非线性色谱方程已被化学家和工程学家广泛应用于研究流体相中两种化学成分的分离.在拉格朗日坐标下,非线性色谱方程为

(1.1) $\begin{equation}\label{1.3}\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\bigg\{\bigg(1+\frac{1}{1+u+v}\bigg)u\bigg\}=0, \\[8pt] \displaystyle \frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\bigg\{\bigg(1+\frac{1}{1+u+v}\bigg)v\bigg\}=0, \\\end{array}\right.\end{equation}$

其中$u$和$v$是变量$(x, t)\in {\mathbb R}\times {\mathbb R}^+$的非负函数,表示两种溶质浓度的变化.

文献[1]中, Ambrosio等人引进变量

(1.2) $\begin{equation}\label{1.4}\theta=u-v, \qquad \eta=u+v, \end{equation}$

方程(1.1)可化为

(1.3) $\begin{equation}\label{1.5}\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\partial \theta}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\bigg(\theta+\frac{\theta}{1+\eta}\bigg)=0, \\[8pt] \displaystyle \frac{\partial \eta}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\bigg(\eta+\frac{\eta}{1+\eta}\bigg)=0, \\\end{array}\right.\end{equation}$

其中$\eta\geq0$.此时,色谱方程转变成单个守恒律方程和输运方程的耦合方程.另外一种变量代换$w=u+v$和$\displaystyle z=\frac{v}{u}$是由Bressan和Shen^[2]提出来的,他们引进该变换的主要目的是研究常微分方程的间断向量场.

文献[19]研究了(1.3)式的黎曼问题,并且发现黎曼解中出现了Delta激波($\theta$含有Delta函数).文献[9-10]也从(1.2)式的数值和实验上捕捉到了Delta激波这一事实. Delta激波是普通激波的推广,相对于普通激波,它有更多的特征进入间断线.数学上, Delta激波是新的奇异解,该解含有Delta函数以及它的导数.物理上, Delta激波可以描绘宇宙银河系的行成,或者粒子集中的过程,参见文献[21].因此, Delta激波不仅在物理方面有着重要的应用,而且为解决一些已长久存在的数学问题提供启示.

近二十年来, Delta激波理论得到了广泛的发展并且已有一些有意义的结果,参见文献[3, 8, 11, 13, 15-21].我们特别提到,盛和张在1999年研究了零压差方程的黎曼问题,并且获得了Delta激波解^[17]. 2012年,杨和张通过研究一类非严格双曲型守恒律系统建立了一种新的Delta激波理论^[21],它与以往结果不同, Delta函数会同时出现在两种状态变量中.

本文主要目的是研究Delta激波的内部机理和不稳定性.为此,我们研究非线性色谱方程的广义黎曼问题.更精确地,我们考虑方程(1.3)并带有初始条件

(1.4) $\begin{equation}\label{1.8} (\theta, \eta)\Big|_{t=0}=(\theta_{0}(x), \eta_{0}(x)) = \left \{ \begin{array}{ll} (\theta^{-}_{0}(x), \eta^{-}_{0}(x)), & x<0, \\(\theta^{+}_{0}(x), \eta^{+}_{0}(x)), & x>0, \\ \end{array} \right. \end{equation} $

其中$(\theta^{-}_{0}(x), \eta^{-}_{0}(x))$和$(\theta^{+}_{0}(x), \eta^{+}_{0}(x))$分别是定义在$x<0$和$x>0$上的光滑向量函数.它们满足

(1.5) $\begin{equation}\label{1.9} (\theta^{\pm}_{0}(0\pm), \eta^{\pm}_{0}(0\pm))=(\hat{\theta}^{\pm}, \hat{\eta}^{\pm}), \end{equation} $

这里$\hat{\theta}^\pm$和$\hat{\eta}^\pm$均是常数且$(\hat{\theta}^{-}, \hat{\eta}^{-})\neq(\hat{\theta}^{+}, \hat{\eta}^{+})$.在$x-t$平面的原点附近,初始数据(1.4)可以看成是对以下黎曼初始数据的$C^{1}$有界扰动

(1.6) $ \begin{equation}\label{1.7} (\theta, \eta)(x, 0) =(\hat{\theta}^\pm, \hat{\eta}^\pm), \ \ \ \ \ \ \ \pm x>0. \end{equation} $

广义黎曼问题不仅在守恒律理论中起着重要作用,而且在实际应用当中也非常重要.例如,计算中,误差是不可避免地,误差将会造成原始初始数据的小扰动.

原点附近,广义黎曼问题(1.3)和(1.4)的解是否与对应的黎曼解有类似的结构?本文结果表明:原点附近,如果对应的黎曼解中只有经典初等波,那么黎曼解在初始数据扰动后仍能保持其形式;但如果相应的黎曼解中出现Delta激波,扰动可能会引起解本质的变化.利用以往文献不同的分析方法,我们讨论并且证明广义黎曼问题(1.3)和(1.4)解的结构.从以上结果,我们看到,当初始数据扰动时,黎曼解的不稳定性是由Delta激波引起地,这有助于更好地研究Delta激波的内部机理.

研究本文的另一动机来源于广义黎曼问题本身.文献[4, 6-7, 12]等关于广义黎曼问题的研究,相应的黎曼解并没有出现Delta激波.先前的工作侧重于研究黎曼问题的稳定性,即当初始数据扰动时,黎曼解是稳定地.本文重点研究黎曼问题的不稳定性,这是广义黎曼问题的新发展.由于Delta激波出现在相应地黎曼解中,这给解决广义黎曼问题(1.3)和(1.4)带来很大的困难.为解决上述问题,我们采用特征分析方法及李、俞等人[7]提出的局部存在唯一性定理,构造出广义黎曼问题的局部解.

本文结构如下:第二部分介绍一些关于非线性色谱方程(1.3)的预备知识;第三部分给出广义黎曼问题(1.3)和(1.4)的解的构造和证明.

考虑到本文的完备性,这一部分我们简要回顾有关非线性色谱方程(1.3)的一些基础知识.方程(1.3)的特征值为

(2.1) $\begin{equation}\label{2.1}\lambda_{1}(\theta, \eta)=1+\displaystyle\frac{1}{1+\eta}, \ \ \ \ \ \ \ \\lambda_{2}(\theta, \eta)=1+\displaystyle\frac{1}{(1+\eta)^{2}}.\end{equation}$

因此,除去情况$\eta=0$（此时两个特征值重合）外,方程(1.3)是严格双曲地.方程对应的左特征向量分别为

(2.2) $\begin{equation}\label{2.0}l_{1}(\theta, \eta)=(\eta, -\theta), \ \ \ \ \ \ \ \ \ l_{2}(\theta, \eta)=(0, 1), \end{equation}$

右特征向量分别为

(2.3) $\begin{equation}\label{2.2}r_{1}(\theta, \eta)=(1, 0)^{T}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_{2}(\theta, \eta)=(\theta, \eta)^{T}.\end{equation}$

令$\nabla$表示关于$(\theta, \eta)$的梯度.简单的计算有

(2.4) $\begin{equation}\label{2.3}\nabla\lambda_{1}\cdot r_{1}=0, \ \ \ \ \ \ \ \ \\nabla\lambda_{2}\cdot r_{2}=\frac{-2\eta}{(1+\eta)^{3}}, \end{equation}$

由上可知$\lambda_{1}$总是线性退化地.如果$\eta\neq 0$, $\lambda_{2}$是真正非线性地;如果$\eta=0$, $\lambda_{2}$是线性退化地.

对于色谱方程(1.3),沿特征场的黎曼不变量为

(2.5) $\begin{equation}\label{2.4}\zeta(\theta, \eta)=\eta, \ \ \ \ \ \ \ \ \\varsigma(\theta, \eta)=\frac{\eta}{\theta}.\end{equation}$

考虑带有初始条件(1.6)的黎曼问题(1.3).如果$0<\hat{\eta}^{-}<\hat{\eta}^{+}$,黎曼解是后向激波$\overleftarrow S$紧跟着接触间断$J$,即

(2.6) $\begin{equation}\label{5.1}(\theta, \eta)(x, t) = \left \{\begin{array}{ll}(\hat{\theta}^-, \hat{\eta}^- ), & x<\hat{\sigma} t, \\[5pt]\displaystyle(\frac{\hat{\eta}^+\hat{\theta}^-}{\hat{\eta}^-}, \hat{\eta}^+), & \hat{\sigma} t<x<\lambda_{1}(\hat{\theta}^+, \hat{\eta}^+)t, \\[5pt](\hat{\theta}^+, \hat{\eta}^+), &x>\lambda_{1}(\hat{\theta}^+, \hat{\eta}^+)t, \end{array} \right.\end{equation}$

其中$\hat{\sigma}=1+\frac{1}{(1+\hat{\eta}^-)(1+\hat{\eta}^+)}$是激波$\overleftarrow S$的传播速度.

如果$\hat{\eta}^{-}=0<\hat{\eta}^{+}$,黎曼解由Delta激波$\delta S$构成,即

(2.7) $\begin{equation}\label{2.29}(\theta, \eta)(x, t) = \left \{\begin{array}{ll}(\hat{\theta}^-, 0), &x<{\tilde{\sigma_{\delta}}} t, \\({\tilde\omega}(t)\delta(x-{\tilde{\sigma_{\delta}}} t), \hat{\eta}^+), &x={\tilde{\sigma_{\delta}}} t, \\(\hat{\theta}^+, \hat{\eta}^+), & x>{\tilde{\sigma_{\delta}}} t, \end{array} \right.\end{equation}$

其中$\tilde{\omega}(t)=\frac{\hat{\theta}^-\hat{\eta}^+}{1+\hat{\eta}^+}t$和$\tilde{\sigma_{\delta}}=1+\frac{1}{1+\hat{\eta}^+}$分别表示Delta激波的权和传播速度.

如果$\hat{\eta}^{-}>\hat{\eta}^{+}$,黎曼解是后向稀疏波$\overleftarrow R$紧跟着接触间断$J$,即

(2.8) $\begin{equation}\label{2.32}(\theta, \eta)(x, t)= \left \{\begin{array}{ll}(\hat{\theta}^-, \hat{\eta}^- ), & x<\lambda_{2}(\hat{\theta}^-, \hat{\eta}^- )t, \\[5pt]\overleftarrow R, & \lambda_{2}(\hat{\theta}^-, \hat{\eta}^- )t\leq x\leq\lambda_{2}\displaystyle(\frac{\hat{\eta}^+\hat{\theta}^-}{\hat{\eta}^-}, \hat{\eta}^+)t, \\[5pt]\displaystyle(\frac{\hat{\eta}^+\hat{\theta}^-}{\hat{\eta}^-}, \hat{\eta}^+), & \lambda_{2}\displaystyle(\frac{\hat{\eta}^+\hat{\theta}^-}{\hat{\eta}^-}, \hat{\eta}^+)t<x<\lambda_{1}(\hat{\theta}^+, \hat{\eta}^+)t, \\[5pt](\hat{\theta}^+, \hat{\eta}^+), &x>\lambda_{1}(\hat{\theta}^+, \hat{\eta}^+)t, \end{array} \right.\end{equation}$

其中稀疏波$\overleftarrow R$由下式确定

(2.9) $\begin{equation}\label{2.33}(\theta, \eta)(x, t)=\bigg(\frac{\hat{\theta}^-}{\hat{\eta}^-}(\sqrt{\frac{1}{\xi-1}}-1), \sqrt{\frac{1}{\xi-1}}-1\bigg), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xi=\frac{x}{t}.\end{equation}$

关于黎曼问题(1.3)和(1.6)更详细的研究,请参见文献[19].

本节中,在$x-t$平面原点$(t > 0)$附近,我们将构造出广义黎曼问题(1.3)和(1.4)的显式解,并且研究该解与相应黎曼问题(1.3)和(1.6)的解之间的关系.此外,我们将重点分析黎曼解的不稳定性及Delta激波的不稳定性.由于色谱方程(1.3)要求$\eta^{-}_{0}(x)\geq0$,我们可以进一步假设(1.4)中的$\eta_0(x)$满足

(3.1) $\begin{equation}\label{2018.11.29}\eta^{-}_{0}(x)\equiv0\ \ \mbox{或} \ \ \eta^{-}_{0}(x)>0, \ \ \ \ \mbox{且} \ \ \eta^{+}_{0}(x)\equiv0 \ \ \mbox{或} \ \ \eta^{+}_{0}(x)>0.\end{equation}$

在$x<0$内,考虑初始值问题(1.3)并带有初始条件$(\theta^{-}_{0}(x), \eta^{-}_{0}(x))$,其中初始条件满足(3.1)式.当时间$t$非常小时,由古典理论可以得到上述初值问题的光滑解并记为$(\theta^{-}(x, t), $$\eta^{-}(x, t))$.在$x>0$内,考虑初始值问题(1.3)并带有初始条件$(\theta^{+}_{0}(x), \eta^{+}_{0}(x))$,其中该条件也满足(3.1)式.同样,我们得到上述问题的局部光滑解并记为$(\theta^{+}(x, t), $$\eta^{+}(x, t))$.由古典理论可知,局部时间范围内存在带形区域$D_{-}$和$D_{+}$,该区域内初值问题(1.3)和(1.4)的解分别是古典解$(\theta^{-}(x, t), \eta^{-}(x, t))$和$(\theta^{+}(x, t), \eta^{+}(x, t))$,如图 3.1所示.区域$D_{-}$的右边界为Ⅱ -特征线$: x=\alpha(t)$,它由下式确定

(3.2) $\begin{equation}\label{4.1} \left \{\begin{array}{ll}\eta^{-}(\alpha(t), t)=\hat{\eta}^{-}, \\[5pt]\displaystyle\frac{{\rm d}\alpha(t)}{{\rm d}t}=1+\displaystyle\frac{1}{(1+\hat{\eta}^{-})^{2}}.\end{array} \right.\end{equation}$

区域$D_{+}$的左边界是Ⅰ-左特征线$:x=\beta(t)$,它由下式确定

(3.3) $\begin{equation}\label{4.2} \left \{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{\eta^{+}(\beta(t), t)}{\theta^{+}(\beta(t), t)}=\frac{\hat{\eta}^{+}}{\hat{\theta}^{+}}, \\[9pt]\displaystyle\frac{{\rm d}\beta(t)}{{\rm d}t}=1+\displaystyle\frac{1}{1+\eta^{+}(\beta(t), t)}.\end{array} \right.\end{equation}$

接下来,我们求解广义黎曼问题(1.3)和(1.4)在特征线$ x=\alpha(t)$与特征线$x=\beta(t)$所围成区域的解.显然,局部时间范围内上述广义黎曼解依赖于相关的黎曼解.因此,我们分三种情况进行讨论.

情况Ⅰ $0<\hat{\eta}^{-}<\hat{\eta}^{+}$.当$0<\hat{\eta}^{-}<\hat{\eta}^{+}$时,相关黎曼问题(1.3)和(1.6)的解是后向激波$\overleftarrow S$紧跟着接触间断$J$.如图 3.2(a)所示, $ O\hat{A}_{1}:$$ x=(1+\frac{1}{(1+\hat{\eta}^-)(1+\hat{\eta}^+)})t$, $ O\hat{A}_{2}:$$ x=(1+\frac{1}{1+\hat{\eta}^+})t$和$(\hat{\theta}^{\ast}, \hat{\eta}^{\ast})=(\frac{\hat{\eta}^+\hat{\theta}^-}{\hat{\eta}^-}, \hat{\eta}^+)$.

我们希望广义黎曼问题(1.3)和(1.4)存在局部唯一解,并且该解与相关的黎曼问题(1.3)和(1.6)的解结构相似,即广义黎曼解有如图 3.2(b)所示的结构.这里$OA_{1} $是激波曲线和$O{A}_{2}$是接触间断曲线且它们都是自由边界.沿着激波曲线$x=x_{s}(t)$,我们有

(3.4) $ \begin{equation}\label{4.4} \frac{{\rm d}x_{s}(t)}{{\rm d}t}=1+\frac{1}{(1+{\eta}^-)(1+{\eta}^\ast)}, \end{equation} $

(3.5) $\begin{equation}\label{4.5} \theta^{-}\eta^{\ast}=\theta^{\ast}\eta^{-}. \end{equation} $

沿着接触间断曲线$x=x_{c}(t)$,我们有

(3.6) $\begin{equation}\label{4.6} \frac{{\rm d}x_{c}(t)}{{\rm d}t}=1+\frac{1}{1+{\eta}^\ast}, \end{equation}$

(3.7) $\begin{equation}\label{4.7} \eta^{\ast}=\eta^{+}. \end{equation} $

这里$(\theta^{\ast}(x, t), \eta^{\ast}(x, t))$是方程(1.3)和(1.4)在局部区域$\{(x, t)\mid x_{s}(t)< x< x_{c}(t), 0\leq t<\epsilon\}$的未知正则解.此外

(3.8) $\begin{equation}\label{4.3} (\theta^{\ast}(0, 0), \eta^{\ast}(0, 0))=(\hat{\theta}^{\ast}, \hat{\eta}^{\ast})=\displaystyle(\frac{\hat{\eta}^+\hat{\theta}^-}{\hat{\eta}^-}, \hat{\eta}^+), \end{equation}$

它由边界条件(3.5)和(3.7)唯一确定.广义黎曼问题(1.3)和(1.4)在区域$\{(x, t)\mid x\leq x_{s}(t), $$ 0\leq t<\epsilon\}$和$\{(x, t)\mid x\geq x_{c}(t), $$0\leq t<\epsilon\} $的解分别是$(\theta^{-}(x, t), \eta^{-}(x, t))$和$(\theta^{+}(x, t), \eta^{+}(x, t))$.

由于$(\theta^{-}(x, t), \eta^{-}(x, t))$和$(\theta^{+}(x, t), \eta^{+}(x, t))$是已知函数,解决上述广义黎曼问题等价于在扇形区域$\{(x, t)\mid x_{s}(t)< x< x_{c}(t), 0\leqt<\epsilon\}$ ($\epsilon>0$非常小)内解决带有边界条件(3.4)-(3.7)的自由边界问题(1.3).下面我们讨论上述自由边界问题.

定义3.1  对任意$n\times n$矩阵$M=(m_{ij})$,定义

$\parallel M \parallel=\max\limits_{j=1, \cdots, n}\sum\limits_{i=1}^n |m_{ij}|$

和$M$的最小特征数

$\parallel M\parallel_{\min}=\inf\{\parallel \gamma M \gamma^{-1}\parallel;\gamma={\rm diag}\{\gamma_{i}\}, \gamma_{i}\neq0, i=1, \cdots, n\}.$

为求解上述自由边界问题的最小特征数,我们引进变换

(3.9) $\begin{equation}\label{4.8}\left( \begin{array}{cc} \Theta^{*}(x, t) \\ \Xi^{*}(x, t) \\ \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} l_{2}(\hat{\theta}^{*}, \hat{\eta}^{*})\\ l_{1}(\hat{\theta}^{*}, \hat{\eta}^{*})\\ \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} \theta^{*}(x, t) \\ \eta^{*}(x, t) \\ \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ \hat{\eta}^{*} & -\hat{\theta}^{*} \\ \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} \theta^{*}(x, t) \\ \eta^{*}(x, t) \\ \end{array}\right).\end{equation}$

由此,边界条件(3.5)和(3.7)可以改写为

(3.10) $\begin{equation}\label{4.9} \Xi^{*}=\frac{(\theta^{-}\hat{\eta}^{\ast}-\eta^{-}\hat{\theta}^{\ast})\Theta^{*}}{\eta^{-}}\end{equation}$

和

(3.11) $\begin{equation}\label{4.10}\Theta^{*}= \eta^{+}.\end{equation}$

根据(3.10)和(3.11)式,我们求出自由边界问题的特征矩阵$M$(参见文献[7])

(3.12) $\begin{equation}\label{4.11}M=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0\\ \displaystyle\frac{\theta^{-}\hat{\eta}^{\ast}-\eta^{-}\hat{\theta}^{\ast}}{\eta^{-}} & 0\\ \end{array}\right).\end{equation}$

利用文献[6-7]局部存在唯一性定理,我们有如下引理.

引理3.1  假设(3.1)式成立.如果边界条件(3.4)-(3.7)满足以下条件

(Ⅰ.1) $\lambda_{2}({\theta}^{*}(x_{s}(t), t), {\eta}^{*}(x_{s}(t), t)) \leq \frac{{\rm d}x_{s}(t)}{{\rm d}t}$ ($t>0$足够小);

(Ⅰ.2) $\lambda_{1}({\theta}^{*}(x_{c}(t), t), {\eta}^{*}(x_{c}(t), t)) \geq \frac{{\rm d}x_{c}(t)}{{\rm d}t}$ ($t>0$足够小);

(Ⅰ.3) $ \frac{{\rm d}x_{s}(t)}{{\rm d}t}\big|_{t=0}<\lambda_{1}(\hat{\theta}^{*}, \hat{\eta}^{*})$;

(Ⅰ.4) $\frac{{\rm d}x_{s}(t)}{{\rm d}t}\big|_{t=0}< \frac{{\rm d}x_{c}(t)}{{\rm d}t}\big|_{t=0}$ (或$x_{s}(t)<x_{c}(t)$且$t>0$足够小);

(Ⅰ.5) $\parallel M\parallel_{\min}<1$,

那么自由边值问题(1.3)和(3.4)-(3.7)局部时间范围内存在唯一解.

接下来,我们需要验证边界条件(3.4)-(3.7)满足上述五个条件.由于$0<\hat{\eta}^{-}<\hat{\eta}^{+}$和(3.8)式,当时间$t$足够小时,我们有$\eta^{*}(x_{s}(t), t)>\eta^{-}(x_{s}(t), t)$,这意味着

$1+\displaystyle\frac{1}{(1+\eta^{*}(x_{s}(t), t)))^{2}}\leq \displaystyle 1+\frac{1}{(1+{\eta}^-(x_{s}(t), t))(1+{\eta}^\ast(x_{s}(t), t))}. $

结合(2.1)和(3.4)式,我们证明了条件(Ⅰ.1)成立.条件(Ⅰ.2)-(Ⅰ.4)的证明非常直接,证明过程省略.进一步地,简单的计算表明$\parallel M\parallel_{\min}=0<1$.根据上述结果,我们证明了带有边界条件(3.4)-(3.7)的自由边值问题(1.3)在扇形区域$\{(x, t)\mid x_{s}(t)< x< x_{c}(t), 0\leq t<\epsilon\}$内存在唯一的片段光滑解.

从而,我们证明了该情况下广义黎曼问题(1.3)和(1.4)在原点附近存在唯一的局部解,解如图 3.2(b)所示.对比广义黎曼解和相关的黎曼解,我们得到如下结论:原点附近,黎曼问题(1.3)的解关于黎曼初始值的$C^{1}$有界扰动是稳定地.

情况Ⅱ $\hat{\eta}^{-}=0<\hat{\eta}^{+}$.当$\hat{\eta}^{-}=0<\hat{\eta}^{+}$时,相关的黎曼解是Delta激波,通过它将左状态$(\hat{\theta}^{-}, \hat{\eta}^{-})$连接到右状态$(\hat{\theta}^{+}, \hat{\eta}^{+})$,如图 3.3(a)所示.下面我们研究这种情况下的广义黎曼问题,我们从定义开始.

定义3.2  函数对$(\theta, \eta)$被称为初值问题(1.3)和(1.4)的广义Delta激波解,如果存在光滑曲线$l=\{(x_{\delta}(t), t): 0\leq t<T\}$和权重$\omega(x, t)$,使得当$t\in[0, T)$时, $\theta$和$\eta$能表示成如下形式

(3.13) $\begin{equation}\label{2.7}\theta=U(x, t)+\omega(x, t)\delta(l), \ \ \ \ \ \ \ \eta=V(x, t), \end{equation}$

其中$\delta(x)$是Delta函数, $\omega\in C^{1}(l)$, $U, V\in L^{\infty}(\mathbb{R} \times[0, T);\mathbb{R} )$且满足

(3.14) $\begin{eqnarray}\label{2.8}&&\displaystyle\int_{0}^{T}\int_{-\infty}^{+\infty} \bigg(U\phi_{t}+\Big(U+\frac{U}{1+V}\Big)\phi_{x}\bigg){\rm d}x{\rm d}t+\int_{0}^{T}\omega(x_{\delta}(t), t)\frac{\partial\phi(x, t) }{\partial l}\sqrt{1+\sigma_{\delta}^{2}}{\rm d}t\\&&+\int_{-\infty}^{+\infty}\theta_{0}(x)\phi(x, 0){\rm d}x=0, \end{eqnarray}$

(3.15) $\begin{equation}\label{2.9} \displaystyle\int_{0}^{T}\int_{-\infty}^{+\infty} \bigg(V\phi_{t}+\Big(V+\frac{V}{1+V}\Big)\phi_{x}\bigg){\rm d}x{\rm d}t+\int_{-\infty}^{+\infty}\eta_{0}(x)\phi(x, 0){\rm d}x=0, \end{equation}$

这里对所有的测试函数$\phi\in C_{0}^{\infty}((-\infty, +\infty)\times[0, T))$成立. $\sigma_{\delta}$是曲线$l$的切线导数, $\frac{\partial\phi(x, t) }{\partial l}$代表函数$\phi$在曲线$l$上的切向导数.

局部时间$[0, T)$内,如果广义黎曼问题(1.3)和(1.4)的解也是Delta激波$\delta S$连接左状态$({\theta}^{-}, {\eta}^{-})$和右状态$({\theta}^{+}, {\eta}^{+})$.由上述定义,我们需要将($\theta$, $\eta$)写成如下形式

(3.16) $\begin{equation}\label{3.25}\theta=\theta^{+}+[\theta]H(-x+x_{\delta}(t))+\omega(x_{\delta}(t), t)\delta(l), \ \ \ \ \ \ \eta=\eta^{+}+[\eta]H(-x+x_{\delta}(t)).\end{equation}$

下文无特别注释,我们记$[\theta]=\theta^{-}-\theta^{+}$,其中$\theta^{-}$和$\theta^{+}$分别表示函数$\theta$在间断线$x=x_{\delta}(t)$$(x_{\delta}(0)=0)$左侧和右侧的值. $H(x)$是Heaviside函数,即当$x < 0$是它的值为$0$,而当$x > 0$时它的值为$1$. $\omega(x_{\delta}(t), t)$和$\sigma_{\delta}$分别表示Delta激波在曲线$l\triangleq \{(x_{\delta}(t), t): 0\leqslant t<T\}$的权和曲线的切线导数.它们满足

(3.17) $\begin{equation}\label{3.26}\left \{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{{\rm d}\sqrt{1+\sigma_{\delta}^{2}}\omega(x_{\delta}(t), t)}{{\rm d}t}=-\sigma_{\delta}[\theta]+\bigg[\bigg(1+\frac{1}{1+\eta}\bigg)\theta\bigg], \\\displaystyle -\sigma_{\delta}[\eta]+\bigg[\bigg(1+\frac{1}{1+\eta}\bigg)\eta\bigg]=0\end{array} \right.\end{equation}$

及初始条件$\sigma_{\delta}(0, 0)=1+\frac{1}{(1+\hat{\eta}^-)}$, $\omega(0, 0)=0$和${x_{\delta}}(0)=0$.由(3.17)式,我们得到Delta激波的传播速度

(3.18) $\begin{equation}\label{3.16} \displaystyle \sigma_{\delta}=1+\frac{1}{(1+{\eta}^-({x_{\delta}(t)}, {t}))(1+{\eta}^+({x_{\delta}(t)}, {t}))}.\end{equation}$

我们可以证明Delta激波解(3.16)在$[0, T)$分布意义上满足初始值问题(1.3)和(1.4),

即如以下引理.

引理3.2  假设(3.1)式成立, Delta激波解(3.16)分布意义上满足初始值问题(1.3)和(1.4).

证  由定义3.3,令

(3.19) $\begin{equation}\label{3.28} U(x, t)=\theta^{+}+[\theta]H(-x+x_{\delta}(t)), \ \ \ \ \ V(x, t)=\eta^{+}+[\eta]H(-x+x_{\delta}(t)). \end{equation}$

利用上式, Delta激波解(3.16)能够改写成如下形式

(3.20) $\begin{equation}\label{3.57}\theta=U(x, t)+\omega(x_{\delta}(t), t)\delta(l), \ \ \ \ \ \ \eta=V(x, t).\end{equation}$

接下来我们证明(3.20)式满足表达式3.14)和(3.15).

对任意测试函数$\phi\in C_{0}^{\infty}((-\infty, +\infty)\times[0, T))$,我们将(3.20)式代入表达式(3.14)左边有

$\begin{eqnarray*}&&\int_{0}^{T}\int_{-\infty}^{+\infty} \bigg(U\phi_{t}+\Big(U+\frac{U}{1+V}\Big)\phi_{x}\bigg){\rm d}x{\rm d}t+\int_{0}^{T}\omega(x_{\delta}(t), t)\frac{\partial\phi(x, t) }{\partial l}\sqrt{1+\sigma_{\delta}^{2}}{\rm d}t\\&&+\int_{0}^{+\infty}\theta_{0}(x)\phi(x, 0){\rm d}x\\&=&\int^{T}_{0}\int^{x_{\delta}(t)}_{-\infty}(\theta^{-}\phi_{t}+\Big(\theta^{-}+\frac{\theta^{-}}{1+\eta^{-}}\Big)\phi_{x}){\rm d}x{\rm d}t\\&&+\int^{T}_{0}\int^{+\infty}_{x_{\delta}(t)}(\theta^{+}\phi_{t}+\Big(\theta^{+}+\frac{\theta^{+}}{1+\eta^{+}}\Big)\phi_{x}){\rm d}x{\rm d}t \\&&+\int_{0}^{T}\omega(x_{\delta}(t), t)\frac{\partial\phi(x, t) }{\partial l}\sqrt{1+\sigma_{\delta}^{2}}{\rm d}t+\int_{0}^{+\infty}\theta_{0}(x)\phi(x, 0){\rm d}x.\end{eqnarray*}$

由于$(\theta^{-}, \eta^{-})$是带有初始条件$(\theta^{-}_{0}(x), \eta^{-}_{0}(x))$的初值问题(1.3)在区域$D_{-}$上的$C^{1}$解,利用散度定理有

$\begin{eqnarray*}&&\displaystyle\int^{T}_{0}\int^{x_{\delta}(t)}_{-\infty}(\theta^{-}\phi_{t}+\Big(\theta^{-}+\frac{\theta^{-}}{1+\eta^{-}}\Big)\phi_{x}){\rm d}x{\rm d}t\\&=&\int^{T}_{0}\int^{x_{\delta}(t)}_{-\infty}((\theta^{-}\phi)_{t}+(\Big(\theta^{-}+\frac{\theta^{-}}{1+\eta^{-}}\Big)\phi)_{x}){\rm d}x{\rm d}t\\&=&-\int^{0}_{-\infty}\theta^{-}_{0}(x)\phi(x, 0){\rm d}x+\int^{T}_{0}\phi(x_{\delta}(t), t)(-\theta^{-}(x_{\delta}(t), t)\sigma_{\delta}(x_{\delta}(t), t)\\&&+\theta^{-}(x_{\delta}(t), t)+\frac{\theta^{-}(x_{\delta}(t), t)}{1+\eta^{-}(x_{\delta}(t), t)}){\rm d}t.\end{eqnarray*}$

类似地,由于$(\theta^{+}, \eta^{+})$是带有初始条件$(\theta^{+}_{0}(x), \eta^{+}_{0}(x))$的初值问题(1.3)在区域$D_{+}$的$C^{1}$解,我们可以证明

$\begin{eqnarray*}&&\displaystyle\int^{T}_{0}\int^{+\infty}_{ x_{\delta}(t)}(\theta^{+}\phi_{t}+\Big(\theta^{+}+\frac{\theta^{+}}{1+\eta^{+}}\Big)\phi_{x}){\rm d}x{\rm d}t\\&=&\int^{T}_{0}\int^{+\infty}_{ x_{\delta}(t)}(\theta^{+}\phi)_{t}+(\Big(\theta^{+}+\frac{\theta^{+}}{1+\eta^{+}}\Big)\phi)_{x}{\rm d}x{\rm d}t\\&=&-\int^{+\infty}_{0}\theta^{+}_{0}(x)\phi(x, 0){\rm d}x-\int^{T}_{0}\phi(x_{\delta}(t), t)(-\theta^{+}(x_{\delta}(t), t)\sigma_{\delta}(x_{\delta}(t), t)\\&&+\theta^{+}(x_{\delta}(t), t)+\frac{\theta^{+}(x_{\delta}(t), t)}{1+\eta^{+}(x_{\delta}(t), t)}){\rm d}t.\end{eqnarray*}$

结合上面两式,最后得到

$\begin{eqnarray*}&&\displaystyle\int_{0}^{T}\int_{-\infty}^{+\infty} \bigg(U\phi_{t}+\Big(U+\frac{U}{1+V}\Big)\phi_{x}\bigg){\rm d}x{\rm d}t+\int_{0}^{T}\omega(x_{\delta}(t), t)\frac{\partial\phi(x, t) }{\partial l}\sqrt{1+\sigma_{\delta}^{2}}{\rm d}t\\&&+\int_{-\infty}^{+\infty}\theta_{0}(x)\phi(x, 0){\rm d}x \\&=&-\int^{+\infty}_{-\infty}\theta_{0}(x)\phi(x, 0){\rm d}x+\int^{T}_{0}\phi(x_{\delta}(t), t)([\theta+\frac{\theta}{1+\eta}]-[\theta]\sigma_{\delta}){\rm d}t\\&&+\int_{0}^{T}\omega(x_{\delta}(t), t)\frac{\partial\phi(x, t) }{\partial l}\sqrt{1+\sigma_{\delta}^{2}}{\rm d}t+\int_{-\infty}^{+\infty}\theta_{0}(x)\phi(x, 0){\rm d}x\\&=&\int^{T}_{0}\phi(x_{\delta}(t), t)([\theta+\frac{\theta}{1+\eta}]-[\theta]\sigma_{\delta}){\rm d}t+\int_{0}^{T}\omega(x_{\delta}(t), t)\frac{\partial\phi(x, t) }{\partial l}\sqrt{1+\sigma_{\delta}^{2}}{\rm d}t\\&=&\int^{T}_{0}\phi(x_{\delta}(t), t)([\theta+\frac{\theta}{1+\eta}]-[\theta]\sigma_{\delta}){\rm d}t+\int_{0}^{T}\omega(x_{\delta}(t), t)\sqrt{1+\sigma_{\delta}^{2}}{\rm d}\phi(x_{\delta}(t), t)\\&=&\int^{T}_{0}\phi(x_{\delta}(t), t)([\theta+\frac{\theta}{1+\eta}]-[\theta]\sigma_{\delta}){\rm d}t+\omega(x_{\delta}(t), t)\sqrt{1+\sigma_{\delta}^{2}}\phi(x_{\delta}(t), t)\Big|_{t=0}^{t=T}\\&&-\int_{0}^{T}\phi {\rm d}(\sqrt{1+\sigma_{\delta}^{2}}\omega(x_{\delta}(t), t))\\&=&\int^{T}_{0}\phi(x_{\delta}(t), t)([\theta+\frac{\theta}{1+\eta}]-[\theta]\sigma_{\delta}){\rm d}t-\int_{0}^{T}\phi {\rm d}(\sqrt{1+\sigma_{\delta}^{2}}\omega(x_{\delta}(t), t)).\end{eqnarray*}$

再利用(3.17)式,我们有

$\int^{T}_{0}\phi(x_{\delta}(t), t)([\theta+\frac{\theta}{1+\eta}]-[\theta]\sigma_{\delta}){\rm d}t-\int_{0}^{T}\phi {\rm d}(\sqrt{1+\sigma_{\delta}^{2}}\omega(x_{\delta}(t), t))=0.$

上式表明(3.14)成立.

将表达式(3.20)代入方程(3.15)的左边,类似上面的讨论有

$\begin{eqnarray*}& &\displaystyle\int_{0}^{T}\int_{-\infty}^{+\infty} \bigg(V\phi_{t}+\Big(V+\frac{V}{1+V}\Big)\phi_{x}\bigg){\rm d}x{\rm d}t+\int_{-\infty}^{+\infty}\eta_{0}(x)\phi(x, 0){\rm d}x\\ & =&\int^{T}_{0}\int^{x_{\delta}(t)}_{-\infty}(\eta^{-}\phi_{t}+\Big(\eta^{-}+\frac{\eta^{-}}{1+\eta^{-}} \Big)\phi_{x}\bigg){\rm d}x{\rm d}t\\ &&+\int^{T}_{0}\int^{+\infty}_{x_{\delta}(t)}(\eta^{+}\phi_{t}+\Big(\eta^{+}+ \frac{\eta^{+}}{1+\eta^{+}}\Big)\phi_{x}\bigg){\rm d}x{\rm d}t+\int_{-\infty}^{+\infty}\eta_{0}(x)\phi(x, 0){\rm d}x\\ &=&-\int^{+\infty}_{-\infty}\eta_{0}(x)\phi(x, 0){\rm d}x+\int^{T}_{0}\phi(x_{\delta}(t), t)([\eta+\frac{\eta}{1+\eta}]-[\eta]\sigma_{\delta}){\rm d}t+\int_{-\infty}^{+\infty}\eta_{0}(x)\phi(x, 0){\rm d}x\\ &=&\int^{T}_{0}\phi(x_{\delta}(t), t)([\eta+\frac{\eta}{1+\eta}]-[\eta]\sigma_{\delta}){\rm d}t.\end{eqnarray*}$

同样由于(3.17)式,我们有

$\int^{T}_{0}\phi(x_{\delta}(t), t)([\eta+\frac{\eta}{1+\eta}]-[\eta]\sigma_{\delta}){\rm d}t=0, $

因此(3.15)式成立.综上讨论我们证明了局部时间范围内方程(3.16)分布意义上满足初始值问题(1.3)和(1.4).

为保证解的唯一性, Delta激波解在间断线上应满足熵条件,即间断线两侧的四条特征线都是非出地.下面我们给出一个非常重要的定义.

定义3.3  如果间断线上$x=x_{\delta}(t)$,

(3.21) $\begin{equation}\label{3.20}\displaystyle\lambda_{2}(\theta^{+}, \eta^{+})\leq\lambda_{1}(\theta^{+}, \eta^{+})\leq\frac{{\rm d}x_{\delta}(t)}{{\rm d}t}\leq\lambda_{1}(\theta^{-}, \eta^{-})\leq\lambda_{2}(\theta^{-}, \eta^{-})\end{equation}$

成立,激波解(3.16)称为在$[0, T)$内是可容许地.

下面我们需要检验熵条件(3.21)在间断线$x=x_{\delta}(t)$是否成立.如图 3.3(b)所示,过Delta激波曲线$x=x_{\delta}(t)$上的任意一点$(\tilde{x}, \tilde{t} )$向左下方(类似的右下方)作第Ⅱ -特征线,记为$x=\alpha^{-}(t)$ (对应地记为$x=\alpha^{+}(t)$).由于$\hat{\eta}^{-}=0<\hat{\eta}^{+}$,则存在非常小的常数$\delta^{-}>0$和$\delta^{+}>0$使得对任意的$x^{-}_{0}\in(-\delta^{-}, 0]$和$x^{+}_{0}\in[0, -\delta^{+})$, $C^{1}$函数$\eta^{-}_{0}(x)$和$\eta^{+}_{0}(x)$满足

(3.22) $\begin{equation}\label{4.14} 0\leq\eta^{-}_{0}(x^{-}_{0})<\eta^{+}_{0}(x^{+}_{0}). \end{equation} $

此外,当时间$\tilde{t}$足够小时,从点$(\tilde{x}, \tilde{t} )$发射出的第Ⅱ -特征线$x=\alpha^{-}(t)$ (对应的$x=\alpha^{+}(t)$)将会与初始轴$t=0$交于点$(\tilde{x}^{-}_{0}, 0)$(对应的$(\tilde{x}^{+}_{0}, 0)$)且$\tilde{x}^{-}_{0}>-\delta^{-}$ (对应的$\tilde{x}^{+}_{0}<\delta^{+}$).由于黎曼不变量$\zeta(\theta, \eta)=\eta$沿着第Ⅱ -特征线是常数,我们有

(3.23) $ \begin{equation}\label{4.15} \zeta(\theta^{-}(\alpha^{-}(t), t), \eta^{-}(\alpha^{-}(t), t))=\eta^{-}(\alpha^{-}(t), t)=\eta^{-}(\tilde{x}, \tilde{t})=\zeta(\theta_{0}^{-}(\tilde{x}^{-}_{0}), \eta_{0}^{-}(\tilde{x}^{-}_{0}))=\eta_{0}^{-}(\tilde{x}^{-}_{0}) \end{equation} $

和

(3.24) $\begin{equation}\label{4.16} \zeta(\theta^{+}(\alpha^{+}(t), t), \eta^{+}(\alpha^{+}(t), t))=\eta^{+}(\alpha^{+}(t), t)=\eta^{+}(\tilde{x}, \tilde{t})=\zeta(\theta_{0}^{+}(\tilde{x}^{+}_{0}), \eta_{0}^{+}(\tilde{x}^{+}_{0}))=\eta_{0}^{+}(\tilde{x}^{+}_{0}).\end{equation}$

根据Rankine-Hugoniot条件,再结合(3.23)和(3.24)式,我们求出了Delta激波曲线$x=x_{\delta}(t)$任意点$(\tilde{x}, \tilde{t} )$处的传播速度

(3.25) $\begin{eqnarray}\label{4.17} \sigma_{\delta}(\tilde{x}, \tilde{t}) \triangleq \frac{{\rm d}x_{\delta}(t)}{{\rm d}t}\Big|_{(\tilde{x}, \tilde{t})}&=&1+\frac{1}{(1+{\eta}^-(\tilde{x}, \tilde{t}))(1+{\eta}^+(\tilde{x}, \tilde{t}))} \\&=&1+\frac{1}{(1+\eta_{0}^{-}(\tilde{x}^{-}_{0}))(1+\eta_{0}^{+}(\tilde{x}^{+}_{0}))}. \end{eqnarray}$

最后,曲线$x=x_{\delta}(t)$任意点$(\tilde{x}, \tilde{t} )$处,下面重要不等式成立

(3.26) $\begin{equation}\label{4.18} \lambda_{1}(\theta^{+}(\tilde{x}, \tilde{t}), \eta^{+}(\tilde{x}, \tilde{t}))=1+\frac{1}{1+\eta_{0}^{+}(\tilde{x}^{+}_{0})}\geq\sigma_{\delta}(\tilde{x}, \tilde{t}). \end{equation}$

对比上述不等式和熵条件(3.21), Delta激波解(3.16)满足(3.21)式当且仅当表达式(3.26)中的等号成立.根据不等式(3.26),我们分如下两种子情况进行讨论: $\eta_{0}^{-}(x)\equiv0$和$\eta_{0}^{-}(x)>0$.首先讨论子情况$\eta_{0}^{-}(x)\equiv0$.

引理3.3  假设(3.1)式成立.当$\hat{\eta}^{-}=0<\hat{\eta}^{+}$且$\eta_{0}^{-}(x)\equiv0$的情况下,广义黎曼问题(1.3)和(1.4)局部时间范围内存在可容许的Delta激波解,并且该可容许解与相关的黎曼问题(1.3)、(1.6)的解结构相似(详见图 3.3).

证  将$\eta_{0}^{-}(x)\equiv0$代入表达式(3.25),由(3.26)式,我们得到

$\begin{eqnarray*} \displaystyle\lambda_{2}(\theta^{+}(\tilde{x}, \tilde{t}), \eta^{+}(\tilde{x}, \tilde{t})) &=& 1+\frac{1}{(1+\eta_{0}^{+}(\tilde{x}^{+}_{0}))^2} \leq \lambda_{1}(\theta^{+}(\tilde{x}, \tilde{t}), \eta^{+}(\tilde{x}, \tilde{t}))=1+\frac{1}{1+\eta_{0}^{+}(\tilde{x}^{+}_{0})} \\ &=& \sigma_{\delta}(\tilde{x}, \tilde{t}) \leq\lambda_{1}(\theta^{-}(\tilde{x}, \tilde{t}), \eta^{-}(\tilde{x}, \tilde{t}))=2=\lambda_{2}(\theta^{-}(\tilde{x}, \tilde{t}), \eta^{-}(\tilde{x}, \tilde{t})), \end{eqnarray*} $

这说明熵条件(3.21)在曲线$x=x_{\delta}(t)$上任意点$(\tilde{x}, \tilde{t} )$成立.此外,根据引理3.2,我们知道Delta激波解(3.16)分布意义上满足(1.3)和(1.4)式.因此,在足够窄的带形区域$0<t<\epsilon$（其中时间$\epsilon>0$非常小）内,广义黎曼解是可容许的Delta激波,它连接左状态$({\theta}^{-}, {\eta}^{-})$和右状态$({\theta}^{+}, {\eta}^{+})$.此外,广义黎曼问题(1.3)和(1.4)的解与相关黎曼问题的解非常相似.

考虑第二种子情况,即假设$\eta_{0}^{-}(x)>0$成立.由于(3.25)和(3.26)式,我们得到

(3.27) $\begin{equation}\label{5.1'}1+\frac{1}{1+\eta_{0}^{+}(\tilde{x}^{+}_{0})}=\lambda_{1}(\theta^{+}(\tilde{x}, \tilde{t}), \eta^{+}(\tilde{x}, \tilde{t}))>\sigma_{\delta}(\tilde{x}, \tilde{t})=1+\frac{1}{(1+\eta_{0}^{-}(\tilde{x}^{-}_{0}))(1+\eta_{0}^{+}(\tilde{x}^{+}_{0}))}.\end{equation}$

不等式(3.27)说明熵条件(3.21)在曲线$x=x_{\delta}(t)$上不成立.因此,子情况$\eta_{0}^{-}(x)>0$下,问题(1.3)和(1.4)的广义黎曼解不是可容许的Delta激波.

子情况$\eta_{0}^{-}(x)>0$时,我们猜测广义黎曼解解的结构如图 3.3(c)所示.换句话说, Delta激波转变成激波和接触间断的组合,它不再有图 3.3(b)的结构.这里激波$x=x_{s}(t)$和接触间断$x=x_{c}(t)$分别满足边界条件(3.4)-(3.5)和(3.6)-(3.7),中间状态$(\theta^{\ast}(x, t), \eta^{\ast}(x, t))$是方程(1.3)未知正则解.下面我们证明广义黎曼问题(1.3)和(1.4)具有所猜测的解结构.

根据文献[6-7],扇形区域$\{(x, t)\mid x_{s}(t)< x< x_{c}(t), 0\leq t<\epsilon\}$$(\epsilon>0$非常小)内,上述广义黎曼问题等价于自由边界问题(1.3)和(3.4)-(3.7),我们转向研究上述自由边界问题的适定性.与情况Ⅱ不同,我们不再有(3.8)式,这种子情况下我们有

(3.28) $ \begin{equation}\label{4.19} \displaystyle\lim \limits_{(x, t)\to (0, 0)}\theta^{\ast}(x, t)=\hat{\theta}^{\ast}=+\infty, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \displaystyle\lim \limits_{(x, t)\to (0, 0)}\eta^{\ast}(x, t)=\hat{\eta}^{\ast}=\hat{\eta}^{+}. \end{equation} $

该子情况的自由边界问题的讨论与情况Ⅰ非常类似,我们需要验证它满足引理3.1中的五个条件.由于$\hat{\eta}^{-}=0<\hat{\eta}^{+}$和(3.28)式,对于足够小的时间$t$,我们仍然有$\eta^{*}(x_{s}(t), t)>\eta^{-}(x_{s}(t), t)$,即条件(Ⅰ.1)成立.简单的计算可以证明条件(Ⅰ.2)和(Ⅰ.3)成立.对于条件(Ⅰ.4),由于(3.4)和(3.6)式,我们有

(3.29) $ \begin{equation}\label{3.27} \frac{{\rm d}x_{s}(t)}{{\rm d}t}<\frac{{\rm d}x_{c}(t)}{{\rm d}t}, \end{equation} $

这里$0<t<\epsilon$ ($\epsilon>0$足够小).结合表达式(3.29)和

$ x_{s}(0)=x_{c}(0)=0, $$ $$ \frac{{\rm d}x_{s}(t)}{{\rm d}t}\Big|_{t=0}=\frac{{\rm d}x_{c}(t)}{{\rm d}t}\Big|_{t=0}=1+\frac{1}{1+{\hat{\eta}}^\ast}, $

我们有

$x_{s}(t)<x_{c}(t), $

这里$0<t<\epsilon$ ($\epsilon>0$足够小).上述自由边界问题的特征矩阵也是(3.12)式,由于$\parallel M\parallel_{\min}=0<1$,条件(Ⅰ.5)成立.根据引理3.1,上述自由边界值问题存在唯一的局部分段$C^{1}$解,如图 3.3(c)所示.我们得到如下结论.

引理3.4  假设(3.1)式成立.当$\hat{\eta}^{-}=0<\hat{\eta}^{+}$且$\eta_{0}^{-}(x)>0$时,广义黎曼问题(1.3)和(1.4)存在局部时间范围的唯一解,它由激波和接触间断组合而成.相关的黎曼解是Delta激波(如图 3.3(c)),广义黎曼解和相关黎曼问题(1.3)和(1.6)的解显然不同.

情况Ⅲ $\hat{\eta}^{-}>\hat{\eta}^{+}$.}当$\hat{\eta}^{-}>\hat{\eta}^{+}$时,相关的黎曼问题(1.3)的解是第Ⅱ -中心简单波紧跟着第Ⅰ -接触间断;详见图 3.4(a).这里$O\hat{A}_{1}$是第Ⅱ -特征线定义为$x=(1+\frac{1}{(1+\hat{\eta}^{-})^{2}})t$, $O\hat{A}_{2}$是第$Ⅰ$-接触间断线定义为$x=(1+\frac{1}{1+\hat{\eta}^+})t$.根据(2.8)式,我们有$(\hat{\theta}^{\ast}, \hat{\eta}^{\ast})=(\frac{\hat{\eta}^+\hat{\theta}^-}{\hat{\eta}^-}, \hat{\eta}^+)$.

对于广义黎曼问题(1.3)和(1.4),我们猜测它的解与相关的黎曼解有类似的结构,如图 3.4(b).这里$OA_{1}:x=x_{\alpha}(t)$实质上是已知的最左特征曲线,在其上有

(3.30) $\begin{equation}\label{4.21} \frac{{\rm d}x_{\alpha}(t)}{{\rm d}t}=1+\frac{1}{(1+\eta^{\ast})^{2}}, \end{equation}$

(3.31) $\begin{equation}\label{4.22} \eta^{\ast}={\eta}^{-}. \end{equation} $

$OA_{2}: x=x_{c}(t)$是接触间断曲线,其上(3.6)和(3.7)式成立.中间状态$(\theta^{\ast}(x, t), \eta^{\ast}(x, t))$是问题(1.3)和(1.4)在局部区域$\{(x, t)\mid x_{\alpha}(t)< x< x_{c}(t), 0\leq t<\epsilon\}$上的未知正则解.下面我们需要考虑满足边界条件(3.6)-(3.7)和(3.30)-(3.31)的自由边界问题(1.3).引进变换(3.9),其中$(\theta^{\ast}(0, 0), \eta^{\ast}(0, 0))=(\hat{\theta}^{\ast}, \hat{\eta}^{\ast})=(\frac{\hat{\eta}^+\hat{\theta}^-}{\hat{\eta}^-}, \hat{\eta}^+)$.利用该变换,曲线$x=x_{c}(t)$上的边界条件(3.7)也可写成表达式(3.11),而曲线$x=x_{\alpha}(t)$上的边界条件(3.31)则写成如下形式

(3.32) $ \begin{equation}\label{4.23} \Xi^{*}=\theta^{-}(x_{\alpha}(t), t)\hat{\eta}^{\ast}-\eta^{-}(x_{\alpha}(t), t)\hat{\theta}^{\ast}, \end{equation} $

其中上式右边是关于时间$t$的已知函数.根据(3.11)和(3.32)式,本情况对应的自由边界值问题的特征矩阵是

(3.33) $\begin{equation}\label{4.24}M=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0\\ \end{array}\right), \end{equation}$

它的表达形式非常简单.

基于上面讨论并根据文献[6-7]的局部存在唯一性定理,我们得到如下引理.

引理3.5   假设(3.1)式成立.如果边界条件(3.6), (3.7), (3.30)和(3.31)满足下面条件

(Ⅲ.1) $\lambda_{2}({\theta}^{*}(x_{\alpha}(t), t), {\eta}^{*}(x_{\alpha}(t), t)) \leq \frac{{\rm d}x_{\alpha}(t)}{{\rm d}t}$ ($t>0$足够小);

(Ⅲ.2) $\lambda_{1}({\theta}^{*}(x_{c}(t), t), {\eta}^{*}(x_{c}(t), t)) \geq \frac{{\rm d}x_{c}(t)}{{\rm d}t}$ ($t>0$足够小);

(Ⅲ.3) $ \frac{{\rm d}x_{\alpha}(t)}{{\rm d}t}\big|_{t=0}<\lambda_{1}(\hat{\theta}^{*}, \hat{\eta}^{*})$;

(Ⅲ.4) $ \frac{{\rm d}x_{\alpha}(t)}{{\rm d}t}\big|_{t=0}<\frac{{\rm d}x_{c}(t)}{{\rm d}t}\big|_{t=0}$ (或$x_{\alpha}(t)<x_{c}(t)$$t>0$足够小);

(Ⅲ.5) $\parallel M\parallel_{\min}<1$.

那么带有上述边界条件的自由边界值问题(1.3)存在局部(时间)唯一解.

我们需要检验边界条件(3.6), (3.7), (3.30)和(3.31)是否满足引理3.5.直接计算,我们可以验证条件(Ⅲ.1)-(Ⅲ.4)成立.自由边界问题对应的最小特征数$\parallel M\parallel_{\min} =0<1$,从而条件(Ⅲ.5)也成立.根据引理3.5,我们证得广义黎曼问题在原点附近存在唯一的局部解,该解类似图 3.4(b)所示.此情况,在原点附近,黎曼问题(1.3)的解关于黎曼初始数据(1.6)的有界$C^{1}$扰动后是稳定地.

综上情况Ⅰ-Ⅲ,我们完成了广义黎曼问题(1.3)和(1.4)的讨论,并将主要结果总结如下.

定理3.1  假设(3.1)成立.如果时间$t$非常小,那么对任意波强度$\parallel(\hat{\theta}^{+}, \hat{\eta}^{+})- (\hat{\theta}^{-}, \hat{\eta}^{-})\parallel$,广义黎曼问题(1.3)和(1.4)在$x-t$平面内存在局部唯一解.除情况Ⅱ: $\hat{\eta}^{-}=0<\hat{\eta}^{+}$外,该广义黎曼解与相应黎曼问题(1.3)和(1.6)的解结构相似.但当$\eta_{0}^{-}(x)>0$时,广义黎曼解是激波和接触间断的组合,它显然不同于相关的黎曼解.