考虑近-Hamiltonian系统

其中$0 < |\varepsilon|\ll1$, $H(x, y)$是关于$x$和$y$的$m+1$次多项式, $f(x, y)$和$g(x, y)$是关于$x$和$y$的$n$次多项式.假设Hamiltonian系统$(1.1)|_{\varepsilon = 0}$有连续闭轨线族$\{\Gamma_h\}$, $\Sigma$为$h$的最大存在开区间,即$\Gamma_h = \{(x, y)\in\mathbb{R} ^2|H(x, y) = h, \ h\in\Sigma\}$.确定Abelian积分

的孤立零点个数的最小上界$Z(m, n)$称为Hilbert-Arnold问题或弱Hilbert第16问题^[1].

很多数学工作者都致力于研究Abelian积分$I(h)$的零点个数问题.当$I(h)$的生成元满足一个Picard-Fuchs方程时,有很多优秀的工作.例如,如果$m = 2$且未扰动系统至少有一个中心,相应Hamiltonian函数$H(x, y)$的规范型为

Horozov和Iliev^[2]证明$Z(2, n)\leq5n+15$.如果$H(x, y) = \frac{1}{2}y^2+U(x)$,其中$U(x)$使得系统$(1.1)|_0$有一个中心且$\deg U(x) = 4$,赵育林和张芷芬^[3]证明$Z(3, n)\leq7n+5$.对于

周鑫和李翠萍得到相应$I(h)$的代数结构,并给出当$a > 0$, $b = 0$, $c = 1$时$I(h)$的零点个数的上界^[4].对于

吴娟娟等^[5]证明$Z(3, n)\leq2[\frac{n-1}{4}]+12[\frac{n-3}{4}]+23$.

如果$I(h)$的生成元满足两个不同的Picard-Fuchs方程时,相关的研究结果较少.对于

赵丽琴等^[6]证明$Z(5, n)\leq54n-13$.杨纪华和赵丽琴得到Hamitonian函数

的Abelian积分的在不同周期环域上零点个数的上界^[7].

受文献[6-7]的启发,本文研究一类Hamiltonian系统的Abelian积分的零点个数问题,该Abelian积分的生成元满足两个Picard-Fuchs方程.为此,我们对系统(1.1)作如下假设:

(H1)系统(1.1)的Abelian积分$I(h)$可表示为

其中$\alpha_i(h)\ (i = 1, 2, \cdots, k)$和$\beta_j(h)$$(j = 1, 2)$是关于$h$的多项式,且$\deg\alpha_i(h)\leq n_i$$(i = 1, 2, \cdots, k)$, $\deg\beta_i(h)\leq m_j$$(j = 1, 2)$, $n_1\geq n_2\geq\cdots\geq n_k$, $m_1\geq m_2$.

(H2)向量函数$V_1(h) = \big(I_1(h), I_2(h), \cdots, I_k(h)\big)^T$和$V_2(h) = \big(J_1(h), J_2(h)\big)^T$满足Picard-Fuchs方程

其中$B_1$和$C_1$是$k\times k$阶常数矩阵, $B_2$和$C_2$是$2\times2$阶常数矩阵.

(H3)存在$Z(h) = a_2I_2(h)+a_3I_3(h)+\cdots+a_kI_k(h)$使得

其中$a_i\ (i = 2, \cdots, k)$是常数, $a_{ij}(h)$是多项式, $G_1(h) = \det\big(A_1(h)\big)$, $\deg a_{ij}(h)\leq\deg G_1(h)$$(i = 1, 2, \cdots, k;j = 1, 2)$.

本文的主要结果是如下定理.

定理1.1  假设(H1)–(H3)成立,且当$h\in\Sigma$时, $I'_1(h)\neq0$, $J_1(h)\neq0$,则系统(1.1)的Abelian积分$I(h)$至多有$(3k+4)n_1+(6k+23)m_1+13k+30$个零点(计重数).

本文中,我们用$\#\{\phi(h) = 0, h\in(a, b)\}$表示函数$\phi(h)$在区间$(a, b)$上的零点个数(计重数).设$V$是定义在开区间${\Bbb I}$上的实解析函数组成的向量空间.

定义2.1^[8]  如果$V$中任一非零函数至多有$\dim(V)-1$个零点(计重数),称$V$为Chebyshev空间.

设$S$是二阶线性解析微分方程

在开区间${\Bbb I}$上的解空间.

命题2.1^[8]  方程(2.1)的解空间$S$是区间${\Bbb I}$上的Chebyshev空间当且仅当$S$中存在一个在${\Bbb I}$上处处非零的元.

命题2.2^[8]  假设齐次方程(2.1)的解空间是Chebyshev空间, $R(t)$是解析函数并且在区间${\Bbb I}$上有$l$个零点(计重数).则非齐次方程

的解$x(t)$在${\Bbb I}$上至多有$l+2$个零点(计重数).

引理2.1   (1)假设当$h\in\Sigma$时, $I'_1(h)\neq0$,令$\omega_1(h) = \frac{Z'(h)}{I'_1(h)}$,则$\omega_1(h)$满足Riccati方程

(2)假设当$h\in\Sigma$时, $J_1(h)\neq0$,令$\omega_2(h) = \frac{J_2(h)}{J_1(h)}$,则$\omega_2(h)$满足Riccati方程

其中$G_2(h) = \det\big(A_2(h)\big), \ (B_2h+C_2)^* = \left(\begin{array}{cc}b^*_{11}(h) &b^*_{12}(h)\\ b^*_{21}(h) &b^*_{22}(h) \end{array}\right)$是$B_2h+C_2$的伴随矩阵.

证   (2.2)式可由(1.4)式得到. (2.3)式可由(1.3)式得到.证毕.

引理2.2  假设当$h\in\Sigma$时, $J_1(h)\neq0$.令

则$\Psi(h)$在$\Sigma$上至多有$3m_1+2$个零点(计重数).

证  令$\chi_2(h) = \frac{\Psi(h)}{J_1(h)}$,所以$\chi_2(h) = \beta_1(h)+\beta_2(h)\omega_2(h)$.由(2.3)式可得$\chi_2(h)$满足

其中

且$\deg F_0(h)\leq2m_1+1$.由文献[3]中引理4.4可得

因此,当$h\in \Sigma$

证毕.

引理2.3  如果$K = m_1+m_2+3$,则当$h\in\Sigma$时,存在$K$, $K-1$和$K-2$次多项式$P_2(h)$, $P_1(h)$和$P_0(h)$使得$L(h)\Psi(h) = 0$,其中

证  由(1.3)式可得

其中$I$是$2\times2$阶单位矩阵.所以

其中$M_{m_1+2}(h)$表示$h$的至多$m_1+2$多项式,等等.对于$\Psi'(h)$,我们得到

同样的可得

假设

是$h$的多项式,并且系数$p_{2, k}, \ p_{1, m}$和$p_{0, l}$待定使得$L(h)\Psi(h) = 0$,

直接计算可得

其中$S(h)$和$T(h)$是$h$的多项式且$\deg S(h)\leq K+m_1$, $\deg T(h)\leq K+m_2$.令

其中$x_i$和$y_j$可以由$p_{2, k}$, $p_{1, m}$和$p_{0, l}$线性表示, $k$, $m$和$l$满足(2.8)式.令

则系统(2.9)是一个齐次线性方程组,该方程组有$2K+m_1+m_2+2$个方程, $3K+3$个变量.因为$3K-(2K+m_1+m_2+2)\geq1$,所以存在$p_{2, k}$, $p_{1, m}$和$p_{0, l}$使(2.9)式成立,即可得$L(h)\Psi(h) = 0$.证毕.

引理2.4  如果当$h\in\Sigma$时, $G_1(h)\neq0$,则$L(h)I(h) = R(h)$,其中$L(h)$由(2.6)式给出,

$Q_i(h)\ (i = 0, 1, \cdots, k-1)$是$h$的多项式,且$\deg Q_0(h), \deg Q_1(h)\leq K+n_1+k$, $\deg Q_i(h)\leq K+n_i-1, i = 2, 3, \cdots, k-1$.

证  记

由(1.3)和(1.4)式可得

由引理2.3可得

把$\Phi(h)$, $\Phi'(h)$和$\Phi''(h)$代入(2.11)式即可得证.证毕.

引理2.5  如果当$h\in\Sigma$时, $G_1(h)\neq0$, $I'_1(h)\neq0$,则$R(h)$至多有$(3k+4)K+(3k+4)n_1+4k+1$个零点(计重数).

证  由(1.4)和(2.10)式可得

其中$i = K+n_2$, $X_{K+n_1+k+ki}(h)$和$Y_{K+n_1+k+ki}(h)$是关于$h$的二次数不超过$K+n_1+k+ki$的多项式.所以$R^{(i)}(h)$和$X_{K+n_1+k+ki}(h)+Y_{K+n_1+k+ki}(h)\omega_1(h)$在$\Sigma$上有相同的零点.

假设$X_{K+n_1+k+ki}(h)$和$Y_{K+n_1+k+ki}(h)$有公因子$\theta_l(h)$,其中$\theta_l(h)$是$h$的多项式且$\deg \theta_l(h)\leq K+n_1+k+ki$.令

则$\bar{X}(h)$和$\bar{Y}(h)$是$h$的次数不超过$K+n_1+k+ki-l$多项式.所以

且

令$\chi_1(h) = \bar{X}(h)+\bar{Y}(h)\omega_1(h)$,由(2.2)式可得

其中

且$\deg \bar{F}_0(h)\leq2K+2n_1+(2i+3)k-2l$.由文献[3,引理4.4]可得

因此,当$h\in \Sigma$时

证毕.

定理1.1的证明  由引理2.2可得, $\Psi(h)$至多有$3m_1+2$个零点.假设

记$\tilde{h}_i$和$\bar{h}_j$为$h_m^*$,并重排它们使得$h_m^* < h_{m+1}^*$, $m = 1, 2, \cdots, K+3m_1+2$.令

其中$h_0^*$和$h_{K+3m_1+3}^*$表示区间$\Sigma$的左右端点.则$P_2(h)\neq0$, $\Psi(h)\neq0$, $h\in\Delta_s$.由引理2.3可得$L(h)\Psi(h) = 0$.所以,由命题2.1,方程

的解空间是区间$\Delta_s$上的Chebyshev空间.由命题2.2知, $I(h)$在$\Delta_s$上至多有$2+l_s$个零点,其中$l_s$是$R(h)$在$\Delta_s$上的零点个数.综上可得

证毕.

例3.1  在文献[7]中,作者研究了如下近-Hamiltonian系统

其中$f(x, y)$和$g(x, y)$是关于$x$和$y$的$n$次多项式.系统(3.1)的Abelian积分如下

其中$\alpha(h), \ \beta(h), \ \gamma(h), \ \delta(h), \ \xi(h)$和$\eta(h)$是$h$的多项式,且$\deg \alpha(h)\leq[\frac{n-1}{4}]$, $\deg \beta(h),$$\deg \gamma(h)\leq[\frac{n-3}{4}]$, $\deg \delta(h)\leq[\frac{n-1}{4}]-1$, $\deg \xi(h)\leq[\frac{n-2}{4}]$, $\deg \eta(h)\leq[\frac{n}{4}]-1$.作者证明$I(h)$至多有$40n+6[\frac{n-1}{4}]+6[\frac{n-2}{4}]+11$个零点(计重数).

容易验证, (H1)–(H3)满足,且$I'_{01}(h)\neq0$, $I_{11}(h)\neq0$, $h\in(-\frac{1}{4}, 0)$.比较(3.2)式和条件(H1)得

所以,由定理1.1得$I(h)$至多有$16[\frac{n-1}{4}]+47[\frac{n-2}{4}]+82$个零点(计重数).

例3.2  在文献[6]中,作者研究了如下系统

系统(3.3)的Abelian积分$I(h)$可表示为

其中${\alpha}(h), \ {\beta}(h), \ {\gamma}(h), \ {\xi}(h)$和${\eta}(h)$是$h$的多项式,且$\deg {\alpha}(h)\leq[\frac{n-1}{2}]$, $\deg {\beta}(h),$$\deg {\gamma}(h)\leq[\frac{n-3}{2}]$, $\deg {\xi}(h)\leq[\frac{n-2}{2}]$, $\deg {\eta}(h)\leq[\frac{n-4}{2}]$.作者得到$I(h)$至多有$54n-13$个零点(计重数).

容易验证,定理1.1的条件成立,且$k = 3, \ n_1 = [\frac{n-1}{2}], \ m_1 = [\frac{n-2}{2}]$.所以, $I(h)$至多有$13[\frac{n-1}{2}]+41[\frac{n-2}{2}]+69$个零点(计重数).

注3.1  由上面对例3.1和例3.2的讨论可知,应用本文定理1.1得到的$I(h)$的零点个数的上界比原来文献得到的小,这主要是因为我们改善了引理2.3的结果.