本文研究半线性退化椭圆方程

(1.1) $\begin{equation}\label{1}-\mbox{div}(|x|^\theta\nabla u)=|x|^lf(u), \, \, \, x\in \Omega\end{equation}$

正解的性质,其中$\theta, l\in \mathbb{R} $, $\Omega$是$\mathbb{R} ^N (N\geq 2)$中适当光滑的区域.设函数$f:[0, \infty)\rightarrow \mathbb{R} $是连续的.

设

(1.2) $\begin{equation}\label{2}p_c(\tau):=\frac{N'+2+2\tau}{N'-2}>1, \, \, \tau:=l-\theta>-2, \end{equation} $

$N'=N+\theta$,除非特殊说明,所考虑解均属于$C^2(\Omega\backslash\{0\}) \cap C(\Omega) $空间.

当$\Omega=\mathbb{R} ^N$, $\theta=l=0$, $f(u)=u^p$时,方程(1.1)已被很多数学家研究. Gidas等^[1]证明了方程(1.1)的Liouvile定理,即方程(1.1)不存在正解当且仅当

$p<p_c:=\frac{N+2}{N-2}(=\infty\, \mbox{若} \, N\leq 2).$

当$\theta, l\neq0$, $f(u)=u^p$时,方程(1.1)近三十年来得到了很多关注.此方程作为描述与各相异性介质平衡相关的几个物理现象而引入的.关于方程(1.1)的更多研究结果,可参见文献[3-5, 7]. Guo等^[6]证明了$\Omega=\mathbb{R} ^N$时方程非负解的不存在性.他们的结论如下.

定理1.1  设(1.2)式成立, $u\in C^2(\mathbb{R} ^N\setminus\{0\})\cap C^0(\mathbb{R} ^N)$是方程(1.1)的非负解,则当$1 < p < p_c(\tau)$时,在$\mathbb{R} ^N$中, $u\equiv0$.

基于此,本文进一步研究方程(1.1),研究方程解的奇异性与退化性,结论如下.

定理1.2  设$N\geq 3$, (1.2)式成立.若

(1.3) $\begin{equation}\label{3} \lim\limits_{u\rightarrow\infty}u^{-p}f(u)=k\in(0, \infty), \end{equation} $

其中$1 < p < p_c$.则存在一常数$C=C(N, p, \tau)>0$ (与$\Omega$和$u$无关),使得有如下结论成立

(ⅰ)在$\Omega=\{x\in \mathbb{R} ^N: 0 < |x| < \rho\} (\rho>0)$中,方程(1.1)的任一正解都满足

(1.4) $ \begin{equation}\label{4}u(x)\leq C|x|^{-\frac{2+\tau}{p-1}}\, \, \mbox{, }\, \, |\nabla u(x)|\leq C|x|^{-\frac{p+1+\tau}{p-1}}, \, 0<|x|<\frac{\rho}{2}.\end{equation} $

(ⅱ)在$\Omega=\{x\in \mathbb{R} ^N: |x|>\rho\} (\rho\geq0)$中,方程(1.1)的任一正解都满足

(1.5) $\begin{equation}\label{5}u(x)\leq C|x|^{-\frac{2+\tau}{p-1}}\, \, \mbox{, }\, \, |\nabla u(x)|\leq C|x|^{-\frac{p+1+\tau}{p-1}}, \, \, \, \, |x|>2\rho.\end{equation} $

定理1.2的证明基于Re-scaling变换及Double性质,且需要全空间或半空间中非平凡解的不存在性结果.同理,在$f(u)=u^p$这种特殊情形下,定理1.2的结果涵盖了文献[6]中的结果,且进一步给出了在外区域上解的退化性估计.即

定理1.3  设$N\geq 3$, $1 < p < p_c$且(1.2)式成立.则存在一常数$C=C(N, p, \tau)>0$ (与$\Omega$和$u$无关)使得有如下结论成立

(ⅰ)在$\Omega=\{x\in \mathbb{R} ^N: 0 < |x| < \rho\} (\rho>0)$中,方程(1.1)的任一正解都满足

(1.6) $ \begin{equation}\label{44}u(x)\leq C|x|^{-\frac{2+\tau}{p-1}}\, \, \mbox{, }\, \, |\nabla u(x)|\leq C|x|^{-\frac{p+1+\tau}{p-1}}, \, 0<|x|<\frac{\rho}{2}.\end{equation} $

(ⅱ)在$\Omega=\{x\in \mathbb{R} ^N: |x|>\rho\} (\rho\geq0)$中,方程(1.1)的任一正解都满足

(1.7) $ \begin{equation}\label{55}u(x)\leq C|x|^{-\frac{2+\tau}{p-1}}\, \, \mbox{, }\, \, |\nabla u(x)|\leq C|x|^{-\frac{p+1+\tau}{p-1}}, \, \, \, \, |x|>2\rho.\end{equation} $

作为定理1.2的应用,考虑如下边值问题

(1.8) $\begin{equation}\label{6}\left\{\begin{array}{ll} -\mbox{div}(|x|^{\theta}\nabla u)=|x|^{l}f(u), & x\in \Omega, \\ u=\varphi, \, &x\in\partial \Omega. \end{array} \right.\end{equation} $

这里

(1.9) $ \begin{equation}\Omega\subset \mathbb{R} ^N \, \mbox{是包含原点的有界光滑区域}\label{7}\end{equation}$

且$\varphi\in C(\partial \Omega)$是非负函数.为此,采用Gidas在文献[2]中的blow-up方法,有

定理1.4  设$N\geq2, 1 < p < {\rm min}\{p_c, p_c(\tau)\}$,且(1.2)式成立.假设$0\leq\varphi\in C(\partial\Omega)$, $\|\varphi\|_\infty\leq M(M>0)$,且(1.3)式成立.则方程(1.8)在$C^2(\Omega\backslash\{0\})\cap C(\Omega)$空间中一致有界.

本节内容给出定理1.2的证明.

证  对任一$\Omega=\{x\in \mathbb{R} ^N: 0 < |x| < \rho\}$, $0 < |x_0| < \rho/2$,或$\Omega=\{x\in \mathbb{R} ^N: |x|>\rho\}$, $|x_0|>2\rho$.设$R=\frac{1}{2}|x_0|$,注意到$\frac{|x_0|}{2} < |x_0+Ry| < \frac{3|x_0|}{2}, $$y\in B_1(0)$,则$x_0+Ry\in\Omega.$定义

$U(y)=R^{\frac{2+\tau}{p-1}}u(x_0+Ry).$

则$U$满足方程

(2.1) $\begin{equation}\nonumber -\mbox{div}(|y+\frac{x_0}{R}|^{\theta}\nabla U)=|y+\frac{x_0}{R}|^{l}R^\frac{(2+\tau)p}{p-1}f(R^{-\frac{2+\tau}{p-1}}U), \, \, y\in B_1, \end{equation} $

并且对所有的$y\in \bar{B}_1, $$|y+\frac{x_0}{R}|\in [1, 3].$

首先证明存在一常数$C>0$ (与$N, p$和$\tau$无关)使得

(2.2) $\begin{equation}\nonumber|U(y)|^{\frac{p-1}{2}}+|\nabla U(y)|^{\frac{p-1}{p+1}}\leq C(1+{\rm dist}^{-1}(y, \partial B_1)).\end{equation}$

反证法.假设存在点列$z_k\in B_1$,序列$x_k\in \Omega$及$U_k$满足方程

(2.3) $\begin{equation}\nonumber-\mbox{div}(|y+\frac{x_k}{R_k}|^{\theta}\nabla U_k)=|y+\frac{x_k}{R_k}|^{l}R_k^\frac{(2+\tau)p}{p-1}f(R_k^{-\frac{2+\tau}{p-1}}U_k), \end{equation} $

其中$R_k=\frac{|x_k|}{2}$使得函数$M_k=|U_k|^{\frac{p-1}{2}}+|\nabla U_k|^{\frac{p-1}{p+1}}$满足

$M_k(z_k)>2k(1+{\rm dist}^{-1}(z_k, \partial B_1))>2k{\rm dist}^{-1}(z_k, \partial B_1).$

由Doubling引理^[8],存在$y_k$使得

$M_k(y_k)\geq M_k(z_k), \, M_k(y_k)>2k{\rm dist}^{-1}(y_k, \partial B_1)) $

且对所有满足$\, |y-y_k|\leq kM^{-1}(y_k)$的$y$,有

(2.4) $\begin{equation}\label{9}M_k(y)\leq2M_k(y_k).\end{equation} $

因为$M_k(y_k)\geq M_k(z_k)>2k, $则

(2.5) $\begin{equation}\label{10}\lambda_k:=M^{-1}_k(y_k)\rightarrow 0, \, \, k\rightarrow\infty.\end{equation} $

令$V_k(z)=\lambda_k^\frac{2}{p-1} U_k(y_k+\lambda_k z), $显然, $|V_k(0)|^{\frac{p-1}{2}}+|\nabla V_k(0)|^{\frac{p-1}{p+1}}=1$,且由(2.4)式知

(2.6) $\begin{equation}\label{11}\left[|V_k|^{\frac{p-1}{2}}+|\nabla V_k|^{\frac{p-1}{p+1}}\right](z)\leq 2, \, \, |z|\leq k.\end{equation} $

直接计算可知, $V_k$满足方程

(2.7) $\begin{equation}\label{12} -\mbox{div}(|y_k+\lambda_k z+\frac{x_k}{R_k}|^{\theta}\nabla V_k(z))=|y_k+\lambda_k z+\frac{x_k}{R_k}|^{l}f_k(V_k(z)), \, |z|\leq k, \end{equation}$

其中, $f_k(z)=R_k^\frac{(2+\tau)p}{p-1}\lambda_k^\frac{2p}{p-1}f(R_k^{-\frac{2+\tau}{p-1}}\lambda_k^{-\frac{2}{p-1}}V_k(z)).$由条件(1.3)及函数$f$的连续性可知, $-C\leq f(s)\leq C(1+s^p), s\geq 0$.从而

(2.8) $\begin{equation}\label{13}-CR_k^\frac{(2+\tau)p}{p-1}\lambda_k^\frac{2p}{p-1}\leq f_k(z)\leq C', \, |z|\leq k.\end{equation}$

注意到对所有的$k$, $|y_k+\lambda_k z+\frac{x_k}{R_k}|\in [1, 3].$我们抽取一组子序列,由标准嵌入定理,内部Schauder估计及条件(1.3),可以设$y_k\rightarrow y_0\in \overline{B}_1, \frac{x_k}{R_k}\rightarrow \tilde{x}\in \partial B_2$和在$C^2_{loc}(\mathbb{R} ^N)$空间中, $V_k\rightarrow V(V>0).$再次由条件(1.3)可得,对任一$z\in \mathbb{R} ^N$,当$k\rightarrow \infty$时, $f_k(z)\rightarrow hV^p(z)$.因此, $V$是方程

(2.9) $\begin{equation}\nonumber -\Delta V=CV^p, \, \, z\in \mathbb{R} ^N\end{equation}$

的经典解,其中$0 < C=h|y_0+\tilde{x}|^{\tau} < \infty$,且$|V(0)|^{\frac{p-1}{2}}+|\nabla V(0)|^{\frac{p-1}{p+1}}=1$.这与文献[1,定理1.1]的结论矛盾.故$|U(0)|+|\nabla U(0)|\leq C$.因此

(2.10) $\begin{equation}\nonumber u(x_0)\leq C|x_0|^{-\frac{2+\tau}{p-1}}\, \, \mbox{且}\, \, |\nabla u(x_0)|\leq C|x_0|^{-\frac{p+1+\tau}{p-1}}.\end{equation}$

证毕.

本节内容证明定理1.3.设$d={\rm {\rm dist}}(0, \partial\Omega)>0.$假设定理1.3结论不成立.则由定理1.2的估计式(1.4)可知,方程(1.8)的所有远离$\{0\}\cup\partial\Omega$的解都一致有界.从而,只需讨论以下两种可能情形.

情形1  存在一序列解$u_k$和一组点列$P_k\rightarrow 0\in\Omega$使得

$ N_k=\sup\limits_{|x|<\frac{d}{2}}u(x)=u_k(P_k)\rightarrow\infty \mbox{, }\, \, \, \, k\rightarrow\infty. $

记

$v_k(y)=\lambda_k^{\frac{2+\tau}{p-1}}u_k(P_k+\lambda_ky), \, \, \lambda_k=N_k^{-\frac{p-1}{2+\tau}}, $

则$v_k$满足方程

(3.1) $\begin{equation}\label{15} -\mbox{div}(|y+\frac{P_k}{\lambda_k}|^{\theta}\nabla v_k)=|y+\frac{P_k}{\lambda_k}|^{l}\underbrace{\lambda_k^{\frac{(2+\tau)p}{p-1}}f( \lambda_k^{-\frac{2+\tau}{p-1}}v_k(y))}_{f_k(y)}, \, \, y\in B_{\frac{d}{2\lambda_k}}(0) \end{equation} $

且$v_k(0)=1$.由定理1.2中的估计式(1.4)可得,序列$\lambda_k^{-1}|P_k|=|P_k|u_k^{\frac{p-1}{2+\tau}}(P_k)$有界.故可设当$k\rightarrow\infty$时, $\lambda_k^{-1}P_k\rightarrow \bar{x}.$

由条件(1.3)知, $\|f_k\|_{L^\infty}(B_{\frac{d}{2\lambda_k}})$关于$k$有界.由椭圆估计,标准嵌入定理及条件(1.3),对方程(3.1),我们推得, $v_{k}\in C_{loc}(\mathbb{R} ^N)$收敛于$v\in \mathbb{R} ^N$.再次利用条件(1.3)可得,对任一$y\in \mathbb{R} ^N$,当$k\rightarrow \infty$时, $f_k(v_k(y))\rightarrow hv^p(y)$.故$v$满足方程

(3.2) $\begin{equation}\nonumber-\mbox{div}(|y+\bar{x}|^{\theta}\nabla v)=c|y+\bar{x}|^{l}v^p, \, \, y\in \mathbb{R} ^N \end{equation}$

且$v(0)=1.$经坐标转换后,所得结果与文献[6,定理1.1]矛盾.

情形2  存在一序列解$u_k$和点列$P_k\rightarrow P\in \partial \Omega$使得

(3.3) $\begin{equation}\nonumber N_k=\sup\limits_{x\in\Omega:{\rm dist}(x, \partial\Omega)<\frac{d}{2}}u_k(x)=u_k(P_k)\rightarrow\infty, \, \, \, \, k\rightarrow\infty.\end{equation} $

不失一般性,我们可设在点$P\in\partial\Omega$附近的边界$\partial\Omega$包含在超平面$x_N=0$中.对方程解作如下变换

(3.4) $ \begin{equation}\nonumber v_k(z)=\lambda_k^{\frac{2}{p-1}} u(P_k+\lambda_k z), \, \, \, \lambda_k=N^{-\frac{p-1}{2}}_k.\end{equation}$

设$d_k={\rm dist}(P_k, \partial\Omega)$.注意到$k$充分大时, $v_k(z)$在$B_{\frac{\delta}{2\lambda_k}}\cap\{z_n>-\frac{d_k}{\lambda_k}\}$($\delta$为常数)上有定义,且满足

(3.5) $\begin{equation}\nonumber -\mbox{div}(|P_k+\lambda_k z|^{\theta}\nabla v_k)=|P_k +\lambda_kz|^{l}\underbrace{\lambda_k^{\frac{2p}{p-1}}f( \lambda_k^{-\frac{2}{p-1}}v_k(y))}_{f_k(y)}, \end{equation} $

$v_k(0)=1$.因为

(3.6) $\begin{equation}\nonumber|v_k(0)-v_k(0', -\frac{d_k}{\lambda_k})|\leq C\frac{d_k}{\lambda_k}, \end{equation} $

故

$1-\lambda_k^{\frac{2}{p-1}}\mbox{sup}\varphi(x)\leq C\frac{d_k}{\lambda_k}.$

注意到$\varphi(x)$有界,当$k\rightarrow \infty$时, $\lambda_k\rightarrow 0$,故可推得$\frac{d_k}{\lambda_k}$一致下有界.并且可推得$\frac{d_k}{\lambda_k}$要么无上界,要么有一子序列,当$k\rightarrow \infty$时, $\frac{d_k}{\lambda_k}\rightarrow s (s>0)$.对于$\frac{d_k}{\lambda_k}$无上界的情形,我们可由情形$1$的讨论直接得出结论.对于有一子序列,当$k\rightarrow \infty$时, $\frac{d_k}{\lambda_k}\rightarrow s (s>0)$的情形,同情形$1$,抽取一收敛子列$v_k\rightarrow v$, $v$是方程

(3.7) $\begin{equation}\nonumber\left\{\begin{array}{ll}-\Delta v=h|P|^\tau v^p, &x\in H^N_s, \\v(y)=0, \, &x\in \partial H^N_s, \\v(0)=1\end{array} \right. \end{equation}$

的解,其中$H^N_s=\{y\in \mathbb{R} ^N: y_N>-s\}$.由于$1 < p < {\rm min}\{p_c, p_c(\tau)\}$,故此结论与文献[2,定理1.3]的结论矛盾.