近几十年来,算子广义逆的研究一直备受关注.广义逆的理论和方法不仅是许多数学分支的基本工具,而且在数理统计、最优化控制、数值分析、常微分方程等领域有着广泛的应用^[1].为方便描述,下面我们首先介绍一些基本概念和记号.

设$B(H)$是复Hilbert空间$H$上有界线性算子全体组成的集合. ${\Bbb C}^{n\times n}$表示复数域${\Bbb C}$上$n\times n$矩阵全体组成的集合.设$A\in B(H)$, $A^{*}, {\cal R}(A)$, ${\cal N}(A)$分别表示$A$的伴随算子,值域和零空间.设$A\in B(H)$,若$A+A^{*}\geq 0$,则称$A$是实正的.若$A = A^{*}$,则称$A$是自伴的.若对于任意的$x\in H$都有$\langle Ax, x\rangle\geq0$,则称$A$为正算子. $B(H)^{+}$表示$H$上正算子全体组成的集合.若$A = A^{*} = A^{2}$,则称$A$是投影,用$P_{M}$表示值域是闭子空间$M$的投影.

设$A\in B(H)$.如果存在$X\in B(H)$满足下列4个算子方程

则称$X$为$A$的Moore-Penrose逆,记作$A^{\dagger}$.等式(1.1)–(1.4)称为Penrose方程.注意到$AA^{\dagger} = P_{\overline{{{\cal R}(A)}}}, A^{\dagger}A = P_{\overline{{{\cal R}(A^{*})}}}$.对于集合$K\subseteq\{1, 2, 3, 4\}$,如果$X\in B(H)$满足Penrose方程$(j), \forall j\in K$,则称$X$是$A$的$K$ -逆.用$A_{\geq}^{(i, j, \cdots, k)}$表示$A$的一个非负$\{i, j, \cdots, k\}$ -逆,所有的非负$\{i, j, \cdots, k\}$ -逆的集合记作$A_{\geq}{\{i, j, \cdots, k\}}$.注意到$A_{\geq}\{1, 3\} = \{X\in B(H): AX = AA^{\dagger}, X\geq0\}$, $A_{\geq}\{1, 4\} = \{X\in B(H): XA = A^{\dagger}A, X\geq0\}$.

在文献[2]中, Liu和Yang给出了矩阵$A\in{\Bbb C}^{n\times n}$的自伴$\{1, 3\}$ -逆, $\{1, 4\}$ -逆, $\{1, 2, 3\}$ -逆, $\{1, 2, 4\}$ -逆, $\{1, 3, 4\}$ -逆存在的充要条件.在文献[3-4]中,作者得到了矩阵的实正和非负广义逆存在性的等价刻画.对于$A\in {\mathbb C}^{n\times n}$, Liu和Fang给出了$A$的实正$\{1, 2, 3\}$ -逆, $\{1, 2, 4\}$ -逆, $\{1, 3, 4\}$ -逆存在的充要条件^[3]. Nikolov和Cvetković-Ilić给出了$A$的实正$\{1, 3\}$ -逆, $\{1, 4\}$ -逆, $\{1, 3, 4\}$ -逆存在的充要条件,同时,他们也得到了$A_{\geq}^{(1, 3)}, A_{\geq}^{(1, 4)}, A_{\geq}^{(1, 3, 4)}$存在的充要条件^[4].本文将其推广到无限维复Hilbert空间$H$上,主要利用算子分块技巧研究闭值域算子$A\in B(H)$的非负广义逆,给出$A_{\geq}^{(1, 3)}, A_{\geq}^{(1, 4)}, A_{\geq}^{(1, 3, 4)}$存在的充要条件以及它们的一般形式.同时,本文也得到$A$的非负$\{1, 3\}$ -逆存在与非负$\{1, 2, 3\}$ -逆存在是等价的,非负$\{1, 4\}$ -逆存在与非负$\{1, 2, 4\}$ -逆存在是等价的.

这一部分主要讨论闭值域算子的非负广义逆.为了得到主要结论,首先给出下面的几个引理.

引理2.1^[5]  设$A, B\in B(H)$,则下列条件是等价的:

$(1)$${\cal R}(B)\subseteq {\cal R}(A)$;

$(2)$存在常数$\lambda > 0$使得$BB^{*}\leq \lambda AA^{*}$;

$(3)$存在算子$C\in B(H)$使得$AC = B$.

引理2.2^[6]  设$H = H_{1}\oplus H_{2}$是Hilbert空间, $A_{11}\in B(H_{1}), A_{12}\in B(H_{2}, H_{1}), A_{21}\in B(H_{1}, H_{2}), A_{22}\in B(H_{2})$,则算子矩阵$A = \left(\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} &A_{22} \\ \end{array}\right)$为$H$上的正算子当且仅当下列条件同时成立:

$(1)$$A_{ii}\geq0, i = 1, 2$;

$(2)$$A_{21} = A_{12}^{*}$;

$(3)$存在压缩算子$D\in B(H_{2}, H_{1})$使得$A_{12} = A_{11}^{\frac{1}{2}}DA_{22}^{\frac{1}{2}}$,其中$A_{ii}^{\frac{1}{2}}$是$A_{ii}(i = 1, 2)$的正的平方根,压缩算子$D$是指$\parallel D\parallel\leq1$.

引理2.3^[7]  设$A, B, C, D\in B(H)$且${\cal R}(A)$是闭的, $M = \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \\ \end{array}\right)\in B(H\oplus H)$,则$M$是$H\oplus H$上的正算子当且仅当下列条件同时成立:

$(1)$$A = A^{*}, D = D^{*}, C = B^{*}$;

$(2)$$A\geq0$;

$(3)$$AA^{\dagger}B = B$;

$(4)$$D-CA^{\dagger}B\geq0$.

引理2.4^[8]  设$A\in B(H)$且${\cal R}(A)$是闭的,则按空间分解$H = {\cal R}(A^{*})\oplus {\cal N}(A)$,有

其中$D = A_{1}^{*}A_{1}+A_{2}^{*}A_{2}\in B({\cal R}(A^{*}))$是可逆正算子.

文献[4]讨论了有限维Hilbert空间$H$上有界线性算子的非负广义逆,对于$A\in B(H)$, Nikolov和Cvetković-Ilić给出了$A_{\geq}^{(1, 3)}, A_{\geq}^{(1, 4)}, A_{\geq}^{(1, 3, 4)}$存在的充要条件,下面我们将其推广到无限维Hilbert空间$H$上.

定理2.1  设$A\in B(H)$且${\cal R}(A)$是闭的,则下列条件等价:

$(1)$$A_{\geq}^{(1, 3)}$存在;

$(2)$$A_{\geq}^{(1, 2, 3)}$存在;

$(3)$$(A^{\dagger})^{2}A\geq0$且${\cal R}((A^{\dagger})^{2}A) = {\cal R}(A^{*})$;

$(4)$$A^{2}A^{\dagger}\geq0$且${\cal R}(A^{2}A^{\dagger}) = {\cal R}(A)$;

$(5)$$(A^{\dagger})^{2}A\geq0$且存在$r > 0$使得$(A^{\dagger})^{2}A-rA^{\dagger}(I-A^{\dagger}A)(A^{\dagger})^{*}\geq0$;

$(6)$$A^{2}A^{\dagger}\geq0$且存在$r > 0$使得$A^{2}A^{\dagger}-rAA^{\dagger}(I-A^{\dagger}A)AA^{\dagger}\geq0$.

且当以上条件成立时,有

证   $(1)\Rightarrow(3)$设$X\in A_{\geq}\{1, 3\}$.由引理2.4可知,按空间分解$H = {\cal R}(A^{*})\oplus {\cal N}(A)$,我们有

其中$D = A_{1}^{*}A_{1}+A_{2}^{*}A_{2}\in B({\cal R}(A^{*}))$是可逆正算子.令$X = \left(\begin{array}{cc} X_{11} & X_{12} \\ X_{12}^{*} & X_{22} \\ \end{array}\right)\in B({\cal R}(A^{*})\oplus {\cal N}(A))$,则由$AX = AA^{\dagger}$得

从而由(2.2)和(2.4)式得到$X_{11} = D^{-1}A_{1}^{*}$,由(2.3)和(2.5)式得到$X_{12} = D^{-1}A_{2}^{*}$.于是

由$X\geq0$和引理2.2知$D^{-1}A_{1}^{*}\geq0$且${\cal R}(D^{-1}A_{2}^{*})\subseteq {\cal R}((D^{-1}A_{1}^{*})^{\frac{1}{2}})$.又由引理2.1知${\cal R}(D^{-1}A_{1}^{*})\subseteq {\cal R}((D^{-1}A_{1}^{*})^{\frac{1}{2}})$.于是

从而${\cal R}((D^{-1}A_{1}^{*})^{\frac{1}{2}}) = {\cal R}(A^{*})$.因为${\cal R}(A)$是闭的当且仅当${\cal R}(A^{*})$是闭的,所以${\cal R}((D^{-1}A_{1}^{*})^{\frac{1}{2}})$是闭的.注意到对于任意的$B\in B(H)^{+}$, ${\cal R}(B^{\frac{1}{2}})$是闭的当且仅当${\cal R}(B) = {\cal R}(B^{\frac{1}{2}})$.因此

容易计算

从而${\cal R}((A^{\dagger})^{2}A) = {\cal R}(D^{-1}A_{1}^{*}) = {\cal R}(A^{*})$.

$(3)\Rightarrow(1)$设$(A^{\dagger})^{2}A\geq0$,且${\cal R}((A^{\dagger})^{2}A) = {\cal R}(A^{*})$,则

于是

因此$(A^{\dagger})^{*}((A^{\dagger})^{2}A)^{\dagger}A^{\dagger}$是算子方程$AX = AA^{\dagger}$的正解,从而$(A^{\dagger})^{*}((A^{\dagger})^{2}A)^{\dagger} A^{\dagger}\in A_{\geq}\{1, 3\}$.

$(2)\Rightarrow(1)$显然.

$(1)\Rightarrow(2)$设$A_{\geq}^{(1, 3)}$存在,则由$(3)\Rightarrow (1)$的证明过程可知$(A^{\dagger})^{*}((A^{\dagger})^{2}A)^{\dagger}A^{\dagger}\in A_{\geq}\{1, 3\}$,而且

从而$(A^{\dagger})^{*}((A^{\dagger})^{2}A)^{\dagger}A^{\dagger}\in A_{\geq}\{2\}$.因此$(A^{\dagger})^{*}((A^{\dagger})^{2}A)^{\dagger}A^{\dagger}\in A_{\geq}\{1, 2, 3\}$.

$(1)\Rightarrow(5)$设$X\in A_{\geq}\{1, 3\}$,则按空间分解$H = {\cal R}(A^{*})\oplus {\cal N}(A)$, $A, A^{\dagger}$如引理2.4所示,从而由$(1)\Rightarrow(3)$的证明过程可知$X = \left(\begin{array}{cc} D^{-1}A_{1}^{*} &D^{-1}A_{2}^{*} \\ A_{2}D^{-1} & X_{22} \\ \end{array}\right)\geq0$,其中$X_{22}\in B({\cal N}(A))$是正算子.取$M = \parallel X_{22}\parallel$,则

从而由引理2.3可知$D^{-1}A_{1}^{*}-rD^{-1}A_{2}^{*}A_{2}D^{-1}\geq0$,其中$r = \frac{1}{M} > 0$.于是

$(5)\Rightarrow(1)$设$(A^{\dagger})^{2}A\geq0$且存在$r > 0$使得$(A^{\dagger})^{2}A-rA^{\dagger}(I-A^{\dagger}A)(A^{\dagger})^{*}\geq0$.按空间分解$H = {\cal R}(A^{*})\oplus {\cal N}(A)$, $A, A^{\dagger}$如引理2.4所示.令

由$(A^{\dagger})^{2}A\geq0$知$D^{-1}A_{1}^{*}\geq0$,由$(A^{\dagger})^{2}A-rA^{\dagger}(I-A^{\dagger}A)(A^{\dagger})^{*}\geq0$知$D^{-1}A_{1}^{*}-rD^{-1}A_{2}^{*}A_{2}D^{-1}\geq0$,从而由引理2.3可知$X_{0}\geq0$.另外容易验证$AX_{0} = AA^{\dagger}$.因此$X_{0}\in A_{\geq}\{1, 3\}$.

$(3)\Rightarrow(4)$设$(A^{\dagger})^{2}A\geq0$,且${\cal R}((A^{\dagger})^{2}A) = {\cal R}(A^{*})$,则$A^{2}A^{\dagger} = A(A^{\dagger})^{2}AA^{*}\geq0$.注意到

从而${\cal R}(A) = {\cal R}(AA^{\dagger})\subseteq{\cal R}(A^{2}A^{\dagger})$.由引理2.1知${\cal R}(A^{2}A^{\dagger})\subseteq{\cal R}(A)$.于是${\cal R}(A^{2}A^{\dagger}) = {\cal R}(A)$.

$(4)\Rightarrow(3)$设$A^{2}A^{\dagger}\geq0$且${\cal R}(A^{2}A^{\dagger}) = {\cal R}(A)$,则$(A^{\dagger})^{2}A = A^{\dagger}A^{2}A^{\dagger}(A^{\dagger})^{*}\geq0$.注意到

从而${\cal R}(A^{*}) = {\cal R}(A^{\dagger}A)\subseteq {\cal R}((A^{\dagger})^{2}A)$.由引理2.1知${\cal R}((A^{\dagger})^{2}A)\subseteq{\cal R}(A^{\dagger}) = {\cal R}(A^{*})$.于是${\cal R}((A^{\dagger})^{2}A) = {\cal R}(A^{*})$.

$(5)\Leftrightarrow(6)$我们已经证明$A^{2}A^{\dagger}\geq0$当且仅当$(A^{\dagger})^{2}A\geq0$.因此,对于任意的$r > 0$,有

和

从而$(A^{\dagger})^{2}A-rA^{\dagger}(I-A^{\dagger}A)(A^{\dagger})^{*}\geq0$和$A^{2}A^{\dagger}-rAA^{\dagger}(I-A^{\dagger}A)AA^{\dagger}\geq0$是等价的.

下面证明(2.1)式成立.设$X\in A_{\geq}\{1, 3\}$.由$(1)\Rightarrow(3)$的证明过程知

其中$Y\in B(H)^{+}$.另外,设$Y = \left(\begin{array}{cc} X_{11} &X_{12} \\ X_{12}^{*} & X_{22} \\ \end{array}\right)$.由$X\geq0$知

因此

反之,用类似的方法我们可以证明

证毕.

因为$X$是$A$的$\{1, 3\}$ -逆当且仅当$X^{*}$是$A^{*}$的$\{1, 4\}$ -逆,所以由定理2.1容易得到下面的定理.

定理2.2  设$A\in B(H)$且${\cal R}(A)$是闭的,则下列条件等价:

$(1)$$A_{\geq}^{(1, 4)}$存在;

$(2)$$A_{\geq}^{(1, 2, 4)}$存在;

$(3)$$A(A^{\dagger})^{2}\geq0$且${\cal R}(A(A^{\dagger})^{2}) = {\cal R}(A)$;

$(4)$$A^{\dagger}A^{2}\geq0$且${\cal R}(A^{\dagger}A^{2}) = {\cal R}(A^{*})$;

$(5)$$A(A^{\dagger})^{2}\geq0$且存在$r > 0$使得$A(A^{\dagger})^{2}-r(A^{\dagger})^{*}(I-AA^{\dagger})A^{\dagger}\geq0$;

$(6)$$A^{\dagger}A^{2}\geq0$且存在$r > 0$使得$A^{\dagger}A^{2}-rA^{\dagger}A(I-AA^{\dagger})A^{\dagger}A\geq0$.

且当以上条件成立时,有

接下来,我们给出$A_{\geq}^{(1, 3, 4)}$存在的充要条件.

定理2.3  设$A\in B(H)$且${\cal R}(A)$是闭的,则下列条件等价:

$(1)$$A_{\geq}^{(1, 3, 4)}$存在;

$(2)$$A^{\dagger} = (A^{\dagger})^{2}A\geq0$.

且当以上条件成立时,有

证   $(1)\Rightarrow(2)$设$X\in A_{\geq}\{1, 3, 4\}$.设$A, A^{\dagger}$如引理2.4所示,则由$AX = AA^{\dagger}$知

其中$D^{-1}A_{1}^{*}\in B({\cal R}(A^{*}))$是可逆正算子, $X_{22}\in B({\cal N}(A))$是正算子且满足

由$XA = A^{\dagger}A$知

(2.7)式中取$X_{22} = A_{2}D^{-1}(A_{1}D^{-1})^{-1}D^{-1}A_{2}^{*}$,有

由$I = A_{1}^{*}A_{1}D^{-1}+A_{2}^{*}A_{2}D^{-1} = A_{1}^{*}D^{-1}A_{1}^{*}+A_{2}^{*}A_{2}D^{-1}$知$A_{1}D^{-1}A_{1}+D^{-1}A_{2}^{*}A_{2} = I,$从而

由(2.8)和(2.9)式可得$A_{2}D^{-1}(A_{1}D^{-1})^{-1} = 0$,从而$A_{2} = 0$.于是

$(2)\Rightarrow(1)$设$A, A^{\dagger}$如引理2.4所示,则由$A^{\dagger} = (A^{\dagger})^{2}A$知$D^{-1}A_{2}^{*} = 0$,从而$A_{2} = 0$.于是$A = \left(\begin{array}{cc} A_{1} & 0 \\ 0 & 0\\ \end{array}\right),$$A^{\dagger} = \left(\begin{array}{cc} D^{-1}A_{1}^{*} & 0 \\ 0 & 0\\ \end{array}\right).$令$X = \left(\begin{array}{cc} D^{-1}A_{1}^{*} & 0 \\ 0 & X_{22}\\ \end{array}\right),$其中$X_{22}\in B({\cal N}(A))$是任意正算子.容易计算$AX = AA^{\dagger}, XA = A^{\dagger}A$且$X\geq0$,从而$X\in A_{\geq}\{1, 3, 4\}$.

由条件(2)和(2.1)式容易验证(2.6)式成立.证毕.