有借贷利率的风险模型可以表示为下面微分方程的解

(1.1) $ \begin{equation} {\rm d}X_t = c(X_t){\rm d}t-{\rm d}S(t), \ \ t\geq0, \end{equation} $

其中, $ X_0 = x $是初始盈余, $ c(x) $是单位时间内的保费.当$ x\geq 0 $时, $ c(x) = c $; $ x<0 $时, $ c(x) = \delta x+c $, $ \delta>0 $是借贷利率. $ S(t) = \sum\limits_{i = 1}^{N(t)}Y_i $是截止到时刻$ t $的索赔总额, $ \{N(t);\ t\geq0\} $是参数为$ \lambda $的泊松过程,代表了截止到时间$ t $为止发生的索赔次数.独立同分布的随机变量序列$ Y_i, \ i = 1, 2, \cdots, $是索赔量并且与$ N(t) $独立. $ -\frac{c}{\delta} $就是模型(1.1)的绝对破产界线,即当盈余过程低于$ -\frac{c}{\delta} $时,绝对破产发生.

绝对破产模型是一个比较切合实际的风险模型,它表示当盈余水平为负时,保险公司可以通过向银行贷款等融资手段来维持保险公司的继续运营.到目前为止绝对破产模型受到了较为广泛的关注.例如,文献[1]用鞅的方法研究了经典绝对破产模型下的绝对破产概率.文献[2]利用逐段决定马尔科夫过程的强马氏性推导出了在经典风险模型下绝对破产概率的一个明确表达式.文献[3]得到了带利率的经典风险模型的总负盈余持续时间的Laplace变换.

分红问题是保险精算的主要课题之一.经典的障碍分红是指盈余到达某个给定的分红水平$ b(>0) $时所有超过$ b $的盈余就立即被当作红利分给股东了.但是,现实中,一方面保险公司对盈余的监测不是连续的:另一方面保险公司在监测到盈余达到分红水平时分红是不可能立即发生的,从监测到可以分红到分红的执行是有时间延迟的.鉴于上述原因,文献[4]首次提出了有Parisian延迟的障碍分红.与经典的障碍分红不同的是Parisian延迟分红是盈余过程连续保持在分红水平$ b $上的时间超过给定时间$ d(>0) $时分红才能发生,分红量是此时超过$ b $水平的所有盈余.文献[4]研究了Parisian延迟分红策略下经典风险模型中的最优分红问题.文献[5]研究了带漂移的布朗运动风险模型的最优Parisian延迟分红问题,并得到了延迟时间越长,最优障碍分红界限越小的结论.文献[6]研究了谱负Lévy风险模型的Parisian延迟分红问题.文献[7]研究了有周期性分红的复合二项对偶模型的最优分红问题。

本文结构如下:第二部分是模型介绍,第三部分用分割游程的方法得到了有借贷利率的经典模型的折现Parisian延迟分红的表达式.

本文我们研究绝对破产模型(1.1)的Parisian延迟分红问题.令$ Y_t $表示有Parisian分红修正之后的盈余过程,显然在两次分红之间过程$ Y_t $与从$ b $出发的$ X_t $有相同的分布规律.

对于$ b>0, $令

$\tau_0 = \inf\{t\geq0\mid Y_t = b\}, $

$ g_{b, t} = \sup\{s\leq t\mid Y_s\leq b\}, g_{0, t} = \sup\{s\leq t\mid Y_s\leq 0\} $且$ \sup\{\varnothing\} = 0. $

假设$ d>0, $令

(2.1) $ \begin{equation} \tau_i = \inf\{t>\tau_{i-1}\mid I_{\{Y_t>b\}}(t-g_{b, t})\geq d\}, \ \ i = 1, 2, \cdots \end{equation} $

表示$ Y_t $第$ i $次在$ b $水平之上的游程长度达到$ d $的一系列停时(如图 1),也是第$ i $次的分红时间.

由以上定义,当$ t \in (\tau_{i-1}, \tau_i) $时,修正的盈余过程$ Y_t $就可以表示为(如图 2)

(2.2) $ \begin{equation} {\rm d}Y_t = \left\{\begin{array}{ll} c{\rm d}t-{\rm d}S(t), & Y_t \geq 0, \\ (c+\delta Y_t){\rm d}t-{\rm d}S(t), \quad & -\frac{c}{\delta}<Y_t< 0, \end{array}\right. \end{equation} $

且$ Y_{\tau_i} = b. $

过程$ Y_t $的绝对破产时间为

$T^\star = \inf\Big\{{t>0\mid Y_t\leq-\frac{c}{\delta}}\Big\}. $

绝对破产前总分红支出为

$V(x, b) = \sum\limits_{i = 1}^{+\infty}e^{-r\tau_{i}}(Y_{\tau_i-}-b) I_{\{ \inf\limits_{0\leq t\leq\tau_i}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}, $

其中$ r>0 $是折现因子.我们的目标就是得到$ E[V(x, b)] $.

为了得到预期结果,我们需要借助以下引理.

引理2.1^[8]   令$ \widetilde{V}(x, b) $表示初始盈余为$ x $,分红水平为$ b $的经典分红函数.在索赔量服从参数为$ \alpha $的指数分布的情况下,有借贷利率的经典模型的折现分红值为

(2.3) $ \begin{equation} \widetilde{V}(x, b) = \frac{[h'(0)-\beta_2h(0)]e^{\beta_1x}-[h'(0)-\beta_1h(0)]e^{\beta_2x}}{\beta_1e^{\beta_1b} [h'(0)-\beta_2h(0)]-\beta_2e^{\beta_2b}[h'(0)-\beta_1h(0)]}, \ \ 0\leq x\leq b, \end{equation} $

其中

(2.4) $ \begin{equation} \beta_1 = \frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}, \end{equation} $

(2.5) $ \begin{equation} \beta_2 = \frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}, \end{equation} $

分别是方程

$\beta^2+\bigg(\frac{1}{\alpha}-\lambda+\frac{r}{c}\bigg)\beta+\frac{-r}{\alpha c} = 0 $

的两个实根.而

(2.6) $ \begin{eqnarray} h'(0)& = &\alpha\left(\frac{c}{\delta\alpha}\right)^\frac{\lambda+r}{\delta}e^{-\frac{c}{\delta\alpha}} \bigg[\frac{(\lambda+r)\alpha-c}{c}M\left(1+\frac{c}{\delta}, 1+\frac{\lambda+r}{\delta};\frac{c}{\delta\alpha}\right) \\ && +\frac{r+\delta}{\lambda+r+\delta}M\left(2+\frac{c}{\delta}, 2+\frac{\lambda+r}{\delta};\frac{c}{\delta\alpha}\right)\bigg], \end{eqnarray} $

(2.7) $ \begin{equation} h(0) = \left(\frac{c}{\delta\alpha}\right)^\frac{\lambda+\alpha}{\delta}e^{-\frac{c}{\delta\alpha}} M\left(1+\frac{c}{\delta}, 1+\frac{\lambda+r}{\delta};\frac{c}{\delta\alpha}\right), \end{equation} $

其中, $ M(l_1, l_2;y) $是第一类汇合超几何分布函数.

引理2.2^[9]   在索赔量服从参数为$ \alpha $的指数分布的情况下

(1)初值为$ x $的经典盈余过程破产时间的Laplace变换为

(2.8) $ \begin{equation} \widetilde{f}_x^1(r) = E[e^{-r T}I_{\{T<\infty\}}|X_0 = x] = \phi e^{-\alpha(1-\phi)x}, \ \ x\geq0, \end{equation} $

其中

$\phi = \frac{\alpha}{(\alpha+\rho)(1+\theta)}, $

$ \theta>0 $是相对安全负荷,

$\rho = \frac{\lambda+r-c\alpha+\sqrt{(\lambda+r-c\alpha)^2+4r c \alpha}}{2c}. $

(2)破产时间的密度函数为

(2.9) $ \begin{equation} g(t) = \frac{\sqrt{1+\theta }e^{{\frac{-x\mu}{1+\theta}}}e^{{-2\lambda(2+\theta)t}}}{t}\sum\limits_{n = 0}^\infty\frac{(n+1)\left(\frac{\mu x}{\sqrt{1+\theta}}\right)^nI_{n+1}\left(2\lambda t\sqrt{1+\theta}\right)}{n!}, \ \ t>0, \end{equation} $

其中

$I_{n+1}(y) = \sum\limits_{k = 0}^{+\infty} \frac{(\frac{y}{2})^{2k+n+1}}{k!(k+n+1)!} $

是$ n+1 $阶第一类修正Bessel函数.

引理2.3^[3]   在索赔量服从参数为$ \alpha $的指数分布的情况下,绝对破产下经典风险模型的负盈余持续时间$ W $的Laplace变换为

(2.10) $ \begin{equation} \widetilde{f}^2(r) = E[e^{-rW}] = \frac{\alpha\delta\int_0^\frac{c}{\delta}(\frac{c}{\delta}-y)^\frac{r}{\delta}y^\frac{\lambda}{\delta}e^{-\alpha y}{\rm d}y}{\lambda\int_0^\frac{c}{\delta}(\frac{c}{\delta}-y)^\frac{r}{\delta} y^{\frac{\lambda}{\delta}-1}e^{-\alpha y}{\rm d}y}. \end{equation} $

下面我们给出有借贷利率的经典模型的折现延迟分红.为了方便问题的处理,我们以下所有问题都是在假设了索赔量服从参数为$ \alpha $的指数分布的情况下进行的.

定理3.1  在Parisian延迟条件下,有借贷的经典风险模型的折现分红为

(3.1) $ \begin{equation} E[V(x, b)] = \frac{Q(x, b)R(d) \widetilde{f}^4(r)[1-\widetilde{f}^3(r)(\widetilde{f}^1_0(r)-\widetilde{f}^1_b(r)\widetilde{f}^3(r))]} {1-\widetilde{f}^1_0(r)\widetilde{f}^2(r)-\widetilde{f}^4(r)[1-\widetilde{f}^3(r)(\widetilde{f}^1_0(r)-\widetilde{f}^1_b(r)\widetilde{f}^3(r))]}, \ \ 0\leq x\leq b, \end{equation} $

其中

$Q(x, b) = \frac{[h'(0)-\beta_2h(0)]e^{\beta_1x}-[h'(0)-\beta_1h(0)]e^{\beta_2x}}{[h'(0)-\beta_2h(0)]e^{\beta_1b}-[h'(0)-\beta_1h(0)]e^{\beta_2b}}, $

$R(d) = \frac{\frac{1}{\alpha}+(c-\frac{\lambda}{\alpha})\int_0^d tp_2(t){\rm d}t}{\overline{P}_3(d)}+cd-\frac{\lambda d+1}{\alpha}. $

$ \beta_1 $, $ \beta_2 $, $ h'(0) $, $ h(0) $, $ \widetilde{f}^1(r) $, $ \widetilde{f}^2(r) $分别如(2.4)–(2.8)和(2.10)式所示, $ p_3(t) $为$ b $之上最大游程的密度函数,

$ \widetilde{f}^3(r) = \frac{v_r^+-v_r^-}{(\alpha+v^+_r)e^{v_r^+b}-(\alpha+v^-_r)e^{v_r^-b}}, $

$ \widetilde{f}^4(r) = \frac{e^{-rd}[(\alpha+\upsilon_{r}^{+})e^{\upsilon_{r}^{+}b}-(\alpha+\upsilon_{r}^{-})e^{\upsilon_{r}^{-}b}]\overline{P}_3(d)} {(\alpha+\upsilon_{r}^{+})e^{\upsilon_{r}^{+}b}-(\alpha+\upsilon_{r}^{-})e^{\upsilon_{r}^{-}b}-\alpha(e^{\upsilon_{r}^{+}b}-e^{\upsilon_{r}^{-}b})\int_{0}^{d}e^{-rs}p_3(s){\rm d}s}, $

$ v_r^\pm $是方程

$-r+cv_r+\lambda\left(\frac{\alpha}{v_r+\alpha}-1\right) = 0 $

的根,且

(3.2) $ \begin{equation} v_r^+ = \frac{\sqrt{(c\alpha+r+\lambda)^2-4c\alpha\lambda}-(c\alpha-r-\lambda)}{2c}, \end{equation} $

(3.3) $ \begin{equation} v_r^- = \frac{-\sqrt{(c\alpha+r+\lambda)^2-4c\alpha\lambda}-(c\alpha-r-\lambda)}{2c}. \end{equation} $

证  设$ V(b) $为过程$ Y_t $首次击中$ b $后总分红支出的折现值,由于带利率的经典盈余过程是一个逐段决定的马氏过程(见文献[10]),利用过程在$ \tau_0 $处的强马氏性可知

$ \begin{eqnarray*} E[V(x, b)]& = &E\Big[e^{-r\tau_0}I_{\{ \inf\limits_{0\leq t\leq\tau_0}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}\Big]\\ & &\times E\Big[\sum\limits_{i = 1}^\infty e^{-r(\tau_i-\tau_0)}(Y_{\tau_i-}-b)I_{\{ \inf\limits_{\tau_0\leq t\leq\tau_i}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}\Big]\\ & = &E\Big[e^{-r\tau_0}I_{\{ \inf\limits_{0\leq t\leq\tau_0}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}\Big]E\Big[V(b)\Big]. \end{eqnarray*} $

而

$ \begin{eqnarray*} E[V(b)] & = &E\Big[e^{-r(\tau_1-\tau_0)}(Y_{\tau_1-}-b)I_{\{ \inf\limits_{\tau_0\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}\Big]\\ &&+E\Big[e^{-r(\tau_1-\tau_0)}I_{\{ \inf\limits_{\tau_0\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t\}}>-\frac{c}{\delta}\}}\Big]E\Big[V(b)\Big]. \end{eqnarray*} $

因此

(3.4) $ \begin{equation} E[V(b)] = \frac{E[e^{-r(\tau_1-\tau_0)}(Y_{\tau_1-}-b)I_{\{ \inf\limits_{\tau_0\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}]} {1-E[e^{-r(\tau_1-\tau_0)}I_{\{ \inf\limits_{\tau_0\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}]}. \end{equation} $

根据模型的定义知,在第一次分红时刻$ \tau_1 $之前$ Y_t $与$ X_t $有相同的轨迹.因此,我们得到折现期望分红

(3.5) $ \begin{eqnarray} E[V(x, b)]& = & E[e^{-r\tau_0}I_{\{ \inf\limits_{0\leq t\leq\tau_0}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}]\\ &&\times\frac{E[e^{-r(\tau_1-\tau_0)}(X_{\tau_1}-X_{\tau_0})I_{\{ \inf\limits_{\tau_0\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}]} {1-E[e^{-r(\tau_1-\tau_0)}I_{\{ \inf\limits_{\tau_0\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}]}. \end{eqnarray} $

因此,要计算累积期望分红,只需要得到以下几个结果即可

$E\Big[e^{-r\tau_0}I_{\{ \inf\limits_{0\leq t\leq\tau_0}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}\Big], $

$E\Big[e^{-r(\tau_1-\tau_0)}I_{\{ \inf\limits_{\tau_0\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}\Big], $

$E\Big[e^{-r(\tau_1-\tau_0)}(X_{\tau_1}-X_{\tau_0})I_{\{ \inf\limits_{\tau_0\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}\Big]. $

首先考虑$ E\Big[e^{-r\tau_0}I_{\{ \inf\limits_{0\leq t\leq\tau_0}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}\Big] $.由引理2.1及

$\widetilde{V}(x, b) = E\Big[e^{-r\tau_0}I_{\{ \inf\limits_{0\leq t\leq\tau_0}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}\Big]\widetilde{V}(b, b) $

可得

(3.6) $ \begin{equation} E\Big[e^{-r\tau_0}I_{\{ \inf\limits_{0\leq t\leq\tau_0}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}\Big] = \frac{[h'(0)-\beta_2h(0)]e^{\beta_1x}-[h'(0)-\beta_1h(0)]e^{\beta_2x}}{[h'(0)-\beta_2h(0)]e^{\beta_1b}-[h'(0)-\beta_1h(0)]e^{\beta_2b}} = Q(x, b). \end{equation} $

下面来看$ E\Big[e^{-r(\tau_1-\tau_0)}I_{\{ \inf\limits_{\tau_0\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}\Big] $,记$ L $为$ \tau_0\sim \tau_1 $这一段总游程.由定义知,这是从首次达到$ b $开始,到盈余过程到达$ b $之上并且持续的游程长度首次达到$ d $的一个过程(如图 3).

我们这样研究游程$ L $:令$ U_k, \ k = 1, 2, \cdots $表示盈余过程第$ k $次在$ 0 $之上的游程, $ \widetilde{U}_k, \ k = 1, 2, \cdots $表示属于$ U_k, \ k = 1, 2, \cdots $的,处于$ b $之上的最长的一段游程.令$ V_k, \ k = 1, 2, \cdots $表示盈余过程落到$ -\frac{c}{\delta} $之下以前,第$ k $次在$ 0 $之下的游程,注意到, $ U_k, \ k = 1, 2, \cdots $独立且$ U_k, \ k = 2, \cdots $同分布, $ \widetilde{U}_k, \ k = 1, 2, \cdots $和$ V_k, \ k = 1, 2, \cdots $也都是独立同分布的.而$ U_k $和$ V_k $是相互独立的.

下面我们来定义$ U_k $, $ \widetilde{U}_k $和$ V_k, $的分布

$p_1(t) = \lim\limits_{\triangle t\rightarrow0}\frac{P(t<U_k<t+\triangle t)}{\triangle t}, $

$p_2(t) = \lim\limits_{\triangle t\rightarrow0}\frac{P(t<V_k<t+\triangle t)}{\triangle t}, $

$p_3(t) = \lim\limits_{\triangle t\rightarrow0}\frac{P(t<\widetilde{U}_k<t+\triangle t)}{\triangle t}, $

$P_1(t) = P(U_k<t), \ \ P_3(t) = P(V_k<t), \ \ P_2(t) = P(\widetilde{U}_k<t), $

$\overline{P}_1(t) = P(U_k>t), \ \ \overline{P}_2(t) = P(V_k>t), \ \ \overline{P}_3(t) = P(\widetilde{U}_k>t). $

令

$P_i(t) = \int_0^t p_i(s){\rm d}s = 1-\overline{P}_i(t), \qquad i = 1, 2, 3. $

首先对于在$ b $之上的游程$ \widetilde{U}_k, \ k = 1, 2, \cdots $,通过定义可得,它是属于$ U_k $的处于$ b $之上的游程.观察$ \widetilde{U}_1 $可知,它是一个从$ b $出发,到首次落到$ b $以下就截止的过程,它与初始值为$ 0 $的经典盈余过程的破产过程(从0开始,落到0以下为破产发生)具有相同的分布律.

由引理2.2得,初值为0的经典盈余过程破产时间的密度函数为

$g(t) = \frac{\sqrt{1+\theta }e^{{-2\lambda(2+\theta)t}}}{t}, \ \ t >0. $

又因为$ \widetilde{U}_k $为处于$ b $之上的最长的一段游程,因此如果在第一次分红前有$ n $次到达$ b $水平之上,那么

(3.7) $ \begin{equation} p_3(t) = n\left(\int_0^t g(x){\rm d}x\right)^{n-1}g(t). \end{equation} $

下面来看$ U_1 $. $ U_1 $是一段由$ b $出发,落到0之下为止的游程.它与初始值为$ b $的经典风险模型的破产过程具有相同的分布律.因此,由引理$ 2.2 $得

(3.8) $ \begin{equation} E[e^{-rU_1}] = \widetilde{f}^1_b(r) = \phi e^{-\mu(1-\phi)b}. \end{equation} $

至于$ U_k, \ k = 2, 3, \cdots $,由图像3可知,它们都是由$ 0 $出发,落到$ 0 $之下为止的游程.它们与初始值为$ 0 $的经典盈余过程的破产过程具有相同的分布律.同样由引理$ 2.2 $可得

(3.9) $ \begin{equation} E[e^{-rU_2}] = \widetilde{f}^1_0(r) = \frac{\alpha}{(\alpha+\rho)(1+\theta)}. \end{equation} $

对于0之下的游程$ V_k, \ k = 1, 2, \cdots $,由引理2.3可得

(3.10) $ \begin{equation} E[e^{-rV_1}] = \widetilde{f}^2(r) = \frac{\alpha\delta\int_0^\frac{c}{\delta}(\frac{c}{\delta}-y)^\frac{r}{\delta}y^\frac{\lambda}{\delta}e^{-\alpha y}{\rm d}y}{\lambda\int_0^\frac{c}{\delta}(\frac{c}{\delta}-y)^\frac{r}{\delta}y^{\frac{\lambda}{\delta}-1}e^{-\alpha y}{\rm d}y}. \end{equation} $

我们用$ A_i $表示盈余过程首次在$ b $之上持续$ d $时间是在$ Y_t $第$ i $次到达$ b $之上时发生的,即$ \widetilde{U}_i\geq d $.因为游程$ U_i $和$ V_i, \ i = 1, 2, \cdots $是上下交替的,因此,事件$ A_i $包含了$ i $次$ 0 $之上的游程$ U_k, \ k = 1, 2, \cdots , i $,其中$ \widetilde{U}_k, \ k = 1, 2, \cdots , i-1 $都小于$ d $,而$ \widetilde{U}_i\geq d $,还包括了$ i-1 $次$ 0 $之下的游程$ V_k, k = 1, 2, \cdots , i-1 $,他们都没有落到$ -\frac{c}{\delta} $以下.我们可以把$ U_i, i = 2, 3, $分成三段:第一段是盈余过程从0首次到达$ b $,记为$ J_1 $;第二段是从$ b $开始到分红之前最后一次到达$ b $的过程,记为$ J_2 $;最后一段为之前提到的在$ b $之上的长度为$ d $的游程$ \widetilde{U}_i $,但$ U_1 = J_2+d. $事件$ A_i $可以等同于事件$ \{{\widetilde{U}_k<d, \ k = 1, 2, \cdots , i-1, \ \widetilde{U}_i\geq d}\} $,也可以写成$ \{\max\limits_{1, 2, \cdots , i-1}{\widetilde{U}_k<d}, \widetilde{U}_i\geq d\} $.

由于$ U_i = J+d = J_1+J_2+d $等价于一个从0出发的经典模型的首次Parisian分红时刻,所以由文献[4]的(11)及(16)式可知

(3.11) $ \begin{equation} E[e^{-r(J_2+d)}I_{\{ \inf\limits_{g_{b, \tau_1}\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}} ] = \widetilde{f}^4(r), \end{equation} $

(3.12) $ \begin{equation} E[e^{-r(J+d)}I_{\{ \inf\limits_{g_{0, \tau_1}\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}} ] = \widetilde{f}^3(r)\widetilde{f}^4(r), \end{equation} $

通过以上的定义,我们可以把$ \tau_0-\tau_1 $写成

$ \tau_1-\tau_0 = U_1+\sum\limits_{k = 2}^{i-1}(U_k+V_{k-1})+V_{i-1}+J+d. $

因为$ U_k, \ k = 1, 2, \cdots $是相互独立,且$ U_k, \ k = 2, \cdots $同分布的, $ \tilde{U}_k $和$ V_k, \ k = 1, 2, \cdots $也都是独立同分布的随机变量序列,而$ U_k $, $ V_k $和$ J $都是独立的,因此由(3.7)–(3.10)及(3.12)式有

(3.13) $ \begin{eqnarray} &&E\Big[e^{-r(\tau_1-\tau_0)}I_{\{ \inf\limits_{\tau_0\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}\Big]\\ & = &E\big[e^{-r(J_2+d)}|\tilde{U}_1\geq d]P(A_1)+\sum\limits_{i = 2}^\infty E\Big[e^{-r[\sum\limits_{k = 1}^{i-1}(U_k+V_k) +J+d]}|\max\limits_{1, 2, \cdots , i-1}\widetilde{U}_k<d, \widetilde{U}_i\geq d\Big]P(A_i)\\ & = &\widetilde{f}^4(r)+e^{-rd}E[e^{-rU_1}|\widetilde{U}_1<d]\sum\limits_{i = 2}^\infty E\Big[e^{-rU_2}|\widetilde{U}_2<d\Big]^{i-2}E[e^{-rJ}|\widetilde{U}_i\geq d]\\ &&\times E[e^{-rV_1}]^{i-1}P(\widetilde{U}_2<d)^{i-1}P(\widetilde{U}_2\geq d)\\ & = &\widetilde{f}^4(r)+\frac{e^{-rd}E[e^{-rJ}]E[e^{-rU_1}]E[e^{-rV_1}] }{1-E[e^{-rU_2}]E[e^{-rV_1}]}\\ & = &\widetilde{f}^4(r)+\frac{\widetilde{f}_b^1(r)\widetilde{f}^2(r)\widetilde{f}^3(r)\widetilde{f}^4(r)}{1-\widetilde{f}_0^1(r)\widetilde{f}^2(r) }. \end{eqnarray} $

另外,由定义知

$Y_{\tau_0+\sum\limits_{k = 1}^{i-1}(U_k+V_k)+J} = b. $

由于

$\tau_0+\sum\limits_{k = 1}^{i-1}(U_k+V_k)+J = g_{b, \tau_1}, $

因此,当$ i \geq 2 $时,由过程在$ g_{b, \tau_1} $处的强马氏性可得

$ \begin{eqnarray*} &&E\left[e^{-r(\tau_1-\tau_0)}(X_{\tau_1-}-b)|A_i\right]\\ & = &E\Big[e^{-r[\sum\limits_{k = 1}^{i-1}(U_k+V_k)+J+d]}(X_{\tau_1-}-b)\big|X_{g_{b, \tau_1}} = b, \max\limits_{1, 2, \cdots , i-1}\widetilde{U}_k<d, \widetilde{U}_i\geq d\Big]\\ & = &E\Big[e^{-r[\sum\limits_{k = 1}^{i-1}(U_k+V_k)+J+d]}\big|\max\limits_{1, 2, \cdots , i-1}\widetilde{U}_k<d, \widetilde{U}_i\geq d\Big]E\Big[X_{\tau_1}-b\mid\widetilde{U}_1\geq d\Big]\\ & = &E\Big[e^{-r[\sum\limits_{k = 1}^{i-1}(U_k+V_k)+J+d]}\big|A_i\Big]E\Big[X_d-b\mid\widetilde{U}_1\geq d\Big]. \end{eqnarray*} $

因此

(3.14) $ \begin{eqnarray} &&E\Big[e^{-r(\tau_1-\tau_0)}(X_{\tau_1}-X_{\tau_0})I_{\{ \inf\limits_{\tau_0\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}\Big]\\ & = &\sum\limits_{i = 1}^\infty E\Big[e^{-r(\tau_1-\tau_0)}I_{\{ \inf\limits_{\tau_0\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t\}}>-\frac{c}{\delta}\}}\big|A_i\Big] E\Big[X_d-b\mid\widetilde{U}_1\geq d\Big]P(A_i)\\ & = &E\Big[e^{-r(\tau_1-\tau_0)}I_{\{ \inf\limits_{\tau_0\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t\}}>-\frac{c}{\delta}\}}\Big] \Big(E[X_{d}\mid\widetilde{U}_1\geq d]-b\Big). \end{eqnarray} $

其中$ E[e^{-r(\tau_1-\tau_0)}I_{\{ \inf\limits_{\tau_0\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t\}}>-\frac{c}{\delta}\}}] $已由(3.13)式得出.由文献[4]中结果

(3.15) $ \begin{equation} E[X_d-b|\widetilde{U}_1>d] = \frac{\frac{1}{\alpha}+(c-\frac{\lambda}{\alpha})\int_0^d tp_3(t){\rm d}t}{\overline{P}_3(d)}+cd-\frac{\lambda d+1}{\alpha} = R(d). \end{equation} $

将(3.13)和(3.15)式分别带入(3.14)式得到

(3.16) $ \begin{equation} E\Big[e^{-r(\tau_1-\tau_0)}(X_{\tau_1}-X_{\tau_0})I_{\{\inf\limits_{\tau_0\leq t\leq\tau_1}{\{Y_t}\}>-\frac{c}{\delta}\}}\Big] = \frac{1-\widetilde{f}^2(r)(\widetilde{f}_0^1(r)-\widetilde{f}_b^1(r) \widetilde{f}^3(r) ) }{1-\widetilde{f}_0^1(r)\widetilde{f}^2(r) }\widetilde{f}^4(r)R(d). \end{equation} $

将(3.6), (3.13)和(3.16)式分别代入(3.5)式得到

$ \begin{eqnarray*} E[V(x, b)] = \frac{Q(x, b)R(d) \widetilde{f}^4(r)[1-\widetilde{f}^3(r)(\widetilde{f}^1_0(r)-\widetilde{f}^1_b(r)\widetilde{f}^3(r))]} {1-\widetilde{f}^1_0(r)\widetilde{f}^2(r)-\widetilde{f}^4(r)[1-\widetilde{f}^3(r)(\widetilde{f}^1_0(r)-\widetilde{f}^1_b(r)\widetilde{f}^3(r))]}. \end{eqnarray*} $

证毕.