文中用$M(u)$和$N(v)$表示互余的N函数,关于N -函数的定义及其性质参见文献[1].由文献[1]知, $M(u)$为N -函数当且仅当存在定义在$[0, +\infty)$上的实值函数$p(t)$,使得$M(u) = \int_{0}^{|u|} p(t)\, {\rm d}t$,其中$p(t)$满足下列条件

$1^\circ$$p(t)$为右连续的单调递增函数;

$2^\circ$当$t>0$时, $p(t)>0$;

$3^\circ$$p(0) = 0$, $p(+\infty) = +\infty$.

这时$p(u)$为$M(u)$的右导数.文中由N -函数$N(u)$生成的Orlicz类$L_{N}$是指满足

的可测函数的全体$\{u(x)\}$;由N -函数$M(u)$生成的Orlicz空间$L^{\ast}_{M}$是指具有有限的Orlicz范数

的可测函数的全体$\{u(x)\}$.在$L^{\ast}_{M}$上还可以赋予与Orlicz范数$(1.1)$等价的Luxemburg范数

以下分别用$L^{\ast}_{M}$和$L^{\ast}_{(M)}$表示带有Orlicz范数(1.1)和Luxemburg范数(1.2)的Orlicz空间.由文献[1]知, Orlicz范数(1.1)也可以由下式计算

且存在$k>0$,满足$\int_{0}^{2\pi} N(p(k|u(x)|))\, {\rm d}x = 1$,使得

由文献[2]有如下定义.

定义1.1  设$\Lambda\subset X$是一中心对称集, $\Lambda$在$X$内的n维Kolmogorov宽度定义为

其中$\|\cdot\|_{X}$是$X$内的范数, $L_{n}$是$X$中任一n维线性子空间.简称n-K宽度.能使(1.4)式内下确界实现的任一n维线性子空间$L_{n}^{o}$称为$\Lambda$在$X$内的n-K宽度的极子空间.

定义1.2  设$\Lambda\subset X$是一中心对称集, $\Lambda$在$X$内的n维Gelfand宽度为

其中$L^{n}$是$X$中任一n余维子空间.简称n-G宽度.能使(1.5)式内下确界实现的任一n余维线性子空间都称为$\Lambda$在$X$内的n-G宽度的极子空间.

定义1.3  设$\Lambda\subset X$是一中心对称集, $\Lambda$在$X$内的$n$维Linear宽度为

其中A是${\rm span}\{\Lambda\}\rightarrow\Lambda$的任意一个线性有界算子.简称n-L宽度.能使(1.6)式内下确界实现的任一n维线性子空间$L_{n}^{o}$称为$\Lambda$在$X$内的n-L宽度的极子空间.而对一个确定的极子空间$L_{n}^{o}$,把可以实现下确界的线性有界算子称作$\Lambda$的n-L宽度的最佳线性算子.

定义1.4  设$\Lambda\subset X$是一中心对称闭凸集. $n\geq1, L_{n}\subset X$是一n维线性子空间.称

是$L_{n}$与$\Lambda$的截集的内切球半径.当不存在正的$\varepsilon$,使$\varepsilon B_{X}\cap L_{n}\subset\Lambda$成立时,规定$\beta = 0$.变动$L_{n}$,使$\beta$尽量大,这就导致定义

为$\Lambda$在$X$内的n维Bernstein宽度.简称n-B宽度.如果存在$X$的一个n维线性子空间$L_{n}^{o}$使(1.7)式中的上确界达到,就称其为$\Lambda$在$X$内的n-B宽度的极子空间.

给定$r$次实系数多项式

其中, $k\geq0$, $\lambda_{j}, \alpha_{s}, \beta_{s}\in R$, $\beta_{s}>0$,令$\beta = \max_{1\leq s\leq k}\beta_{s}$.

$\tilde{W}^r$代表满足$f^{(r-1)}$绝对连续且以$2\pi$为周期的连续函数.记

这里, $G_{r}(x) = \frac{1}{2\pi}\sum\limits^{+\infty}_{v = -\infty} \frac{{\rm e}^{{\rm i}vx}}{P_{r}({\rm i}v)}, {\rm i} = \sqrt{-1}$, $\sum\prime$表示当$P_{r}(0) = 0$时,缺$v = 0$的项.为了计算方便,规定:除0以外的任意虚整点i$k\ (k = \pm1, \pm2, \cdots)$都不是$P_{r}(\lambda) = 0$的根.则$G_{r}(x)$为对应算子$P_{r}(D)$的广义Bernoulli核.

房艮孙在文献[3]中给出$m_{r, \infty}$的渐进宽度的同时,引出了$\tilde{m}_{r, \infty}$类.随后毕宁在文献[4]中定义了$\tilde{m}_{r, p}$类,并讨论了$\tilde{m}_{r, p}$在$L_{p}$空间内的Kolmogorov宽度、Gelfand宽度、Linear宽度和Bernstein宽度,得到了$0<\beta<\frac{1}{4}$, $0<p<\infty$, $n\geq1$时, $\tilde{m}_{r, p}$类的2n宽度的精确估计和相应的极子空间.以上学者们都是在$L_{p}$空间中计算函数类的宽度,本文主要在Orlicz空间中研究新定义的函数类$\tilde{m}_{r, M}$的宽度问题,利用Bernstein宽度可以控制Kolmogorov宽度和Gelfand宽度的下方估计,以及Linear宽度可以控制Kolmogorov宽度和Gelfand宽度的上方估计的思想,通过计算Bernstein宽度的下方估计和Linear宽度的上方估计来得到该函数类在Orlicz空间内的n-K宽度, n-G宽度, n-L宽度, n-B宽度的精确值,并给出了相应的极子空间.

设$D_{n} = \{h(x)|h(x+\frac{\pi}{n}) = -h(x), x\in \mathbb{R}\}, \{r+\frac{i-1}{n}\pi\}_{i = 1}^{2n}$为

的单个零点(参见文献[5]).

引理2.1  对$n\geq1$,存在$h_{n}\in D_{n}$, $\| h_{n}\|_{M} = 1$, $\lambda_{n}>0$,使

且

证  设$\lambda_{n} = {\rm sup}\{\| G_{r}\ast h\|_{M}| \|h\|_{M}\leq1, h\in D_{n}\}$,则存在$\{f_{m}\}_{m = 1}^{\infty}\subset D_{n}$,且$\|f_{m}\|_{M}\leq1$,满足

由文献[6]中性质2,性质4知:存在子序列$\{f_{m_{j}}\}_{j = 1}^{\infty}$及$g\in L_{M}^{\ast}[0, 2\pi]$, $\|g\|_{M}\leq1$,使得对任意$s\in L_{(N)}^{\ast}[0, 2\pi]$,有

这里,特别取$s(y) = G_{r}(x-y)$,结合Lebesgue控制收敛原理,得

现把$g(x)$以$2\pi$为周期延拓至$\mathbb{R}$,依然记作$g(x)$,要证$g\in D_{n}$.

取任意$s\in L_{(N)}^{\ast}[-2\pi, 2\pi]$,由

两边同时取极限,再做变量替换,令$x = x+\frac{\pi}{n}$,有

即

特别取$s(x) = {\rm sgn}\big(g(x)+g\big(x+\frac{\pi}{n}\big)\big)$,有

因此可得$g\in D_{n}$.取$h_{n}(x) = g(x)$,显然有$\|h_{n}\|_{M} = 1$.任意$h(x)\in D_{n}$,考虑

明显$\frac{{\rm d}F}{{\rm d}t}|_{t = 0} = 0$.结合文献[7]即可算得

令

简单计算可得

同证明$g\in D_{n}$的方法一致,易证得

取$h(y) = H_{n}(y)$,得$H_{n}(y) = 0,$ a.e..再连续化,有$H_{n}(y) = 0$,且$h(x)$连续.

引理2.2^[4]  若$[a, b]\subset[0, \frac{\pi}{n}]$, $0<\beta<1$, $f\in C^{r-1}$, $f(a) = 0$, $f^{(i)}(b) = 0, i = 0, 1, \cdots, r-1$,则存在$\xi\in[a, b]$,使得

其中, $D = \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}$.

设$S_{2n, r-1}$为广义周期样条类(参见文献[8]),令

则

引理2.3  若$0<\beta<\frac{1}{4}$, $n\geq1$,那么引理1中的$h_{n}(x)$在$[0, 2\pi)$内,有

1) $h_{n}(x)$仅以$\{\frac{i-1}{n}\pi\}_{i = 1}^{2n}$为其单零点;

2) $G_{r}\ast h_{n}(x)$仅以$\{r+\frac{i-1}{n}\pi\}_{i = 1}^{2n}$为其单零点.

证  由$S_{2n, r-1}$对周期函数在$\{r+\frac{i-1}{n}\pi\}_{i = 1}^{2n}$插值的存在唯一性,有

记

由文献[4]有,对于每个固定的$y\notin\{\frac{i-1}{n}\pi\}_{i = 1}^{2n}$, $\hat{K}_{r}(x, y)$作为$x$的函数在$[0, 2\pi)$内仅以$\{r+\frac{i-1}{n}\pi\}_{i = 1}^{2n}$为其单零点,对于每个固定的$x\notin\{r+\frac{i-1}{n}\pi\}_{i = 1}^{2n}$, $\hat{K}_{r}(x, y)$作为$y$的函数在$[0, 2\pi)$内仅以$\{\frac{i-1}{n}\pi\}_{i = 1}^{2n}$为其单零点.

因为$\hat{G}_{r}\ast h_{n}^{\alpha}(x+\frac{\pi}{n}) = -\hat{G}_{r}\ast h_{n}^{\alpha}(x)$,故存在$\alpha_{1}\in R$,使得$\{r+\frac{i-1}{n}\pi\}_{i = 1}^{2n}$为$\hat{G}_{r}\ast h_{n}^{\alpha_{1}}(x)$的零点,并且

令

类似引理2.1的证明,存在$\hat{h}_{n}\in D_{n}$, $\|\hat{h}_{n}\|_{M} = 1$,有

而

因为前面${\rm sup}$达到的$\hat{h}_{n}(x)$,满足$\hat{h}_{n}(x)\geq0$,所以后面${\rm sup}$达到的$\tilde{h}_{n}(x)$,满足$\tilde{h}_{n}(x){\rm sgn} {\rm sin}nx\geq0$,即在$[0, 2\pi)$内$\hat{h}_{n}(x)$只在$\{\frac{i-1}{n}\pi\}_{i = 1}^{2n}$处变号.又因$\hat{G}_{r}\ast \hat{h}_{n}^{\alpha}(x+\frac{\pi}{n}) = -\hat{G}_{r}\ast \hat{h}_{n}^{\alpha}(x)$,故存在$\alpha_{2}\in \mathbb{R}$,使得

从而$\lambda_{n} = \hat{\mu}_{n}$.即$h_{n}(x)\in D_{n}$,满足$h_{n}(x){\rm sgn} {\rm sin}nx\geq0$.由(2.1)式,有: $h_{n}(x)$无零区间,当且仅当$G_{r}\ast h_{n}(x)$无零区间.故若$h_{n}(x)$无零区间,但除$\{\frac{i-1}{n}\pi\}_{i = 1}^{2n}$外还有其他零点.令

则$F_{r}(y)$至少有$2n+2$个零点,由文献[9]中Rolle定理,知

其中, $S_{c}^{-}$为循环变号数.再利用Rolle定理,有

矛盾.若$h_{n}(x)$存在零区间,即存在$0\leq a<b\leq\frac{\pi}{n}$,使$h_{n}(x) = 0$, $x\in[a, b]$, $[a, b]$必须是$[0, \frac{\pi}{n}]$的真子空间,因此$0<a$或$b<\frac{\pi}{n}$.我们讨论$0<a$的情况, $b<\frac{\pi}{n}$的情况类似.

因为$h_{n}(x)\geq0$,所以$x\in[0, \frac{\pi}{n}]$,故存在$0\leq c<a$,使$h(x)>0$, $x\in(c, a)$; $h_{n}(x) = 0$, $x\in[a, b]$; $h(c) = 0$;因为$F_{r}^{(j)}(a) = 0, j = 0, 1, \cdots, r-1$, $F_{r}(c) = 0$,所以利用引理2.2可得,存在$c<\xi<a$,使得$P_{r}^{\ast}(D)F_{r}(\xi) = 0 = G_{r}\ast h_{n}(\xi).$又因为

所以$G_{r}\ast h_{n}(\xi) = 0,$$\frac{{\rm d}^{v}}{{\rm d}x^{v}}G_{r}\ast h_{n}(x)|_{x = a} = 0, v = 0, 1, \cdots, r-1.$同理,存在$\xi<\eta<a$,使得$P_{r}(D)G_{r}\ast h_{n}(\eta) = h_{n}(\eta) = 0$,这与$h_{n}(x)>0$, $x\in(c, a)$矛盾.因此,在$[0, 2\pi)$内, $h_{n}(x)$的单零点只有$\{\frac{i-1}{n}\pi\}_{i = 1}^{2n}$.

$G_{r}\ast h_{n}(x)$的情况,同理可得.

由引理2.1–2.3得命题2.4.

命题2.4  $M(u)$是给定的N函数, $p(u)$是$M(u)$的右导数.当$0<\beta<\frac{1}{4}$, $n\geq1$时,存在$h_{n}(x)\in D_{n}$, $\lambda_{n}>0$,满足

且

1) $h_{n}(x)$连续;

2)在$[0, 2\pi)$内, $h_{n}(x)$仅以$\{\frac{i-1}{n}\pi\}_{i = 1}^{2n}$为其单零点, $G_{r}\ast h_{n}(x)$仅以$\{r+\frac{i-1}{n}\pi\}_{i = 1}^{2n}$为其单零点.

定义$A_{2n}$为$\tilde{m}_{r, M}$在$S_{2n, r-1}$上以$\{r+\frac{i-1}{n}\pi\}_{i = 1}^{2n}$为插值结点的插值算子.

定理3.1  当$0<\beta<\frac{1}{4}$, $n\geq1$时,有

且

1) $S_{2n, r-1}$为$d_{2n}(\tilde{m}_{r, M}; L_{M}^{\ast})$的极子空间;

2) $L_{2n}^{\ast} = \{f\in\tilde{m}_{r, M}|f(r+\frac{i-1}{n}\pi) = 0, i = 1, \cdots, 2n\}$为$d^{2n}(\tilde{m}_{r, M}; L_{M}^{\ast})$的极子空间;

3) $A_{2n}$为$d_{2n}\prime(\tilde{m}_{r, M}; L_{M}^{\ast})$的最佳线性算子;

4) $Y_{2n} = {\rm span}\{\int_{\frac{i-1}{n}\pi}^{\frac{i}{n}\pi} G_{r}(x-y)|h_{n}(y)|\, {\rm d}y, i = 1, \cdots, 2n\}$为$b_{2n}(\tilde{m}_{r, M}; L_{M}^{\ast})$的极子空间.

取任意$0<\sigma<\frac{\pi}{n}$,规定$\xi_{0} = 0$, $\xi_{1} = \sigma$, $\xi_{2} = \sigma+\frac{\pi}{n}, \cdots, \xi_{2n} = \sigma+\frac{2n-1}{n}\pi$, $\xi_{2n+1} = 2\pi$, $h_{n}^{\sigma}(x)\triangleq h_{n}(x-\sigma)$,

引理3.2^[4]  当$0<\sigma<\frac{\pi}{n}$, $0<\beta<\frac{1}{4}$, $n\geq1$时, $g_{0}^{\sigma}(x), g_{1}^{\sigma}(x), g_{2}^{\sigma}(x), \cdots, g_{2n}^{\sigma}(x)$为一组WT系.

引理3.3

证  因为$f_{i}^{\sigma}(x)\Rightarrow f_{i}(x), i = 1, \cdots, 2n$, $f_{0}^{\sigma}(x)\Rightarrow0 (\sigma\rightarrow0)$.所以$g_{i}^{\sigma}(x)$一致收敛到$g_{i}(x), i = 1, \cdots, 2n$, $g_{0}^{\sigma}(x)$一致收敛到$0(\sigma\rightarrow0)$.从而,得

证毕.

引理3.4  当$0<\beta<\frac{1}{4}$, $n\geq1$时,有

证  设$\inf\limits_{C_{i}\neq0\atop i = 0, \cdots, 2n} \frac{\big\|\sum\limits_{i = 1}^{2n}C_{i}g_{i}\big\|_{M}}{\big\|\sum\limits_{i = 1}^{2n}C_{i}f_{i}\big\|_{M}} = \frac{\big\|\sum\limits_{i = 1}^{2n}\bar{C}_{i}g_{i}\big\|_{M}}{\big\|\sum\limits_{i = 1}^{2n}\bar{C}_{i}f_{i}\big\|_{M}} = \bar{\mu}_{n}$, $\bar{g}(x) = \sum\limits_{i = 1}^{2n}\bar{C}_{i}g_{i}(x)$, $\bar{f}(x) = \sum\limits_{i = 1}^{2n}\bar{C}_{i}f_{i}(x)$, $|\bar{C}_{i}|\leq1, i = 1, \cdots, 2n$.且存在$1\leq i_{0}\leq2n$,使$\bar{C}_{i_{0}} = (-1)^{i_{0}-1}$.利用反证法,假设$\bar{\mu}_{n}<\lambda_{n}$,因为

对$\bar{C}_{i_{0}}$作微小$\varepsilon$ -摄动,得$\bar{g}^{\varepsilon}(x)$,利用Rolle定理,有

由于

严格交错变号,这里$k = 1, \cdots, 2n$, $0<\beta_{k} = \int_{\frac{k-1}{n}\pi}^{\frac{k}{n}\pi} M(|h_{n}(x))|\, {\rm d}x$.而

$k = 1, \cdots, 2n$.因为$g_{k}^{\sigma}(x)$一致收敛到$g_{k}(x)$, $\sigma\rightarrow0$, $k = 1, \cdots, 2n$, $\bar{g}^{\varepsilon}(x)$一致收敛到$\bar{g}(x)$, $\varepsilon\rightarrow0$,所以由$\sigma$、$\varepsilon$的任意性,令它们充分小,有

严格交错变号.如果

则取$g_{0}^{\ast}(x) = g_{0}^{\sigma}(x)+g_{k}^{\ast}(x)$, $g_{k}^{\ast}(x) = g_{k}^{\sigma}(x)$, $k = 1, \cdots, 2n$.如果

则取$g_{0}^{\ast}(x) = g_{0}^{\sigma}(x)$或$-g_{0}^{\sigma}(x)$, $g_{k}^{\ast}(x) = g_{k}^{\sigma}(x)$, $k = 1, \cdots, 2n$.使得

严格交错变号,其中$\{g_{0}^{\ast}(x), \cdots, g_{2n}^{\ast}(x)\}$为WT系.根据引理3.2和文献[9]中的性质3.6(2),有

与(3.1)式矛盾.即证得$\bar{\mu}_{n}\geq\lambda_{n}$.

引理3.5  如果满足定理条件,则

证  反证法,假设$b_{2n}(\tilde{m}_{r, M}; L_{M}^{\ast})<\lambda_{n}$,存在$\tau>0$,使得$b_{2n}(\tilde{m}_{r, M}; L_{M}^{\ast})<\lambda_{n}-\tau$,根据引理3.3,引理3.4,存在$0<\sigma<\frac{\pi}{n}$,使得

从而$b_{2n}(\tilde{m}_{r, M}; L_{M}^{\ast})\geq\lambda_{n}-\tau$,出现矛盾.即证.

引理3.6^[9]  设$\Lambda$是线性赋范空间$X$上的一个中心对称的闭凸子集,则

引理3.7^[2]  对任意$\Lambda\subset X$,有

引理3.8  如果满足定理条件,则

证  仿照文献[9],再结合文献[10]即可证.

综合引理2.1–2.3及引理3.2–3.8,即可完成定理的证明.关于极子空间的论断只需一些简单的计算便可得.