考虑如下非线性扩散方程的初边值问题

(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_t = \Delta u^{m} + u^{p(x)}, & \quad x \in \Omega, \ t > 0, \\ \frac{\partial u^m}{\partial \nu} = 0 , & \quad x\in \partial \Omega, \ t > 0, \\ u(x, 0) = u_0(x)\geq 0, & \quad x \in \Omega, \end{array} \right. \end{equation} $

其中: $ \Omega \subseteq \mathbb{R} ^3 $是具有光滑边界$ \partial\Omega $和凸性的有界区域, $ m > 1 $,初值$ u_0(x) $连续且满足相容性条件, $ \partial u^m / \partial \nu $表示在边界向外的法向导数,函数$ p(x) : \Omega \rightarrow (1, +\infty) $满足

(1.2) $ \begin{equation} 1 < p^-: = \inf\limits_{x\in\Omega} p(x) \leq p(x) \leq p^+ : = \sup\limits_{x\in\Omega}p(x) < +\infty. \end{equation} $

具有非局部源项的牛顿渗流方程初边值问题(1.1)应用广泛,可用于描述物理上的热传导与工程等应用^[1-2],其中关于问题解的爆破时间,特别是爆破时间的下界估计研究近几年得到了许多专家学者的关注.自从Payne^[3]开创性的工作之后,出现了许多的研究成果(参见文献[4-9]).对于$ p(x) = p $与$ m = 1 $的问题(1.1), Baghaei^[10]获得了爆破时间和下界估计,但值得指出的是,由于Neumann边界条件,文献[10]使用的关键技术,也就是Sobolev不等式不能直接用于问题(1.1).可是, Payne^[11]通过建立一个合适的Sobolev型不等式成功地克服了这个困难.受到文献[11]思想的启发,本文将在区域$ \Omega $上建立一个连续的Sobolev型不等式去处理问题(1.1)解的爆破情况,而且专注于讨论爆破时间的下界估计,不仅给出了两种估计的方法,同时也给出这些方法的有效性分析.

假设$ u(x, t) $是问题(1.1)的一个非负古典解,定义辅助函数

(2.1) $ \begin{equation} \varphi(t) = \int_\Omega u^{k+1} {\rm d}x, \end{equation} $

其中参数$ k $满足条件$ k > \max\{ 8p^+ - 9m, 3m-4 \} $.利用格林公式可以得到

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{k+1}\varphi^\prime (t) & = & \int_\Omega u^k u_t {\rm d}x = \int_\Omega u^k \Delta u^m {\rm d}x + \int_\Omega u^{k+p(x)}{\rm d}x\\ & = &-\frac{4mk}{(m+k)^2}\int_\Omega \big| \nabla u^{\frac{m+k}{2}}\big|^2 {\rm d}x + \int_\Omega u^{k+p(x)}{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

对于每个$ t > 0 $,我们把区域$ \Omega $拆分成两个部分:

$ \Omega_1 = \{ x\in \Omega: u(x, t)<1\}, \quad \Omega_2 = \{ x\in \Omega: u(x, t)\geq 1 \}. $

这样

$ \begin{eqnarray*} \int_\Omega u^{k+p(x)}{\rm d}x & = & \int_{\Omega_1} u^{k+p(x)}{\rm d}x+\int_{\Omega_2} u^{k+p(x)}{\rm d}x \\ &\leq & \int_{\Omega_1} u^{k+p^-}{\rm d}x+\int_{\Omega_2} u^{k+p^+}{\rm d}x \\ &\leq& \int_{\Omega} u^{k+p^-}{\rm d}x+\int_{\Omega} u^{k+p^+}{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

因此

(2.2) $ \begin{equation} \frac{1}{k+1}\varphi_1^\prime (t) \leq -\frac{4mk}{(m+k)^2}\int_\Omega \big| \nabla u^{\frac{m+k}{2}}\big|^2 {\rm d}x + \int_{\Omega} u^{k+p^-}{\rm d}x+\int_{\Omega} u^{k+p^+}{\rm d}x. \end{equation} $

下面估计上式右边的第二与第三项.首先根据Hölder不等式和

$ a^r b^q \leq ra + qb, \quad r+q = 1, \quad a, b >0 $

得到

(2.3) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega u^{k+p^-}{\rm d}x &\leq& \Big( \int_\Omega u^{k+1}{\rm d}x\Big)^{\frac{k+1-\sigma_1}{k+1}}\Big(\int_\Omega u^{\frac{9(m+k)}{8}}{\rm d}x\Big)^{\frac{\sigma_1}{k+1}} \\ & \leq& \frac{k+1-\sigma_1}{k+1} \int_\Omega u^{k+1} {\rm d}x + \frac{\sigma_1}{k+1} \int_\Omega u^{\frac{9(k+m)}{8}}{\rm d}x \\ & = & \frac{k+1-\sigma_1}{k+1} \varphi(t) + \frac{\sigma_1}{k+1} \int_\Omega u^{\frac{9(k+m)}{8}}{\rm d}x, \end{eqnarray} $

这里

$ 0 < \sigma_1 = \frac{8(p^- - 1)(k+1)}{k+9m-8} < k+1. $

然后我们寻找一个合适的Sobolev型不等式去计算函数$ u^{9(k+m)/8} $在(2.3)式中的积分.为此,令$ x_{im} $和$ x_{iM} $分别表示$ \Omega $在坐标$ x_i (i = 1, 2, 3) $的最小值与最大值, $ \nu = (\nu_1, \nu_2, \nu_3) $表示在边界$ \partial\Omega $向外的单位向量, $ D_z $表示区域$ \Omega $与平面$ x_3 = z $相交的截面积.为了下面计算方便,我们令$ \omega: = u^{(k+m)/4} $,这样,根据Schwarz不等式,有

(2.4) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega u^{\frac{9(k+m)}{8}}{\rm d}x & = & \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}} {\rm d}x = \int_{x_{3m}}^{x_{3M}} \Big(\int_{D_z} \omega^{\frac{9}{2}} {\rm d}A\Big) {\rm d}x_3\\ &\leq & \int_{x_{3m}}^{x_{3M}} \Big(\int_{D_z} \omega^3 {\rm d}A \int_{D_z} \omega^6 {\rm d}A \Big)^{\frac{1}{2}} {\rm d}x_3. \end{eqnarray} $

设$ P = (\bar{x}_1, \bar{x}_2, z) \in D_z $, $ P_1, P_2 $表示在$ D_z $上直线$ x_2 = \bar{x_2} $与边界$ \partial\Omega $的相交点,而直线$ x_1 = \bar{x_1} $与边界$ \partial\Omega $的交点则用$ Q_1, Q_2 $表示.那么,我们有

$ \omega^3(P) = \omega^3(P_1) + 3 \int^P_{P_1} \omega ^2 \omega_{x_1} {\rm d} x_1, \quad \omega^3(P) = \omega^3(P_2) - 3 \int^P_{P_2} \omega ^2 \omega_{x_1} {\rm d} x_1. $

由此得到

(2.5) $ \begin{equation} \omega^3(P) \leq \frac{1}{2} \big[ \omega^3(P_1) + \omega^3(P_2)\big] + \frac{3}{2} \int^{P_2}_{P_1} \omega ^2 |\omega_{x_1}| {\rm d} x_1. \end{equation} $

类似地

(2.6) $ \begin{equation} \omega^3(P) \leq \frac{1}{2} \big[ \omega^3(Q_1) + \omega^3(Q_2)\big] + \frac{3}{2} \int^{Q_2}_{Q_1} \omega ^2 |\omega_{x_2}| {\rm d} x_2. \end{equation} $

然后(2.5)式与(2.6)式相乘并在$ D_z $上积分得

$ \begin{eqnarray*} \int_{D_z} \omega^6(P) {\rm d}A &\leq& \Big( \frac{1}{2} \int_{x_{2m}}^{x_{2M}} \big[ \omega^3(P_1) + \omega^3(P_2)\big]{\rm d} x_2 + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_1}| {\rm d}A \Big) \\ && \times \Big( \frac{1}{2} \int_{x_{1m}}^{x_{1M}} \big[ \omega^3(Q_1) + \omega^3(Q_2)\big]{\rm d} x_1 + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_2}| {\rm d}A \Big) \\ & \leq& \Big( \frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_1| {\rm d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_1}| {\rm d}A \Big)\\ &&\times \Big( \frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_2| {\rm d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_2}| {\rm d}A \Big). \end{eqnarray*} $

由此, (2.4)式变成

(2.7) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}}{\rm d}x & \leq& \int_{x_{3m}}^{x_{3M}} \Big( \int_{D_z}\omega^3 {\rm d}A \Big)^{\frac{1}{2}} \times \Big(\frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_1| {\rm d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_1}| {\rm d}A \Big)^{\frac{1}{2}} \\ &&\times \Big( \frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_2| {\rm d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_2}| {\rm d}A \Big)^{\frac{1}{2}} {\rm d} x_3 \\ &\leq &\max\limits_{z}\Big( \int_{D_z}\omega^3 {\rm d}A \Big)^{\frac{1}{2}} \int_{x_{3m}}^{x_{3M}} \Big(\frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_1| {\rm d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_1}| {\rm d}A \Big)^{\frac{1}{2}} \\ &&\times \Big( \frac{1}{2} \int_{\partial D_z} \omega^3 |\nu_2| {\rm d} s + \frac{3}{2} \int_{D_z}\omega^2 |\omega_{x_2}| {\rm d}A \Big)^{\frac{1}{2}} {\rm d} x_3 \\& \leq& \max\limits_{z}\Big( \int_{D_z}\omega^3 {\rm d}A \Big)^{\frac{1}{2}} F_1^{\frac{1}{2}} F_2^{\frac{1}{2}}, \end{eqnarray} $

其中

(2.8) $ \begin{equation} F_i = \frac{1}{2} \int_{\partial \Omega} \omega^3 |\nu_i| {\rm d} S + \frac{3}{2} \int_{\Omega}\omega^2 |\omega_{x_i}| {\rm d}x, \quad i = 1, 2. \end{equation} $

又令$ \Omega^+ $表示区域$ \Omega $在平面$ D_z $上面的部分,而$ \partial \Omega^+ $则表示上面部分的边界.类似地, $ \Omega^- $与$ \partial \Omega^- $则分别表示平面$ D_z $下面的区域与边界.这样由散度定理可得到

$ \int_{D_z} \omega^3 {\rm d}A = \int_{\partial \Omega^+} \omega^3 \nu_3 {\rm d} S - 3 \int_{\Omega^+} \omega^2 \omega_{x_3} {\rm d}x, $

$ \int_{D_z} \omega^3 {\rm d}A = -\int_{\partial \Omega^-} \omega^3 \nu_3 {\rm d} S + 3 \int_{\Omega^-} \omega^2 \omega_{x_3} {\rm d}x. $

由此

$ \int_{D_z} \omega^3 {\rm d}A \leq \frac{1}{2} \int_{\partial \Omega} \omega^3 |\nu_3| {\rm d} S + \frac{3}{2} \int_{\Omega}\omega^2 |\omega_{x_3}| {\rm d}x = : F_3. $

利用不等式$ F_1^{\frac{1}{3}} F_2^{\frac{1}{3}} F_3^{\frac{1}{3}} \leq \frac{1}{3}(F_1 + F_2 + F_3) $,那么(2.7)式变成

(2.9) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}} {\rm d}x & \leq& F_1^{\frac{1}{2}} F_2^{\frac{1}{2}} F_3^{\frac{1}{2}} \leq \frac{1}{3^{3/2}} (F_1 + F_2 + F_3)^{\frac{3}{2}} \\ & = &\frac{1}{3^{3/2}} [ (A_1 + A_2 + A_3] + (B_1 + B_2 + B_3) ]^{\frac{3}{2}}, \end{eqnarray} $

这里

$ A_i = \frac{1}{2} \int_{\partial\Omega} \omega^3 |\nu_i| {\rm d}S, \quad B_i = \frac{3}{2}\int_\Omega \omega^2 |\omega_{x_i}| {\rm d}x, \quad i = 1, 2, 3. $

而且,再根据不等式

$ (a+b+c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2), \quad a, b, c > 0 $

我们得到

(2.10) $ \begin{equation} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}} {\rm d}x \leq \frac{1}{3^{3/4}} [ ( A_1^2 + A_2^2 + A_3^2 )^{1/2} + ( B_1^2 + B_2^2 + B_3^2 )^{1/2}]^{\frac{3}{2}}. \end{equation} $

又利用Schwarz不等式还有

$ \begin{eqnarray*} A_1^2 + A_2^2 + A_3^2 & = &\frac{1}{4} \sum\limits_{i = 1}^3 \Big(\int_{\partial\Omega}\omega^3 |\nu_i|{\rm d}S\Big)^2 \leq \frac{1}{4} \sum\limits_{i = 1}^3 \int_{\partial\Omega}\omega^3 {\rm d}S \int_{\partial\Omega}\omega^3 \nu_i^2 {\rm d}S \\ & = &\frac{1}{4} \Big(\int_{\partial\Omega}\omega^3 {\rm d}S\Big)^2. \end{eqnarray*} $

类似地

$ \begin{eqnarray*} B_1^2 + B_2^2 + B_3^2& = & \frac{9}{4} \sum\limits_{i = 1}^3 \Big(\int_{\Omega}\omega^2 |\omega_{x_i}|{\rm d}x\Big)^2 \leq \frac{9}{4} \sum\limits_{i = 1}^3 \int_{\Omega}\omega^2 {\rm d}x \int_{\Omega}\omega^2 |\omega_{x_i}|^2 {\rm d}x \\ & = &\frac{9}{16} \int_{\Omega}\omega^2 {\rm d}x \int_\Omega |\nabla \omega^2 |^2 {\rm d}x. \end{eqnarray*} $

这样,从(2.10)式得到

(2.11) $ \begin{equation} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}}{\rm d}x \leq \frac{1}{3^{3/4}}\Big( \frac{1}{2} \int_{\partial\Omega} \omega^3 {\rm d}S + \frac{3}{4}\big(\int_\Omega \omega^2 {\rm d}x\big)^{1/2} \big(\int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 {\rm d}x\big)^{1/2} \Big)^{\frac{3}{2}}. \end{equation} $

下面我们计算$ \int_{\partial\Omega} \omega^3 {\rm d}S $.令$ l_0 = \min_{\partial\Omega}({\bf x}\cdot {\bf \nu}), \ d^2 = \max_{\Omega}|{\bf x}| $和使用散度定理有

$ l_0 \int_{\partial\Omega} \omega^3 {\rm d}S \leq \int_{\partial\Omega} x_i \nu_i \omega^3 {\rm d}S = 3 \int_{\Omega} \omega^3 {\rm d}x + 3\int_{\Omega} x_i \omega^2 \omega_{x_i} {\rm d}x. $

再根据Schwarz不等式,有

(2.12) $ \begin{equation} \int_{\partial\Omega} \omega^3 {\rm d}S \leq \frac{3}{l_0} \int_{\Omega} \omega^3 {\rm d}x + \frac{3d}{2 l_0}\Big(\int_\Omega \omega^2 {\rm d}x\Big)^{1/2} \Big(\int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 {\rm d}x\Big)^{1/2}. \end{equation} $

代入(2.11)式得到

(2.13) $ \begin{equation} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}}{\rm d}x \leq \frac{1}{3^{3/4}}\Big( \frac{3}{2l_0} \int_{\Omega} \omega^3 {\rm d}x + \frac{3}{4}\big(\frac{d}{l_0} + 1 \big) \big(\int_\Omega \omega^2 {\rm d}x\big)^{1/2} \big(\int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 {\rm d}x\big)^{1/2} \Big)^{\frac{3}{2}}. \end{equation} $

又利用不等式

$ (a+b)^{\frac{3}{2}} \leq 2^{\frac{1}{2}}( a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}), \quad a, b>0 , $

(2.13)式还可以写成

(2.14) $ \begin{equation} \int_\Omega \omega^{\frac{9}{2}}{\rm d}x \leq \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big( \big( \frac{3}{2l_0} \int_{\Omega} \omega^3 {\rm d}x \big)^{\frac{3}{2}}+ \big(\frac{3}{4}\big)^{\frac{3}{2}}\big(\frac{d}{l_0}+1 \big)^{\frac{3}{2}} \big(\int_\Omega \omega^2 {\rm d}x\big)^{3/4} \big(\int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 {\rm d}x\big)^{3/4} \Big). \end{equation} $

再根据Young和Hölder不等式,有

(2.15) $ \begin{equation} \Big(\int_\Omega \omega^2 {\rm d}x\Big)^{3/4} \Big(\int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 {\rm d}x\Big)^{3/4} \leq \frac{1}{4}\varepsilon_1^{-3}\Big(\int_\Omega \omega^2 {\rm d}x\Big)^{3} + \frac{3}{4}\varepsilon_1 \int_\Omega |\nabla\omega^2|^2 {\rm d}x, \end{equation} $

(2.16) $ \begin{equation} \int_\Omega \omega^3 {\rm d}x \leq \Big( \int_\Omega \omega^{\frac{4(k+1)}{k+m}} {\rm d}x\Big)^{\frac{3(k+m)}{4(k+1)}} |\Omega|^{1-\frac{3(k+m)}{4(k+1)}}, \end{equation} $

(2.17) $ \begin{equation} \int_\Omega \omega^2 {\rm d}x \leq \Big( \int_\Omega \omega^{\frac{4(k+1)}{k+m}} {\rm d}x\Big)^{\frac{k+m}{2(k+1)}} |\Omega|^{1-\frac{k+m}{2(k+1)}}, \end{equation} $

这里$ \varepsilon_1 > 0 $是一个任意常数.这样,根据(2.14)–(2.17)式, (2.3)式以及$ \omega = u^{(k+m)/4} $,我们可以得到

(2.18) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega u^{k+p^-}{\rm d}x &\leq &\frac{k+1-\sigma_1}{k+1} \varphi(t) + \frac{\sigma_1}{k+1}\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big(\frac{3}{2l_0}\Big)^{\frac{3}{2}}|\Omega|^{\frac{3}{2}( 1- \frac{3(k+m)}{4(k+1)})} \varphi(t)^{\frac{9(k+m)}{8(k+1)}} \\&&+ \frac{\sigma_1}{k+1}\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big(\frac{3}{4}\Big)^{\frac{3}{2}} \Big( \frac{d}{l_0} + 1 \Big)^{\frac{3}{2}} \frac{1}{4} \varepsilon_1^{-3} |\Omega|^{3( 1- \frac{k+m}{2(k+1)})} \varphi(t)^{\frac{3(k+m)}{2(k+1)}}\\&&+ \frac{\sigma_1}{k+1}\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big(\frac{3}{4}\Big)^{\frac{5}{2}} \Big( \frac{d}{l_0} + 1 \Big)^{\frac{3}{2}} \varepsilon_1 \int_\Omega |\nabla u^{\frac{k+m}{2}}|^2 {\rm d}x. \end{eqnarray} $

类似上面的分析,我们也可以得到

(2.19) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega u^{k+p^+}{\rm d}x &\leq &\frac{k+1-\sigma_2}{k+1} \varphi(t) + \frac{\sigma_2}{k+1}\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big(\frac{3}{2l_0}\Big)^{\frac{3}{2}}|\Omega|^{\frac{3}{2}( 1- \frac{3(k+m)}{4(k+1)})} \varphi(t)^{\frac{9(k+m)}{8(k+1)}}\\&&+ \frac{\sigma_2}{k+1}\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big(\frac{3}{4}\Big)^{\frac{3}{2}} \Big( \frac{d}{l_0} + 1 \Big)^{\frac{3}{2}} \frac{1}{4} \varepsilon_2^{-3} |\Omega|^{3( 1- \frac{k+m}{2(k+1)})} \varphi(t)^{\frac{3(k+m)}{2(k+1)}} \\ &&+ \frac{\sigma_2}{k+1}\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big(\frac{3}{4}\Big)^{\frac{5}{2}} \Big( \frac{d}{l_0} + 1 \Big)^{\frac{3}{2}} \varepsilon_2 \int_\Omega |\nabla u^{\frac{k+m}{2}}|^2 {\rm d}x. \end{eqnarray} $

其中$ \varepsilon_2 > 0 $和

$ \sigma_2 = \frac{8(p^+ -1)(k+1)}{k+9m-8} \in \big(0, k+1\big). $

把(2.18), (2.19)式代入(2.2)式并选择常数$ \varepsilon_1, \varepsilon_2 $满足

$ -\frac{4mk}{(m+k)^2} + \frac{\sigma_1 \varepsilon_1 + \sigma_2 \varepsilon_2}{k+1} \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}}\Big(\frac{3}{4}\Big)^{\frac{5}{2}} \Big( \frac{d}{l_0} + 1 \Big)^{\frac{3}{2}} = 0, $

我们得到下列的微分不等式

(2.20) $ \begin{equation} \varphi^\prime(t) \leq K_1 \varphi(t) + K_2 \varphi(t)^{\frac{9(k+m)}{8(k+1)}} + K_3 \varphi(t)^{\frac{3(k+m)}{2(k+1)}}, \end{equation} $

其中

$ \begin{eqnarray*} && K_1 = 2(k+1)-(\sigma_1+\sigma_2)>0, \\ && K_2 = (\sigma_1+\sigma_2) \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}}\Big(\frac{3}{2 l_0}\Big)^{\frac{3}{2}}|\Omega|^{\frac{3}{2}( 1- \frac{3(k+m)}{4(k+1)})}, \\ && K_3 = \frac{\sigma_1 \varepsilon_1^{-3} + \sigma_2 \varepsilon_2^{-3}}{4} \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big(\frac{3}{4}\Big)^{\frac{3}{2}} \Big( \frac{d}{l_0} + 1 \Big)^{\frac{3}{2}} |\Omega|^{3( 1- \frac{k+m}{2(k+1)})}. \end{eqnarray*} $

积分(2.20)式得到

(2.21) $ \begin{equation} \int_{\varphi(0)}^{\varphi(t)} \frac{{\rm d} \eta}{K_1 \eta + K_2 \eta^{\frac{9(k+m)}{8(k+1)}} + K_3 \eta^{\frac{3(k+m)}{2(k+1)}}} \leq t. \end{equation} $

由此得到爆破时间$ T $的下界估计,即

(2.22) $ \begin{equation} T \geq T_1 : = \int_{\varphi(0)}^{\infty} \frac{{\rm d} \eta}{K_1 \eta + K_2 \eta^{\frac{9(k+m)}{8(k+1)}} + K_3 \eta^{\frac{3(k+m)}{2(k+1)}}}, \end{equation} $

其中$ \varphi(0) = \int_\Omega [u_0(x)]^{k+1} {\rm d}x. $

综合上述的分析结果,我们有

定理2.1  如果$ u $是问题(1.1)的非负解,并且按(2.1)式的$ L^{k+1} $范数意义下在有限时该$ T $发生爆破,那么其下界估计由(2.22)式给出.

通过方法一的分析知道,要确定问题(1.1)的解的爆破时间下界估计,需要分别估算式(2.2)中函数$ u^{k+p^-} $和$ u^{k+p^+} $的积分.实际上,我们可以简化这些计算.首先,根据Hölder不等式,有

$ \int_\Omega u^{k+p^-} {\rm d}x \leq |\Omega|^{\frac{p^+ - p^-}{k+p^+}} \Big( \int_\Omega u^{k+p^+} {\rm d}x\Big)^{\frac{k+p^-}{k+p^+}} \leq \frac{p^+ - p^-}{k+p^+}|\Omega| + \frac{k+p^-}{k+p^+} \int_\Omega u^{k+p^+} {\rm d}x. $

这样, (2.2)式变成

(2.23) $ \begin{equation} \frac{1}{k+1}\varphi^\prime(t) \leq -\frac{4mk}{(m+k)^2}\int_\Omega |\nabla u^{\frac{k+m}{2}}|^2 {\rm d}x + \frac{p^+ - p^-}{k+p^+}|\Omega| + \Big(1+\frac{k+p^-}{k+p^+}\Big) \int_\Omega u^{k+p^+} {\rm d}x. \end{equation} $

其次,类似于方法一的分析与讨论,我们也得到关于$ u^{k+p^+} $积分的估计式(2.19).

最后,把(2.19)式代入(2.23)式,并选择常数$ \varepsilon_2 $满足

$ -\frac{4mk}{(m+k)^2} + \Big(1 + \frac{k+p^-}{k+p^+} \Big) \frac{\sigma_2 }{k+1} \frac{2^{1/2}}{3^{3/4}}\Big(\frac{3}{4}\Big)^{\frac{5}{2}} \Big( \frac{d}{l_0} + 1 \Big)^{\frac{3}{2}} \varepsilon_2 = 0, $

我们也能得到关于函数$ \varphi $的微分不等式

(2.24) $ \begin{equation} \varphi^\prime(t) \leq K_4 + K_5 \varphi(t) + K_6 \varphi(t)^{\frac{9(k+m)}{8(k+1)}} + K_7 \varphi(t)^{\frac{3(k+m)}{2(k+1)}}, \end{equation} $

这里

$ \begin{eqnarray*} && K_4 = |\Omega|(k+1)\frac{p^+ - p^-}{k+p^+}, \\ && K_5 = (k+1-\sigma_2) \Big( 1+\frac{k+p^-}{k+p^+} \Big), \\ && K_6 = \sigma_2 \Big( 1+\frac{k+p^-}{k+p^+} \Big)\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big( \frac{3}{2l_0} \Big)^{\frac{3}{2}} |\Omega|^{\frac{3}{2}(1-\frac{3(k+m)}{4(k+1)} )}, \\ && K_7 = \sigma_2 \Big( 1+\frac{k+p^-}{k+p^+} \Big)\frac{2^{1/2}}{3^{3/4}} \Big( \frac{3}{4} \Big)^{\frac{3}{2}}\Big(\frac{d}{l_0}+1 \Big)^{\frac{3}{2}}\frac{1}{4} \varepsilon_2^{-3} |\Omega|^{3(1-\frac{k+m}{2(k+1)} )}. \end{eqnarray*} $

这样,根据(2.24)式,我们也可以得到问题解的爆破时间的下界估计,即

(2.25) $ \begin{equation} T \geq T_2: = \int_{\varphi(0)}^{\infty} \frac{{\rm d}\eta}{K_4 + K_5 \eta + K_6 \eta^{\frac{9(k+m)}{8(k+1)}} + K_7 \eta^{\frac{3(k+m)}{2(k+1)}} }. \end{equation} $

从而可得

定理2.2  如果$ u $是问题(1.1)的非负解,并且按(2.1)式的$ L^{k+1} $范数意义下在有限时该$ T $发生爆破,那么其下界估计由(2.25)式给出.

下面我们将给出一个例子去说明定理2.1与定理2.2的有效性程度.一方面,我们将分析定理2.1与定理2.2的效率程度,即爆破时间的下界$ T_1 $与$ T_2 $,哪一个更加接近实际的爆破时间.另一方面,我们也讨论(2.1)式中常数$ k $的大小对爆破时间$ T_1 $或$ T_2 $的影响程度.

为简单方便,假设$ u(x, t) $是问题(1.1)的一个非负古典解,其中

$ m = \frac{11}{10}, \quad p(x) = \frac{12}{10}+x_1^2 + x_2^2 + x_3^2, \quad u_0(x) = 1+ \Big( 1 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^2 \Big)^2 $

和$ \Omega = \{ x = (x_1, x_2, x_3) \ | \ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 < 1 \}. $显然, $ p^- = \frac{12}{10}, \ p^+ = \frac{22}{10}, \ l_0 = 1, \ d = 1, \ |\Omega| = 1. $

通过一系列的计算,我们得到下列的数据表.

通过对上述表格数字的分析,我们有如下的结论.

首先,对于固定的参数$ k $,不管是$ k = 8 $或$ 9 $,等等,从上面的数据得到爆破时间的下界$ T_1 $和$ T_2 $满足$ T_1 > T_2 $.因此,我们可以断定定理2.1的有效性要比定理2.2要好,也就是说,我们应该选择定理2.1的方法去估计爆破时间的下界.

第二,我们也知道,不管是$ k = 8 $和$ k = 9 $,或者是$ k = 10 $与$ k = 11 $,相应的爆破时间的下界$ T_1 $会变得更小.这是由于$ \varphi(0) \rightarrow \infty (k\rightarrow \infty) $,所以极限

$ \lim\limits_{k \rightarrow \infty}T_1 = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} \int_{\varphi(0)}^{\infty} \frac{{\rm d} \eta}{K_1 \eta + K_2 \eta^{\frac{9(k+m)}{8(k+1)}} + K_3 \eta^{\frac{3(k+m)}{2(k+1)}}} = 0. $

因此,我们也得到另一个推断:更小的参数$ k $计算爆破时间的下界效果更好.