边值振荡的齐次化问题最早在1978年由Bensoussan、Lions和Papanicolaou在文献[4]中首次提出.自那以后,其一直作为一个悬而未决的问题而备受关注.近年来,人们对此类问题的研究有了突破性的进展. 2011年, Gérard和Masmoudi^[5]研究了振荡Dirichlet边值问题,获得了$ L^{2} $范数下的收敛率估计. 2013年, Aleksanyan、Shahgholian和Sjölin^[1]对振荡Dirichlet边值问题证明了解的逐点收敛估计. 2015年,他们^[2]还利用振荡积分的估计推广其已有结果到$ L^{p} $收敛率估计. 2015年,本文作者研究了振荡的Neumann边值齐次化问题,得到了解的逐点收敛和$ L^{p} $收敛率^[3].

本篇文章,将对此前的工作^[3]进行深入研究,继续对算子固定Neumann边值振荡的齐次化问题解的收敛率进行分析,主要目标是研究提高解的$ W^{1, p} $收敛率.

具体地,本文考虑以下问题

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} Lu_{\varepsilon} = -{\rm div}(A(x)\triangledown u_{\varepsilon}) = -\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(a_{ij}(x)\frac{\partial u_{\varepsilon} }{\partial x_{j}}\right) = 0, \quad &x\in\Omega, \\ \frac{\partial u_{\varepsilon}}{\partial \nu} = f_{\varepsilon}(x) = f(x/\varepsilon^{\alpha}), &x\in\partial\Omega, \\[3pt] \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ \alpha $是任意正数.这里的$ \frac{\partial u_{\varepsilon}}{\partial\nu } = n_{i}a_{ij}\frac{\partial u_{\varepsilon}}{\partial x_{j}} $表示算子$ L $的外法线导数, $ n(x) $是边界$ \partial\Omega $在点$ x $处的单位向量.另外,整篇文章都用到了求和约定.

进一步,我们假设矩阵$ A(x) = (a_{ij}(x)) $, $ 1\leq i, j\leq n $,是实对称的并且满足椭圆性条件

(1.2) $ \begin{equation} a_{ij}(x) = a_{ji}(x), \; \; \mbox{和}\; \; \lambda | \xi| ^{2}\leq a_{ij}(x)\xi_{i}\xi_{j}\leq \frac{1}{\lambda} | \xi| ^{2}, \; \; \; \mbox{其中}\; x\in {\Bbb R} ^{n}, \; \; \xi = (\xi_{i})\in {\Bbb R} ^{n}, \end{equation} $

这里$ \lambda> 0 $;周期性条件

(1.3) $ \begin{equation} f(y+h) = f(y), \; \; \mbox{其中}\; y\in {\Bbb R} ^{n}, \; \; h\in {\Bbb Z}^{n}. \end{equation} $

我们还提出光滑性条件、紧性和凸性条件

(1.4) $ \begin{equation} A(x), f(y)\in C^{\infty}({\Bbb R} ^{n}), \; \; \Omega\; \mbox{是} \; {\Bbb R} ^{n}\; \mbox{中紧的一致凸光滑区域}. \end{equation} $

不失一般性,我们还假设相容性条件成立:

(1.5) $ \begin{equation} \int_{\partial\Omega}u_{\varepsilon}(x){\rm d}\sigma(x) = \int_{\partial\Omega}f_{\varepsilon}(x){\rm d}\sigma(x) = 0. \end{equation} $

这里,与问题(1.1)相对应的齐次化问题是

$ \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} Lu_{0} = -\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(a_{ij}(x)\frac{\partial u_{0} }{\partial x_{j}}\right) = 0, \quad &x\in\Omega, \\ \frac{\partial u_{0}}{\partial \nu} = \int_{{\Bbb T}^{n}}f(y){\rm d}\sigma(y)\doteq f_{0}, &x\in\partial\Omega, \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

其中$ {\Bbb T}^{n} $是$ {\Bbb R} ^{n} $中的单位环面.

本篇文章考虑的重复周期边值函数$ f(x/\varepsilon^{\alpha}) $,这是一般情形的周期振荡边值,当$ \alpha = 1 $时,就是通常的迅速振荡边值函数的情形.此类边值问题十分重要,它常用来描述流体中的示踪及分流过程.

本文所使用的方法和技巧与Aleksanyan、Shahgholian和Sjölin在文章^[2]中对Dirichlet振荡边值的齐次化问题的研究过程有些类似.但是由于Neumann函数的奇异性低于Poisson核,所以文章中得到了更好的收敛率结果.

以下是本文的主要结果:

定理1.1  在(1.1)–(1.5)的假设条件下,存在常数C,对任意的$ 1\leq p<\infty $,都有

$ \begin{eqnarray*} \|u_{\varepsilon}-u_{0}\|_{L^{p}(\Omega)}\leq C\varepsilon^{2\alpha/p}|\ln\varepsilon^{\alpha}|^{1/p}. \end{eqnarray*} $

定理1.2  在(1.1)–(1.5)的假设条件下,存在常数C,对任意的$ 1\leq p<\infty $,都有

$ \begin{eqnarray*} \parallel \triangledown(u_{\varepsilon}-u_{0})\parallel_{L^{p}(\Omega)}\leq C\varepsilon^{\alpha/2p}. \end{eqnarray*} $

本篇文章其余部分安排如下.第二章包含了一些基本公式和有用的命题,他们对得到收敛率起了很重要的作用.第三章,我们证明了在重复周期振荡Neumann边值条件下,对任意的$ 1\leq p<\infty $,解$ u_{\varepsilon} $在$ W^{1, p}(\Omega) $范数下收敛到其对应的齐次化问题的解$ u_{0} $.证明所用到的主要技巧是Fourier分析中关于振荡积分的估计.第四章,我们总结了本文的主要结果并提出了进一步的研究方向.

我们首先介绍一些符号和定义.

令$ N(x, y) $表示(1.1)式中关于算子$ L $的Neumann函数. $ B_{r}(x) = \{y\in {\Bbb R} ^{n}:| y-x| <r\} $表示中心在$ x $点半径是$ r $的开球.多重指标$ \beta = (\beta_{1}, \cdots , \beta_{n}) $、$ x = (x_{1}, \cdots , x_{n}) $、$ x^{\beta} = (x_{1}^{\beta_{1}}\cdots x_{n}^{\beta_{n}}) $.对于$ m = (m_{1}, \cdots , m_{n})\in {\Bbb Z}^{n} $,我们令$ | m| = | m_{1}| +\cdots+| m_{n}| $.本文都用$ C $表示正常数,其在不同公式中可能会发生变化.

在有界的$ C^{1, 1} $区域$ \Omega $上, Neumann函数$ N(x, y) $的定义为

$ \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} LN(\cdot, y) = \delta_{y}(x), &x\in\Omega, \\[3pt] \frac{\partial N(\cdot, y)}{\partial\nu} = -\frac{1}{| \partial\Omega| }, \; \ &x\in\partial\Omega, \\ \int_{\partial\Omega}N(x, y){\rm d}\sigma = 0, \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

其中$ \delta_{y}(x) $表示极点$ y $处的Dirac函数.

由文献[6]可知,如果$ \Omega $是一个有界的$ C^{1, \eta} $区域,这里的$ 0<\eta<1 $并且$ n\geq3 $,则对任意的$ x, y\in \Omega $且$ x\neq y $,都有

(2.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} | N(x, y)| \leq \frac{C}{| x-y| ^{n-2}}, \\ | \triangledown_{y}N(x, y)| \leq \frac{C}{| x-y| ^{n-1}}, \\ | \triangledown_{y}^{2}N(x, y)| \leq \frac{C}{| x-y| ^{n}}, \\ | \triangledown_{y}\triangledown_{x}N(x, y)| \; \leq \frac{C}{| x-y| ^{n}}, \end{array} \right. \end{eqnarray} $

这里的常数$ C $只依赖于维数$ n $、算子$ L $和区域$ \Omega $.

对于维数$ n = 2 $时,我们可以获得类似上述形式的估计式,只需将上式中的$ n-2 $换成$ \gamma $,其中$ \gamma $可以取任意正数.事实上,关于$ {\Bbb R} ^{2} $上的Neumann函数的估计式并不是最优的.我们希望得到对数形式的估计式,然而目前可以找到的最好的Neumann函数的估计式就是Kenig、Lin和Shen在文献[6]中的结果.

下面一个命题,由Aleksanyan、Shahgholian和Sjölin在文献[1]中给予证明.

命题2.1  如果$ f\in C^{k}({\Bbb T}^{n}) $并且$ \beta\in {\Bbb R} ^{1} $,那么只要$ k+\beta>n/2 $,就有

$ \begin{eqnarray*} \sum\limits_{0\neq m\in {\Bbb Z}^{n}}\frac{1}{| m|^{\beta}}| c_{m}(f)| \leq C\bigg(\sum\limits_{\theta\in {\Bbb Z}_{+}^{n}, | \theta| = k} \parallel\triangledown^ {\theta} f\parallel_{L^{2}({\Bbb T}^{n})}^{2}\bigg)^{1/2}, \end{eqnarray*} $

其中$ c_{m}(f) $是函数$ f $的Fourier展开的$ m $阶系数.

下一个命题是文献[6]中的主要结果.

命题2.2  假设$ \Omega $是有界的$ C^{1, \alpha} $区域.则在(1.1)–(1.5)的假设条件下,对任意的$ f\in C^{\eta} $,其中$ 0<\eta<\alpha<1 $,以下方程的弱解

$ \left\{\begin{array}{ll} Lu_{\varepsilon} = 0, &x\in\Omega, \\[3pt] \frac{\partial u_{\varepsilon}}{\partial \nu} = f, \quad &x\in\partial\Omega, \\[3pt] \end{array} \right. $

满足估计式

$ \|\triangledown u_{\varepsilon}\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C\|f\|_{C^{\eta}(\partial\Omega)}, $

这里的常数C只依赖于参数$ n, \eta, \lambda $和$ \Omega $.

本章的目标是证明解的$ W^{1, p} $收敛率.

首先,我们选择$ \partial\Omega $的一个恰当的覆盖$ B_{\delta}(y^{(j)}) $,这里的$ y^{(j)}\in \partial\Omega $并且$ \delta $是一个小正数.由Vitali覆盖定理可知,存在可数个互不相交的球使得$ \partial\Omega \subset \bigcup\limits_{j} B_{10\delta}(y^{(j)}) $,其可表示为$ \partial\Omega_{j} = \partial\Omega\bigcap B_{10\delta}(y^{(j)}) $.进一步可知,每一个$ \partial\Omega $上的点都可被至多可数个球覆盖.接下来,引入单位分解函数

$ \begin{eqnarray*} \eta_{j}\in C_{0}^{\infty}(B_{10\delta}(y^{(j)})), \; \sum\limits_{j} \eta_{j} = 1\; \; \mbox{并且}\; \; 0\leq\eta_{j}\leq1. \end{eqnarray*} $

利用解的Neumann函数表示,可得

(3.1) $ \begin{equation} u_{\varepsilon}(x)-u_{0}(x) = \sum\limits_j \int_{\partial\Omega_{j}} N(x, y)[f_{\varepsilon}(y)-f_{0}]\eta_{j}(y){\rm d}\sigma(y) = \sum\limits_j I_{j}, \end{equation} $

其中$ I_{j} = \int_{\partial\Omega_{j}} N(x, y)[f_{\varepsilon}(y)-f_{0}]\eta_{j}(y){\rm d}\sigma(y) $.不失一般性,我们可以假设$ y^{j} = 0 $,否则可以平移坐标系,令$ z = y-y^{j} $.

这里不妨将$ \partial\Omega $视为一个$ C^{\infty} $函数的图像.定义函数$ \phi(y') $,使其满足$ \partial\Omega_{j} = \{(y', \phi(y')):| y'| <10\delta\}\bigcap B_{10\delta}(0) $,这里的$ y' = (y_{1}, \cdots , y_{n-1}) $.同时假设函数$ \phi $对任意的$ i\neq j $、$ \frac{\partial^{2}\phi}{\partial y_{i}^{2}(0)}>0 $和$ j = 1, 2, \cdots , n-1 $,都满足性质$ \phi\in C^{\infty}_{0} $、$ \phi(0) = \triangledown \phi(0) = 0 $和$ \frac{\partial^{2}\phi}{\partial y_{i}\partial y_{j}}(0) = 0 $.我们还可以假设当$ | y'| \leq\frac{C_{1}}{C_{2}}\delta $时, $ C_{1}| y'| \leq| \triangledown \phi(y')| \leq C_{2}| y'| $成立,其中的$ \delta $是一足够小的常数.进一步,通过选择$ \delta>0 $使其足够小,让其满足对任意的$ | y'| <\delta $,都有$ | \frac{\partial^{2}\phi}{\partial y_{i}\partial y_{j}}| \leq C_{3} $,并且$ | \frac{\partial^{2}\phi}{\partial y_{i}^{2}}| \geq C_{4}>0 $成立.同时,存在唯一的$ y' $且$ | y'| <\delta $,使得$ \triangledown \phi(y') = m' $当$ | m'| <C_{1}\delta $成立.

于是就有

$ \begin{eqnarray*} I_{j}& = & \int_{| y'| <10\delta}N(x, (y', \phi(y'))) [f_{\varepsilon}(y', \phi(y'))-f_{0}](y', \phi(y'))\\ &&\cdot \eta_{j}(y', \phi(y')) (1+| \triangledown \phi(y')| ^{2})^{1/2}{\rm d}y'. \end{eqnarray*} $

因为函数$ f(x) $是周期的且充分光滑,由函数的Fourier展开可得

$ f(x) = \sum\limits_{m\in {\Bbb Z}^{n}} c_{m}\exp (m\cdot x). $

于是就有

$ f(x/\varepsilon^{\alpha}) = \sum\limits_{m\in {\Bbb Z}^{n}} c_{m}\exp (m/\varepsilon^{\alpha}\cdot x). $

利用$ f_{0} $的齐次性可得

$ \begin{eqnarray*} [f_{\varepsilon}-f_{0}](y', \phi(y'))& = &\sum\limits_{0\neq m\in {\Bbb Z}^{n}} c_{m}\exp [m/\varepsilon^{\alpha}\cdot (y', \phi(y'))] \\ & = & \sum\limits_{0\neq m\in {\Bbb Z}^{n}} c_{m}\exp [1/\varepsilon^{\alpha}\langle m\cdot (y', \phi(y'))\rangle], \end{eqnarray*} $

其中$ \langle\cdot, \cdot\rangle $表示标量积.利用性质$ | (m', m_{n})| = 1 $可得

$ \begin{eqnarray*} [f_{\varepsilon}-f_{0}](y', \phi(y')) = \sum\limits_{0\neq m\in {\Bbb Z}^{n}}c_{m}\exp [1/\varepsilon^{\alpha}H(y')], \end{eqnarray*} $

这里的$ H(y') = m'\cdot y'+m_{n}\phi(y') $.

于是,可推出

(3.2) $ \begin{eqnarray} I_{j}& = & \sum\limits_{0\neq m\in {\Bbb Z}^{n}} c_{m}\int_{| y'| <10\delta}N(x, (y', \phi(y')))\exp [1/\varepsilon^{\alpha}H(y')] \eta_{j}((y', \phi(y'))) (1+| \triangledown \phi(y')| ^{2})^{1/2}{\rm d}y' \\ & = & \sum\limits_{0\neq m\in {\Bbb Z}^{n}} c_{m} I_{j, m}, \end{eqnarray} $

其中

$ I_{j, m} = \int_{| y'| <10\delta}N(x, (y', \phi(y')))\exp [1/\varepsilon^{\alpha}H(y')] \cdot\eta_{j}((y', \phi(y'))) (1+| \triangledown \phi(y')| ^{2})^{1/2}{\rm d}y'. $

接下来,我们将分析奇异积分$ I_{j, m} $的两种可能情形.

第一种情形: $ | m'| \geq C_{1}\delta $.

对于此类情形,我们选择$ \delta>0 $足够小,使其满足$ C_{1}\delta<1 $.这就得出$ \triangledown H(y') = m'+m_{n}\triangledown \phi(y') $.因此就有$ | m_{j}'| \geq C_{1}\delta/n $对某些$ 1\leq j\leq n-1 $成立.通过选择$ \delta $就有

(3.3) $ \begin{equation} \left|\frac{\partial H}{\partial y_{j}}\right|\geq C_{1}\delta/n-C_{2} |y'|\geq C_{1}\delta/n-C_{1}\delta/2n = C_{1}\delta/2n. \end{equation} $

将$ I_{j, m} $的$ j $方向上的坐标分部积分两次,同时利用(3.3)和(2.1)式,对于任意的$ x\in \Omega $,就有

(3.4) $ \begin{equation} | I_{j, m}| \leq C\varepsilon^{2\alpha}\int_{| y'| <10\delta} \frac{{\rm d}y'}{| x-(y', \phi(y'))| ^{n}}. \end{equation} $

此时,我们令$ {\rm d}(x) = {\rm dist}(x, \partial\Omega) $,同时假设

(3.5) $ \begin{equation} \Omega_{\varepsilon} = \{x\in \Omega:{\rm d}(x)\geq\varepsilon^{2\alpha}\}, \end{equation} $

于是就有

$ \begin{eqnarray*} \int_{\Omega_{\varepsilon}} \frac{{\rm d}x}{| x-(y', \phi(y'))| ^{n}}\leq C\int_{\omega\geq\varepsilon^{2\alpha}}\frac{ {\rm d}\omega}{| \omega| ^{n}} \leq C\int_{\varepsilon^{2\alpha}}^{C}\frac{r^{n-1}}{r^{n}}{\rm d}r\leq C\cdot|\ln \varepsilon^{\alpha}|. \end{eqnarray*} $

上式并结合(3.2)和(3.4)式,就有

$ \begin{eqnarray*} \int_{\Omega_{\varepsilon}}| I_{j}(x)| {\rm d}x\leq C\varepsilon^{2\alpha}|\ln \varepsilon^{\alpha}|\int_{| y'| \leq 10\delta} \sum\limits_{0\neq m\in {\Bbb Z}^{n}}| c_{m}| {\rm d}y'\leq C\varepsilon^{2\alpha}|\ln \varepsilon^{\alpha}|. \end{eqnarray*} $

利用(3.1)式,就可以得到

(3.6) $ \begin{equation} \int_{\Omega_{\varepsilon}}| u_{\varepsilon}(x)-u_{0}(x)| {\rm d}x\leq C\varepsilon^{2\alpha}|\ln \varepsilon^{\alpha}|. \end{equation} $

第二种情形:$ | m'| < C_{1}\delta $.

对于此类情形,考虑到$ | (m', m_{n})| = 1 $和$ \delta>0 $足够小的事实,可以得到$ | \frac{m'}{m_{n}}| <C_{1}\delta $.再考虑到$ \phi $的性质,可知存在唯一的$ y'_{0} $满足$ | y'_{0}| <\delta $和$ \triangledown \phi(y'_{0}) = -\frac{m'}{m_{n}} $.清楚可知$ \triangledown H(y'_{0}) = m'+m_{n}\triangledown \phi(y'_{0}) = 0 $.

如果$ i = j $,利用函数$ \phi $的性质可知

$ \left| \frac{\partial}{\partial y_{i}}\left(\frac{\partial H}{\partial y_{i}}\right)\right| = \left| m_{n}\frac{\partial^{2}\phi}{\partial y_{i}^{2}}\right|\geq C_{4}>0. $

于是就有

$ \left| \frac{\partial H}{\partial y_{i}}(y'_{0}+h)\right|\geq C_{4}>0, $

其中$ h $是$ {\Bbb R} ^{n-1} $中的步长.

如果$ i\neq j $,注意到

$ \left| \frac{\partial}{\partial y_{i}}\left(\frac{\partial H}{\partial y_{j}}\right)\right| = \left| m_{n}\frac{\partial^{2}\phi}{\partial y_{i}\partial y_{j}}\right|\leq C_{3}, $

这就有

(3.7) $ \begin{equation} \left| \frac{\partial H}{\partial y_{j}}(y'_{0}+z')\right|\geq C|z_{j}|>0, \; \; \mbox{其中}\; \; j = 1, 2, \cdots , n-1, \end{equation} $

这里的$ z'\in \Lambda_{j} $, $ \Lambda_{j} $定义为

$ \Lambda_{j} = \left\{ z'\in {\Bbb R} ^{n-1}:|z'|\leq\alpha|z'_{j}|\right\}, \; \; \mbox{其中}\; \; 0<\alpha<1. $

此时,固定非负光滑函数$ \omega_{j}(z') $,使其满足$ supp (\omega_{j})\subset \Lambda_{j} $并且齐次维度是0,同时对于任意的$ k = 1, 2, \cdots , n-1 $,都有$ \sum\limits_{1\leq k\leq n-1} \omega_{k}(z') = 1 $成立.

通过坐标平移,我们可以假设条件$ y'_{0} = 0 $.固定非负周期函数$ p(y') $使其满足当$ |y'|\leq1 $时$ p(y')\equiv1 $成立;当$ |y'|\geq2 $时, $ p(y')\equiv0 $成立.

令$ y' = z' $,于是就有

(3.8) $ \begin{eqnarray} I_{j, m}& = & \int_{| z'| <10\delta}N(x, (z', \phi(z')))\exp [1/\varepsilon^{\alpha}H(z')] \cdot\eta_{j}((z', \phi(z'))) (1+| \triangledown \phi(z')| ^{2})^{1/2}{\rm d}z'\\ & = & I_{j.m}^{1}+I_{j, m}^{2}, \end{eqnarray} $

其中

$ I_{j, m}^{1} = \int_{| z'| <10\delta}p(\varepsilon^{-\alpha}z')N(x, (z', \phi(z'))) \exp [1/\varepsilon^{\alpha}H(z')] \cdot\eta_{j}((z', \phi(z'))) (1+| \triangledown \phi(z')| ^{2})^{1/2}{\rm d}z', $

$ \begin{eqnarray*} I_{j, m}^{2}& = &\int_{| z'| <10\delta}(1-p(\varepsilon^{-\alpha}z'))N(x, (z', \phi(z'))) \exp [1/\varepsilon^{\alpha}H(z')]\\ &&\cdot\eta_{j}((z', \phi(z'))) (1+| \triangledown \phi(z')| ^{2})^{1/2}{\rm d}z'. \end{eqnarray*} $

首先观察$ I_{j, m}^{1} $,利用(2.1)式和命题2.1,就有

(3.9) $ \begin{equation} \sum\limits_{0\neq m\in {\Bbb Z}^{n}} c_{m} \int_{\Omega_{\varepsilon}}|I_{j, m}^{1}|{\rm d}x\leq C\sum\limits_{0\neq m\in {\Bbb Z}^{n}} |c_{m}| \int_{|z'|\leq2\varepsilon^{\alpha}}{\rm d}z'\leq C\varepsilon^{\alpha(n-1)}. \end{equation} $

对于第二部分$ I_{j, m}^{2} $,我们有$ I_{j, m}^{2} = \sum\limits_{1\leq k\leq n-1} I_{j, m}^{2, k} $,这里

$ \begin{eqnarray*} I_{j, m}^{2, k}& = & \int_{| z'| <10\delta}\omega_{k}(z')(1-p(\varepsilon^{-\alpha}z'))N(x, (z', \phi(z'))) \exp [1/\varepsilon^{\alpha}H(z')]\\ && \cdot\eta_{j}((z', \phi(z'))) (1+| \triangledown \phi(z')| ^{2})^{1/2}{\rm d}z'. \end{eqnarray*} $

将$ z_{j} $分部积分两次,通过简单的计算可得

(3.10) $ \begin{equation} |I_{j, m}^{2, k}|\leq C\varepsilon^{2\alpha}\int_{\varepsilon^{\alpha}\leq| z'| }\left|\frac{\partial}{\partial z_{j}}\left[\frac{1}{\frac{\partial H}{\partial z_{j}}}\frac{\partial}{\partial z_{j}}\left(\frac{1}{\frac{\partial H}{\partial z_{j}}}\omega_{k}(z')(1-p(\varepsilon^{-\alpha}z'))N(x, (z', \phi(z'))) \right)\right]\right|{\rm d}z'. \end{equation} $

鉴于函数$ \omega_{k} $的0次维度的性质,则对于$ k = 1, 2, \cdots , n-1 $,就有

$ \left| \frac{\partial \omega_{k}}{\partial z_{k}}(z')\right|\leq\frac{C}{|z'|}, \; \; \; \; \left| \frac{\partial^{2} \omega_{k}}{\partial z_{k}^{2}}(z')\right|\leq\frac{C}{|z'|^{2}}. $

利用命题2.1以及(2.1)、(3.7)和(3.10)式,可得

$ \sum\limits_{0\neq m\in {\Bbb Z}^{n}} c_{m} |I_{j, m}^{2}(x)|\leq C\varepsilon^{2\alpha}\sum\limits_{1\leq n\leq6} P_{n}(x), $

其中

$ P_{1}(x) = \int_{\varepsilon^{\alpha}\leq |z'|\leq C}\frac{1}{|z'|^{4}}\frac{{\rm d}z'}{|x-(z', \phi(z'))|^{n-2}}, $

$ P_{2}(x) = \varepsilon^{-\alpha}\int_{\varepsilon^{\alpha}\leq |z'|\leq 2\varepsilon^{\alpha}}\frac{1}{|z'|^{3}}\frac{{\rm d}z'}{|x-(z', \phi(z'))|^{n-2}}, $

$ P_{3}(x) = \int_{\varepsilon^{\alpha}\leq |z'|\leq C}\frac{1}{|z'|^{3}}\frac{{\rm d}z'}{|x-(z', \phi(z'))|^{n-1}}, $

$ P_{4}(x) = \varepsilon^{-2\alpha}\int_{\varepsilon^{\alpha}\leq |z'|\leq 2\varepsilon^{\alpha}}\frac{1}{|z'|^{2}}\frac{{\rm d}z'}{|x-(z', \phi(z'))|^{n-2}}, $

$ P_{5}(x) = \varepsilon^{-\alpha}\int_{\varepsilon^{\alpha}\leq |z'|\leq 2\varepsilon^{\alpha}}\frac{1}{|z'|^{2}}\frac{{\rm d}z'}{|x-(z', \phi(z'))|^{n-1}}, $

$ P_{6}(x) = \int_{\varepsilon^{\alpha}\leq |z'|\leq C}\frac{1}{|z'|^{2}}\frac{{\rm d}z'}{|x-(z', \phi(z'))|^{n}}. $

直接计算可得

$ \int_{\Omega_{\varepsilon}}\sum\limits_{1\leq n\leq6} P_{n}(x){\rm d}x \leq C|\ln\varepsilon^{\alpha}|\varepsilon^{(n-3)\alpha}. $

于是就有

$ \sum\limits_{0\neq m\in {\Bbb Z}^{n}} c_{m} \int_{\Omega_{\varepsilon}}|I_{j, m}^{2}(x)|{\rm d}x\leq C |\ln\varepsilon^{\alpha}|\varepsilon^{(n-1)\alpha}. $

再结合$ I_{j, m}^{1} $和$ I_{j, m}^{2} $的估计,同时利用(3.1)和(3.2)式,就有

(3.11) $ \begin{equation} \int_{\Omega_{\varepsilon}}| u_{\varepsilon}(x)-u_{0}(x)| {\rm d}x\leq C \left\{ \begin{array}{ll} \varepsilon^{\alpha}|\ln\varepsilon^{\alpha}|, \; \; &n = 2, \\ \varepsilon^{2\alpha}|\ln\varepsilon^{\alpha}|, \; \; &n\geq3. \end{array} \right. \end{equation} $

鉴于(2.1)式,可以得到$ | u_{\varepsilon}(x)-u_{0}(x)| $的有界性,因此

$ \int_{\Omega\setminus \Omega_{\varepsilon}}| u_{\varepsilon}(x)-u_{0}(x)| {\rm d}x\leq C\varepsilon^{2\alpha}. $

于是,对任意的$ 1\leq p<\infty $,我们有

$ \begin{eqnarray*} \parallel u_{\varepsilon}-u_{0}\parallel^{p}_{L^{p}(\Omega)} = \int_{\Omega}| u_{\varepsilon}(x)-u_{0}(x)| | u_{\varepsilon}(x)-u_{0}(x)| ^{p-1} {\rm d}x \leq C\parallel u_{\varepsilon}-u_{0}\parallel_{L^{1}(\Omega)}. \end{eqnarray*} $

所以

(3.12) $ \begin{equation} \|u_{\varepsilon}-u_{0}\|_{L^{p}(\Omega)}\leq C\varepsilon^{2\alpha/p}|\ln\varepsilon^{\alpha}|^{1/p}. \end{equation} $

定理1.1证毕.

下面证明定理1.2.

在定理1.1的条件下,再次利用解的Neumann函数表示,可得

$ \begin{eqnarray*} \triangledown[u_{\varepsilon}(x)-u_{0}(x)] = \sum\limits_j\int_{\partial\Omega_{j}}\triangledown_{x}N(x, y) [f_{\varepsilon}(y)-f_{0}]\eta_{j}(y){\rm d}\sigma(y). \end{eqnarray*} $

和定理1.1的证明过程类似,将(3.5)式的定义变成

$ \Omega_{\varepsilon} = \{x\in \Omega:d(x)\geq\varepsilon^{\alpha}\} $

且在振荡积分中用$ \triangledown_{x}N(x, y) $替代$ N(x, y) $.

接下来的证明过程和(3.6)式类似.

$ \begin{eqnarray*} \int_{\Omega_{\varepsilon}}| \triangledown u_{\varepsilon}(x)-\triangledown u_{0}(x)| {\rm d}x\leq C\varepsilon^{\alpha}. \end{eqnarray*} $

类似于(3.8)式,我们可得

$ \begin{eqnarray*} I_{j, m}& = & \int_{| z'| <10\delta}\triangledown_{x}N(x, (z', \phi(z')))\exp [1/\varepsilon^{\alpha}H(z')] \cdot\eta_{j}((z', \phi(z'))) (1+| \triangledown \phi(z')| ^{2})^{1/2}{\rm d}z'\\ & = & I_{j.m}^{1}+I_{j, m}^{2}, \end{eqnarray*} $

其中

$ \begin{eqnarray*} I_{j, m}^{1}& = &\int_{| z'| <10\delta}p(\varepsilon^{-\alpha/2}z')\triangledown_{x}N(x, (z', \phi(z'))) \exp [1/\varepsilon^{\alpha}H(z')]\\ &&\cdot\eta_{j}((z', \phi(z'))) (1+| \triangledown \phi(z')| ^{2})^{1/2}{\rm d}z', \end{eqnarray*} $

$ \begin{eqnarray*} I_{j, m}^{2}& = &\int_{| z'| <10\delta}(1-p(\varepsilon^{-\alpha/2}z'))\triangledown_{x}N(x, (z', \phi(z'))) \exp [1/\varepsilon^{\alpha}H(z')]\\ &&\cdot\eta_{j}((z', \phi(z'))) (1+| \triangledown \phi(z')| ^{2})^{1/2}{\rm d}z'. \end{eqnarray*} $

注意到

$ \sum\limits_{0\neq m\in {\Bbb Z}^{n}} c_{m} \int_{\Omega_{\varepsilon}}|I_{j, m}^{1}|{\rm d}x\leq C\sum\limits_{0\neq m\in {\Bbb Z}^{n}} |c_{m}| \int_{|z'|\leq2\varepsilon^{\alpha/2}}{\rm d}z'\leq C\varepsilon^{\alpha(n-1)/2}. $

类似于(3.10)式,于是就有

$ \sum\limits_{0\neq m\in {\Bbb Z}^{n}} c_{m} |I_{j, m}^{2}(x)|\leq C\varepsilon^{2\alpha} \sum\limits_{1\leq n\leq6} P_{n}(x), $

其中

$ P_{1}(x) = \int_{\varepsilon^{\alpha/2}\leq |z'|\leq C}\frac{1}{|z'|^{4}}\frac{{\rm d}z'}{|x-(z', \phi(z'))|^{n-1}}, $

$ P_{2}(x) = \varepsilon^{-\alpha/2}\int_{\varepsilon^{\alpha/2}\leq |z'|\leq 2\varepsilon^{\alpha/2}}\frac{1}{|z'|^{3}}\frac{{\rm d}z'}{|x-(z', \phi(z'))|^{n-1}}, $

$ P_{3}(x) = \int_{\varepsilon^{\alpha/2}\leq |z'|\leq C}\frac{1}{|z'|^{3}}\frac{{\rm d}z'}{|x-(z', \phi(z'))|^{n}}, $

$ P_{4}(x) = \varepsilon^{-\alpha}\int_{\varepsilon^{\alpha/2}\leq |z'|\leq 2\varepsilon^{\alpha/2}}\frac{1}{|z'|^{2}}\frac{{\rm d}z'}{|x-(z', \phi(z'))|^{n-1}}, $

$ P_{5}(x) = \varepsilon^{-\alpha/2}\int_{\varepsilon^{\alpha/2}\leq |z'|\leq 2\varepsilon^{\alpha/2}}\frac{1}{|z'|^{2}}\frac{{\rm d}z'}{|x-(z', \phi(z'))|^{n}}, $

$ P_{6}(x) = \int_{\varepsilon^{\alpha/2}\leq |z'|\leq C}\frac{1}{|z'|^{2}}\frac{{\rm d}z'}{|x-(z', \phi(z'))|^{n+1}}. $

结合所有的估计式,可以得到

$ \int_{\Omega_{\varepsilon}}| \triangledown u _{\varepsilon}(x)-\triangledown u_{0}(x)| {\rm d}x\leq C \left\{ \begin{array}{ll} \varepsilon^{\alpha/2}, \; \; \; \; \; \; \; &n = 2, \\ \varepsilon^{\alpha}|\ln\varepsilon^{\alpha}|, \; \; &n\geq3. \end{array} \right. $

利用命题2.2,同样可得$ | \triangledown u_{\varepsilon}(x)-\triangledown u_{0}(x)| $的有界性,因此

$ \int_{\Omega\setminus \Omega_{\varepsilon}}| \triangledown u_{\varepsilon}(x)-\triangledown u_{0}(x)| {\rm d}x\leq C\varepsilon^{\alpha}. $

所以,对任意的$ 1\leq p<\infty $,都有

(3.13) $ \begin{equation} \|\triangledown (u_{\varepsilon}-u_{0})\|_{L^{p}(\Omega)}\leq C\varepsilon^{\alpha/2p}. \end{equation} $

定理1.2证毕.

本篇文章,我们研究了二阶椭圆方程重复周期振荡Neumann边值齐次化问题解的收敛率,此类问题在许多物理模型框架中会经常遇到.文中主要用到了解的积分表示、振荡积分估计、周期函数Fourier展开、齐次化等基本技巧.最终,本文得到了解的$ W^{1, p} $强收敛率,其中$ 1\leq p<\infty $.该项工作提高了文献[3]中的收敛率结果.虽然目前的工作还是纯理论的,但是希望本文的结果能致力于更好地理解边界分层想象.

这里需要指出的是,文中所使用的方法不能直接应用于解决算子和Neumann边值同时振荡的齐次化问题,主要原因在于算子和边值同时振荡的情形会产生振荡算子和振荡边值的交叉项,这对于振荡积分的估计会产生本质上的困难.但是借鉴文献[7]中的处理方法,如果可以构建新的纠正函数,能够将算子和边值同时振荡的齐次化问题转化为算子固定的情形,那么就可以利用文中所给出的方法实施研究了.这是一个很有趣的问题,将会在后续工作中深入研究.