该文考虑如下Lévy噪声驱动的随机LANS-$\alpha$模型

其中$D$是带有边界正则性$C^2$的$\mathbb{R} ^3$中有界连通开集, $T > 0$是解的最大存在时间, $u = (u_1, u_2, u_3)$为流体速度, $p$为压力, $\nu > 0$和$\alpha > 0$为给定的常数, $(\nabla u^{\epsilon})^*$为$\nabla u^{\epsilon}$的转置, ${\Bbb Z}$为局部紧的光滑空间, $G$为可测映射, $N^{\epsilon^{-1}}$为$[0, T]\times {\Bbb Z}$上的泊松随机测度,其带有$\sigma$ -有限测度$\epsilon^{-1}\lambda_T\otimes\vartheta, \lambda_T$为$[0, T]$是勒贝格测度, $\vartheta$为${\Bbb Z}$上$\sigma$ -有限测度, $\tilde{N}^{\epsilon^{-1}}$为补偿泊松随机测度,即对于${\cal O}\in {\cal B}({\Bbb Z})$且$\vartheta({\cal O}) < \infty$,有

LANS-$\alpha$模型在物理和非线性偏微分方程中具有重要运用^[1-3]. LANS-$\alpha$模型在有界区域中整体弱解在文献[1-2]中建立,整体吸引子在文献[1]中得到.在周期区域得到了类似的结果^[2].维纳噪声驱动的三维LANS-$\alpha$模型解的存在唯一性和强解的渐近行为分别在文献[4-8]中讨论. Lévy噪声驱动的三维LANS-$\alpha$模型的适定性在文献[9]中建立.

该文考虑当$\epsilon\to0$时, $u^\epsilon$收敛到如下方程的解$u$

且建立相应的中偏差原理,即考虑如下随机变量

的大偏差原理,其中$a(\epsilon)$满足

主要借助文献[10]中的弱收敛方法和文献[11]中解的紧性分析方法.

该文结构如下:第2节给出非线性项的性质和主要定理.第3节给出主要定理的证明.

本节分为两部分.第一部分给出非线性项的性质,第二部分给出本文的主要结果.

令$(\cdot, \cdot)$及$|\cdot|$分别为$(L^2(D))^3$中内积和范数. $(H^1_0 (D))^3$中内积定义为

相应的范数$\|\cdot\|$等价于通常的梯度范数.令$H$为${\cal V} = \{v \in ({\cal D}(D))^3: \nabla v = 0 \; \hbox{in}\; D\}$在$(L^2(D))^3$中闭集, $V$为${\cal V}$在$(H^1_0(D))^3$闭集. $H$为带有$(L^2(D))^3$内积的希尔伯特空间, $V$为$(H^1_0(D))^3$中希尔伯特子空间.令$A$为Stokes算子,定义域$D(A) = (H^2(D))^3 \cap V$且定义为$Aw = -{\cal P}(\bigtriangleup w), w\in D(A)$,其中${\cal P}$为从$(L^2(D))^3$到$H$的投影算子.因为$\partial D$是$C^2$, $D(A)$相应于内积$(v, w)_{D(A)} = (Av, Aw)$为希尔伯特空间.对于$u, v\in D(A)$,定义算子$\tilde{A}$

显然对于$v\in D(A)$,有

其中$\tilde{\alpha} = \nu\alpha$.对于$u\in D(A)$和$v \in (L^2(D))^3$,定义$(u\cdot \nabla)v$为$(H^{-1}(D))^3$中元素如下

如果$u \in D(A)$,那么$(\nabla u)^*\in (H^1(D))^{3\times3} \subset (L^6(D))^{3\times3}$,相应的对于$v\in (L^2(D))^3$,有$(\nabla u)^*\cdot v \in(L^{3/2}(D))^3 \subset (H^{-1}(D))^3$,且

对于$(u, v, w) \in D(A)\times (L^2(D))^3 \times (H^1_0 (D))^3$,考虑如下三线性形式

对于$(u, v, w)\in(D(A))^3$,令$\langle\tilde{B}(u, v), w\rangle = b^\sharp(u, v-\alpha\triangle v, w)$.有$\tilde{B}: D(A)\times D(A)\to D(A)'$是双线性映射且对于$u, v, w\in D(A)$,满足

因此(1.1)式中第一个方程等价于如下方程

其中$\hat{u}^\epsilon = u^\epsilon+\alpha Au^\epsilon$且初值为$u^\epsilon(x, 0) = u_{0}(x)$.方程(1.2)等价于

其中$\hat{u} = u+\alpha Au$且初值$u(x, 0) = u_0$.令

假设$F: [0, T]\times \Omega\times V\to V$为${\cal B}{\cal F}\otimes {\cal B}(V)$ -可测函数, $F$对第二个变量可微. $G: [0, T]\times \Omega\times V\times {\Bbb Z}\to V$为$P\otimes {\cal B}(V)\otimes {\Bbb Z}$ -可测函数.进一步假设$F$和$G$满足如下假设, P-a.s.

其中$v_1, v_2 \in V$, $L_{ G }(z), K_0(z)\in L^2(\vartheta)\cap{\cal H}$及$L(V)$为从$V$到$V$的有界线性算子.

对于局部紧的光滑空间$S$,令${\cal M}(S)$为$(S, {\cal B}(S))$上所有测度$\vartheta$构成的空间,且对$S$的任意紧子集$K$有$\vartheta(K) < \infty$.赋予${\cal M}(S)$最弱的拓扑使得对于$f \in C_c({\Bbb Z})$, $\vartheta\to \langle f, \vartheta\rangle = \int_Sf(x)\vartheta({\rm d}x), \vartheta\in {\cal M}(S)$为连续函数.该拓扑可测使得${\cal M}({\Bbb Z})$为光滑空间.固定$T > 0$,令$S_T = [0, T]\times S$, $\vartheta_T = \lambda_T\otimes\vartheta$,其中$\lambda_T$为$[0, T]$上的勒贝格测度, $\vartheta\in {\cal M}(S)$.

令${\Bbb Z}$为光滑空间${\Bbb M} = {\cal M}({\Bbb Z}_T)$,则${\cal B}({\Bbb M})$代表空间${\cal M}({\Bbb Z})$上的波雷尔$\sigma$ -场, $N: {\Bbb M}\to {\Bbb M}, N(m)\doteq m$为带有测度$\vartheta_T$泊松随机测度.对于$\theta > 0$,定义$P_\theta$为$({\Bbb M}, {\cal B}({\Bbb M}))$上唯一概率测度使得$N$是一个带有测度$\theta\vartheta_T$的泊松随机测度.令${\Bbb X} = {\Bbb Z}\times [0, \infty)$, ${\Bbb X}_T = [0, T]\times {\Bbb X}$, $\bar{{\Bbb M}} = {\cal M}({\Bbb X}_T)$, $\bar{N}: \bar{{\Bbb M}}\to \bar{{\Bbb M}}, \bar{N}(\bar{m})\doteq \bar{m}$, ${\cal F}_t = \sigma(\bar{N}(s, Z): 0\leq s\leq t, Z\in {\cal B}({\Bbb X}))$且$\bar{{\cal F}}_t$为${\cal F}_t$的完备化.令$\bar{{\cal P}}$为$[0, T]\times \bar{{\Bbb M}}$上可料$\sigma$ -场.

令$\bar{{\cal A}}_+$ ($\bar{{\cal A}}$)为所有$(\bar{{\cal P}}\otimes{\cal B}({\Bbb Z}))/{\cal B}[0, \infty)$ ($(\bar{{\cal P}}\otimes{\cal B}({\Bbb Z}))/{\cal B}(\mathbb{R})$)可测映射$\phi: {\Bbb Z}_T\times \bar{{\Bbb M}}\to [0, \infty)$ ($\phi: {\Bbb Z}_T\times \bar{{\Bbb M}}\to \mathbb{R}$).对于$\phi\in \bar{{\cal A}}_+$,定义${\Bbb Z}_T$上可数过程$N^\phi$

这里$N^\phi$被认为是控制随机测度,其中$\phi$选择在位置$z$和时间$s$处的点的强度.当$\phi(s, x, \bar{m})\equiv\theta\in(0, \infty)$时,令$N^\phi = N^\theta.$注意到$N^\theta$相应于$\bar{P}$和$N$相应于$P_\theta$有相同的分布.

定义$\ell: [0, \infty) \to [0, \infty)$ by $\ell(r) = r \hbox{log} r - r + 1, r \in [0, \infty)$.对任意$\phi\in \bar{{\cal A}}_+$,定义$L_T(\phi)$

令$\{K_n\subset{\Bbb Z}, n = 1, 2, \cdots\}$为一列递增的紧集使得$\bigcup\limits_{n = 1}^\infty K_n = {\Bbb Z}$.对任意$n$,令

且$\bar{{\cal A}}_b = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty\bar{{\cal A}}_{b, n}.$

令$\{{\cal G}^\epsilon\}_{\epsilon > 0}$为从${\Bbb M}$到光滑空间$E$的可测映射, $a(\epsilon)$满足(1.3)式.对于$\epsilon > 0$, $M < \infty,$令

空间$L^2(\vartheta_T)$中的范数表示为$\|\cdot\|_2$, $B_2(R)$代表$L^2(\vartheta_T)$中半径为$R$的球且带有弱拓扑$L^2(\vartheta_T)$.假设$\phi\in {\cal S}^M_{+, \epsilon}.$由文献[10,引理3.2]知,存在独立于$\epsilon$的$\kappa_2(1)\in(0, \infty)$使得$\psi1_{\{|\psi|\leq1/a(\epsilon)\}}\in B_2(\sqrt{M\kappa_2(1)})$,其中$\psi = (\phi-1)/a(\epsilon)$.

令$\tilde{Y}^\epsilon = \frac1{a(\epsilon)}(u^\epsilon-u)$.则$\tilde{Y}^\epsilon$满足如下方程

方程(2.14)的解给定一个从${\Bbb M}$到${\cal D}([0, T];V)$映射${\cal G}^\epsilon$使得${\cal G}^\epsilon(\epsilon N^{\epsilon^{-1}}) = \tilde{Y}^\epsilon.$令${\cal G}_0: L^2(\vartheta_T)\to C([0, T];V)\cap L^2(0, T;D(A))$,对于$\psi\in L^2(\vartheta_T)$, ${\cal G}_0(\psi) = \eta,$其中$\eta$满足

现在给出本文的主要结果.

定理2.1  $\{\tilde{Y}^\epsilon = {\cal G}^\epsilon(\epsilon N^{\epsilon^{-1}}), \epsilon > 0\}$在${\cal D}([0, T];V)$上满足大偏差原理,其速度为$\epsilon/a^2(\epsilon)$且速度函数$I$为

其中如果$S^0_\eta = \emptyset$,则$I(\eta) = +\infty$.

本节将给出定理2.1的证明.首先,给出如下引理.

引理3.1^[10]  令$h\in L^2(\vartheta)\cap {\cal H}$及$[0, T]$上的可测子集$I$, $M > 0$.那么存在$\varsigma_h > 0$, $\Gamma_h, \rho_h:(0, \infty) \to(0, \infty)$满足$u\to\infty$时$\Gamma_h(u)\to 0$,对任意$\epsilon, \beta\in(0, \infty),$有

因为${\cal G}^\epsilon(\epsilon N^{\epsilon^{-1}}) = \tilde{Y}^\epsilon = \frac1{a(\epsilon)}(u^\epsilon-u)$,则$Y^\epsilon = {\cal G}^\epsilon(\epsilon N^{\epsilon^{-1}\phi^\epsilon}) = \frac1{a(\epsilon)}(X^\epsilon-u)$满足如下方程

其中$X^\epsilon\in {\cal D}([0, T], V)\cap L^2(0, T; D(A))$为如下方程的解

下面给出$u$, $X^\epsilon$的估计及它们之间的收敛关系.

引理3.2  存在$\epsilon_0 > 0$使得

证   (3.3)式的证明见文献[3]. (3.4)式的证明类似(3.5)式.以下证明(3.5)式.令$Z^\epsilon = X^\epsilon-u.$则

由Itô公式得

由(2.1)式得

由(2.3)-(2.5)式和Young不等式得

由(2.8)式得

令$\psi^\epsilon = (\phi^\epsilon(z, s)-1)/a(\epsilon)$.由(2.11)-(2.12)得

结合以上估计得

由Gronwall引理得

由Burkholder-Davis-Gundy (BDG)不等式得

由引理3.1和(3.3)式得

联合以上估计

由此证毕.

引理3.3   $\{Y^\epsilon\}$在${\cal D}([0, T], V)$中是紧的.

证  类似(3.4)式的证明有

令$\{e_i\}_{i\in {\Bbb N}}$为$V$中一组完备正交基.由(3.6)式得

由此对$\forall\eta > 0,$有

令${\cal D} = D(A)$.下证$\{Y^\epsilon\}$为${\cal D}$ -弱紧.令$h\in D(A)$,且$\{\tau_\epsilon, \delta_\epsilon\}$满足(a)对任意$\epsilon, \tau_\epsilon$相对于$\sigma$ -场为停时且取有限多的值; (b)常数$\delta_\epsilon\in [0, T]$当$\epsilon\to0$时满足$\delta_\epsilon\to0$.由(3.6)式可知对$t\in [0, T]$, $\{((Y^\epsilon(t), h))\}$是紧的.由(3.1)式得

由(3.3), (3.4)和(3.6)式得$\lim\limits_{\epsilon\to0} E|((I_1+I_2+I_3, h))|^2 = 0.$由(2.8)及(3.6)式得

注意到$\psi^\epsilon = (\phi^\epsilon(z, t)-1)/a(\epsilon)$,因此$\lim\limits_{\epsilon\to0} E|((I_5+I_6, h))|^2 = 0.$联合以上不等式得当$\epsilon\to0$,有

由(3.7)式, (3.8)式及文献[12]中的紧性判别准则得, $\{Y^\epsilon\}$在${\cal D}([0, T], V)$中是紧的.证毕.

将(3.1)式的解分解为$Z^\epsilon$, $L^\epsilon$和$U^\epsilon$,且分别满足如下方程

初值为$Z^\epsilon(0) = 0,$$L^\epsilon(0) = 0$和$U^\epsilon(0) = 0.$

引理3.4   $Z^\epsilon$, $L^\epsilon$和$U^\epsilon$满足如下估计

证  由Itô公式得

由BDG不等式, (2.12)及(3.4)式得

结合以上估计可得(3.9)式.类似可得(3.10)式和(3.11)式.证毕.

命题3.1  给定$M > 0,$令$\{\phi^\epsilon\}_{\epsilon > 0}$使得对$\epsilon > 0,$$\phi^\epsilon\in {\cal U}^M_{+, \epsilon}$.令$\psi^\epsilon = (\phi^\epsilon-1)/a(\epsilon)$且$\beta\in(0, 1].$如果当$\epsilon\rightarrow 0$时, $\psi^\epsilon1_{\{|\psi^\epsilon|\leq\beta/a(\epsilon)\}}$在$B_2(\sqrt{M\kappa_2(1)})$中依分布收敛到$\psi$,那么当$\epsilon\rightarrow 0$时, ${\cal G}^\epsilon(\epsilon N^{\epsilon^{-1}\varphi^\epsilon})$在${\cal D}([0, T];V)$中依分布收敛到${\cal G}_0(\psi)$.

证  令$K^\epsilon = Z^\epsilon+L^\epsilon+U^\epsilon$和$\Upsilon^\epsilon = Y^\epsilon-K^\epsilon.$由(3.1)式得

令$\Pi = ({\cal D}([0, T], V); {\cal D}([0, T], V)\cap L^2([0, T], D(A)); B_2(\sqrt{M\kappa_2(1)})).$由引理3.3知$Y^\epsilon$在${\cal D}([0, T], V)$紧.由(3.9)-(3.11)式及紧性定义,存在${\cal D}([0, T], V)\cap L^2([0, T], D(A))$中的紧集$K^\epsilon$.由文献[10,引理3.2],存在$(\psi^\epsilon(z, t)1_{\{|\psi^\epsilon|\leq\beta/a(\epsilon)\}})_{\epsilon > 0}$且在$B_2(\sqrt{M\kappa_2(1)})$中紧.令$(Y, 0, \psi)$为$(Y^\epsilon, K^\epsilon, \psi^\epsilon(z, t)1_{\{|\psi^\epsilon|\leq\beta/a(\epsilon)\}})_{\epsilon > 0}$在$\Pi$中的任意极限点.下面说明$Y$和${\cal G}_0(\psi)$具有同样的分布,且当$\epsilon\to0$时, $Y^\epsilon$在${\cal D}([0, T];V)$依分布收敛到$Y$.

由Skorokhod表达定理,存在随机基$(\Omega^1, {\cal F}^1, \{{\cal F}_t^1\}_{t\in[0, T]}, P^1)$及其上的$\Pi$ -值随机变量$(\tilde{Y}^\epsilon, \widetilde{K}^\epsilon, \tilde{\psi}^\epsilon), (\tilde{Y}, 0, \tilde{\psi}), \epsilon\in(0, \epsilon_0)$使得$(\tilde{Y}^\epsilon, \widetilde{K}^\epsilon, \tilde{\psi}^\epsilon)$和$(Y^\epsilon, K^\epsilon, \psi^\epsilon(z, t)1_{\{|\psi^\epsilon|\leq\beta/a(\epsilon)\}})_{\epsilon > 0}$, $(\tilde{Y}, 0, \tilde{\psi})$和$(Y, 0, \psi)$具有相同的分布且在$\Pi$中, $P^1$-a.s. $(\tilde{Y}^\epsilon, \widetilde{K}^\epsilon, \tilde{\psi}^\epsilon)\to (\tilde{Y}, 0, \tilde{\psi})$.因此,只需证明如下收敛性

令

及$\tilde{\Gamma}$为(3.14)式中将$\tilde{\psi}^\epsilon$替换成$\tilde{\psi}$的解.由类似(3.19)式的估计可得

令$\tilde{M} = \tilde{Y}-\tilde{\Gamma}$及$\tilde{M}^\epsilon = \tilde{Y}^\epsilon-\tilde{K}^\epsilon-\tilde{\Gamma}^\epsilon$.由(3.12)式和(2.15)式得

类似引理3.2的证明可得如下解的估计

令$m^\epsilon = \tilde{M}^\epsilon-\tilde{M}$和$n^\epsilon = \tilde{\Gamma}^\epsilon-\tilde{\Gamma}$.则(3.13)式的证明变为

固定$\omega^1\in \Omega^1.$由(2.4)-(2.5)式, (2.10)和(3.16)式得

因此,由(3.15)式, $a(\epsilon) \to0$和当$\epsilon \to0$时, $\sup\limits_{t\in[0, T]} (\|n^\epsilon(t)\|^2+ \|\tilde{K}^\epsilon(t)\|^2)\to0$,可得(3.17)式.

命题3.2  固定$\Upsilon > 0$且当$g^\epsilon\to g$时$g^\epsilon, g\in B_2(\Upsilon)$.则在$C([0, T];V)\cap L^2(0, T;D(A))$中${\cal G}_0(g^\epsilon)\to {\cal G}_0(g)$.

证  令$f^\epsilon(t) = \int_{{\Bbb Z}}g^\epsilon(z, t) G (t, u(t), z)\vartheta({\rm d}z)$和$f(t) = \int_{{\Bbb Z}}g(z, t) G (t, u(t), z)\vartheta({\rm d}z)$.令$Z^\epsilon$和$Z$分别为以下方程的解

其初始条件分别为$Z^\epsilon(0) = 0$和$Z(0) = 0$.

第一步  证明如下强收敛性

因为

所以对于$v\in V, ((G (t, u(t), z), v))\in L^2(\vartheta_T)$且

令${\cal O} = \{f^\epsilon, \epsilon > 0\}.$对于$I\subset[0, T]$,有

因此${\cal O}\subset L^1([0, T];V)$在$L^1([0, T];V)$中一致可积.由文献[13,命题5.4], $Z^\epsilon$在$C([0, T];V)$相对紧.由(3.20)式,得

令$\bar{Z^\epsilon} = Z^\epsilon-Z$.注意(3.21)式对$f(t)$也成立且$\epsilon\to0$时$\sup\limits_{t\in[0, T]}\|\bar{Z^\epsilon}\|\to0$,因此

第二步  令$L^\epsilon = {\cal G}_0(g^\epsilon)-Z^\epsilon$, $L = {\cal G}_0(g)-Z$及$\bar{L^\epsilon} = L^\epsilon-L$.则

其初值$\bar{L^\epsilon}(0) = 0$.由(2.1), (2.3)-(2.5), (2.8), (2.10)式和Hölder不等式得

由Gronwall引理和(3.19)式得

因此有

证毕.

定理2.1的证明  由命题3.1,命题3.2和文献[10,定理2.3],得证定理2.1.