在活体细胞自组织的数学模型中, Keller-Segel模型^[8-9]在过去几十年间起着非常重要的作用.它被用来描述趋化作用下所有细胞的集体行为.近些年关于趋化动力学的文章可以参阅文献[3, 11-12, 14-16, 19-21].文献[2, 13]说明在趋化的情况下,受精率增高. Kiselev-Ryzhik在文献[10]研究了没有趋化的情况下不是所有卵细胞都能受精.然而,他们的模型中假设精卵细胞的浓度相等是不合理的.因此Espejo-Suzuki在文献[5]中提出了一种描述珊瑚和其他一些无脊椎动物受精过程的数学模型,称为Keller-Segel-Stokes模型.他们获到了二维全局弱解的存在性.文献[14, 18]进一步发展了有界域的情形.同时文献[5, 10]移除了精卵浓度相同的假设.最近, Espejo-Suzuki在文献[4]中试图建立更加精确的数学模型.他们认为精细胞被化学物质吸引而卵细胞则没有这样的行为,并获得描述细胞动力学受如下三个现象的影响:扩散、趋化、周围的流体,更确切地说,满足如下偏微分方程组

(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \partial_t{c}+{\mathit{\boldsymbol{u}}}\cdot\nabla{c} = d_0\Delta{c}-ac+k_0n, &(x, t)\in \Omega\times (0, T), \\ \partial_t\rho+\mathit{\boldsymbol{u}}\cdot\nabla\rho = d_1\Delta\rho-\chi\nabla\cdot(\rho\nabla{c})-\rho{n}, &(x, t)\in\Omega\times (0, T), \\ \partial_t{n}+\mathit{\boldsymbol{u}}\cdot\nabla{n} = d_2\Delta{n}-\rho{n}, &(x, t)\in\Omega\times (0, T), \\ \nabla\cdot \mathit{\boldsymbol{u}} = {\bf{{0}}}, &(x, t)\in\Omega\times (0, T), \end{array} \right. \end{equation} $

这里,未知函数$ c, \rho $和$ n $分别表示驱使精子吸引卵子的化学物质的浓度、未受精的精子浓度和卵细胞的浓度, $ k_0, \, a, \, d_0, \, d_1, \, d_2 $为正常数,趋化信号$ \chi\geq0 $. Espejo-Suzuki在文献[4]中研究了模型(1.1)的简化版本.他们作如下假设:化学物质比精卵细胞的扩散快,化学物质浓度的Péclet数很小,这意味着化学物质的对流项的影响可以忽略并且不考虑快速流体的存在,从而得到了如下的椭圆-抛物型模型

(1.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} 0 = d_0\Delta{c}+k_0\left(n-\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}n {\rm d}x\right), \quad \mbox{其中}\quad\int_{\Omega}c{\rm d}x = 0, \\ \rho_t+\mathit{\boldsymbol{u}}\cdot\nabla\rho = d_1\Delta\rho-\chi\nabla\cdot(\rho\nabla{c})-\rho{n}, \\ n_t+\mathit{\boldsymbol{u}}\cdot\nabla{n} = d_2\Delta{n}-\rho{n}, \\ \nabla\cdot \mathit{\boldsymbol{u}} = {\bf{{0}}}. \end{array} \right. \end{equation} $

事实上,流体流动是普遍存在的现象.同时地,化学物质的扩散比精卵细胞相结合快也是一个很强的假设.因此,本文考虑了形如系统(1.1)的抛物-抛物型模型,获得了解的全局存在性和唯一性,并且利用Neumann热半群得到了解的衰减估计.更确切地说,本文获得了如下的正则性估计: $ c\in C^0(H^3(\bar{\Omega})\times[0, \infty))\cap C^0([0, \infty); H^2(\bar{\Omega})\cap L^{\infty}(\bar{\Omega})), \rho, n\in C^0(\bar{\Omega}\times[0, \infty))\cap C^{2, 1}(\bar{\Omega}\times(0, \infty)) $.同时获得了关于梯度$ \rho $的渐近不等式,它依赖于趋化信号$ \chi $,还获得了$ \|\rho(\cdot, t)\|_{L^1(\Omega)}, \|n(\cdot, t)\|_{C^\theta(\bar{\Omega})} $和$ \|c(\cdot, t)\|_{L^\infty(\Omega)} $关于时间$ t $的收敛性结果.它揭示了精子的质量将最终收敛到初始精子和卵子的质量差,卵细胞全部受精,化学物质的浓度最终耗尽.同时本文证明了化学物质的耗尽伴随着卵子全部受精.这说明了化学物质的浓度在珊瑚礁的受精过程中扮演着非常重要的作用,这也是与事实相吻合.

本文中,令$ \Omega\subset{\Bbb R} ^d $表示带有光滑边界的有界域,系统(1.1)满足如下的非负初值条件

(1.3) $ \begin{equation} \rho(x, 0) = \rho_0, \, \, \, n(x, 0) = n_0, \, \, \, c(x, 0) = c_0, \, \, x\in\Omega, \end{equation} $

和齐次Neumann边界条件

(1.4) $ \begin{equation} \frac{\partial{c}}{\partial\nu}\Big|_{\partial\Omega} = \frac{\partial\rho}{\partial\nu}\Big|_{\partial\Omega} = \frac{\partial{n}}{\partial\nu}\Big|_{\partial\Omega} = 0, \end{equation} $

这里$ \nu $表示单位外法向量, u表示无滑的边界条件

(1.5) $ \begin{equation} \mathit{\boldsymbol{u}}\big|_{\partial\Omega} = 0. \end{equation} $

此外,本文假设流体是有界光滑的,更精确地说,有

(1.6) $ \begin{equation} \sup\limits_{t\in[0, \infty)}\|\mathit{\boldsymbol{u}}(\cdot, t)\|_{L^\infty(\Omega)}<\infty\quad\mbox{和}\quad\mathit{\boldsymbol{u}}\in C^1(\bar{\Omega}\times[0, \infty), {\Bbb R} ^d), \end{equation} $

同时假设初值$ \rho_0 $和$ n_0 $满足

(1.7) $ \begin{equation} \int_{\Omega}\rho_0{\rm d}x\geq\int_{\Omega}n_0{\rm d}x. \end{equation} $

为了获得$ c $更好的正则性,本文给出如下几个引理.

引理2.1  设$ n_0\in L^p(\Omega) $.则有

(2.1) $ \begin{equation} \|n(\cdot, t)\|_{L^p(\Omega)}\leq\|n_0\|_{L^p(\Omega)}, \, \, \, \, 2\leq p\leq\infty, 0\leq t<T_{\max}. \end{equation} $

证  对方程$ (1.1)_3 $的两边同乘以$ pn^{p-1} $,分部积分则有

(2.2) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}n^p{\rm d}x = -\frac{4d_2(p-1)}{p}\int_{\Omega}|\nabla{n^{\frac{p}{2}}}|^2{\rm d}x-p\int_{\Omega}\rho n^p{\rm d}x\leq0, \, \, 1 \leq p<\infty. \end{equation} $

对$ p = \infty $的情形,利用最大值原理同样得证.

引理2.2  设$ c_0, \, n_0\in L^p(\Omega) $,则有

(2.3) $ \begin{equation} \|c(t)\|_{L^p(\Omega)}\leq C_1, \, \, \, 1\leq p\leq\infty \end{equation} $

证  方程$ (1.1)_1 $两边同乘以$ pc^{p-1} $,略去非负项$ \frac{4d_0(p-1)}{p}\|\nabla c^{\frac{p}{2}}\|^2_{L^2(\Omega)} $,对$ 1\leq p<\infty $,则有

(2.4) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}c^p{\rm d}x+ap\int_\Omega c^p{\rm d}x &\leq & k_0p\int_\Omega c^{p-1}n{\rm d}x \\ &\leq & k_0p\|c^{p-1}\|_{L^{\frac{p}{p-1}}(\Omega)}\|n\|_{L^p(\Omega)}\\ &\leq& k_0p\|c\|^{p-1}_{L^p(\Omega)}\|n_0\|_{L^\infty(\Omega)}\\ & \leq & \frac{ap}{2}\|c\|^p_{L^p(\Omega)}+C(\varepsilon)\|n_0\|^p_{L^\infty(\Omega)}. \end{eqnarray} $

令

$ y(t) = \int_{\Omega}c^p{\rm d}x, \quad C_2 = C(\varepsilon)\|n_0\|^p_{L^\infty(\Omega)}. $

则有

(2.5) $ \begin{equation} y'(t)+\frac{ap}{2}y(t)\leq C_2. \end{equation} $

因此利用Gronwall不等式易得(2.3)式.对$ p = \infty $可直接利用最大值原理得证.

引理2.3  假设$ (c_0, \rho_0, n_0)\in C^0(\bar{\Omega})\times C^0(\bar{\Omega})\times C^0(\bar{\Omega}) $.则存在仅依赖于$ \Omega, \|c_0\|_{W^{1, \infty}(\Omega)}, $$ \|n_0\|_{L^\infty(\Omega)} $的正常数$ \mu $使得关于方程(1.1)中$ c $的解满足

(2.6) $ \begin{equation} \sup\limits_{t}\|\nabla{c}\|_{L^\infty(\Omega)}\leq\mu, \, \, t\in(0, T_{\max}). \end{equation} $

证  对$ c $利用常数变易公式,得对所有的$ t\in(0, T_{\max}) $,有

(2.7) $ \begin{eqnarray} \|\nabla{c(\cdot, t)}\|_{L^\infty(\Omega)} &\leq & d_0\|\nabla{e}^{t\Delta}c_0\|_{L^\infty(\Omega)}+a\int^t_0\|\nabla{e}^{(t-s)\Delta}c\|_{L^\infty(\Omega)}{\rm d}s\\ &&+k_0\int^t_0\|\nabla{e^{(t-s)\Delta}}n\|_{L^\infty(\Omega)}+\int^t_0\|\nabla{e^{(t-s)\Delta}}(\mathit{\boldsymbol{u}}\cdot\nabla{c})\|_{L^\infty(\Omega)} . \end{eqnarray} $

利用文献[17,引理1.3 (ⅱ)]中经典的Neumann热半群的$ L^p $-$ L^q $估计,则存在常数$ c_1>0 $使得对所有的$ t\in(0, T_{\max}) $和所有的$ c_0\in H^3(\bar{\Omega}) $,有

(2.8) $ \begin{equation} d_0\|\nabla{e}^{t\Delta}c_0\|_{L^\infty(\Omega)}\leq c_1\|\nabla c_0\|_{L^2(\Omega)} . \end{equation} $

同时,利用$ L^p $-$ L^q $估计,得

(2.9) $ \begin{equation} a\int^t_0\|\nabla{e}^{(t-s)\Delta}c\|_{L^\infty(\Omega)}{\rm d}s \leq c_1\int^t_0\left(1+(t-s)^{-\frac{1}{2}-\frac{1}{p_1}}\right)e^{-\mu_1(t-s)}\|c\|_{L^{p_1}(\Omega)}{\rm d}s \end{equation} $

和

(2.10) $ \begin{equation} k_0\int^t_0\|\nabla{e^{(t-s)\Delta}}n\|_{L^\infty(\Omega)}{\rm d}s \leq c_1\int^t_0\left(1+(t-s)^{-\frac{1}{2}-\frac{1}{p_1}}\right)e^{-\mu_1(t-s)}\|n\|_{{L^{p_1}(\Omega)}}{\rm d}s \end{equation} $

对所有$ t\in(0, T_{\max}) $成立,这里$ p_1>2 $为常数.利用(1.1)和(1.3)式知,上式有界.接下来,固定$ p_0>2 $,利用Hölder不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式,则有

(2.11) $ \begin{eqnarray} &&\int^t_0\|\nabla{e^{(t-s)\Delta}}(\mathit{\boldsymbol{u}}\cdot\nabla{c})\|_{L^\infty(\Omega)}{\rm d}s\\ &\leq & c_1\int^t_0\left(1+(t-s)^{-\frac{1}{2}-\frac{1}{p_0}}\right)e^{-\mu_1(t-s)}\|\mathit{\boldsymbol{u}}\cdot\nabla{c}\|_{L^{p_0}(\Omega)}{\rm d}s\\ &\leq & c_1\int^t_0\left(1+(t-s)^{-\frac{1}{2}-\frac{1}{p_0}}\right)e^{-\mu_1(t-s)}\|\mathit{\boldsymbol{u}}\|_{L^{\infty}(\Omega)}\|\nabla{c}\|_{L^{p_0}(\Omega)}{\rm d}s\\ &\leq & \tilde{c}_1\int^t_0\left(1+(t-s)^{-\frac{1}{2}-\frac{1}{p_0}}\right)e^{-\mu_1(t-s)}\|\mathit{\boldsymbol{u}}\|_{L^{\infty}(\Omega)}(\|\nabla{c}\|^\theta_{L^\infty(\Omega)} \|c\|^{(1-\theta)}_{L^\infty(\Omega)}+\|c\|_{L^\infty(\Omega)}){\rm d}s \qquad \end{eqnarray} $

对任意的$ t\in(0, T_{\max}) $成立,这里$ \theta = 1-\frac{2}{p_0}\in(0, 1) $和$ \tilde{c}_1>0 $为常数.令$ T\in(0, T_{\max}) $并且$ M_1: = \sup\limits_{t\in(0, T)}\|\nabla{c}\|_{L^\infty(\Omega)} $.利用(1.6)式, (2.3)式和(2.7)–(2.11)式得到

(2.12) $ \begin{equation} M_1\leq c_2+c_2M_1^\theta, \end{equation} $

这里$ c_2>0 $为常数.因为$ 0<\theta<1 $,利用Young不等式得证.

类似于引理2.3的证明,可得如下引理.

引理2.4  假设$ (c_0, \rho_0, n_0)\in C^0(\bar{\Omega})\times C^0(\bar{\Omega})\times C^0(\bar{\Omega}) $.则存在仅依赖于$ |\Omega|, k_0, \|n_0\|_{L^\infty(\Omega)}, $$ d_1, $$ \|\rho_0\|_{L^1(\Omega)}, \chi $和$ \sup\limits_{t>0}\|\mathit{\boldsymbol{u}}\|_{L^\infty(\Omega)} $的正常数$ C_3 $使得

(2.13) $ \begin{equation} \|\rho(\cdot, t)\|_{L^\infty(\Omega)}\leq C_3, \, \, \, t\in(0, T_{\max}). \end{equation} $

引理2.5  假设$ (c_0, \rho_0, n_0)\in C^0(\bar{\Omega})\times C^0(\bar{\Omega})\times C^0(\bar{\Omega}) $.则如下的两个不等式成立

(2.14) $ \begin{equation} \int_\Omega|\Delta{c}|^2{\rm d}x\leq\frac{c_3}{2a}+(C_4-\frac{c_3}{2a})e^{-2at}, \end{equation} $

(2.15) $ \begin{equation} \int_{\Omega}|\nabla\Delta{c}|^2{\rm d}x\leq\max\left\{\|\nabla\Delta{c_0}\|^2_{L^2(\Omega)}, \, \frac{c_3}{d_0}(1+\frac{1}{2a\tau})+\frac{2aC_4-c_3}{2ad_0\tau e^{2a(t-\tau)}}\right\}, \, \, \, \tau>0, \end{equation} $

这里$ c_3>0 $由(2.24)式给出, $ C_4 = \int_\Omega|\Delta{c_0}|^2{\rm d}x $.

证  对方程$ (1.1)_3 $两边同乘以$ n $,分部积分有

(2.16) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega n^2{\rm d}x+d_2\int_\Omega|\nabla{n}|^2{\rm d}x = -\int_\Omega\rho{n}^2{\rm d}x\leq0. \end{equation} $

对上式关于时间$ t $从$ 0 $到$ T $积分,得

(2.17) $ \begin{equation} d_2\int^T_0\int_\Omega|\nabla{n(x, t)}|^2{\rm d}x{\rm d}t\leq\frac{1}{2}\left(\int_\Omega{n_0}^2{\rm d}x-\int_\Omega{n^2(x, T)}{\rm d}x\right)\leq\int_\Omega{n_0}^2{\rm d}x, \end{equation} $

这里$ T\in(0, T_{\max}) $.再一次利用(2.16)和(2.17)式,有

(2.18) $ \begin{equation} \sup\limits_{t>0}\int_\Omega|\nabla{n(x, t)}|^2{\rm d}x\leq\frac{1}{2d_2T}\int_\Omega{n_0}^2{\rm d}x. \end{equation} $

接下来,我们来估计$ \|\Delta{c}\|_{L^2(\Omega)} $和$ \|\nabla\Delta{c}\|_{L^2(\Omega)} $.利用算子$ \nabla $作用于方程$ (1.1)_1 $两边,然后两边同乘以$ -2\nabla\Delta{c} $,分部积分,则有

(2.19) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega|\Delta{c}|^2{\rm d}x+2d_0\int_\Omega|\nabla\Delta{c}|^2{\rm d}x+2a\int_\Omega|\Delta{c}|^2{\rm d}x\\ & = &-2k_0\int_\Omega\nabla{n}\cdot\nabla\Delta{c}{\rm d}x +2\int_\Omega(Du\cdot\nabla{c}+D^2c\cdot\mathit{\boldsymbol{u}})\cdot\nabla\Delta{c}{\rm d}x\\ &\leq&\varepsilon\int_\Omega|\nabla\Delta{c}|^2{\rm d}x+\frac{k^2_0}{\varepsilon}\int_\Omega|\nabla{n}|^2{\rm d}x+2\int_\Omega(D\mathit{\boldsymbol{u}}\cdot\nabla{c})\cdot\nabla\Delta{c} +2\int_\Omega D^2c\cdot\mathit{\boldsymbol{u}}\cdot\nabla\Delta{c}{\rm d}x\\ &\leq&\varepsilon\int_\Omega|\nabla\Delta{c}|^2{\rm d}x+\frac{k^2_0}{\varepsilon}\int_\Omega|\nabla{n}|^2{\rm d}x+I_3. \end{eqnarray} $

利用(1.6)和(2.6)式,可以对$ \nabla\Delta{c} $进行估计

(2.20) $ \begin{eqnarray} I_3&\leq&2\|D\mathit{\boldsymbol{u}}\|_{L^4(\Omega)}\|\nabla{c}\|_{L^4(\Omega)} \|\nabla\Delta{c}\|_{L^2(\Omega)}+2\|D^2c\|_{L^2(\Omega)}\|\mathit{\boldsymbol{u}}\|_{L^\infty(\Omega)}\|\nabla\Delta{c}\|_{L^2(\Omega)}\\ &\leq&2\varepsilon\|\nabla\Delta{c}\|^2_{L^2(\Omega)}+\frac{1}{\varepsilon}(\|D\mathit{\boldsymbol{u}}\|^2_{L^4(\Omega)}\|\nabla{c}\|^2_{L^4(\Omega)} +\|D^2c\|^2_{L^2(\Omega)}\|\mathit{\boldsymbol{u}}\|_{L^\infty(\Omega)}^2). \end{eqnarray} $

下面来估计$ \|D^2c\|^2_{L^2(\Omega)} $.利用Gagliardo-Nirenberg不等式和$ \|\nabla{c}\|_{L^\infty(\Omega)} $的有界性,有

(2.21) $ \begin{eqnarray} \|D^2c\|^2_{L^2(\Omega)}&\leq & C_{GN}\|\nabla\Delta{c}\|_{L^2(\Omega)}\|\nabla{c}\|_{L^2(\Omega)}+C_{GN}\|\nabla{c}\|^2_{L^2(\Omega)}\\ &\leq&\frac{\varepsilon^2}{\|\mathit{\boldsymbol{u}}\|_{L^\infty(\Omega)}^2}\|\nabla\Delta{c}\|^2_{L^2(\Omega)} +C_{GN}\|\nabla{c}\|^2_{L^2(\Omega)} \bigg(1+\frac{C_{GN}\|\mathit{\boldsymbol{u}}\|_{L^\infty(\Omega)}^2}{4\varepsilon^2}\bigg). \end{eqnarray} $

将(2.17)式和(2.20)–(2.21)式代入到(2.19)式,有

(2.22) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega|\Delta{c}|^2{\rm d}x+(2d_0-4\varepsilon)\int_\Omega|\nabla\Delta{c}|^2{\rm d}x+2a\int_\Omega|\Delta{c}|^2{\rm d}x\leq c_3. \end{equation} $

上式中取$ \varepsilon = \frac{d_0}{4} $,则有

(2.23) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega|\Delta{c}|^2{\rm d}x+d_0\int_\Omega|\nabla\Delta{c}|^2{\rm d}x+2a\int_\Omega|\Delta{c}|^2{\rm d}x\leq c_3, \end{equation} $

这里

(2.24) $ \begin{eqnarray} c_3& = &\frac{2k^2_0}{d_0d_2T}\|n_0\|^2_{L^2(\Omega)}\\ &&+\frac{4}{d_0}\bigg[\|D\mathit{\boldsymbol{u}}\|^2_{L^4(\Omega)}\|\nabla{c}\|^2_{L^4(\Omega)} +C_{GN}\|\nabla{c}\|^2_{L^2(\Omega)}\|\mathit{\boldsymbol{u}}\|_{L^\infty(\Omega)}^2 \bigg(1+\frac{4C_{GN}\|\mathit{\boldsymbol{u}}\|_{L^\infty(\Omega)}^2}{d_0^2}\bigg)\bigg]. \qquad \end{eqnarray} $

忽略非负项$ d_0\int_\Omega|\nabla\Delta{c}|^2{\rm d}x $,由Gronwall不等式易得(2.14)式及$ \int_\Omega|\Delta{c}|^2{\rm d}x $是有界的.将(2.14)式代入到(2.23)式,有

(2.25) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega|\Delta{c}|^2{\rm d}x+d_0\int_\Omega|\nabla\Delta{c}|^2{\rm d}x\leq c_3. \end{equation} $

对上式关于时间从$ t-\tau $到$ t $积分,再一次利用(2.14)式,则有

(2.26) $ \begin{eqnarray} d_0\int^t_{t-\tau}\int_\Omega|\nabla\Delta{c}|^2{\rm d}x{\rm d}s&\leq & c_3\tau+\int_{\Omega}|\Delta{c}(t-\tau)|^2{\rm d}x \\ &\leq & c_3\tau+\frac{c_3}{2a}+(C_4-\frac{c_3}{2a})e^{-2a(t-\tau)}, \, \, \tau>0, \, \, t>\tau, \end{eqnarray} $

因此有

(2.27) $ \begin{equation} \int_\Omega|\nabla\Delta{c}|^2{\rm d}x\leq \frac{c_3}{d_0}(1+\frac{1}{2a\tau})+\frac{2aC_4-c_3}{2ad_0\tau e^{2a(t-\tau)}}, \, \, \tau>0, \, \, t>\tau. \end{equation} $

从而不等式(2.15)得证.

命题2.1  令$ (c_0, \rho_0, n_0)\in \left(H^3(\bar{\Omega})\cap W^{1, \infty}(\bar{\Omega})\right)\times C^0(\bar{\Omega})\times C^0(\bar{\Omega}) $.假设速度场$ \mathit{\boldsymbol{u}}$满足(1.5)和(1.6)式.则存在时间$ T_{\max}\in(0, \infty] $使得系统(1.1)和(1.3)–(1.4)有唯一的经典解$ (c, \rho, n) $在$ \Omega\times[0, T_{\max}) $满足如下的正则性

(2.28) $ \begin{equation} c\in C^0\big(H^3(\bar{\Omega})\times[0, T_{\max})\big)\cap C^0\big([0, T_{\max}); H^2(\bar{\Omega})\cap L^{\infty}(\bar{\Omega})\big), \end{equation} $

(2.29) $ \begin{equation} \rho, n\in C^0\big(\bar{\Omega}\times[0, T_{\max})\big)\cap C^{2, 1}\big(\bar{\Omega}\times(0, T_{\max})\big), \end{equation} $

并且函数$ c, \rho $和$ n $在$ \Omega\times[0, T_{\max}) $为正数.同时如果$ T_{\max}<\infty $,则

(2.30) $ \begin{equation} \|c(\cdot, t)\|_{C^0(\overline\Omega)}+\|\rho(\cdot, t)\|_{C^0(\overline\Omega)} +\|n(\cdot, t)\|_{C^0(\overline\Omega)} \rightarrow\infty\quad\mbox{当}\, \, t\rightarrow T_{\max}. \end{equation} $

证  存在性可使用Banach不动点定理给以证明.由于证明过程是标准的,这里略去证明,具体细节可见文献[4]中附录或文献[7]中定理3.1的证明.关于唯一性的证明只需构造满足$ y'(t)\leq Cy(t), \, C>0, $且初值$ y(0) = 0 $的微分不等式即可,这里

(2.31) $ \begin{equation} y(t) = \int_\Omega(\rho_1-\rho_2)^2{\rm d}x+\int_\Omega(n_1-n_2)^2{\rm d}x+\frac{\tilde{C}_2}{d_0}\int_\Omega(c_1-c_2)^2{\rm d}x. \end{equation} $

类似于文献[4]中附录中关于唯一性的证明即可.

接下来,使用延拓性准则(2.30)式可获得如下的整体存在性.

定理2.1  令$ \Omega\subset{\Bbb R} ^2 $是一光滑有界域.假设$ (c_0, \rho_0, n_0)\in{H^3(\bar{\Omega})}\times C^0(\bar{\Omega})\times C^0(\bar{\Omega}) $和$ \mathit{\boldsymbol{u}} $满足(1.5)和(1.6)式.则系统(1.1)和(1.3)–(1.4)存在唯一的全局经典解$ (c, \rho, n) $满足正则性(2.28)–(2.29),此时$ T_{\max} = \infty $.

定理3.1(梯度的渐近估计)  假设定理2.1的条件成立.设$ (c, \rho, n) $是系统(1.1)的解, $ \lambda $是$ -\Delta $在$ \Omega $上带有Neumann边界条件的最小特征值.令$ \kappa: = \|\mathit{\boldsymbol{u}}\|_{L^\infty(\Omega\times(0, \infty))} $, $ \mu = \mu(\Omega, \|c_0\|_{W^{1, \infty}(\Omega)}, \|n_0\|_{L^\infty(\Omega)}) $. $ \|\nabla{c}\|_{L^\infty(\Omega)} $由引理2.3给出.如果

(3.1) $ \begin{equation} \frac{d_1\lambda}{4}-\frac{2\kappa^2}{d_1}-\frac{\chi^2\mu^2}{d_1}>0 \quad\mbox{和}\quad \frac{d_2\lambda}{4}-\frac{2\kappa^2}{d_2}>0 \end{equation} $

成立,则$ \rho, n $满足

(1) $ \|\nabla{\rho}\|_{L^2(\Omega)} $有界,并且满足

$ \begin{eqnarray*} \int_\Omega|\nabla\rho(\cdot, t)|^2{\rm d}x\leq\frac{2\chi^2c_3C_3}{a(\lambda d^2_1-8\kappa^2-4\chi^2\mu^2)}, \quad\mbox{当$ t\rightarrow\infty$时; } \end{eqnarray*} $

(2)

(3.2) $ \begin{equation} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_\Omega|\nabla{n}(\cdot, t)|^2{\rm d}x = 0; \end{equation} $

(3)

(3.3) $ \begin{equation} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_\Omega\rho{n}{\rm d}x = 0. \end{equation} $

证 (1)首先,对方程$ (1.1)_2 $两边乘以$ -\Delta\rho $,然后分部积分,则有

(3.4) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega|\nabla\rho|^2{\rm d}x & = &\int_\Omega\Delta\rho(\mathit{\boldsymbol{u}}\cdot\nabla\rho){\rm d}x-d_1\int_\Omega|\Delta\rho|^2{\rm d}x+ \chi\int_\Omega\Delta\rho\nabla\cdot(\rho\nabla\rho){\rm d}x+\int_\Omega\rho n\Delta\rho {\rm d}x \\ &\leq&\frac{d_1}{8}\int_\Omega|\Delta\rho|^2{\rm d}x+\frac{2}{d_1}\int_\Omega(\mathit{\boldsymbol{u}}\cdot\nabla\rho)^2{\rm d}x-d_1\int_\Omega|\Delta\rho|^2{\rm d}x +\frac{d_1}{8}\int_\Omega|\Delta\rho|^2{\rm d}x \\ &\quad&+\frac{2}{d_1}\int_\Omega\rho^2n^2{\rm d}x+\chi\int_\Omega(\Delta\rho)(\nabla\cdot(\rho\nabla{c})){\rm d}x \\ &\leq&-\frac{3}{4}d_1\int_\Omega|\Delta\rho|^2{\rm d}x+\frac{2\kappa^2}{d_1}\int_\Omega|\nabla\rho|^2{\rm d}x+\frac{2}{d_1}\int_\Omega\rho^2n^2{\rm d}x \\ && +\chi\int_\Omega(\Delta\rho)(\nabla\cdot(\rho\nabla{c})){\rm d}x. \end{eqnarray} $

对最后一个积分,有

(3.5) $ \begin{eqnarray} &&\chi\int_\Omega\Delta\rho(\nabla\cdot(\rho\nabla{c})){\rm d}x\\ & = &\chi\int_\Omega(\Delta\rho)(\nabla\rho\cdot\nabla{c}){\rm d}x+\chi\int_\Omega\rho\Delta\rho\Delta{c}{\rm d}x\\ &\leq&\frac{d_1}{4}\int_\Omega|\Delta\rho|^2{\rm d}x+\frac{\chi^2}{d_1}\|\nabla{c}\|^2_{L^\infty(\Omega)}\int_\Omega|\nabla\rho|^2{\rm d}x +\frac{d_1}{4}\int_\Omega|\Delta\rho|^2{\rm d}x+\frac{\chi^2\|\rho\|_{L^\infty(\Omega)}}{d_1}\int_\Omega|\Delta{c}|^2{\rm d}x\\ & = &\frac{d_1}{2}\int_\Omega|\Delta\rho|^2{\rm d}x+\frac{\chi^2}{d_1}\|\nabla{c}\|^2_{L^\infty(\Omega)}\int_\Omega|\nabla\rho|^2{\rm d}x +\frac{\chi^2\|\rho\|_{L^\infty(\Omega)}}{d_1}\int_\Omega|\Delta{c}|^2{\rm d}x. \end{eqnarray} $

将(3.5)式代入(3.4)式,得

(3.6) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega|\nabla\rho|^2{\rm d}x &\leq&-\frac{d_1}{4}\int_\Omega|\Delta\rho|^2{\rm d}x+\bigg(\frac{2\kappa^2}{d_1}+\frac{\chi^2}{d_1}\|\nabla{c}\|^2_{L^\infty(\Omega)}\bigg)\int_\Omega|\nabla\rho|^2{\rm d}x \\ && +\frac{\chi^2\|\rho\|_{L^\infty(\Omega)}}{d_1}\int_\Omega|\Delta{c}|^2{\rm d}x+\frac{2}{d_1}\int_\Omega\rho^2n^2{\rm d}x. \end{eqnarray} $

对$ h\in W^{2, 2}(\Omega) $和$ \frac{\partial{h}}{\partial\nu}\big|_{\partial\Omega} = 0 $,有$ \|\Delta{h}\|^2_2\geq\lambda\|\nabla{h}\|^2_2 $.对$ \rho $的表达式利用此性质,得

(3.7) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega|\nabla\rho|^2{\rm d}x & \leq & \bigg(-\frac{d_1\lambda}{4}+\frac{2\kappa^2}{d_1}+\frac{\chi^2}{d_1}\|\nabla{c}\|^2 _{L^\infty(\Omega)}\bigg)\int_\Omega|\nabla\rho|^2{\rm d}x \\ && +\frac{\chi^2\|\rho\|_{L^\infty(\Omega)}}{d_1}\int_\Omega|\Delta{c}|^2{\rm d}x+\frac{2}{d_1}\int_\Omega\rho^2n^2{\rm d}x \\ &\leq&\bigg(-\frac{d_1\lambda}{4}+\frac{2\kappa^2}{d_1}+\frac{\chi^2\mu^2}{d_1}\bigg)\int_\Omega|\nabla\rho|^2{\rm d}x+ \frac{\chi^2\|\rho\|_{L^\infty(\Omega)}}{d_1}\int_\Omega|\Delta{c}|^2{\rm d}x\\ &&+\frac{2}{d_1}(\sup\limits_{t>0}\|\rho\|_{L^\infty(\Omega)})(\sup\limits_{t>0}\|n\|_{L^\infty(\Omega)})\int_\Omega\rho{n}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

将(2.14)式代入(3.7)式,得

(3.8) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega|\nabla\rho|^2{\rm d}x &\leq&-\bigg(\frac{d_1\lambda}{2}-\frac{4\kappa^2}{d_1}-\frac{2\chi^2\mu^2}{d_1}\bigg)\int_\Omega|\nabla\rho|^2{\rm d}x+ \frac{\chi^2C_3}{ad_1}\left[c_3+(2aC_4-c_3)e^{-2at}\right] \nonumber\\ &&+\frac{4}{d_1}(\sup\limits_{t>0}\|\rho\|_{L^\infty(\Omega)})(\sup\limits_{t>0}\|n\|_{L^\infty(\Omega)})\int_\Omega\rho{n}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

令

$ f(t) = \frac{\chi^2C_3}{ad_1}\left[c_3+(2aC_4-c_3)e^{-2at}\right] +\frac{4}{d_1}(\sup\limits_{t>0}\|\rho\|_{L^\infty(\Omega)})(\sup\limits_{t>0}\|n\|_{L^\infty(\Omega)})\int_\Omega\rho{n}{\rm d}x. $

则$ f(t) $有界,并且

(3.9) $ \begin{equation} f(t)\leq\frac{\chi^2C_3c_3}{ad_1} +\frac{4}{d_1}\big(\sup\limits_{t>0}\|\rho\|_{L^\infty(\Omega)}\big)^2\big(\sup\limits_{t>0}\|n\|_{L^\infty(\Omega)}\big)^2, \quad \mbox{当}\, \, t\rightarrow\infty. \end{equation} $

联立(3.8)和(3.9)式,由Gronwall不等式易知, $ \int_\Omega|\nabla\rho(\cdot, t)|^2{\rm d}x $有界,并且

(3.10) $ \begin{equation} \int_\Omega|\nabla\rho(\cdot, t)|^2{\rm d}x\leq \frac{2\chi^2c_3C_3}{a(\lambda{d^2_1-8\kappa^2-4\chi^2\mu^2})} +\frac{8\big(\sup\limits_{t>0}\|\rho\|_{L^\infty(\Omega)}\big)^2\big(\sup\limits_{t>0}\|n\|_{L^\infty(\Omega)}\big)^2} {\lambda{d^2_1-8\kappa^2-4\chi^2\mu^2}}, \ \mbox{当}\, t\rightarrow\infty. \end{equation} $

(2)接下来,对$ n $使用类似的方法,得

(3.11) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega|\nabla{n}|^2{\rm d}x\leq\bigg(\frac{2\kappa^2}{d_2}-\frac{d_2\mu}{4}\bigg)\int_\Omega|\nabla{n}|^2{\rm d}x +\frac{2}{5d_2}(\sup\limits_{t>0}\|\rho\|_{L^\infty(\Omega)})(\sup\limits_{t>0}\|n\|_{L^\infty(\Omega)})\int_\Omega\rho{n}{\rm d}x. \end{equation} $

同时,对方程$ (1.1_2) $关于$ \Omega\times[0, t] $分部积分,有

(3.12) $ \begin{equation} \int_\Omega\rho {\rm d}x+\int^t_0\int_\Omega\rho n{\rm d}x{\rm d}s = \int_\Omega\rho_0 {\rm d}x. \end{equation} $

因此,利用文献[14,引理4.3]和质量恒等式(3.12),得(3.2)式.

(3)再证$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\rho{n}{\rm d}x $一致有界,从而得到函数$ \int_\Omega\rho{n}{\rm d}x $绝对连续.对如下的恒等式

(3.13) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\rho{n}{\rm d}x & = &\int_\Omega(\rho_tn+\rho{n_t}){\rm d}x \\ & = &\int_\Omega (n(-\mathit{\boldsymbol{u}}\cdot\nabla\rho+d_1\Delta\rho-\chi\nabla\cdot(\rho\nabla{c})-\rho{n})+\rho(-\mathit{\boldsymbol{u}}\cdot\nabla{n}+d_2\Delta{n}-\rho{n})){\rm d}x \\ & = &\int_\Omega(-\mathit{\boldsymbol{u}}\cdot{n}\nabla\rho-\mathit{\boldsymbol{u}}\cdot\rho\nabla{n}-(d_1+d_2)\nabla\rho\cdot\nabla{n}+\chi\rho\nabla{n}\cdot\nabla{c}-\rho{n}^2-\rho^2n){\rm d}x, \\ \end{eqnarray} $

从而有

(3.14) $ \begin{eqnarray} \bigg|\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\rho{n}{\rm d}x\bigg|&\leq&\frac{\kappa^2}{2}\int_\Omega(\rho^2+n^2){\rm d}x+\int_\Omega\frac{|\nabla\rho|^2+|\nabla{n}|^2}{2}{\rm d}x +\frac{d_1+d_2}{2}\int_\Omega(|\nabla\rho|^2+|\nabla{n}|^2){\rm d}x\\ &&+\frac{\chi^2}{2}\int_\Omega(\|\rho\|^2_{L^\infty(\Omega)}|\nabla{c}|^2+|\nabla{n}|^2){\rm d}x+\int_\Omega(\rho{n^2}+\rho^2n){\rm d}x. \end{eqnarray} $

利用(3.2)和(3.10)式,得到$ \rho $和$ n $梯度的$ L^2 $范数有界.同时我们也得到了$ \|\rho\|_{L^\infty(\Omega)}, $$ \|n\|_{L^\infty(\Omega)} $和$ \| \nabla{c}\|_{L^\infty(\Omega)} $关于时间$ t $的一致有界性.质量恒等式(3.12)蕴含$ \int^\infty_0\int_\Omega\rho{n}{\rm d}x{\rm d}t<\infty $.从而,由文献[1]中的Barbalat引理,得(3.3)式.

最后,利用(3.3)式,有

(3.15) $ \begin{eqnarray} \overline{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}}f(t)&\leq & \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\bigg(\frac{\chi^2C_3}{ad_1}(c_3+(2aC_4-c_3)e^{-2at}) +\frac{4}{d_1}(\sup\limits_{t>0}\|\rho\|_{L^\infty(\Omega)})(\sup\limits_{t>0}\|n\|_{L^\infty(\Omega)})\int_\Omega\rho{n}{\rm d}x\bigg)\\ & = &\frac{\chi^2C_3c_3}{ad_1}. \end{eqnarray} $

联立(3.8)和(3.15)式,并使用Gronwall不等式得

(3.16) $ \begin{equation} \int_\Omega|\nabla\rho(\cdot, t)|^2{\rm d}x\leq\frac{2\chi^2c_3C_3}{a(\lambda{d^2_1-8\kappa^2-4\chi^2\mu^2})}, \quad\mbox{当}\, \, t\rightarrow\infty. \end{equation} $

定理3.1证毕.

注3.1  当趋化信号$ \chi = 0 $,可知$ \|\nabla\rho\|_{L^2(\Omega)} = 0 $当$ t\rightarrow\infty $,它阐述了此时精子在演化中将保持不变.然而,当$ \chi $增加时,由不等式(3.16)知,这个上界将增加的很快.也就是说,趋化信号在卵细胞吸引精子方面扮演了很重要的角色.

由于本文中已获得$ c, \rho, n $相应的估计,余下两个引理的证明类似于文献[4]中引理6和引理7的证明.

引理3.1  假设定理2.1的条件成立,并且$ (c, \rho, n) $是系统(1.1)的解.则存在一正常数$ C_5 = C_5(r, \delta) $使得相应的解$ \rho, n $满足

(3.17) $ \begin{equation} \int_\Omega|\nabla\rho(\cdot, t)|^r{\rm d}x+\int_\Omega|\nabla{n}(\cdot, t)|^r{\rm d}x\leq C_5, \quad\mbox{对所有}\, \, t>\delta, \end{equation} $

对任意的$ r\geq2 $和$ \delta>0 $.

引理3.2  假设初值$\mathit{\boldsymbol{u}}$满足定理2.1的假设,并且$ (c, \rho, n) $是系统(1.1)相应的全局解.令$ p\geq2 $是任意的常数.对任意的$ \delta>0 $和$ \alpha\in(0, 1) $,则存在一正常数$ M_4 = M_4(k_0, \chi, p, C_{01}, C_5) $使得$ \rho, n $满足

(3.18) $ \begin{equation} \|B^\alpha_p\rho(\cdot, t)\|_{L^p(\Omega)}+\|B^\alpha_pn(\cdot, t)\|_{L^p(\Omega)}\leq M_{4}, \quad\mbox{对所有}\, \, t\geq\delta. \end{equation} $

定理3.2  在定理2.1的条件下,假设$ (c, \rho, n) $是系统(1.1)的全局经典解,且满足$ \int_\Omega\rho_0\geq\int_\Omega n_0{\rm d}x $. $ \kappa $和$ \mu $由引理3.1给出.如果

$ \begin{eqnarray*} \frac{d_1\lambda}{4}-\frac{2\kappa^2}{d_1}-\frac{\chi^2\mu^2}{d_1}>0, \, \, \, \, \, \, \, \frac{d_2\lambda}{4}-\frac{2\kappa^2}{d_2}>0 \end{eqnarray*} $

成立,则对任意的$ \theta\in[0, 2) $全局解$ (c, \rho, n) $满足

(3.19) $ \begin{equation} \|\rho(x, t)\|_{L^1(\Omega)}\rightarrow \|\rho_0(x)\|_{L^1(\Omega)}-\|n_0(x)\|_{L^1(\Omega)}\ \mbox{和}\ \|n(x, t)\|_{C^\theta(\bar{\Omega})}\rightarrow0, \quad\mbox{当}\, \, t\rightarrow\infty \end{equation} $

且

(3.20) $ \begin{equation} \|c\|_{L^\infty(\Omega)}\rightarrow 0, \quad\mbox{当}\, \, t\rightarrow\infty. \end{equation} $

特别地,当$ \chi = 0 $,则有

(3.21) $ \begin{equation} \rho(x, t)\rightarrow\rho_{\ast}\quad\mbox{和}\quad\|n(x, t)\| _{C^\theta(\bar{\Omega})}\rightarrow0, \quad\mbox{当}\, \, t\rightarrow\infty \end{equation} $

且

$ \|c\|_{L^\infty(\Omega)}\rightarrow 0\quad\mbox{当}\, \, t\rightarrow\infty, $

这里$ \rho_{\ast} = \frac{1}{|\Omega|}(\int_\Omega\rho_0{\rm d}x-\int_\Omega n_0{\rm d}x) $.

证  首先,我们断言:当$ t\rightarrow\infty $时, $ n(\cdot, t) $收敛到常数值$ n^o $,这里$ n^o = \frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega n(x, \infty){\rm d}x $.固定$ \delta>0 $.对$ p>2 $,首先可以选择$ \alpha\in(0, \frac{1}{2}) $满足$ \alpha>\frac{1}{p} $且选择适当小的$ \theta>0 $且满足$ \theta<2\alpha-\frac{2}{p} $,由嵌入$ D(B^\alpha_p)\hookrightarrow C^\theta(\bar{\Omega}) $,则有

(3.22) $ \begin{equation} \|n(x, t)\|_{C^\theta(\overline\Omega)}\leq C_{04}\|B^\alpha_pn(\cdot, t)\|_{L^p(\Omega)}\leq C_{05}, \quad\mbox{对所有}\, \, t\geq\delta. \end{equation} $

由Arzelà-Ascoli定理知,存在一个子列$ t_i\rightarrow\infty $,且对函数$ n^o(x)\in C(\bar{\Omega}) $,有

(3.23) $ \begin{equation} n(x, t_i)\rightarrow n^o(x), \quad\mbox{当}\, \, t_i\rightarrow\infty \end{equation} $

一致成立.类似地,可以获得一个子列$ t_j\rightarrow\infty $和函数$ \rho^o(x)\in C(\bar{\Omega}) $

(3.24) $ \begin{equation} \rho(x, t_j)\rightarrow \rho^o(x), \quad\mbox{当}\, \, t_j\rightarrow\infty \end{equation} $

一致成立.由Poincaré不等式

(3.25) $ \begin{equation} \bigg\| n(\cdot, t_i)-\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega n(x, t_i){\rm d}x\bigg\|_{L^2(\Omega)}\leq C_{06}\|\nabla{n}(\cdot, t_i)\|_{L^2(\Omega)} \end{equation} $

和(3.2)式知极限函数$ n^o $与$ x $无关,即$ n^o $为一常数.进一步,由(3.3)式知$ \int_\Omega\rho^o(x)n^o = 0 $,从而$ n^o\int_\Omega\rho^o(x){{\rm d}x} = 0 $.对系统(1.1)的第二和第三个方程作差,然后分部积分可知

(3.26) $ \begin{equation} \int_{\Omega}\rho(x, t) {\rm d}x-\int_{\Omega}n(x, t){\rm d}x = \int_{\Omega}\rho_0(x) {\rm d}x-\int_{\Omega}n_0(x) {\rm d}x. \end{equation} $

由条件(1.7)和$ n^o\int_\Omega\rho^o(x){{\rm d}x} = 0 $,可得

(3.27) $ \begin{equation} \int_\Omega\rho^o(x){{\rm d}x} = \int_\Omega\rho_0(x){\rm d}x-\int_\Omega n_0(x){\rm d}x\quad\mbox{和}\quad n^o = 0, \quad\mbox{当}\, \, t\rightarrow\infty. \end{equation} $

因为$ n $的极限被唯一确定,从而有

$ \begin{eqnarray*} \int_\Omega\rho(x){{\rm d}x}\rightarrow\int_\Omega\rho_0(x){\rm d}x-\int_\Omega n_0(x){\rm d}x\quad\mbox{和} \quad n(x, t)\rightarrow0, \quad\mbox{当}\, \, t\rightarrow\infty. \end{eqnarray*} $

下证对任意的$ \theta\in[0, 2) $, $ n $在$ C^\theta(\bar{\Omega}) $意义下收敛.

由插值不等式

(3.28) $ \begin{equation} \|B^{\alpha_1}_p(n(t)-n^o)\|_{L^p(\Omega)}\leq C_{07}\|B^{\alpha_2}_p(n(t)-n^o)\|^{\vartheta}_{L^p(\Omega)}\|n(t)-n^o\|^{1-\vartheta}_{L^p(\Omega)}, \end{equation} $

这里$ \alpha_2\in(0, 1), \, \vartheta = \frac{\alpha_1}{\alpha_2}\in(0, 1) $见文献[6,第27页],联立$ \|B^{\alpha_2}_p\|_{L^p(\Omega)} $和(3.23)式的收敛性知,

(3.29) $ \begin{equation} \|B^{\alpha_1}_p(n(t)-n^o)\|_{L^p(\Omega)}\rightarrow0, \quad\mbox{当}\, \, t\rightarrow\infty \end{equation} $

对任意的$ \alpha_1\in(0, 1) $成立.现对任意的$ \theta\in[0, 2) $可选择合适的$ \alpha_1 $和$ p $使得下式成立

(3.30) $ \begin{equation} 0\leq\theta\leq 2\alpha_1-\frac{2}{p}. \end{equation} $

由嵌入$ D(B^\alpha_p)\hookrightarrow C^\theta(\bar{\Omega}) $和(3.27)式,则有

(3.31) $ \begin{equation} \|n(x, t)\|_{C^\theta(\bar{\Omega})}\rightarrow0, \quad\mbox{当}\, \, t\rightarrow\infty. \end{equation} $

最后对$ c $进行估计.对系统(1.1)的第一个方程关于$ \Omega $分部积分可知

(3.32) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}c{\rm d}x+a\int_{\Omega}c{\rm d}x = k_0\int_{\Omega}n{\rm d}x. \end{equation} $

由于当$ t\rightarrow\infty $时, $ n\rightarrow0 $知,存在一个子列$ (t_k)_{k\in\mathbb{N}}\subset(0, \infty) $使得$ t_k\rightarrow\infty $且$ n(t_k)<\epsilon^2 $,对任意的$ \epsilon>0 $.由定理2.1和(3.32)式知

(3.33) $ \begin{equation} \|c(\cdot, t_{k}+1)\|_{L^1(\Omega)}+a\int^{t_k+1}_{t_k}\|c(\cdot, t)\|_{L^1(\Omega)}{\rm d}t \leq\|c(\cdot, t_{k})\|_{L^1(\Omega)}+k_0|\Omega|\epsilon^2. \end{equation} $

我们断言$ \int^{t_k+1}_{t_k}\|c(\cdot, t)\|_{L^1(\Omega)}{\rm d}t\leq \frac{k_0}{a}|\Omega|\epsilon^2 $.

令

$ {\cal A} = \big\{t_{k}|\, \|c(\cdot, t_{k}+1)\|_{L^1(\Omega)}\geq\|c(\cdot, t_{k})\|_{L^1(\Omega)}\big\}, $

$ {\cal B} = \big\{t_{k}|\, \|c(\cdot, t_{k}+1)\|_{L^1(\Omega)}<\|c(\cdot, t_{k})\|_{L^1(\Omega)}\big\}. $

显然,如果$ t_k\in{\cal A} $,由(3.33)式,可知

$ a\int^{t_k+1}_{t_k}\|c(\cdot, t)\|_{L^1(\Omega)}{\rm d}t\leq k_0|\Omega|\epsilon^2. $

否则, $ t_k\in{\cal B} $,则$ \|c(\cdot, t_k)\|_{L^1(\Omega)} $是一严格单调递减函数,并且$ \|c(\cdot, t_k)\|_{L^1(\Omega)} $有下界$ 0 $.由单调有界原理知, $ \{\|c(\cdot, t_k)\|_{L^1(\Omega)}\}^\infty_{k = 1} $必收敛.假设它的极限为$ \xi $,即

$ \lim\limits_{t_k\rightarrow\infty}\|c(\cdot, t_k)\|_{L^1(\Omega)} = \xi. $

对(3.33)式两边取极限,得

(3.34) $ \begin{equation} \xi+a\xi\leq\xi, \end{equation} $

这里$ a>0 $.因此,我们有$ \xi = 0 $,从而断言成立.

接下来,利用Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式知

(3.35) $ \begin{eqnarray} \|c\|_{L^\infty(\Omega)}&\leq & C_{08}\|\nabla\Delta c\|^{\frac{1}{2}}_{L^2(\Omega)}\|c\|^{\frac{1}{2}}_{L^1(\Omega)}+C_{08}\|c\|_{L^1(\Omega)} \\ &\leq&\epsilon\|\nabla\Delta c\|_{L^2(\Omega)}+\bigg(\frac{C^2_{08}}{4\epsilon}+C_{08}\bigg)\|c\|_{L^1(\Omega)}. \end{eqnarray} $

对$ c(\cdot, t) $,由(2.25)和(2.14)式关于时间$ t $积分,得

(3.36) $ \begin{eqnarray} \int^{t_k+1}_{t_k}\|\nabla\Delta c(\cdot, t)\|_{L^2(\Omega)}{\rm d}t &\leq&\frac{c_3(1+2a)}{2ad_0}+\frac{2aC_4-c_3}{2ad_0}e^{-2at_k} \\ &\leq&\frac{c_3(1+2a)}{2ad_0}+\epsilon. \end{eqnarray} $

对(3.35)式关于时间从$ t_k $到$ t_k+1 $积分,由于(3.33)和(3.36)式,得

(3.37) $ \begin{eqnarray} \int^{t_k+1}_{t_k}\|c(\cdot, t)\|_{L^\infty(\Omega)}{\rm d}t &\leq&\epsilon\int^{t_k+1}_{t_k}\|\nabla\Delta c(\cdot, t)\|_{L^2(\Omega)}{\rm d}t +\bigg(\frac{C^2_{08}}{4\epsilon}+C_{08}\bigg)\int^{t_k+1}_{t_k}\|c(\cdot, t)\|_{L^1(\Omega)}{\rm d}t \\ &\leq&\frac{\epsilon}{a}\bigg[\frac{c_3(1+2a)}{2ad_0}+\frac{k_0|\Omega|C^2_{08}}{4}\bigg] +\epsilon^2\bigg(1+\frac{k_0C_{08}|\Omega|}{a}\bigg). \end{eqnarray} $

对(3.37)式取上确界,得

(3.38) $ \begin{equation} \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\int^{t_k+1}_{t_k}\|c(\cdot, t)\|_{L^\infty(\Omega)}{\rm d}t\leq \frac{\epsilon}{a}\bigg[\frac{c_3(1+2a)}{2ad_0}+\frac{k_0|\Omega|C^2_{08}}{4}\bigg] +\epsilon^2\bigg(1+\frac{k_0C_{08}|\Omega|}{a}\bigg). \end{equation} $

由于$ \epsilon>0 $的任意性,知

$ \|c(\cdot, t)\|_{L^\infty(\Omega)}\rightarrow0, \quad\mbox{当}\, \, t\rightarrow\infty. $

特别地,如果$ \chi = 0 $,类似于$ n(\cdot, t) $的方法,利用Poincaré和插值不等式知

$ \rho(x, t)\rightarrow\rho_{\ast}, \quad\mbox{当}\, \, t\rightarrow\infty $

且

$ \|n(x, t)\|_{C^\theta(\bar{\Omega})}\rightarrow0\quad\mbox{和}\quad \|c(x, t)\|_{L^\infty(\Omega)}\rightarrow0, \quad\mbox{当}\, \, t\rightarrow\infty. $

证毕.

注3.2  这个定理说明了精子的质量在受精过程中收敛到初始精子与卵子的差值,最终卵细胞全部受精,化学物质的浓度最终耗尽.同时,由(3.32)式知,化学物质的耗尽也伴随着卵子全部受精.这说明了化学物质的浓度在珊瑚礁受精过程中扮演着重要的作用.