数学物理学报, 2020, 40(2): 257-270 doi:

论文

紧流形上的Schrödinger算子的谱间隙估计

何跃,1, 赫海龙,2

An Estimate of Spectral Gap for Schrödinger Operators on Compact Manifolds

He Yue,1, Her Hailong,2

通讯作者: 何跃, E-mail: heyue@njnu.edu.cn

收稿日期: 2018-08-8  

基金资助: 国家自然科学基金.  11671209
国家自然科学基金.  11871278
江苏高校优势学科建设工程资助项目

Received: 2018-08-8  

Fund supported: the NSFC.  11671209
the NSFC.  11871278
the Priority Academic Program Development of Jiangsu Higher Education Institutions

作者简介 About authors

赫海龙,E-mail:hailongher@126.com,hailongher@jnu.edu.cn , E-mail:hailongher@126.com; hailongher@jnu.edu.cn

摘要

$M$是一个$n$维紧黎曼流形,具有严格凸边界,且Ricci曲率不小于$(n-1)K$(其中$K\geq0$为某个常数).假定Schrödinger算子的Dirichlet (或Robin)特征值问题的第一特征函数$f_1$$M$上是对数凹的,该文得到了此类Schrödinger算子的前两个Dirichlet(或Robin)特征值之差的下界估计,这推广了最近Andrews等人在$\mathbb{R} ^n$中有界凸区域上关于Laplace算子的一个相应结果[4].

关键词: Schrödinger算子 ; Dirichlet特征值 ; Robin特征值 ; 谱间隙 ; 具有凸边界的流形 ; Ricci曲率

Abstract

Let $M$ be an $n$-dimensional compact Riemannian manifold with strictly convex boundary. Suppose that the Ricci curvature of $M$ is bounded below by $(n-1)K$ for some constant $K\geq0$ and the first eigenfunction $f_1$ of Dirichlet (or Robin) eigenvalue problem of a Schrödinger operator on $M$ is log-concave. Then we obtain a lower bound estimate of the gap between the first two Dirichlet (or Robin) eigenvalues of such Schrödinger operator. This generalizes a recent result by Andrews et al. ([4]) for Laplace operator on a bounded convex domain in $\mathbb{R} ^n$.

Keywords: Schrödinger operator ; Dirichlet eigenvalue ; Robin eigenvalue ; Spectral gap ; Manifold with convex boundary ; Ricci curvature

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本文引用格式

何跃, 赫海龙. 紧流形上的Schrödinger算子的谱间隙估计. 数学物理学报[J], 2020, 40(2): 257-270 doi:

He Yue, Her Hailong. An Estimate of Spectral Gap for Schrödinger Operators on Compact Manifolds. Acta Mathematica Scientia[J], 2020, 40(2): 257-270 doi:

1 引言

长期以来, Schrödinger算子一直是数学和物理研究的重要对象之一.对Schrödinger算子特征值的计算和估计经常是数学研究的焦点问题.本文基于许多相关的和开创性的工作,在一定边界条件下,研究了带边流形上Schrödinger算子的所谓基本间隙的下界.下面更精确地介绍这个问题和相关的进展.设$ M $是一个带边的紧致黎曼流形,且边界$ \partial M $是严格凸的,即它的第二基本形式相对于外法向是正定的.考虑Schrödinger算子的下列特征值问题

$ \begin{equation} \hbox{ Dirichlet问题:}\qquad \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta f+Vf = \lambda f, \quad &\hbox{在}\, M\setminus\partial M\, \hbox{内}, \\ f = 0, \quad&\hbox{在}\, \partial M\, \hbox{上}, \end{array} \right. \end{equation} $

$ \begin{equation} \hbox{ Robin问题:}\qquad \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta f+Vf = \lambda f, &\quad\hbox{在}\, M\setminus\partial M\, \hbox{内}, \\ D_\nu f+\alpha f = 0, &\quad\hbox{在}\, \partial M\, \hbox{上}, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ V $是一个定义在$ M $上的非负函数, $ \nu $$ \partial M $的外法向,而$ \alpha: M\rightarrow\mathbb{R} $是一个函数. Robin边界条件可以看作是Neumann边界条件(即$ \alpha = 0 $的情形)的推广.实际上, Dirichlet问题也可以看作Robin问题的极限情形,即$ \alpha\to\infty $的情形.众所周知,上面的两个问题都存在一个不递减的特征值序列

$ f_j $表示对应于$ \lambda_j $的特征函数.第一个特征函数$ f_1 $及其对应的特征值$ \lambda_1 $分别被称为基态和基态能.前两个特征值之差$ \lambda_2-\lambda_1 $,被称为基本间隙(简称谱间隙).它在量子力学、统计力学和量子场论中都具有重要意义.例如,在量子力学中谱间隙表示由基态到第一激发态所需的"激发能量",因此它决定着基态的稳定性.谱间隙在数学中也很重要.例如,在热方程的研究中,它决定了热方程的正解接近第一特征函数的速率.无论如何,物理学和数学都有这方面兴趣:用$ M $的几何不变量和给定的势能函数$ V $去找出$ \lambda_2-\lambda_1 $的精确下界.

长期以来,许多学者对Schrödinger算子(或Laplace算子)的谱间隙进行了广泛的研究.这里首先回顾一下: Schrödinger算子在$ \mathbb{R} ^n $中有界凸区域上的一些有关谱估计的重要结果.

$ \Omega\subset \mathbb{R} ^n $是一个直径为$ D $的有界凸区域,而$ V: \bar{\Omega}\mapsto \mathbb{R} $一个非负凸光滑函数.那么Dirichlet问题(1.1)写为如下形式

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta f+Vf = \lambda f, &\quad\hbox{在$\Omega$内, }\\ f = 0, &\quad\hbox{在$\partial \Omega$内.} \end{array} \right. \end{equation} $

特别是当$ n = 1 $时,问题(1.3)就变成了

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} -f''+\tilde{V}f = \lambda f , \quad\hbox{在}\, \big( -D/2, D/2\big)\, \hbox{内}, \\ f\big(-D/2\big) = f\big(D/2\big) = 0, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ \tilde{V}\in C^1\big([-D/2, D/2], \mathbb{R} \big) $是非负凸函数.

在一维情形: Ashbaugh-Benguria[6]断言:如果$ \tilde{V} $是单井的(single-well)和对称的(但不必是凸的),则$ \lambda_2-\lambda_1\geq3\pi^2/D^2 $成立.在一定程度上, Horváth [11]去掉了对称性假设,允许$ \tilde{V} $是单井的(single-well),且在区间中点取得其最小值. Lavine[12]证明了:如果$ \tilde{V} $是凸的,那么$ \lambda_2-\lambda_1\geq3\pi^2/D^2 $也成立.

在高维情形:采用梯度估计方法, Singer-Wong-Yau-Yau[23]得到了$ \lambda_2-\lambda_1\geq\pi^2/(4D^2) $.上述的下界估计被Yu-Zhong[27]改进到$ \lambda_2-\lambda_1\geq\pi^2/D^2 $. Van den Berg[7]注意到:$ \lambda_2-\lambda_1\geq3\pi^2/D^2 $对于许多直径为$ D $的凸区域$ \Omega\subset\mathbb{R} ^n $也成立. Yau[25] (也可见文献[21,附录II]),以及Ashbaugh-Benguria[6]都独立地提出了所谓的基本间隙猜想.

$ \Omega\subset\mathbb{R} ^n $是一个具有光滑边界的有界严格凸区域,而$ V $是弱凸的位势.那么Schrödinger算子的谱间隙满足

其中$ D: = \sup\limits_{x, y\in\Omega}|{y-x}| $$ \Omega $的直径.

这一猜想极大地激发了许多相关研究[3, 14, 17]. 2011年, Andrews-Clutterbuck[3]完全解决了这个猜想,其证明的关键步骤是对第一特征函数建立一个最佳的对数凹性估计.之后,在Andrews-Clutterbuck的重要工作的激励下, Ni[19]利用椭圆型方程的极大原理, (在凸位势情形)对文献[3]的主要结果给出了另一种证明.最近, Wolfson[29]在更困难的情形,使用类似的技巧证明了较一般的椭圆算子(即一类非对称椭圆算子)的谱间隙定理.不久, Andrews[1]提出了一个问题:对于常曲率空间形式或更一般的流形上的凸区域,是否也存在最佳的谱间隙估计?

对于单位球面$ {\Bbb S}^n(1) $上直径为$ D $的一个有界凸区域$ \Omega $,有一些较弱的下界估计是通过梯度估计方法得到的.在$ V\equiv0 $的情形, Lee-Wang[13]通过稍微修正Yau等人在文献[23]中的论证,得到了$ \lambda_2-\lambda_1\geq\pi^2/D^2 $.对一般情形:$ V\not\equiv0 $.利用Yu-Zhong[27]的论证方法, Ling[14, 27]得到了$ \lambda_2-\lambda_1 > \pi^2/D^2 $.$ V\equiv0 $的情形,当直径$ D $不超过$ \pi $时, Wei等人[22, 10]最近将文献[3]的论证推广到球面形情形,取得了实质性的进展.更准确地说,他们通过修正文献[3]的论证,证明了$ \lambda_2-\lambda_1\geq3\pi^2/D^2 $ ($ n\geq3 $),该结果与欧氏空间的情形一模一样.

对于更一般流形的情形, Cheng-Oden引入了一个加权Cheeger常数,证明了在Dirichlet条件下,黎曼流形上Laplace算子谱间隙有一个与该常数有关的下界(参阅文献[9,第1节]).采用变分方法,对于边界满足滚动$ R $-球条件的紧致流形, Oden-Sung-Wang[20]得到了Laplace算子的谱间隙的显式下界(该下界涉及一些几何量).读者可参阅文献[9, 20]以了解更多细节.

在Ashbaugh的一篇非常出色的综述[5]中,可以找到更多这里没有提及的信息,以及关于该专题悠久历史的文献.此外读者可参阅文献[1, 3, 10, 19, 22]来了解最近的进展,以及一些困难但有趣的问题.综上所述, Schrödinger算子的谱间隙估计仍是一个非常活跃的研究领域.

正如Andrews-Clutterbuck[3]先前指出的那样,估计谱间隙的一个关键步骤是建立第一特征函数的对数凹性.然而,对于一般的边值问题,基态$ f_1 $可能不是对数凹的.另外,从文献[9, 20]中可知,区域的凸性假设也很重要,因为Brascamp-Lieb的结果对于非凸的区域和非常曲率的流形一般是不对的.注意到$ \log f_1 $的Hessian出现在梯度估计的计算中,并且必须使用文献[8]中关于$ f_1 $的对数凹性的结果.因此,为了推导一般情形的一个最佳结果,可能需要使用一种完全不同的方法.

众所周知,在Dirichlet问题情形,文献中广泛研究了Schrödinger (或Laplace)算子的特征值估计.然而,据作者所知,关于Robin问题情形的特征值估计的研究很少.与前者相比,后者虽然在揭示微分算子的谱序列与流形几何(直径、曲率等)之间的关系方面也起到了重要作用,但所引起的关注较少.后者的研究难点之一仍是基态的凹性较复杂.

Andrews、Clutterbuck和Hauer最近的论文[4]研究了Robin情形的基态的凹性.基于第一特征函数为对数凹的附加假设,他们推导了Laplace算子的前两个Robin特征值之差的(非最佳的)下界:

定理1.1 (Andrews-Clutterbuck-Hauer[4])  设$ \Omega $$ \mathbb{R} ^n $中的一个直径为$ D $的有界凸区域,而$ \lambda_1 $$ \lambda_2 $是下列Robin问题中的两个最小的特征值

这里$ \nu $$ \partial \Omega $上的单位外法向, $ \alpha $是一个实常数.如果与$ \lambda_1 $相应的特征函数是对数凹的,则

$ \begin{equation} \lambda_2-\lambda_1\geq\frac{\pi^2}{D^2}. \end{equation} $

于是就产生了一个自然的问题:是否可以将定理1.1的结果推广到具有一定曲率条件的更一般流形的情形.不仅对$ \mathbb{R} ^n $中的凸区域,而且对带有凸边界和非负Ricci曲率的紧致黎曼流形,均可期望获得相当精确的下界.本文研究了一般流形的谱间隙估计问题.主要任务是在满足一定曲率条件的更一般流形的情形,推导Schrödinger算子的前两个Dirichlet (或Robin)特征值间隙的下界估计.在问题(1.1) (或(1.2))的第一Dirichlet(或Robin)特征函数为对数凹的附加假设下,得到了下面的主要结果.

定理1.2   设$ M $是一个$ n $维的紧致黎曼流形,具有严格的凸边界,以及Ricci曲率满足

其中$ K\geq0 $是某个常数.设$ \lambda_1 $$ \lambda_2 $$ M $上的Schrödinger算子关于问题(1.1) (或(1.2))的前两个Dirichlet (或Robin)特征值.分别用$ f_1 $$ f_2 $表示相应于$ \lambda_1 $$ \lambda_2 $的特征函数.设$ a $为(后面(2.3定义的)某个常数,即

另外假设第一特征函数$ f_1 $是对数凹的.那么

其中$ D $$ M $的直径,而$ c_0 $为(下面(4.13)定义的)另一常数,即

注1.1  显然,对任何情形都有$ \lambda_2-\lambda_1\geq\pi^2/D^2 $.在某种意义上,定理1.2确实把Andrews-Clutterbuck-Hauer最近的结果(即定理1.1)推广到具有严格凸边界和非负Ricci曲率的紧致黎曼流形的情形.

本文的论证是建立在几项早期研究的基础上的.主要工具是梯度估计和闸函数方法,还需构造恰当的试验函数(test functions).粗略地说,通过构造一个对证明至关重要的恰当的试验函数,并使用由钟家庆等人[27-28]的方法发展而来的凌俊[15-16]的方法来证明定理1.2.

本文的其余部分安排如下.第2节简要介绍一些术语和符号.它们与文献[21]中一致,在这里相应的术语将在更一般的框架中定义.在第3节中,首先叙述了一个技术上的引理.它可视为文献[24]中引理2.2 (的一种情形)的另一版本.然后借助这个引理和最大值原理,建立了$ F(\theta) $ (其定义可见后面(2.9)式)的粗糙估计.在第4节末尾,利用闸函数方法可以得到$ F(\theta) $的精细估计.结果表明,这种改进的估计对于定理1.2的证明是必要的.最后,作为上述估计的应用,定理1.2的证明将在第5节中给出.

2 记号和准备工作

$ \{e_1, e_2, \cdots, e_n\} $$ M $上的一个局部标架场.用下标$ i, j $$ k $分别表示沿$ e_i, e_j $$ e_k $方向的共变导数.而$ M $上的Laplace算子,可用上述局部标架场下的局部坐标定义为:沿$ e_i $方向求两次共变导数,再关于$ i = 1, \cdots, n $求和,即$ \Delta u = \sum_i u_{ii} $.

首先考虑Schrödinger算子的Dirichlet特征值问题.设$ f_1 $$ f_2 $分别是前两个特征函数.根据Courant的一个定理(可见文献[26]),易知$ f_1 > 0 $.于是,比值$ u: = f_2/f_1 $是一个在$ M\setminus\partial M $中恰当定义的光滑函数.此外,还可得到如下结果(其证明可参阅文献[9, 20, 23, 26]).

命题2.1  比值$ u = f_2/f_1 $满足

$ \begin{equation} \Delta u+\lambda u+2\nabla u\cdot\nabla\log f_1 = 0, \quad \hbox{在}\, M\setminus\partial M\, \hbox{内}, \end{equation} $

其中$ \lambda: = \lambda_2-\lambda_1 > 0 $.此外, $ u $$ M $内光滑直到其边界,且在边界上满足Neumann条件,即$ D_\nu u|_{\partial M} = 0 $.

其次,考虑Schrödinger算子的Robin特征值问题(1.2).用$ f_1 $$ f_2 $分别记前两个特征函数.定义$ u: = f_2/f_1 $.通过直接计算,容易验证$ u $也满足(2.1).在边界$ \partial M $上, $ u $的法向导数为零,即

注2.1  注意到这两个问题的谱估计的推导在本文其余部分是相同的,二者之间的区别只出现在前面的论证中.因此,以后不再具体指出特征值(或特征函数)属于哪个问题.

不失一般性,可假设

$ \begin{equation} \max\, u = 1, \qquad \min\, u = -k\qquad \hbox{和}\qquad 0<k\leq 1. \end{equation} $

若记

$ \begin{equation} \tilde{u}: = \big(u-\frac{1-k}{2}\big)\big/\frac{1+k}{2} \qquad\hbox{和}\qquad a: = \frac{1-k}{1+k}, \quad 0\leq a<1. \end{equation} $

则(2.1)和(2.2)式可重写为

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \Delta \tilde{u}+\lambda (\tilde{u}+a)+2\nabla \tilde{u}\cdot\nabla \log f_1 = 0, \quad \hbox{在}\, M\setminus\partial M\, \hbox{内}, \\ \max\, \tilde{u} = 1, \qquad \min\, \tilde{u} = -1. \end{array} \right. \end{equation} $

$ \theta: = \arcsin \tilde{u} $,于是

另外,定义$ M $的一个子集如下

利用(2.4)式,直接计算表明$ \theta $满足

$ \begin{equation} \cos\theta \cdot \Delta\theta-\sin\theta\cdot |{\nabla \theta}|^2+\lambda (\sin\theta+a)+2\cos\theta\cdot \nabla\theta\cdot\nabla \log f_1 = 0, \quad\hbox{在}\, M\setminus\partial M\, \hbox{中}. \end{equation} $

特别地

$ \begin{equation} \Delta\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot|{\nabla \theta}|^2-\frac{\lambda (\sin\theta+a)}{\cos \theta}-2\nabla\theta\cdot\nabla \log f_1, \quad\hbox{在}\, M\setminus(\partial M\cup\Sigma_*)\, \hbox{中}. \end{equation} $

显然, $ (D_\nu u)|_{\partial M} = 0 $等价于

$ \begin{equation} D_\nu\theta = \frac{1}{\sqrt{1-\tilde{u}^2}}\cdot D_\nu\tilde{u} = \frac{1}{\sqrt{1-\tilde{u}^2}}\cdot\frac{2}{1+k}\cdot D_\nu u = 0, \, \, \hbox{在}\, \partial M\, \hbox{上}. \end{equation} $

对任意$ x\in\Sigma_* $,由(2.5)式可得

$ \begin{equation} |{\nabla\theta}|^2 = \lambda(1 \pm a), \quad\hbox{当}\, \theta(x) = \pm \frac{\pi}{2}\, \hbox{时}. \end{equation} $

此外,定义一个函数$ F: (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\mapsto\mathbb{R} $如下

$ \begin{equation} F(\theta_0) = \max\limits_{x\in M, \, \theta(x) = \theta_0} |{\nabla\theta(x)}|^2, \quad\forall\, \, \theta_0\in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}). \end{equation} $

显然, $ F $是恰当定义的.实际上, $ F(\theta_0) $就是带有约束条件$ \theta(x) = \theta_0 $$ f $的极值.容易验证$ F(\theta) $$ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $中是连续的.此外,如果定义

那么, $ F(\theta) $可通过(2.8)式被扩展为$ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $上的一个连续函数.

3 $ F(\theta) $的一个粗糙的估计

首先叙述一个即将用到的技术上的引理.它可视为文献[24]中引理2.2的一种情形的另一版本.建议读者参阅文献[24]以获得证明的细节.

引理3.1  假设$ \partial M\ (\neq\emptyset) $是弱凸的,即它的第二基本形式是非负定的.设$ \partial M\neq\emptyset $,函数$ G(x) $为定义如下

其中$ g(\theta) $是定义在$ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $上的光滑函数.假设$ (D_\nu\theta)|_{\partial M} = 0 $.$ G(x) $$ x_0\in \partial M $取其最大值,则$ \nabla G(x_0) = 0 $.此外,若假设$ \partial M $是严格凸的,那么还有$ \nabla\theta(x_0) = 0 $.

然后,建立$ F(\theta) $的一个粗糙估计.正如文献[28]所指出的那样, $ F(\theta) $的上界估计在$ \lambda = \lambda_2-\lambda_1 $的下界估计中起着重要的作用.

引理3.2  假设$ {\rm Ric}(M)\geq0 $.其它条件同定理1.2.则有如下估计

$ \begin{equation} |{\nabla\theta(x)}|^2\leq \lambda(1+a), \quad\forall\, \, x\in M. \end{equation} $

于是,有

$ \begin{equation} F(\theta)\leq \lambda (1+a), \quad\forall\, \, \theta\in[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]. \end{equation} $

  假设$ |\nabla\theta|^2 $$ x_0 $处达到其最大值.下面分三种情形来证明结论.

(1)在$ x_0\in\Sigma_* $的情形.显然,此时(2.8)式蕴含着(3.1)式.

(2)在$ x_0\in\partial M\setminus \Sigma_* $的情形.由引理3.1可得$ \nabla\theta(x_0) = 0 $.于是(3.1)式仍然成立.

(3)在$ x_0\in M\setminus(\partial M\cup\Sigma_*) $的情形.根据最大值原理,如果$ |{\nabla\theta}|^2 $$ x_0 $处达到其最大值,则在$ x_0 $处有

$ \begin{equation} \nabla(|{\nabla\theta}|^2) = 0 \qquad\hbox{且}\qquad\Delta(|{\nabla\theta}|^2)\leq0. \end{equation} $

$ \theta $运用Bochner公式可得

$ \begin{equation} \frac{1}{2}\, \Delta (|{\nabla \theta}|^2) = |{\nabla^2\theta}|^2+\nabla\theta\cdot\nabla (\Delta \theta)+ \rm{Ric}(\nabla\theta, \nabla\theta), \end{equation} $

其中$ \rm{Ric}(\nabla\theta, \nabla\theta) $是沿$ \nabla\theta $的Ricci曲率.把(2.6)式代入(3.4)式可得

$ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\, \Delta (|{\nabla\theta}|^2) & = & |{\nabla^2\theta}|^2+\nabla\theta\cdot\nabla \big[\frac{\sin \theta}{\cos\theta}\cdot |{\nabla\theta}|^2-\frac{\lambda (\sin\theta+a)}{\cos\theta}\big]\\ &&-\nabla(|{\nabla\theta}|^2)\cdot\nabla\log f_1 -2\nabla\theta\cdot(\nabla\theta\cdot\nabla^2\log f_1) +{\rm Ric}(\nabla\theta, \nabla\theta)\\ & = & |{\nabla^2\theta}|^2 +\nabla\theta\cdot\nabla \big(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\big)\cdot |{\nabla \theta}|^2+\nabla\theta\cdot\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot \nabla(|{\nabla \theta}|^2)\\ &&-\lambda\cdot\nabla\theta\cdot \big[\nabla \big(\frac{\sin \theta}{\cos\theta}\big)+a\cdot\nabla \big(\frac{1}{\cos\theta}\big)\big]\\ &&-\nabla(|{\nabla\theta}|^2)\cdot\nabla\log f_1 -2\nabla\theta\cdot(\nabla\theta\cdot\nabla^2\log f_1) +{\rm Ric}(\nabla\theta, \nabla\theta). \end{eqnarray} $

由直接计算可得

$ \begin{equation} \nabla \big(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\big) = \frac{\nabla(\sin\theta)\cdot \cos\theta-\sin\theta \cdot \nabla (\cos\theta)}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta}\cdot\nabla\theta, \end{equation} $

$ \begin{equation} \nabla \big(\frac{1}{\cos\theta}\big) = \frac{-1}{\cos^2\theta}\cdot(-\sin\theta)\cdot\nabla\theta = \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}\cdot\nabla\theta. \end{equation} $

把(3.6)式和(3.7)式代入(3.5)式可得

$ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\, \Delta (|{\nabla\theta}|^2) & = & |{\nabla^2\theta}|^2+\frac{1}{\cos^2\theta}\cdot|{\nabla\theta}|^4 +\nabla\theta\cdot\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot\nabla (|{\nabla \theta}|^2) -\frac{\lambda(1+a\sin\theta)}{\cos^2\theta}\cdot|{\nabla\theta}|^2\\ &&-\nabla(|{\nabla\theta}|^2)\cdot\nabla\log f_1 -2\nabla\theta\cdot(\nabla\theta\cdot\nabla^2\log f_1) +{\rm Ric}(\nabla\theta, \nabla\theta). \end{eqnarray} $

由假设$ \log f_1 $是凹的,即$ (\nabla^2\log f_1) $是非正定的,可知

$ \begin{equation} \nabla\theta\cdot(\nabla\theta\cdot\nabla^2\log f_1)\leq 0. \end{equation} $

利用(3.3)式,并注意到$ {\rm Ric}(M)\geq 0 $$ |{\nabla^2\theta}|^2\geq0 $,从(3.8)式可得在$ x_0 $处有

下面通过验证两种情形来证明引理的结论.

(ⅰ)在$ |\nabla\theta(x_0)| = 0 $的情形,结论显然成立.

(ⅱ)在$ |\nabla\theta(x_0)|\neq0 $的情形,上式两端依次同除以$ |\nabla\theta|^2 $和乘以$ \cos^2\theta $,可知在$ x_0 $处有

于是

这意味着结论成立.

4 $ F(\theta) $的一个精细的估计

为了以后方便起见,从现在起,记$ \sigma: = (n-1)K/\lambda $.在本节中可假定$ 0 < a < 1 $.事实上,当常数$ a = 0 $时,由引理3.2易知$ F(\theta)/\lambda\leq1+a $.此时可以将$ \lambda $视为$ F(\theta) $的上界.为了得到比(3.2)式更精细的估计,还需要建立如下的引理.

引理4.1  假设$ 0 < a < 1 $,其它条件同定理1.2.如果函数$ z: [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\mapsto\mathbb{R} $满足下列性质

(1) $ z $非减的,即$ z'(\theta)\geq0, \forall\, \, \theta\in[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $;

(2)对$ \forall\, \theta\in[-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}], \, z(\theta)\geq F(\theta)/\lambda $;

(3)存在某个$ \theta_0\in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $,使得$ z(\theta_0) = F(\theta_0)/\lambda > 0 $;

(4) $ a\geq\sin\theta_0\cdot\big[z(\theta_0)-1\big] $.

那么下列不等式成立

$ \begin{equation} \frac{F(\theta_0)}{\lambda}\leq1+a\sin\theta_0-\sin\theta_0\cdot\cos\theta_0\cdot z'(\theta_0) +\frac{\cos^2 \theta_0}{2}\cdot z''(\theta_0)-\sigma\cos^2\theta_0. \end{equation} $

  设

显然,对所有$ x\in M $, $ {\cal E}(x)\leq 0 $.利用(2.9)式,易知存在某点$ x_0\in M\setminus\Sigma_* $使得$ \theta(x_0) = \theta_0 $$ F(\theta_0) = |{\nabla\theta(x_0)}|^2 $.这样$ {\cal E}(x) $$ x_0 $处达到它的最大值$ 0 $.因此

$ \begin{equation} |{\nabla\theta(x_0)}|^2 = \lambda z(\theta_0) = F(\theta_0). \end{equation} $

假设$ x_0\in\partial M\setminus\Sigma_* $.$ 2\, {\cal E}(x) $代替引理3.1中$ G(x) $,可得$ \nabla\theta(x_0) = 0 $.于是

这是一个矛盾.因此, $ x_0\in M\setminus(\partial M\cup\Sigma_*) $.由最大值原理可知, $ {\cal E}(x) $$ x_0 $满足

$ \begin{equation} \nabla{\cal E} = 0\qquad \hbox{且}\qquad\Delta{\cal E}\leq0. \end{equation} $

经过简单计算可得

由于在$ x_0 $$ \nabla{\cal E} = 0 $,所以,在$ x_0 $

$ \begin{equation} \nabla(|{\nabla\theta}|^2) = \lambda z'(\theta_0)\cdot\nabla\theta. \end{equation} $

通过直接计算和应用(2.6)式可得

$ \begin{eqnarray} \frac{\lambda}{2}\, \Delta z & = &\frac{\lambda}{2}(z''\cdot |{\nabla\theta}|^2+z'\cdot\Delta\theta)\\ & = & \frac{\lambda}{2}\Big\{z''\cdot |{\nabla\theta}|^2 +z'\cdot\big[\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot |{\nabla\theta}|^2-\frac{\lambda (\sin\theta+a)}{\cos\theta} -2\nabla\theta\cdot\nabla\log f_1\big]\Big\}. \end{eqnarray} $

将(3.8)式与(4.5)式合起来,得到

由于$ {\rm Ric}(\nabla\theta, \nabla\theta)\geq (n-1)K|{\nabla\theta}|^2 $,于是可得

$ \begin{eqnarray} \Delta{\cal E}& = & |{\nabla^2\theta}|^2+\frac{|{\nabla\theta}|^4}{\cos^2 \theta} +\nabla\theta\cdot\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot\nabla (|{\nabla\theta}|^2)\\ &&-\frac{\lambda(1+a\sin\theta)}{\cos^2\theta}\cdot|{\nabla\theta}|^2 -\nabla(|{\nabla\theta}|^2)\cdot\nabla\log f_1\\ &&-2\nabla\theta\cdot(\nabla\theta\cdot\nabla^2\log f_1) +(n-1)K|{\nabla\theta}|^2\\ &&-\frac{\lambda}{2}\Big\{z''\cdot |{\nabla\theta}|^2 +z'\cdot\big[\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot|{\nabla\theta}|^2 -\frac{\lambda(\sin\theta+a)}{\cos\theta} -2\nabla\theta\cdot\nabla\log f_1\big]\Big\}. \end{eqnarray} $

将(4.4)式代入(4.6)式可得

上式右边的第五项和最后一项可相互抵消.因此有

再由简单计算可得

由假设可知, $ \nabla^2\log f_1 $是非正定的.注意到$ \Delta{\cal E}(x_0)\leq0 $,以及上式右边的第一项和第四项是非负的.于是在$ x_0 $处可得下列不等式

既然$ a\geq\sin\theta_0\cdot\big[z(\theta_0)-1\big] $,那么$ \lambda(\sin\theta_0+a)\geq\sin\theta_0\cdot|{\nabla\theta(x_0)}|^2 $.再由假设$ z'(\theta)\geq0 $可知,在$ x_0 $处有

由于$ |{\nabla\theta(x_0)}|^2 = \lambda z(\theta_0) > 0 $,所以上式两端依次同除以$ \lambda|{\nabla\theta}|^2 $和乘以$ \cos^2\theta $可得,在$ x_0 $处有

$ x_0 $处利用(4.2)式可得

$ \begin{equation} 0\geq z-(1+a\sin\theta)+z'\cos\theta\sin\theta -\frac{z''\cos^2\theta}{2}+\sigma\cos^2\theta. \end{equation} $

从此式容易得到(4.1)式.证毕.

引理4.2  设

$ \begin{equation} \xi(\theta): = \frac{\cos^2\theta+2\theta\sin\theta\cos\theta+\theta^2-\frac{\pi^2}{4}}{\cos^2\theta}, \quad\forall\, \, \theta\in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), \end{equation} $

$ \xi( \pm \frac{\pi}{2}) = 0 $.则函数$ \xi $满足

$ \begin{equation} \frac{\cos^2\theta}{2}\cdot\xi''-\cos\theta\sin\theta\cdot\xi'-\xi = 2\cos^2\theta, \quad\forall\, \, \theta\in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}). \end{equation} $

此外,函数$ \xi $满足下列性质

引理4.3[28]  定义函数$ \eta $如下

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \eta(\theta): = \frac{\frac{4}{\pi}(\theta+\cos\theta \sin \theta)-2\sin\theta}{\cos^2\theta}, \quad\forall\, \, \theta\in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), \\[5pt] \eta(-\frac{\pi}{2}): = -1, \qquad\eta(\frac{\pi}{2}): = 1. \end{array} \right. \end{equation} $

那么$ \eta\in C^0[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\cap C^2(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $满足:$ \eta'(\theta)\geq 0 $,且

此外,函数$ \eta $满足下列性质

引理4.4[15-16]  函数$ r(\theta): = \xi'(\theta)/\eta'(\theta) $$ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $上是严格单增的,即$ r'(\theta) > 0 $;并且在$ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $上满足$ |{r(\theta)}|\leq\frac{\pi^2}{4} $.

推论4.1  设

$ \begin{equation} \phi(\theta): = 1+\frac{c_0\sigma}{2}\cdot\xi(\theta)+a\cdot\eta(\theta), \end{equation} $

其中常数$ c_0\in[0, 1] $定义如下

$ \begin{equation} c_0: = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \hbox{当}\, K = 0\, \hbox{时}\quad(\hbox{此时}\, \, \sigma = 0), \\[8pt] \min\Big\{ \frac{8a\lambda}{\pi^2(n-1)K}, 1\Big\}, & \hbox{当}\, K>0\, \hbox{时}, \end{array} \right. \end{equation} $

使得$ \frac{c_0\sigma \pi^2}{8}\leq a $.那么$ \phi $满足下列性质

$ \begin{equation} \frac{\cos^2\theta}{2}\cdot\phi''(\theta) -\cos\theta\sin\theta\cdot\phi'(\theta)-\phi(\theta) = c_0\sigma\cos^2\theta-1-a\sin\theta, \quad\forall\, \, \theta\in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}). \end{equation} $

此外

$ \begin{equation} \phi'(\theta)\geq 0, \quad\forall\, \, \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]; \end{equation} $

$ \begin{equation} 1-a = \phi(-\frac{\pi}{2})\leq\phi(\theta)\leq \phi(\frac{\pi}{2}) = 1+a, \quad\forall\, \, \theta\in[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]; \end{equation} $

以及

$ \begin{equation} \int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\phi(\theta)\, {\rm d}\theta = \big(1-\frac{c_0\sigma}{2}\big)\pi. \end{equation} $

  可直接验证(4.13)式.此外,由引理4.3和引理4.4可得

因此, $ \phi(\theta) $$ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $上是单增的,由此容易得到(4.15)式.此外,其余性质可由引理4.2–4.3得到验证.证毕.

利用引理4.1和推论4.1,可得以下结论.

推论4.2  条件同定理1.2.而$ F(\theta) $$ \phi(\theta) $分别由(2.9)和(4.11)式定义.则有下列估计

$ \begin{equation} \frac{F(\theta)}{\lambda}\leq\phi(\theta), \quad\forall\, \, \theta\in[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]. \end{equation} $

  假设结论不成立.由于$ F( \pm \frac{\pi}{2})/\lambda = 1 \pm a = \phi( \pm \frac{\pi}{2}) $,那么,存在$ \theta_0\in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $使得

$ \begin{equation} \varepsilon_0 = \frac{F(\theta_0)}{\lambda}-\phi(\theta_0) = \max\limits_{-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}} \Big\{\frac{F(\theta)}{\lambda}-\phi(\theta)\Big\}>0. \end{equation} $

$ Z(\theta) = \phi(\theta)+\varepsilon_0 $.显然, $ Z'(\theta) = \phi'(\theta)\geq 0 $.此外

由此可得$ Z(\theta_0)-1 > -a $.另一方面

由以上结果可知

于是

然后,用$ Z(\theta) $替代引理4.1中的$ z(\theta) $,由引理4.1–4.3和推论4.1可得

但这与(4.18)式相矛盾.证毕.

注4.1  显然,无论常数$ a $是否为零, $ \phi(\theta) $都改进了$ F(\theta) $的上界估计到所要求的地步.

5 定理1.2的证明

现在利用$ F(\theta) $的精细估计可证明定理1.2如下.

  取$ x_1, x_2\in M $使得$ \theta(x_1) = -\frac{\pi}{2} $, $ \theta(x_2) = \frac{\pi}{2} $.$ D' $$ M $上连接$ x_1 $$ x_2 $的最短曲线$ \gamma $的长度.用$ D $$ M $的直径.显然, $ D'\leq D $.

不等式(4.17)意味着

$ \begin{equation} \sqrt{\lambda}\geq \sqrt{\frac{|{F(\theta)}|}{\phi(\theta)}}\geq \frac{|{\nabla\theta}|}{\sqrt{\phi(\theta)}}, \end{equation} $

其中$ \phi(\theta) $由(4.11)定义.沿曲线$ \gamma $积分(5.1)式的两端,并利用(4.16)式,可进行如下的推导

于是,有

或有等价式

由简单计算可得

证毕.

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