2005年, Coclite等^[1-2]首次考虑了如下广义超弹性杆波方程

其中$\nu, \kappa, \theta$和$\gamma$为常数,建立了耗散解的存在性,得到了"弱等于强"的唯一性结果,并研究了该问题解的稳定性.

近年来,对广义超弹性杆波方程的研究取得了许多成果^[3-6],例如得到广义超弹性杆波方程的整体保守解、几何有限差分格式和整体弱解等.本文运用复方法^[7-9]得到广义超弹性杆波方程的行波解.

运用行波变换

于方程(1.1),并关于$z$积分一次,令积分常数为0,得

如果一个亚纯函数$g$为关于$z$的有理函数,或为关于$e^{\mu z}, \mu \in {\mathbb C}$的有理函数,或为椭圆函数,则称$g$属于$W$类.

本文主要得到如下定理.

定理1.1  若$\theta\neq 0$,则方程$(1.3)$的亚纯解$w$属于$W$类.更进一步,当$\gamma$为一个不属于$\mathbb M$ (定义于第二节)的常数时,方程$(1.3)$有如下形式的亚纯解

(Ⅰ)有理函数解

其中$\nu=-\frac{\kappa(\gamma+2)}{3\theta}, z_0\in {\mathbb C}$.

(Ⅱ)单周期函数解

其中

(Ⅲ)椭圆函数解

其中

当$\gamma=1$时,方程$(1.3)$有如下形式的亚纯解

(Ⅰ)有理函数解

其中$\nu=-\frac{\kappa}{\theta}, z_0\in {\mathbb C}$.

(Ⅱ)单周期函数解

其中$\nu=0$, $\kappa=\mu^2$, $z_0\in {\mathbb C}$.

(Ⅲ)椭圆函数解

其中$\nu=-\frac{\kappa}{\theta}$, $E^2=4F^3-c_3$, $c_2=0$, $c_3$为任意常数.

设集合$p\in {\mathbb N}^*:=\{1, 2, 3, \cdots \}$, $r_j\in {\mathbb M}^*={\mathbb N}^*\cup\{0\}$, ${\mathbb M}={\mathbb M}^*\cup\{-2, -1\}$, $r=(r_0, r_1, \cdots, r_p)$, $j=0, 1, \cdots, p$.

微分单项式为

$d(r):=\sum\limits_{j=0}^{p}r_j$被称为$K_r[w]$的次数.

微分多项式为

其中$J$为一个有限指标集, $a_{r}$为常数. $\deg F(w, w', \cdots, w^{(p)}):= \mathop {\max }\limits_{r \in J} \{d(r)\}$称为$P[w]$的全次数.

考虑如下复常微分方程

其中$c\neq 0, d$为常数, $q\in {\mathbb N}^*.$

设$h, ~k\in {\mathbb N}^*$,方程$(2.1)$的亚纯解$w$至少存在一个极点,若方程$(2.1)$恰好存在$h$个不同的亚纯解以$z=0$为$k$重极点,则称方程$(2.1)$满足$\langle h, k \rangle$条件.若将Laurent展式

代入方程(2.1)可得$h$个不同的Laurent展式的奇异部分: $\sum\limits_{\tau=-k}^{-1}\beta_{\tau}z^{\tau},$则称方程(2.1)满足弱$\langle h, k \rangle$条件.

给定两个复数$l_1, ~l_2$使得$\mbox{Im} \frac{l_1}{l_2}>0,$$L:=L[2l_1, ~ 2l_2]=\{l~|~l=2al_1+2bl_2, ~a, b\in \mathbb Z\}$为同构于${\mathbb Z}\times {\mathbb Z}$的离散子集.判别式$\Delta=\Delta(b_1, b_2):=b_1^3-27b_2^2$和$H_n=H_n(L):=\sum\limits_{l\in L\setminus \{0\}}\frac{1}{l^n}.$

具有双周期$2l_1, ~2l_2$的Weierstrass椭圆函数$\wp(z):=\wp(z, c_2, c_3)$满足方程

其中$c_2=60H_4, ~c_3=140H_6$,和$\Delta(c_2, c_3)\neq 0,$且满足如下加法公式^[10]

控制项^[11]决定了$D(z, w)$的亚纯解$w$的重数$k$,控制部分$\hat{D}(z, w)$由所有控制项组成.每个控制项有相同的重数,记为$I(k)$.

控制部分$\hat{D}(z, w)$关于$w$的微分定义为

其为线性算子.方程

的根,被称为Fuchs指数.

引理2.1^[12-13]  设$h, ~p, ~q, ~s\in {\mathbb N}^*, ~\deg F(w, w', \cdots, w^{(p)}) < q,$且方程$(2.1)$满足$\langle h, k \rangle$条件,则方程$(2.1)$的亚纯解$w\in W$.若对某些参数值使得解$w$存在,则其他亚纯解的形式是一个单参量族$w(z-z_{0}),$$z_0 \in {\bf C}$.并且,每一个在$z=0$处有极点的椭圆函数解表示为

其中$\beta_{-ij}$由$(2.2)$式给出, $\sum\limits_{i=1}^s\beta_{-i1}=0$和$C_i^2=4D_i^3-c_2D_i-c_3.$

每一个有理函数解$w=R(z)$的形式为

它有$s(\leq h)$个区别的$k$重极点.

每一个单周期解$w=R(\eta)$是关于$\eta=e^{\mu z} (\mu\in{\bf C})$的有理函数,且其形式为

它有$s(\leq h)$个区别的$k$重极点.

2009年, Eremenko等^[14]研究了$p$阶Briot-Bouquet方程

其中$F_{j}(w)$为常系数多项式, $p\in {\mathbb N}^*$.对于$p$阶Briot-Bouquet方程,有如下引理.

引理2.2^{[12, 15]}  设$h, ~p, ~q, ~s \in {\mathbb N}^*, ~\deg F(w, w^{(p)}) < q$.若一个$p$阶Briot-Bouquet方程满足弱$\langle h, k \rangle$条件,则其所有的亚纯解$w \in W,$并且引理2.1的结论成立.

证  将(2.2)式代入方程(1.3),可得$h=1, ~k=2, ~\beta_{{-2}}=\frac{2(\gamma+2)}{\theta}, ~\beta_{{-1}}=0, ~\beta_{{0}}=-\frac{\kappa(\gamma+2)+3\theta\nu}{3(\gamma+1)\theta}, ~\beta_{{1}}=0, ~\beta_{{2}}=-\frac{(\kappa\gamma-3\theta\nu)(\kappa\gamma+3\theta\nu+2\kappa)}{30(\gamma+1)^2\gamma\theta},$$\beta_3=0$,和$\beta_4$为任意常数.

下面证明方程(1.3)满足$\langle h, k\rangle$条件.

实际上,由于方程(1.3)满足弱$\langle h, k\rangle$条件,控制部分$\hat{D}(z, w)=ww''+\frac{\gamma-1}{2}(w')^2-\theta w^3$,可得$I(k)=3k$,

将$k=2$, $\beta_{-2}=\frac{2(\gamma+2)}{\theta}$代入方程(3.1),可得$i=-1$, $i=2\gamma+4$.因此,当$\gamma$为一个不属于$\mathbb M$的常数时, $i$不是非负整数.这意味着,当$\gamma$为一个不属于$\mathbb M$的常数时,方程$P(i)=0$没有非负整数解,即方程(1.3)没有非负整数Fuchs指数.所以, $w(z)$的Laurent展式能够通过其主要部分唯一确定^[11].又由于方程(1.3)满足弱$\langle h, k \rangle$条件,则可得该方程满足$\langle h, k \rangle$条件.由引理2.1可得,方程(1.3)的亚纯解$w$属于$W$类.

由(2.7)式,推断方程(1.3)在极点$z=0$处的有理函数解有如下形式

将$R_{1}(z)$代入方程(1.3),可得

其中$\nu=-\frac{\kappa(\gamma+2)}{3\theta}$.

所以方程(1.3)的有理函数解为

其中$\nu=-\frac{\kappa(\gamma+2)}{3\theta}, z_0\in {\mathbb C}$.

为了得到单周期函数解,令$\eta=e^{\mu z}$,并将$w=R(\eta)$代入方程(1.3),则可得

将

代入方程(3.2),可得

其中$\nu=\frac{\mu^2(-\gamma^2-\gamma+\sqrt{2(-4\gamma^4-8\gamma^3+3\gamma^2+7\gamma+2)}+2)}{18\theta}$, $\kappa=\frac{\mu^2(-4\gamma^2-10\gamma+\sqrt{2(-4\gamma^4-8\gamma^3+3\gamma^2+7\gamma+2)}-4)}{6(2\gamma+1)}$.

将$\eta=e^{\mu z}$代入(3.3)式,可得方程(1.3)在极点$z=0$处的单周期函数解为

所以方程(1.3)的单周期函数解为

其中$\nu=\frac{\mu^2(-\gamma^2-\gamma+\sqrt{2(-4\gamma^4-8\gamma^3+ 3\gamma^2+7\gamma+2)}+2)}{18\theta}$, $\kappa=\frac{\mu^2(-4\gamma^2-10\gamma+\sqrt{2(-4\gamma^4-8\gamma^3+3\gamma^2+7\gamma+2)}-4)}{6(2\gamma+1)}$, $z_0\in {\mathbb C}$.

由引理2.1中的(2.6)式,可将方程(1.3)在极点$z=0$处的椭圆函数解表示为

将$W_{d0}(z)$代入方程(1.3),可得

其中

所以方程(1.3)的椭圆函数解为

其中$z_0\in {\mathbb C}$.运用椭圆函数的加法公式,可将其改写为

其中

当$\gamma=1$时,方程(1.3)是二阶Briot-Bouquet微分方程,并且满足弱$\langle 1, 2 \rangle$条件.故由引理2.2,可知方程(1.3)的亚纯解$w$属于$W$类,则得到方程(1.3)如下形式的亚纯解.

由(2.7)式,推断方程(1.3)在极点$z=0$处的有理函数解有如下形式

将$U_{1}(z)$代入方程(1.3),可得

其中$\nu=-\frac{\kappa}{\theta}$.

所以方程(1.3)的有理函数解为

其中$\nu=-\frac{\kappa}{\theta}, z_0\in {\mathbb C}$.

为了得到单周期函数解,令$\eta=e^{\mu z}$,并将$w=R(\eta)$代入方程(1.3),则可得

将$U_{2}(z)=\frac{\beta_{42}}{(\eta-1)^2} +\frac{\beta_{41}}{(\eta-1)}+\beta_{40}$代入方程(3.4),可得

其中$\nu=0$, $\kappa=\mu^2$.将$\eta=e^{\mu z}$代入(3.5)式,可得方程(1.3)在极点$z=0$处的单周期函数解为

所以方程(1.3)的单周期函数解为

其中$\nu=0$, $\kappa=\mu^2$, $z_0\in {\mathbb C}$.

由引理2.1中的(2.6)式,可将方程(1.3)在极点$z=0$处的椭圆函数解表示为

将$U_{d0}(z)$代入方程(1.3),可得

其中$c_2=0$, $c_3$为任意常数.

所以方程(1.3)的椭圆函数解为

其中$z_0\in {\mathbb C}$.运用椭圆函数的加法公式,可将其改写为

其中$\nu=-\frac{\kappa}{\theta}$, $E^2=4F^3-c_3$, $c_2=0$, $c_3$为任意常数.

本节将运用一些计算机模拟来描述主要结果,通过以下的图 1和图 2,可对有理函数解$U_{r}(z)$和单周期函数解$U_{s}(z)$的性质展开分析.

(1)对$U_{r}(z)$,取$\theta=6$, $\kappa=-6$和$\nu=1$.

(2)对$U_{s}(z)$,取$\mu=1$, $\theta=\frac{3}{2}$, $\kappa=1$和$\nu=0$.

运用复方法,容易得到某些非线性偏微分方程的精确解.本文首先通过弱$\langle h, k \rangle$条件和Fuchs指数,证明了广义弹性杆波方程的亚纯解属于$W$类,然后得到该方程的亚纯精确解.结果表明,此方法较为便捷,并且可被应用于其他数学物理方程.