方面,我们有

(3.10) $ \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x_j}{\cal K}(X, V)&=&\frac 1{2\pi [2(m-1)!!]^2}\bigg\{2(m-1)(x_j-v_j)|X-V|^{2(m-2)} \\&&\times \Big[\log|X-V|+\frac1 2-\sum\limits_{k=1}^{m-1} \frac1{k}\Big]+(x_j-v_j)|X-V|^{2(m-2)}\bigg\}\\ &=&\frac 1{2\pi [2(m-2)!!]^2 2(m-1)}\bigg\{(x_j-v_j)|X-V|^{2m-4}\\&&\times\Big[\log|X-V|+\frac1 {2}-\sum\limits_{k=1}^{m-1} \frac1{k}+\frac 1 {2(m-1)}\Big]\bigg\}\\ &=&\frac 1{2\pi [2(m-2)!!]^2 2(m-1)}\bigg\{(x_j-v_j)|X-V|^{2m-4}\\&&\times \Big[\log|X-V|-\frac1 2-\sum\limits_{k=2}^{m-2} \frac1{k}-\frac 1 {2(m-1)}\Big]\bigg\}. \end{eqnarray} $

另一方面,由定义知,高阶Poisson核$K_m^{(j)}(X, V)$可以进行如下改写:

(3.11) $ \begin{eqnarray} K_m^{(j)}(X, V)&=&\frac{1}{4\pi\alpha_{2}\cdots\alpha_{2m-4}}(x_{j}-v_{j})|X-V|^{2m-4}\\&&\times\bigg[\log|X-V|-\sum\limits_{t=1}^{m-2}\Big(\frac{1}{2t}+\frac{1}{2t+2}\Big)\bigg]\\ &=&\frac 1{4\pi\times2\times 4 \times\cdots \times (2m-4)\times 2(m-1)}(x_j-v_j)|X-V|^{2m-4}\\&&\times\bigg[\log|X-V|-\Big(\frac 1 2+\frac 1 4+\cdots+\frac1 {2m-4}+\frac 1 {2m-2}\Big)\bigg]\\ &=&\frac 1{2\pi [2(m-2)!!]^2 2(m-1)}(x_j-v_j)|X-V|^{2m-4}\\&&\times\bigg[\log|X-V|-\frac1 2-\sum\limits_{k=2}^{m-2} \frac1{k}-\frac 1 {2(m-1)}\bigg]. \end{eqnarray} $

因此, (3.8)式成立.证毕.

在本节的如下部分中,我们将讨论多层${\cal S}$位势${\cal M}_j$及其部分性质, $j\in {\Bbb N}$.这些多层位势依据多调和基本解进行定义,它们是经典单层位势在$\mathbb{R} ^2$中的高阶类似物.

定义3.2  设$D$是$\mathbb{R} ^{2}$中的有界Lipschitz区域,其边界为$\partial{D}$.令

(3.12) $\begin{equation}\label{} {\cal M}_{j}f(X)=\int_{\partial{D}}{\cal K}_{j}(X, Q)f(Q) {\rm d}{\sigma(Q)}, \, \, X\in \mathbb{R} ^{2}.\end{equation}$

其中$j\in {\Bbb N}$, ${\cal K}_{j}$为$j$阶多调和基本解, ${\rm d}\sigma$为$\partial{D}$上的曲面测度,对于某些合适的$1\leq p < \infty$, $f\in{L}^{p}(\partial{D})$,则称${\cal M}_{j}f$为带密度$f$的$j$层${\cal S}$位势.

定理3.2  设$\{{\cal K}_{m}\}_{m=1}^\infty$是多调和基本解序列, $D$是$\mathbb{R} ^{2}$中有界Lipschitz区域,其边界为$\partial D$,则

(1)对于任意$m\in{{\Bbb N}}$, $P\in\partial{D}$且$P\ne{Q}\in\partial{D}$,非切向边值

$\begin{eqnarray*}\label{}\lim\limits_{X\to{P}\atop X\in\Gamma_{\alpha}(P), \, Q\in\partial{D}} {\cal K}_{m}(X, Q)={\cal K}_{m}(P, Q)\end{eqnarray*}$

存在;对任何固定的$P\in\partial{D}$, ${\cal K}_{m}(\cdot, P)$能连续延拓到$\overline{D}\backslash\{P\}$.

(2)对于任意$m>1$, $X, Y\in \mathbb{R} ^2$且$X\ne Y$, $\Delta_X {\cal K}_1(X, Y)=\Delta_Y {\cal K}_1(X, Y)=0$和$\Delta_X {\cal K}_m (X, Y)=\Delta_Y {\cal K}_m (X, Y)={\cal K}_{m-1}(X, Y)$,其中$\Delta_X=\sum\limits_{i=1}^2\frac{\partial^2}{\partial{x_{i}^2}}$和$\Delta_Y=\sum\limits_{i=1}^2\frac{\partial^2}{\partial{y_{i}^2}}$.

(3)对任意$f\in L^p(\partial D)$, $1 < p < \infty$,非切向法导数

(3.13) $\begin{equation}\label{} \frac{\partial}{\partial N}{\cal M}_{1}(P)=\lim\limits_{X\to{P}\atop X\in\Gamma_\alpha (P)} \langle\nabla\int_{\partial D}{\cal K}_1(X, Q)f(Q){\rm d}\sigma(Q), \, n_P\rangle=-\frac12 f(P)+T^*f(P), \end{equation}$

其中$\nabla=(\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}})$.

(4)对任意$m\geqslant 2$和$f\in L^p(\partial D)$, $1\leqslant p\leqslant\infty$,非切向法导数

(3.14) $\begin{equation}\label{} \frac{\partial}{\partial N}{\cal M}_{m}(P)=\lim\limits_{X\to{P}\atop X\in\Gamma_\alpha(P)} \langle\nabla\int_{\partial D}{\cal K}_m(X, Q)f(Q){\rm d}\sigma(Q), \, n_P\rangle=K_m^* f(P), \end{equation}$

其中$\nabla=(\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}})$,且

(3.15) $\begin{equation}\label{} K_m^* f(P)=\int_{\partial D}\langle K_m(P, Q), \, n_P\rangle f(Q){\rm d}\sigma(Q), \, P\in\partial D.\end{equation}$

证  由${\cal K}_m$的定义知,断言(1)成立.利用(3.6)和(3.7)式知,断言(2)成立.注意到注3.1的讨论,作为已知结果的变化形式(可见文献[26]),且利用类似的证明,易知断言(3)成立.

下面我们证明断言(4).由于$\overline{D}$是紧集,

(3.16) $\begin{equation}K_{m}^{(j)}(X, V)=O(|X-V|^{2m-3}(1+\log|X-V|))\end{equation}$

和

(3.17) $\begin{equation}{\cal K}_{m}(X, V)=O(|X-V|^{2m-2}(1+\log|X-V|)), \end{equation}$

其中$X, V\in \mathbb{R} ^{2}$且$X\neq V$,则对于$m\geqslant 2$,利用标准的论证(类似地,可见文献[18,定理2.27]或[11,引理4.1]),

(3.18) $\begin{eqnarray}\nabla\int_{\partial D}{\cal K}_m(X, Q)f(Q){\rm d}\sigma(Q)&=&\int_{\partial D}\nabla{\cal K}_m(X, Q)f(Q){\rm d}\sigma(Q)\\&=&\int_{\partial D}K_m(X, Q)f(Q){\rm d}\sigma(Q), \end{eqnarray}$

其中$X\in D$, $\nabla=\nabla_{X}=(\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}})$,及$f \in L^p(\partial D)$, $1\leqslant p\leqslant\infty$.利用(3.17)式,对于任意固定的$P\in \partial D$, $K_{m}^{(j)}(P, \, \cdot)\in L^{q}(\partial D\setminus\{P\})$,其中$1\leqslant q\leqslant\infty$.由Hölder不等式,对任何固定的$P\in \partial D$, $K_{m}^{(j)}(P, \, \cdot)f\in L^{1}(\partial D\setminus\{P\})$,其中$f\in L^{p}(\partial D)$, $1\leqslant p\leqslant \infty$.因此,由Lebesgue控制收敛定理,当$X\to P$时, $X\in \Gamma_\alpha (P)$,

(3.19) $ \begin{equation}\label{ }\langle\int_{\partial D}K_m(X, Q)f(Q){\rm d}\sigma(Q), n_P\rangle \to \int_{\partial D}\langle K_m(P, Q), n_P\rangle f(Q){\rm d}\sigma(Q).\end{equation} $

于是,断言(4)成立.证毕.

最后,在下面的定理中,我们回顾算子$K_m^*$, ${\cal M}_m$和$\nabla{\cal M}_m$的$L^p$有界性,它们将在下文中用到.其证明详见文献[11].

定理3.3^[11]  设$D$是$\mathbb{R} ^{2}$中有界Lipschitz区域,算子$K_m^*$和${\cal M}_m$同上, $m\geqslant 2$,则

1)对于任意$m\geqslant 2$及$1\leqslant p\leqslant \infty$, $K_m^*: L^{p}(\partial D)\to L^{p}(\partial D)$有界;

2)对于任意$m\geqslant 1$及$1\leqslant p\leqslant \infty$, ${\cal M}_m: L^{p}(\partial D)\to L^{p}(\partial D)$有界;

3)对于任意$m\geqslant 1$及$1\leqslant p\leqslant \infty$, ${\cal M}_m: L^{p}(\partial D)\to L^{p}(D)$有界;

4)对于任意$m\geqslant 2$及$1\leqslant p\leqslant \infty$, $\nabla{\cal M}_m: L^{p}(\partial D)\to L^{p}(\partial D)$有界;

5)对于任意$m\geqslant 2$及$1\leqslant p\leqslant \infty$, $\nabla{\cal M}_m: L^{p}(\partial D)\to L^{p}(D)$有界;

6)对于任意$m\geqslant 1$及$p=p_{m}\in\left\{\begin{array}{ll}(1, \infty), \, &m=1, \\{[1, \infty], }&m\geqslant2, \end{array}\right.$$M(\nabla{\cal M}_m): L^{p}(\partial D)\to L^{p}(\partial D)$有界,其中$M$表示非切向极大函数,其定义如下:

(3.20) $\begin{equation}M(F)(Q)=\sup\limits_{X\in \Gamma_{\alpha}(Q)}|F(X)|, \, \, \, Q\in \partial D.\end{equation}$

注3.2  在文献[11]中,上述定理中的断言1)--6)通过Marcinkiewicz算子插值定理进行证明.注意到,对于任意$m\geq 2$,积分算子$K_m^*$和$\nabla{\cal M}_m$是非奇异的;对于$m\geqslant 1$,积分算子${\cal M}_m$也是非奇异的.因此,利用积分Minkowski不等式,我们对上述定理可以给出新的证明.譬如,对于任意$m\geq 2$和$1\leqslant p\leqslant\infty$,以下是断言6)的新证明.

由于$\overline{D}$是$\mathbb{R} ^{2}$中的紧集,存在一个充分大的$R>0$使得$\overline{D}\subset B(0, R)$,其中$B(0, R)$是以原点为中心半径为$R$的圆盘.由此事实及(3.16)式,我们有

(3.21) $\begin{equation}\sup\limits_{X, Q\in \overline{D}}|K_{m}^{(j)}(X, Q)|\leq C_{m}R^{2m-3}(1+\log R), \end{equation}$

其中$C_{m}$是一个仅依赖于$m$的常数.

于是,对于任意$m\geq 2$及$1\leqslant p < \infty$,利用(3.18)式, (3.21)式和积分Minkowski不等式,

$\begin{eqnarray*}\|M(\nabla{\cal M}_mf)\|_{L^p(\partial D)}&=&\left\{\int_{\partial D}\left(\sup\limits_{X\in\Gamma_{\alpha}(P)}|\nabla{\cal M}_mf(X)|\right)^p {\rm d}\sigma(P)\right\}^{\frac 1p}\\&=&\left\{\int_{\partial D}\left(\sup\limits_{X\in\Gamma_{\alpha}(P)}\left|\int_{\partial D}\nabla {\cal K}_m(X, Q)f(Q) {\rm d}\sigma(Q)\right|\right)^p {\rm d}\sigma(P)\right\}^{\frac 1p}\\&= &\left\{\int_{\partial D}\left(\sup\limits_{X\in\Gamma_{\alpha}(P)}\left|\int_{\partial D}K_m(X, Q)f(Q) {\rm d}\sigma(Q)\right|\right)^p {\rm d}\sigma(P)\right\}^{\frac 1p}\\&\leq& \left\{\int_{\partial D}\left(\int_{\partial D}\Big(\sup\limits_{X\in\Gamma_{\alpha}(P)\atop Q\in\partial D}|K_m(X, Q)|\Big)|f(Q)| {\rm d}\sigma(Q)\right)^p {\rm d}\sigma(P)\right\}^{\frac 1p}\\&\leq&\int_{\partial D}\left(\int_{\partial D}\left(\sup\limits_{X, \, Q\in \overline D}|K_m(X, Q)|\right)^p {\rm d}\sigma(P)\right)^{\frac 1 p}|f(Q)| {\rm d}\sigma(Q)\\&\leq&\int_{\partial D}\left(\int_{\partial D}\left(C_m R^{2m-3}(1+\log R)\right)^p {\rm d}\sigma(P)\right)^{\frac 1 p}|f(Q)| {\rm d}\sigma(Q)\\&\leq& C\|f\|_{L^p(\partial D)}, \end{eqnarray*}$

其中$C$是仅依赖于$D$的常数.对于$m\geqslant 2$及$p=\infty$的情形,其证明类似且更为简单.

为了求解非齐次PHN问题,我们先求解$ \mathbb{R} ^{n} $中Lipschitz区域上对应的齐次PHN问题.当$ n\geqslant 3 $时,关于该齐次PHN问题的求解可见文献[11].在本节中,我们将概略地回顾其中的一些结果,具体而详细的证明可见文献[11].

$ \mathbb{R} ^{2} $中带$ L^{p} $边值的齐次PHN问题如下:

(4.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \Delta^m u = 0, & \mbox{于} \, D \, \mbox{内}, \\ \frac{\partial}{\partial N}\Delta ^{j}u = g_j, &\mbox{于}\, \partial D\, \mbox{上}, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ D $是$ \mathbb{R} ^{2} $的有界Lipschitz区域,其边界为$ \partial D $, $ \Delta = \frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}} $, $ \frac{\partial}{\partial N} $表示$ \partial D $上的外法向导数, $ 0\leqslant j < m $,对于某些$ 1\leqslant p < \infty $, $ g_j\in L^{p}(\partial D) $.

对于上述齐次PHN问题的求解,除了定理3.3中涉及算子$ K^{*}_{m} $, $ {\cal M}_{m} $和$ \nabla{\cal M}_{m} $的$ L^{p} $有界性外,下面的关于多层$ {\cal S} $位势算子$ {\cal M}_m $的调和递推定理是非常重要的.

定理4.1^[11]  设$ D $是$ \mathbb{R} ^{2} $的有界Lipschitz区域,其边界为$ \partial D $, $ \{{\cal M}_m\}_{m = 1}^{\infty} $是多层$ {\cal S} $位势算子序列,则对于任意$ m > 1 $及$ f\in L^p(\partial D) $, $ 1\leqslant p\leqslant \infty $,

(4.2) $ \begin{equation} \Delta{\cal M}_mf(X) = {\cal M}_{m-1}f(X), \, \, X\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \partial D . \end{equation} $

利用定理3.3和定理4.1,齐次PHN问题(4.1)是可解的.具体地,有

定理4.2^[11]  设$ D $是$ \mathbb{R} ^{2} $中有界Lipschitz区域,其边界为$ \partial D $, $ \{{\cal K}_m\}_{m = 1}^{\infty} $是多调和基本解序列,则对于任意$ m > 1 $,存在$ \varepsilon = \varepsilon(D) > 0 $,使得带边值$ g_{m-1}\in L^{p}_{0}(\partial D) $及$ g_j\in{L^p(\partial D)} $, $ 0\leqslant j\leqslant m-2 $, $ 1 < p < 2+\varepsilon $,且满足如下估计

(4.3) $ \begin{equation} \|u\|_{L^p(D)}\leqslant C\sum\limits_{j = 0}^{m-1}\|g_j\|_{L^p(\partial D)} \end{equation} $

的齐次PHN问题(4.1)惟一可解,其中$ L^{p}_{0}(\partial D) = \{f\in L^{p}(\partial D):\, \int_{\partial D}f(Q){\rm d}\sigma(Q) = 0\} $.其解可以明确地表示为

(4.4) $ \begin{equation} u(X) = \sum\limits_{j = 1}^m\int_{\partial D}{\cal K}_j(X, Q)\tilde{g}_{j-1}(Q){\rm d}\sigma(Q) = \sum\limits_{j = 1}^m {\cal M}_j\tilde{g}_{j-1}(X), \, X\in D, \end{equation} $

其中

(4.5) $ \begin{equation} \tilde{g}_{m-1} = (-\frac12 I+T^*)^{-1}g_{m-1}, \end{equation} $

(4.6) $ \begin{equation} \tilde{g}_{l} = (-\frac 12 I+T^*)^{-1}(g_l-\sum\limits_{j = l+2}^m K_{j-l}^*\tilde{g}_{j-1}), \end{equation} $

且$ 0\leqslant l\leqslant{m-2} $.此外,该解也满足如下估计:

(4.7) $ \begin{equation} \|\nabla(u-{\cal M}_1\tilde g_0)\|_{L^p(D)}\leqslant C\sum\limits_{j = 1}^{m-1}\|g_j\|_{L^p(\partial D)} \end{equation} $

及

(4.8) $ \begin{equation} \|M(\nabla u)\|_{L^p(\partial D)}\leqslant C\sum\limits_{j = 0}^{m-1}\|g_j\|_{L^p(\partial D)}, \end{equation} $

其中$ M $为非切向极大函数.对于满足估计(4.7)或(4.8)的齐次PHN问题(4.1),除一个加法常数外,解(4.4)仍是其惟一解.

在本节中,我们将给出本文的主要结果.即$ \mathbb{R} ^{2} $中Lipschitz区域上带$ L^{p} $边值的非齐次PHN问题的求解.该问题如下:

(5.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \Delta^m u = f, & \mbox{于} \, D \, \mbox{内}, \\ \frac{\partial}{\partial N}\Delta ^{j}u = g_j, &\mbox{于}\, \partial D\, \mbox{上}, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ D $是$ \mathbb{R} ^{2} $的有界Lipschitz区域,其边界为$ \partial D $, $ \Delta = \frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}} $, $ \frac{\partial}{\partial N} $表示$ \partial D $上的外法向导数, $ 0\leqslant j < m $, $ m\in {\Bbb N} $且$ m\geqslant 2 $,对于某些$ 1\leqslant p\leqslant \infty $, $ f\in L^{p}(D) $及$ g_j\in L^{p}(\partial D) $.

首先,我们引入一类新的算子$ {\cal N}_m $.当$ m\geqslant 2 $时,它们是$ \mathbb{R} ^{2} $中经典Newton位势的高阶类似物.

定义5.1  设$ D $是$ \mathbb{R} ^{2} $中有界Lipschitz区域,其边界为$ \partial D $, $ \{{\cal K}_m\}_{m = 1}^{\infty} $多调和基本解序列.令

(5.2) $ \begin{equation} {\cal N}_m f(X) = \int_{D} {\cal K}_m(X, Y)f(Y){\rm d}Y, \, \, X\in \mathbb{R} ^{2}, \end{equation} $

其中$ f\in L^p(D) $且$ 1\leqslant p\leqslant \infty $, $ m\in {\Bbb N} $,则称$ {\cal N}_{m} $为带密度$ f $的$ m $阶Newton位势.

注5.1  易知, $ {\cal N}_{1}f $是带密度$ f $的经典Newton位势(除一个加法常数$ C_{f} = \frac{1}{4\pi}\int_{D}f(X){\rm d}X $外) (参见文献[20]).

由$ {\cal K}_{m} $的定义及引理3.2,我们可以得到下面的关于高阶Newton位势的递推定理.

定理5.1  设$ D $是$ \mathbb{R} ^{2} $中有界Lipschitz区域,其边界为$ \partial D $, $ \{{\cal N}_{m}\}_{m = 1}^{\infty} $是高阶Newton位势算子序列,则对于任意$ m\geqslant 2 $,

(5.3) $ \begin{equation} \Delta {\cal N}_m f(X) = {\cal N}_{m-1} f(X) \end{equation} $

在经典导数意义下成立;

(5.4) $ \begin{equation} \Delta {\cal N}_1 f(X) = f(X) \end{equation} $

在Sobolev导数意义下成立,其中$ X\in D $, $ f\in L^{p}(D) $且$ 1\leqslant p\leqslant \infty $.

证  注意到

(5.5) $ \begin{equation} {\cal K}_{m}(X, Y) = O(|X-Y|^{2m-2}(1+\log|X-Y|)), \end{equation} $

(5.6) $ \begin{equation} K_{m}^{(j)}(X, Y) = O(|X-Y|^{2m-3}(1+\log|X-Y|)), \end{equation} $

及

(5.7) $ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial x_{j}}K_{m}^{(j)}(X, Y) = O(|X-Y|^{2m-4}(1+\log|X-Y|)), \end{equation} $

其中$ X, Y\in \mathbb{R} ^{2} $且$ X\neq Y $.此外, $ \overline{D} $是$ \mathbb{R} ^{2} $中的紧集.于是,对于任意$ m\geqslant 2 $,由积分可微性的标准的论证(类似于(3.18)式,利用Lebesgue控制收敛定理),容易得到

(5.8) $ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial x_{j}}{\cal N}_{m}(X) = \int_{D}\frac{\partial}{\partial x_{j}}{\cal K}_{m}(X, Y)f(Y){\rm d}Y = \int_{D}K_{m}^{(j)}(X, Y)f(Y){\rm d}Y \end{equation} $

和

(5.9) $ \begin{equation} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{j}^{2}}{\cal N}_{m}(X) = \int_{D}\frac{\partial}{\partial x_{j}}K_{m}^{(j)}(X, Y)f(Y){\rm d}Y = \int_{D}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{j}^{2}}{\cal K}_{m}(X, Y)f(Y){\rm d}Y, \end{equation} $

其中$ X\in \mathbb{R} ^{2} $, $ j = 1, 2 $.因此,由引理3.2,对于任意$ m\geqslant 2 $,公式(5.3)成立.

公式(5.4)的证明是容易且标准的,因为公式(5.4)等价于$ \Delta (\log|X|+\frac 1 2) = 2\pi \delta_0 $,其中$ X\in \mathbb{R} ^{2} $, $ \delta_{0} $表示经典的Dirac函数.详细的证明可见文献[21,命题2.4.4],只需利用$ \frac{\partial}{\partial r}(\log r+\frac{1}{2}) $替代原证明中的$ \frac{\partial}{\partial r}(\log r) $.证毕.

为了求解非齐次PHN问题(5.1),我们也需要下面的关于高阶Newton位势非切向边值的存在性定理.

定理5.2  设$ D $是$ \mathbb{R} ^{2} $中有界Lipschitz区域,其边界为$ \partial D $, $ \{{\cal N}_{m}\}_{m = 1}^{\infty} $是高阶Newton位势算子序列,则$ {\cal N}_{m} $在$ \partial D $上的非切向边值存在.具体地,

(5.10) $ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_{m}f(P) = \lim\limits_{X\to{P}\atop X\in\Gamma_{\alpha}(P)} \langle\nabla\int_{ D}{\cal K}_m(X, Y)f(Y) {\rm d}Y, n_P\rangle = \int_{ D} \langle K_m(P, Y), n_P\rangle f(Y){\rm d}Y, \end{equation} $

其中$ m\in {\Bbb N} $, $ {\cal K}_{m} $和$ K_{m} $分别由(3.5)式和(2.10)式给出, $ n_{P} $表示$ \partial D $上$ P $点处的单位外法向量, $ f\in L^{p_{m}}(D) $且$ p_{m}\in\left\{\begin{array}{ll}(1, \infty], \, &m = 1;\\ {[1, \infty], }&m\geqslant2.\end{array}\right. $

证  由(5.8)式,有

(5.11) $ \begin{equation} \langle\nabla{\cal N}_{m}f(X), n_P\rangle = \langle\nabla\int_{ D}{\cal K}_m(X, Y)f(Y){\rm d}Y, n_P\rangle = \int_{ D} \langle K_m(X, Y), n_P\rangle f(Y){\rm d}Y. \end{equation} $

注意到(5.6)式,易知,对于任意固定的$ X\in \overline{D} $, $ K_{m}(X, \cdot)\in L^{p_{m}^{\prime}}(D) $,其中$ p_{m}^{\prime} $是$ p_{m} $的共轭指数.于是,由Lebesgue控制收敛定理,有

(5.12) $ \begin{equation} \lim\limits_{X\to{P}\atop X\in\Gamma_{\alpha}(P)} \int_{ D} \langle K_m(X, Y), n_P\rangle f(Y){\rm d}Y = \int_{ D} \langle K_m(P, Y), n_P\rangle f(Y){\rm d}Y. \end{equation} $

因此, (5.10)式成立.证毕.

此外,我们还需要下面关于Newton位势的边界法导数算子$ \frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_{m} $及其梯度$ \nabla {\cal N}_{m} $的非切向极大函数从$ L^{p}(D) $到$ L^{p}(\partial D) $的$ L^{p} $有界性定理.

定理5.3  设$ D $是$ \mathbb{R} ^{2} $中有界Lipschitz区域,其边界为$ \partial D $, $ \{{\cal N}_m\}_{m = 1}^{\infty} $是高阶Newton位势算子序列,则对于任意$ m\geqslant 2 $和$ f\in L^{p}(D) $, $ 1\leqslant p\leqslant \infty $,

(5.13) $ \begin{equation} \|\frac {\partial}{\partial N} {\cal N}_m f \|_{L^{p}(\partial D)}\leqslant C\|f\|_{L^{p}(D)}, \end{equation} $

(5.14) $ \begin{equation} \|M (\nabla{\cal N}_m f) \|_{L^{p}(\partial D)}\leqslant C_{1}\|f\|_{L^{p}(D)} \end{equation} $

及

(5.15) $ \begin{equation} \|\nabla{\cal N}_m f \|_{L^{p}(D)}\leqslant C_{2}\|f\|_{L^{p}(D)}, \end{equation} $

其中$ \frac{\partial}{\partial N} $为外法导数, $ M $表示非切向极大函数, $ C $, $ C_{1} $和$ C_{2} $为仅依赖于$ p $和$ D $的常数.此外,当$ m = 1 $和$ p = \infty $时, (5.13)式和(5.14)式成立;当$ m = 1 $和$ p = 1 $或$ \infty $时, (5.15)式成立.

证  以下只证(5.14)式, (5.13)和(5.15)式的证明类似(对于(5.15)式, $ m = 1 $及$ p = 1 $的情形除外).首先,注意到对于任意$ m\in {\Bbb N} $和$ j = 1, 2 $,有

(5.16) $ \begin{equation} \sup\limits_{X\in \overline{D}}\int_{ D} |K^{(j)}_m(X, Y)|{\rm d}Y<C, \end{equation} $

其中$ C $是仅依赖于$ D $的常数.由于$ \overline{D} $是$ \mathbb{R} ^{2} $中的紧集,利用极坐标变换和简单极限$ \lim_{r\to0+}r^{\beta}(1+\log r) = 0 $,其中$ \beta > 0 $且$ m\geqslant 2 $, (5.16)式成立.当$ m = 1 $时,由于$ K_{1}^{(j)}(X, Y) = \frac{1}{2\pi}\frac{(x_{j}-y_{j})}{|X-Y|^{2}} $,易知(5.16)式也成立.于是,由(5.6)式和(5.16)式,我们得到

(5.17) $ \begin{eqnarray} |M (\nabla{\cal N}_m f)(P)|& = &\sup\limits_{X\in \Gamma_{\alpha}(P)}|\nabla{\cal N}_m f(X)|\leqslant\sup\limits_{X\in \overline{D}}|\nabla{\cal N}_m f(X)|\\ &\leqslant&\sup\limits_{X\in \overline{D}}\int_{D}|K_{m}(X, Y)f(Y)|{\rm d}Y\\ &\leqslant& C\|f\|_{L^{\infty}(D)} \end{eqnarray} $

对于任意$ P\in \partial D $成立.以上表明,当$ p = \infty $时, (5.14)式对于任意$ m\in {\Bbb N} $成立.即

(5.18) $ \begin{equation} \|M (\nabla{\cal N}_m f) \|_{L^{\infty}(\partial D)}\leqslant C^{\prime}\|f\|_{L^{\infty}(D)}. \end{equation} $

其次,我们证明$ m\geqslant 2 $及$ 1\leqslant p < \infty $的情形.如同注3.2中的(3.21)式,有

(5.19) $ \begin{equation} \sup\limits_{X, Y\in \overline{D}}|K_{m}^{(j)}(X, Y)|\leqslant C_{m}R^{2m-3}(1+\log R), \end{equation} $

其中$ C_{m} $是仅依赖于$ m $的常数, $ R $是充分大的正实数.

于是,利用(5.19)式,得到

(5.20) $ \begin{eqnarray} \|M (\nabla{\cal N}_m f)\|_{L^{1}(\partial D)}& = &\int_{\partial D}\sup\limits_{X\in \Gamma_{\alpha}(P)}|\nabla{\cal N}_m f(X)|{\rm d}\sigma(\partial D)\\&\leqslant&\int_{\partial D}\sup\limits_{X\in \overline{D}}|\nabla{\cal N}_m f(X)|{\rm d}\sigma(\partial D)\\ &\leqslant&\int_{\partial D}\left[\sup\limits_{X\in \overline{D}}\int_{D}|K_{m}(X, Y)f(Y)|{\rm d}Y\right]{\rm d}\sigma(\partial D)\\&\leqslant&\int_{\partial D}\left[\sup\limits_{X, Y\in \overline{D}}|K_{m}(X, Y)|\int_{D}|f(Y)|{\rm d}Y\right]{\rm d}\sigma(\partial D)\\ &\leqslant& C_{m}R^{2m-3}(1+\log R)\sigma(\partial D)\|f\|_{L^{1}(D)}. \end{eqnarray} $

所以,当$ 1 < p < \infty $时,由(5.18)和(5.20)式,且利用Marcinkiewicz算子插值定理, (5.14)式成立.

最后,在$ m = 1 $及$ p = 1 $情形下,易证(5.15)式成立.事实上,由积分Minkowski不等式,有

(5.21) $ \begin{eqnarray} \|\nabla{\cal N}_{1}f\|_{L^{1}(D)}& = &\int_{D}|\nabla{\cal N}_{1}f(X)|{\rm d}X = \int_{D}\left|\int_{D}K_{1}(X, Y)f(Y){\rm d}Y\right|{\rm d}X\\ &\leqslant&\int_{D}\left(\int_{D}|K_{1}(X, Y)|{\rm d}X\right)|f(Y)|{\rm d}Y\\ &\leqslant& C\|f\|_{L^{1}(D)}, \end{eqnarray} $

其中$ C $是仅依赖于$ D $的常数.在上述最后的不等式中,我们用到下面的事实:

(5.22) $ \begin{equation} \int_{D}|K_{1}(X, Y)|{\rm d}X\leqslant\int_{B(Y, \delta)}|K_{1}(X, Y)|{\rm d}X = 2\times\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\delta}\int_{S^{1}}\frac{1}{r}r{\rm d}r{\rm d}\omega = 2\delta, \end{equation} $

其中$ B(Y, \delta) $是以$ Y\in D $为中心半径为$ \delta $的圆盘, $ \delta\geqslant {\rm diam}(D) $ ($ {\rm diam}(D) $表示$ D $的直径), $ S^{1} $是单位圆周.于是, (5.15)式对于$ m = 1 $及$ p = 1 $成立.证毕.

注5.2  如同注3.2,对于任意$ m\geqslant 2 $及$ 1\leqslant p < \infty $,利用Minkowski不等式也可以证明(5.13), (5.14)和(5.15)式.

有了如上预备,现在我们求解$ \mathbb{R} ^{2} $中Lipschitz区域上带$ L^{\infty} $非齐次项和$ L^{p} $边值的非齐次PHN问题(5.1).

定理5.4  设$ D $是$ \mathbb{R} ^{2} $中有界Lipschitz区域,其边界为$ \partial D $, $ \{{\cal K}_m\}_{m = 1}^{\infty} $是多调和基本解序列,则对于任意$ m > 1 $,存在$ \varepsilon = \varepsilon(D) > 0 $,使得带非齐次项$ f\in L^{\infty}(D) $,边值$ g_j\in{L^p(\partial D)} $及$ g_{m-1}-\frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_{1}f\in L^{p}_{0}(\partial D) $, $ 0\leqslant j < m $, $ 1 < p < 2+\varepsilon $,且满足估计

(5.23) $ \begin{equation} \|u\|_{L^p(D)}\leq C\bigg(\sum\limits_{j = 0}^{m-1}\|g_j\|_{L^p(\partial D)}+\|f\|_{L^{\infty}(D)}\bigg) \end{equation} $

的非齐次PHN问题(5.1)惟一可解.其解可以明确表示为

(5.24) $ \begin{eqnarray} u(X)& = &{\cal N}_m f(X)+\sum\limits_{j = 1}^m\int_{\partial D}{\cal K}_j(X, Q)\overline {g}_{j-1}(Q){\rm d}\sigma(Q)\\& = &{\cal N}_m f(X)+\sum\limits_{j = 1}^m {\cal M}_j\overline{g}_{j-1}(X), \, \, \, X\in D, \end{eqnarray} $

其中

(5.25) $ \begin{equation} \overline{g}_{m-1} = (-\frac12 I+T^*)^{-1}[g_{m-1}-\frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_1 f] \end{equation} $

及

(5.26) $ \begin{equation} \overline {g}_{l} = (-\frac 12 I+T^*)^{-1} \bigg(g_l-\frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_{m-l} f-\sum\limits_{j = l+2}^m K_{j-l}^*\overline{g}_{j-1}\bigg), \end{equation} $

且$ 0\leqslant l\leqslant{m-2} $.此外,该解也满足如下估计:

(5.27) $ \begin{equation} \|\nabla(u-{\cal M}_1\overline{g}_0)\|_{L^p(D)}\leq C\bigg(\sum\limits_{j = 1}^{m-1}\|g_j\|_{L^p(\partial D)}+\|f\|_{L^{\infty}(D)}\bigg) \end{equation} $

及

(5.28) $ \begin{equation} \|M(\nabla u)\|_{L^p(\partial D)}\leq C \bigg(\sum\limits_{j = 0}^{m-1}\|g_j\|_{L^p(\partial D)}+\|f\|_{L^{\infty}(D)}\bigg). \end{equation} $

对于满足估计式(5.27)或(5.28)的非齐次PHN问题(5.1),除一个加法常数外,解(5.24)仍是其惟一解.

证  令

(5.29) $ \begin{equation} v = u-{\cal N}_{m}f. \end{equation} $

由定理5.1和5.2,对于任意$ f\in L^{\infty}(D) $, $ u $是满足估计(5.23)的非齐次PHN问题(5.1)当且仅当$ v $是如下齐次PHN问题的解

(5.30) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \Delta^m v = 0, & \mbox{于} \, D \, \mbox{内}, \\ \frac{\partial}{\partial N}\Delta ^{j}v = g_j-\frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_{m-j}f, &\mbox{于}\, \partial D\, \mbox{上}, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ 0\leqslant j\leqslant m-1 $,满足

(5.31) $ \begin{equation} \|v\|_{L^p(D)}\leqslant C\sum\limits_{j = 0}^{m-1}\bigg\|g_j-\frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_{m-j}f\bigg\|_{L^p(\partial D)}. \end{equation} $

由假设及定理5.3,我们得到$ g_{j}-\frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_{m-j}f\in L^{p}(\partial D) $和$ g_{m-1}-\frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_{1}f\in L^{p}_{0}(\partial D) $, $ 0\leqslant j < m $, $ 1 < p < 2+\varepsilon $.于是,由定理4.2,我们知道满足估计(5.31)的齐次PHN问题(5.30)的惟一解为

(5.32) $ \begin{equation} v(X) = \sum\limits_{j = 1}^m\int_{\partial D}{\cal K}_j(X, Q)\overline{g}_{j-1}(Q){\rm d}\sigma(Q) = \sum\limits_{j = 1}^m {\cal M}_j\overline{g}_{j-1}(X), \, \, \, X\in D, \end{equation} $

其中

(5.33) $ \begin{equation} \overline{g}_{m-1} = (-\frac12 I+T^*)^{-1}\bigg[g_{m-1}-\frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_{1}f\bigg] \end{equation} $

及

(5.34) $ \begin{equation} \overline{g}_{l} = (-\frac 12 I+T^*)^{-1}\bigg[g_l-\frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_{m-l}f-\sum\limits_{j = l+2}^m K_{j-l}^*\overline{g}_{j-1}\bigg], \end{equation} $

且$ 0\leqslant l\leqslant{m-2} $.该解也满足估计

(5.35) $ \begin{equation} \|\nabla(v-{\cal M}_1\overline{g}_0)\|_{L^p(D)}\leqslant C\sum\limits_{j = 1}^{m-1} \bigg\|g_j-\frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_{m-j}f\bigg\|_{L^p(\partial D)} \end{equation} $

及

(5.36) $ \begin{equation} \|M(\nabla v)\|_{L^p(\partial D)}\leqslant C\sum\limits_{j = 0}^{m-1} \bigg\|g_j-\frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_{m-j}f\bigg\|_{L^p(\partial D)}. \end{equation} $

此外,满足估计(5.35)或(5.36)的齐次PHN问题(5.30),除一个加法常数外,解(5.32)仍是其惟一解.

因此,由(5.29)式和定理5.3,我们立即得到满足估计(5.23)的非齐次PHN问题(5.1)的惟一解可表示为

$ \begin{eqnarray*} \label{421} u(X)& = &{\cal N}_m f(X)+\sum\limits_{j = 1}^m\int_{\partial D}{\cal K}_j(X, Q)\overline{g}_{j-1}(Q) {\rm d}\sigma(Q)\\ & = &{\cal N}_m f(X)+\sum\limits_{j = 1}^m {\cal M}_j\overline{g}_{j-1}(X), \, \, \, X\in D, \end{eqnarray*} $

其中

$ \overline{g}_{m-1} = (-\frac12 I+T^*)^{-1}\bigg[g_{m-1}-\frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_1 f\bigg] $

及

$ \overline {g}_{l} = (-\frac 12 I+T^*)^{-1} \bigg(g_l-\frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_{m-l} f-\sum\limits_{j = l+2}^m K_{j-l}^*\overline{g}_{j-1}\bigg), $

且$ 0\leqslant l\leqslant{m-2} $.该解也满足如下估计:

$ \|\nabla(u-{\cal M}_1\overline{g}_0)\|_{L^p(D)}\leq C\bigg(\sum\limits_{j = 1}^{m-1}\|g_j\|_{L^p(\partial D)}+\|f\|_{L^{\infty}(D)}\bigg) $

及

$ \|M(\nabla u)\|_{L^p(\partial D)}\leq C \bigg(\sum\limits_{j = 0}^{m-1}\|g_j\|_{L^p(\partial D)}+\|f\|_{L^{\infty}(D)}\bigg). $

此外,易知,满足上述最后两个估计中任一估计的非齐次PHN问题(5.1),除一个加法常数外,上述解仍是其惟一解.证毕.

注5.3  当$ m = 1 $时,非齐次PHN问题(5.1)退化为如下经典的非齐次调和Neumann问题:

$ \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} \Delta u = f, & \mbox{于} \, D \, \mbox{内}, \\ \frac{\partial}{\partial N}u = g_0, &\mbox{于}\, \partial D\, \mbox{上}. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

众所周知,由Gauss散度定理(更为直接地,利用Green恒等式),经典的调和Neumann问题的可解条件如下(参见文献[17]):

$ \int_{D}f(X){\rm d}X = \int_{\partial D}g_{0}(P){\rm d}\sigma(P). $

注意到(可见文献[17]中的命题3.19)

$ \int_{\partial D}\frac{\partial}{\partial N_{P}}{\cal K}_{1}(P, Y){\rm d}\sigma(P) = \int_{\partial D}\langle K_1(P, Y), n_P\rangle {\rm d}\sigma(P) = 1, \, \, \, Y\in D, $

其中$ \frac{\partial}{\partial N_{P}} $表示$ \partial D $上$ P $点处的外法向导数.于是,由定理5.2和\rm Fubini定理,上述可解条件等价于

$ \int_{\partial D}\left(g_{0}(P)-\frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_{1}f(P)\right){\rm d}\sigma(P) = 0. $

类似地,当$ m\geq2 $时,令$ \omega = \Delta^{m-1}u $,则易知非齐次PHN问题(5.1)的可解条件变为

$ \int_{\partial D}\left(g_{m-1}(P)-\frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_{1}f(P)\right){\rm d}\sigma(P) = 0. $

此即在上述定理中为了求解非齐次PHN问题(5.1)需要满足条件$ g_{m-1}-\frac{\partial}{\partial N}{\cal N}_{1}f\in L^{p}_{0}(\partial D) $的主要原因.