考虑如下的指数L$\acute{\rm e}$vy模型

$S_t=S_0{\rm e}^{X_t}, t\geq 0, S_0>0, $

其中$X_t$是初值$X_0 = 0$的一维L$\acute{\rm e}$vy过程.上述模型除了一些特殊情形外,都不完备.实际上,仅当$X_t$是布朗运动或泊松过程时,模型完备.为给期权定价,需要从全体等价鞅测度中,选择一个等价鞅测度作为定价测度.通过修正L$\acute{\rm e}$vy过程的均值,从而得到等价鞅测度是一个常用的方法,相应的等价鞅测度称为均值修正鞅测度.

设$X=\{X_t, t\geq 0\}$是$P$-L$\acute{\rm e}$vy过程,其特征三元组记为$(\gamma, \sigma^2, F), X_1$的特征函数记为$\phi$.则随机过程$Y=\{Y_t=X_t +mt, t\geq 0\}$是$P$-L$\acute{\rm e}$vy过程,且其特征三元组为

$(\gamma_m, \sigma^2_m, F_m)=(\gamma+m, \sigma^2, F), $

$ Y_1$的特征函数为$\phi_m(u)={\rm e}^{{\rm i}um}\phi(u)$,其中参数$m\in\mathbb{R} $.我们希望寻找合适的参数$m$,使得股票价格的贴现过程为鞅(参见文献[1]).在Black-Scholes模型中,我们把正态分布的均值$\mu-\frac{\sigma^2}{2}$ (原来的参数$m_{old}$)修正为$r-\frac{\sigma^2}{2}$ (新的参数$m_{new}$).我们采用同样的方法,把新参数$m_{new}$修正为

$m_{new} = m_{old}+r-\ln\phi(-{\rm i}), $

其中无风险利率$r>0$是常数, ${\rm i}$是虚数单位.在Black-Scholes模型中, $\ln\phi(-{\rm i})=\mu$.容易验证,按这种方式得到的参数$m_{new}$使得股票价格的贴现过程为鞅.在均值修正鞅测度下, $X$是特征三元组为$(\gamma+r-\ln\phi(-{\rm i}), \sigma^2, F)$的L$\acute{\rm e}$vy过程.显然,这种变换既不会改变分布的无穷可分性,也不会改变分布的自分解性.

均值修正鞅测度的思想来源于Robert等^[2]的一般Girsanov原则.该原则允许在一般框架下构造鞅测度,使得随机过程鞅部分在鞅测度下的分布与在市场概率测度下的分布相同.这可能正是构造的鞅测度被称为均值修正鞅测度的原因.与其他的等价鞅测度相比,均值修正鞅测度的优势在于容易构造.均值修正鞅测度的构造是基于Girsanov型变换,使得在测度变换后,收益率的分布只改变均值,方差不变.

对L$\acute{\rm e}$vy过程$X$,均值修正鞅测度是唯一的等价鞅测度,使得股票的贴现价格过程为鞅,且只改变$X$的特征三元组的漂移部分.目前,有很多关于均值修正鞅测度在指数L$\acute{\rm e}$vy模型中应用的文献.然而,关于均值修正鞅测度的理论研究很少. Badescu等^[3]在GARCH模型下,利用随机贴现因子方法构造了离散时间版本的均值修正鞅测度.对于L$\acute{\rm e}$vy模型, Miyahara^[4]给出了均值修正鞅测度存在的条件是$\sigma>0, \ \int_{|x|>1}|{\rm e}^x-1|\nu({\rm d}x) < +\infty$.在期权定价研究中,大部分定价模型都是半鞅.受上述文献的启发,本文在半鞅模型下构造了均值修正鞅测度.在这更一般的情形下,我们用半鞅的可料特征代替L$\acute{\rm e}$vy-Khintchine特征三元组.另外,我们得到了均值修正鞅测度存在的条件,证明了L$\acute{\rm e}$vy模型中的均值修正鞅测度是本文结论的一种特殊情形.

本文将采用Jacod和Shiryaev^[5]中的符号.用$L(X)$表示关于半鞅$X$可积的可料过程全体构成的集合.如果$K\in L(H)$,则$K\cdot H$表示随机积分$\int K{\rm d}H$.如果$\mu$是随机测度,则$K* \mu$表示积分过程$\int\int K(\omega; t, x)\mu(\omega; {\rm d}t, {\rm d}x)$.增过程等同于它们对应的Lebesgue-Stieltjes测度.

本节将介绍指数半鞅模型以及一些相关的结论,主要参考文献为Papapantoleon^[6], Kallsen和Shiryaev^[7].设$(\Omega, {\cal F}, F, P)$是一个随机基,即带滤流$F=({\cal F}_t)_{t\in [0, T]}$的概率空间$(\Omega, {\cal F}, P)$,其中$T>0$是一个有限时间.另外,假设随机基$(\Omega, {\cal F}, F, P)$满足通常条件.本文考虑的股票过程$S=\{S_t, t\in [0, T]\}$是随机基$(\Omega, {\cal F}, F, P)$上的指数半鞅过程,即$S$是如下形式的随机过程

(2.1) $ \begin{eqnarray} \label{model} S_t=S_0{\rm e}^{X_t}, 0\leq t\leq T, \end{eqnarray} $

其中初始股票价格$S_0 > 0$是常数, $X=\{X_t, t\in [0, T]\}$是一维半鞅且初值$X_0=0$.另外,市场中还有一种无风险资产$R=\{R_t, t\in [0, T]\}$,运动过程如下

(2.2) $ \begin{equation}\label{lilv} R_t=\exp\bigg(\int_0^tr_s{\rm d}s\bigg), \end{equation}$

其中$r=\{r_t, t\in [0, T]\}$一个可积过程.

设半鞅$X$有如下经典分解

(2.3) $ \begin{equation} \label{representation}X=B+X^c+h\ast(\mu-\nu)+(x-h(x))\ast\mu, \end{equation}$

或更加具体的表示为

$ X_t=B_t+X_t^c+\int_0^t\int_{{\mathbb R}\backslash \{0\}}h(x){\rm d}(\mu-\nu)+\int_0^t\int_{{\mathbb R}\backslash \{0\}}(x-h(x)){\rm d}\mu, $

其中$h(x)=x{\bf 1}_{|x|\leq 1}$是截断函数, $B=\{B_t, t\in [0, T]\}$是可料的有界变差过程, $X^c=\{X^c_t, t\in [0, T]\}$是$X$的连续局部鞅部分, $\nu=\nu(\omega; {\rm d}t, {\rm d}x)$是随机测度$\mu=\mu(\omega; {\rm d}t, {\rm d}x)$的可料补偿测度.连续局部鞅$X^c$的可料二次变差过程$\langle X^c\rangle$用$C=\{C_t, t\in [0, T]\}$表示.过程$B, C$和随机测度$\nu$称为半鞅$X$关于概率测度$P$可料特征,记为

$T(X|P) = (B, C, \nu).$

半鞅的可料特征在不可区分意义下唯一.

设$ X $是可料特征为$ T(X|P) = (B, C, \nu) $的半鞅.如果对某个$ u\in {\Bbb R}, X $的Laplace累积过程$ K = \{K_t, t\in[0, T]\} $存在,则有

(2.4) $ \begin{equation} K_t(u) = uB+\frac{u^2}{2}C+({\rm e}^{ux}-1-uh(x))*\nu. \end{equation} $

模型(2.1)可以改写为某个半鞅$ \overline{X} $的随机指数形式$ S = S_0{\cal E}(\overline{X}) $.实际上,对于同一个截断函数$ h, \overline{X} $的可料特征为$ T(\overline{X}|P) = (\overline{B}, \overline{C}, \overline{\nu}) $,其中

(2.5) $ \begin{eqnarray} \overline{B}& = & B+\frac{C}{2}+(h({\rm e}^x-1)-h(x))*\nu, \\ \overline{C}& = & C, \\ \overline{\nu}& = & {\bf 1}_A({\rm e}^x-1)*\nu, \forall A\in {\cal B}({\Bbb R} -\{0\}). \end{eqnarray} $

随机过程$ \overline{X} $称为过程$ X $的指数变换.记$ {\cal M}_{loc}(P) $为全体局部鞅构成的集合.由半鞅的经典分解(2.3)式,如果$ T(X|P) = (B, C, \nu) $,则有

(2.6) $ \begin{equation} X\in{\cal M}_{loc}(P)\Leftrightarrow B+(x-h(x))*\nu = 0. \end{equation} $

类似的,对于过程$ \overline{X} $有

(2.7) $ \begin{equation} \overline{X}\in{\cal M}_{loc}(P)\Leftrightarrow \overline{B}+(x-h(x))*\overline{\nu} = 0. \end{equation} $

又若$ X $是指数特殊的,即价格过程$ S = S_0{\rm e}^X $是特殊半鞅, (2.7)式可以改写为

$ \overline{X}\in{\cal M}_{loc}(P)\Leftrightarrow B+\frac C2+({\rm e}^x-1-h(x))*\nu = 0. $

由于$ \overline{X}\in{\cal M}_{loc}(P) $当且仅当$ {\cal E}(\overline{X})\in{\cal M}_{loc}(P) $,我们有

$ S = S_0{\rm e}^X\in{\cal M}_{loc}(P)\Leftrightarrow B+\frac C2+({\rm e}^x-1-h(x))*\nu = 0. $

换句话说

(2.8) $ \begin{equation} S\in{\cal M}_{loc}(P)\Leftrightarrow K_t(1) = 0. \end{equation} $

在指数L$ \acute{\rm e} $vy过程模型中,均值修正鞅测度是通过修正L$ \acute{\rm e} $vy过程的均值得到的.具体做法是在L$ \acute{\rm e} $vy过程中适当添加一个常数漂移项,使得股票价格的贴现过程为鞅(参见文献[1]).注意这种变换只改变L$ \acute{\rm e} $vy过程的漂移,既不会改变分布的无穷可分性,也不会改变分布的自分解性.

本文将表明,如果将常数漂移项替换为某有界变差过程,这种方法可以推广到半鞅模型.设$ X $是可料特征为$ T(X|P) = (B, C, \nu) $的半鞅.本文的目的是得到一个等价鞅测度$ Q^* $,使得半鞅$ X $在$ Q^* $下的可料特征为$ T(X|Q^*) = (B+\eta, C, \nu) $,其中$ \eta $是某个有界变差过程.

设$ \alpha $是可料过程,且满足$ \alpha^2\cdot C < \infty $,则随机过程$ Z^{\alpha} = \{Z^{\alpha}_t, t\in[0, T]\} $,

(3.1) $ \begin{equation} Z^{\alpha}_t = \exp\bigg(\alpha\cdot X_t^c-\frac 12 \alpha^2\cdot C\bigg), \end{equation} $

是非负局部鞅.显然,如果$ Z^{\alpha} $是鞅,则由$ {\rm d}Q^{\alpha}_T = Z^{\alpha}_T{\rm d}P $定义的测度$ Q^{\alpha}_T $是概率测度,且$ Q^{\alpha}_T \sim P $.令

(3.2) $ \begin{equation} \triangle([0, T]) = \{\alpha: \alpha\ \hbox{是可料过程,且使得}\ Z^{\alpha}\ \hbox{为鞅}\}. \end{equation} $

定理3.1   设$ X $是可料特征为$ T(X|P) = (B, C, \nu) $的半鞅, $ \alpha\in \triangle([0, T]) $,则在概率测度$ Q^\alpha $下, $ X $仍然是半鞅,且其可料特征为$ T(X|Q^\alpha) = (B+\alpha\cdot C, C, \nu). $

证  由于半鞅在绝对连续的测度变换下封闭, $ X $显然是$ Q^\alpha $ -半鞅.设半鞅$ X $在概率$ Q^\alpha $下的可料特征$ T(X|Q^\alpha) = (B', C', \nu') $,由半鞅的Girsanov定理(参见文献[5]),有

$ \left\{\begin{array}{ll} B' = & B+\beta\cdot C+h(x)(Y-1)\ast\nu, \\ C' = &C, \\ \nu' = & Y\cdot \nu, \end{array}\right. $

其中$ \beta, Y $由如下式子确定

$ \left\{\begin{array}{ll} \langle (Z^{\alpha})^c, X^c \rangle = (Z^{\alpha}_-\beta)\cdot C, \\ Y = M^P_\mu\left(\frac{Z^{\alpha}}{Z^{\alpha}_-}|{\tilde{\cal{P}}}\right), \end{array}\right. $

这里,对任何$ \Omega\times[0, T]\times{\Bbb R} $上的的非负可测函数$ W = W(\omega; t, x), M^P_\mu(W) = E(W\ast \mu)_T $.显然$ M^P_\mu = \mu(\omega; {\rm d}t, {\rm d}x)P(d\omega) $是$ (\Omega\times[0, T]\times{\Bbb R}, {\cal F}\otimes{\cal B}([0, T])\otimes{\cal B}({\Bbb R})) $上的非负测度.

对于(3.1)式中的$ Z^{\alpha} $,可以取$ \beta = \alpha, Y = 1. $实际上,由于$ Z^{\alpha} $是连续鞅,一方面,我们有

$ Y = M^P_\mu\left(\frac{Z^{\alpha}}{Z^{\alpha}_-}|{\tilde{\cal{P}}}\right) = M^P_\mu\left(1|{\tilde{\cal{P}}}\right) = 1. $

另一方面,由于

$ \begin{eqnarray*} \langle (Z^{\alpha})^c, X^c \rangle & = &\langle \int Z^{\alpha}\alpha {\rm d}x^c, X^c \rangle = \int Z^{\alpha}\alpha {\rm d}C, \\ (Z^{\alpha}_-\beta)\cdot C& = &\int Z^{\alpha}_-\beta {\rm d}C = \int Z^{\alpha}\beta {\rm d}C, \end{eqnarray*} $

因此我们可以取$ \beta = \alpha $.综上可得, $ X $是$ Q^{\alpha} $ -半鞅,且其可料特征为$ T(X|Q^\alpha) = (B+\alpha\cdot C, C, \nu). $

注3.1  定理中的$ \beta $和$ Y $不唯一.实际上, $ Y $只是在$ \nu $下几乎处处唯一, $ \beta $只是在$ C $下几乎处处唯一.本文中,给定过程$ X $,对任何与$ X $相关的测度$ Q, Q\ll P $,用Girsanov参数表示$ Q $时,我们把不同版本的Girsanov参数$ (\beta, Y) $看成一样的,它们刻画了同一个测度$ Q $.

我们希望寻找$ \alpha = \alpha^* $,使得$ Q^{\alpha^*} $是一个等价鞅测度.首先证明下面两个定理.

定理3.2   设$ \xi = \{\xi_t, 0\leq t\leq T\} $是具有有界变差的连续局部鞅,且$ \xi_0 = 0 $,则$ \xi = 0 $.

证  设$ V $是$ \xi $的变差过程,则$ V $是连续的有界过程.假定$ \{0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = T\} $是区间$ [0, T] $的一个划分.由于$ \xi_0 = 0 $,明显有

$ \xi_T^2 = \sum\limits_{i = 1}^n(\xi_{t_i}^2-\xi_{t_{i-1}}^2). $

由鞅的增量的正交性,我们有

$ \begin{eqnarray*} E(\xi_T^2) & = &E\bigg[\sum\limits_{i = 1}^n(\xi_{t_i}-\xi_{t_{i-1}})^2\bigg] \leq E(V_T\sup\limits_i|\xi_{t_i}-\xi_{t_{i-1}}|). \end{eqnarray*} $

由于划分的模趋于0,利用控制收敛定理, $ E(\xi_T^2) $收敛于0,故有$ \xi = 0 $.

定理3.3  设半鞅$ X $的可料特征为$ T(X|P) = (B, C, \nu) $,则对任何初值$ \xi_0 = 0 $的连续有界变差过程$ \xi $,随机过程$ Y = \{Y_t, 0\leq t\leq T\} $是$ P $ -半鞅,且其可料特征为$ T(Y|P) = (B+\xi, C, \nu) $,其中$ Y_t = X_t+\xi_t $.

证  由于半鞅的线性组合还是半鞅, $ Y $显然是$ P $ -半鞅.只需要计算$ Y $的可料特征$ T(Y|P) = (B_Y, C_Y, \nu_Y) $.注意到$ \xi $是连续的有界变差过程,且$ \xi_0 = 0 $.由定理3.2,如果$ \xi $是局部鞅,则$ \xi = 0 $,此时结论成立.如果$ \xi $不是局部鞅,则有$ Y^c = X^c $,从而可得$ C_Y = C $.另一方面,由$ \xi $的连续性, $ \Delta Y = \Delta X $,因此有$ \nu_Y = \nu $和$ B_Y = B+\xi. $综上即可得到$ T(Y|P) = (B+\xi, C, \nu) $.

定理3.4  设半鞅$ X $是指数特殊的,且存在一个正常数$ H $使得

(3.3) $ \begin{equation} C_T+\frac{x^2}{1+|x|}*\nu_T\leq H, \end{equation} $

则$ Q^{\alpha^*} $是等价鞅测度当且仅当$ \alpha^* $满足如下等式

(3.4) $ \begin{equation} \alpha^*\cdot C = \int_0^tr_s{\rm d}s-K_t(1). \end{equation} $

证  如果$ X $在概率$ P $下是指数特殊的,则由文献[7,引理2.13], $ {\bf 1}_{x > 1}{\rm e}^x*\nu $是有界变差过程.然而,当概率测度由$ P $变换成$ Q^{\alpha} $时,补偿测度$ \nu $保持不变,因此$ X $在概率测度$ Q^{\alpha} $下仍然是指数特殊的.利用定理3.1, $ T(X|Q^\alpha) = (B+\alpha\cdot C, C, \nu). $因为$ \int_0^tr_s{\rm d}s $是初值为0,连续的有界变差过程,根据定理3.3, $ X_t-\int_0^tr_s{\rm d}s $也是$ Q^\alpha $ -半鞅,且其可料特征为

$ T\bigg(X_t-\int_0^tr_s{\rm d}s|Q^\alpha\bigg) = \bigg(B+\alpha\cdot C-\int_0^tr_s{\rm d}s, C, \nu\bigg). $

注意到贴现过程$ \frac{S_t}{R_t} $为

$ \frac{S_t}{R_t} = S_0{\rm e}^{X_t-\int_0^tr_s{\rm d}s}. $

根据(2.8)式,随机过程$ \frac{S_t}{R_t} $是$ Q^\alpha $ -局部鞅当且仅当

$ \alpha\cdot C-\int_0^tr_s{\rm d}s+K_t(1) = 0. $

即

$ \alpha\cdot C = \int_0^tr_s{\rm d}s-K_t(1). $

条件(3.4)式只能得到$ \frac{S_t}{R_t} $是$ Q^\alpha $ -局部鞅,并不能保证$ \frac{S_t}{R_t} $是$ Q^\alpha $ -鞅.一个保证$ \frac{S_t}{R_t} $是一致可积鞅的充分条件是存在一个常数$ H $,使得条件(3.3)式成立(参见文献[8]).

注3.4  方程(3.4)的解在$ C $下几乎处处唯一.实际上,设$ \alpha_1 $和$ \alpha_2 $都是方程(3.4)的解,我们有

$ (\alpha_1-\alpha_2)\cdot C\equiv 0, \ \forall 0\leq t\leq T. $

再由Lebesgue-Stieltjes积分的性质,可得$ \alpha_1 = \alpha_2 $在$ C $下几乎处处唯一.

我们称概率测度$ Q^{\alpha^*} $为均值修正鞅测度.在$ Q^{\alpha^*} $下, $ X $是半鞅且其可料特征为

$ T(X|Q^{\alpha^*}) = \bigg(B+\int_0^tr_s{\rm d}s-K_t(1), C, \nu\bigg). $

显然,这种测度变换既不改变半鞅的局部鞅部分,也不改变补偿测度,仅仅改变了半鞅的有界变差部分.在L$ \acute{\rm e} $vy模型中,为了得到均值修正鞅测度,我们在L$ \acute{\rm e} $vy过程添加了一个常数漂移项,使得股票价格的贴现过程为鞅.这里,用了类似的方法,只是用随机过程$ \int_0^tr_s{\rm d}s-K_t(1) $代替漂移项$ (r-\ln\phi(-{\rm i}))t $.而且,我们看到, $ Q^{\alpha^*} $正是L$ \acute{\rm e} $vy模型中的均值修正鞅测度(参见例2).

本节我们将假定$ C = 0 $,即$ X $是纯跳过程.如果

$ \int_0^tr_s{\rm d}s-K_t(1)\neq 0, $

则方程(3.4)无解,从而$ Q^{\alpha^*} $不存在.实际上,由半鞅的Girsanov定理,容易看到,在保持补偿测度$ \nu $不变的条件下,我们不能改变有界变差过程$ B $,从而也就不能得到等价鞅测度.

回顾L$ \acute{\rm e} $vy模型中的均值修正方法.如果$ X $是L$ \acute{\rm e} $vy过程,且其特征三元组为$ (\gamma, 0, F) $.在保持L$ \acute{\rm e} $vy测度$ F $不变的条件下,我们不能通过改变漂移$ \gamma $得到等价鞅测度.因此,如果L$ \acute{\rm e} $vy过程不存在连续的布朗运动部分,此时不存在均值修正鞅测度.然而,大多数研究者和从业人员都忽视了这个问题,即使$ \sigma = 0 $,他们仍然采用所谓的均值修正鞅测度作为定价测度.他们具体程序如下:设$ X $在市场概率$ P $下是特征三元组为$ (\gamma, 0, F) $的L$ \acute{\rm e} $vy过程,找到一个概率测度$ Q^{\alpha^*} $,使得$ X $是$ Q^{\alpha^*} $-L$ \acute{\rm e} $vy过程,且特征三元组为$ (\gamma+r-\ln\phi(-{\rm i}), 0, F) $,然后把$ Q^{\alpha^*} $作为定价测度.实际上,此时$ Q^{\alpha^*} $只是一个鞅测度,不是等价鞅测度.由于概率测度$ Q^{\alpha^*} $与市场概率测度$ P $不等价,因此期权在概率测度$ Q^{\alpha^*} $下的价格未必无套利.我们将在指数半鞅模型中讨论上述方法,唯一的差别在于用随机过程$ \int_0^tr_s{\rm d}s-K_t(1) $代替漂移$ (r-\ln\phi(-{\rm i}))t $.

设$ g(S_T) $是$ T $时刻时的欧式期权收益,其中

$ g: (0, \infty)\rightarrow {\mathbb R}\ \hbox{是凸函数}. $

定义

$ g(0) = \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}g(x), \ \frac{g(\infty)}{\infty} = \lim\limits_{x\rightarrow \infty}g(x). $

由于$ g $的凸性,这两个极限都存在.记$ \cal M $为全体等价鞅测度构成的集合,即

$ {\cal M} = \{Q:Q \ \hbox{是概率测度, }\ Q\sim P, \frac{S_t}{R_t}\ \hbox{是}\ Q\ \hbox{鞅}\}. $

再假定市场无套利,这等价于$ {\cal M} $非空.对$ \forall Q \in {\cal M} $,则期权在等价鞅测度$ Q $下的价格$ \gamma(Q) = E^Q[\frac{g(S_T)}{R_T}]. $另外,记

$ J = \{\gamma(Q): Q \in {\cal M}\}, \ J_- = \inf(J), \ J_+ = \sup(J). $

由于$ \cal M $是凸集,且数学期望是线性泛函,可知$ J $是实数轴上的凸集,即$ J $是一个区间.因此,期权的全体无套利价格构成区间$ [J_-, J_+] $.如果利率$ r_t $是确定函数, Alexander^[9]得到了如下不等式

$ \frac{g(S_0R_T)}{R_T}\leq J_-\leq J_+\leq \frac{g(0)}{R_T}+S_0\frac{g(\infty)}{\infty}. $

Alexander^[9]称$ \frac{g(S_0R_T)}{R_T}, \frac{g(0)}{R_T}+S_0\frac{g(\infty)}{\infty} $为无套利价格区间的平凡边界.在L$ \acute{\rm e} $vy模型中,如果无风险利率$ r > 0 $是常数, Jakubenas^[10]得到了$ J_- $和$ J_+ $的具体公式.

定理4.1  设$ T(X|P) = (B, 0, \nu) $,如果$ r_t $是确定函数,且无套利价格区间能达到平凡边界,则期权价格$ E^{Q^{\alpha^*}}[\frac{g(S_T)}{R_T}] $无套利.

证  由于$ Q^{\alpha^*} $是鞅测度,且

$ T(X|Q^{\alpha^*}) = \bigg(B+\int_0^tr_s{\rm d}s-K_t(1), 0, \nu\bigg). $

一方面,利用Jensen不等式,有

$ E^{Q^{\alpha^*}} \bigg[\frac{g(S_T)}{R_T}\bigg]\geq \frac{g(E^{Q^{\alpha^*}}(S_T))}{R_T} = \frac{g(S_0R_T)}{R_T}. $

另一方面,因为

$ g(x)\leq g(0)+x\frac{g(\infty)}{\infty}, \forall x\in (0, +\infty), $

由此可得

$ E^{Q^{\alpha^*}}\bigg[\frac{g(S_T)}{R_T}\bigg]\leq \frac{g(0)}{R_T}+\frac{g(\infty)}{\infty}E^{Q^{\alpha^*}}(\frac{S_T}{R_T}) = \frac{g(0)}{R_T}+S_0\frac{g(\infty)}{\infty}. $

因此, $ E^{Q^{\alpha^*}}[\frac{g(S_T)}{R_T}] $无套利.

定理4.1表明,尽管$ Q^{\alpha^*} $只是鞅测度,不是等价鞅测度,但期权在该测度下的价格仍然无套利.幸运的是,大多数期权定价模型都满足无套利价格区间能够达到平凡边界,因而无套利. Jakubenas^[10]指出VG过程^[11], NIG过程^[12], Meixner过程^[13], CGMY过程^[14], GH过程^[15]都是这类过程.因而,对这些过程,仍然可以把$ Q^{\alpha^*} $作为定价测度.

例1   Black-Scholes模型.

设

$ X_t = \int_0^t(\mu_s-\frac{\sigma_s^2}{2}){\rm d}s+\int_0^t\sigma_s{\rm d}W_s, $

其中$ W = (W_t)_{t\geq 0} $是标准布朗运动, $ \mu = (\mu_t)_{t\geq 0} $和$ \sigma = (\sigma_t)_{t\geq 0} $是两个可料的随机过程,且满足可积条件

$ \int_0^t|\mu_s|{\rm d}s<\infty, \ \int_0^t\sigma_s^2{\rm d}s<\infty. $

$ X $显然是半鞅,其可料特征为$ T(X|P) = (B, C, \nu) $,其中

$ B_t = \int_0^t(\mu_s-\frac{\sigma_s^2}{2}){\rm d}s, C_t = \int_0^t\sigma_s^2{\rm d}s, \nu_t = 0. $

由(2.4)式

$ K_t(1) = B+\frac{1}{2}C+({\rm e}^{x}-1-h(x))*\nu = \int_0^t\mu_s{\rm d}s. $

因此, (3.4)式变为

$ \int_0^t\alpha_s^*\sigma_s^2{\rm d}s = \int_0^t(r_s-\mu_s){\rm d}s. $

如果$ \forall t > 0, \sigma_t > 0 $,取$ \alpha^* = \frac{r-\mu}{\sigma^2} $.利用(3.1)式,有

$ \begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}Q^{\alpha^*}}{{\rm d}P}\bigg|_{{\cal F}_t} & = & \exp \bigg(\alpha^*\cdot X_t^c-\frac 12 (\alpha^*)^2\cdot C\bigg) = \exp\left(\int_0^t\frac{r_s-\mu_s}{\sigma_s}{\rm d}W_s-\frac 12\int_0^t(\frac{r_s-\mu_s}{\sigma_s})^2{\rm d}s\right). \end{eqnarray*} $

这里假定$ \int_0^t(\frac{r-\mu_s}{\sigma_s})^2{\rm d}s < \infty, EZ^{\alpha^*} = 1. $可以验证, $ Q^{\alpha^*} $正是该模型中唯一的等价鞅测度.

例2   L$ \acute{\rm e} $vy模型.

设$ X $是L$ \acute{\rm e} $vy过程,且具有如下分解

$ X_t = \gamma t+\sigma W_t+\int_{(0, t]}\int_{\{|x|> 1\}}xN({\rm d}s, {\rm d}x)+\int_{(0, t]}\int_{\{0<|x|\leq 1\}}x[N({\rm d}s, {\rm d}x)-{\rm d}sF({\rm d}x)], $

其中$ W = (W_t)_{t\geq 0} $是标准布朗运动, $ N({\rm d}t, {\rm d}x) $是泊松测度, $ F = F({\rm d}x) $是L$ \acute{\rm e} $vy测度满足$ F(\{0\}) = 0, \int(x^2\wedge 1)F({\rm d}x) < \infty. $$ X $的可料特征$ T(X|P) = (B, C, \nu) $具有如下形式

$ B_t = \gamma t, C_t = \sigma^2t, \nu({\rm d}t, {\rm d}x) = {\rm d}tF({\rm d}x), $

显然有

$ \begin{eqnarray*} K_t(1) = t\bigg[\gamma+\frac{1}{2}\sigma^2+\int_{{\Bbb R} }({\rm e}^x-1-h(x))F({\rm d}x)\bigg] = t\ln\phi(-{\rm i}). \end{eqnarray*} $

如果无风险利率$ r > 0 $为常数, (3.4)式变为

$ \sigma^2\int_0^t\alpha_s^*{\rm d}s = t(r-\ln\phi(-{\rm i})). $

若$ \sigma > 0 $,取$ \alpha^* = \frac{r-\ln\phi(-{\rm i})}{\sigma^2}, $

$ \begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}Q^{\alpha^*}}{{\rm d}P}\bigg|_{{\cal F}_t} = \exp \bigg(\alpha^*\cdot X_t^c-\frac 12 (\alpha^*)^2\cdot C\bigg) = \exp\left(\frac{r-\ln\phi(-{\rm i})}{\sigma}W_t-\frac 12(\frac{r-\ln\phi(-{\rm i})}{\sigma})^2t\right). \end{eqnarray*} $

易知$ X $是$ Q^{\alpha^*} $-L$ \acute{\rm e} $vy过程,且其可料特征为

$ T(X|Q^{\alpha^*}) = (t(\gamma+r-\ln\phi(-{\rm i})), \sigma^2t, {\rm d}tF({\rm d}x)). $

容易看到, $ Q^{\alpha^*} $正是L$ \acute{\rm e} $vy模型中的均值修正鞅测度.

例3   Gamma过程.

Heston^[16]引入Gamma过程给股票价格过程建模.设

$ X_t = Y_t+\gamma t, $

其中$ Y_t $是参数为$ \alpha > 0, \beta > 0 $的Gamma过程.为消除套利,另外设$ \gamma < 0. $设$ G(x; \alpha, \beta) $是形状参数为$ \alpha $,尺度参数为$ \beta $的Gamma分布的分布函数,则

$ G(x; \alpha, \beta) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}\int_0^xy^{\alpha-1}\exp(-\frac y\beta){\rm d}y, x\geq 0. $

$ X $的特征三元组为

$ (\gamma+\alpha\beta(1-\exp(-\frac 1\beta)), 0, \frac{\alpha}{x}\exp(-\frac x\beta)I_{x>0}{\rm d}x). $

显然$ \gamma+r-\ln\phi(-{\rm i}) = r+\alpha\ln(1-\beta) $.因此欧式看涨期权在$ Q^{\alpha^*} $下的价格$ C^{Q^{\alpha^*}}(K, T)\triangleq {\rm e}^{-rT}E^{Q^{\alpha^*}}[(S_T-K)^+] $为

(5.1) $ \begin{eqnarray} C^{Q^{\alpha^*}}(K, T) = S_0(1-G(l;\alpha T, \frac{\beta}{1-\beta}))-K{\rm e}^{-rT}(1-G(l;\alpha T, \beta)), \end{eqnarray} $

其中$ l = \ln\frac{K}{S_0}-\alpha\ln(1-\beta)T. $值得注意的是在(5.1)式中,并不含参数$ \gamma $.

取定如下参数: $ S_0 = 1, K = 1.3, T = 1, \alpha = 0.4, \beta = 0.9, r = 0.1 $.表 1根据(5.1)式,给出了当$ \gamma $变化时欧式看涨期权的价格.从表 1可以看到,对于纯跳过程,如果无套利价格区间达不到平凡边界,期权在$ Q^{\alpha^*} $下的价格可能有套利.