长期以来, Schrödinger算子一直是数学和物理研究的重要对象之一.对Schrödinger算子特征值的计算和估计经常是数学研究的焦点问题.本文基于许多相关的和开创性的工作,在一定边界条件下,研究了带边流形上Schrödinger算子的所谓基本间隙的下界.下面更精确地介绍这个问题和相关的进展.设$M$是一个带边的紧致黎曼流形,且边界$\partial M$是严格凸的,即它的第二基本形式相对于外法向是正定的.考虑Schrödinger算子的下列特征值问题

其中$V$是一个定义在$M$上的非负函数, $\nu$是$\partial M$的外法向,而$\alpha: M\rightarrow\mathbb{R}$是一个函数. Robin边界条件可以看作是Neumann边界条件(即$\alpha = 0$的情形)的推广.实际上, Dirichlet问题也可以看作Robin问题的极限情形,即$\alpha\to\infty$的情形.众所周知,上面的两个问题都存在一个不递减的特征值序列

用$f_j$表示对应于$\lambda_j$的特征函数.第一个特征函数$f_1$及其对应的特征值$\lambda_1$分别被称为基态和基态能.前两个特征值之差$\lambda_2-\lambda_1$,被称为基本间隙(简称谱间隙).它在量子力学、统计力学和量子场论中都具有重要意义.例如,在量子力学中谱间隙表示由基态到第一激发态所需的"激发能量",因此它决定着基态的稳定性.谱间隙在数学中也很重要.例如,在热方程的研究中,它决定了热方程的正解接近第一特征函数的速率.无论如何,物理学和数学都有这方面兴趣:用$M$的几何不变量和给定的势能函数$V$去找出$\lambda_2-\lambda_1$的精确下界.

长期以来,许多学者对Schrödinger算子(或Laplace算子)的谱间隙进行了广泛的研究.这里首先回顾一下: Schrödinger算子在$\mathbb{R} ^n$中有界凸区域上的一些有关谱估计的重要结果.

设$\Omega\subset \mathbb{R} ^n$是一个直径为$D$的有界凸区域,而$V: \bar{\Omega}\mapsto \mathbb{R}$一个非负凸光滑函数.那么Dirichlet问题(1.1)写为如下形式

特别是当$n = 1$时,问题(1.3)就变成了

其中$\tilde{V}\in C^1\big([-D/2, D/2], \mathbb{R} \big)$是非负凸函数.

在一维情形: Ashbaugh-Benguria^[6]断言:如果$\tilde{V}$是单井的(single-well)和对称的(但不必是凸的),则$\lambda_2-\lambda_1\geq3\pi^2/D^2$成立.在一定程度上, Horváth ^[11]去掉了对称性假设,允许$\tilde{V}$是单井的(single-well),且在区间中点取得其最小值. Lavine^[12]证明了:如果$\tilde{V}$是凸的,那么$\lambda_2-\lambda_1\geq3\pi^2/D^2$也成立.

在高维情形:采用梯度估计方法, Singer-Wong-Yau-Yau^[23]得到了$\lambda_2-\lambda_1\geq\pi^2/(4D^2)$.上述的下界估计被Yu-Zhong^[27]改进到$\lambda_2-\lambda_1\geq\pi^2/D^2$. Van den Berg^[7]注意到:$\lambda_2-\lambda_1\geq3\pi^2/D^2$对于许多直径为$D$的凸区域$\Omega\subset\mathbb{R} ^n$也成立. Yau^[25] (也可见文献[21,附录II]),以及Ashbaugh-Benguria^[6]都独立地提出了所谓的基本间隙猜想.

设$\Omega\subset\mathbb{R} ^n$是一个具有光滑边界的有界严格凸区域,而$V$是弱凸的位势.那么Schrödinger算子的谱间隙满足

其中$D: = \sup\limits_{x, y\in\Omega}|{y-x}|$是$\Omega$的直径.

这一猜想极大地激发了许多相关研究^{[3, 14, 17]}. 2011年, Andrews-Clutterbuck^[3]完全解决了这个猜想,其证明的关键步骤是对第一特征函数建立一个最佳的对数凹性估计.之后,在Andrews-Clutterbuck的重要工作的激励下, Ni^[19]利用椭圆型方程的极大原理, (在凸位势情形)对文献[3]的主要结果给出了另一种证明.最近, Wolfson^[29]在更困难的情形,使用类似的技巧证明了较一般的椭圆算子(即一类非对称椭圆算子)的谱间隙定理.不久, Andrews^[1]提出了一个问题:对于常曲率空间形式或更一般的流形上的凸区域,是否也存在最佳的谱间隙估计?

对于单位球面${\Bbb S}^n(1)$上直径为$D$的一个有界凸区域$\Omega$,有一些较弱的下界估计是通过梯度估计方法得到的.在$V\equiv0$的情形, Lee-Wang^[13]通过稍微修正Yau等人在文献[23]中的论证,得到了$\lambda_2-\lambda_1\geq\pi^2/D^2$.对一般情形:$V\not\equiv0$.利用Yu-Zhong^[27]的论证方法, Ling^{[14, 27]}得到了$\lambda_2-\lambda_1 > \pi^2/D^2$.在$V\equiv0$的情形,当直径$D$不超过$\pi$时, Wei等人^{[22, 10]}最近将文献[3]的论证推广到球面形情形,取得了实质性的进展.更准确地说,他们通过修正文献[3]的论证,证明了$\lambda_2-\lambda_1\geq3\pi^2/D^2$ ($n\geq3$),该结果与欧氏空间的情形一模一样.

对于更一般流形的情形, Cheng-Oden引入了一个加权Cheeger常数,证明了在Dirichlet条件下,黎曼流形上Laplace算子谱间隙有一个与该常数有关的下界(参阅文献[9,第1节]).采用变分方法,对于边界满足滚动$R$-球条件的紧致流形, Oden-Sung-Wang^[20]得到了Laplace算子的谱间隙的显式下界(该下界涉及一些几何量).读者可参阅文献[9, 20]以了解更多细节.

在Ashbaugh的一篇非常出色的综述^[5]中,可以找到更多这里没有提及的信息,以及关于该专题悠久历史的文献.此外读者可参阅文献[1, 3, 10, 19, 22]来了解最近的进展,以及一些困难但有趣的问题.综上所述, Schrödinger算子的谱间隙估计仍是一个非常活跃的研究领域.

正如Andrews-Clutterbuck^[3]先前指出的那样,估计谱间隙的一个关键步骤是建立第一特征函数的对数凹性.然而,对于一般的边值问题,基态$f_1$可能不是对数凹的.另外,从文献[9, 20]中可知,区域的凸性假设也很重要,因为Brascamp-Lieb的结果对于非凸的区域和非常曲率的流形一般是不对的.注意到$\log f_1$的Hessian出现在梯度估计的计算中,并且必须使用文献[8]中关于$f_1$的对数凹性的结果.因此,为了推导一般情形的一个最佳结果,可能需要使用一种完全不同的方法.

众所周知,在Dirichlet问题情形,文献中广泛研究了Schrödinger (或Laplace)算子的特征值估计.然而,据作者所知,关于Robin问题情形的特征值估计的研究很少.与前者相比,后者虽然在揭示微分算子的谱序列与流形几何(直径、曲率等)之间的关系方面也起到了重要作用,但所引起的关注较少.后者的研究难点之一仍是基态的凹性较复杂.

Andrews、Clutterbuck和Hauer最近的论文^[4]研究了Robin情形的基态的凹性.基于第一特征函数为对数凹的附加假设,他们推导了Laplace算子的前两个Robin特征值之差的(非最佳的)下界:

定理1.1 (Andrews-Clutterbuck-Hauer^[4])  设$\Omega$是$\mathbb{R} ^n$中的一个直径为$D$的有界凸区域,而$\lambda_1$和$\lambda_2$是下列Robin问题中的两个最小的特征值

这里$\nu$是$\partial \Omega$上的单位外法向, $\alpha$是一个实常数.如果与$\lambda_1$相应的特征函数是对数凹的,则

于是就产生了一个自然的问题:是否可以将定理1.1的结果推广到具有一定曲率条件的更一般流形的情形.不仅对$\mathbb{R} ^n$中的凸区域,而且对带有凸边界和非负Ricci曲率的紧致黎曼流形,均可期望获得相当精确的下界.本文研究了一般流形的谱间隙估计问题.主要任务是在满足一定曲率条件的更一般流形的情形,推导Schrödinger算子的前两个Dirichlet (或Robin)特征值间隙的下界估计.在问题(1.1) (或(1.2))的第一Dirichlet(或Robin)特征函数为对数凹的附加假设下,得到了下面的主要结果.

定理1.2   设$M$是一个$n$维的紧致黎曼流形,具有严格的凸边界,以及Ricci曲率满足

其中$K\geq0$是某个常数.设$\lambda_1$和$\lambda_2$是$M$上的Schrödinger算子关于问题(1.1) (或(1.2))的前两个Dirichlet (或Robin)特征值.分别用$f_1$和$f_2$表示相应于$\lambda_1$和$\lambda_2$的特征函数.设$a$为(后面(2.3定义的)某个常数,即

另外假设第一特征函数$f_1$是对数凹的.那么

其中$D$为$M$的直径,而$c_0$为(下面(4.13)定义的)另一常数,即

注1.1  显然,对任何情形都有$\lambda_2-\lambda_1\geq\pi^2/D^2$.在某种意义上,定理1.2确实把Andrews-Clutterbuck-Hauer最近的结果(即定理1.1)推广到具有严格凸边界和非负Ricci曲率的紧致黎曼流形的情形.

本文的论证是建立在几项早期研究的基础上的.主要工具是梯度估计和闸函数方法,还需构造恰当的试验函数(test functions).粗略地说,通过构造一个对证明至关重要的恰当的试验函数,并使用由钟家庆等人^[27-28]的方法发展而来的凌俊^[15-16]的方法来证明定理1.2.

本文的其余部分安排如下.第2节简要介绍一些术语和符号.它们与文献[21]中一致,在这里相应的术语将在更一般的框架中定义.在第3节中,首先叙述了一个技术上的引理.它可视为文献[24]中引理2.2 (的一种情形)的另一版本.然后借助这个引理和最大值原理,建立了$F(\theta)$ (其定义可见后面(2.9)式)的粗糙估计.在第4节末尾,利用闸函数方法可以得到$F(\theta)$的精细估计.结果表明,这种改进的估计对于定理1.2的证明是必要的.最后,作为上述估计的应用,定理1.2的证明将在第5节中给出.

设$\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$是$M$上的一个局部标架场.用下标$i, j$及$k$分别表示沿$e_i, e_j$及$e_k$方向的共变导数.而$M$上的Laplace算子,可用上述局部标架场下的局部坐标定义为:沿$e_i$方向求两次共变导数,再关于$i = 1, \cdots, n$求和,即$\Delta u = \sum_i u_{ii}$.

首先考虑Schrödinger算子的Dirichlet特征值问题.设$f_1$和$f_2$分别是前两个特征函数.根据Courant的一个定理(可见文献[26]),易知$f_1 > 0$.于是,比值$u: = f_2/f_1$是一个在$M\setminus\partial M$中恰当定义的光滑函数.此外,还可得到如下结果(其证明可参阅文献[9, 20, 23, 26]).

命题2.1  比值$u = f_2/f_1$满足

其中$\lambda: = \lambda_2-\lambda_1 > 0$.此外, $u$在$M$内光滑直到其边界,且在边界上满足Neumann条件,即$D_\nu u|_{\partial M} = 0$.

其次,考虑Schrödinger算子的Robin特征值问题(1.2).用$f_1$和$f_2$分别记前两个特征函数.定义$u: = f_2/f_1$.通过直接计算,容易验证$u$也满足(2.1).在边界$\partial M$上, $u$的法向导数为零,即

注2.1  注意到这两个问题的谱估计的推导在本文其余部分是相同的,二者之间的区别只出现在前面的论证中.因此,以后不再具体指出特征值(或特征函数)属于哪个问题.

不失一般性,可假设

若记

则(2.1)和(2.2)式可重写为

记$\theta: = \arcsin \tilde{u}$,于是

另外,定义$M$的一个子集如下

利用(2.4)式,直接计算表明$\theta$满足

特别地

显然, $(D_\nu u)|_{\partial M} = 0$等价于

对任意$x\in\Sigma_*$,由(2.5)式可得

此外,定义一个函数$F: (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\mapsto\mathbb{R}$如下

显然, $F$是恰当定义的.实际上, $F(\theta_0)$就是带有约束条件$\theta(x) = \theta_0$的$f$的极值.容易验证$F(\theta)$在$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$中是连续的.此外,如果定义

那么, $F(\theta)$可通过(2.8)式被扩展为$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$上的一个连续函数.

首先叙述一个即将用到的技术上的引理.它可视为文献[24]中引理2.2的一种情形的另一版本.建议读者参阅文献[24]以获得证明的细节.

引理3.1  假设$\partial M\ (\neq\emptyset)$是弱凸的,即它的第二基本形式是非负定的.设$\partial M\neq\emptyset$,函数$G(x)$为定义如下

其中$g(\theta)$是定义在$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$上的光滑函数.假设$(D_\nu\theta)|_{\partial M} = 0$.若$G(x)$在$x_0\in \partial M$取其最大值,则$\nabla G(x_0) = 0$.此外,若假设$\partial M$是严格凸的,那么还有$\nabla\theta(x_0) = 0$.

然后,建立$F(\theta)$的一个粗糙估计.正如文献[28]所指出的那样, $F(\theta)$的上界估计在$\lambda = \lambda_2-\lambda_1$的下界估计中起着重要的作用.

引理3.2  假设${\rm Ric}(M)\geq0$.其它条件同定理1.2.则有如下估计

于是,有

证  假设$|\nabla\theta|^2$在$x_0$处达到其最大值.下面分三种情形来证明结论.

(1)在$x_0\in\Sigma_*$的情形.显然,此时(2.8)式蕴含着(3.1)式.

(2)在$x_0\in\partial M\setminus \Sigma_*$的情形.由引理3.1可得$\nabla\theta(x_0) = 0$.于是(3.1)式仍然成立.

(3)在$x_0\in M\setminus(\partial M\cup\Sigma_*)$的情形.根据最大值原理,如果$|{\nabla\theta}|^2$在$x_0$处达到其最大值,则在$x_0$处有

对$\theta$运用Bochner公式可得

其中$\rm{Ric}(\nabla\theta, \nabla\theta)$是沿$\nabla\theta$的Ricci曲率.把(2.6)式代入(3.4)式可得

由直接计算可得

把(3.6)式和(3.7)式代入(3.5)式可得

由假设$\log f_1$是凹的,即$(\nabla^2\log f_1)$是非正定的,可知

利用(3.3)式,并注意到${\rm Ric}(M)\geq 0$和$|{\nabla^2\theta}|^2\geq0$,从(3.8)式可得在$x_0$处有

下面通过验证两种情形来证明引理的结论.

(ⅰ)在$|\nabla\theta(x_0)| = 0$的情形,结论显然成立.

(ⅱ)在$|\nabla\theta(x_0)|\neq0$的情形,上式两端依次同除以$|\nabla\theta|^2$和乘以$\cos^2\theta$,可知在$x_0$处有

于是

这意味着结论成立.

为了以后方便起见,从现在起,记$\sigma: = (n-1)K/\lambda$.在本节中可假定$0 < a < 1$.事实上,当常数$a = 0$时,由引理3.2易知$F(\theta)/\lambda\leq1+a$.此时可以将$\lambda$视为$F(\theta)$的上界.为了得到比(3.2)式更精细的估计,还需要建立如下的引理.

引理4.1  假设$0 < a < 1$,其它条件同定理1.2.如果函数$z: [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\mapsto\mathbb{R}$满足下列性质

(1) $z$非减的,即$z'(\theta)\geq0, \forall\, \, \theta\in[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$;

(2)对$\forall\, \theta\in[-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}], \, z(\theta)\geq F(\theta)/\lambda$;

(3)存在某个$\theta_0\in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,使得$z(\theta_0) = F(\theta_0)/\lambda > 0$;

(4) $a\geq\sin\theta_0\cdot\big[z(\theta_0)-1\big]$.

那么下列不等式成立

证   设

显然,对所有$x\in M$, ${\cal E}(x)\leq 0$.利用(2.9)式,易知存在某点$x_0\in M\setminus\Sigma_*$使得$\theta(x_0) = \theta_0$且$F(\theta_0) = |{\nabla\theta(x_0)}|^2$.这样${\cal E}(x)$在$x_0$处达到它的最大值$0$.因此

假设$x_0\in\partial M\setminus\Sigma_*$.用$2\, {\cal E}(x)$代替引理3.1中$G(x)$,可得$\nabla\theta(x_0) = 0$.于是

这是一个矛盾.因此, $x_0\in M\setminus(\partial M\cup\Sigma_*)$.由最大值原理可知, ${\cal E}(x)$在$x_0$满足

经过简单计算可得

由于在$x_0$处$\nabla{\cal E} = 0$,所以,在$x_0$处

通过直接计算和应用(2.6)式可得

将(3.8)式与(4.5)式合起来,得到

由于${\rm Ric}(\nabla\theta, \nabla\theta)\geq (n-1)K|{\nabla\theta}|^2$,于是可得

将(4.4)式代入(4.6)式可得

上式右边的第五项和最后一项可相互抵消.因此有

再由简单计算可得

由假设可知, $\nabla^2\log f_1$是非正定的.注意到$\Delta{\cal E}(x_0)\leq0$,以及上式右边的第一项和第四项是非负的.于是在$x_0$处可得下列不等式

既然$a\geq\sin\theta_0\cdot\big[z(\theta_0)-1\big]$,那么$\lambda(\sin\theta_0+a)\geq\sin\theta_0\cdot|{\nabla\theta(x_0)}|^2$.再由假设$z'(\theta)\geq0$可知,在$x_0$处有

由于$|{\nabla\theta(x_0)}|^2 = \lambda z(\theta_0) > 0$,所以上式两端依次同除以$\lambda|{\nabla\theta}|^2$和乘以$\cos^2\theta$可得,在$x_0$处有

在$x_0$处利用(4.2)式可得

从此式容易得到(4.1)式.证毕.

引理4.2  设

且$\xi( \pm \frac{\pi}{2}) = 0$.则函数$\xi$满足

此外,函数$\xi$满足下列性质

引理4.3^[28]  定义函数$\eta$如下

那么$\eta\in C^0[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\cap C^2(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$满足:$\eta'(\theta)\geq 0$,且

此外,函数$\eta$满足下列性质

引理4.4^[15-16]  函数$r(\theta): = \xi'(\theta)/\eta'(\theta)$在$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$上是严格单增的,即$r'(\theta) > 0$;并且在$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$上满足$|{r(\theta)}|\leq\frac{\pi^2}{4}$.

推论4.1  设

其中常数$c_0\in[0, 1]$定义如下

使得$\frac{c_0\sigma \pi^2}{8}\leq a$.那么$\phi$满足下列性质

此外

以及

证   可直接验证(4.13)式.此外,由引理4.3和引理4.4可得

因此, $\phi(\theta)$在$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$上是单增的,由此容易得到(4.15)式.此外,其余性质可由引理4.2–4.3得到验证.证毕.

利用引理4.1和推论4.1,可得以下结论.

推论4.2  条件同定理1.2.而$F(\theta)$和$\phi(\theta)$分别由(2.9)和(4.11)式定义.则有下列估计

证  假设结论不成立.由于$F( \pm \frac{\pi}{2})/\lambda = 1 \pm a = \phi( \pm \frac{\pi}{2})$,那么,存在$\theta_0\in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$使得

设$Z(\theta) = \phi(\theta)+\varepsilon_0$.显然, $Z'(\theta) = \phi'(\theta)\geq 0$.此外

和

由此可得$Z(\theta_0)-1 > -a$.另一方面

由以上结果可知

于是

然后,用$Z(\theta)$替代引理4.1中的$z(\theta)$,由引理4.1–4.3和推论4.1可得

但这与(4.18)式相矛盾.证毕.

注4.1  显然,无论常数$a$是否为零, $\phi(\theta)$都改进了$F(\theta)$的上界估计到所要求的地步.

现在利用$F(\theta)$的精细估计可证明定理1.2如下.

证   取$x_1, x_2\in M$使得$\theta(x_1) = -\frac{\pi}{2}$, $\theta(x_2) = \frac{\pi}{2}$.用$D'$记$M$上连接$x_1$与$x_2$的最短曲线$\gamma$的长度.用$D$记$M$的直径.显然, $D'\leq D$.

不等式(4.17)意味着

其中$\phi(\theta)$由(4.11)定义.沿曲线$\gamma$积分(5.1)式的两端,并利用(4.16)式,可进行如下的推导

于是,有

或有等价式

由简单计算可得

证毕.