一类抛物方程爆破时间下界的确定方法与有效性分析

一类抛物方程爆破时间下界的确定方法与有效性分析

覃思乾, 凌征球^,, 周泽文

Some Methods for Determining the Lower Bound of Blow-up Time in a Parabolic Problem and Effectiveness Analysis

Qin Siqian, Ling Zhengqiu^,, Zhou Zewen

通讯作者: 凌征球, E-mail: lingzq00@163.com

收稿日期: 2018-09-5

基金资助:

国家自然科学基金. 11461076

Received: 2018-09-5

Fund supported:

the NSFC. 11461076

摘要

利用能量估计方法与微分不等式技术，该文研究了一类具有可变非局部源项的牛顿渗流方程的Neumann边界值问题解的爆破现象，给出了解发生爆破时两个估计爆破时间下界的方法以及它们的有效性分析.

关键词： 牛顿渗流方程 ; 可变源 ; 爆破 ; 下界 ; 有效性

Abstract

In this paper, we consider the blow-up phenomenon to a type of Newtonian filtration equation with variable source subject to homogeneous Neumann boundary condition. We give two methods to determine the lower bound for blow-up time of solution in $\Omega \in {{\mathbb{R}}^{3}}$ if the solutions blow up by energy estimation method and diferential inequality technique. Moreover, the effectiveness of these methods are also discussed.

Keywords： Newtonian filtration equation ; Variable source ; Blow-up ; Lower bound ; Effectiveness

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本文引用格式

覃思乾, 凌征球, 周泽文. 一类抛物方程爆破时间下界的确定方法与有效性分析. 数学物理学报[J], 2019, 39(5): 1033-1040 doi:

Qin Siqian, Ling Zhengqiu, Zhou Zewen. Some Methods for Determining the Lower Bound of Blow-up Time in a Parabolic Problem and Effectiveness Analysis. Acta Mathematica Scientia[J], 2019, 39(5): 1033-1040 doi:

1 引言

考虑如下非线性扩散方程的初边值问题

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_t = \Delta u^{m} + u^{p(x)}, & \quad x \in \Omega, \ t > 0, \\ \frac{\partial u^m}{\partial \nu} = 0 , & \quad x\in \partial \Omega, \ t > 0, \\ u(x, 0) = u_0(x)\geq 0, & \quad x \in \Omega, \end{array} \right. \end{equation}$

(1.1)

其中: $\Omega \subseteq \mathbb{R} ^3$ 是具有光滑边界 $\partial\Omega$ 和凸性的有界区域, $m > 1$ ,初值 $u_0(x)$ 连续且满足相容性条件, $\partial u^m / \partial \nu$ 表示在边界向外的法向导数,函数 $p(x) : \Omega \rightarrow (1, +\infty)$ 满足

$\begin{equation} 1 < p^-: = \inf\limits_{x\in\Omega} p(x) \leq p(x) \leq p^+ : = \sup\limits_{x\in\Omega}p(x) < +\infty. \end{equation}$

(1.2)

具有非局部源项的牛顿渗流方程初边值问题(1.1)应用广泛,可用于描述物理上的热传导与工程等应用^[1-2],其中关于问题解的爆破时间,特别是爆破时间的下界估计研究近几年得到了许多专家学者的关注.自从Payne^[3]开创性的工作之后,出现了许多的研究成果(参见文献[4-9]).对于 $p(x) = p$ 与 $m = 1$ 的问题(1.1), Baghaei^[10]获得了爆破时间和下界估计,但值得指出的是,由于Neumann边界条件,文献[10]使用的关键技术,也就是Sobolev不等式不能直接用于问题(1.1).可是, Payne^[11]通过建立一个合适的Sobolev型不等式成功地克服了这个困难.受到文献[11]思想的启发,本文将在区域 $\Omega$ 上建立一个连续的Sobolev型不等式去处理问题(1.1)解的爆破情况,而且专注于讨论爆破时间的下界估计,不仅给出了两种估计的方法,同时也给出这些方法的有效性分析.

2 爆破时间下界的估计方法

2.1 方法一

假设 $u(x, t)$ 是问题(1.1)的一个非负古典解,定义辅助函数

$\begin{equation} \varphi(t) = \int_\Omega u^{k+1} {\rm d}x, \end{equation}$

(2.1)

其中参数 $k$ 满足条件 $k > \max\{ 8p^+ - 9m, 3m-4 \}$ .利用格林公式可以得到

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k+1}\varphi^\prime (t) & = & \int_\Omega u^k u_t {\rm d}x = \int_\Omega u^k \Delta u^m {\rm d}x + \int_\Omega u^{k+p(x)}{\rm d}x\\ & = &-\frac{4mk}{(m+k)^2}\int_\Omega \big| \nabla u^{\frac{m+k}{2}}\big|^2 {\rm d}x + \int_\Omega u^{k+p(x)}{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

对于每个 $t > 0$ ,我们把区域 $\Omega$ 拆分成两个部分:

$\Omega_1 = \{ x\in \Omega: u(x, t)<1\}, \quad \Omega_2 = \{ x\in \Omega: u(x, t)\geq 1 \}.$

这样

$\begin{eqnarray*} \int_\Omega u^{k+p(x)}{\rm d}x & = & \int_{\Omega_1} u^{k+p(x)}{\rm d}x+\int_{\Omega_2} u^{k+p(x)}{\rm d}x \\ &\leq & \int_{\Omega_1} u^{k+p^-}{\rm d}x+\int_{\Omega_2} u^{k+p^+}{\rm d}x \\ &\leq& \int_{\Omega} u^{k+p^-}{\rm d}x+\int_{\Omega} u^{k+p^+}{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

因此

$\begin{equation} \frac{1}{k+1}\varphi_1^\prime (t) \leq -\frac{4mk}{(m+k)^2}\int_\Omega \big| \nabla u^{\frac{m+k}{2}}\big|^2 {\rm d}x + \int_{\Omega} u^{k+p^-}{\rm d}x+\int_{\Omega} u^{k+p^+}{\rm d}x. \end{equation}$

(2.2)

下面估计上式右边的第二与第三项.首先根据Hölder不等式和

$a^r b^q \leq ra + qb, \quad r+q = 1, \quad a, b >0$

得到

$\begin{eqnarray} \int_\Omega u^{k+p^-}{\rm d}x &\leq& \Big( \int_\Omega u^{k+1}{\rm d}x\Big)^{\frac{k+1-\sigma_1}{k+1}}\Big(\int_\Omega u^{\frac{9(m+k)}{8}}{\rm d}x\Big)^{\frac{\sigma_1}{k+1}} \\ & \leq& \frac{k+1-\sigma_1}{k+1} \int_\Omega u^{k+1} {\rm d}x + \frac{\sigma_1}{k+1} \int_\Omega u^{\frac{9(k+m)}{8}}{\rm d}x \\ & = & \frac{k+1-\sigma_1}{k+1} \varphi(t) + \frac{\sigma_1}{k+1} \int_\Omega u^{\frac{9(k+m)}{8}}{\rm d}x, \end{eqnarray}$

(2.3)

这里

$0 < \sigma_1 = \frac{8(p^- - 1)(k+1)}{k+9m-8} < k+1.$

然后我们寻找一个合适的Sobolev型不等式去计算函数 $u^{9(k+m)/8}$ 在(2.3)式中的积分.为此,令 $x_{im}$ 和 $x_{iM}$ 分别表示 $\Omega$ 在坐标 $x_i (i = 1, 2, 3)$ 的最小值与最大值, $\nu = (\nu_1, \nu_2, \nu_3)$ 表示在边界 $\partial\Omega$ 向外的单位向量, $D_z$ 表示区域 $\Omega$ 与平面 $x_3 = z$ 相交的截面积.为了下面计算方便,我们令 $\omega: = u^{(k+m)/4}$ ,这样,根据Schwarz不等式,有

$\begin{eqnarray} \int_\Omega u^{\frac{9(k+m)}{8}}{\rm d}x & = & \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}} {\rm d}x = \int_{x_{3m}}^{x_{3M}} \Big(\int_{D_z} \omega^{\frac{9}{2}} {\rm d}A\Big) {\rm d}x_3\\ &\leq & \int_{x_{3m}}^{x_{3M}} \Big(\int_{D_z} \omega^3 {\rm d}A \int_{D_z} \omega^6 {\rm d}A \Big)^{\frac{1}{2}} {\rm d}x_3. \end{eqnarray}$

(2.4)

设 $P = (\bar{x}_1, \bar{x}_2, z) \in D_z$ , $P_1, P_2$ 表示在 $D_z$ 上直线 $x_2 = \bar{x_2}$ 与边界 $\partial\Omega$ 的相交点,而直线 $x_1 = \bar{x_1}$ 与边界 $\partial\Omega$ 的交点则用 $Q_1, Q_2$ 表示.那么,我们有

$\omega^3(P) = \omega^3(P_1) + 3 \int^P_{P_1} \omega ^2 \omega_{x_1} {\rm d} x_1, \quad \omega^3(P) = \omega^3(P_2) - 3 \int^P_{P_2} \omega ^2 \omega_{x_1} {\rm d} x_1.$

由此得到

$\begin{equation} \omega^3(P) \leq \frac{1}{2} \big[ \omega^3(P_1) + \omega^3(P_2)\big] + \frac{3}{2} \int^{P_2}_{P_1} \omega ^2 |\omega_{x_1}| {\rm d} x_1. \end{equation}$

(2.5)

类似地

$\begin{equation} \omega^3(P) \leq \frac{1}{2} \big[ \omega^3(Q_1) + \omega^3(Q_2)\big] + \frac{3}{2} \int^{Q_2}_{Q_1} \omega ^2 |\omega_{x_2}| {\rm d} x_2. \end{equation}$

(2.6)

然后(2.5)式与(2.6)式相乘并在 $D_z$ 上积分得

$\begin{eqnarray*} \int_{D_z} \omega^6(P) {\rm d}A &\leq& \Big( \frac{1}{2} \int_{x_{2m}}^{x_{2M}} \big[ \omega^3(P_1) + \omega^3(P_2)\big]{\rm d} x_2 + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_1}| {\rm d}A \Big) \\ && \times \Big( \frac{1}{2} \int_{x_{1m}}^{x_{1M}} \big[ \omega^3(Q_1) + \omega^3(Q_2)\big]{\rm d} x_1 + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_2}| {\rm d}A \Big) \\ & \leq& \Big( \frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_1| {\rm d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_1}| {\rm d}A \Big)\\ &&\times \Big( \frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_2| {\rm d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_2}| {\rm d}A \Big). \end{eqnarray*}$

由此, (2.4)式变成

$\begin{eqnarray} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}}{\rm d}x & \leq& \int_{x_{3m}}^{x_{3M}} \Big( \int_{D_z}\omega^3 {\rm d}A \Big)^{\frac{1}{2}} \times \Big(\frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_1| {\rm d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_1}| {\rm d}A \Big)^{\frac{1}{2}} \\ &&\times \Big( \frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_2| {\rm d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_2}| {\rm d}A \Big)^{\frac{1}{2}} {\rm d} x_3 \\ &\leq &\max\limits_{z}\Big( \int_{D_z}\omega^3 {\rm d}A \Big)^{\frac{1}{2}} \int_{x_{3m}}^{x_{3M}} \Big(\frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_1| {\rm d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_1}| {\rm d}A \Big)^{\frac{1}{2}} \\ &&\times \Big( \frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_2| {\rm d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_2}| {\rm d}A \Big)^{\frac{1}{2}} {\rm d} x_3 \\& \leq& \max\limits_{z}\Big( \int_{D_z}\omega^3 {\rm d}A \Big)^{\frac{1}{2}} F_1^{\frac{1}{2}} F_2^{\frac{1}{2}}, \end{eqnarray}$

(2.7)

其中

$\begin{equation} F_i = \frac{1}{2} \int_{\partial \Omega} \omega^3 |\nu_i| {\rm d} S + \frac{3}{2} \int_{\Omega}\omega^2 |\omega_{x_i}| {\rm d}x, \quad i = 1, 2. \end{equation}$

(2.8)

又令 $\Omega^+$ 表示区域 $\Omega$ 在平面 $D_z$ 上面的部分,而 $\partial \Omega^+$ 则表示上面部分的边界.类似地, $\Omega^-$ 与 $\partial \Omega^-$ 则分别表示平面 $D_z$ 下面的区域与边界.这样由散度定理可得到

$\int_{D_z} \omega^3 {\rm d}A = \int_{\partial \Omega^+} \omega^3 \nu_3 {\rm d} S - 3 \int_{\Omega^+} \omega^2 \omega_{x_3} {\rm d}x,$

$\int_{D_z} \omega^3 {\rm d}A = -\int_{\partial \Omega^-} \omega^3 \nu_3 {\rm d} S + 3 \int_{\Omega^-} \omega^2 \omega_{x_3} {\rm d}x.$

由此

$\int_{D_z} \omega^3 {\rm d}A \leq \frac{1}{2} \int_{\partial \Omega} \omega^3 |\nu_3| {\rm d} S + \frac{3}{2} \int_{\Omega}\omega^2 |\omega_{x_3}| {\rm d}x = : F_3.$

利用不等式 $F_1^{\frac{1}{3}} F_2^{\frac{1}{3}} F_3^{\frac{1}{3}} \leq \frac{1}{3}(F_1 + F_2 + F_3)$ ,那么(2.7)式变成

$\begin{eqnarray} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}} {\rm d}x & \leq& F_1^{\frac{1}{2}} F_2^{\frac{1}{2}} F_3^{\frac{1}{2}} \leq \frac{1}{3^{3/2}} (F_1 + F_2 + F_3)^{\frac{3}{2}} \\ & = &\frac{1}{3^{3/2}} [ (A_1 + A_2 + A_3] + (B_1 + B_2 + B_3) ]^{\frac{3}{2}}, \end{eqnarray}$

(2.9)

这里

$A_i = \frac{1}{2} \int_{\partial\Omega} \omega^3 |\nu_i| {\rm d}S, \quad B_i = \frac{3}{2}\int_\Omega \omega^2 |\omega_{x_i}| {\rm d}x, \quad i = 1, 2, 3.$

而且,再根据不等式

$(a+b+c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2), \quad a, b, c > 0$

我们得到

$\begin{equation} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}} {\rm d}x \leq \frac{1}{3^{3/4}} [ ( A_1^2 + A_2^2 + A_3^2 )^{1/2} + ( B_1^2 + B_2^2 + B_3^2 )^{1/2}]^{\frac{3}{2}}. \end{equation}$

(2.10)

又利用Schwarz不等式还有

$\begin{eqnarray*} A_1^2 + A_2^2 + A_3^2 & = &\frac{1}{4} \sum\limits_{i = 1}^3 \Big(\int_{\partial\Omega}\omega^3 |\nu_i|{\rm d}S\Big)^2 \leq \frac{1}{4} \sum\limits_{i = 1}^3 \int_{\partial\Omega}\omega^3 {\rm d}S \int_{\partial\Omega}\omega^3 \nu_i^2 {\rm d}S \\ & = &\frac{1}{4} \Big(\int_{\partial\Omega}\omega^3 {\rm d}S\Big)^2. \end{eqnarray*}$

类似地

$\begin{eqnarray*} B_1^2 + B_2^2 + B_3^2& = & \frac{9}{4} \sum\limits_{i = 1}^3 \Big(\int_{\Omega}\omega^2 |\omega_{x_i}|{\rm d}x\Big)^2 \leq \frac{9}{4} \sum\limits_{i = 1}^3 \int_{\Omega}\omega^2 {\rm d}x \int_{\Omega}\omega^2 |\omega_{x_i}|^2 {\rm d}x \\ & = &\frac{9}{16} \int_{\Omega}\omega^2 {\rm d}x \int_\Omega |\nabla \omega^2 |^2 {\rm d}x. \end{eqnarray*}$

这样,从(2.10)式得到

$\begin{equation} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}}{\rm d}x \leq \frac{1}{3^{3/4}}\Big( \frac{1}{2} \int_{\partial\Omega} \omega^3 {\rm d}S + \frac{3}{4}\big(\int_\Omega \omega^2 {\rm d}x\big)^{1/2} \big(\int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 {\rm d}x\big)^{1/2} \Big)^{\frac{3}{2}}. \end{equation}$

(2.11)

下面我们计算 $\int_{\partial\Omega} \omega^3 {\rm d}S$ .令 $l_0 = \min_{\partial\Omega}({\bf x}\cdot {\bf \nu}), \ d^2 = \max_{\Omega}|{\bf x}|$ 和使用散度定理有

$l_0 \int_{\partial\Omega} \omega^3 {\rm d}S \leq \int_{\partial\Omega} x_i \nu_i \omega^3 {\rm d}S = 3 \int_{\Omega} \omega^3 {\rm d}x + 3\int_{\Omega} x_i \omega^2 \omega_{x_i} {\rm d}x.$

再根据Schwarz不等式,有

$\begin{equation} \int_{\partial\Omega} \omega^3 {\rm d}S \leq \frac{3}{l_0} \int_{\Omega} \omega^3 {\rm d}x + \frac{3d}{2 l_0}\Big(\int_\Omega \omega^2 {\rm d}x\Big)^{1/2} \Big(\int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 {\rm d}x\Big)^{1/2}. \end{equation}$

(2.12)

代入(2.11)式得到

$\begin{equation} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}}{\rm d}x \leq \frac{1}{3^{3/4}}\Big( \frac{3}{2l_0} \int_{\Omega} \omega^3 {\rm d}x + \frac{3}{4}\big(\frac{d}{l_0} + 1 \big) \big(\int_\Omega \omega^2 {\rm d}x\big)^{1/2} \big(\int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 {\rm d}x\big)^{1/2} \Big)^{\frac{3}{2}}. \end{equation}$

(2.13)

又利用不等式

$(a+b)^{\frac{3}{2}} \leq 2^{\frac{1}{2}}( a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}), \quad a, b>0 ,$

(2.13)式还可以写成

$\begin{equation} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}}{\rm d}x \leq \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big( \big( \frac{3}{2l_0} \int_{\Omega} \omega^3 {\rm d}x \big)^{\frac{3}{2}}+ \big(\frac{3}{4}\big)^{\frac{3}{2}}\big(\frac{d}{l_0}+1 \big)^{\frac{3}{2}} \big(\int_\Omega \omega^2 {\rm d}x\big)^{3/4} \big(\int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 {\rm d}x\big)^{3/4} \Big). \end{equation}$

(2.14)

再根据Young和Hölder不等式,有

$\begin{equation} \Big(\int_\Omega \omega^2 {\rm d}x\Big)^{3/4} \Big(\int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 {\rm d}x\Big)^{3/4} \leq \frac{1}{4}\varepsilon_1^{-3}\Big(\int_\Omega \omega^2 {\rm d}x\Big)^{3} + \frac{3}{4}\varepsilon_1 \int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 {\rm d}x, \end{equation}$

(2.15)

$\begin{equation} \int_\Omega \omega^3 {\rm d}x \leq \Big( \int_\Omega \omega^{\frac{4(k+1)}{k+m}} {\rm d}x\Big)^{\frac{3(k+m)}{4(k+1)}} |\Omega|^{1-\frac{3(k+m)}{4(k+1)}}, \end{equation}$

(2.16)

$\begin{equation} \int_\Omega \omega^2 {\rm d}x \leq \Big( \int_\Omega \omega^{\frac{4(k+1)}{k+m}} {\rm d}x\Big)^{\frac{k+m}{2(k+1)}} |\Omega|^{1-\frac{k+m}{2(k+1)}}, \end{equation}$

(2.17)

这里 $\varepsilon_1 > 0$ 是一个任意常数.这样,根据(2.14)–(2.17)式, (2.3)式以及 $\omega = u^{(k+m)/4}$ ,我们可以得到

$\begin{eqnarray} \int_\Omega u^{k+p^-}{\rm d}x &\leq &\frac{k+1-\sigma_1}{k+1} \varphi(t) + \frac{\sigma_1}{k+1}\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big(\frac{3}{2l_0}\Big)^{\frac{3}{2}}|\Omega|^{\frac{3}{2}( 1- \frac{3(k+m)}{4(k+1)})} \varphi(t)^{\frac{9(k+m)}{8(k+1)}} \\&&+ \frac{\sigma_1}{k+1}\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big(\frac{3}{4}\Big)^{\frac{3}{2}} \Big( \frac{d}{l_0} + 1 \Big)^{\frac{3}{2}} \frac{1}{4} \varepsilon_1^{-3} |\Omega|^{3( 1- \frac{k+m}{2(k+1)})} \varphi(t)^{\frac{3(k+m)}{2(k+1)}}\\&&+ \frac{\sigma_1}{k+1}\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big(\frac{3}{4}\Big)^{\frac{5}{2}} \Big( \frac{d}{l_0} + 1 \Big)^{\frac{3}{2}} \varepsilon_1 \int_\Omega |\nabla u^{\frac{k+m}{2}}|^2 {\rm d}x. \end{eqnarray}$

(2.18)

类似上面的分析,我们也可以得到

$\begin{eqnarray} \int_\Omega u^{k+p^+}{\rm d}x &\leq &\frac{k+1-\sigma_2}{k+1} \varphi(t) + \frac{\sigma_2}{k+1}\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big(\frac{3}{2l_0}\Big)^{\frac{3}{2}}|\Omega|^{\frac{3}{2}( 1- \frac{3(k+m)}{4(k+1)})} \varphi(t)^{\frac{9(k+m)}{8(k+1)}}\\&&+ \frac{\sigma_2}{k+1}\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big(\frac{3}{4}\Big)^{\frac{3}{2}} \Big( \frac{d}{l_0} + 1 \Big)^{\frac{3}{2}} \frac{1}{4} \varepsilon_2^{-3} |\Omega|^{3( 1- \frac{k+m}{2(k+1)})} \varphi(t)^{\frac{3(k+m)}{2(k+1)}} \\ &&+ \frac{\sigma_2}{k+1}\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big(\frac{3}{4}\Big)^{\frac{5}{2}} \Big( \frac{d}{l_0} + 1 \Big)^{\frac{3}{2}} \varepsilon_2 \int_\Omega |\nabla u^{\frac{k+m}{2}}|^2 {\rm d}x. \end{eqnarray}$

(2.19)

其中 $\varepsilon_2 > 0$ 和

$\sigma_2 = \frac{8(p^+ -1)(k+1)}{k+9m-8} \in \big(0, k+1\big).$

把(2.18), (2.19)式代入(2.2)式并选择常数 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 满足

$-\frac{4mk}{(m+k)^2} + \frac{\sigma_1 \varepsilon_1 + \sigma_2 \varepsilon_2}{k+1} \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}}\Big(\frac{3}{4}\Big)^{\frac{5}{2}} \Big( \frac{d}{l_0} + 1 \Big)^{\frac{3}{2}} = 0,$

我们得到下列的微分不等式

$\begin{equation} \varphi^\prime(t) \leq K_1 \varphi(t) + K_2 \varphi(t)^{\frac{9(k+m)}{8(k+1)}} + K_3 \varphi(t)^{\frac{3(k+m)}{2(k+1)}}, \end{equation}$

(2.20)

其中

$\begin{eqnarray*} && K_1 = 2(k+1)-(\sigma_1+\sigma_2)>0, \\ && K_2 = (\sigma_1+\sigma_2) \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}}\Big(\frac{3}{2 l_0}\Big)^{\frac{3}{2}}|\Omega|^{\frac{3}{2}( 1- \frac{3(k+m)}{4(k+1)})}, \\ && K_3 = \frac{\sigma_1 \varepsilon_1^{-3} + \sigma_2 \varepsilon_2^{-3}}{4} \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big(\frac{3}{4}\Big)^{\frac{3}{2}} \Big( \frac{d}{l_0} + 1 \Big)^{\frac{3}{2}} |\Omega|^{3( 1- \frac{k+m}{2(k+1)})}. \end{eqnarray*}$

积分(2.20)式得到

$\begin{equation} \int_{\varphi(0)}^{\varphi(t)} \frac{{\rm d} \eta}{K_1 \eta + K_2 \eta^{\frac{9(k+m)}{8(k+1)}} + K_3 \eta^{\frac{3(k+m)}{2(k+1)}}} \leq t. \end{equation}$

(2.21)

由此得到爆破时间 $T$ 的下界估计,即

$\begin{equation} T \geq T_1 : = \int_{\varphi(0)}^{\infty} \frac{{\rm d} \eta}{K_1 \eta + K_2 \eta^{\frac{9(k+m)}{8(k+1)}} + K_3 \eta^{\frac{3(k+m)}{2(k+1)}}}, \end{equation}$

(2.22)

其中 $\varphi(0) = \int_\Omega [u_0(x)]^{k+1} {\rm d}x.$

综合上述的分析结果,我们有

定理2.1 如果 $u$ 是问题(1.1)的非负解,并且按(2.1)式的 $L^{k+1}$ 范数意义下在有限时该 $T$ 发生爆破,那么其下界估计由(2.22)式给出.

2.2 方法二

通过方法一的分析知道,要确定问题(1.1)的解的爆破时间下界估计,需要分别估算式(2.2)中函数 $u^{k+p^-}$ 和 $u^{k+p^+}$ 的积分.实际上,我们可以简化这些计算.首先,根据Hölder不等式,有

$\int_\Omega u^{k+p^-} {\rm d}x \leq |\Omega|^{\frac{p^+ - p^-}{k+p^+}} \Big( \int_\Omega u^{k+p^+} {\rm d}x\Big)^{\frac{k+p^-}{k+p^+}} \leq \frac{p^+ - p^-}{k+p^+}|\Omega| + \frac{k+p^-}{k+p^+} \int_\Omega u^{k+p^+} {\rm d}x.$

这样, (2.2)式变成

$\begin{equation} \frac{1}{k+1}\varphi^\prime(t) \leq -\frac{4mk}{(m+k)^2}\int_\Omega |\nabla u^{\frac{k+m}{2}}|^2 {\rm d}x + \frac{p^+ - p^-}{k+p^+}|\Omega| + \Big(1+\frac{k+p^-}{k+p^+}\Big) \int_\Omega u^{k+p^+} {\rm d}x. \end{equation}$

(2.23)

其次,类似于方法一的分析与讨论,我们也得到关于 $u^{k+p^+}$ 积分的估计式(2.19).

最后,把(2.19)式代入(2.23)式,并选择常数 $\varepsilon_2$ 满足

$-\frac{4mk}{(m+k)^2} + \Big(1 + \frac{k+p^-}{k+p^+} \Big) \frac{\sigma_2 }{k+1} \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}}\Big(\frac{3}{4}\Big)^{\frac{5}{2}} \Big( \frac{d}{l_0} + 1 \Big)^{\frac{3}{2}} \varepsilon_2 = 0,$

我们也能得到关于函数 $\varphi$ 的微分不等式

$\begin{equation} \varphi^\prime(t) \leq K_4 + K_5 \varphi(t) + K_6 \varphi(t)^{\frac{9(k+m)}{8(k+1)}} + K_7 \varphi(t)^{\frac{3(k+m)}{2(k+1)}}, \end{equation}$

(2.24)

这里

$\begin{eqnarray*} && K_4 = |\Omega|(k+1)\frac{p^+ - p^-}{k+p^+}, \\ && K_5 = (k+1-\sigma_2) \Big( 1+\frac{k+p^-}{k+p^+} \Big), \\ && K_6 = \sigma_2 \Big( 1+\frac{k+p^-}{k+p^+} \Big)\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big( \frac{3}{2l_0} \Big)^{\frac{3}{2}} |\Omega|^{\frac{3}{2}(1-\frac{3(k+m)}{4(k+1)} )}, \\ && K_7 = \sigma_2 \Big( 1+\frac{k+p^-}{k+p^+} \Big)\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big( \frac{3}{4} \Big)^{\frac{3}{2}}\Big(\frac{d}{l_0}+1 \Big)^{\frac{3}{2}}\frac{1}{4} \varepsilon_2^{-3} |\Omega|^{3(1-\frac{k+m}{2(k+1)} )}. \end{eqnarray*}$

这样,根据(2.24)式,我们也可以得到问题解的爆破时间的下界估计,即

$\begin{equation} T \geq T_2: = \int_{\varphi(0)}^{\infty} \frac{{\rm d}\eta}{K_4 + K_5 \eta + K_6 \eta^{\frac{9(k+m)}{8(k+1)}} + K_7 \eta^{\frac{3(k+m)}{2(k+1)}} }. \end{equation}$

(2.25)

从而可得

定理2.2 如果 $u$ 是问题(1.1)的非负解,并且按(2.1)式的 $L^{k+1}$ 范数意义下在有限时该 $T$ 发生爆破,那么其下界估计由(2.25)式给出.

3 有效性分析

下面我们将给出一个例子去说明定理2.1与定理2.2的有效性程度.一方面,我们将分析定理2.1与定理2.2的效率程度,即爆破时间的下界 $T_1$ 与 $T_2$ ,哪一个更加接近实际的爆破时间.另一方面,我们也讨论(2.1)式中常数 $k$ 的大小对爆破时间 $T_1$ 或 $T_2$ 的影响程度.

为简单方便,假设 $u(x, t)$ 是问题(1.1)的一个非负古典解,其中

$m = \frac{11}{10}, \quad p(x) = \frac{12}{10}+x_1^2 + x_2^2 + x_3^2, \quad u_0(x) = 1+ \Big( 1 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^2 \Big)^2$

和 $\Omega = \{ x = (x_1, x_2, x_3) \ | \ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 < 1 \}.$ 显然, $p^- = \frac{12}{10}, \ p^+ = \frac{22}{10}, \ l_0 = 1, \ d = 1, \ |\Omega| = 1.$

通过一系列的计算,我们得到下列的数据表.

表 3.1

	共同数据		定理2.1						定理2.2
	$\varphi(0)$	$\sigma_2$	$\sigma_1$	$\varepsilon_1=\varepsilon_2$	$K_1$	$K_2$	$K_3$	$T_1$	$\varepsilon_2$	$K_4$	$K_5$	$K_6$	$K_7$	$T_2$
$k=8$	110.92	8.73	1.45	0.4396	7.82	11.60	34.14	0.004772	0.2694	0.88	0.51	18.90	241.60	0.000699
$k=9$	187.44	8.81	1.47	0.4419	9.72	11.71	33.94	0.003731	0.2698	0.89	2.27	19.18	244.29	0.000534
$k=10$	322.34	8.87	1.48	0.4438	11.65	11.80	33.73	0.002882	0.2700	0.90	4.08	19.40	246.42	0.000405
$k=11$	562.36	8.93	1.49	0.4454	13.58	11.87	33.58	0.002204	0.2701	0.91	5.91	19.58	248.60	0.000305

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通过对上述表格数字的分析,我们有如下的结论.

首先,对于固定的参数 $k$ ,不管是 $k = 8$ 或 $9$ ,等等,从上面的数据得到爆破时间的下界 $T_1$ 和 $T_2$ 满足 $T_1 > T_2$ .因此,我们可以断定定理2.1的有效性要比定理2.2要好,也就是说,我们应该选择定理2.1的方法去估计爆破时间的下界.

第二,我们也知道,不管是 $k = 8$ 和 $k = 9$ ,或者是 $k = 10$ 与 $k = 11$ ,相应的爆破时间的下界 $T_1$ 会变得更小.这是由于 $\varphi(0) \rightarrow \infty (k\rightarrow \infty)$ ,所以极限

$\lim\limits_{k \rightarrow \infty}T_1 = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} \int_{\varphi(0)}^{\infty} \frac{{\rm d} \eta}{K_1 \eta + K_2 \eta^{\frac{9(k+m)}{8(k+1)}} + K_3 \eta^{\frac{3(k+m)}{2(k+1)}}} = 0.$

因此,我们也得到另一个推断:更小的参数 $k$ 计算爆破时间的下界效果更好.

参考文献

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Lower bounds for blow-up time in parabolic problems under Neumann conditions

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... 具有非局部源项的牛顿渗流方程初边值问题(1.1)应用广泛,可用于描述物理上的热传导与工程等应用^[1-2],其中关于问题解的爆破时间,特别是爆破时间的下界估计研究近几年得到了许多专家学者的关注.自从Payne^[3]开创性的工作之后,出现了许多的研究成果(参见文献[4-9]).对于

$p(x) = p$

与

$m = 1$

的问题(1.1), Baghaei^[10]获得了爆破时间和下界估计,但值得指出的是,由于Neumann边界条件,文献[10]使用的关键技术,也就是Sobolev不等式不能直接用于问题(1.1).可是, Payne^[11]通过建立一个合适的Sobolev型不等式成功地克服了这个困难.受到文献[11]思想的启发,本文将在区域

$\Omega$

上建立一个连续的Sobolev型不等式去处理问题(1.1)解的爆破情况,而且专注于讨论爆破时间的下界估计,不仅给出了两种估计的方法,同时也给出这些方法的有效性分析. ...

$p(x) = p$

与

$m = 1$

$\Omega$

Lower bounds for blow-up time in parabolic problems under Dirichlet conditions

2007

$p(x) = p$

与

$m = 1$

$\Omega$

Bounds for blow-up time in nonlinear parabolic problems

2008

$p(x) = p$

与

$m = 1$

$\Omega$

Blow-up phenomena for some nonlinear parabolic problems

2008

Lower bounds estimate for the blow-up time of a nonlinear nonlocal porous medium equation

2012

Bounds of blowup time and blowup rate estimates for a type of parabolic equations with weighted source

2014

Lower bounds for the blow-up time of nonlinear parabolic problems with Robin boundary conditions

2014

具有加权非局部源和Robin边界条件的反应-扩散方程解的爆破时间下界

2017

$p(x) = p$

与

$m = 1$

$\Omega$

具有加权非局部源和Robin边界条件的反应-扩散方程解的爆破时间下界

2017

$p(x) = p$

与

$m = 1$

$\Omega$

Lower bounds for the blow-up time in a semilinear parabolic problem involving a variable source

2014

$p(x) = p$

与

$m = 1$

$\Omega$

... 获得了爆破时间和下界估计,但值得指出的是,由于Neumann边界条件,文献[10]使用的关键技术,也就是Sobolev不等式不能直接用于问题(1.1).可是, Payne^[11]通过建立一个合适的Sobolev型不等式成功地克服了这个困难.受到文献[11]思想的启发,本文将在区域

$\Omega$

Lower bounds for blow-up time in parabolic problems under Neumann conditions

2006

$p(x) = p$

与

$m = 1$

$\Omega$

... 通过建立一个合适的Sobolev型不等式成功地克服了这个困难.受到文献[11]思想的启发,本文将在区域

$\Omega$

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