多项式型迭代方程的多项式解

多项式型迭代方程的多项式解

余志恒¹, 龚小兵^,²

Polynomial Solutions of the Polynomial-Like Iterative Equation

Yu Zhiheng¹, Gong Xiaobing^,²

通讯作者: 龚小兵, E-mail: xbgong@163.com

收稿日期: 2018-09-20

基金资助:

国家自然科学基金.  11701476
中央高校基本科研业务费专项资金.  2682018CX63
四川省教育厅自然科学基金.  17ZA0217

Received: 2018-09-20

Fund supported:

the NSFC.  11701476
the Fundamental Research Funds for the Central Universities.  2682018CX63
the Key Project of Sichuan Provincial Department of Education.  17ZA0217

摘要

关于多项式型迭代方程的绝大多数结果都是在已知函数为单调函数情形下给出的.该文研究了多项式型迭代方程在已知函数为特殊的非单调函数-多项式函数情形下的多项式解.首先，在一维情形下，利用计算机代数系统SINGULAR分解代数簇的方法分别给出了二次和三次多项式型迭代方程有二次多项式解的充分必要条件，以及解的具体形式，并进一步给出计算多项式解的算法.最后利用一维情形的思想研究了二维情形下多项式型迭代方程的多项式解，在已知函数为平面二次齐次多项式映射时，得到了二次多项式型迭代方程有平面二次保次多项式解的几个充要条件.

关键词： 多项式型迭代方程 ; 首项系数问题 ; 多项式解 ; 代数簇 ; 最小不可约分解

Abstract

Most of known results for the polynomial-like iterative equation were given for monotone functions. In this paper, we discuss this equation for a polynomial function, which is non-monotonic. In one-dimensional case, we apply the method of computer algebra system SINGULAR decomposing algebraic varieties to find a sufficient and necessary condition for the polynomial-like iterative equation of orders 2 and 3 having quadratic polynomial solutions respectively and give quadratic polynomial solutions of both two equations. Then we give a procedure for computing polynomial solutions of the polynomial-like equation. In two-dimensional case, applying the idea of one-dimensional case we obtain several sufficient and necessary conditions for second order polynomial-like iterative equation having quadratic degree-preserving polynomial solutions when the given function is a two-dimensional homogeneous polynomial mapping of degree 2.

Keywords： Polynomial-like iterative equation ; Leading Coefficient Problem ; Polynomial solutions ; Algebraic variety ; Minimal irreducible decomposition

PDF (382KB) 元数据多维度评价相关文章导出 EndNote| Ris| Bibtex 收藏本文

本文引用格式

余志恒, 龚小兵. 多项式型迭代方程的多项式解. 数学物理学报[J], 2019, 39(6): 1352-1364 doi:

Yu Zhiheng, Gong Xiaobing. Polynomial Solutions of the Polynomial-Like Iterative Equation. Acta Mathematica Scientia[J], 2019, 39(6): 1352-1364 doi:

1 引言

设 $S$ 是复数域 ${\Bbb C}$ 的一个非空子集.自映射 $f: S\rightarrow S$ 的 $i$ 次迭代通过递推公式定义为 $f^{i}(x)=f(f^{i-1}(x))$ , $f^{0}(x)=x, x\in S, i=1, 2, \cdots$ .多项式型迭代方程

$\begin{eqnarray} \lambda_{1}f(x)+\lambda_{2}f^{2}(x)+\cdots+\lambda_{n}f^{n}(x)=F(x), ~ x\in S \label{polynomilaiterativeequation} \end{eqnarray}$

(1.1)

是一类重要的迭代方程.很多动力学问题,如迭代根问题^{[18, 35]},不变曲线^{[18, 28]},费根鲍姆方程^{[7, 26]},微分同胚的横截同宿相交^[10],动力系统中的正规形^[2]和二次映射的动力学^[16]均可转化为此方程.关于该方程的研究已有很多结果:当 $S$ 为区间, $F$ 为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49], $F$ 为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果.

随着对迭代方程的深入研究,我们希望考虑当 $|\lambda_n|$ 较大时方程(1.1)解的存在性和惟一性.这个问题被称为首项系数问题^{[43, 48]}.若 $\lambda_{n}\neq 0$ ,则方程(1.1)可转化为如下形式

$\begin{eqnarray} f^{n}(x)+\kappa_{n-1}f^{n-1}(x)+\cdots+\kappa_{1}f(x)=F(x), \ \ x\in S. \label{(lpie)} \end{eqnarray}$

(1.2)

2004年张伟年^[46]利用Schröder变换 $f(x)=\phi(c\phi^{-1}(x))$ 将方程(1.2)转化为一个不含未知函数迭代的辅助方程,并利用Schauder不动点定理证明了在已知函数 $F$ 扩张和非双曲条件下,该方程在不动点附近解的存在性.随后,在更多扩张和压缩条件下局部 $C^{1}$ 解被研究^[6]. 2007年徐冰^[37]利用逐段定义法构造出了无限多个递增连续解. 2013年,利用局部线性解逼近的方法全局解的存在性被证明^[50].同样在2013年递减解也被构造出来^[20].

关于首项系数问题的所有结果都是在已知函数为单调函数的情形下给出的. 2017年,在已知函数为PM函数(逐段单调函数)情形下,一类特殊的非单调解被讨论了并利用延拓的方法给出了多项式型迭代方程解的一般构造^[22].

多项式函数作为一类特殊的非单调函数,在迭代根问题中已进行了讨论^[41-42].受到文献[41-42]中思想的启发,在本文中我们在给定函数 $F$ 为多项式函数情形下,在一维空间和二维空间中分别研究了方程(1.2).在一维空间中,利用计算机代数系统SINGULAR对代数簇进行分解得到了方程(1.2)在 $n=2$ 和 $n=3$ 时有二次多项式解的充要条件以及两个方程的多项式解的具体形式,并进一步给出了计算方程(1.2)多项式解的可执行算法.在二维空间中,利用一维空间的思想得到了方程(1.2)在 $n=2$ 和已知函数为平面二次齐次多项式时有平面二次保次多项式解的几个充要条件.

2 一维情形

设方程(1.2)中 $F$ 和 $f$ 均为多项式.并设 ${\rm deg}F=m$ , ${\rm deg}f=l$ ,则 $m=l^{n}$ .为了方便给出符号计算的步骤,我们研究方程(1.2)的多项式解,其中 $F$ 是一个次数为 $2^{n}$ 的多项式,即

$\begin{eqnarray} F(x)=a_{2^{n}}x^{2^{n}}+a_{2^{n}-1}x^{2^{n}-1}+\cdots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}, ~a_{2^{n}}\ne 0, ~a_i\in{\Bbb C}. \label{Fpolynomial} \end{eqnarray}$

(2.1)

2.1 $F$ 为4次多项式时的多项式解

首先考虑如下方程

$\begin{eqnarray} f^{2}(x)+\kappa_{1}f(x)=F(x), ~\kappa_1\in{\Bbb C} \label{lpie-order2} \end{eqnarray}$

(2.2)

的多项式解,其中

$\begin{eqnarray} F(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}, a_{4}\ne 0. \label{Fpolynomial-order4} \end{eqnarray}$

(2.3)

定理2.1 设 $F$ 形如(2.3), $\beta$ 是 $a_4$ 的立方根.则方程(2.2)有多项式解的充要条件为

$\begin{eqnarray*}&&a_0=\\&&\frac{-16a_4^2\kappa_1^2\beta^2-32a_4^2\kappa_1\beta^2+16a_2^2a_4^2-8a_2a_3^2a_4+32a_2a_4^2\beta+a_3^4-12a_3^2a_4\beta-16a_3a_4^2\kappa_1-16a_3a_4^2}{64a_4^3};\\&&a_1=\frac{a_3(4a_2a_4-a_3^2)}{8a_4^2}.\end{eqnarray*}$

并且其任一多项式解 $f$ 形如

$\begin{eqnarray}f(x)=\beta x^2+\frac{a_3}{2\beta^2}x-\frac {4\, \kappa_{{1}}{\beta}^{4}-4\, a_{{2}}{\beta}^{3}+2\, a_{{3}}{\beta}^{2}+{a_{{3}}}^{2}}{8{\beta}^{5}}.\label{expressqpth2.1}\end{eqnarray}$

(2.4)

证令 $f(x)=b_2x^2+b_1x+b_0$ .将 $f(x)$ 和 $F(x)$ 代入方程(2.2)比较两边的系数,得到多项式集 ${\cal F}= \{f_1, f_2, f_3, f_4, f_5\}$ ,其中

$\begin{eqnarray*} &&f_1 := b_2^3-a_4=0; \\&& f_2 := 2b_2^2b_1-a_3=0; \\ &&f_3 := 2b_2^2b_0+b_1b_2+\kappa_1b_2+b_2b_1^2-a_2=0; \\&& f_4 := b_1^2+\kappa_1b_1+2b_2b_1b_0-a_1=0; \\&& f_5 := b_1b_0+b_2b_0^2+\kappa_1b_0+b_0-a_0=0. \end{eqnarray*}$

设 $APS_1$ 表示这些多项式方程构成的代数系统.计算 $APS_1$ 的约化Gröbner基^{[1, 3]},然后选出不含 $b_0$ 和 $b_1$ 的多项式(事实上,我们需要计算消元理想 $\langle APS_1\rangle\cap {\Bbb C}[a_i\, s, \kappa_1, b_2]$ 的Gröbner基),即

$\begin{eqnarray*} && g_1 := b_2^3-a_4; \\ &&g_2 :=-8b_2^6a_1+4b_2^3a_2a_3-a_3^3; \\&& g_3 := -16b_2^8\kappa_1^2-16b_2^6\kappa_1a_3-32b_2^8\kappa_1-64b_2^9a_0+16b_2^6a_2^2-8b_2^3a_2a_3^2+32b_2^7a_2+a_3^4 \\&&~~~~~~~-12b_2^4a_3^2-16b_2^6a_3. \end{eqnarray*}$

最后,在计算机代数系统SINGULAR中利用minAssGTZ程序包(此方法是基于Gianni, Trager和Zacharias的工作^[12])得到理想 $\langle g_1, g_2, g_3\rangle$ 的极小相关素理想,我们可知,该理想即 $\langle g_1, g_2, g_3\rangle$ 本身.计算过程表明结果无冗余.因此,由上述素理想定义出了消元理想代数簇的极小不可约分解如定理2.1所示(即方程(2.2)存在多项式解的条件).将条件代入代数系统 $APS_1$ 得

$\begin{eqnarray*} b_2=\beta, b_1=\frac{a_3}{2\beta^2}, b_0=-\frac {4\, \kappa_{{1}}{\beta}^{4}-4\, a_{{2}}{\beta}^{3}+2\, a_{{3}}{\beta}^{2}+{a_{{3}}}^{2}}{8{\beta}^{5}}, \end{eqnarray*}$

其中 $\beta$ 是 ${a_4}$ 的一个立方根.这样我们得到二次多项式解的表达式(2.4).

进一步,将得到的二次多项式 $f(x)$ 代入方程(2.2)的左边得

$\begin{eqnarray*}&&f^{2}(x)+\kappa_{1}f(x)=\beta^3x^4+a_3x^3+a_2x^2+{\frac {a_{{3}}( 4\, {\beta}^{3}a_{{2}}-a_{{3}}^{2}) }{8{\beta}^{6}}}\\&&+\frac{-16\, {\beta}^{8}\kappa_{{1}}^{2}-32\, {\beta}^{8}\kappa_{{1}}+16\, {\beta}^{6}a_{{2}}^{2}-8\, {\beta}^{3}a_{{2}}a_{{3}}^{2}+32\, {\beta}^{7}a_{{2}}+a_{{3}}^{4}-12\, {\beta}^{4}a_{{3}}^{2}-16\, {\beta}^{6}a_{{3}}\kappa_{{1}}-16\, {\beta}^{6}a_{{3}}}{64\beta^9}.\end{eqnarray*}$

注意到 $a_4=\beta^3$ .因此当

$f(x)=\beta x^2+\frac{a_3}{2\beta^2}x-\frac {4\, \kappa_{{1}}{\beta}^{4}-4\, a_{{2}}{\beta}^{3}+2\, a_{{3}}{\beta}^{2}+{a_{{3}}}^{2}}{8{\beta}^{5}}$

时方程(2.2)成立.证毕.

注2.1 在定理2.1中如果 $a_0, ~a_1, \cdots, a_4, ~\kappa_1\in{\Bbb R}$ ,则 $\beta$ 是 ${a_4}$ 的立方根,即 $\beta=a_4^{1/3}$ .因此此定理在实数集 ${\Bbb R}$ 上也成立.

2.2 寻找多项式解的算法

为了给出计算方程(1.2)次数更高时的多项式解的算法,我们引入代数簇和不可约分解的基本定义.

设 ${\Bbb K}$ 为一个代数闭域, ${\cal A}^n$ 是 ${\Bbb K}$ 上的一个仿射 $n$ 维空间.在环 ${\Bbb K}[x_1, \cdots, x_n]$ 上的多项式 $f$ 可看成 ${\cal A}^n$ 上的一个 $k$ 值函数在 ${\cal A}^n$ 中的点对 $f$ 求值,即对每个 $x_i$ 选取 ${\Bbb K}$ 中的值.对 ${\Bbb K}[x_1, \cdots, x_n]$ 中的每个多项式集 ${\cal S}$ ,定义零点轨迹 $Z({\cal S})$ 为 ${\cal A}^n$ 中点集,在其上 ${\cal S}$ 中的函数同时为零,即

$Z({\cal S}) = \{x \in {{\cal A}}^n \mid f(x) = 0, ~ \forall f\in {\cal S}\}.$

${\cal A}^n$ 中的子集 $V$ 称为仿射代数集^{[1, 5, 11, 30]}如果对某些 ${\cal S}$ 有 $V = Z({\cal S})$ .非空仿射代数集 $V$ 称为不可约的如果它不能表成两个适当的代数子集的并.不可约仿射代数集也称为仿射簇^{[5, 30]}.一般地,考虑环 ${\Bbb K}[x_1, \cdots, x_n]$ 上的多项式集 ${\cal F}:=\{f_1, \cdots, f_m\}$ .求解由集合 ${\cal F}$ 定义的多项式代数系统 $f_1 =\cdots= f_m =0$ 可约化为寻找代数簇 $V({\cal F})$ .事实上,有三种行之有效的算法可用以寻找代数簇.其中一种重要的经典方法是建立在特征列方法上^{[30, 36]}.另外一种重要方法是对包含有 $n$ 个变元的 $n$ 次齐次多项式代数系统的结式法^{[5, 11]},它是一种确定多项式是否有相同的非平凡解的工具.第三种方法是通过利用Gröbner基的方法来求解多项式方程^{[1, 3, 31]},尤其是 $0$ 维的情形.现在,随着Gröbner基的广泛应用,几乎所有的常用计算机代数系统(Mathematica, Maple, REDUCE, SINGULAR, Macaulay等)都能用来计算Gröbner基.下面,我们如定理2.1证明过程那样给出利用Gröbner基的方法来求解方程(1.2)的算法.

算法

第一步计算 $f^i, ~i=2, \cdots, n$ 并比较方程(1.2)两边的系数得到 $m$ 个关于变元 $a_i$ , $b_i$ 和 $\kappa_i$ (其中 $m=2^n+ 1$ )的多项式方程(记为 ${\cal F}:=\{f_1, .., f_m\}$ ).用 $PS$ 记 $\{f_1=0, \cdots, f_{m}=0\}$ .

第二步计算理想 $\langle f_1, \cdots, f_{m}\rangle$ 的约化Gröbner基,选出不含 $b_0$ 和 $b_1$ 的多项式,记为 $PS'$ .在计算机代数系统SINGULAR中利用程序包minAssGTZ求出 $PS'$ 对应的代数簇的极小不可约分解,并由此得到 $a_i$ 和 $\kappa_i$ 的最简代数关系,从而给出 $f(x)$ 为方程(1.2)的解的条件.

第三步将 $a_i$ 和 $\kappa_i$ 的关系代入 $PS$ ,再返解 $PS$ ,则 $b_i$ 可通过 $a_i$ 和 $\kappa_i$ 表示出来,进而最终得出方程解 $f(x)$ 的表达式.

2.3 $F$ 为8次多项式时的多项式解

本节将利用上节给出算法求解三次多项式型迭代方程,即如下多项式型迭代方程

$\begin{eqnarray} f^{3}(x)+\kappa_{2}f^{2}(x)+\kappa_{1}f(x)=F(x), ~\kappa_i\in{\Bbb C}, ~i=1, 2, \label{lpie-order3} \end{eqnarray}$

(2.5)

并给出方程(2.5)有二次多项式解的充分必要条件,其中

$\begin{eqnarray} F(x)=a_{8}x^{8}+a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}, a_{8}\ne 0. \label{Fpolynomial-oreder8} \end{eqnarray}$

(2.6)

定理2.2 设 $F$ 是形如(2.6)的多项式, $\gamma$ 是 $a_8$ 的7次方根.则方程(2.5)有多项式解的充要条件为

$\begin{eqnarray}a_0&=&-\frac{1}{1048576a_8^7}(131072a_2a_7a_8^5\gamma^6-65536a_4a_6a_7a_8^4\gamma^6+16384a_4a_7^3a_8^3\gamma^6+16384a_6^3a_7a_8^3\gamma^6\\&&-6144a_6^2a_7^3a_8^2\gamma^6-512a_6a_7^5a_8\gamma^6+224a_7^7\gamma^6-262144a_4a_6a_8^5\gamma^5+114688a_4a_7^2a_8^4\gamma^5\\&&+98304a_6^3a_8^4\gamma^5-67584a_6^2a_7^2a_8^3\gamma^5+7168a_6a_7^4a_8^2\gamma^5+1568a_7^6a_8\gamma^5+131072a_4a_7a_8^5\gamma^4\\&&-49152a_6^2a_7a_8^4\gamma^4+12288a_6a_7^3a_8^3\gamma^4+1792a_7^5a_8^2\gamma^4+65536a_6^2a_8^5\gamma^3-57344a_6a_7^2a_8^4\gamma^3\\&&+12544a_7^4a_8^3\gamma^3-65536a_6a_7a_8^5\gamma^2+28672a_7^3a_8^4\gamma^2-262144a_2a_6a_8^6+98304a_2a_7^2a_8^5\\&&+65536a_4a_6^2a_8^5-32768a_4a_6a_7^2a_8^4+3072a_4a_7^4a_8^3-12288a_6^4a_8^4+6144a_6^3a_7^2a_8^3 \\&&+128a_6^2a_7^4a_8^2-160a_6a_7^6a_8-262144a_6a_8^6\gamma-39a_7^8+114688a_7^2a_8^5\gamma+131072a_7a_8^6);\\a_1&=&\frac{a_7(4096a_2a_8^5-256a_4a_7^2a_8^3+48a_6a_7^4a_8-17a_7^6)}{16384a_8^6};\\a_2&=&\frac{4096a_8^5\kappa_1\gamma+2048a_4a_6a_8^4-512a_4a_7^2a_8^3-512a_6^3a_8^3+192a_6^2a_7^2a_8^2+16a_6a_7^4a_8-7a_7^6}{4096a_8^5};\\a_3&=&\frac{a_7(128a_4a_8^3-20a_6a_7^2a_8+7a_7^4)}{256a_8^4};\\a_4&=&\frac{256a_6a_8^2\gamma^5-112a_7^2a_8\gamma^5+512a_8^3\kappa_2\gamma^3+192a_6^2a_8^2-48a_6a_7^2a_8-7a_7^4}{512a_8^3};\\a_5&=&\frac{a_7(24a_6a_8-7a_7^2)}{32a_8^2}.\label{snof3}\end{eqnarray}$

(2.7)

并且方程(2.5)的任一多项式解 $f$ 形如

$\begin{eqnarray}f(x)=\gamma x^2+\frac{a_7}{4\gamma^2}x+\frac{8a_6\gamma^7-4a_7\gamma^6-3a_7^2}{32\gamma^{13}}.\label{expressqpth2.2}\end{eqnarray}$

(2.8)

证由上节给出的算法第一步令 $f(x)=b_2x^2+b_1x+b_0$ .将函数 $f(x)$ 和 $F(x)$ 代入方程(2.5)并比较方程(2.5)两边系数得到多项式集 ${\cal F}= \{f_1, f_2, \cdots, f_9\}$ ,其中

$\begin{eqnarray*}&&f_1 := b_2^7-a_8;\\&&f_2 := 4b_2^6b_1-a_7;\\&&f_3 := 6b_2^5b_1^2+2b_2^5b_1+4b_2^6b_0-a_6;\\&&f_4 := 4b_2^4b_1^3+6b_2^4b_1^2+12b_2^5b_1b_0-a_5;\\&&f_5 :=b_2^3b_1^4+2b_2^4b_0+b_1^2b_2^3+\kappa_2b_2^3+6b_2^4b_1b_0+6b_2^3b_1^3+b_1b_2^3+12b_2^4b_1^2b_0+6b_2^5b_0^2-a_4;\\&&f_6 := 2b_2^2b_1^4+4b_2^3b_1b_0+12b_2^4b_1b_0^2+12b_2^3b_1^2b_0+4b_2^3b_1^3b_0+2\kappa_2b_2^2b_1+2b_1^3b_2^2+2b_2^2b_1^2-a_3;\\&&f_7 := 4b_2^2b_1^2b_0+6b_2^3b_0^2b_1+\kappa_1b_2+2\kappa_2b_2^2b_0+6b_2^2b_1^3b_0+\kappa_2b_1b_2+4b_2^3b_0^2+b_2b_1^2+4b_2^4b_0^3\nonumber\\&&~~~~~~~+4b_1b_2^2b_0+6b_2^3b_1^2b_0^2+\kappa_2b_2b_1^2+b_2b_1^4+b_2b_1^3-a_2;\\&&f_8 := 4b_2b_1^2b_0+4b_2^3b_1b_0^3+6b_2^2b_1^2b_0^2+\kappa_2b_1^2+b_1^3+2\kappa_2b_2b_1b_0+2b_2b_1^3b_0+4b_2^2b_1b_0^2\nonumber\\&&~~~~~~~+\kappa_1b_1-a_1;\\&&f_9 := b_1^2b_0+\kappa_2b_0+\kappa_1b_0+\kappa_2b_2b_0^2+b_1b_0+\kappa_2b_1b_0+b_0+b_2b_0^2+2b_2^2b_0^3b_1+b_2b_1^2b_0^2\nonumber\\&&~~~~~~~+b_2^3b_0^4+2b_2^2b_0^3+3b_2b_1b_0^2-a_0.\end{eqnarray*}$

令 $APS_2$ 为这些多项式所构成的代数系统,由算法的第二步得到不含 $b_0$ 和 $b_1$ 的新多项式代数系统 $APS_2'$ ,即 $APS_2':=\{g_1=0, \cdots, g_{7}=0\}$ ,其中

$\begin{eqnarray*}&&g_1:=a_8-b_2^7;\\&&g_2:=-32b_2^{14}a_5+24b_2^7a_6a_7-7a_7^3;\\&&g_3:=512b_2^{24}\kappa_2-512b_2^{21}a_4+192b_2^{14}a_6^2-48b_2^7a_6a_7^2+256b_2^{19}a_6-7a_7^4-112b_2^12a_7^2;\\&&g_4:=-256b_2^{28}a_3+128b_2^{21}a_4a_7-20b_2^7a_6a_7^3+7a_7^5;\\&&g_5:=4096b_2^{36}\kappa_1-4096b_2^{35}a_2+2048b_2^{28}a_4a_6-512b_2^{21}a_4a_7^2-512b_2^{21}a_6^3+192b_2^{14}a_6^2a_7^2\\&&~~~~~~~+16b_2^7a_6a_7^4-7a_7^6;\\&&g_6:=-16384b_2^{42}a_1+4096b_2^{35}a_2a_7-256b_2^{21}a_4a_7^3+48b_2^7a_6a_7^5-17a_7^7;\\&&g_7:=-1048576b_2^{49}a_0+262144b_2^{42}a_2a_6-98304b_2^{35}a_2a_7^2-131072b_2^{41}a_2a_7-65536b_2^{35}a_4a_6^2\\&&~~~~~~~+32768b_2^{28}a_4a_6a_7^2+65536b_2^{34}a_4a_6a_7+262144b_2^{40}a_4a_6-3072b_2^{21}a_4a_7^4-16384b_2^{27}a_4a_7^3\\&&~~~~~~~-114688b_2^{33}a_4a_7^2-131072b_2^{39}a_4a_7+12288b_2^{28}a_6^4-6144b_2^{21}a_6^3a_7^2-16384b_2^{27}a_6^3a_7\\&&~~~~~~~-98304b_2^{33}a_6^3-128b_2^14a_6^2a_7^4+6144b_2^{20}a_6^2a_7^3+67584b_2^{26}a_6^2a_7^2+49152b_2^{32}a_6^2a_7\\&&~~~~~~~-65536b_2^{38}a_6^2+160b_2^7a_6a_7^6+512b_2^{13}a_6a_7^5-7168b_2^{19}a_6a_7^4-12288b_2^{25}a_6a_7^3\\&&~~~~~~~+57344b_2^{31}a_6a_7^2+65536b_2^{37}a_6a_7+262144b_2^{43}a_6+39a_7^8-224b_2^6a_7^7-1568b_2^{12}a_7^6\\&&~~~~~~~-1792b_2^{18}a_7^5-12544b_2^24a_7^4-28672b_2^{30}a_7^3-114688b_2^{36}a_7^2-131072b_2^{42}a_7.\end{eqnarray*}$

然后利用计算机代数系统SINGULAR中的程序包minAssGTZ计算出 $APS_2'$ 对应的代数簇的极小不可分解,我们可知该分解即 $V(g_1, g_2, \cdots, g_7)$ 本身.进一步,通过上述极小不可约分解我们得到 $a_i$ 和 $\kappa_i$ 的最简代数关系,从而得到 $f(x)$ 为方程(2.5)解的条件,即定理2.2中所述.再由算法中的第三步将条件代入代数系统 $APS_2$ 得到

$b_2=\gamma, b_1=\frac{a_7}{4\gamma^2}, b_0=\frac{8a_6\gamma^7-4a_7\gamma^6-3a_7^2}{32\gamma^{13}},$

其中 $\gamma$ 是 $a_8$ 的7次方根.这样就得到多项式型迭代方程(2.5)的二次多项式解的表达式(2.8).

类似定理2.1的证明,将上面得到的 $f(x)$ 的表达式代入方程(2.5)两边,注意到 $a_8=\gamma^7$ ,则当

$f(x)=\gamma x^2+\frac{a_7}{4\gamma^2}x+\frac{8a_6\gamma^7-4a_7\gamma^6-3a_7^2}{32\gamma^{13}}$

时方程(2.5)成立.证毕.

同样,定理2.2在实数集 ${\Bbb R}$ 上也成立.事实上,上面给出的算法也可以用来计算三次以上的多项式型迭代方程.

3 二维情形

本节我们将利用一维情形的思想研究多项式型迭代方程(1.2)在二维空间中存在多项式解的条件.由于平面多项式的迭代计算比较复杂,迭代后的次数无规律,因此在二维空间中要判断多项式型迭代方程(1.2)有多项式解要比一维情形复杂得多.为了简洁地给出符号计算的过程,考虑一类特殊的平面二次多项式映射,称为保次映射^[4],这类多项式经过迭代后次数不超过2.我们考虑如下迭代方程

$\begin{eqnarray} \phi_\rho^{2}(x)+\kappa_{1}\phi_\rho(x)=F_{\lambda}(x), ~\kappa_1\in{\Bbb C}, ~\kappa_1\ne0, \label{lpie-order2-2D}\end{eqnarray}$

(3.1)

其中

$\begin{eqnarray}F_{\lambda}:\left[\begin{array}{cc} x \\ y\end{array}\right]\mapsto\left[\begin{array}{cc} a_3x^2+a_4xy+a_5y^2 \\ b_3y^2+b_4yx+b_5x^2 \end{array}\right], \label{sqpoly1} \end{eqnarray}$

(3.2)

$\lambda=(\lambda^1, \lambda^2)$ , $\lambda^1=(a_3, a_4, a_5)$ , $\lambda^2=(b_3, b_4, b_5)$ , $a_i$ , $b_i\in{\Bbb C}$ , $i=3, 4, 5$ .我们研究方程(3.1)有如下二次多项式解

$\begin{eqnarray} \phi_{\rho}: \left[ \begin{array}{cc} x \\ y\end{array}\right]\mapsto\left[\begin{array}{cc} c_0+c_1x+c_2y+c_3x^2+c_4xy+c_5y^2 \\ d_0+d_1y+d_2x+d_3y^2+d_4yx+d_5x^2 \end{array}\right]\label{poly3} \end{eqnarray}$

(3.3)

的条件,其中 $\rho=(\rho^1, \rho^2)$ , $\rho^1=(c_0, c_1, c_2, c_3, c_4, c_5)$ , $\rho^2=(d_0, d_1, d_2, d_3, d_4, d_5)$ , $c_i, ~d_i\in{\Bbb C}$ , $i=0, \cdots, 5$ .显然, $\phi_{\rho}$ 必须是一个保次映射,由文献[4]可知 $\phi^{2}_{\rho}$ 的2次迭代被分为11种类型

$\begin{eqnarray*} &&A_{11}:=\{\rho: c_3=c_4=c_5=d_3=d_4=d_5=0 \}, \\ &&A_{12}:=\{\rho: c_1=c_2=c_3=c_4=c_5=0, d_3=d_5=0, d_4\neq 0\}, \\ &&A_{13}:=\{\rho: d_1=d_2=d_3=d_4=d_5=0, c_3=c_5=0, c_4\neq 0\}, \\ &&A_{21}:=\{\rho: c_3=c_4=c_5=d_3=d_4=0, d_5\neq 0\}, \\ &&A_{22}:=\{\rho: c_1=c_2=c_3=c_4=c_5=0, d_3=0, d_4 d_5\neq 0\}, \\ &&A_{23}:=\{\rho: c_5=d_3=0, c_1=-d_2d_4/d_5, c_2=-d_1d_4/d_5, c_3=-d_4, \\ && \hskip 2.16cm c_4=-d_4^2/d_5, d_4 d_5\neq 0\}, \\&&A_{31}:=\{\rho: c_3=c_4=d_3=d_4=d_5=0, c_5\neq 0\}, \\&&A_{32}:=\{\rho: d_1=d_2=d_3=d_4=d_5=0, c_3=0, c_4 c_5\neq 0\}, \\&&A_{33}:=\{\rho: c_3=d_5=0, d_1=-c_2c_4/c_5, d_2=-c_1c_4/c_5, d_3=-c_4, \\&&\hskip 2.16cm d_4=-c_4^2/c_5, c_4 c_5\neq 0\}, \\&&A_{41}:=\{\rho: c_1=c_3d_2/d_5, c_4=-(c_5d_5^2+c_3^3)/(c_3d_5), d_1=c_2d_5/c_3, d_3=c_5d_5/c_3, \\&&\hskip 2.16cm d_4=-(c_5d_5^2+c_3^3)/c_3^2, c_5\neq c_3^3/d_5^2, c_3 c_5 d_5\neq 0\}, \\&&A_{42}:=\{\rho: c_4=-2c_3^2/d_5, c_5=c_3^3/d_5^2, d_3=c_3^2/d_5, d_4=-2c_3, c_5 d_5\neq 0\}.\end{eqnarray*}$

因此,我们将根据上述11种类型给出方程(3.1)存在二次多项式解的条件.为了方便起见,如果 $\rho\in A_{ij}$ ,记 $\phi_{\rho}$ 为 $A_{ij}$ 类型,其中 $(i, j)\in \{(m, n):m, n=1, 2, 3\}\cup \{(4, 1), (4, 2)\}$ .

定理3.1 (ⅰ)方程(3.1)没有 $A_{11}$ 类型的多项式解.

(ⅱ)方程(3.1)有 $A_{12}$ 类型的二次多项式解的充要条件为 $a_3=a_{4}=a_{5}=b_3=b_5=0$ 且 $b_4\neq0$ .并且方程(3.1)任一二次多项式解 $\phi_{\rho}$ 形如

$\begin{eqnarray*}\phi_{\rho}(x, y)=(0, \frac{b_4}{\kappa_1}xy).\end{eqnarray*}$

(ⅲ)方程(3.1)有 $A_{13}$ 类型的二次多项式解的充要条件为 $a_3=a_{5}=b_3=b_4=b_5=0$ 且 $a_4\neq0$ .并且方程(3.1)任一二次多项式解 $\phi_{\rho}$ 形如

$\begin{eqnarray*}\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_4}{\kappa_1}xy, 0).\end{eqnarray*}$

(ⅳ)方程(3.1)有 $A_{21}$ 类型二次多项式解的充要条件为 $a_{4}=a_{5}=4\, b_{3}b_{5}+2\, a_{3}b_{4}-b_{4}^{2}=0$ .并且方程(3.1)任一二次多项式解 $\phi_{\rho}$ 形如

$\begin{eqnarray*}&&\phi_{\rho}(x, y)=(0, \frac{b_5}{\kappa_1}x^2)~{\rm {\mbox {或}} }~\\&& \phi_{\rho}(x, y)=(-\kappa_1x, -\kappa_1y+\frac{b_5}{\kappa_1^2}x^2)~{\rm {\mbox {或}} }~\\&& \phi_{\rho}(x, y)=(-\kappa_1x, \frac{b_5}{\kappa_1^2+\kappa_1}x^2)~ {\rm {\mbox {或}} }~\\&&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{b_4}{2a_3}x+\frac{b_3}{a_3}y, -\frac{2a_3\kappa_1+b_4}{2a_3}y-\frac{b_4(2a_3\kappa_1+b_4)}{4a_3b_3}x+\frac{a_3^2}{b_3}x^2).\end{eqnarray*}$

(ⅴ)方程(3.1)有 $A_{22}$ 类型二次多项式解的充要条件为 $b_4b_5\neq 0$ .并且方程(3.1)任一二次多项式解 $\phi_{\rho}$ 形如

$\begin{eqnarray*}&&\phi_{\rho}(x, y)=(0, \frac{b_4}{\kappa_1}yx+\frac{b_5}{\kappa_1}x^2)~{\rm {\mbox {或}} }~\\&&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{b_5(b_5+k_1)}{k_1^2b_4}, -\frac{b_5^2(b_5+k_1)}{k_1^2b_4^2}+\frac{k_1b_4}{b_5}yx+k_1x^2), ~\kappa_1=-1, ~\forall k_1\in{\Bbb C}\backslash\{0\}.\end{eqnarray*}$

(ⅵ)方程(3.1)有 $A_{23}$ 类型二次多项式解的充要条件为 $a_{3}+b_{4}=a_3^2+a_4b_5=0$ .并且方程(3.1)任一二次多项式解 $\phi_{\rho}$ 形如

$\begin{eqnarray*}&&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_3}{\kappa_1}x^2-\frac{a_3^2}{\kappa_1b_5}xy, -\frac{a_3}{\kappa_1}yx+\frac{b_5}{\kappa_1}x^2)~{\rm {\mbox {或}} }~\\&&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{k_2a_3}{b_5}-a_3x^2+\frac{a_3^2}{b_5}xy, k_2+a_3yx-b_5x^2), \kappa_1=-1, ~\forall k_2\in{\Bbb C}~{\rm {\mbox {或}} }~\\&&\phi_{\rho}(x, y)=(-\frac{k_3a_4}{a_3}x^2-\frac{k_3a_4^2}{a_3^2}xy, \frac{b_5(b_5+k_3)}{k_3^2a_4}+\frac{k_3a_4}{a_3}yx+k_3x^2), \kappa_1=-1, ~\forall k_3\in{\Bbb C}\backslash\{0\}.\end{eqnarray*}$

(ⅶ)方程(3.1)有 $A_{31}$ 类型的二次多项式解的充要条件为 $b_{4}=b_{5}=4\, a_{5}a_{3}+2\, a_{4}b_{3}-a_{4}^{2}=0$ .并且方程(3.1)任一二次多项式解 $\phi_{\rho}$ 形如

$\begin{eqnarray*}&&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_5}{\kappa_1}y^2, 0)~{\rm {\mbox {或}} }~\\&& \phi_{\rho}(x, y)=(-\kappa_1x+\frac{a_5}{\kappa_1^2}y^2, -\kappa_1y)~{\rm {\mbox {或}} }~\\&& \phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_5}{\kappa_1^2+\kappa_1}y^2, -\kappa_1y)~{\rm {\mbox {或}} }~\\&&\phi_{\rho}(x, y)=(-\frac{2b_3\kappa_1+a_4}{2b_3}x-\frac{a_4(2b_3\kappa_1+a_4)}{4a_3b_3}y+\frac{b_3^2}{a_3}y^2, \frac{a_4}{2b_3}y+\frac{a_3}{b_3}x).\end{eqnarray*}$

(ⅷ)方程(3.1)有 $A_{32}$ 类型二次多项式解的充要条件为 $a_4a_5\neq0$ ,并且方程(3.1)任一二次多项式解 $\phi_{\rho}$ 形如

$\begin{eqnarray*}&&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_4}{\kappa_1}xy+\frac{a_5}{\kappa_1}y^2, 0)~{\rm {\mbox {或}} }~ \\&&\phi_{\rho}(x, y)=(-\frac{a_5^2(a_5+k_4)}{k_4^2a_4^2}+\frac{k_4a_4}{a_5}xy+k_4y^2, \frac{a_5(a_5+k_4)}{k_4^2a_4}), \kappa_1=-1, ~\forall k_4\in{\Bbb C}\backslash\{0\}.\end{eqnarray*}$

(ⅸ)方程(3.1)有 $A_{33}$ 类型的二次多项式解的充要条件为 $a_{4}+b_{3}=a_4^2+a_5b_4=0$ .并且方程(3.1)任一二次多项式解 $\phi_{\rho}$ 形如

$\begin{eqnarray*}&&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_4}{\kappa_1}xy+\frac{a_5}{\kappa_1}y^2, -\frac{a_4}{\kappa_1}x^2-\frac{a_4^2}{\kappa_1a_5}xy)~{\rm {\mbox {或}} }~\\&&\phi_{\rho}(x, y)=(k_4-a_4xy-a_5y^2, \frac{k_4b_4}{a_4}+a_4y^2+\frac{a_4^2}{a_5}yx), \kappa_1\!=\!-1, ~\forall k_4\in{\Bbb C}~{\rm {\mbox {或}} }~ \\ && \phi_{\rho}(x, y)=(\frac{k_5a_4}{a_5}xy+k_5y^2-\frac{a_5(a_5+k_5)}{k_5^2b_4}, -\frac{k_5a_4}{a_5}y^2-\frac{k_5a_4^2}{a_5^2}yx), \kappa_1=-1, ~\forall k_5\in{\Bbb C}\backslash\{0\}. \end{eqnarray*}$

(ⅹ)方程(3.1)有 $A_{41}$ 类型的二次多项式解的充要条件为 $a_4b_5-a_3b_4=a_5b_4-a_4b_3=a_5b_5-a_3b_3=b_3^2+b_3a_4+a_5a_3=b_4b_3+b_4a_4+a_4a_3=b_5b_3+b_4a_3+a_3^2=0$ 且 $a_3a_5b_5\ne0$ .并且方程(3.1)任一二次多项式解 $\phi_{\rho}$ 形如

$\begin{eqnarray*}&&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_3}{\kappa_1}x^2-\frac{a_3^3+a_5b_5^2}{\kappa_1a_3b_5}xy+\frac{a_5}{\kappa_1}y^2, \frac{a_5b_5}{\kappa_1a_3}y^2-\frac{a_3^3+a_5b_5^2}{\kappa_1a_3^2}yx+\frac{b_5}{\kappa_1}x^2)~{\rm {\mbox {或}} }~\\ && \phi_{\rho}(x, y)=( -a_3x^2+\frac{a_3^3+a_5b_5^2}{a_3b_5}xy-a_5y^2+k_6, -\frac{a_5b_5}{a_3}y^2+\frac{a_3^3+a_5b_5^2}{a_3^2}yx-b_5x^2+\frac{k_6b_3}{a_5}), \\&&~~~~~~~~~~~~\quad \kappa_1=-1, ~\forall k_6\in{\Bbb C}\backslash\{0\}. \end{eqnarray*}$

(ⅹⅰ)方程(3.1)有 $A_{42}$ 类型的二次多项式解的充要条件为 $a_4b_4-4a_5b_5=b_4^2-2a_3b_4+2a_4b_5-4b_3b_5=a_4^2-2a_4b_3+2a_5b_4-4a_3a_5=0$ .

证令 $F_{\lambda}$ 和 $\phi_\rho$ 分别为形如(3.2)和(3.3)式的平面二次多项式.计算2次迭代 $\phi_{\rho}^2$ ,将 $\phi_\rho^{2}(x), \kappa_{1}\phi_\rho(x), F_{\lambda}(x)$ 代入方程(3.1)并比较 $\phi_{\rho}^2+\kappa_{1}\phi_\rho$ 和 $F_{\lambda}$ 对应的系数,得到多项式集合 $PS= \{g_1, g_2, \cdots, g_{30}\}$ ,其中

$\begin{eqnarray*}g_1&:=&c_{{4}}c_{{3}}d_{{5}}+c_{{5}}d_{{5}}^{2}+c_{{3}}^{3}=0, \\g_2&:=&2c_{{3}}^{2}c_{{4}}+c_{{4}}^{2}d_{{5}}+c_{{4}}c_{{3}}d_{{4}}+2c_{{5}}d_{{4}}d_{{5}}=0, \\g_3&:=&2c_{{3}}^{2}c_{{5}}+c_{{3}}c_{{4}}^{2}+c_{{4}}^{2}d_{{4}}+c_{{5}}d_{{4}}^{2}+c_{{4}}c_{{3}}d_{{3}}+c_{{4}}c_{{5}}d_{{5}}+2c_{{5}}d_{{3}}d_{{5}}=0, \\&&\vdots, \\g_{10}&:=&2c_0c_3^2+c_0c_4d_5+c_1^2c_3+c_1c_4d_2+c_3c_4d_0+2c_5d_0d_5+c_5d_2^2+c_1c_3+c_2d_5\nonumber\\& & {}+c_3\kappa_1-a_3=0, \\g_{11}&:=&2c_0c_3c_4+c_0c_4d_4+2c_1c_2c_3+c_1c_4d_1+c_2c_4d_2+c_4^2d_0+2c_5d_0d_4+2c_5d_1d_2\nonumber\\& & {}+c_1c_4+c_2d_4+c_4\kappa_1-a_4=0, \\g_{12}&:=&2c_0c_3c_5+c_0c_4d_3+c_2^2c_3+c_2c_4d_1+c_4c_5d_0+2c_5d_0d_3+c_5d_1^2+c_1c_5+c_2d_3\nonumber\\& & {}+c_5\kappa_1-a_5=0, \\&&\vdots, \\g_{25}&:=&2c_0c_3d_5+c_0d_4d_5+c_1^2d_5+c_1d_2d_4+c_3d_0d_4+2d_0d_3d_5+d_2^2d_3+c_3d_2+d_1d_5\nonumber\\& & {}+d_5\kappa_1-b_5=0, \\g_{26}&:=&2c_0c_4d_5+c_0d_4^2+2c_1c_2d_5+c_1d_1d_4+c_2d_2d_4+c_4d_0d_4+2d_0d_3d_4+2d_1d_2d_3\nonumber\\& & {}+c_4d_2+d_1d_4+d_4\kappa_1-b_4=0, \\g_{27}&:=&2c_0c_5d_5+c_0d_3d_4+c_2^2d_5+c_2d_1d_4+c_5d_0d_4+2d_0d_3^2+d_1^2d_3+c_5d_2+d_1d_3\nonumber\\& & {}+d_3\kappa_1-b_3=0, \\g_{28}&:=&2c_0c_1d_5+c_0d_2d_4+c_1d_0d_4+2d_0d_2d_3+c_1d_2+d_1d_2+d_2\kappa_1=0, \\g_{29}&:=&2c_0c_2d_5+c_0d_1d_4+c_2d_0d_4+2d_0d_1d_3+c_2d_2+d_1^2+d_1\kappa_1=0, \\g_{30}&:=&c_0^2d_5+c_0d_0d_4+d_0^2d_3+c_0d_2+d_0d_1+d_0\kappa_1+d_0=0.\end{eqnarray*}$

$PS$ 中的每一个多项式在有理数域 ${\bf Q}$ 中都不可约.显然,由于二次多项式不可能由线性函数迭代给出,因此方程(3.1)无 $A_{11}$ 类型的二次多项式解.注意到 $A_{12}$ 和 $A_{13}$ , $A_{21}$ 和 $A_{31}$ , $A_{22}$ 和 $A_{32}$ , $A_{23}$ 和 $A_{33}$ 关于变量 $c_i$ 和 $d_i$ 具有相同的对称性,因此只考虑 $A_{13}$ , $A_{31}$ , $A_{32}$ , $A_{33}$ 类型.下面我们详细讨论 $A_{31}$ 类型,其它类型可类似讨论.

将保次条件 $A_{31}$ 代入 $PS$ 得半代数系统

$PS_1:=\{{\mathfrak g}_1=0, {\mathfrak g}_2=0, \cdots , {\mathfrak g}_{10}=0, ~b_4=0, ~b_5=0, ~c_5\ne0\},$

其中

$\begin{eqnarray*} {\mathfrak g}_1&:=&c_5d_2^2-a_3, \\ {\mathfrak g}_2&:=&2c_5d_1d_2-a_4, \\ {\mathfrak g}_3&:=&c_5d_1^2+c_1c_5+c_5\kappa_1-a_5, \\ {\mathfrak g}_{4}&:=&2c_5d_0d_2+c_1^2+c_1\kappa_1+c_2d_2, \\ {\mathfrak g}_{5}&:=&2c_5d_0d_1+c_1c_2+c_2d_1+c_2\kappa_1, \\ {\mathfrak g}_{6}&:=&c_5d_0^2+c_0c_1+c_0\kappa_1+c_2d_0+c_0, \\ {\mathfrak g}_{7}&:=&c_5d_2-b_3, \\ {\mathfrak g}_{8}&:=&c_1d_2+d_1d_2+d_2\kappa_1, \\ {\mathfrak g}_{9}&:=&c_2d_2+d_1^2+d_1\kappa_1, \\ {\mathfrak g}_{10}&:=&c_0d_2+d_0d_1+d_0\kappa_1+d_0. \end{eqnarray*}$

由于半代数系统的消元十分困难,注意到 $c_5\ne 0$ 当且仅当存在 $w\in{\Bbb C}$ 使得 $1-wc_5=0$ ,因此，我们考虑环 ${\Bbb C}[a_i\, {\rm s}, b_i\, {\rm s}, c_i\, {\rm s}, d_i\, {\rm s}, \kappa_1, w]$ 中的代数系统

$\widehat{PS_1}:=\{{\mathfrak g}_1=0, {\mathfrak g}_2=0, \cdots , {\mathfrak g}_{10}=0, ~b_4=0, ~b_5=0, ~1-wc_5=0\}.$

这样问题就转化为计算代数簇 $V({\bf I})$ ,其中 ${\bf I}:=\langle {\mathfrak g}_1, {\mathfrak g}_2, \cdots, {\mathfrak g}_{10}, ~b_4, ~b_5, ~1-wc_5\rangle$ .在计算机代数系统SINGULAR中,我们采用分次字典序作为项序且变元序为

$c_i\succ d_i\succ w \succ \kappa_1 \succ a_i\, {\rm s}\succ b_i\, {\rm s},$

运用命令eliminate计算出代数系统 $\widehat{PS_1}$ 的消元理想 ${\bf I}\cap {\Bbb C}[a_i\, s, b_i\, s, \kappa_1]$ 的Gröbner基,记为 ${\bf I}'$ .并进一步消去变量 $c_i$ ( $i=0, 1, 2, 5$ ), $d_j$ ( $j=0, 1, 2$ )和 $w$ .最后利用计算机代数系统SINGULAR中的程序包minAssGTZ找出消元理想的极小相关素理想,得到

$\Lambda:=\{\lambda:~b_{4}=b_{5}=0, ~4\, a_{5}a_{3}+2\, a_{4}b_{3}-a_{4}^{2}=0\},$

即方程(3.1)的 $A_{31}$ 类型多项式解存在的条件.反之,我们将条件 $\lambda\in \Lambda$ 代入 $PS_1$ 得

$\begin{eqnarray*} &&{\rm (i)}\quad c_0=c_1=c_2=c_3=c_4=d_0=d_1=d_2=d_3=d_4=d_5=0, ~c_5=\frac{a_5}{\kappa_1}, \\ &&{\rm (ii)}\quad c_0=c_2=c_3=c_4=d_0=d_2=d_3=d_4=d_5=0, ~c_1=d_1=-\kappa_1, ~c_5=\frac{a_5}{\kappa^2}, \\ &&{\rm (iii)}\quad c_0=c_1=c_2=c_3=c_4=d_0=d_2=d_3=d_4=d_5=0, ~c_5=\frac{a_5}{\kappa_1^2+\kappa_1}, ~d_1=-\kappa_1, \\ &&{\rm (iv)}\quad c_0=c_3=c_4=d_0=d_3=d_4=d_5=0, ~c_1=-\frac{2b_3\kappa_1+a_4}{2b_3}, ~c_2=-\frac{a_4(2b_3\kappa_1+a_4)}{4a_3b_3}, \\ &&~~~~~\quad c_5=\frac{b_3^2}{a_3}, ~d_1=\frac{a_4}{2b_3}, ~d_2=\frac{a_3}{b_3}, \end{eqnarray*}$

这样就给出方程(3.1)的 $A_{31}$ 类型的四个解的表达式.进一步类似于定理2.1和2.2的证明,将上述得到的四个解分别代入方程(3.1)的左边结合条件 $\Lambda$ ,得到当 $\phi_{\rho}$ 为如下形式

$\begin{eqnarray*} &&\phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_5}{\kappa_1}y^2, 0) ~{\rm {\mbox{或}} }\\&& \phi_{\rho}(x, y)=(-\kappa_1x+\frac{a_5}{\kappa_1^2}y^2, -\kappa_1y)~{\rm {\mbox{或}} }~\\&& \phi_{\rho}(x, y)=(\frac{a_5}{\kappa_1^2+\kappa_1}y^2, -\kappa_1y)~{\rm {\mbox{或}} }~\\&&\phi_{\rho}(x, y)=(-\frac{2b_3\kappa_1+a_4}{2b_3}x-\frac{a_4(2b_3\kappa_1+a_4)}{4a_3b_3}y+\frac{b_3^2}{a_3}y^2, \frac{a_4}{2b_3}y+\frac{a_3}{b_3}x)\end{eqnarray*}$

时方程(3.1)成立.

利用 $A_{21}$ 和 $A_{31}$ 的对称性得到集合 $\Lambda_3$ 的表达式.进一步得到方程(3.1)的 $A_{21}$ 类型的四个解.方程(3.1)的 $A_{41}$ 和 $A_{42}$ 类型与 $A_{31}$ 类型的多项式解存在的条件类似可得.证毕.

注3.1 在定理3.1中,虽然给出了方程(3.1)有 $A_{42}$ 类型的二次多项式解的充要条件,但并没有给出这种情形下解的表达式,其原因是计算解的表达式需要计算机有较大的内存,而我们的民用计算机的内存不足以计算出解的具体表达式.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Becker T, Weispfenning V. Gröbner Basis: A Computational Approach to Commutative Algebra. New York: Springer-Verlag, 1993

[本文引用: 3]

[2]

Bessis

, Marmi

, Turchetti

On the singularities of divergent majorant series arising from normal form theory

Rend Math Ser, 1989, 9: 645- 659

[本文引用: 1]

[3]

Buchberger B. Ein Algorithmus zum Auffinden der Basiselemente des Restklassenringes nach einem Nulldimensional Polynomideal[D]. Austria: Universität Innsbruck, 1965

[本文引用: 2]

[4]

Chen

, Shi

, Zhang

Planar quadratic degree-preserving maps and their iteration

Results Math, 2009, 55: 39- 63

DOI:10.1007/s00025-009-0389-6 [本文引用: 2]

[5]

Chen

, Zhang

Decomposition of algebraic sets and applications to weak centers of cubic systems

J Comput Appl Math, 2009, 232: 565- 581

DOI:10.1016/j.cam.2009.06.029 [本文引用: 3]

[6]

Chen

, Zhang

Leading coefficient problem for polynomial-like iterative equations

J Math Anal Appl, 2009, 349: 413- 419

DOI:10.1016/j.jmaa.2008.09.015 [本文引用: 1]

[7]

Collet

, Eckmann

J P

, Lanford

O E

Universal properties of maps on an interval

Comm Math Phys, 1980, 76: 211- 254

DOI:10.1007/BF02193555 [本文引用: 1]

[8]

Draga

A note on the polynomial-like iterative equations order

Comment Math, 2016, 56: 243- 249

URL [本文引用: 1]

[9]

Draga

, Morawiec

Reducing the polynomial-like iterative equations order and a generalized Zoltán Boros' problem

Aequationes Math, 2016, 90: 935- 950

DOI:10.1007/s00010-016-0420-4 [本文引用: 1]

[10]

Fontich

Transversal homoclinic points of a class of conservative diffeomorphisms

J Diffe Equ, 1990, 87: 1- 27

DOI:10.1016/0022-0396(90)90012-E [本文引用: 1]

[11]

Gelfand I M, Kapranov M M, Zelevinsky A V. Discriminants, Resultantsand Multidimensional Determinants. Boston: Birkhäuser, 1994

[本文引用: 2]

[12]

Gianni

, Trager

, Zacharias

Gröbner basis and primary decomposition of polynomials

J Symbolic Comput, 1988, 6: 146- 167

[本文引用: 1]

[13]

Gong

Convex solutions of the polynomial-like iterative equation on open set

Bull Korean Math Soc, 2014, 51: 641- 651

DOI:10.4134/BKMS.2014.51.3.641 [本文引用: 1]

[14]

Gong

, Zhang

Convex solutions of the polynomial-like iterative equation with variable coefficents

J Appl Anal Comput, 2016, 6: 306- 321

URL [本文引用: 1]

[15]

Gong

, Zhang

Convex solutions of the polynomial-like iterative equation in Banach spaces

Publ Math Debrecen, 2013, 82: 341- 358

DOI:10.5486/PMD.2013.5305 [本文引用: 1]

[16]

Greenfield

S J

, Nussbaum

R D

Dynamics of a quadratic map in two complex variables

J Diffe Equ, 2001, 169: 57- 141

DOI:10.1006/jdeq.2000.3895 [本文引用: 1]

[17]

Jarczyk

On an equation of linear iteration

Aequationes Math, 1996, 51: 303- 310

DOI:10.1007/BF01833285 [本文引用: 1]

[18]

Kuczma

, Choczewski

, Ger

Iterative Functional Equations. New York: Cambridge University Press, 1990

[本文引用: 2]

[19]

Kulczycki

, Tabor

Iterative functional equations in the class of Lipschitz functions

Aequationes Math, 2002, 64: 24- 33

DOI:10.1007/s00010-002-8028-2 [本文引用: 1]

[20]

, Zhang

Continuously decreasing solutions for polynomial-like iterative equations

Sci China Ser, 2013, 56A: 1051- 1058

URL [本文引用: 1]

[21]

Liu J, Duan H, Yu Z. On the blended soltuions of polynomial-like iterative equation with multivalued functions. Discrete Dyn Nat Soc, 2018, Art ID: 9862794

[本文引用: 1]

[22]

Liu

, Gong

The polynomial-like iterative equation for PM functions

Sci China Math, 2017, 60: 1503- 1514

DOI:10.1007/s11425-016-0319-x [本文引用: 1]

[23]

Matkowski

, Zhang

Method of characteristic for functional equations in polynomial form

Acta Math Sinica, 1997, 13: 421- 432

DOI:10.1007/BF02560023 [本文引用: 1]

[24]

Matkowski

, Zhang

Characteristic analysis for a polynomial-like iterative equation

Chinese Sci Bull, 1998, 43: 192- 196

DOI:10.1007/BF02898908

[25]

Matkowski

, Zhang

On linear dependence of iterates

J Appl Anal, 2000, 6: 149- 157

URL [本文引用: 1]

[26]

McCarthy

P J

The general exact bijective continuous solution of Feigenbaum's functional equation

Comm Math Phys, 1983, 91: 431- 443

DOI:10.1007/BF01208784 [本文引用: 1]

[27]

Nabeya

On the functional equation $f(p+qx+rf(x))=a+bx+cf(x)$

Aequationes Math, 1974, 11: 199- 211

DOI:10.1007/BF01834919 [本文引用: 1]

[28]

C T

, Zhang

Invariant curves for planar mappings

J Differ Equ Appl, 1997, 3: 147- 168

DOI:10.1080/10236199708808092 [本文引用: 1]

[29]

C T

, Zhao

Periodic and continuous soltuions of a polynomial-like iterative equation

Aequationes Math, 2017, 91: 185- 200

DOI:10.1007/s00010-016-0456-5 [本文引用: 1]

[30]

Ritt J F. Differential Algebra. New York: Amer Math Soc, 1950

[本文引用: 3]

[31]

Romanovski V G, Shafer D S. The Center and Cyclicity Problems: a Computational Algebra Approach. Boston: Birkhäuser, 2009

[本文引用: 1]

[32]

司建国.

迭代方程 $\sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}f^i(x) = F(x)}$ 局部解析解的存在性

数学学报, 1994, 37: 590- 600

[本文引用: 1]

J G

The existence of local analytic solutions of the iterated equations $\sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}f^i(x) = F(x)}$

Acta Math Sin (Chinese Series), 1994, 37: 590- 600

[本文引用: 1]

[33]

Tabor

, Żołdak

Iterative equations in Banach spaces

J Math Anal Appl, 2004, 299: 651- 662

DOI:10.1016/j.jmaa.2004.06.011 [本文引用: 1]

[34]

Tabor

, Tabor

On a linear iterative equation

Results Math, 1995, 27: 412- 421

DOI:10.1007/BF03322847 [本文引用: 1]

[35]

Targonski G. Topics in Iteration Theory. Göttingen: Vandenhoeck and Ruprecht, 1981

[本文引用: 1]

[36]

W T

On zeros of algebraic equations-An appliation of Ritt's principle

Chin Sci Bul, 1986, 31: 1- 5

DOI:10.1360/csb1986-31-1-1 [本文引用: 1]

[37]

, Zhang

Construction of continuous solutions and stability for the polynomial-like iterative equation

J Math Anal Appl, 2007, 325: 483- 497

URL [本文引用: 1]

[38]

, Zhang

Decreasing solutions and convex solutions of the polynomial-like iterative equation

J Math Anal Appl, 2007, 329: 1160- 1170

URL [本文引用: 1]

[39]

, Nikodem

, Zhang

On a multivalued iterative equation of order $n$

J Convex Anal, 2011, 18: 673- 686

[本文引用: 1]

[40]

Yang

, Zhang

Characteristic solutions of polynomial-like iterative equations

Aequationes Math, 2004, 67: 80- 105

DOI:10.1007/s00010-003-2708-4 [本文引用: 1]

[41]

Yang

, Yang

, Yu

, Zhang

Real polynomial iterative roots in the case of nonmonotonicity height $\ge 2$

Sci China Math, 2012, 55: 2433- 2446

DOI:10.1007/s11425-012-4537-1 [本文引用: 2]

[42]

, Yang

, Zhang

Discussion on polynomials having polynomial iterative roots

J Symb Comput, 2012, 47: 1154- 1162

DOI:10.1016/j.jsc.2011.12.038 [本文引用: 2]

[43]

Zhang

, Yang

, Zhang

Some advances on functional equations

Adv Math (China), 1995, 24: 385- 405

URL [本文引用: 1]

[44]

Zhang

Discussion on the iterated equation $\sum\limits^{n}_{i=1}\lambda_{i}f^{i}(x)=F(x)$

Chinese Sci Bull, 1987, 32: 1444- 1451

DOI:10.1360/csb1987-32-19-1444 [本文引用: 1]

[45]

Zhang

Discussion on the differentiable solutions of the iterated equation $\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}f^{i}(x)=F(x)$

Nonlinear Anal, 1990, 15: 387- 398

DOI:10.1016/0362-546X(90)90147-9 [本文引用: 1]

[46]

Zhang

On existence for polynomial-like iterative equations

Results Math, 2004, 45: 185- 194

DOI:10.1007/BF03323006 [本文引用: 1]

[47]

Zhang

Solutions of equivariance for a polynomial-like iterative equation

Proc Roy Soc Edinburgh Sect A, 2000, 130: 1153- 1163

DOI:10.1017/S0308210500000615 [本文引用: 1]

[48]

Zhang

, Baker

J A

Continuous solutions of a polynomial-like iterative equation with variable coefficients

Ann Polon Math, 2000, 73: 29- 36

DOI:10.4064/ap-73-1-29-36 [本文引用: 1]

[49]

Zhang

, Zhang

On continuous solutions of $n$ -th order polynomial-like iterative equations

Publ Math Debrecen, 2010, 76 (1/2): 117- 134

[本文引用: 1]

[50]

Zhang

, Xu

, Zhang

Global solutions for leading coefficient problem of polynomial-like iterative equations

Results Math, 2013, 63: 79- 93

DOI:10.1007/s00025-011-0162-5 [本文引用: 1]

... 设

$APS_1$

表示这些多项式方程构成的代数系统.计算

$APS_1$

的约化Gröbner基^{[1, 3]},然后选出不含

$b_0$

和

$b_1$

的多项式(事实上,我们需要计算消元理想

$\langle APS_1\rangle\cap {\Bbb C}[a_i\, s, \kappa_1, b_2]$

的Gröbner基),即 ...

...

${\cal A}^n$

中的子集

$V$

称为仿射代数集^{[1, 5, 11, 30]}如果对某些

${\cal S}$

有

$V = Z({\cal S})$

.非空仿射代数集

$V$

称为不可约的如果它不能表成两个适当的代数子集的并.不可约仿射代数集也称为仿射簇^{[5, 30]}.一般地,考虑环

${\Bbb K}[x_1, \cdots, x_n]$

上的多项式集

${\cal F}:=\{f_1, \cdots, f_m\}$

.求解由集合

${\cal F}$

定义的多项式代数系统

$f_1 =\cdots= f_m =0$

可约化为寻找代数簇

$V({\cal F})$

.事实上,有三种行之有效的算法可用以寻找代数簇.其中一种重要的经典方法是建立在特征列方法上^{[30, 36]}.另外一种重要方法是对包含有

$n$

个变元的

$n$

次齐次多项式代数系统的结式法^{[5, 11]},它是一种确定多项式是否有相同的非平凡解的工具.第三种方法是通过利用Gröbner基的方法来求解多项式方程^{[1, 3, 31]},尤其是

$0$

维的情形.现在,随着Gröbner基的广泛应用,几乎所有的常用计算机代数系统(Mathematica, Maple, REDUCE, SINGULAR, Macaulay等)都能用来计算Gröbner基.下面,我们如定理2.1证明过程那样给出利用Gröbner基的方法来求解方程(1.2)的算法. ...

... [1, 3, 31],尤其是

$0$

On the singularities of divergent majorant series arising from normal form theory

1989

... 是一类重要的迭代方程.很多动力学问题,如迭代根问题^{[18, 35]},不变曲线^{[18, 28]},费根鲍姆方程^{[7, 26]},微分同胚的横截同宿相交^[10],动力系统中的正规形^[2]和二次映射的动力学^[16]均可转化为此方程.关于该方程的研究已有很多结果:当

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

... 设

$APS_1$

表示这些多项式方程构成的代数系统.计算

$APS_1$

的约化Gröbner基^{[1, 3]},然后选出不含

$b_0$

和

$b_1$

的多项式(事实上,我们需要计算消元理想

$\langle APS_1\rangle\cap {\Bbb C}[a_i\, s, \kappa_1, b_2]$

的Gröbner基),即 ...

...

${\cal A}^n$

中的子集

$V$

称为仿射代数集^{[1, 5, 11, 30]}如果对某些

${\cal S}$

有

$V = Z({\cal S})$

.非空仿射代数集

$V$

称为不可约的如果它不能表成两个适当的代数子集的并.不可约仿射代数集也称为仿射簇^{[5, 30]}.一般地,考虑环

${\Bbb K}[x_1, \cdots, x_n]$

上的多项式集

${\cal F}:=\{f_1, \cdots, f_m\}$

.求解由集合

${\cal F}$

定义的多项式代数系统

$f_1 =\cdots= f_m =0$

可约化为寻找代数簇

$V({\cal F})$

.事实上,有三种行之有效的算法可用以寻找代数簇.其中一种重要的经典方法是建立在特征列方法上^{[30, 36]}.另外一种重要方法是对包含有

$n$

个变元的

$n$

$0$

Planar quadratic degree-preserving maps and their iteration

2009

... 本节我们将利用一维情形的思想研究多项式型迭代方程(1.2)在二维空间中存在多项式解的条件.由于平面多项式的迭代计算比较复杂,迭代后的次数无规律,因此在二维空间中要判断多项式型迭代方程(1.2)有多项式解要比一维情形复杂得多.为了简洁地给出符号计算的过程,考虑一类特殊的平面二次多项式映射,称为保次映射^[4],这类多项式经过迭代后次数不超过2.我们考虑如下迭代方程 ...

... 的条件,其中

$\rho=(\rho^1, \rho^2)$

$\rho^1=(c_0, c_1, c_2, c_3, c_4, c_5)$

$\rho^2=(d_0, d_1, d_2, d_3, d_4, d_5)$

$c_i, ~d_i\in{\Bbb C}$

$i=0, \cdots, 5$

.显然,

$\phi_{\rho}$

必须是一个保次映射,由文献[4]可知

$\phi^{2}_{\rho}$

的2次迭代被分为11种类型 ...

Decomposition of algebraic sets and applications to weak centers of cubic systems

2009

...

${\cal A}^n$

中的子集

$V$

称为仿射代数集^{[1, 5, 11, 30]}如果对某些

${\cal S}$

有

$V = Z({\cal S})$

.非空仿射代数集

$V$

称为不可约的如果它不能表成两个适当的代数子集的并.不可约仿射代数集也称为仿射簇^{[5, 30]}.一般地,考虑环

${\Bbb K}[x_1, \cdots, x_n]$

上的多项式集

${\cal F}:=\{f_1, \cdots, f_m\}$

.求解由集合

${\cal F}$

定义的多项式代数系统

$f_1 =\cdots= f_m =0$

可约化为寻找代数簇

$V({\cal F})$

.事实上,有三种行之有效的算法可用以寻找代数簇.其中一种重要的经典方法是建立在特征列方法上^{[30, 36]}.另外一种重要方法是对包含有

$n$

个变元的

$n$

$0$

... [5, 30].一般地,考虑环

${\Bbb K}[x_1, \cdots, x_n]$

上的多项式集

${\cal F}:=\{f_1, \cdots, f_m\}$

.求解由集合

${\cal F}$

定义的多项式代数系统

$f_1 =\cdots= f_m =0$

可约化为寻找代数簇

$V({\cal F})$

.事实上,有三种行之有效的算法可用以寻找代数簇.其中一种重要的经典方法是建立在特征列方法上^{[30, 36]}.另外一种重要方法是对包含有

$n$

个变元的

$n$

$0$

... [5, 11],它是一种确定多项式是否有相同的非平凡解的工具.第三种方法是通过利用Gröbner基的方法来求解多项式方程^{[1, 3, 31]},尤其是

$0$

Leading coefficient problem for polynomial-like iterative equations

2009

... 2004年张伟年^[46]利用Schröder变换

$f(x)=\phi(c\phi^{-1}(x))$

将方程(1.2)转化为一个不含未知函数迭代的辅助方程,并利用Schauder不动点定理证明了在已知函数

$F$

扩张和非双曲条件下,该方程在不动点附近解的存在性.随后,在更多扩张和压缩条件下局部

$C^{1}$

解被研究^[6]. 2007年徐冰^[37]利用逐段定义法构造出了无限多个递增连续解. 2013年,利用局部线性解逼近的方法全局解的存在性被证明^[50].同样在2013年递减解也被构造出来^[20]. ...

Universal properties of maps on an interval

1980

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

A note on the polynomial-like iterative equations order

2016

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

Reducing the polynomial-like iterative equations order and a generalized Zoltán Boros' problem

2016

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

Transversal homoclinic points of a class of conservative diffeomorphisms

1990

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

...

${\cal A}^n$

中的子集

$V$

称为仿射代数集^{[1, 5, 11, 30]}如果对某些

${\cal S}$

有

$V = Z({\cal S})$

.非空仿射代数集

$V$

称为不可约的如果它不能表成两个适当的代数子集的并.不可约仿射代数集也称为仿射簇^{[5, 30]}.一般地,考虑环

${\Bbb K}[x_1, \cdots, x_n]$

上的多项式集

${\cal F}:=\{f_1, \cdots, f_m\}$

.求解由集合

${\cal F}$

定义的多项式代数系统

$f_1 =\cdots= f_m =0$

可约化为寻找代数簇

$V({\cal F})$

.事实上,有三种行之有效的算法可用以寻找代数簇.其中一种重要的经典方法是建立在特征列方法上^{[30, 36]}.另外一种重要方法是对包含有

$n$

个变元的

$n$

$0$

... , 11],它是一种确定多项式是否有相同的非平凡解的工具.第三种方法是通过利用Gröbner基的方法来求解多项式方程^{[1, 3, 31]},尤其是

$0$

Gr?bner basis and primary decomposition of polynomials

1988

... 最后,在计算机代数系统SINGULAR中利用minAssGTZ程序包(此方法是基于Gianni, Trager和Zacharias的工作^[12])得到理想

$\langle g_1, g_2, g_3\rangle$

的极小相关素理想,我们可知,该理想即

$\langle g_1, g_2, g_3\rangle$

本身.计算过程表明结果无冗余.因此,由上述素理想定义出了消元理想代数簇的极小不可约分解如定理2.1所示(即方程(2.2)存在多项式解的条件).将条件代入代数系统

$APS_1$

得 ...

Convex solutions of the polynomial-like iterative equation on open set

2014

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

Convex solutions of the polynomial-like iterative equation with variable coefficents

2016

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

Convex solutions of the polynomial-like iterative equation in Banach spaces

2013

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

Dynamics of a quadratic map in two complex variables

2001

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

On an equation of linear iteration

1996

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

1990

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

... [18, 28],费根鲍姆方程^{[7, 26]},微分同胚的横截同宿相交^[10],动力系统中的正规形^[2]和二次映射的动力学^[16]均可转化为此方程.关于该方程的研究已有很多结果:当

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

Iterative functional equations in the class of Lipschitz functions

2002

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

Continuously decreasing solutions for polynomial-like iterative equations

2013

... 2004年张伟年^[46]利用Schröder变换

$f(x)=\phi(c\phi^{-1}(x))$

将方程(1.2)转化为一个不含未知函数迭代的辅助方程,并利用Schauder不动点定理证明了在已知函数

$F$

扩张和非双曲条件下,该方程在不动点附近解的存在性.随后,在更多扩张和压缩条件下局部

$C^{1}$

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

The polynomial-like iterative equation for PM functions

2017

... 关于首项系数问题的所有结果都是在已知函数为单调函数的情形下给出的. 2017年,在已知函数为PM函数(逐段单调函数)情形下,一类特殊的非单调解被讨论了并利用延拓的方法给出了多项式型迭代方程解的一般构造^[22]. ...

Method of characteristic for functional equations in polynomial form

1997

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

Characteristic analysis for a polynomial-like iterative equation

1998

On linear dependence of iterates

2000

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

The general exact bijective continuous solution of Feigenbaum's functional equation

1983

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

On the functional equation

$f(p+qx+rf(x))=a+bx+cf(x)$

1974

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

Invariant curves for planar mappings

1997

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

Periodic and continuous soltuions of a polynomial-like iterative equation

2017

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

...

${\cal A}^n$

中的子集

$V$

称为仿射代数集^{[1, 5, 11, 30]}如果对某些

${\cal S}$

有

$V = Z({\cal S})$

.非空仿射代数集

$V$

称为不可约的如果它不能表成两个适当的代数子集的并.不可约仿射代数集也称为仿射簇^{[5, 30]}.一般地,考虑环

${\Bbb K}[x_1, \cdots, x_n]$

上的多项式集

${\cal F}:=\{f_1, \cdots, f_m\}$

.求解由集合

${\cal F}$

定义的多项式代数系统

$f_1 =\cdots= f_m =0$

可约化为寻找代数簇

$V({\cal F})$

.事实上,有三种行之有效的算法可用以寻找代数簇.其中一种重要的经典方法是建立在特征列方法上^{[30, 36]}.另外一种重要方法是对包含有

$n$

个变元的

$n$

$0$

... , 30].一般地,考虑环

${\Bbb K}[x_1, \cdots, x_n]$

上的多项式集

${\cal F}:=\{f_1, \cdots, f_m\}$

.求解由集合

${\cal F}$

定义的多项式代数系统

$f_1 =\cdots= f_m =0$

可约化为寻找代数簇

$V({\cal F})$

.事实上,有三种行之有效的算法可用以寻找代数簇.其中一种重要的经典方法是建立在特征列方法上^{[30, 36]}.另外一种重要方法是对包含有

$n$

个变元的

$n$

$0$

... [30, 36].另外一种重要方法是对包含有

$n$

个变元的

$n$

$0$

...

${\cal A}^n$

中的子集

$V$

称为仿射代数集^{[1, 5, 11, 30]}如果对某些

${\cal S}$

有

$V = Z({\cal S})$

.非空仿射代数集

$V$

称为不可约的如果它不能表成两个适当的代数子集的并.不可约仿射代数集也称为仿射簇^{[5, 30]}.一般地,考虑环

${\Bbb K}[x_1, \cdots, x_n]$

上的多项式集

${\cal F}:=\{f_1, \cdots, f_m\}$

.求解由集合

${\cal F}$

定义的多项式代数系统

$f_1 =\cdots= f_m =0$

可约化为寻找代数簇

$V({\cal F})$

.事实上,有三种行之有效的算法可用以寻找代数簇.其中一种重要的经典方法是建立在特征列方法上^{[30, 36]}.另外一种重要方法是对包含有

$n$

个变元的

$n$

$0$

迭代方程

$\sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}f^i(x) = F(x)}$

局部解析解的存在性

1994

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

迭代方程

$\sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}f^i(x) = F(x)}$

局部解析解的存在性

1994

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

Iterative equations in Banach spaces

2004

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

On a linear iterative equation

1995

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

On zeros of algebraic equations-An appliation of Ritt's principle

1986

...

${\cal A}^n$

中的子集

$V$

称为仿射代数集^{[1, 5, 11, 30]}如果对某些

${\cal S}$

有

$V = Z({\cal S})$

.非空仿射代数集

$V$

称为不可约的如果它不能表成两个适当的代数子集的并.不可约仿射代数集也称为仿射簇^{[5, 30]}.一般地,考虑环

${\Bbb K}[x_1, \cdots, x_n]$

上的多项式集

${\cal F}:=\{f_1, \cdots, f_m\}$

.求解由集合

${\cal F}$

定义的多项式代数系统

$f_1 =\cdots= f_m =0$

可约化为寻找代数簇

$V({\cal F})$

.事实上,有三种行之有效的算法可用以寻找代数簇.其中一种重要的经典方法是建立在特征列方法上^{[30, 36]}.另外一种重要方法是对包含有

$n$

个变元的

$n$

$0$

Construction of continuous solutions and stability for the polynomial-like iterative equation

2007

... 2004年张伟年^[46]利用Schröder变换

$f(x)=\phi(c\phi^{-1}(x))$

将方程(1.2)转化为一个不含未知函数迭代的辅助方程,并利用Schauder不动点定理证明了在已知函数

$F$

扩张和非双曲条件下,该方程在不动点附近解的存在性.随后,在更多扩张和压缩条件下局部

$C^{1}$

Decreasing solutions and convex solutions of the polynomial-like iterative equation

2007

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

On a multivalued iterative equation of order

$n$

2011

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

Characteristic solutions of polynomial-like iterative equations

2004

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

Real polynomial iterative roots in the case of nonmonotonicity height

$\ge 2$

2012

... 多项式函数作为一类特殊的非单调函数,在迭代根问题中已进行了讨论^[41-42].受到文献[41-42]中思想的启发,在本文中我们在给定函数

$F$

为多项式函数情形下,在一维空间和二维空间中分别研究了方程(1.2).在一维空间中,利用计算机代数系统SINGULAR对代数簇进行分解得到了方程(1.2)在

$n=2$

和

$n=3$

时有二次多项式解的充要条件以及两个方程的多项式解的具体形式,并进一步给出了计算方程(1.2)多项式解的可执行算法.在二维空间中,利用一维空间的思想得到了方程(1.2)在

$n=2$

和已知函数为平面二次齐次多项式时有平面二次保次多项式解的几个充要条件. ...

... .受到文献[41-42]中思想的启发,在本文中我们在给定函数

$F$

为多项式函数情形下,在一维空间和二维空间中分别研究了方程(1.2).在一维空间中,利用计算机代数系统SINGULAR对代数簇进行分解得到了方程(1.2)在

$n=2$

和

$n=3$

$n=2$

和已知函数为平面二次齐次多项式时有平面二次保次多项式解的几个充要条件. ...

Discussion on polynomials having polynomial iterative roots

2012

... 多项式函数作为一类特殊的非单调函数,在迭代根问题中已进行了讨论^[41-42].受到文献[41-42]中思想的启发,在本文中我们在给定函数

$F$

为多项式函数情形下,在一维空间和二维空间中分别研究了方程(1.2).在一维空间中,利用计算机代数系统SINGULAR对代数簇进行分解得到了方程(1.2)在

$n=2$

和

$n=3$

$n=2$

和已知函数为平面二次齐次多项式时有平面二次保次多项式解的几个充要条件. ...

... -42]中思想的启发,在本文中我们在给定函数

$F$

为多项式函数情形下,在一维空间和二维空间中分别研究了方程(1.2).在一维空间中,利用计算机代数系统SINGULAR对代数簇进行分解得到了方程(1.2)在

$n=2$

和

$n=3$

$n=2$

和已知函数为平面二次齐次多项式时有平面二次保次多项式解的几个充要条件. ...

Some advances on functional equations

1995

... 随着对迭代方程的深入研究,我们希望考虑当

$|\lambda_n|$

较大时方程(1.1)解的存在性和惟一性.这个问题被称为首项系数问题^{[43, 48]}.若

$\lambda_{n}\neq 0$

,则方程(1.1)可转化为如下形式 ...

Discussion on the iterated equation

$\sum\limits^{n}_{i=1}\lambda_{i}f^{i}(x)=F(x)$

1987

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

Discussion on the differentiable solutions of the iterated equation

$\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}f^{i}(x)=F(x)$

1990

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

On existence for polynomial-like iterative equations

2004

... 2004年张伟年^[46]利用Schröder变换

$f(x)=\phi(c\phi^{-1}(x))$

将方程(1.2)转化为一个不含未知函数迭代的辅助方程,并利用Schauder不动点定理证明了在已知函数

$F$

扩张和非双曲条件下,该方程在不动点附近解的存在性.随后,在更多扩张和压缩条件下局部

$C^{1}$

Solutions of equivariance for a polynomial-like iterative equation

2000

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

Continuous solutions of a polynomial-like iterative equation with variable coefficients

2000

... 随着对迭代方程的深入研究,我们希望考虑当

$|\lambda_n|$

较大时方程(1.1)解的存在性和惟一性.这个问题被称为首项系数问题^{[43, 48]}.若

$\lambda_{n}\neq 0$

,则方程(1.1)可转化为如下形式 ...

On continuous solutions of

$n$

-th order polynomial-like iterative equations

2010

$S$

为区间,

$F$

为线性函数时的结果见文献[8-9, 17, 23-25, 27, 34, 40, 49],

$F$

为非线性函数时的结果见文献[14, 29, 32, 38, 44-45, 47],在高维空间^{[13, 15, 19, 33]}和多值函数^{[21, 39]}情形下也有许多结果. ...

Global solutions for leading coefficient problem of polynomial-like iterative equations

2013

... 2004年张伟年^[46]利用Schröder变换

$f(x)=\phi(c\phi^{-1}(x))$

将方程(1.2)转化为一个不含未知函数迭代的辅助方程,并利用Schauder不动点定理证明了在已知函数

$F$

扩张和非双曲条件下,该方程在不动点附近解的存在性.随后,在更多扩张和压缩条件下局部

$C^{1}$

〈

〉