图(Graph)或者网络(Network)可用于表示离散的对象之间的联系,自然地,在计算机科学、生物学和社会学等领域中,图或者网络成为了分析离散对象之间关系的重要数学工具.在文献[1]中, Chung和Berenstein对定义在有限图(网络)上的函数引入了积分、方向导数、梯度和$ \omega $-Laplacian算子等概念,并利用偏微分方程的讨论技巧研究了图上的调和方程解的性质以及反问题. 2007年,在文献[2]中,图上的$ \omega $扩散方程$ u_t - \Delta_{\omega} u = f(x, t) $用于模拟网络上的热量或能量流问题,给出了离散热方程的热核的表达式,并利用能量方法讨论了方程的极值原理和惠更斯性质以及解的唯一性等问题.在此基础上,具有各类非线性项的离散热方程解的渐近行为,特别是带有非线性项的离散热方程解的爆破^[3-5]、熄灭^[6-8]和淬灭^[9]等性质的研究受到了国内外越来越多的学者的关注.此外,基于图上的偏微分方程的图像处理模型和数据聚类分析模型也受到了国内外学者的关注,关于该方面的研究可以参考文献[10-11].事实上,关于图(特别是无限图)上的偏微分方程的研究可以追溯至上个世纪80年代,其主要利用平衡测度法研究各类图上的泊松方程、薛定谔方程等方程的可解性问题,关于该方面的研究可以参考文献[12-13].

在文献[14]中,利用山路引理和变分原理讨论了图上具有非线性项的泊松方程$ -\Delta_{\omega} u(x) = f(x, u(x)) $解的存在唯一性,其中光滑函数$ f(x, u) = f(u) $满足

$ |f(s)| \leq C (1+|s|^p)\quad\mbox{和}\quad f'(s) \leq C (1+|s|^{p-1}), $

这里$ p> 1 $, $ C $是一个常数.此外,还需要存在常数$ 0 < \alpha \leq \beta $,使得

$ \alpha |s|^{p+1} \leq F(s) \leq \beta |s|^{p+1}, $

其中$ F(s) = \int_{0} ^{s} f(r){\rm d}r $,或者选取$ f(x, u) $关于第二个变量是非增的有界函数.在文献[15]中,作者主要讨论了图上的Kazdan-Warner方程$ \Delta_{\omega} u = c - he^{u} $解的存在性问题.在连续的情形下,关于带有非线性项的拉普拉斯方程和热传导方程已经取得了非常丰富的结果,指数型的非线性项主要来源于容器中的化学活性混合气体的自燃^[16]、恒星结构^[17]、化学动力学^[18]和燃烧反应^[19]的理论研究.在文献[20]中,利用特征值扰动技巧,讨论带有指数型泊松方程$ -\Delta u(x) = e^{u(x)} $和$ v_t(x, t) = \Delta v(x, t) + e^{v(x, t)} $在$ n $维欧氏空间上的有界区域$ \Omega $且$ \partial \Omega $足够光滑的条件下讨论了方程解的性质和渐近行为.在文献[21]中,讨论了$ -\Delta u = \lambda e^{u} $的特征值问题.在文献[23]中,作者主要研究了带有指数型反应项的热方程$ u_t(x, t) -\Delta u(x, t) = e^{u(x, t)} $柯西问题解的渐近行为.此外,关于带有指数型反应项的非局部拉普拉斯方程解的爆破行为可以参考文献[22].在离散的情形下,对于带有指数型非线性项的离散泊松方程和热方程尚未研究,受上述研究的启发,该文主要研究带有指数型非线性项的离散泊松方程

(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta_{\omega}u(x) = e^{u(x)}, \quad &x\in S, \\ u(x) = 0, &x\in \partial S \end{array} \right. \end{equation} $

和带有指数型非线性型的离散热方程

(1.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} v_t = \Delta_{\omega}v +e^v, \quad &x\in S \mbox{和}\ t\in (0, T), \\ v(x, t) = 0, &x\in \partial S \mbox{和}\ t\in[0, T), \\ v(x, 0) = v_0(x), &x\in S \end{array} \right. \end{equation} $

解的存在性,特别是讨论它们解的存在性及渐近行为之间的关系.在下文中,三元组$ G(V, E, \omega) $表示一个有限、连通简单图,其中$ V $表示图$ G $的顶点集,并将其分成两个不相交的部分,即$ V = S \cup \partial S $,其中$ S $表示图$ G $的内部顶点, $ \partial S $表示其边界点. $ E $表示图$ G $的边集,若在顶点$ x $和$ y $之间有边相连,记作$ (x, y) \in E $或者$ x \sim y $. $ \omega(x, y): V \times V \rightarrow {\Bbb R}^+ $表示定义在图$ G $边集$ E $上的权重函数并满足

(ⅰ)任意$ x\in V $,有$ \omega(x, x) = 0 $;

(ⅱ)任意$ x, y\in V $,有$ \omega(x, y) = \omega(y, x)\geq 0 $;

(ⅲ)若$ (x, y)\notin E $,则$ \omega(x, y) = 0 $.

进一步, $ d_{\omega}(x) = \sum\limits_{x \in V}\omega(x, y) $表示图$ G $的顶点$ x $的度,其符号与定义主要参考文献[1].另外, $ C(V) $表示定义在图$ G $顶点集$ V $上的函数全体,其上的范数定义为

$ \|u\|_{\infty} = \max\limits_{x \in V} |u(x)|, $

容易验证$ C(V) $在此范数下是一个Banach空间. $ \Delta_{\omega}: C(V) \rightarrow C(V) $表示定义在图上的拉普拉斯算子(Laplacian)算子(也称为$ \omega $ -拉普拉斯算子),其定义如下

(1.3) $ \begin{equation} \Delta_{\omega}u(x) = \sum\limits_{y\in V}\left[u(y)-u(x)\right]\cdot\omega(x, y). \end{equation} $

本文的主要安排如下:第二部讨论带有指数型非线性项的离散泊松方程解的性质,关于带有指数型非线性项的离散热方程解的性质的研究,主要利用比较原理和相应的离散泊松方程解的性质进行了讨论,主要内容是本文的第三部分.最后一部分是本文的结论.

为了讨论带有指数型非线性项的离散泊松方程解的性质,先给出几个重要的引理.

引理2.1^[1]  对于任意两个定义在图$ G $上的实值函数$ f $: $ V\rightarrow {\Bbb R} $和$ h $: $ V\rightarrow {\Bbb R} $,有

(2.1) $ \begin{equation} 2\int_{V}h(-\Delta_{\omega}f) = \int_{V}\nabla_{\omega}h \cdot \nabla_{\omega}f . \end{equation} $

接下来,离散的拉普拉斯算子$ \Delta_{\omega} $是一个线性算子,它可以看作一个矩阵,即

$ \begin{eqnarray*} \Delta_{\omega}(x, y) = \left\{ \begin{array}{lll} -\sum\limits_{z\in V} \omega(x, z), \quad&\mbox{若}\ x = y, \\ \omega(x, y), &\mbox{若}\ x\sim y, \\ 0, &\mbox{其它, } \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

那么,容易验证$ -\Delta_{\omega} $限制在图$ G $的内部顶点$ S $上,记作$ -\Delta_{\omega, S} $是一个对称的正定矩阵,其最小特征值和特征向量满足如下结果.

引理2.2^{[6, 24]}  设$ \lambda_0>0 $是$ -\Delta_{\omega, S} $最小特征值,存在其相应的特征函数为$ \phi_0(x) > 0, $$ x \in S $.

进一步,还有

(2.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta_{\omega}\phi_0 = \lambda_0\phi_0, \quad &x\in S, \\ \phi_0 = 0, &x\in \partial S , \end{array} \right. \end{equation} $

且$ \sum\limits_{x\in S}\phi_0 = 1, x\in S $.此外,最小的特征值

$ \lambda_0 = \inf\limits_{f\in \Gamma}\frac{\frac{1}{2}\sum\limits_{x, y\in \overline{S}}[f(x)-f(y)]^2\omega(x, y)}{\sum\limits_{x\in \overline{S}}[f(x)]^2}\leq\sum\limits_{y\in V} \omega(x, y), $

其中$ \Gamma = \{f \in C(V), f|_{\partial S} = 0\} $,其定义和证明可参考文献[24].

最后,给出离散泊松方程解的存在性和极值原理,主要结论如下.

引理2.3  带有齐次Dirichlet边界条件的离散泊松方程

(2.3) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta_{\omega}f(x) = g(x), \quad&x\in S, \\ f(x) = 0, &x\in \partial S \end{array} \right. \end{equation} $

有唯一解.若$ g(x) \geq 0 $且$ g(x) \not \equiv 0 $,则且有$ f(x) > 0, x \in S $.

证  关于解的存在唯一性的证明可以参考文献[1],事实上,方程解的表示式也在文献中给出了,为了表示方便,在下文中仅简单的记作$ f(x) = (- \Delta_{\omega})^{-1} g(x) $.

接下来,证明$ f(x) $的非负性,即$ f(x) \geq 0, x \in V $.现假设存在一顶点$ x_0\in S $使得$ f(x_0) \leq f(x), \forall x \in V $,即$ f(x) $在图$ G $的一个内部顶点$ x_0 $上取得最小值,则在$ x_0 $点处有

(2.4) $ \begin{equation} -\Delta_{\omega}f(x_0) = -\sum\limits_{y\in V}[f(y)-f(x_0)]\omega(x_0, y) = g(x_0) \geq 0, \end{equation} $

而$ -\sum\limits_{y\in V}(f(y)-f(x_0))\omega(x_0, y) \leq 0 $,进而,若$ y \sim x_0 $,则有$ f(y) = f(x_0) $并且$ g(x_0) = 0 $,然后由图$ G $的连通性和$ f(x) = 0, \forall x \in \partial S $,可得$ f(x) \equiv 0 $和$ g(x) \equiv 0 $,这与$ g(x) \not \equiv 0 $矛盾,所以$ f(x) > 0, x \in S $.证毕.

定理2.1  设具有齐次Dirichlet边界条件的算子$ -\Delta_{\omega} $最小的非平凡特征值为$ \lambda_0 $.若$ \lambda_0 < e $,那么方程$ (1.1) $解的集合$ \Phi $是空集.

证  首先,由引理2.2可知,算子$ -\Delta_{\omega} $的最小特征值$ \lambda_0 $所对应的特征向量$ \phi_0 >0, x\in S $且$ \sum\limits_{x\in S}\phi_0 = 1 $.接下来,对方程$ (1.1) $两边同乘$ \phi_0 $并且在$ V $进行积分,得到

(2.5) $ \begin{equation} \sum\limits_{x\in V}(-\Delta_{\omega}u)\phi_0 = \sum\limits_{x\in V}e^u\phi_0. \end{equation} $

再利用引理2.1,有

(2.6) $ \begin{equation} -\sum\limits_{x\in V}\Delta_{\omega}u\phi_0 = \frac{1}{2}\sum\limits_{x\in V}\nabla_{\omega}u\cdot\nabla_{\omega}\phi_0 = -\sum\limits_{x\in V}u\Delta_{\omega}\phi_0 , \end{equation} $

进而可得

(2.7) $ \begin{equation} \sum\limits_{x\in S}(-\Delta_{\omega}u)\phi_0 +\sum\limits_{x\in \partial S}(-\Delta_{\omega}u)\phi_0 = \sum\limits_{x\in S}e^u\phi_0 +\sum\limits_{x\in \partial S}e^u\phi_0. \end{equation} $

又因为$ \phi_0|_{\partial S} = 0 $.因此,得到

(2.8) $ \begin{equation} -\sum\limits_{x\in S}u \Delta_{\omega}\phi_0 = \sum\limits_{x\in S}e^u\phi_0, \end{equation} $

把$ (2.2) $式代入$ (2.8) $式可得

(2.9) $ \begin{equation} \lambda_0\sum\limits_{x\in S}\phi_0 u = \sum\limits_{x\in S}e^u\phi_0 . \end{equation} $

令$ J = \sum\limits_{x\in S}\phi_0u $,通过詹生不等式可得

(2.10) $ \begin{equation} -\lambda_0J+e^J\leq0, \end{equation} $

若$ \lambda_0 <e $,上述方程无解,可得结论.证毕.

定理2.2  如果方程$ (1.1) $的解集$ \Phi $非空,则对于任意的$ u(x) \in \Phi $,都有$ u(x) > 0, \forall x \in S $.

证  假设$ u(x) $在某一些内部顶点的值不大于零,可令$ u(x) $在$ x_0 \in S $顶点处取得最小值且$ u(x_0) \leq 0 $,这样在$ x_0 $处有

$ \begin{eqnarray*} - \Delta_{\omega}u(x_0) = e^{u(x_0)}. \end{eqnarray*} $

$ u(x) $在$ x_0 \in S $顶点处取得最小值,故等式的左边满足

$ - \Delta_{\omega}u(x_0) = - \sum\limits_{y \in V}(u(y)-u(x_0)) \omega(y, x_0) \leq 0, $

而与等式的右边$ e^{u(x_0)} > 0 $矛盾.所以方程$ (1.1) $的解不可能在内部顶点处取得极小值,即$ u(x) > 0, \forall x \in S $.证毕.

接下来,利用单调迭代法讨论方程(1.1)解的性质,为此,先给出如下两个引理.

引理2.4  设$ u_0(x) = 0, x \in V $,则迭代公式

(2.11) $ \begin{equation} u_{n+1}(x) = \left\{ \begin{array}{lll} (-\Delta_{\omega})^{-1}e^{u_n(x)}, \quad &x\in S, \\ 0, &x\in \partial S \end{array} \right. \end{equation} $

所构造的函数序列$ \{u_{n}\}_{n = 0}^{\infty} $是一个单调递增的函数列.

证  首先,证明$ u_0 < u_1 $.由函数列构造的定义可知$ u_1 = (-\Delta_{\omega})^{-1}e^{u_0}, x\in S $,进而可得

(2.12) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta_{\omega} u_1 = e^{u_0} = 1, \quad&x \in S, \\ u_1(x) = 0, &x \in \partial S, \end{array} \right. \end{equation} $

这样由引理2.3可知, $ u_{1}(x) > 0 = u_{0}, \forall x \in S $.现设$ u_{n-1}(x) < u_{n}(x), \forall x \in S $,下证$ u_{n} < u_{n+1}, \forall x \in S $.由函数序列构造的定义可得

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta_{\omega}\left(u_{n+1}-u_n \right) = e^{u_n}-e^{u_{n-1}}, \quad&x\in S, \\ u_{n+1}-u_{n} = 0, &x\in \partial S, \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

利用指数函数$ e^x $的单调性和引理2.3容易知, $ u_{n+1}(x)-u_{n}(x) > 0, \forall x\in S $.证毕.

引理2.5  对于任意的$ \phi $, $ \varphi \in \Phi $,若$ \phi \leq \varphi, \forall x \in S $,则对于任意的$ x \in S $, $ \phi(x) \equiv \varphi(x) $或者$ \phi(x) < \varphi(x) $.

证  反证法.若$ \varphi \geq \phi $,且$ \varphi \not\equiv \phi $.令$ \psi = \varphi - \phi $,则对于任意的$ x\in S $,有$ \psi(x) \geq 0 $且$ \psi(x)\not\equiv 0 $,不妨设$ \psi $在内部顶点$ x_0 $处取得最小值,即$ \psi(x_0) = 0 $,在该顶点$ x_0 $处有

$ \begin{eqnarray*} - \Delta_{\omega} \psi(x_0) = - \Delta_{\omega} \varphi (x_0) + \Delta_{\omega} \phi (x_0) = e^{\varphi (x_0)} - e^{\phi(x_0)} = 0, \end{eqnarray*} $

因此,可得

$ \begin{eqnarray*} - \Delta_{\omega} \psi(x_0) = \sum\limits_{y \in V} \psi(y) \omega(y, x_0) = 0, \end{eqnarray*} $

再由$ \psi(x) \geq 0 $可得,若$ \omega(y, x_0) \neq 0 $,则必有$ \psi(y) = 0 $,最后,由图$ G $的连通性可得$ \psi(x) \equiv 0, $$ \forall x \in V $,即$ \varphi \equiv \phi $矛盾.证毕.

接下来,先给出方程$ (1.1) $极小解的定义.

定义2.1  若$ U(x) $是方程$ (1.1) $具有齐次Dirichlet边界条件的解,若对于方程$ (1.1) $的任意一个解$ u(x) $都有$ U(x) < u(x), \forall x\in S $,则称$ U(x) $是方程$ (1.1) $的极小解.

在下文中,如果方程$ (1.1) $有解,我们通常用$ \Phi $表示方程$ (1.1) $全体解的集合.关于方程$ (1.1) $的极小解,我们有如下结论.

定理2.3  如果方程$ (1.1) $的解集$ \Phi $非空,那么方程$ (1.1) $必存在一个极小解.

证  取定$ u_0(x) = 0, x \in V $,由引理2.4可知,迭代公式

$ \begin{eqnarray*} u_{n+1}(x) = \left\{ \begin{array}{lll} (-\Delta_{\omega})^{-1}e^{u_n(x)}, \quad&x\in S, \\ 0, &x\in \partial S \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

所生成的迭代序列$ \{ u_n \} $一个单调递增的函数列.对于任意$ u \in \Phi $,由定理2.2可知, $ u_0(x) \equiv 0 < \phi(x), \forall x \in S $.现设$ u_{n}(x) < \phi(x), \forall x \in S $,下证$ u_{n+1}(x) < \phi(x), \forall x \in S $,由函数序列构造的定义可得

(2.13) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta_{\omega}(\phi-u_{n+1}) = e^{\phi}-e^{u_n} > 0, \quad &x\in S, \\ \phi-u_{n+1} = 0, \quad &x\in \partial S, \end{array} \right. \end{equation} $

利用引理2.3可知, $ \phi(x)-u_{n+1}(x) > 0, x\in S $,即$ u_{n+1}(x) < \phi(x), x\in S $.进而函数列$ \{ u_{n}\} $单调递增有上界$ \phi $,故存在极限$ U(x) \in \Phi $,容易知$ U(x) \leq \phi(x), x \in S $.最后根据引理2.5可知,要么$ U(x) \equiv \phi(x) $,要么$ U(x) < \phi(x), \forall x \in S $,故$ U(x) $就是方程的极小解.证毕.

最后,在方程$ (1.1) $解集$ \Phi $非空的基础上,定理2.2给出了极小值的存在性,接下具体给出极小值如何确定,为此,先给出如下引理.

为了表述简单起见,在下文中,对于$ \varphi, \psi \in C(V) $,若对于任意的$ x\in S $, $ \varphi(x) < \psi(x) $,且对于任意的$ x\in \partial S $, $ \varphi(x) = \psi(x) = 0 $,则记作$ \varphi \ll \psi $或者$ \psi\gg \varphi $.

引理2.6  令$ \varphi, \psi\in \Phi $,若$ \varphi\ll\psi $,那么

(ⅰ)令$ 0<\alpha<1 $, $ \nu_0 = (1-\alpha)\varphi+\alpha\psi $,迭代公式

$ \begin{eqnarray*} \nu_{n+1}(x) = \left\{ \begin{array}{lll} (-\Delta_{\omega})^{-1}e^{\nu_n(x)}, \quad &x\in S, \\ 0, &x\in \partial S \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

所形成的迭代序列$ \{\nu_n\} $是一个严格递减的函数列.

(ⅱ)令$ \beta > 0 $, $ w_0(x) = (1+\beta)\psi-\beta\varphi $,迭代公式

$ \begin{eqnarray*} w_{n+1}(x) = \left\{ \begin{array}{lll} (-\Delta_{\omega})^{-1}e^{w_n(x)}, \quad &x\in S, \\ 0, &x\in \partial S \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

所形成迭代序列$ \{w_{n}\} $是一个严格递增的函数列.

证   (ⅰ)先证明$ \nu_1 \ll \nu_0 $.由$ \varphi, \psi\in \Phi $,可知$ -\Delta_{\omega}\varphi = e^ {\varphi} $和$ -\Delta_{\omega}\psi = e^ {\psi} $,又因为$ \Delta_{\omega} $是一个线性算子可得$ - \Delta_{\omega}\nu_0 = -\Delta_{\omega}\left[(1-\alpha)\varphi+\alpha\psi\right] = (1-\alpha)e^{\varphi} + \alpha e^{\psi} $,进一步,再由迭代公式

$ \begin{eqnarray*} \nu_{1}(x) = \left\{ \begin{array}{lll} (-\Delta_{\omega})^{-1}e^{\nu_0(x)}, \quad &x\in S, \\ 0, &x\in \partial S, \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

可得到

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta_{\omega}\left[\nu_{0}(x) - \nu_1 (x)\right] = [(1-\alpha)e^{\varphi} + \alpha e^{\psi}] - e^{\nu_0(x)}, \quad &x\in S, \\ \nu_{0}(x)-\nu_{1}(x) = 0, & x\in \partial S. \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

再由指数函数$ e^x $是一个严格凸函数可得

(2.14) $ \begin{equation} e^{\nu_0(x)} = e^{(1-\alpha)\varphi+\alpha\psi} < (1-\alpha)e^{\varphi} + \alpha e^{\psi}, \end{equation} $

再次利用引理2.3,可以得出$ \nu_1\ll\nu_0 $.现假设$ \nu_{n-1} \gg \nu_{n} $,下证$ \nu_{n} \gg\nu_{n+1} $,其证明方法类似于引理2.4的证明过程,这里不再重复.

接下来,证明(ⅱ).类似于(ⅰ)的证明,先证明$ w_1 \gg w_0 $.由$ w_0(x) = (1+\beta)\psi-\beta\phi $,可知$ -\Delta_{\omega}w_0(x) = (1+\beta)e^{\psi}- \beta e^ {\varphi} $,这样由函数列$ \{w_{n}\} $的迭代公式可得

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta_{\omega}\left[w_{1}(x) - w_0 (x)\right] = e^{w_0(x)} - [(1+\beta)e^{\psi} - \beta e^{\varphi}] , \quad&x\in S, \\ w_{1}(x)-w_{0}(x) = 0, & x\in \partial S. \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

事实上,由于$ w_0 = (1+\beta)\psi-\beta\varphi $和指数函数$ e^x $是严格的凸函数,可得

$ \frac{1}{1+\beta}e^{w_0}+ \frac{\beta}{1+\beta}e^{\varphi} \geq e^ {\frac{1}{1+\beta}w_0+ \frac{\beta}{1+\beta}\varphi} = e^ {\psi}, $

进而可知$ e^{w_0(x)} - [(1+\beta)e^{\psi} - \beta e^{\varphi}] \geq 0 $,再由引理2.3可知, $ w_1 \gg w_0 $.类似于(ⅰ)的证明过程,利用数学归纳法容易证明$ \{ w_n \} $是一个单调递增的函数列.证毕.

接下来,讨论如何确定方程$ (1.1) $的极小解或者极小解的性质.为此,先引入增算子的概念.设

$ C_0(V) \doteq \{f(x) \in C(V)| f(x) \equiv 0, \forall x \in \partial S \}, $

其上的范数$ \|f\|_{C_0(V)} = \max\limits_{x\in V}|f(x)| $,则$ C_0(V) $是一个Banach空间.令

$ P \doteq \{ f(x) \in C_0(V)| f(x) \geq 0, \forall x\in S \}, $

容易验证$ P $正则锥,进而可定义$ C_0(V) $上的半序, $ f \leq g, (f, g\in C_0(V)) $,如果$ g-f \in P $.定义非线性算子$ F $如下

$ \begin{eqnarray*} F[f] = \left\{ \begin{array}{lll} (-\Delta_{\omega})^{-1}e^{f(x)}, &x\in S, \\ 0, &x\in \partial S, \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

显然$ F: C_0(V) \rightarrow C_0(V) $的连续算子,此外, $ F $也是一个增算子.事实上,对于任意的$ f, g \in C_0(V) $且$ f \leq g $.令$ h(x) = F[g]- F[f] $,所以$ h(x) $满足

$ \begin{eqnarray*} -\Delta_{\omega}h(x) = \left\{ \begin{array}{lll} e^{g(x)} - e^{f(x)} , &x\in S, \\ 0, &x\in \partial S, \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

然后由引理2.3可知$ h(x) \geq 0 $.这样,关于极小解有如下结论.

定理2.4  令$ u $, $ u^* \in \Phi $,如果$ u \ll u^* $,那么$ u $是方程(1.1)的极小解.换句话说,集合$ \Phi $不能形成三元数组$ u_{i}(i = 1, 2, 3)\in \Phi $满足$ u_1 \ll u_2 \ll u_3 $.

证  反证法.假设存在三元数组$ u_1\ll u_2\ll u_3 \in \Phi $.第一步:根据引理2.6可知,对于任意的$ 0<\alpha<1 $,令$ \nu_0 = (1-\alpha)u_2+\alpha u_3 $, $ x\in V $,迭代公式

$ \begin{eqnarray*} \nu_{n+1}(x) = \left\{ \begin{array}{lll} (-\Delta_{\omega})^{-1}e^{\nu_n(x)}, &x\in S, \\ 0, &x\in \partial S \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

得到的迭代出函数序列$ \{\nu_{n}\} $是一个单调递减的序列.进一步,因$ u_2 \ll u_3 $,则$ \nu_0 = u_2 + \alpha (u_3 - u_2) \geq u_2 $,现设$ \nu_n \gg u_2 $,下证$ \nu_{n+1} \gg u_2 $.由$ \{\nu_n\} $的迭代公式可知, $ \nu_{n+1} $满足

(2.15) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta_{\omega}\nu_{n+1} = e^{\nu_n(x)}, &x\in S, \\ \nu_{n+1}(x) = 0, &x\in \partial S, \end{array} \right. \end{equation} $

又因$ u_2 \in \Phi $,所以$ u_2 $满足方程$ (1.1) $,即

(2.16) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta_{\omega}u_2(x) = e^{u_2(x)}, &x\in S, \\ u_2(x) = 0, &x\in \partial S, \end{array} \right. \end{equation} $

联合上述两个方程可得

(2.17) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta_{\omega}[\nu_{n+1}- u_2(x)] = e^{\nu_n(x)}- e^{u_2(x)}, &x\in S, \\ \nu_{n+1}(x)-u_2(x) = 0, &x\in \partial S, \end{array} \right. \end{equation} $

进而由引理2.3可知$ \nu_{n+1}(x) \gg u_2 $,由数学归纳法可知,函数列$ \{\nu_{n}\} $单调递减有下界$ u_2 $,故其极限存在,记作

$ \nu_{\alpha}(x) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \nu_{n}(x) \in \Phi. $

此外,还由$ \nu_0 = u_2 + \alpha (u_3 - u_2) $可知,对于任意的$ \varepsilon > 0 $,若存在$ \delta > 0 $,使得对于任意$ \alpha < \delta $时,有$ \|\nu_{0} - u_2\|_{\infty} \leq \varepsilon $,而$ \nu_{n}(x) \gg u_2 $单调递减,所以$ \|\nu_{n} - u_2\|_{\infty} \leq \varepsilon $,这样,对于任意的$ \varepsilon > 0 $,当$ \alpha $充分小的时候,可知$ \|\nu_{a}-u_2\|_{\infty} < \varepsilon $且$ \nu_{\alpha} \gg u_2 $,即$ \nu_{\alpha} $在$ u_2 $上稠密.

第二步:由引理2.6,对于任意的$ \beta >0 $,令$ w_0 = (1+\beta)u_2-\beta u_1 $, $ x\in V $,由迭代公式

$ \begin{eqnarray*} w_{n+1}(x) = \left\{ \begin{array}{lll} (-\Delta_{\omega})^{-1}e^{w_n(x)}, &x\in S, \\ 0, &x\in \partial S \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

所得函数序列$ \{w_{n}(x)\} $是一个单调递增的函数列.因为$ u_1(x) \ll u_2(x) \ll u_3(x), x \in S $,这样,可以适当选取$ \alpha $, $ \beta $,或者让$ \beta $充分小,使得$ \nu_0(x) \gg w_0(x), x \in S $.现假设$ \nu_{n}(x) \gg w_{n}(x), x \in S $,下证$ \nu_{n+1}(x) \gg w_{n+1}(x), x \in S $.事实上,由$ \{\nu_{n}\} $和$ \{w_{n}\} $的迭代公式可知

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta_{\omega}[\nu_{n+1}-w_{n+1}] = e^{\nu_{n}}-e^{w_{n}}, &x\in S, \\ \nu_{n+1}-w_{n+1} = 0, &x\in \partial S, \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

进而由引理2.3可知$ \nu_{n+1}(x) \gg w_{n+1} $,由数学归纳法可知, $ w_0 \ll w_1 \cdots \ll w_n \ll \cdots \ll \nu_{n} \ll\cdots \ll \nu_1 \ll \nu_0 $.这样蕴含着$ w_{n} $单调递增有上界$ \nu_0 $,所以其极限存在,记作

$ w_{\beta} = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} w_n. $

第三步:令$ D = [\omega_{0}, \nu_{0}] $,非线性算子$ F: D \rightarrow C_0(V) $上的一个连续增算子,且$ w_0 \leq F[w_0] $, $ F[v_0] \leq v_0 $,进而由文献[25,定理2.1] (或者文献[26-27])可知$ F $在$ D $内必存在唯一的极小不动点$ u_{*} $和极大不动点$ u^{*} $.显然$ \nu_0 > u^{*} $且$ [ u^{*}, \nu_{0}] $不存在不动点.这样就可以得到第二个三元组$ u_2 \ll u^{*} \ll u_3 $.再重复第一步和第二步的过程,可知存在不动点$ u^{*} $的上稠密不动点,这与$ [ u^{*}, \nu_{n}] $不存在不动点矛盾.证毕.

在讨论方程(1.2)解的渐近行为以前,先给出比较原理.比较原理是处理抛物方程问题是一个基础而有效的工具.在介绍比较原理之前,首先定义问题$ (1.2) $的上、下解的概念.

定义3.1  如果$ \overline{v}\in C(V)\times[0, T) $是一个正函数,若

(3.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} \overline{v_t}\geq\Delta_{\omega}\overline{v} +e^{\overline{v}}, \quad &x\in S \mbox{和}\ t\in (0, T), \\ \overline{v}(x, t)\geq 0, &x\in \partial S \mbox{和}\ t\in[0, T), \\ \overline{v}(x, 0) \geq v_0(x), &x\in S, \end{array} \right. \end{equation} $

则称$ \overline{v}(x, t) $为方程$ (1.2) $的上解.如果$ \underline{v}(x, t) $满足不等式$ (3.1) $中反向的不等号,则方程$ (1.2) $的下解.

接下来,给出方程$ (1.2) $的比较原理.

定理3.1  设$ \overline{v} $和$ \underline{v} $是问题$ (1.2) $的上解与下解,那么对于$ (x, t)\in V\times [0, T) $, $ \overline{v}(x, t) \geq \underline{v}(x, t) $.

证  对于任意$ 0\leq t_0<T $,设$ m = \min\limits_{S\times[0, t_0]}\{\overline{v}, \underline{v}\} $和$ M = \max\limits_{S\times[0, t_0]}\{\overline{v}, \underline{v}\} $,这里$ m, M $是正的常数.设$ V(x, t) = \underline{v} - \overline{v} $,对于任意$ x \in S $, $ V(x, 0) <0 $,通过对问题$ (1.2) $上下解的定义可知

(3.2) $ \begin{equation} V_t \leq\Delta_{\omega}V + (e^{\underline{v}}-e^{\overline{v}}). \end{equation} $

令$ V^{+}(x, t) = \max\{v(x, t), 0\}\geq 0 $, $ (3.2) $式两边同乘$ V^{+} $并且在$ S $进行积分,可得

(3.3) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\left(\int_{x\in S}(V^{+}(x, t))^2\right)_t \\ \leq \int_{x\in S}\Delta_{\omega}V(x, t)V^{+}(x, t) + \int_{x\in S}(e^{\underline{v}}-e^{\overline{v}}) V^{+}(x, t). \end{equation} $

对上式的不等式$ (3.3) $右边第一部分,得到

(3.4) $ \begin{equation} \int_{x\in S}\Delta_{\omega}V(x, t)V^{+}(x, t)\leq 0. \end{equation} $

事实上,令$ J(t) = \{x\in V: V(x, t)>0\} $,如果$ J(t) $为空集合,此定理自然得证.现在,假设$ J(t) $为非空集合,因为对于任意$ x \in \partial S $和$ 0\leq t \leq t_0 $, $ \underline{v}(x, t) \leq 0 $, $ \overline{v}(x, t) \geq 0 $,所以对于任意$ x \in \partial S $和$ 0\leq t \leq t_0 $, $ V(x, t) = \underline{v}(x, t) - \overline{v}(x, t) \leq 0 $.现在,得到$ J(t) \subset S $.因此,如果$ x \in J(t) $和$ y\in V \setminus J(t) $,得到$ V(x, t) > 0 $和$ V(y, t)-V(x, t) < 0 $,因此,可得

(3.5) $ \begin{equation} \sum\limits_{x\in J(t)}\sum\limits_{y\in V \setminus J(t)}V(x, t)[V(y, t)-V(x, t)]\omega(x, y)<0. \end{equation} $

进一步,得到

(3.6) $ \begin{eqnarray} & &\sum\limits_{x\in S}\sum\limits_{y\in V}V^+(x, t)[V(y, t)-V(x, t)]\omega(x, y)\\ & = &\sum\limits_{x\in J(t)}\sum\limits_{y\in J(t)}V(x, t)[V(y, t)-V(x, t)]\omega(x, y)\\ &&+\sum\limits_{x\in J(t)}\sum\limits_{y\in V \setminus J(t)}V(x, t)[V(y, t)-V(x, t)]\omega(x, y)\\ & = &-\frac{1}{2}\sum\limits_{x\in J(t)}\sum\limits_{y\in J(t)}[V(y, t)-V(x, t)]^2\omega(x, y)\\ &&+\sum\limits_{x\in J(t)}\sum\limits_{y\in V \setminus J(t)}V(x, t)[V(y, t)-V(x, t)]\omega(x, y)< 0. \end{eqnarray} $

另一方面,对于任意$ x\in S $,通过中值定理,得到

$ e^{\underline{v}}-e^{\overline{v}} = e^{\xi(x, t)} V(x, t), $

这里$ \xi(x, t) = \theta(x)\underline{v}(x, t)+(1-\theta(x))\overline{v}(x, t) $和$ 0\leq \theta(x)\leq 1 $,因此$ m \leq \xi(x, t) \leq M $.进而,得到

(3.7) $ \begin{equation} \int_{x\in S}(e^{\underline{v}}-e^{\overline{v}}) V^{+}(x, t) \leq e^{M}\int_{x\in S}(V^{+}(x, t))^2. \end{equation} $

通过$ (3.3) $, $ (3.4) $和$ (3.7) $式,得到

(3.8) $ \begin{equation} \left(\int_{x\in S}(V^{+}(x, t))^2\right)_t \leq 2e^{M}\int_{x\in S}(V^{+}(x, t))^2. \end{equation} $

设$ L(t) = \int_{x\in S}(V^{+}(x, t))^2 $,于是有$ L'(t) \leq k L(t) $,这里$ k = 2e^{M} $.因为$ V^{+}(x, 0) = 0 $,于是$ L(0) \equiv 0 $,可以推出$ V^{+}(x, t) = 0 $即有$ \overline{v} \geq \underline{v} $.证毕.

定理3.2  令$ W(x, t) = v_t(x, t) $,那么$ W(x, t) $满足

(3.9) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} W_t = \Delta_{\omega}W +e^{v}W, \quad &x\in S, t\in (0, T), \\ W(x, t) = 0, &x\in \partial S, t\in [0, T), \\ W(x, 0) = v_{t}(x, 0), &x\in S, \end{array} \right. \end{equation} $

若$ v_{t}(x, 0) \geq 0 $,则对于任意$ (x, t)\in S\times (0, T) $有$ W(x, t) = v_t(x, t) \geq 0 $.反之,若$ v_{t}(x, 0) \leq 0 $,则对于任意$ (x, t)\in S\times(0, T) $有$ W(x, t) = v_t(x, t) \leq 0 $.

证  若$ v_{t}(x, 0) \geq 0 $,则$ 0 $可以看做初值问题$ (3.9) $的一个下解,由比较原理可知, $ W(x, t) = v_t(x, t) \geq 0 $.反过来,若$ v_{t}(x, 0) \leq 0 $,则$ 0 $可以看做初值问题$ (3.9) $的一个上解,由比较原理可知, $ W(x, t) = v_t(x, t) \leq 0 $.证毕.

接下来,给出方程$ (1.1) $解的存在性和方程$ (1.2) $解的渐近行为之间的关系.

定理3.3  如果$ \Phi $是空集,那么方程$ (1.2) $的解在有限时间爆破或者随着$ t\rightarrow\infty $,其解将收敛到$ +\infty $,即有$ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}||v(x, t)||_{\infty}\rightarrow +\infty $.

证  假设$ v_0(x)\geq 0 $,由定理3.2可知, $ v(x, t), t\in [0, T) $是一个递增函数,若$ v(x, t) $有界,那么$ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}v(x, t) = v(x) $,则$ v(x)\in \Phi $,这与$ \Phi $是空集矛盾.证毕.

定理3.4  若$ \Phi $是非空集合,令$ U \in\Phi $是方程$ (1.1) $极小解,如果初值$ v_0(x)\leq U $,那么方程$ (1.2) $的解$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}v(x, t) = U $.

证  容易验证$ U(x) $是方程$ (1.2) $的上解,若$ v(x, t) $是方程的解,则由比较原理可得$ v(x, t) \leq U(x) $,所以$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}v(x, t) = v^{*}(x) \in \Phi $存在,且$ v^*(x) \leq U(x) $.另一方面, $ U(x) $是方程$ (1.1) $的极小解,所以可得$ U(x) \leq v^{*}(x) $,进而$ v^{*}(x) = U(x) $.证毕.

定理3.5  若方程$ (1.1) $解不唯一,设$ U $是方程$ (1.1) $极小解和$ \varphi $是方程$ (1.1) $任意一个解且$ \varphi\not \equiv U $,那么

(ⅰ)如果方程$ (1.2) $的初值$ v_0(x) \gg \varphi $,方程$ (1.2) $的解$ v(x, t) $在有限时间爆破或者$ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty} v(x, t) = + \infty $.

(ⅱ)如果方程$ (1.2) $的初值$ v_0(x)\ll\varphi $,方程$ (1.2) $的解$ v(x, t) $满足$ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty} v(x, t) = U(x) $.

证  因为$ v_0(x) \gg \varphi $,则$ \varphi $是方程$ (1.2) $的下解,由比较原理可知$ v(x, t) \gg \varphi $,若$ v(x, t) $有界,则可令$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}v(x, t) = v^{*}(x) \in \Phi $且$ v^{*} \gg\varphi $.另一方面, $ U(x) \in \Phi $是方程$ (1.1) $的极小解,故可得$ U \ll \varphi \ll v^{*} $,这与定理2.4矛盾.故(i)得证.

接下来,证明(ⅱ).因为$ v_0(x) \ll \varphi \in \Phi $,所以$ \varphi $是方程$ (1.2) $的上解,由比较原理可知$ v(x, t) \ll \varphi $,进而可令$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}v(x, t) = v^{**}(x) \in \Phi $且$ v^{**} \ll\varphi $.另一方面, $ U(x) \in \Phi $是方程$ (1.1) $的极小解,若$ U(x) \ll v^{**} $,那么存在三元组$ U(x) \ll v^{**} \ll \varphi $,这与定理2.4矛盾.故(ⅱ)得证.证毕.

本文主要讨论了带有指数型非线性项的离散泊松方程和离散热方程解的存在性之间的关系,在指数型非线性项的离散泊松方程解存在的基础上,进一步利用比较原理得到了相应的带有指数型非线性项的离散热传导方程解的性质.对于带有指数型非线性项的离散泊松方程解的个数的讨论以及相应的离散热传导方程解的爆破时间估计、爆破速率和爆破点集等问题的研究,将在另文中给出.