三维Landau-Lifshitz-Gilbert方程的解的衰减估计
Decay Estimates of the Global Solution for the Landau-Lifshitz-Gilbert Equation in Three Dimensions
收稿日期: 2018-07-23
基金资助: |
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Received: 2018-07-23
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作者简介 About authors
林俊宇,E-mail:
万明练,E-mail:
曹木花,E-mail:
该文关注三维Landau-Lifshitz-Gilbert方程的柯西问题.首先,该文通过能量方法以及连续性办法,得到在适当小的条件下整体光滑解的存在唯一性,并得到解的单调不等式.最后利用该单调不等式以及傅里叶分片法,得到解的衰减估计.
关键词:
In this paper, the authors consider the Cauchy problem for the Landau-Lifshitz-Gilbert equation in
Keywords:
本文引用格式
林俊宇, 万明练, 曹木花.
Lin Junyu, Wan Minglian, Cao Muhua.
1 引言
Landau-Lifshitz-Gilbert方程是铁磁材料连续理论中的重要方程.它首次由Landau和Lifshitz提出[1].该方程为以下形式
其中
那么对应的有
易知
当
因此,方程(1.2)可以看作是调和映照热流以及Schrödinger流的结合体.
文献[16]利用半离散办法得到三维方程(1.2)小初值的整体光滑解的存在性.本文将利用能量办法以及连续性办法得到小初值整体光滑解的存在性,并建立单调不等式,该单调不等式时建立衰减估计的关键.本文的主要结果如下.
定理1.1 设
(ⅰ) 存在常数
则方程(1.2)存在唯一整体解
(ⅱ) 进一步,如果
注1.1 (ⅰ) 对比文献[16],本文建立了更高阶的估计,得到单调不等式估计(1.7).该单调不等式是建立所需的衰减估计的关键.
(ⅱ) 小初值条件(1.5)是必需的,因为文献[12]得到了三维方程(1.2)的有限时刻爆破解.
本文将用到以下的记号.
在第二节,建立小初值条件下的单调不等式估计,并证明整体光滑解的存在性;在第三节,利用傅里叶分片办法,建立时间衰减估计.
2 能量估计以及整体存在性
在本节,我们先建立能量估计,然后利用能量估计以及连续性方法得到整体解的存在性.
首先给出以下的Gagliardo-Nirenberg不等式.
引理2.1 设
其中
记
注2.1 (ⅰ) 由(1.5)式可知
(ⅱ) 由
(ⅲ) 为了得到定理1.1的结果,只需研究方程(2.2)的整体存在性以及衰减估计.
下面将建立方程(2.2)的一些估计.
引理2.2 设
证 首先,用
由Sobolev不等式可得
其中用到
从而可以得到(2.3)式.
引理2.3 设
证 把
其中
对于
从而得到
对于
把(2.8)式和(2.9)式代回(2.7)式,则得到该引理的证明.
引理2.4 设
证 把
其中
对于
对于
结合(2.11), (2.12)和(2.13)式,我们可以得到估计(2.10).
引理2.5 设
其中
证 首先,由引理2.3和引理2.4知,当
下面证明(2.14)式对于
把
其中
对于
其中
由Hölder不等式和Sobolev不等式,可得
其中用到(2.3)式以及
和
对于
对于
当
这里
当
这里
因此,结合(2.19)和(2.20)式可得
对于
这里
当
这里
因此,由
所以,结合
下面将估计
利用莱布尼兹公式,可知
由Hölder不等式,可知
当
这里
当
这里
因此,结合
把(2.25)式和(2.30)式代回(2.15)式,我们得到本引理的证明.
下面将证明定理1.1中(ⅰ).
证 令
由文献[16]可知,带有初始值
断言:在(2.31)式条件下,对于任意的
否则,设
另一方面,由
从而对任意的
这表明
特别地,有
这与
结合连续性方法[20],我们得到方程(2.2)整体光滑解的存在性.同时,不难得到唯一性,我们省略其证明.
由(2.14)式并在
记
定理1.1(ⅰ) 证明完毕.
3 解的衰减估计
本节将给出光滑解
下面将利用傅里叶分片法[19]建立在(3.1)式条件下的衰减估计.
引理3.1 设
证 由引理
类似文献[21],定义依赖时间的球体
其中
再次利用Parseval恒等式,可得
把
由(3.1)式可知
取
在
证毕.
引理3.2 设
证 首先,引理3.1表明(3.8)式在
假设
下面要证明
由引理2.5可知,对于
取
注意到
我们可得
由Parseval恒等式,可知
把(3.11)式代回(3.10)式并结合(3.9)式,可得
取
最后在
从而
引理3.3 设
证 方程
对于
因此,取
记
对于
对于
对于
结合(3.18), (3.19), (3.20)以及(3.16)式,可得
取
下面给出定理1.1中(ⅱ) 的证明.
证 由引理3.2和引理3.3直接得到定理1.1(ⅱ) 的结论.
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