设$S$是复数域${\Bbb C}$的一个非空子集.自映射$f: S\rightarrow S $的$i$次迭代通过递推公式定义为$f^{i}(x)=f(f^{i-1}(x))$, $f^{0}(x)=x, x\in S, i=1, 2, \cdots $.多项式型迭代方程

(1.1) $\begin{eqnarray} \lambda_{1}f(x)+\lambda_{2}f^{2}(x)+\cdots+\lambda_{n}f^{n}(x)=F(x), ~ x\in S \label{polynomilaiterativeequation} \end{eqnarray} $

是一类重要的迭代方程.很多动力学问题,如迭代根问题^{[18, 35]},不变曲线^{[18, 28]},费根鲍姆方程^{[7, 26]},微分同胚的横截同宿相交^[10],动力系统中的正规形^[2]和二次映射的动力学^[16]均可转化为此方程.关于该方程的研究已有很多结果:当$S$为区间, $F$为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49], $F$为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果.

随着对迭代方程的深入研究,我们希望考虑当$|\lambda_n|$较大时方程(1.1)解的存在性和惟一性.这个问题被称为首项系数问题^{[43, 48]}.若$\lambda_{n}\neq 0$,则方程(1.1)可转化为如下形式

(1.2) $ \begin{eqnarray} f^{n}(x)+\kappa_{n-1}f^{n-1}(x)+\cdots+\kappa_{1}f(x)=F(x), \ \ x\in S. \label{(lpie)} \end{eqnarray}$

2004年张伟年^[46]利用Schröder变换$f(x)=\phi(c\phi^{-1}(x))$将方程(1.2)转化为一个不含未知函数迭代的辅助方程,并利用Schauder不动点定理证明了在已知函数$F$扩张和非双曲条件下,该方程在不动点附近解的存在性.随后,在更多扩张和压缩条件下局部$C^{1}$解被研究^[6]. 2007年徐冰^[37]利用逐段定义法构造出了无限多个递增连续解. 2013年,利用局部线性解逼近的方法全局解的存在性被证明^[50].同样在2013年递减解也被构造出来^[20].

关于首项系数问题的所有结果都是在已知函数为单调函数的情形下给出的. 2017年,在已知函数为PM函数(逐段单调函数)情形下,一类特殊的非单调解被讨论了并利用延拓的方法给出了多项式型迭代方程解的一般构造^[22].

多项式函数作为一类特殊的非单调函数,在迭代根问题中已进行了讨论^[41-42].受到文献[41-42]中思想的启发,在本文中我们在给定函数$F$为多项式函数情形下,在一维空间和二维空间中分别研究了方程(1.2).在一维空间中,利用计算机代数系统SINGULAR对代数簇进行分解得到了方程(1.2)在$n=2$和$n=3$时有二次多项式解的充要条件以及两个方程的多项式解的具体形式,并进一步给出了计算方程(1.2)多项式解的可执行算法.在二维空间中,利用一维空间的思想得到了方程(1.2)在$n=2$和已知函数为平面二次齐次多项式时有平面二次保次多项式解的几个充要条件.

设方程(1.2)中$F$和$f$均为多项式.并设${\rm deg}F=m$, ${\rm deg}f=l$,则$m=l^{n}$.为了方便给出符号计算的步骤,我们研究方程(1.2)的多项式解,其中$F$是一个次数为$2^{n}$的多项式,即

(2.1) $\begin{eqnarray} F(x)=a_{2^{n}}x^{2^{n}}+a_{2^{n}-1}x^{2^{n}-1}+\cdots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}, ~a_{2^{n}}\ne 0, ~a_i\in{\Bbb C}. \label{Fpolynomial} \end{eqnarray}$

首先考虑如下方程

(2.2) $\begin{eqnarray} f^{2}(x)+\kappa_{1}f(x)=F(x), ~\kappa_1\in{\Bbb C} \label{lpie-order2} \end{eqnarray}$

的多项式解,其中

(2.3) $ \begin{eqnarray} F(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}, a_{4}\ne 0. \label{Fpolynomial-order4} \end{eqnarray}$

定理2.1  设$F$形如(2.3), $\beta$是$a_4$的立方根.则方程(2.2)有多项式解的充要条件为

$\begin{eqnarray*}&&a_0=\\&&\frac{-16a_4^2\kappa_1^2\beta^2-32a_4^2\kappa_1\beta^2+16a_2^2a_4^2-8a_2a_3^2a_4+32a_2a_4^2\beta+a_3^4-12a_3^2a_4\beta-16a_3a_4^2\kappa_1-16a_3a_4^2}{64a_4^3};\\&&a_1=\frac{a_3(4a_2a_4-a_3^2)}{8a_4^2}.\end{eqnarray*}$

并且其任一多项式解$f$形如

(2.4) $\begin{eqnarray}f(x)=\beta x^2+\frac{a_3}{2\beta^2}x-\frac {4\, \kappa_{{1}}{\beta}^{4}-4\, a_{{2}}{\beta}^{3}+2\, a_{{3}}{\beta}^{2}+{a_{{3}}}^{2}}{8{\beta}^{5}}.\label{expressqpth2.1}\end{eqnarray}$

证  令$f(x)=b_2x^2+b_1x+b_0$.将$f(x)$和$F(x)$代入方程(2.2)比较两边的系数,得到多项式集${\cal F}= \{f_1, f_2, f_3, f_4, f_5\}$,其中

$ \begin{eqnarray*} &&f_1 := b_2^3-a_4=0; \\&& f_2 := 2b_2^2b_1-a_3=0; \\ &&f_3 := 2b_2^2b_0+b_1b_2+\kappa_1b_2+b_2b_1^2-a_2=0; \\&& f_4 := b_1^2+\kappa_1b_1+2b_2b_1b_0-a_1=0; \\&& f_5 := b_1b_0+b_2b_0^2+\kappa_1b_0+b_0-a_0=0. \end{eqnarray*} $

设$APS_1$表示这些多项式方程构成的代数系统.计算$APS_1$的约化Gröbner基^{[1, 3]},然后选出不含$b_0$和$b_1$的多项式(事实上,我们需要计算消元理想$\langle APS_1\rangle\cap {\Bbb C}[a_i\, s, \kappa_1, b_2]$的Gröbner基),即

$ \begin{eqnarray*} && g_1 := b_2^3-a_4; \\ &&g_2 :=-8b_2^6a_1+4b_2^3a_2a_3-a_3^3; \\&& g_3 := -16b_2^8\kappa_1^2-16b_2^6\kappa_1a_3-32b_2^8\kappa_1-64b_2^9a_0+16b_2^6a_2^2-8b_2^3a_2a_3^2+32b_2^7a_2+a_3^4 \\&&~~~~~~~-12b_2^4a_3^2-16b_2^6a_3. \end{eqnarray*} $

最后,在计算机代数系统SINGULAR中利用minAssGTZ程序包(此方法是基于Gianni, Trager和Zacharias的工作^[12])得到理想$\langle g_1, g_2, g_3\rangle$的极小相关素理想,我们可知,该理想即$\langle g_1, g_2, g_3\rangle$本身.计算过程表明结果无冗余.因此,由上述素理想定义出了消元理想代数簇的极小不可约分解如定理2.1所示(即方程(2.2)存在多项式解的条件).将条件代入代数系统$APS_1$得

$ \begin{eqnarray*} b_2=\beta, b_1=\frac{a_3}{2\beta^2}, b_0=-\frac {4\, \kappa_{{1}}{\beta}^{4}-4\, a_{{2}}{\beta}^{3}+2\, a_{{3}}{\beta}^{2}+{a_{{3}}}^{2}}{8{\beta}^{5}}, \end{eqnarray*} $

其中$\beta$是${a_4}$的一个立方根.这样我们得到二次多项式解的表达式(2.4).

进一步,将得到的二次多项式$f(x)$代入方程(2.2)的左边得

$\begin{eqnarray*}&&f^{2}(x)+\kappa_{1}f(x)=\beta^3x^4+a_3x^3+a_2x^2+{\frac {a_{{3}}( 4\, {\beta}^{3}a_{{2}}-a_{{3}}^{2}) }{8{\beta}^{6}}}\\&&+\frac{-16\, {\beta}^{8}\kappa_{{1}}^{2}-32\, {\beta}^{8}\kappa_{{1}}+16\, {\beta}^{6}a_{{2}}^{2}-8\, {\beta}^{3}a_{{2}}a_{{3}}^{2}+32\, {\beta}^{7}a_{{2}}+a_{{3}}^{4}-12\, {\beta}^{4}a_{{3}}^{2}-16\, {\beta}^{6}a_{{3}}\kappa_{{1}}-16\, {\beta}^{6}a_{{3}}}{64\beta^9}.\end{eqnarray*}$

注意到$a_4=\beta^3$.因此当

$f(x)=\beta x^2+\frac{a_3}{2\beta^2}x-\frac {4\, \kappa_{{1}}{\beta}^{4}-4\, a_{{2}}{\beta}^{3}+2\, a_{{3}}{\beta}^{2}+{a_{{3}}}^{2}}{8{\beta}^{5}}$

时方程(2.2)成立.证毕.

注2.1  在定理2.1中如果$a_0, ~a_1, \cdots, a_4, ~\kappa_1\in{\Bbb R}$,则$\beta$是${a_4}$的立方根,即$\beta=a_4^{1/3}$.因此此定理在实数集${\Bbb R}$上也成立.

为了给出计算方程(1.2)次数更高时的多项式解的算法,我们引入代数簇和不可约分解的基本定义.

设${\Bbb K}$为一个代数闭域, ${\cal A}^n$是${\Bbb K}$上的一个仿射$n$维空间.在环${\Bbb K}[x_1, \cdots, x_n]$上的多项式$f$可看成${\cal A}^n$上的一个$k$值函数在${\cal A}^n$中的点对$f$求值,即对每个$x_i$选取${\Bbb K}$中的值.对${\Bbb K}[x_1, \cdots, x_n]$中的每个多项式集${\cal S}$,定义零点轨迹$Z({\cal S})$为${\cal A}^n$中点集,在其上${\cal S}$中的函数同时为零,即

$Z({\cal S}) = \{x \in {{\cal A}}^n \mid f(x) = 0, ~ \forall f\in {\cal S}\}. $

${\cal A}^n$中的子集$V$称为仿射代数集^{[1, 5, 11, 30]}如果对某些${\cal S}$有$V = Z({\cal S})$.非空仿射代数集$V$称为不可约的如果它不能表成两个适当的代数子集的并.不可约仿射代数集也称为仿射簇^{[5, 30]}.一般地,考虑环${\Bbb K}[x_1, \cdots, x_n]$上的多项式集${\cal F}:=\{f_1, \cdots, f_m\}$.求解由集合${\cal F}$定义的多项式代数系统$f_1 =\cdots= f_m =0$可约化为寻找代数簇$V({\cal F})$.事实上,有三种行之有效的算法可用以寻找代数簇.其中一种重要的经典方法是建立在特征列方法上^{[30, 36]}.另外一种重要方法是对包含有$n$个变元的$n$次齐次多项式代数系统的结式法^{[5, 11]},它是一种确定多项式是否有相同的非平凡解的工具.第三种方法是通过利用Gröbner基的方法来求解多项式方程^{[1, 3, 31]},尤其是$0$维的情形.现在,随着Gröbner基的广泛应用,几乎所有的常用计算机代数系统(Mathematica, Maple, REDUCE, SINGULAR, Macaulay等)都能用来计算Gröbner基.下面,我们如定理2.1证明过程那样给出利用Gröbner基的方法来求解方程(1.2)的算法.

算法

第一步  计算$f^i, ~i=2, \cdots, n$并比较方程(1.2)两边的系数得到$m$个关于变元$a_i$, $b_i$和$\kappa_i$ (其中$m=2^n+ 1$)的多项式方程(记为${\cal F}:=\{f_1, .., f_m\}$).用$PS$记$\{f_1=0, \cdots, f_{m}=0\}$.

第二步  计算理想$\langle f_1, \cdots, f_{m}\rangle$的约化Gröbner基,选出不含$b_0$和$b_1$的多项式,记为$PS'$.在计算机代数系统SINGULAR中利用程序包minAssGTZ求出$PS'$对应的代数簇的极小不可约分解,并由此得到$a_i$和$\kappa_i$的最简代数关系,从而给出$f(x)$为方程(1.2)的解的条件.

第三步  将$a_i$和$\kappa_i$的关系代入$PS$,再返解$PS$,则$b_i$可通过$a_i$和$\kappa_i$表示出来,进而最终得出方程解$f(x)$的表达式.

本节将利用上节给出算法求解三次多项式型迭代方程,即如下多项式型迭代方程

(2.5) $ \begin{eqnarray} f^{3}(x)+\kappa_{2}f^{2}(x)+\kappa_{1}f(x)=F(x), ~\kappa_i\in{\Bbb C}, ~i=1, 2, \label{lpie-order3} \end{eqnarray}$

并给出方程(2.5)有二次多项式解的充分必要条件,其中

(2.6) $\begin{eqnarray} F(x)=a_{8}x^{8}+a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}, a_{8}\ne 0. \label{Fpolynomial-oreder8} \end{eqnarray}$

定理2.2  设$F$是形如(2.6)的多项式, $\gamma$是$a_8$的7次方根.则方程(2.5)有多项式解的充要条件为

(2.7) $\begin{eqnarray}a_0&=&-\frac{1}{1048576a_8^7}(131072a_2a_7a_8^5\gamma^6-65536a_4a_6a_7a_8^4\gamma^6+16384a_4a_7^3a_8^3\gamma^6+16384a_6^3a_7a_8^3\gamma^6\\&&-6144a_6^2a_7^3a_8^2\gamma^6-512a_6a_7^5a_8\gamma^6+224a_7^7\gamma^6-262144a_4a_6a_8^5\gamma^5+114688a_4a_7^2a_8^4\gamma^5\\&&+98304a_6^3a_8^4\gamma^5-67584a_6^2a_7^2a_8^3\gamma^5+7168a_6a_7^4a_8^2\gamma^5+1568a_7^6a_8\gamma^5+131072a_4a_7a_8^5\gamma^4\\&&-49152a_6^2a_7a_8^4\gamma^4+12288a_6a_7^3a_8^3\gamma^4+1792a_7^5a_8^2\gamma^4+65536a_6^2a_8^5\gamma^3-57344a_6a_7^2a_8^4\gamma^3\\&&+12544a_7^4a_8^3\gamma^3-65536a_6a_7a_8^5\gamma^2+28672a_7^3a_8^4\gamma^2-262144a_2a_6a_8^6+98304a_2a_7^2a_8^5\\&&+65536a_4a_6^2a_8^5-32768a_4a_6a_7^2a_8^4+3072a_4a_7^4a_8^3-12288a_6^4a_8^4+6144a_6^3a_7^2a_8^3 \\&&+128a_6^2a_7^4a_8^2-160a_6a_7^6a_8-262144a_6a_8^6\gamma-39a_7^8+114688a_7^2a_8^5\gamma+131072a_7a_8^6);\\a_1&=&\frac{a_7(4096a_2a_8^5-256a_4a_7^2a_8^3+48a_6a_7^4a_8-17a_7^6)}{16384a_8^6};\\a_2&=&\frac{4096a_8^5\kappa_1\gamma+2048a_4a_6a_8^4-512a_4a_7^2a_8^3-512a_6^3a_8^3+192a_6^2a_7^2a_8^2+16a_6a_7^4a_8-7a_7^6}{4096a_8^5};\\a_3&=&\frac{a_7(128a_4a_8^3-20a_6a_7^2a_8+7a_7^4)}{256a_8^4};\\a_4&=&\frac{256a_6a_8^2\gamma^5-112a_7^2a_8\gamma^5+512a_8^3\kappa_2\gamma^3+192a_6^2a_8^2-48a_6a_7^2a_8-7a_7^4}{512a_8^3};\\a_5&=&\frac{a_7(24a_6a_8-7a_7^2)}{32a_8^2}.\label{snof3}\end{eqnarray} $

并且方程(2.5)的任一多项式解$f$形如

(2.8) $\begin{eqnarray}f(x)=\gamma x^2+\frac{a_7}{4\gamma^2}x+\frac{8a_6\gamma^7-4a_7\gamma^6-3a_7^2}{32\gamma^{13}}.\label{expressqpth2.2}\end{eqnarray}$

证  由上节给出的算法第一步令$f(x)=b_2x^2+b_1x+b_0$.将函数$f(x)$和$F(x)$代入方程(2.5)并比较方程(2.5)两边系数得到多项式集${\cal F}= \{f_1, f_2, \cdots, f_9\}$,其中

$\begin{eqnarray*}&&f_1 := b_2^7-a_8;\\&&f_2 := 4b_2^6b_1-a_7;\\&&f_3 := 6b_2^5b_1^2+2b_2^5b_1+4b_2^6b_0-a_6;\\&&f_4 := 4b_2^4b_1^3+6b_2^4b_1^2+12b_2^5b_1b_0-a_5;\\&&f_5 :=b_2^3b_1^4+2b_2^4b_0+b_1^2b_2^3+\kappa_2b_2^3+6b_2^4b_1b_0+6b_2^3b_1^3+b_1b_2^3+12b_2^4b_1^2b_0+6b_2^5b_0^2-a_4;\\&&f_6 := 2b_2^2b_1^4+4b_2^3b_1b_0+12b_2^4b_1b_0^2+12b_2^3b_1^2b_0+4b_2^3b_1^3b_0+2\kappa_2b_2^2b_1+2b_1^3b_2^2+2b_2^2b_1^2-a_3;\\&&f_7 := 4b_2^2b_1^2b_0+6b_2^3b_0^2b_1+\kappa_1b_2+2\kappa_2b_2^2b_0+6b_2^2b_1^3b_0+\kappa_2b_1b_2+4b_2^3b_0^2+b_2b_1^2+4b_2^4b_0^3\nonumber\\&&~~~~~~~+4b_1b_2^2b_0+6b_2^3b_1^2b_0^2+\kappa_2b_2b_1^2+b_2b_1^4+b_2b_1^3-a_2;\\&&f_8 := 4b_2b_1^2b_0+4b_2^3b_1b_0^3+6b_2^2b_1^2b_0^2+\kappa_2b_1^2+b_1^3+2\kappa_2b_2b_1b_0+2b_2b_1^3b_0+4b_2^2b_1b_0^2\nonumber\\&&~~~~~~~+\kappa_1b_1-a_1;\\&&f_9 := b_1^2b_0+\kappa_2b_0+\kappa_1b_0+\kappa_2b_2b_0^2+b_1b_0+\kappa_2b_1b_0+b_0+b_2b_0^2+2b_2^2b_0^3b_1+b_2b_1^2b_0^2\nonumber\\&&~~~~~~~+b_2^3b_0^4+2b_2^2b_0^3+3b_2b_1b_0^2-a_0.\end{eqnarray*}$

令$APS_2$为这些多项式所构成的代数系统,由算法的第二步得到不含$b_0$和$b_1$的新多项式代数系统$APS_2'$,即$APS_2':=\{g_1=0, \cdots, g_{7}=0\}$,其中

$\begin{eqnarray*}&&g_1:=a_8-b_2^7;\\&&g_2:=-32b_2^{14}a_5+24b_2^7a_6a_7-7a_7^3;\\&&g_3:=512b_2^{24}\kappa_2-512b_2^{21}a_4+192b_2^{14}a_6^2-48b_2^7a_6a_7^2+256b_2^{19}a_6-7a_7^4-112b_2^12a_7^2;\\&&g_4:=-256b_2^{28}a_3+128b_2^{21}a_4a_7-20b_2^7a_6a_7^3+7a_7^5;\\&&g_5:=4096b_2^{36}\kappa_1-4096b_2^{35}a_2+2048b_2^{28}a_4a_6-512b_2^{21}a_4a_7^2-512b_2^{21}a_6^3+192b_2^{14}a_6^2a_7^2\\&&~~~~~~~+16b_2^7a_6a_7^4-7a_7^6;\\&&g_6:=-16384b_2^{42}a_1+4096b_2^{35}a_2a_7-256b_2^{21}a_4a_7^3+48b_2^7a_6a_7^5-17a_7^7;\\&&g_7:=-1048576b_2^{49}a_0+262144b_2^{42}a_2a_6-98304b_2^{35}a_2a_7^2-131072b_2^{41}a_2a_7-65536b_2^{35}a_4a_6^2\\&&~~~~~~~+32768b_2^{28}a_4a_6a_7^2+65536b_2^{34}a_4a_6a_7+262144b_2^{40}a_4a_6-3072b_2^{21}a_4a_7^4-16384b_2^{27}a_4a_7^3\\&&~~~~~~~-114688b_2^{33}a_4a_7^2-131072b_2^{39}a_4a_7+12288b_2^{28}a_6^4-6144b_2^{21}a_6^3a_7^2-16384b_2^{27}a_6^3a_7\\&&~~~~~~~-98304b_2^{33}a_6^3-128b_2^14a_6^2a_7^4+6144b_2^{20}a_6^2a_7^3+67584b_2^{26}a_6^2a_7^2+49152b_2^{32}a_6^2a_7\\&&~~~~~~~-65536b_2^{38}a_6^2+160b_2^7a_6a_7^6+512b_2^{13}a_6a_7^5-7168b_2^{19}a_6a_7^4-12288b_2^{25}a_6a_7^3\\&&~~~~~~~+57344b_2^{31}a_6a_7^2+65536b_2^{37}a_6a_7+262144b_2^{43}a_6+39a_7^8-224b_2^6a_7^7-1568b_2^{12}a_7^6\\&&~~~~~~~-1792b_2^{18}a_7^5-12544b_2^24a_7^4-28672b_2^{30}a_7^3-114688b_2^{36}a_7^2-131072b_2^{42}a_7.\end{eqnarray*}$

然后利用计算机代数系统SINGULAR中的程序包minAssGTZ计算出$APS_2'$对应的代数簇的极小不可分解,我们可知该分解即$V(g_1, g_2, \cdots, g_7)$本身.进一步,通过上述极小不可约分解我们得到$a_i$和$\kappa_i$的最简代数关系,从而得到$f(x)$为方程(2.5)解的条件,即定理2.2中所述.再由算法中的第三步将条件代入代数系统$APS_2$得到

$b_2=\gamma, b_1=\frac{a_7}{4\gamma^2}, b_0=\frac{8a_6\gamma^7-4a_7\gamma^6-3a_7^2}{32\gamma^{13}}, $

其中$\gamma$是$a_8$的7次方根.这样就得到多项式型迭代方程(2.5)的二次多项式解的表达式(2.8).

类似定理2.1的证明,将上面得到的$f(x)$的表达式代入方程(2.5)两边,注意到$a_8=\gamma^7$,则当

$f(x)=\gamma x^2+\frac{a_7}{4\gamma^2}x+\frac{8a_6\gamma^7-4a_7\gamma^6-3a_7^2}{32\gamma^{13}} $

时方程(2.5)成立.证毕.

同样,定理2.2在实数集${\Bbb R}$上也成立.事实上,上面给出的算法也可以用来计算三次以上的多项式型迭代方程.

本节我们将利用一维情形的思想研究多项式型迭代方程(1.2)在二维空间中存在多项式解的条件.由于平面多项式的迭代计算比较复杂,迭代后的次数无规律,因此在二维空间中要判断多项式型迭代方程(1.2)有多项式解要比一维情形复杂得多.为了简洁地给出符号计算的过程,考虑一类特殊的平面二次多项式映射,称为保次映射^[4],这类多项式经过迭代后次数不超过2.我们考虑如下迭代方程

(3.1) $\begin{eqnarray} \phi_\rho^{2}(x)+\kappa_{1}\phi_\rho(x)=F_{\lambda}(x), ~\kappa_1\in{\Bbb C}, ~\kappa_1\ne0, \label{lpie-order2-2D}\end{eqnarray}$

其中

(3.2) $\begin{eqnarray}F_{\lambda}:\left[\begin{array}{cc} x \\ y\end{array}\right]\mapsto\left[\begin{array}{cc} a_3x^2+a_4xy+a_5y^2 \\ b_3y^2+b_4yx+b_5x^2 \end{array}\right], \label{sqpoly1} \end{eqnarray}$

$\lambda=(\lambda^1, \lambda^2)$, $\lambda^1=(a_3, a_4, a_5)$, $\lambda^2=(b_3, b_4, b_5)$, $a_i$, $b_i\in{\Bbb C}$, $i=3, 4, 5$.我们研究方程(3.1)有如下二次多项式解

(3.3) $ \begin{eqnarray} \phi_{\rho}: \left[ \begin{array}{cc} x \\ y\end{array}\right]\mapsto\left[\begin{array}{cc} c_0+c_1x+c_2y+c_3x^2+c_4xy+c_5y^2 \\ d_0+d_1y+d_2x+d_3y^2+d_4yx+d_5x^2 \end{array}\right]\label{poly3} \end{eqnarray}$

的条件,其中$\rho=(\rho^1, \rho^2)$, $\rho^1=(c_0, c_1, c_2, c_3, c_4, c_5)$, $\rho^2=(d_0, d_1, d_2, d_3, d_4, d_5)$, $c_i, ~d_i\in{\Bbb C}$, $i=0, \cdots, 5$.显然, $\phi_{\rho}$必须是一个保次映射,由文献[4]可知$\phi^{2}_{\rho}$的2次迭代被分为11种类型

$\begin{eqnarray*} &&A_{11}:=\{\rho: c_3=c_4=c_5=d_3=d_4=d_5=0 \}, \\ &&A_{12}:=\{\rho: c_1=c_2=c_3=c_4=c_5=0, d_3=d_5=0, d_4\neq 0\}, \\ &&A_{13}:=\{\rho: d_1=d_2=d_3=d_4=d_5=0, c_3=c_5=0, c_4\neq 0\}, \\ &&A_{21}:=\{\rho: c_3=c_4=c_5=d_3=d_4=0, d_5\neq 0\}, \\ &&A_{22}:=\{\rho: c_1=c_2=c_3=c_4=c_5=0, d_3=0, d_4 d_5\neq 0\}, \\ &&A_{23}:=\{\rho: c_5=d_3=0, c_1=-d_2d_4/d_5, c_2=-d_1d_4/d_5, c_3=-d_4, \\ && \hskip 2.16cm c_4=-d_4^2/d_5, d_4 d_5\neq 0\}, \\&&A_{31}:=\{\rho: c_3=c_4=d_3=d_4=d_5=0, c_5\neq 0\}, \\&&A_{32}:=\{\rho: d_1=d_2=d_3=d_4=d_5=0, c_3=0, c_4 c_5\neq 0\}, \\&&A_{33}:=\{\rho: c_3=d_5=0, d_1=-c_2c_4/c_5, d_2=-c_1c_4/c_5, d_3=-c_4, \\&&\hskip 2.16cm d_4=-c_4^2/c_5, c_4 c_5\neq 0\}, \\&&A_{41}:=\{\rho: c_1=c_3d_2/d_5, c_4=-(c_5d_5^2+c_3^3)/(c_3d_5), d_1=c_2d_5/c_3, d_3=c_5d_5/c_3, \\&&\hskip 2.16cm d_4=-(c_5d_5^2+c_3^3)/c_3^2, c_5\neq c_3^3/d_5^2, c_3 c_5 d_5\neq 0\}, \\&&A_{42}:=\{\rho: c_4=-2c_3^2/d_5, c_5=c_3^3/d_5^2, d_3=c_3^2/d_5, d_4=-2c_3, c_5 d_5\neq 0\}.\end{eqnarray*}$

因此,我们将根据上述11种类型给出方程(3.1)存在二次多项式解的条件.为了方便起见,如果$\rho\in A_{ij}$,记$\phi_{\rho}$为$A_{ij}$类型,其中$(i, j)\in \{(m, n):m, n=1, 2, 3\}\cup \{(4, 1), (4, 2)\}$.

定理3.1   (ⅰ)方程(3.1)没有$A_{11}$类型的多项式解.

(ⅱ)方程(3.1)有$A_{12}$类型的二次多项式解的充要条件为$a_3=a_{4}=a_{5}=b_3=b_5=0$且$b_4\neq0$.并且方程(3.1)任一二次多项式解$\phi_{\rho}$形如

$\begin{eqnarray*}\phi_{\rho}(x, y)=(0, \frac{b_4}{\kappa_1}xy).\end{eqnarray*}$

(ⅲ)方程(3.1)有$A_{13}$类型的二次多项式解的充要条件为$a_3=a_{5}=b_3=b_4=b_5=0$且$a_4\neq0$.并且方程(3.1)任一二次多项式解$\phi_{\rho}$形如

$\begin{eqnarray*}\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_4}{\kappa_1}xy, 0).\end{eqnarray*}$

(ⅳ)方程(3.1)有$A_{21}$类型二次多项式解的充要条件为$a_{4}=a_{5}=4\, b_{3}b_{5}+2\, a_{3}b_{4}-b_{4}^{2}=0$.并且方程(3.1)任一二次多项式解$\phi_{\rho}$形如

$\begin{eqnarray*}&&\phi_{\rho}(x, y)=(0, \frac{b_5}{\kappa_1}x^2)~{\rm {\mbox {或}} }~\\&& \phi_{\rho}(x, y)=(-\kappa_1x, -\kappa_1y+\frac{b_5}{\kappa_1^2}x^2)~{\rm {\mbox {或}} }~\\&& \phi_{\rho}(x, y)=(-\kappa_1x, \frac{b_5}{\kappa_1^2+\kappa_1}x^2)~ {\rm {\mbox {或}} }~\\&&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{b_4}{2a_3}x+\frac{b_3}{a_3}y, -\frac{2a_3\kappa_1+b_4}{2a_3}y-\frac{b_4(2a_3\kappa_1+b_4)}{4a_3b_3}x+\frac{a_3^2}{b_3}x^2).\end{eqnarray*}$

(ⅴ)方程(3.1)有$A_{22}$类型二次多项式解的充要条件为$b_4b_5\neq 0$.并且方程(3.1)任一二次多项式解$\phi_{\rho}$形如

$\begin{eqnarray*}&&\phi_{\rho}(x, y)=(0, \frac{b_4}{\kappa_1}yx+\frac{b_5}{\kappa_1}x^2)~{\rm {\mbox {或}} }~\\&&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{b_5(b_5+k_1)}{k_1^2b_4}, -\frac{b_5^2(b_5+k_1)}{k_1^2b_4^2}+\frac{k_1b_4}{b_5}yx+k_1x^2), ~\kappa_1=-1, ~\forall k_1\in{\Bbb C}\backslash\{0\}.\end{eqnarray*}$

(ⅵ)方程(3.1)有$A_{23}$类型二次多项式解的充要条件为$a_{3}+b_{4}=a_3^2+a_4b_5=0$.并且方程(3.1)任一二次多项式解$\phi_{\rho}$形如

$\begin{eqnarray*}&&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_3}{\kappa_1}x^2-\frac{a_3^2}{\kappa_1b_5}xy, -\frac{a_3}{\kappa_1}yx+\frac{b_5}{\kappa_1}x^2)~{\rm {\mbox {或}} }~\\&&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{k_2a_3}{b_5}-a_3x^2+\frac{a_3^2}{b_5}xy, k_2+a_3yx-b_5x^2), \kappa_1=-1, ~\forall k_2\in{\Bbb C}~{\rm {\mbox {或}} }~\\&&\phi_{\rho}(x, y)=(-\frac{k_3a_4}{a_3}x^2-\frac{k_3a_4^2}{a_3^2}xy, \frac{b_5(b_5+k_3)}{k_3^2a_4}+\frac{k_3a_4}{a_3}yx+k_3x^2), \kappa_1=-1, ~\forall k_3\in{\Bbb C}\backslash\{0\}.\end{eqnarray*}$

(ⅶ)方程(3.1)有$A_{31}$类型的二次多项式解的充要条件为$b_{4}=b_{5}=4\, a_{5}a_{3}+2\, a_{4}b_{3}-a_{4}^{2}=0$.并且方程(3.1)任一二次多项式解$\phi_{\rho}$形如

$\begin{eqnarray*}&&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_5}{\kappa_1}y^2, 0)~{\rm {\mbox {或}} }~\\&& \phi_{\rho}(x, y)=(-\kappa_1x+\frac{a_5}{\kappa_1^2}y^2, -\kappa_1y)~{\rm {\mbox {或}} }~\\&& \phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_5}{\kappa_1^2+\kappa_1}y^2, -\kappa_1y)~{\rm {\mbox {或}} }~\\&&\phi_{\rho}(x, y)=(-\frac{2b_3\kappa_1+a_4}{2b_3}x-\frac{a_4(2b_3\kappa_1+a_4)}{4a_3b_3}y+\frac{b_3^2}{a_3}y^2, \frac{a_4}{2b_3}y+\frac{a_3}{b_3}x).\end{eqnarray*}$

(ⅷ)方程(3.1)有$A_{32}$类型二次多项式解的充要条件为$a_4a_5\neq0$,并且方程(3.1)任一二次多项式解$\phi_{\rho}$形如

$\begin{eqnarray*}&&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_4}{\kappa_1}xy+\frac{a_5}{\kappa_1}y^2, 0)~{\rm {\mbox {或}} }~ \\&&\phi_{\rho}(x, y)=(-\frac{a_5^2(a_5+k_4)}{k_4^2a_4^2}+\frac{k_4a_4}{a_5}xy+k_4y^2, \frac{a_5(a_5+k_4)}{k_4^2a_4}), \kappa_1=-1, ~\forall k_4\in{\Bbb C}\backslash\{0\}.\end{eqnarray*}$

(ⅸ)方程(3.1)有$A_{33}$类型的二次多项式解的充要条件为$a_{4}+b_{3}=a_4^2+a_5b_4=0$.并且方程(3.1)任一二次多项式解$\phi_{\rho}$形如

$\begin{eqnarray*}&&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_4}{\kappa_1}xy+\frac{a_5}{\kappa_1}y^2, -\frac{a_4}{\kappa_1}x^2-\frac{a_4^2}{\kappa_1a_5}xy)~{\rm {\mbox {或}} }~\\&&\phi_{\rho}(x, y)=(k_4-a_4xy-a_5y^2, \frac{k_4b_4}{a_4}+a_4y^2+\frac{a_4^2}{a_5}yx), \kappa_1\!=\!-1, ~\forall k_4\in{\Bbb C}~{\rm {\mbox {或}} }~ \\ && \phi_{\rho}(x, y)=(\frac{k_5a_4}{a_5}xy+k_5y^2-\frac{a_5(a_5+k_5)}{k_5^2b_4}, -\frac{k_5a_4}{a_5}y^2-\frac{k_5a_4^2}{a_5^2}yx), \kappa_1=-1, ~\forall k_5\in{\Bbb C}\backslash\{0\}. \end{eqnarray*}$

(ⅹ)方程(3.1)有$A_{41}$类型的二次多项式解的充要条件为$a_4b_5-a_3b_4=a_5b_4-a_4b_3=a_5b_5-a_3b_3=b_3^2+b_3a_4+a_5a_3=b_4b_3+b_4a_4+a_4a_3=b_5b_3+b_4a_3+a_3^2=0$且$a_3a_5b_5\ne0$.并且方程(3.1)任一二次多项式解$\phi_{\rho}$形如

$\begin{eqnarray*}&&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_3}{\kappa_1}x^2-\frac{a_3^3+a_5b_5^2}{\kappa_1a_3b_5}xy+\frac{a_5}{\kappa_1}y^2, \frac{a_5b_5}{\kappa_1a_3}y^2-\frac{a_3^3+a_5b_5^2}{\kappa_1a_3^2}yx+\frac{b_5}{\kappa_1}x^2)~{\rm {\mbox {或}} }~\\ && \phi_{\rho}(x, y)=( -a_3x^2+\frac{a_3^3+a_5b_5^2}{a_3b_5}xy-a_5y^2+k_6, -\frac{a_5b_5}{a_3}y^2+\frac{a_3^3+a_5b_5^2}{a_3^2}yx-b_5x^2+\frac{k_6b_3}{a_5}), \\&&~~~~~~~~~~~~\quad \kappa_1=-1, ~\forall k_6\in{\Bbb C}\backslash\{0\}. \end{eqnarray*}$

(ⅹⅰ)方程(3.1)有$A_{42}$类型的二次多项式解的充要条件为$a_4b_4-4a_5b_5=b_4^2-2a_3b_4+2a_4b_5-4b_3b_5=a_4^2-2a_4b_3+2a_5b_4-4a_3a_5=0$.

证  令$F_{\lambda}$和$\phi_\rho$分别为形如(3.2)和(3.3)式的平面二次多项式.计算2次迭代$\phi_{\rho}^2$,将$\phi_\rho^{2}(x), \kappa_{1}\phi_\rho(x), F_{\lambda}(x)$代入方程(3.1)并比较$\phi_{\rho}^2+\kappa_{1}\phi_\rho$和$F_{\lambda}$对应的系数,得到多项式集合$PS= \{g_1, g_2, \cdots, g_{30}\}$,其中

$\begin{eqnarray*}g_1&:=&c_{{4}}c_{{3}}d_{{5}}+c_{{5}}d_{{5}}^{2}+c_{{3}}^{3}=0, \\g_2&:=&2c_{{3}}^{2}c_{{4}}+c_{{4}}^{2}d_{{5}}+c_{{4}}c_{{3}}d_{{4}}+2c_{{5}}d_{{4}}d_{{5}}=0, \\g_3&:=&2c_{{3}}^{2}c_{{5}}+c_{{3}}c_{{4}}^{2}+c_{{4}}^{2}d_{{4}}+c_{{5}}d_{{4}}^{2}+c_{{4}}c_{{3}}d_{{3}}+c_{{4}}c_{{5}}d_{{5}}+2c_{{5}}d_{{3}}d_{{5}}=0, \\&&\vdots, \\g_{10}&:=&2c_0c_3^2+c_0c_4d_5+c_1^2c_3+c_1c_4d_2+c_3c_4d_0+2c_5d_0d_5+c_5d_2^2+c_1c_3+c_2d_5\nonumber\\& & {}+c_3\kappa_1-a_3=0, \\g_{11}&:=&2c_0c_3c_4+c_0c_4d_4+2c_1c_2c_3+c_1c_4d_1+c_2c_4d_2+c_4^2d_0+2c_5d_0d_4+2c_5d_1d_2\nonumber\\& & {}+c_1c_4+c_2d_4+c_4\kappa_1-a_4=0, \\g_{12}&:=&2c_0c_3c_5+c_0c_4d_3+c_2^2c_3+c_2c_4d_1+c_4c_5d_0+2c_5d_0d_3+c_5d_1^2+c_1c_5+c_2d_3\nonumber\\& & {}+c_5\kappa_1-a_5=0, \\&&\vdots, \\g_{25}&:=&2c_0c_3d_5+c_0d_4d_5+c_1^2d_5+c_1d_2d_4+c_3d_0d_4+2d_0d_3d_5+d_2^2d_3+c_3d_2+d_1d_5\nonumber\\& & {}+d_5\kappa_1-b_5=0, \\g_{26}&:=&2c_0c_4d_5+c_0d_4^2+2c_1c_2d_5+c_1d_1d_4+c_2d_2d_4+c_4d_0d_4+2d_0d_3d_4+2d_1d_2d_3\nonumber\\& & {}+c_4d_2+d_1d_4+d_4\kappa_1-b_4=0, \\g_{27}&:=&2c_0c_5d_5+c_0d_3d_4+c_2^2d_5+c_2d_1d_4+c_5d_0d_4+2d_0d_3^2+d_1^2d_3+c_5d_2+d_1d_3\nonumber\\& & {}+d_3\kappa_1-b_3=0, \\g_{28}&:=&2c_0c_1d_5+c_0d_2d_4+c_1d_0d_4+2d_0d_2d_3+c_1d_2+d_1d_2+d_2\kappa_1=0, \\g_{29}&:=&2c_0c_2d_5+c_0d_1d_4+c_2d_0d_4+2d_0d_1d_3+c_2d_2+d_1^2+d_1\kappa_1=0, \\g_{30}&:=&c_0^2d_5+c_0d_0d_4+d_0^2d_3+c_0d_2+d_0d_1+d_0\kappa_1+d_0=0.\end{eqnarray*}$

$PS$中的每一个多项式在有理数域${\bf Q}$中都不可约.显然,由于二次多项式不可能由线性函数迭代给出,因此方程(3.1)无$A_{11}$类型的二次多项式解.注意到$A_{12}$和$A_{13}$, $A_{21}$和$A_{31}$, $A_{22}$和$A_{32}$, $A_{23}$和$A_{33}$关于变量$c_i$和$d_i$具有相同的对称性,因此只考虑$A_{13}$, $A_{31}$, $A_{32}$, $A_{33}$类型.下面我们详细讨论$A_{31}$类型,其它类型可类似讨论.

将保次条件$A_{31}$代入$PS$得半代数系统

$PS_1:=\{{\mathfrak g}_1=0, {\mathfrak g}_2=0, \cdots , {\mathfrak g}_{10}=0, ~b_4=0, ~b_5=0, ~c_5\ne0\}, $

其中

$\begin{eqnarray*} {\mathfrak g}_1&:=&c_5d_2^2-a_3, \\ {\mathfrak g}_2&:=&2c_5d_1d_2-a_4, \\ {\mathfrak g}_3&:=&c_5d_1^2+c_1c_5+c_5\kappa_1-a_5, \\ {\mathfrak g}_{4}&:=&2c_5d_0d_2+c_1^2+c_1\kappa_1+c_2d_2, \\ {\mathfrak g}_{5}&:=&2c_5d_0d_1+c_1c_2+c_2d_1+c_2\kappa_1, \\ {\mathfrak g}_{6}&:=&c_5d_0^2+c_0c_1+c_0\kappa_1+c_2d_0+c_0, \\ {\mathfrak g}_{7}&:=&c_5d_2-b_3, \\ {\mathfrak g}_{8}&:=&c_1d_2+d_1d_2+d_2\kappa_1, \\ {\mathfrak g}_{9}&:=&c_2d_2+d_1^2+d_1\kappa_1, \\ {\mathfrak g}_{10}&:=&c_0d_2+d_0d_1+d_0\kappa_1+d_0. \end{eqnarray*} $

由于半代数系统的消元十分困难,注意到$c_5\ne 0$当且仅当存在$w\in{\Bbb C}$使得$1-wc_5=0$,因此，我们考虑环${\Bbb C}[a_i\, {\rm s}, b_i\, {\rm s}, c_i\, {\rm s}, d_i\, {\rm s}, \kappa_1, w]$中的代数系统

$\widehat{PS_1}:=\{{\mathfrak g}_1=0, {\mathfrak g}_2=0, \cdots , {\mathfrak g}_{10}=0, ~b_4=0, ~b_5=0, ~1-wc_5=0\}.$

这样问题就转化为计算代数簇$V({\bf I})$,其中${\bf I}:=\langle {\mathfrak g}_1, {\mathfrak g}_2, \cdots, {\mathfrak g}_{10}, ~b_4, ~b_5, ~1-wc_5\rangle$.在计算机代数系统SINGULAR中,我们采用分次字典序作为项序且变元序为

$ c_i\succ d_i\succ w \succ \kappa_1 \succ a_i\, {\rm s}\succ b_i\, {\rm s}, $

运用命令eliminate计算出代数系统$\widehat{PS_1}$的消元理想${\bf I}\cap {\Bbb C}[a_i\, s, b_i\, s, \kappa_1]$的Gröbner基,记为${\bf I}'$.并进一步消去变量$c_i$ ($i=0, 1, 2, 5$), $d_j$ ($j=0, 1, 2$)和$w$.最后利用计算机代数系统SINGULAR中的程序包minAssGTZ找出消元理想的极小相关素理想,得到

$\Lambda:=\{\lambda:~b_{4}=b_{5}=0, ~4\, a_{5}a_{3}+2\, a_{4}b_{3}-a_{4}^{2}=0\}, $

即方程(3.1)的$A_{31}$类型多项式解存在的条件.反之,我们将条件$\lambda\in \Lambda$代入$PS_1$得

$\begin{eqnarray*} &&{\rm (i)}\quad c_0=c_1=c_2=c_3=c_4=d_0=d_1=d_2=d_3=d_4=d_5=0, ~c_5=\frac{a_5}{\kappa_1}, \\ &&{\rm (ii)}\quad c_0=c_2=c_3=c_4=d_0=d_2=d_3=d_4=d_5=0, ~c_1=d_1=-\kappa_1, ~c_5=\frac{a_5}{\kappa^2}, \\ &&{\rm (iii)}\quad c_0=c_1=c_2=c_3=c_4=d_0=d_2=d_3=d_4=d_5=0, ~c_5=\frac{a_5}{\kappa_1^2+\kappa_1}, ~d_1=-\kappa_1, \\ &&{\rm (iv)}\quad c_0=c_3=c_4=d_0=d_3=d_4=d_5=0, ~c_1=-\frac{2b_3\kappa_1+a_4}{2b_3}, ~c_2=-\frac{a_4(2b_3\kappa_1+a_4)}{4a_3b_3}, \\ &&~~~~~\quad c_5=\frac{b_3^2}{a_3}, ~d_1=\frac{a_4}{2b_3}, ~d_2=\frac{a_3}{b_3}, \end{eqnarray*}$

这样就给出方程(3.1)的$A_{31}$类型的四个解的表达式.进一步类似于定理2.1和2.2的证明,将上述得到的四个解分别代入方程(3.1)的左边结合条件$\Lambda$,得到当$\phi_{\rho}$为如下形式

$\begin{eqnarray*} &&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_5}{\kappa_1}y^2, 0) ~{\rm {\mbox{或}} }\\&& \phi_{\rho}(x, y)=(-\kappa_1x+\frac{a_5}{\kappa_1^2}y^2, -\kappa_1y)~{\rm {\mbox{或}} }~\\&& \phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_5}{\kappa_1^2+\kappa_1}y^2, -\kappa_1y)~{\rm {\mbox{或}} }~\\&&\phi_{\rho}(x, y)=(-\frac{2b_3\kappa_1+a_4}{2b_3}x-\frac{a_4(2b_3\kappa_1+a_4)}{4a_3b_3}y+\frac{b_3^2}{a_3}y^2, \frac{a_4}{2b_3}y+\frac{a_3}{b_3}x)\end{eqnarray*}$

时方程(3.1)成立.

利用$A_{21}$和$A_{31}$的对称性得到集合$\Lambda_3$的表达式.进一步得到方程(3.1)的$A_{21}$类型的四个解.方程(3.1)的$A_{41}$和$A_{42}$类型与$A_{31}$类型的多项式解存在的条件类似可得.证毕.

注3.1  在定理3.1中,虽然给出了方程(3.1)有$A_{42}$类型的二次多项式解的充要条件,但并没有给出这种情形下解的表达式,其原因是计算解的表达式需要计算机有较大的内存,而我们的民用计算机的内存不足以计算出解的具体表达式.