本文考虑非线性二阶中立型分布时滞微分方程

(其中$z(t)=x(t)+\int^{b}_{a}p(t, \xi)x\left(\tau(t, \xi)\right){\rm d}\xi, ~t\geq t_{0}>0, ~\alpha>0, ~0\leq a<b, ~0\leq c<d$).在本文中,我们总假设下列条件成立

(H$_{1})~~~\tau(t, \xi)\in C\left([t_{0}, \infty)\times[a, b], (0, \infty)\right), ~\tau(t, \xi)\leq t, ~\xi\in[a, b],$当$t\rightarrow\infty$时$\tau(t, \xi)\rightarrow\infty$;

(H$_{2})~~\sigma(t, \xi)\in C\left([t_{0}, \infty)\times[c, d], (0, \infty)\right), ~\sigma(t, \xi)$是$\xi$的减函数, $\sigma(t, \xi)\leq t, ~\xi\in[c, d],$当$t\rightarrow\infty$时$\sigma(t, \xi)\rightarrow\infty, ~g(t)=\sigma(t, d)$且$g'(t)>0;$

(H$_{3})~~p(t, \xi)\geq0, ~0\leq p(t)=\int^{b}_{a}p(t, \xi){\rm d}\xi<1;$

(H$_{4})~~r(t)>0, ~r'(t)\geq 0, \int^{\infty}_{t_{0}}\left(\frac{1}{r(t)}\right)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}t=\infty;$

(H$_{5})~~f(t, u)\in C\left([t_{0}, \infty)\times{\Bbb R}, {\Bbb R}\right), ~uf(t, u)>0, ~u\neq0.$存在函数$q(t, \xi)\in C\big([t_{0}, \infty)\times[c, d],$$[0, \infty)\big)$使得

方程(1.1)有如下重要的特例

(ⅰ)在相应的离散情况下,方程(1.1)成为

其中$z(t)=x(t)+p(t)x\left(\tau(t)\right), ~f(t, x)sgn x\geq q(t)|x|^{\beta} , ~x\neq0, ~\beta>0.$

(ⅱ)方程(1.2)中当$\alpha=\beta$时有特例

(ⅲ)方程(1.2)中当$\alpha=1$时有特例

方程(1.3)和(1.4)分别称为半线性中立型微分方程和中立型Emden-Fowler微分方程.我们看到两者是互不包含的,但是,它们都是方程(1.1)和(1.2)的特例.

近年来,随着二阶中立型微分方程在自然科学和工程技术中的应用日益广泛,许多学者对其振动性的充分条件的研究有着浓厚的兴趣.我们推荐文献[1-13]及其引文.其中Candan在文献[1]中建立了方程(1.1)在$\alpha=\beta$的条件下的若干振动准则. Dong在文献[2]中给出了当$\alpha=\beta$时方程(1.2)的某些振动结果.此后,文献[3]和[8]进一步研究了方程(1.2)当$~f(t, x)= q(t)|x|^{\beta}sgn x$时的振动性,分别给出了$\alpha\geq\beta$和$\alpha\leq\beta$时方程(1.2)的振动准则.此外,文献[4-6]给出了半线性微分方程(1.3)振动的若干充分条件.而Erbe等在文献[7]中证明了中立型Emden-Fowler微分方程(1.4)当$\beta>1$时的Philos型振动准则.

本文的目的是研究方程(1.1)在一般情况下的振动准则.利用广义Riccati变换和分析技巧,建立了一个新的对任意$\alpha>0$和$\beta>0$均成立的广义Riccati不等式.亦由此证明了方程(1.1)的四个新的振动定理.所得结果推广改进并统一了文献[1-8]中相应的振动结果.它们既适用于连续分布时滞方程(1.1),也适用于离散时滞方程(1.2).而且,也同样适用于半线性中立型微分方程(1.3)和中立型Emden-Fowler微分方程(1.4).

函数$x(t)$称为方程(1.1)的一个解,如果函数$z(t)$和$r(t)|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t)$是连续可微且在区间$[t_{0}, \infty)$上$x(t)$满足方程(1.1).方程(1.1)的一个非平凡解称为振动的,如果它有任意大的零点,否则,称它为非振动的.方程(1.1)的一切解均振动,则称方程(1.1)为振动的.

定理2.1  设

其中

则方程(1.1)振动.

证  设$x(t)$为方程(1.1)的一个非振动解.不失一般性,不妨设$x(t)$为最终正解.则存在$t_{1}\geq t_{0},$使得当$t\geq t_{1}$时有$x(t)>0, ~x\left(\tau(t, \xi)\right)>0~(\xi\in[a, b]), ~x\left(\sigma(t, \xi)\right)>0~(\xi\in[c, d])$.如果$x(t)$为最终负解,可用同样的方法来讨论.由条件(H$_{5})$我们得到

因此, $r(t)|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t)$是非增函数且$z'(t)$最终保号,于是$z'(t)$仅有两种可能.最终有$z'(t)<0$或$z'(t)>0.$

(ⅰ)假设$z'(t)<0, ~ t\geq t_{1}.$则由(2.3)式我们有

即

利用函数$r(t)(-z'(t))^{\alpha}$是非减函数,可知存在常数$C>0$使得

用$r(t)$除(2.4)式两边,从$t_{2}$到$t$积分得

上式中令$t\rightarrow\infty$,由条件(H$_{4})$得$z(t)\rightarrow-\infty$.此式与$z(t)>0$矛盾,故假设不成立.

(ⅱ)假设$z'(t)>0, ~t\geq t_{1}$.因$z(t)\geq x(t)$且$z(t)$是增的,则有

由上式,我们有

或者

将(2.5)式带入(2.3)式,注意到$\sigma(t, \xi)$是$\xi$的减函数,我们得到

或者

另一方面,因$r(t)\left(z'(t)\right)^{\alpha}$是减函数,我们有

或者

定义函数

显然, $W(t)>0.$利用(2.6)-(2.8)式,求导产生

因为$z(t)$和$z'(t)$均为正.我们有

对(2.10)式从$t_{3}$到$t$积分,利用(2.2)式可得

此与$W(t)>0$矛盾.定理2.1证毕.

注2.1  定理2.1将对二阶线性微分方程

的Leighton-Wintner振动定理推广到非线性中立型微分方程(1.1),而且使其成为特例.其次,最近Candan在文献[2]中建立的定理2.1仅对方程(1.1)中当$\alpha=\beta$时才成立,而本文中定理2.1则对任意的$\alpha>0, ~\beta>0$都成立.

下面的引理给出方程(1.1)的一个新的Riccati不等式.

引理2.1  设$x(t)$是方程(1.1)的最终正解, $W(t)$由(2.8)式定义.则下面的不等式成立

其中$\rho=\min\{\alpha, \beta\},$且$k= \left \{\begin{array}{ll}1, & \alpha=\beta, \\ \mbox{正常数, }&\alpha\neq\beta, \end{array}\right.$和$\theta(t)= \left \{\begin{array}{ll}t, & \alpha>\beta, \\ g(t) , & \alpha\leq\beta. \end{array}\right.$

证  如同定理2.1的证明,我们得到(2.9)式成立,即

注意到$z\left(g(t)\right)$是增函数,当$\beta\geq\alpha$时,存在常数$k_{1}>0$和$t_{4}\geq t_{3}$使得当$t\geq t_{4}$时, $\left[z\left(g(t)\right)\right]^{\frac{\beta-\alpha}{\alpha}}\geq k_{1},$故(2.12)式成为

易知,当$\beta=\alpha$时, $k_{1}$可为1.

其次,因为$\left(r(t)(z'(t))^{\alpha}\right)'\leq0$和$r'(t)\geq0$固有$z''(t)\leq0$即$z'(t)$是减函数.则当$\alpha>\beta$时$\left[z'(t)\right]^{\frac{\beta-\alpha}{\beta}}$是增函数,于是存在常数$k_{2}>0$和$t_{5}\geq t_{4}$使得$\left[z'(t)\right]^{\frac{\beta-\alpha}{\beta}}\geq k_{2}, ~t\geq t_{5}$因此，不等式(2.9)也可产生

$k=\min\{k_{1}, k_{2}\},$联合(2.13)和(2.14)式,我们得到不等式(2.11)对一切$\alpha>0, ~\beta>0$成立.引理2.1证毕.

定义函数序列$\left\{Q_{n}\right\}$如下

利用归纳法,我们有$Q_{n}(t)\leq Q_{n+1}(t), ~t\geq t_{0}, n=1, ~2, ~3, ~\cdots.$

为简单计算,在不等式(2.11)中,记

则(2.11)式成为

引理2.2  设$x(t)$是方程(1.1)的最终正解,则

(ⅰ) $Q_{n}(t)\leq W(t),$其中$W(t)$和$Q_{n}(t)$分别由(2.8)、(2.15)和$(2.15')$式定义.

(ⅱ)存在正函数$\overline{Q}(t)$使得$\lim\limits_{ t\rightarrow\infty}Q_{n}(t)=\overline{Q}(t), ~t\geq T\geq t_{0}$且

证  在引理2.1的证明中,我们得到(2.11)式成立,即(2.17)式成立.对(2.17)积分可得

易知

(2.20)式给出

否则,若(2.21)式发散,则对固定的$t\geq T$,我们有

此与$W(t)>0$矛盾.又由(2.17)式知$W'(t)\leq0$,因此, $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}W(t)=l\geq0.$注意到(2.21)式和条件(H$_{4}$),我们有$l=0.$因此,由(2.19)式我们得到

则$W(t)\geq Q_{1}(t).$

假设$W(t)\geq Q_{n-1}(t)$成立.由上式和不等式(2.22)得

由归纳法,可以得到$W(t)\geq Q_{n}(t), ~t\geq t_{0}, ~(n=2, ~3, ~4, ~\cdots).$注意到$W(t)$有上界且由引理2.1证明过程得$Q_{n}(t)\leq Q_{n+1}(t), ~t\geq t_{0}, n=1, ~2, ~3, ~\cdots$故函数序列$\left\{Q_{n}\right\}$单调增加有上界. $\left\{Q_{n}\right\}$收敛到$\overline{Q}(t).$在$(2.15')$式中令$n\rightarrow\infty,$利用勒贝格单调收敛定理,我们得到(2.18)式.引理2.2证毕.

定理2.2  设

其中$\rho, ~Q_{1}(t)$和$R(t)$分别由(2.11)、(2.15)和(2.16)式定义,则方程(1.1)振动.

证  设$x(t)$是方程(1.1)的非振动解.如同引理2.1和引理2.2的证明,我们得到(2.22)式.由此可得

令

则可知$\lambda\geq1.$另一方面,由(2.23)式知存在常数$c>0$使得

联合(2.24)-(2.26)式,我们有

利用不等式

我们得到

注意到(2.26)式的后部分,由不等式(2.29)可得

即

我们看到(2.27)与(2.30)式矛盾.假设不成立.定理2.2证毕.

注2.2  注意到,方程(1.1)中当$\alpha=\beta$时, (2.16)中$\rho=\alpha, ~k=1, ~\theta(t)=g(t)=\sigma_{1}(t).$因此文献[1]中的定理2.3是本文定理2.2的特例.即定理2.2将文献[1]中的$\alpha=\beta$时的结果推广到对任意$\alpha>0, ~\beta>0$都成立.此外,也推广和改进了文献[2]的结果.

定理2.3  设存在函数$\varphi (t)\in C^{1}([t_{0}, \infty), {\Bbb R}^{+})$使得条件

成立,其中常数$\rho, ~k$函数$Q(t), ~\theta(t)$和$g(t)$的定义同上文,则方程(1.1)振动.

证  设$x(t)$是方程(1.1)的非振动解.不失一般性,设$x(t)$为最终正解($x(t)<0$的情况类似的分析成立).如同引理2.1的证明,利用定义(2.16)可得(2.17)式成立,即

上式乘以$\varphi(t)$再积分可得

利用分部积分和(2.16)式中$R(t)$的定义,我们有

在(2.33)式右端积分中利用不等式(2.28)可得

即

我们得到(2.34)与(2.31)式矛盾.假设不成立.定理2.3证毕.

注2.3  定理2.3推广和改进了文献[3]中的定理2.1,由于文献[3]的证明中使用了普通的Riccati不等式.本文使用了我们证明的推广了的广义Riccati不等式(2.11).而且文献[3]的振动定理只适用于$\alpha\geq\beta>0$和离散时滞的情况.而本文结果适用于任意$\alpha>0, ~\beta>0$和连续分布时滞方程.此外,本文定理2.3还推广和改进了文献[8]的定理2.1和定理3.1,以及文献[4-6]中相应的振动结果.

下面我们给出方程(1.1)的Philos型振动定理.

定义集合

函数$H\in C^{1}(D, {\Bbb R})$称为属于$\Delta$类,如果它满足

(ⅰ) $H(t, t)=0, ~t\geq t_{0};~H(t, s)>0, ~(t, s)\in~D_{0};$

(ⅱ) $\frac{\partial H(t, s)}{\partial s}\leq0.$存在$\psi\in C^{1}\left([t_{0}, \infty), {\Bbb R}^{+}\right)$和$h\in C(D_{0}, {\Bbb R})$使得

其中$\rho=\min\{\alpha, \beta\}.$

定理2.4  设存在函数$\psi\in C^{1}\left([t_{0}, \infty), {\Bbb R}^{+}), ~h\in C(D_{0}, {\Bbb R}\right)$和$H\in\Delta, ~T\geq t_{0}$使得

成立,其中其中常数$\rho, ~k$函数$Q(t), ~\theta(t)$和$g(t)$的定义如上文,则方程(1.1)振动.

证  设$x(t)$是方程(1.1)的非振动解.不失一般性,设$x(t)$为最终正解($x(t)<0$的情况类似的分析成立).如同引理2.1的证明,利用定义(2.16)可得(2.17)式

对$t>s$,上式乘以$H(t, s)\psi(s)$再从$T$到$t$积分可得

对(2.37)式分部积分和利用(2.35)式我们有

在(2.38)式右端积分中利用不等式(2.28)和(2.16)式可得

由不等式(2.39)可知

我们得到(2.40)与(2.36)式矛盾.假设不成立.定理2.4证毕.

推论2.1  若(2.36)式由下列两条件代替

和

则定理2.4的结论仍然成立.

注2.4  定理2.4在三方面改进了文献[3]的定理2.2: (ⅰ)不要求$\alpha\geq\beta$; (ⅱ)简化了文献[3]中(2.14)式的计算; (iii)可适用于方程(1.1).它在三方面改进了文献[6]的定理5: (1)不要求$\alpha\leq\beta;$ (2)不要求$p(t)\equiv0$; (3)可适用于连续分布时滞方程(1.1).定理2.4也将文献[7]的定理2.1对方程(1.4)的振动结果推广且改进为方程(1.1)的结果.

本节给出四个例子说明主要结果的应用.

例3.1  考虑下面的二阶中立型泛函微分方程

其中$z(t)=x(t)+\int^{\frac{5\pi}{2}}_{\frac{3\pi}{2}}\frac{1}{4}x(t-\xi){\rm d}\xi, ~\alpha>0, ~\beta>0.$

比较方程(E$_{1})$和(1.1),我们看到$r(t)=1, ~a=\frac{3\pi}{2}, ~b=\frac{5\pi}{2}, ~c=3\pi, ~d=5\pi,$$p(t, \xi)=\frac{1}{4},$$f(t, x)=\frac{3}{8} |x(t)|^{\beta-1}x(t).$显然,定理2.1的条件都满足,故方程(E$_{1})$振动.事实上,当$\alpha=\beta=1$时, $x(t)=\cos t$是方程(E$_{1})$的一个解.

例3.2  考虑下面的二阶中立型泛函微分方程

其中$z(t)=x(t)+\int^{1}_{0}\frac{1}{2}x(t-\frac{\xi}{2}-1){\rm d}\xi, ~\alpha>0, ~\beta>0, ~\rho=\min\{\alpha, \beta\}.$

比较方程(E$_{2})$和(1.1),我们可知$r(t)=1, ~p(t, \xi)=\frac{1}{2}, ~f(t, u)=q(t, \xi) |u|^{\beta-1}u, ~q(t, \xi)=\frac{\xi}{t^{1+\frac{\rho}{2}}}, ~\sigma(t, \xi)=t-\xi-1, ~g(t)=t-2.$因此, $R(t)=\frac{\rho kg'(t)}{r^{\frac{1}{\rho}}(\theta(t))}=\rho k.~Q(t)=\int^{d}_{c}[1-p(\sigma(t, \xi))]^{\beta}q(t, \xi){\rm d}\xi= \int^{1}_{0}(\frac{1}{2})^{\beta}\frac{\xi}{t^{1+\frac{\rho}{2}}}{\rm d}\xi=\frac{(\frac{1}{2})^{\beta+1}}{t^{1+\frac{\rho}{2}}} , ~Q_{1}(t)=\int^{\infty}_{t}Q(s){\rm d}s=\frac{1}{\rho}(\frac{1}{2})^{\beta}\frac{1}{t^{\frac{\rho}{2}}}.$下面验证(2.23)式成立

故(2.23)式成立.由定理2.2知,方程(E$_{2})$振动.

例3.3  考虑下面的二阶中立型泛函微分方程

其中$z(t)=x(t)+\int^{1}_{0}\frac{2}{3}x(t+\xi-1){\rm d}\xi, ~\alpha>0, ~\beta>0, ~\rho=\min\{\alpha, \beta\}.$

比较方程(E$_{3})$和(1.1),易得$r(t)=1, ~p(t, \xi)=\frac{2}{3}, ~f(t, u)=q(t, \xi) |u|^{\beta-1}u, ~q(t, \xi)=\frac{\xi}{t(\ln t)^{1+\rho}}, ~\sigma(t, \xi)=t-2\xi-4, ~g(t)=t-8.$因此

下面验证(2.31)式是否成立,我们取$\varphi(t)=(\ln t)^{\rho}$则$\varphi'(t)=\frac{\rho}{t}(\ln t)^{\rho-1}.$欲证下式成立

只需证明

和

事实上,我们有

和

故(2.31)式成立.利用定理2.3知,方程(E$_{3})$振动.

例3.4  考虑下面的二阶中立型泛函微分方程

其中$z(t)=x(t)+\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{1}{2}x(t-\xi-\frac{\pi}{2}){\rm d}\xi, ~\alpha>0, ~\beta>0.$

比较方程(E$_{4})$和(1.1),易得$r(t)=1, ~p(t, \xi)=\frac{1}{2}, ~f(t, u)=q(t, \xi) |u|^{\beta-1}u,$$q(t, \xi)=2t\xi,$$\sigma(t, \xi)=t-\xi-1, ~g(t)=t-2.$因此, $Q(t)=\int^{1}_{0}[1-p(\sigma(t, \xi))]^{\beta}q(t, \xi){\rm d}\xi= (\frac{1}{2})^{\beta}t.$

下面验证(2.41)式和(2.42)式是否成立,我们取$\psi(t)=1, ~H(t, s)=(t-s)^{1+\rho},$$\rho=\min\{\alpha, \beta\}.$故有

利用(2.35)式知$h(t, s)=1+\rho$,我们有

由推论2.1知方程(E$_{4})$振动.

注3.1  本文中定理对任意的$\alpha>0, ~\beta>0$都适用.文献[1-13]中的定理均不能适用于本文的例子.