非线性光学晶格中的梯度流方法

非线性光学晶格中的梯度流方法

张瑞凤^,¹, 刘男^,²

Gradient Flow Method in Nonlinear Optical Lattices

Zhang Ruifeng^,¹, Liu Nan^,²

通讯作者: 张瑞凤, E-mail: zrf615@henu.edu.cn

收稿日期: 2018-05-4

基金资助:

国家自然科学基金. 11471099
国家自然科学基金. 11671120

Received: 2018-05-4

Fund supported:

the NSFC. 11471099
the NSFC. 11671120

作者简介 About authors

刘男,E-mail:ln10475@163.com , E-mail：ln10475@163.com

摘要

该文利用梯度流方法研究非线性光学晶格中经典薛定谔方程稳态解的存在性.文中首先给出了控制方程整体解的存在性，然后证明了当时间趋于无穷大时整体解收敛到一个平衡态（即光学晶格模型的稳态解）.此外，通过Łojasiewicz-Simon不等式给出了收敛速度估计.

关键词： 梯度流方法 ; 薛定谔方程 ; 稳态解 ; Łojasiewicz-Simon不等式

Abstract

In this paper, we study the existence of the steady state solutions for a classical Schrödinger equation in nonlinear optical lattices by means of gradient flow method. We first establish the existence of a global solution of the governing parabolic equation. Then we prove the convergence of the global solution to an equilibrium (i.e., a steady state solution in optical lattices model) as time goes to infinity. Furthermore, we provide an estimate on the convergence rate by using the Łojasiewicz-Simon inequality.

Keywords： Gradient flow method ; Schrödinger Equation ; Łojasiewicz-Simon inequality ; Steady state solutions

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本文引用格式

张瑞凤, 刘男. 非线性光学晶格中的梯度流方法. 数学物理学报[J], 2019, 39(5): 1170-1182 doi:

Zhang Ruifeng, Liu Nan. Gradient Flow Method in Nonlinear Optical Lattices. Acta Mathematica Scientia[J], 2019, 39(5): 1170-1182 doi:

1 引言

由于非线性和周期性的相互作用使得光的控制具有多种可能性,所以光波在非线性周期光学晶格中传播会呈现许多有趣的新现象^{[4, 11]}.这两种效应之间的平衡可以产生自定域结构,称为晶格孤子^[28].光晶格孤子在基础物理及其应用领域都引起了广泛的关注^{[11, 21]}.它们在我们对各种自然现象的描述中起着重要作用,并从应用数学和物理渗透到化学和生物学等科学的许多分支^[3].

在非线性光学中,波导阵列中的晶格孤子首先被预测是以离散非线性薛定谔方程的解而存在^[10],然后在Algaas波导阵列中被观测到^[19].自此以后,光学孤子在理论和实验上都有了许多新的研究.对于光学空间孤子的特性和应用的描述可以参见文献[2, 17, 24, 36, 42].在光学研究中,一个基本情形是用非线性薛定谔方程控制的复值波函数来描述光波^{[7, 15, 25-26, 40]}.这些理论和实验研究为数学研究提供了大量的分析问题.

特别地,在非线性光学晶格场中,对于在非线性介质中沿 $z$ 轴横向传播的光波,而非线性介质是由一个二维光学周期晶格调制,其控制方程为如下非线性薛定谔型方程

${\rm{i}}\frac{\partial \Psi}{\partial z}+\frac{1}{2}\Delta_\bot\Psi+F(I)\Psi=0,$

(1.1)

其中函数 $\Psi$ 表示基本波的波包振幅, $\Delta_\bot=\partial^2/\partial x_1^2+\partial^2/\partial x_2^2$ ,函数 $F(I)$ 表示光学媒介的非线性性质,其依赖于光束强度 $I\equiv|\Psi|^2$ ,且这里相关的函数关于 $x_1$ 和 $x_2$ 都是周期的.注意到,文献[14]中列举出了一些函数 $F(I)$ 的特殊情形,比如,纯Kerr型非线性, $F(I)=I$ ,或者所谓的饱和非线性, $F(I)=I(1+\alpha I)^{-1}$ ,其中参数 $\alpha$ 为非线性饱和度.特别地,文献[37]研究了具有更一般的饱和非线性的薛定谔方程(1.1)稳态解的存在性.

本文研究方程(1.1)形式为 $\Psi(x, z)=u(x)\exp(bz)$ 的稳态解^{[2, 16]},其中 $b$ 为一个实的传输参数, $u(x)$ 为实值函数.则函数 $u(x)$ 满足如下方程

$\frac{1}{2}\Delta u-bu+F(u^2)u=0.$

(1.2)

选取 $F(I)$ 为立方五次方非线性^[15]

$F(I)=pV(x)+I-I^2,$

(1.3)

其中 $V(x)>0$ 为外势函数^{[20, 30]}且关于空间变量 $x=(x_1, x_2)\in \mathbb{R}^2$ 是周期的,其刻画了横向折射率调制分布, $p\geq0$ 表示调制深度.立方五次方非线性薛定谔方程在等离子体物理中的平均场理论^[41],核物理^[27]和玻色-爱因斯坦凝聚^[1]中都有许多的应用.

将(1.3)式代入(1.2)式,则可得函数 $u(x)$ 满足

$\Delta u+2u^3-2u^5-2bu+2pVu=0, \quad x\in\Omega,$

(1.4)

其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的双周期区域, $\Delta$ 是关于变量 $x_1$ 和 $x_2$ 的拉普拉斯算子.借鉴并拓展文献[5, 12, 18, 31]中的梯度流方法,我们将证明方程(1.4)解的存在性.考虑如下的热方程

$u_t=\Delta u+2u^3-2u^5-2bu+2pVu, ~t>0, ~x\in\Omega,$

(1.5)

$u(x, 0)=u_0(x), ~x\in\Omega,$

(1.6)

其中初值 $u_0(x)\in H^1(\Omega)$ 将在下文构造.之前,非线性薛定谔方程稳态解的存在性可以利用变分方法来证明,见文献[13, 37, 38],但本文我们采用与此不同的方法,即梯度流方法,来建立解的存在唯一性.同时,我们的这种方法将为解决非线性光学和许多理论物理领域的相关问题提供一种新的途径.

2 整体解的存在唯一性

本节讨论问题(1.5)-(1.6)整体解的存在唯一性.首先用算子半群理论^[29]来证明局部解的存在唯一性.改写问题(1.5)-(1.6)为

$u_t+Au=f(u), \quad x\in\Omega, \quad t>0,$

(2.1)

$u=u_0, \quad x\in\Omega, \ \ t=0,$

(2.2)

其中

$A=-\Delta,$

(2.3)

$f(u)=2u^3-2u^5-2bu+2pVu.$

(2.4)

考虑巴拿赫空间 $X=L^2(\Omega)$ ,令 $S(t)$ 为算子 $A$ 在空间 $X$ 上生成的压缩半群,则有如下引理.

引理2.1 对于 $u_0\in H^{1}(\Omega)$ ,存在依赖于 $\|u_0\|_{H^1(\Omega)}$ 的正常数 $T>0$ 使得问题(2.1)-(2.2)存在唯一的局部解 $u\in C([0, T]; H^{1}(\Omega))$ 满足

$u(t)=S(t)u_0+\int_0^tS(t-s)f(u(s)){\rm{d}} s, \quad\forall t\in[0, T].$

(2.5)

利用压缩映像原理可证上述引理,这里略去证明细节.

接下来,我们利用上下解的方法来证明整体解的存在唯一性.首先给出问题(1.5)-(1.6)上下解的定义.

定义2.1 如果函数 $\bar{u}\in C^{2, 1}$ ,即, $\bar{u}$ 关于 $x_1, x_2$ 二阶连续可微且关于 $t$ 一阶连续可微,满足

$\begin{array}{l}\bar{u}_t\geq\Delta \bar{u}+2\bar{u}^3-2\bar{u}^5-2b\bar{u}+2pV\bar{u}, \quad x\in\Omega, \quad t>0, \\\bar{u}(x, 0)\geq u_0, \quad x\in\Omega, \end{array}$

(2.6)

则 $\bar{u}$ 称为问题(1.5)-(1.6)的一个上解.

相应地,如果 $\underline{u}\in C^{2, 1}$ 满足

$\begin{array}{l} \underline{u}_t\leq\Delta\underline{u}+2\underline{u}^3-2\underline{u}^5-2b\underline{u}+2pV\underline{u}, \quad x\in\Omega, \quad t>0, \\\underline{u}(x, 0)\leq u_0, \quad x\in\Omega, \end{array}$

(2.7)

则 $\underline{u}$ 称为问题(1.5)-(1.6)的一个下解.

贯通全文,令 $V_0=\max\{V(x)|x\in\Omega\}$ , $V_1=\min\{V(x)|x\in\Omega\}$ .

引理2.2 假设 $b\geq pV_0$ .则存在问题(1.5)-(1.6)的光滑解 $\bar{u}\geq\underline{u}$ 使得

$\Delta \bar{u}+2\bar{u}^3-2\bar{u}^5-2b\bar{u}+2pV\bar{u}\leq0,$

(2.8)

$\Delta\underline{u}+2\underline{u}^3-2\underline{u}^5-2b\underline{u}+2pV\underline{u}\geq0.$

(2.9)

证由引理假设容易验证 $\bar{u}=K\geq1$ 满足(2.8)式,其中 $K$ 为一常数.

考虑如下的线性二阶椭圆方程

$\Delta\underline{u}-2b\underline{u}+2pV\underline{u}+\delta=0,$

(2.10)

其中 $\delta>0$ 为待定常数.易证方程(2.10)存在解.实际上,映射 $P\equiv\Delta-2(b-pV)-1: W^{2, 2}\rightarrow L^2$ 是双射且 $P^{-1}:L^{2}\rightarrow L^2$ 是紧的.因此根据 $P$ 的自共轭性可知 $1+P^{-1}$ 为指标为零的Fredholm算子.则方程(2.10)可写为 $(1+P^{-1})\underline{u}=-P^{-1}\delta$ .该方程存在一个解.因为 $(1+P^{-1})\underline{u}=0$ 有解或者 $(\Delta-2(b-pV))\underline{u}=0$ 只有平凡解 $\underline{u}=0$ .此外,根据引理的假设和极大值原理易知 $\underline{u}\geq0$ 但 $\underline{u}\not\equiv0$ .

改写方程(2.10)为

$\Delta\underline{u}+2\underline{u}^3-2\underline{u}^5-2b\underline{u}+2pV\underline{u}=2\underline{u}^3-2\underline{u}^5-\delta.$

(2.11)

选取 $0 < \delta < \frac{12}{25}\sqrt{\frac{3}{5}}$ 并且选取方程(2.10)的一个解 $\underline{u}$ 使得

$\inf\underline{u}\geq\alpha>0, \quad \sup \underline{u}\leq\sqrt{\frac{3}{5}},$

(2.12)

其中 $\alpha$ 为代数方程 $2x^5-2x^3+\delta=0$ 在区间 $(0, \sqrt{\frac{3}{5}})$ 上的根.则显然方程(2.11)的右端非负,即(2.9)式得证.

证毕.

如果我们选取初值使得

$u_0(x)=\underline{u},$

(2.13)

其中 $\underline{u}$ 为引理2.2所述.则函数 $\bar{u}$ , $\underline{u}$ 分别满足(2.6)和(2.7)式.因此,问题(1.5)-(1.6)存在一对上解 $\bar{u}$ 和下解 $\underline{u}$ 满足 $0 < \underline{u}\leq\bar{u}$ .

引理2.3 问题(1.5)-(1.6)存在唯一的正解 $u$ ,函数 $u$ 满足 $K=\bar{u}\geq u\geq\underline{u}>0$ 且可通过下面的极限得到

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_n=u,$

(2.14)

其中 $\{u_n\}$ 为 $u$ 的单调逼近序列且由如下的迭代格式

$\begin{eqnarray} [u_n]_t-\Delta u_n+\lambda u_n&=&2u_{n-1}^3-2u_{n-1}^5-2bu_{n-1}+2pVu_{n-1}+\lambda u_{n-1}, \\ u_n(x, 0)&=&u_0, \quad n=2, 3, \cdots , \\ u_1&=&\underline{u}, \end{eqnarray}$

(2.15)

而 $\lambda\geq2\big(5K^4-3K^2+|b|+pV_0\big)$ . (2.14)式中的极限可在空间 $C^{2, 1}(\Omega\times\{t\geq0\})$ 中取到.

证我们用归纳法首先证明 $u_n\leq\bar{u}$ , $n=1, 2, \cdots$ .实际上, $u_1\leq\bar{u}$ 已经成立.假设对于某个 $n$ 有 $u_n\leq\bar{u}$ .则可得

$\begin{eqnarray} &&[u_{n+1}-\bar{u}]_t-\Delta(u_{n+1}-\bar{u})+\lambda(u_{n+1}-\bar{u})\\&\leq& f'(w)(u_n-\bar{u})+\lambda(u_n-\bar{u})\\ &=&2(3w^2-5w^4-b+pV+\lambda)(u_n-\bar{u})\leq0, \end{eqnarray}$

(2.16)

其中 $u_n\leq w\leq \bar{u}$ 且 $\lambda$ 满足 $\lambda\geq2\big(5K^4-3K^2+|b|+pV_0\big)\geq|f'(u)|$ .于是根据极大值原理可知 $u_{n+1}\leq\bar{u}$ .

接下来我们证明

$\underline{u}=u_1\leq u_2\leq\cdots\leq u_n\leq\cdots\leq\bar{u}.$

(2.17)

事实上,由(2.7)和(2.15)式可得 $[u_1-u_2]_t-\Delta(u_1-u_2) +\lambda(u_1-u_2)\leq0$ , $\Omega\times\{t>0\}$ 且在 $\partial\Omega\times\{0\}$ 上有 $u_1-u_2=\underline{u}-u_0=0$ .利用极大值原理 $u_1\leq u_2$ , $\Omega\times\{t>0\}$ .由归纳法,如果 $\underline{u}=u_1\leq u_2\leq\cdots\leq u_n$ 成立,则有

$\begin{eqnarray}&&{}[u_{n}-u_{n+1}]_t-\Delta(u_{n}-u_{n+1})+\lambda(u_{n}-u_{n+1})\\ &=&2(3w^2-5w^4-b+pV)(u_{n-1}-u_{n})+\lambda(u_{n-1}-u_{n})\leq0, \end{eqnarray}$

(2.18)

其中 $u_{n-1}\leq w\leq u_n\leq \bar{u}$ ,则可得 $u_n\leq u_{n+1}$ .因此我们证明了 $\{u_n\}$ 有界且点点收敛.根据(2.15)式, (2.17)式和正则性理论,收敛性得证.

令 $\tilde{u}_1, \tilde{u}_2$ 为问题(1.5)-(1.6)的两个解并记 $\tilde{u}=\tilde{u}_1-\tilde{u}_2$ .于是可得

$\begin{array}{l}\tilde{u}_t-\Delta\tilde{u}=f(\tilde{u}_1)-f(\tilde{u}_2)=c(\tilde{u}_1, \tilde{u}_2)\tilde{u}, \quad x\in\Omega, \quad t>0, \\ \tilde{u}=0, \quad x\in\Omega, \quad t=0, \end{array}$

(2.19)

其中 $c(\tilde{u}_1, \tilde{u}_2)=\int_0^1\frac{\partial f}{\partial s}(\tilde{u}_2+s(\tilde{u}_1-\tilde{u}_2)){\rm{d}} s.$ 另一方面,根据引理知 $|f'(u)|\leq\lambda$ .因此 $|c|\leq\lambda$ .令 $\tilde{v}={\rm{e}}^{\sigma t}\tilde{u}$ ,其中 $\sigma$ 为一足够小的常数且使得 $c+\sigma < 0$ .则有

$\begin{array}{l}\tilde{v}_t-\Delta\tilde{v}-(c+\sigma)\tilde{v}=0, \quad x\in\Omega, \quad t>0, \\ \tilde{v}=0, \quad x\in\Omega, \quad t=0. \end{array}$

(2.20)

根据极大值原理即得 $\tilde{v}\equiv0$ ,因此 $\tilde{u}\equiv0$ ,解的唯一性得证.证毕.

综上所述,本节的主要结果如下.

定理2.1 假设 $u_0\in H^{1}(\Omega)$ 并且参数 $b$ 和 $p$ 满足 $b\geq pV_0$ ,其中 $V_0=\max\{V(x)|x\in\Omega\}$ ,则问题(1.5)-(1.6)存在唯一的正的整体解使得 $u\in C^{2, 1}(\Omega\times\{t\geq0\})$ .

3 整体解的收敛性以及收敛率估计

本节,我们证明问题(1.5)-(1.6)的整体解当时间趋于无穷时收敛到稳态解,并分析其收敛率.定义泛函

${\cal{E}}(u)=\int_{\Omega}\bigg\{\frac{1}{2}|\nabla u|^2+(b-pV)u^2-\frac{1}{2}u^4+\frac{1}{3}u^6\bigg\}{\rm{d}} x.$

(3.1)

易得

$\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}{\cal{E}}(u)=-\|u_t\|_{L^2(\Omega)}^2=-\|\Delta u+f(u)\|_{L^2(\Omega)}^2,$

(3.2)

即 ${\cal{E}}(u)$ 关于时间是单调递减的,其中 $f(u)$ 由(2.4)式定义.

引理3.1^[32] 令 $T$ 给定且满足 $0 < T\leq+\infty$ .假设 $g(t), h(t)$

$\frac{{\rm{d}} g}{{\rm{d}} t}\leq c_1g^2+c_2+h(t), \quad \int_0^Tg(t){\rm{d}} t\leq c_3, \quad \int_0^Th(t){\rm{d}} t\leq c_4,$

(3.3)

其中 $c_i$ $(i=1, \cdots, 4)$ 为给定的非负常数.则对于任意的 $0 < r < T$ ,如下估计成立

$g(t+r)\leq (\frac{c_3}{r}+c_2r+c_4) {\rm{e}}^{c_1c_3}, \quad t\in[0, T-r).$

(3.4)

此外,如果 $T=+\infty$ ,则有

$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}g(t)=0.$

(3.5)

我们将用其来证明解的高阶导数模的一致估计.

引理3.2 对于任意的 $t\geq1$ ,假设 $b>pV_0+\frac{3}{16}$ ,则如下估计成立

$\|u(t)\|_{H^3(\Omega)}\leq C,$

(3.6)

其中 $V_0=\max\{V(x)|x\in\Omega\}$ 且 $C$ 是依赖 $\|u_0\|_{H^1(\Omega)}$ 的一个正常数.此外有

$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\|\Delta u+f(u)\|_{L^2(\Omega)}=0.$

(3.7)

证由Cauchy不等式

$u^4\leq\epsilon u^6+\frac{u^2}{4\epsilon},$

(3.8)

可得

${\cal{E}}(u)\geq\int_{\Omega}\bigg\{\frac{1}{2}|\nabla u|^2+(b-pV-\frac{1}{8\epsilon})u^2+(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\epsilon)u^6\bigg\}{\rm{d}} x.$

(3.9)

选取适当的 $\varepsilon>0$ 使得

$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\epsilon\geq0, \qquad b-pV-\frac{1}{8\epsilon}>0,$

(3.10)

则需 $b$ 满足

$b>pV_0+\frac{3}{16}.$

(3.11)

因此可得

$\begin{eqnarray}{\cal{E}}(u)\geq C\|u\|^2_{H^1(\Omega)}\geq C(2\|u\|_{H^1(\Omega)}-1), \end{eqnarray}$

(3.12)

即

$\|u\|_{H^1(\Omega)}\leq C{\cal{E}}(u)+1,$

(3.13)

其中 $C>0$ 为一致的常数,在不同的地方可以取不同的值.另外,根据紧嵌入可知

${\cal{E}}(u)\leq C(\|u\|^2_{H^1(\Omega)}+\|u\|^6_{H^1(\Omega)}).$

(3.14)

因此,对任意的 $t>0$ 和 $u_0\in H^1(\Omega)$ ,由(3.2)和(3.14)式可得

${\cal{E}}(u)\leq {\cal{E}}(u_0)<+\infty,$

(3.15)

于是

$\|u(t)\|_{H^1(\Omega)}\leq C, \qquad \forall t>0.$

(3.16)

这里 $C>0$ 为依赖于 $\|u_0\|_{H^1(\Omega)}$ 的常数.接下来证明 $u(t)$ 在 $H^2(\Omega)$ 上模的一致有界性.记

$P(t)=\|\Delta u+f(u)\|_{L^2(\Omega)}^2.$

(3.17)

直接计算可得

$\begin{eqnarray}&&\frac{1}{2}\frac{{\rm{d}} }{{\rm{d}} t}P(t)+\|\nabla(\Delta u+f(u))\|_{L^2(\Omega)}^2\\&=&\int_{\Omega}(\Delta u+f(u))\Delta u_t{\rm{d}} x-\int_{\Omega}(\Delta u+f(u))f'(u)u_t{\rm{d}} x+\int_{\Omega}\nabla(\Delta u+f(u))\nabla u_t{\rm{d}} x\\&=&-\int_{\Omega}f'(u)|\Delta u+f(u)|^2{\rm{d}} x\\&\leq&\lambda P(t)\leq\frac{1}{2} P^2(t)+\frac{\lambda^2}{2}, \end{eqnarray}$

(3.18)

这里用到了引理2.3中 $|f'(u)|\leq\lambda$ .方程(3.2)关于 $t$ 积分,得

${\cal{E}}(t)+\int_0^tP(\tau){\rm{d}}\tau={\cal{E}}(0)<+\infty, \quad\forall t>0.$

(3.19)

与此同时,由(3.12)式可得 ${\cal{E}}(u(t))$ 是下有界的.所以,我们得到

$\int_0^{+\infty}P(t){\rm{d}} t\leq {\cal{E}}(0)<+\infty.$

(3.20)

因此,根据引理3.1, (3.7)式成立.

如果在引理3.1中取 $r=1$ ,则可得

$\|\Delta u+f(u)\|_{L^2(\Omega)}\leq C, \quad \forall t\geq1,$

(3.21)

其中常数 $C>0$ 与 $t$ 无关.另一方面,根据紧嵌入, $b-pV(x)\leq b-pV_1$ ,其中 $V_1=\min\{V(x)|x\in\Omega\}$ 和(3.16)式,我们可得

$\|f(u)\|_{L^2(\Omega)}^2=\int_{\Omega}\big|2u^3-2u^5-2bu+2pVu\big|^2{\rm{d}} x \leq C\|u\|^2_{H^1(\Omega)}\leq C.$

(3.22)

联立(3.21)式,有

$\|\Delta u\|_{L^2(\Omega)}\leq\|\Delta u+f(u)\|_{L^2(\Omega)}+\|f(u)\|_{L^2(\Omega)}\leq C.$

(3.23)

所以,根据(3.16)和(3.21)式可知

$\|u(t)\|_{H^2(\Omega)}\leq C, \qquad \forall t\geq1.$

(3.24)

对方程(1.5)关于 $t$ 微分,然后乘以 $u_t$ 并在 $\Omega$ 上积分得

$\begin{eqnarray}&&\frac{1}{2}\frac{{\rm{d}} }{{\rm{d}} t}\|u_t\|_{L^2(\Omega)}^2+\|\nabla u_t\|_{L^2(\Omega)}^2+10\int_{\Omega}u^4u_t^2{\rm{d}} x+2\int_{\Omega}(b-pV)u_t^2{\rm{d}} x\\&=&6\int_{\Omega}u^2u_t^2{\rm{d}} x\leq9\int_{\Omega}u^4u_t^2{\rm{d}} x+\int_{\Omega}u_t^2{\rm{d}} x.\end{eqnarray}$

(3.25)

于是

$\frac{1}{2}\frac{{\rm{d}} }{{\rm{d}} t}\|u_t\|_{L^2(\Omega)}^2+\|\nabla u_t\|_{L^2(\Omega)}^2\leq\|u_t\|_{L^2(\Omega)}^2.$

(3.26)

对(3.26)式两端乘以 $t$ ,然后关于 $t$ 积分得

$\begin{eqnarray}\frac{1}{2}t\|u_t\|_{L^2(\Omega)}^2+\int_0^t\tau\|\nabla u_\tau\|_{L^2(\Omega)}^2{\rm{d}}\tau&\leq&\frac{1}{2}\int_0^t\|u_\tau\|_{L^2(\Omega)}^2{\rm{d}}\tau+\int_0^t\tau\|u_\tau\|_{L^2(\Omega)}^2{\rm{d}}\tau\\&\leq& C+t\int_0^t\|u_\tau\|_{L^2(\Omega)}^2{\rm{d}}\tau\\&\leq &C+Ct, \qquad \forall t>0.\end{eqnarray}$

(3.27)

因此可得

$\int_0^t\|\nabla u_\tau\|_{L^2(\Omega)}^2{\rm{d}} \tau\leq C, \qquad \forall t>0,$

(3.28)

其中正常数 $C$ 依赖于 $\|u_0\|_{H^1(\Omega)}$ .此外,方程(1.5)关于 $t$ 微分,然后乘以 $-\Delta u_t$ 并在 $\Omega$ 上积分得

$\begin{eqnarray}\frac{1}{2}\frac{{\rm{d}} }{{\rm{d}} t}\|\nabla u_t\|_{L^2(\Omega)}^2+\|\Delta u_t\|_{L^2(\Omega)}^2&=&-\int_{\Omega}\bigg(2(b-pV)u_t+10u^4u_t-6u^2u_t\bigg)\Delta u_t{\rm{d}} x\\&\leq &C\|u_t\|_{L^2(\Omega)}\|\Delta u_t\|_{L^2(\Omega)}\\&\leq&\frac{1}{2}\|\Delta u_t\|_{L^2(\Omega)}^2+\frac{C^2}{2}\|u_t\|_{L^2(\Omega)}^2, \end{eqnarray}$

(3.29)

即

$\frac{{\rm{d}} }{{\rm{d}} t}\|\nabla u_t\|_{L^2(\Omega)}^2+\|\Delta u_t\|_{L^2(\Omega)}^2\leq C^2\|u_t\|_{L^2(\Omega)}^2.$

(3.30)

方程(3.30)两端乘以 $t$ ,然后关于 $t$ 积分得

$\begin{eqnarray}t\|\nabla u_t\|_{L^2(\Omega)}^2+\int_0^t\tau\|\Delta u_\tau\|_{L^2(\Omega)}^2{\rm{d}}\tau&\leq&\int_0^t\|\nabla u_\tau\|_{L^2(\Omega)}^2{\rm{d}}\tau+C^2\int_0^t\tau\|u_\tau\|_{L^2(\Omega)}^2{\rm{d}}\tau\\&\leq& C+C^3t, \qquad \forall t>0.\end{eqnarray}$

(3.31)

因此,对于 $t\geq1$ ,有

$\|\nabla u_t\|_{L^2(\Omega)}^2\leq C+C^3\leq C.$

(3.32)

根据方程(1.5)

$-\Delta u=2u^3-2u^5-2bu+2pVu-u_t, \qquad x\in\Omega$

(3.33)

和椭圆方程的正则性理论可得

$\|u(t)\|_{H^3(\Omega)}\leq C(\|u_t\|_{H^1(\Omega)}+\|2u^3-2u^5-2bu+2pVu\|_{H^1(\Omega)})\leq C, \quad \forall t\geq1.$

(3.34)

证毕.

为了得到本节主要结果,需要如下引理的Łojasiewicz-Simon类型的不等式^{[8, 33-35, 39]}.由于非线性函数 $f(u)=2u^3-2u^5-2bu+2pVu$ 是关于 $u$ 的解析函数,所以

引理3.3 令 $\phi$ 为泛函 ${\cal{E}}(u)$ 的临界点.则存在依赖 $\phi$ 的常数 $\theta\in(0, \frac{1}{2})$ 和 $\beta>0$ 使得对任意满足 $\|u-\phi\|_{H^1(\Omega)} < \beta$ 的 $u\in H^1(\Omega)$ ,有

$\|\Delta u+f(u)\|_{H^{-1}(\Omega)}\geq |{\cal{E}}(u)-{\cal{E}}(\phi)|^{1-\theta},$

(3.35)

其中 ${\cal{E}}(u)$ 由(3.1)式定义, $H^{-1}(\Omega)$ 为 $H^{1}(\Omega)$ 的对偶空间.

基于上述引理,关于问题(1.5)-(1.6)有如下收敛性定理.

定理3.1 假设 $b>pV_0+\frac{3}{16}$ , $u_0\in H^{1}(\Omega)$ ,当 $t\rightarrow\infty$ 时,问题(1.5)-(1.6)的唯一正解 $u$ 在 $H^2(\Omega)$ 拓扑下收敛到平衡态 $\phi(x)$ ,即,

$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\|u(\cdot, t)-\phi\|_{H^2(\Omega)}=0,$

(3.36)

其中 $\phi(x)$ 为问题(1.4)的一个非平凡正解.

证根据引理3.2,存在序列 $\{t_n\}$ 使得当 $t_n\rightarrow+\infty$ 时, $u(x, t_n)\rightharpoonup\phi(x)$ 在 $H^3(\Omega)$ 中弱收敛.固定 $\tau>0$ .对于 $t_n\geq 1$ ,关于时间从 $t_n$ 到 $t_n+\tau$ 积分方程(3.2)并利用Cauchy-Schwarz不等式可得

$\int_{\Omega}|u(x, t_n+\tau)-u(x, t_n)|^2{\rm{d}} x\leq \tau\{{\cal{E}}(u(x, t_n))-{\cal{E}}(u(x, t_n+\tau))\}.$

(3.37)

${\cal{E}}(u(x, t))$ 关于时间单调递减且下有界,所以在 $L^2(\Omega)$ 中 $u(x, t_n+\tau)\rightarrow\phi(x)$ .根据引理3.2, $u(x, t_n+\tau)$ 的任意子序列在 $H^3(\Omega)$ 中都有一个弱收敛子序列.由紧嵌入,其极限必为 $\phi(x)$ .所以对任意固定的 $\tau$ , $u(x, t_n+\tau)\rightharpoonup\phi(x)$ 在 $H^3(\Omega)$ 中弱收敛.令 $\varphi\in C^{\infty}(\Omega)$ .则

$\begin{eqnarray}&&\int_{\Omega}\Big(u(x, t_n+\tau)-u(x, t_n)\Big)\varphi(x){\rm{d}} x\\&=&\int_0^{\tau}\int_{\Omega}\bigg\{-\nabla u(x, t_n+s)\nabla \varphi(x)\\&&+\Big(2u(x, t_n+s)^3-2u(x, t_n+s)^5-2bu(x, t_n+s)+2pVu(x, t_n+s)\Big)\varphi(x)\bigg\}{\rm{d}} x{\rm{d}} s.\end{eqnarray}$

(3.38)

令 $n\rightarrow+\infty$ ,利用紧嵌入可得

$\int_{\Omega}\bigg\{-\nabla\phi\nabla \varphi+\Big(2\phi^3-2\phi^5-2b\phi+2pV\phi\Big)\varphi\bigg\}{\rm{d}} x=0,$

(3.39)

从而 $\phi$ 满足

$\Delta\phi+2\phi^3-2\phi^5-2b\phi+2pV\phi=0.$

(3.40)

下面证明(3.36)式.实际上,对于 $u_0\in H^1(\Omega)$ ,根据引理3.2知 $\|u\|_{H^3(\Omega)}$ 一致有界.根据紧嵌入,存在单增无界序列 $\{t_n\}$ 和函数 $\phi$ 使得

$\lim\limits_{t_n\rightarrow+\infty}\|u(t_n)-\phi\|_{H^2(\Omega)}=0.$

(3.41)

于是根据引理3.3的Łojasiewicz-Simon不等式,类似文献[9, 23, 39]中的讨论,可证明存在时刻 $t_0>1$ 使得对任意的 $t\geq t_0$ ,有

$\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}({\cal{E}}(u)-{\cal{E}}(\phi))^{\theta}+C\|u_t\|_{L^2(\Omega)}\leq0.$

(3.42)

关于时间 $t$ 积分得

$\int_{t_0}^{+\infty}\|u_t(\tau)\|_{L^2(\Omega)}{\rm{d}}\tau<+\infty.$

(3.43)

因此由序列收敛结果(3.41)可知

$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\|u(t)-\phi\|_{L^2(\Omega)}=0.$

(3.44)

而 $u(t)$ 在 $H^3(\Omega)$ 中一致有界,根据插值不等式有

$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\|u(t)-\phi\|_{H^2(\Omega)}=0.$

(3.45)

证毕.

因此,我们证明了非线性薛定谔方程(1.1)在双周期区域 $\Omega$ 上存在非平凡的稳态解,其中非线性函数 $F(I)$ 由(1.3)式给出.进一步,借鉴文献[5, 22, 34-35]中的方法我们给出 $t\rightarrow+\infty$ 时 $u$ 收敛到 $\phi$ 的收敛率估计.

定理3.2 问题(1.5)-(1.6)的解 $u$ 在 $H^2(\Omega)$ 中以多项式速率收敛到 $\phi$ .即当 $t\rightarrow+\infty$ 时,有

$\|u(\cdot, t)-\phi\|_{H^2(\Omega)}\leq C(1+t)^{-\frac{\theta}{1-2\theta}},$

(3.46)

其中 $C$ 为正常数,常数 $\theta\in(0, \frac{1}{2})$ 为引理3.3中所谓的Łojasiewicz指数.

证对于 $0 < \theta < \frac{1}{2}$ , $L^2$ 收敛率估计可直接由Łojasiewicz-Simon不等式得到^{[9, 22, 39]},即

$\|u(\cdot, t)-\phi\|_{L^2(\Omega)}\leq C(1+t)^{-\frac{\theta}{1-2\theta}}.$

(3.47)

基于(3.47)式,可得函数更高阶导数模的收敛率估计.实际上,由标准的椭圆正则估计知,我们只须得到 $\|u_t\|_{L^2(\Omega)}$ 的衰减估计即可.由(1.4)式和椭圆问题(3.40)知

$u_t=\Delta(u-\phi)+f(u)-f(\phi).$

(3.48)

(3.48)式两端乘以 $-\Delta(u-\phi)-f(u)+f(\phi)$ ,在 $\Omega$ 上积分并利用关系式

$-(\Delta u+f(u))=-\Delta(u-\phi)-f(u)+f(\phi),$

可得

$\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}\bigg(\frac{1}{2}\|\nabla(u-\phi)\|_{L^2(\Omega)}^2-\int_{\Omega}\big[F(u)-F(\phi)-f(\phi)(u-\phi)\big]{\rm{d}} x\bigg)+\|\Delta u+f(u)\|_{L^2(\Omega)}^2=0,$

(3.49)

其中 $F(s)=\int_0^sf(\rho){\rm{d}} \rho$ .另一方面, (3.48)式两端乘以 $u-\phi$ 然后在 $\Omega$ 上积分得

$\frac{1}{2}\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}\|u-\phi\|_{L^2(\Omega)}^2+\|\nabla(u-\phi)\|_{L^2(\Omega)}^2=\int_{\Omega}(f(u)-f(\phi))(u-\phi){\rm{d}} x.$

(3.50)

则(3.50)式的右端满足如下估计

$\begin{eqnarray}\bigg|\int_{\Omega}(f(u)-f(\phi))(u-\phi){\rm{d}} x\bigg|&=&\bigg|\int_{\Omega}f'(\zeta)(u-\phi)^2{\rm{d}} x\bigg|\\&\leq&\|f'(\zeta)\|_{L^\infty(\Omega)}\|u-\phi\|_{L^2(\Omega)}^2\\&\leq &C_1\|u-\phi\|_{L^2(\Omega)}^2, \end{eqnarray}$

(3.51)

其中 $\zeta=au+(1-a)\phi$ , $a\in(0, 1)$ .

方程(3.50)两端乘以 $\mu>0$ ,然后将结果和(3.49)式相加,并利用(3.51)式可得

$\begin{eqnarray}&&\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}\bigg(\frac{1}{2}\|\nabla(u-\phi)\|_{L^2(\Omega)}^2+\frac{\mu}{2}\|u-\phi\|_{L^2(\Omega)}^2-\int_{\Omega}\big[F(u)-F(\phi)-f(\phi)(u-\phi)\big]{\rm{d}} x\bigg)\\&&+\|\Delta u+f(u)\|_{L^2(\Omega)}^2+\mu\|\nabla(u-\phi)\|_{L^2(\Omega)}^2\\&\leq& C_1\mu\|u-\phi\|_{L^2(\Omega)}^2.\end{eqnarray}$

(3.52)

此外,根据Taylor展开得

$F(u)=F(\phi)+f(\phi)(u-\phi)+\frac{1}{2}f'(\zeta)(u-\phi)^2,$

其中 $\zeta=au+(1-a)\phi$ , $a\in(0, 1)$ .则有

$\begin{eqnarray}\bigg|\int_{\Omega}\big[F(u)-F(\phi)-f(\phi)(u-\phi)\big]{\rm{d}} x\bigg|&=&\bigg|\int_{\Omega}\frac{1}{2}f'(\zeta)(u-\phi)^2{\rm{d}} x\bigg|\\&\leq&\frac{1}{2}\|f'(\zeta)\|_{L^\infty(\Omega)}\|u-\phi\|_{L^2(\Omega)}^2\\&\leq& C_2\|u-\phi\|_{L^2(\Omega)}^2.\end{eqnarray}$

(3.53)

对于 $t>0$ ,定义

$z(t)=\frac{1}{2}\|\nabla(u-\phi)\|_{L^2(\Omega)}^2+\frac{\mu}{2}\|u-\phi\|_{L^2(\Omega)}^2-\int_{\Omega}\big[F(u)-F(\phi)-f(\phi)(u-\phi)\big]{\rm{d}} x.$

(3.54)

在(3.54)式中如果选取 $\mu\geq1+2C_2>0$ ,则存在常数 $m>0$ 使得

$m\|u-\phi\|_{H^1(\Omega)}^2\geq z(t)\geq\frac{1}{2}\|u-\phi\|_{H^1(\Omega)}^2.$

(3.55)

因此,当 $0 < \theta < \frac{1}{2}$ ,根据(3.17), (3.52)和(3.55)式可得存在常数 $C_3, C_4>0$ 使得下式成立

$\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}z(t)+C_3z(t)+P(t)\leq C_4\|u-\phi\|_{L^2(\Omega)}^2\leq C(1+t)^{-\frac{2\theta}{1-2\theta}}.$

(3.56)

此外,由(3.18)式可得

$\frac{{\rm{d}} }{{\rm{d}} t}P(t)\leq C_5P(t).$

(3.57)

方程(3.57)两端乘以 $\alpha_1=\frac{1}{2C_5}$ ,然后与(3.56)式相加可得

$\frac{{\rm{d}} }{{\rm{d}} t}[z(t)+\alpha_1P(t)]+C[z(t)+\alpha_1P(t)]\leq C(1+t)^{-\frac{2\theta}{1-2\theta}},$

(3.58)

于是有

$\begin{eqnarray}z(t)+\alpha_1P(t)&\leq&C{\rm{e}}^{-C_3t}+C{\rm{e}}^{-C_3t}\bigg(\int_0^{\frac{t}{2}}{\rm{e}}^{C_3\tau}(1+\tau)^{-\frac{2\theta}{1-2\theta}}{\rm{d}}\tau+\int_{\frac{t}{2}}^t{\rm{e}}^{C_3\tau}(1+\tau)^{-\frac{2\theta}{1-2\theta}}{\rm{d}}\tau\bigg)\\&\leq&C{\rm{e}}^{-C_3t}+C{\rm{e}}^{-C_3t}\bigg({\rm{e}}^{\frac{C_3}{2}t}\int_0^{\frac{t}{2}}(1+\tau)^{-\frac{2\theta}{1-2\theta}}{\rm{d}}\tau+C(1+t)^{-\frac{2\theta}{1-2\theta}}{\rm{e}}^{C_3t}\bigg)\\&\leq&C(1+t)^{-\frac{2\theta}{1-2\theta}}.\end{eqnarray}$

(3.59)

则

$\|u_t\|_{L^2(\Omega)}^2=\|\Delta u+f(u)\|_{L^2(\Omega)}^2=P(t)\leq C(1+t)^{-\frac{2\theta}{1-2\theta}}.$

(3.60)

因此,由(3.48)式和标准的椭圆正则性定理,我们有

$\|u-\phi\|_{H^2(\Omega)} \leq C\big(\|u_t\|_{L^2(\Omega)}+\|f(u)-f(\phi)\|_{L^2(\Omega)}\big)\leq C(1+t)^{-\frac{\theta}{1-2\theta}}.$

(3.61)

证毕.

4 总结

本文利用梯度流方法得到了带有立方五次方非线性问题(1.3)的薛定谔方程(1.1)在双周期区域 $\Omega$ 上稳态解的存在性.我们的主要结果如下.

(ⅰ)对于适当的初值 $u_0\in H^1(\Omega)$ (参见(2.15)式),当实传输参数 $b$ 和调制深度指标 $p$ 满足 $b\geq p\max\{V(x)|x\in\Omega\}$ ,问题(1.5)-(1.6)存在唯一的正的整体解 $u(x, t)\in C^{2, 1}(\Omega\times\{t\geq0\})$ (参见定理2.1).

(ⅱ)假设 $u_0\in H^1(\Omega)$ ,传输参数 $b$ 满足 $b>p\max\{V(x)|x\in\Omega\}+\frac{3}{16},$ 则当时间趋于无穷时,问题(1.5)-(1.6)的唯一正整体解 $u(x, t)$ 在 $H^2(\Omega)$ 意义下趋于稳态解 $\phi(x)$ ,其中 $\phi(x)$ 为稳态方程(1.4)的非平凡正解.因此,非线性薛定谔方程(1.1)在双周期区域 $\Omega$ 上的稳态解存在(参见定理3.1和条件(3.11)).

(ⅲ)此外,当 $t\rightarrow+\infty$ 时,有如下收敛率估计

$\|u(x, t)-\phi\|_{H^2(\Omega)}\leq C(1+t)^{-\frac{\theta}{1-2\theta}},$

(4.1)

其中 $C$ 是一个正常数且 $\theta\in(0, \frac{1}{2})$ 为引理3.3中所谓的Łojasiewicz指数(参见定理3.2).

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Soliton complexes and flat-top nonlinear modes in optical lattices

2006

... 在非线性光学中,波导阵列中的晶格孤子首先被预测是以离散非线性薛定谔方程的解而存在^[10],然后在Algaas波导阵列中被观测到^[19].自此以后,光学孤子在理论和实验上都有了许多新的研究.对于光学空间孤子的特性和应用的描述可以参见文献[2, 17, 24, 36, 42].在光学研究中,一个基本情形是用非线性薛定谔方程控制的复值波函数来描述光波^{[7, 15, 25-26, 40]}.这些理论和实验研究为数学研究提供了大量的分析问题. ...

... 本文研究方程(1.1)形式为

$\Psi(x, z)=u(x)\exp(bz)$

的稳态解^{[2, 16]},其中

$b$

为一个实的传输参数,

$u(x)$

为实值函数.则函数

$u(x)$

满足如下方程 ...

Solitons in radiation chemistry and biology

1989

... 由于非线性和周期性的相互作用使得光的控制具有多种可能性,所以光波在非线性周期光学晶格中传播会呈现许多有趣的新现象^{[4, 11]}.这两种效应之间的平衡可以产生自定域结构,称为晶格孤子^[28].光晶格孤子在基础物理及其应用领域都引起了广泛的关注^{[11, 21]}.它们在我们对各种自然现象的描述中起着重要作用,并从应用数学和物理渗透到化学和生物学等科学的许多分支^[3]. ...

Localizing energy through nonlinearity and discreteness

2004

Global strong solutions of the full Navier-Stokes and Q-tensor system for nematic liquid crystal flows in two dimensions

2016

... 其中

$\Omega$

是

$\mathbb{R}^2$

中的双周期区域,

$\Delta$

是关于变量

$x_1$

和

$x_2$

的拉普拉斯算子.借鉴并拓展文献[5, 12, 18, 31]中的梯度流方法,我们将证明方程(1.4)解的存在性.考虑如下的热方程 ...

... 因此,我们证明了非线性薛定谔方程(1.1)在双周期区域

$\Omega$

上存在非平凡的稳态解,其中非线性函数

$F(I)$

由(1.3)式给出.进一步,借鉴文献[5, 22, 34-35]中的方法我们给出

$t\rightarrow+\infty$

时

$u$

收敛到

$\phi$

的收敛率估计. ...

Maximum principles, uniqueness and existence for harmonic maps with potential and Landau-Lifshitz equations

1999

Criteria for experimental observation of multidimensional optical solitons in saturable Kerr media

2004

On the Lojasiewicz-Simon gradient inequality

2003

... 为了得到本节主要结果,需要如下引理的Łojasiewicz-Simon类型的不等式^{[8, 33-35, 39]}.由于非线性函数

$f(u)=2u^3-2u^5-2bu+2pVu$

是关于

$u$

的解析函数,所以 ...

Applications of the Lojasiewicz-Simon gradient inequality to gradientlike evolution equations

2009

... 于是根据引理3.3的Łojasiewicz-Simon不等式,类似文献[9, 23, 39]中的讨论,可证明存在时刻

$t_0>1$

使得对任意的

$t\geq t_0$

,有 ...

... 证对于

$0 < \theta < \frac{1}{2}$

$L^2$

收敛率估计可直接由Łojasiewicz-Simon不等式得到^{[9, 22, 39]},即 ...

Discrete self-focusing in nonlinear arrays of coupled waveguides

1988

Discretizing light behaviour in linear and nonlinear waveguide lattices

2003

... [11, 21].它们在我们对各种自然现象的描述中起着重要作用,并从应用数学和物理渗透到化学和生物学等科学的许多分支^[3]. ...

The problem of uniqueness of the limit in a semilinear heat equation

1999

... 其中

$\Omega$

是

$\mathbb{R}^2$

中的双周期区域,

$\Delta$

是关于变量

$x_1$

和

$x_2$

的拉普拉斯算子.借鉴并拓展文献[5, 12, 18, 31]中的梯度流方法,我们将证明方程(1.4)解的存在性.考虑如下的热方程 ...

2007

... 其中初值

$u_0(x)\in H^1(\Omega)$

将在下文构造.之前,非线性薛定谔方程稳态解的存在性可以利用变分方法来证明,见文献[13, 37, 38],但本文我们采用与此不同的方法,即梯度流方法,来建立解的存在唯一性.同时,我们的这种方法将为解决非线性光学和许多理论物理领域的相关问题提供一种新的途径. ...

Optical vortices and vortex solitons

2005

... 其中函数

$\Psi$

表示基本波的波包振幅,

$\Delta_\bot=\partial^2/\partial x_1^2+\partial^2/\partial x_2^2$

,函数

$F(I)$

表示光学媒介的非线性性质,其依赖于光束强度

$I\equiv|\Psi|^2$

,且这里相关的函数关于

$x_1$

和

$x_2$

都是周期的.注意到,文献[14]中列举出了一些函数

$F(I)$

的特殊情形,比如,纯Kerr型非线性,

$F(I)=I$

,或者所谓的饱和非线性,

$F(I)=I(1+\alpha I)^{-1}$

,其中参数

$\alpha$

为非线性饱和度.特别地,文献[37]研究了具有更一般的饱和非线性的薛定谔方程(1.1)稳态解的存在性. ...

Bessel lattice solitons in competing cubic-quintic nonlinear media

2009

... 选取

$F(I)$

为立方五次方非线性^[15] ...

Necklace solitons and ring solitons in Bessel optical lattices

2008

... 本文研究方程(1.1)形式为

$\Psi(x, z)=u(x)\exp(bz)$

的稳态解^{[2, 16]},其中

$b$

为一个实的传输参数,

$u(x)$

为实值函数.则函数

$u(x)$

满足如下方程 ...

Shaping solitons by lattice defects

2010

Harmonic mappings of Riemannian manifolds

1964

... 其中

$\Omega$

是

$\mathbb{R}^2$

中的双周期区域,

$\Delta$

是关于变量

$x_1$

和

$x_2$

的拉普拉斯算子.借鉴并拓展文献[5, 12, 18, 31]中的梯度流方法,我们将证明方程(1.4)解的存在性.考虑如下的热方程 ...

Discrete Spatial Optical Solitons in Waveguide Arrays

1998

Observation of vortex-ring "discrete" solitons in 2D photonic lattices

2004

... 其中

$V(x)>0$

为外势函数^{[20, 30]}且关于空间变量

$x=(x_1, x_2)\in \mathbb{R}^2$

是周期的,其刻画了横向折射率调制分布,

$p\geq0$

表示调制深度.立方五次方非线性薛定谔方程在等离子体物理中的平均场理论^[41],核物理^[27]和玻色-爱因斯坦凝聚^[1]中都有许多的应用. ...

Observation of two-dimensional discrete solitons in optically induced nonlinear photonic lattices

2003

Decay estimates to equilibrium for some evolution equations with an analytic nonlinearity

2001

... 因此,我们证明了非线性薛定谔方程(1.1)在双周期区域

$\Omega$

上存在非平凡的稳态解,其中非线性函数

$F(I)$

由(1.3)式给出.进一步,借鉴文献[5, 22, 34-35]中的方法我们给出

$t\rightarrow+\infty$

时

$u$

收敛到

$\phi$

的收敛率估计. ...

... 证对于

$0 < \theta < \frac{1}{2}$

$L^2$

收敛率估计可直接由Łojasiewicz-Simon不等式得到^{[9, 22, 39]},即 ...

A simple unified approach to some convergence theorem of L. Simon

1998

... 于是根据引理3.3的Łojasiewicz-Simon不等式,类似文献[9, 23, 39]中的讨论,可证明存在时刻

$t_0>1$

使得对任意的

$t\geq t_0$

,有 ...

Soliton topology versus discrete symmetry in optical lattices

2005

Solitons in nonlinear lattices

2011

Rotary solitons in Bessel optical lattices

2004

Soliton-like solutions in nuclear hydrodynamics

1984

... 其中

$V(x)>0$

为外势函数^{[20, 30]}且关于空间变量

$x=(x_1, x_2)\in \mathbb{R}^2$

是周期的,其刻画了横向折射率调制分布,

$p\geq0$

表示调制深度.立方五次方非线性薛定谔方程在等离子体物理中的平均场理论^[41],核物理^[27]和玻色-爱因斯坦凝聚^[1]中都有许多的应用. ...

Discrete solitons

2002

On a vegetation pattern formation model governed by a nonlinear parabolic system

2013

... 本节讨论问题(1.5)-(1.6)整体解的存在唯一性.首先用算子半群理论^[29]来证明局部解的存在唯一性.改写问题(1.5)-(1.6)为 ...

Observation of discrete vortex solitons in optically induced photonic lattices

2004

... 其中

$V(x)>0$

为外势函数^{[20, 30]}且关于空间变量

$x=(x_1, x_2)\in \mathbb{R}^2$

是周期的,其刻画了横向折射率调制分布,

$p\geq0$

表示调制深度.立方五次方非线性薛定谔方程在等离子体物理中的平均场理论^[41],核物理^[27]和玻色-爱因斯坦凝聚^[1]中都有许多的应用. ...

2006

... 其中

$\Omega$

是

$\mathbb{R}^2$

中的双周期区域,

$\Delta$

是关于变量

$x_1$

和

$x_2$

的拉普拉斯算子.借鉴并拓展文献[5, 12, 18, 31]中的梯度流方法,我们将证明方程(1.4)解的存在性.考虑如下的热方程 ...

On the coupled Cahn-Hilliard equations

1993

... 引理3.1^[32] 令

$T$

给定且满足

$0 < T\leq+\infty$

.假设

$g(t), h(t)$

...

Asymptotics for a class of nonlinear evolution equation with applications to geometric problems

1983

... 为了得到本节主要结果,需要如下引理的Łojasiewicz-Simon类型的不等式^{[8, 33-35, 39]}.由于非线性函数

$f(u)=2u^3-2u^5-2bu+2pVu$

是关于

$u$

的解析函数,所以 ...

Long-time behavior for nonlinear hydrodynamic system modeling the nematic liquid crystal flows

2010

... 因此,我们证明了非线性薛定谔方程(1.1)在双周期区域

$\Omega$

上存在非平凡的稳态解,其中非线性函数

$F(I)$

由(1.3)式给出.进一步,借鉴文献[5, 22, 34-35]中的方法我们给出

$t\rightarrow+\infty$

时

$u$

收敛到

$\phi$

的收敛率估计. ...

Asymptotic behavior for a nematic liquid crystal model with different kinematic transport properties

2012

... 为了得到本节主要结果,需要如下引理的Łojasiewicz-Simon类型的不等式^{[8, 33-35, 39]}.由于非线性函数

$f(u)=2u^3-2u^5-2bu+2pVu$

是关于

$u$

的解析函数,所以 ...

... 因此,我们证明了非线性薛定谔方程(1.1)在双周期区域

$\Omega$

上存在非平凡的稳态解,其中非线性函数

$F(I)$

由(1.3)式给出.进一步,借鉴文献[5, 22, 34-35]中的方法我们给出

$t\rightarrow+\infty$

时

$u$

收敛到

$\phi$

的收敛率估计. ...

Fundamental and vortex solitons in a two-dimensional optical lattice

2003

Steady state solutions for nonlinear Schr?dinger equation arising in optics

2009

... 其中函数

$\Psi$

表示基本波的波包振幅,

$\Delta_\bot=\partial^2/\partial x_1^2+\partial^2/\partial x_2^2$

,函数

$F(I)$

表示光学媒介的非线性性质,其依赖于光束强度

$I\equiv|\Psi|^2$

,且这里相关的函数关于

$x_1$

和

$x_2$

都是周期的.注意到,文献[14]中列举出了一些函数

$F(I)$

的特殊情形,比如,纯Kerr型非线性,

$F(I)=I$

,或者所谓的饱和非线性,

$F(I)=I(1+\alpha I)^{-1}$

,其中参数

$\alpha$

为非线性饱和度.特别地,文献[37]研究了具有更一般的饱和非线性的薛定谔方程(1.1)稳态解的存在性. ...

... 其中初值

$u_0(x)\in H^1(\Omega)$

Existence of optical vortices

2014

... 其中初值

$u_0(x)\in H^1(\Omega)$

2004

... 为了得到本节主要结果,需要如下引理的Łojasiewicz-Simon类型的不等式^{[8, 33-35, 39]}.由于非线性函数

$f(u)=2u^3-2u^5-2bu+2pVu$

是关于

$u$

的解析函数,所以 ...

... 于是根据引理3.3的Łojasiewicz-Simon不等式,类似文献[9, 23, 39]中的讨论,可证明存在时刻

$t_0>1$

使得对任意的

$t\geq t_0$

,有 ...

... 证对于

$0 < \theta < \frac{1}{2}$

$L^2$

收敛率估计可直接由Łojasiewicz-Simon不等式得到^{[9, 22, 39]},即 ...

Multipeaked fundamental and vortex solitons in azimuthally modulated Bessel lattices

2011

Stochastic diffusion of electrons in evolution Langmuir fields

1994

... 其中

$V(x)>0$

为外势函数^{[20, 30]}且关于空间变量

$x=(x_1, x_2)\in \mathbb{R}^2$

是周期的,其刻画了横向折射率调制分布,

$p\geq0$

表示调制深度.立方五次方非线性薛定谔方程在等离子体物理中的平均场理论^[41],核物理^[27]和玻色-爱因斯坦凝聚^[1]中都有许多的应用. ...

Different discrete soliton states in periodic optical induced waveguide lattice

2007

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