本文研究带有未知内部扰动的星形Euler-Bernoulli梁网络的指数跟踪控制.拟跟踪的目标网络如下:

(1.1) $\begin{equation}\label{1} \left\{ \begin{array}{l} w_{j, tt}(x, t)+a_j^2w_{j, xxxx}(x, t)=d_j(x, t), x\in(0, 1), t>0, \\ w_1(0, t)=w_2(0, t)=w_3(0, t), \\ a_1^2w_{1, xxx}(0, t)+a_2^2w_{2, xxx}(0, t)+a_3^2w_{3, xxx}(0, t)=0, \\ w_{j, xx}(0, t)=0, \\ w_{j, xx}(1, t)=0, \\ w_{j, xxx}(1, t)=0, \\ w_j(x, 0)=w_j^0(x), w_{j, t}(x, 0)=w_j^1(x), j=1, 2, 3, \end{array} \right. \end{equation}$

其中$d_j(x, t)$表示未知的内部扰动,它满足性质$M_j:=\sup\limits_{t\geq0}\| d_j(t)\| _{L^2[0, 1]}<\infty, j=1, 2, 3$.

近年来,由于应用范围较广(如计算机技术、机器人、生物学、军事等),跟踪控制研究受到诸多学者的重视.通常,根据不同的实际背景和研究需求,目标网络由常微分方程(ODE)或偏微分方程(PDE)描述.对ODE情形,跟踪控制研究已有很多好的成果,参见文献[1-3].而近来更多学者着手研究PDE情形,如热方程、波方程、$\!\!$Euler-Bernoulli方程,这是因为PDE对系统的描述更加精确.例如,文献[4-6]分别运用线性矩阵不等式与滑模控制方法研究了热方程网络的同步问题.文献[7]设计了后步状态观测器,用于跟踪高维热方程网络的动态行为.文献[8-9]研究了基于PDE方法的多智能体系统跟踪控制.文献[10]在某类特殊初值条件下,对Euler-Bernoulli梁设计了能够以渐近速度进行跟踪的控制方案.

由于在实际中,系统无法避免会受到来自外部或内部的未知扰动,这有可能使系统行为受到影响.因此,对跟踪控制的研究必须将扰动考虑在内.而对PDE跟踪控制,如果考虑到扰动,控制设计必须做到两点:一是确保跟踪系统以足够快的速率跟踪目标系统.二是要消除扰动引起的不确定性.一般来说,消除不确定性有两种有效方法:滑模控制(SMC)与自抗扰控制(ADRC),这方面已有不少好的结果. SMC方法(见参考文献[11])本是处理ODE的有力工具且具有很多优势,所以很多学者尝试将这种方法移植到对PDE的控制设计中.例如,文献[12]将SMC用于带有未知内部扰动的波方程的控制,文献[13]针对带有边界输入扰动的一阶线性双曲系统给出了其指数镇定的一阶滑模控制器,文献[14]研究了带有边界不确定性的双曲型偏微分方程的鲁棒边界镇定,文献[15]考虑了带有输入扰动的扩散型PDE网络的同步控制,文献[16]应用SMC研究了带有内部扰动的Timoshenko梁的指数稳定性,文献[17-18]运用SMC控制思想讨论了带有边界扰动的ODE-波方程串联系统和热PDE-ODE串联系统的镇定.

ADRC方法最早由韩京清在文献[19]中提出,用于解决带有不确定性的ODE的控制.此后有众多学者尝试将此方法用于对PDE的研究.例如,文献[20]运用ADRC方法研究了带有边界输入扰动的热方程-ODE耦合的系统的镇定.文献[21-23]对带有边界输入扰动的波方程、Euler-Bernoulli梁方程、薛定谔方程,分别运用SMC和ADRC给出了不同的控制方案.

尽管结果已相对较多,然而就作者所知,对于诸如网络(1.1)的带有未知分布扰动的Euler-Bernoulli梁网络,尚未实现其快速跟踪控制.本文将对网络(1.1)设计一种非线性的滑模控制方案,以使其能够以任意速率实现指数速度的跟踪.具体的设计思想如下.

根据目标网络(1.1)的结构特点,首先设计跟踪网络为

(1.2) $\begin{equation}\label{2}\left\{\begin{array}{l}\widetilde w_{j, tt}(x, t)+a_j^2\widetilde w_{j, xxxx}(x, t)=0, x\in(0, 1), t>0, \\\widetilde w_1(0, t)=\widetilde w_2(0, t)=\widetilde w_3(0, t), \\a_1^2\widetilde w_{1, xxx}(0, t)+a_2^2\widetilde w_{2, xxx}(0, t)+a_3^2\widetilde w_{3, xxx}(0, t)=0, \\\widetilde w_{j, xx}(0, t)=0, \\\widetilde w_{j}(1, t)=0, \\\widetilde w_{j, x}(1, t)=0, \\\widetilde w_j(x, 0)=\widetilde w_j^0(x), \widetildew_{j, t}(x, 0)=\widetilde w_j^1(x), j=1, 2, 3.\end{array}\right.\end{equation}$

本文的目标是设计一种控制方案,使得跟踪网络能够按任意速率以指数速度跟踪目标网络.注意到该问题与误差网络能够按任意速率指数镇定等价,其中误差是指

$e_j(x, t):=w_j(x, t)-\widetilde w_j(x, t).$

如果没有扰动,即$d_j(x, t)=0, j=1, 2, 3, $则可在网络(1.1)中取控制方案为

(1.3) $\begin{equation}\label{3} \left\{\begin{array}{l} a_j^2w_{j, xx}(1, t)=-\alpha_jw_{j, xt}(1, t)+a_j^2\widetilde w_{j, xx}(1, t), \\ a_j^2w_{j, xxx}(1, t)=-\beta_jw_{j, t}(1, t)+a_j^2\widetilde w_{j, xxx}(1, t), j=1, 2, 3, \end{array}\right. \end{equation}$

其中$\alpha_j, \beta_j>0, j=1, 2, 3$为反馈增益常数.于是由(1.1)-(1.3)式可得如下误差网络

(1.4) $\begin{equation}\label{4} \left\{ \begin{array}{l} e_{j, tt}(x, t)+a_j^2e_{j, xxxx}(x, t)=0, x\in(0, 1), t>0, \\ e_1(0, t)=e_2(0, t)=e_3(0, t), \\ a_1^2e_{1, xxx}(0, t)+a_2^2e_{2, xxx}(0, t)+a_3^2e_{3, xxx}(0, t)=0, \\ e_{j, xx}(0, t)=0, j=1, 2, 3, \\ a_j^2e_{j, xx}(1, t)=-\alpha_je_{j, xt}(1, t), \\ a_j^2e_{j, xxx}(1, t)=-\beta_je_{j, t}(1, t), \\ e_j(x, 0)=w_j^0(x)-\widetilde w_j^0(x):=e_j^0(x), \\ e_{j, t}(x, 0)=w_j^1(x)-\widetilde w_j^1(x):=e_j^1(x), j=1, 2, 3. \end{array} \right. \end{equation}$

容易证明网络(1.4)指数稳定(参见文献[24]).这表明在控制方案(1.3)下,网络(1.2)能够以指数速度跟踪网络(1.1).

然而,如果考虑到系统中存在着扰动$d_j(x, t)$,就必须重新设计控制方案.本文运用SMC的控制设计思想,确定内部控制为

(1.5) $\begin{equation}\label{5}u_j(x, t)=-2\rho_j e_{j, t}(x, t)-(\rho_j^2+\rho_j)e_j(x, t)-M_j\frac{e_{j, t}(x, t)+\rho_j e_j(x, t)}{\| e_{j, t}(t)+\rho_je_j(t)\| _{L^2}}, \end{equation}$

其中$\rho_j>0$, $0<M_j=\sup\limits_{t\ge 0}\| d_j(t)\| _{L^2}<\infty$.

假设状态$\widetilde w_{j, xx}(1, t), \widetildew_{j, xxx}(1, t), j=1, 2, 3$可观,确定边界控制为

(1.6) $\begin{equation}\label{6}\left\{ \begin{array}{l}w_{j, xx}(1, t)=\widetilde w_{j, xx}(1, t), \\w_{j, xxx}(1, t)=\widetilde w_{j, xxx}(1, t), j=1, 2, 3.\end{array}\right.\end{equation}$

于是误差系统为

(1.7) $\begin{equation}\label{7}\left\{\begin{array}{l} e_{j, tt}(x, t)+a_j^2e_{j, xxxx}(x, t)=-2\rho_je_{j, t}(x, t)-(\rho_j^2+\rho_j) e_j(x, t)-M_j\frac{e_{j, t}(x, t)+\rho_je_j(x, t)}{\| e_{j, t}(t)+\rho_je_j(t)\| _{L^2}}\\\;\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad+d_j(x, t), x\in(0, 1), t>0, \\e_1(0, t)=e_2(0, t)=e_3(0, t), \\a_1^2e_{1, xxx}(0, t)+a_2^2e_{2, xxx}(0, t)+a_3^2e_{3, xxx}(0, t)=0, \\e_{j, xx}(0, t)=0, \\e_{j, xx}(1, t)=e_{j, xxx}(1, t)=0, \\e_j(x, 0)=e_j^0(x), e_{j, t}(x, 0)=e_j^1(x), j=1, 2, 3.\end{array}\right.\end{equation}$

本文将证明系统(1.7)可解且按任意速率指数镇定.事实上,对于系统(1.7)的能量泛函

(1.8) $\begin{equation}\label{9}E(t)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1[a_j^2|e_{j, xx}(x, t)|^2+|e_{j, t}(x, t)|^2]{\rm d}x, \end{equation}$

其中被积函数的两项分别表示势能和动能,后文将证明

$E(t)\leq C{\rm e}^{-2\rho t}E(0), $

其中$\rho=\min\{\rho_1, \rho_2, \rho_3\}$,而$C$是只与系统参数$\rho_j, a_j, j=1, 2, 3$有关的正常数.

由此可知,对任意$\eta>0$,只需在控制方案(1.5)中取控制常数$\rho_j>\eta, j=1, 2, 3$,就能够保证跟踪系统(1.2)按速率$\eta>0$以指数速度跟踪目标系统(1.1).

本文内容安排如下.第2节给出状态空间的合适范数并证明一些有用的引理.第3节利用单调算子理论证明系统(1.7)的可解性.第4节通过构造适当的Lyapunov函数证明系统(1.7)的指数稳定性.第5节对文章作出总结.

为了证明系统(1.7)的可解性和指数稳定性,需将系统(1.7)规范化到合适的Hilbert状态空间,并对空间构造适当的等价范数.本文用$L^2[0, 1]$表示1-维平方可积函数空间,内积为

$\langle f, g\rangle_{L^2}=\int_0^1f(x)g(x){\rm d}x, \forall \; f, g\in L^2[0, 1].$

它是Hilbert空间.同时用$H^k[0, 1]$表示1 -维的$k$阶导数平方可积的绝对连续函数构成的Sobolev空间,其内积为

$\langle f, g\rangle_{H^2}=a\langle f'', g''\rangle_{L^2}+\rho\langle f, g\rangle_{L^2}, \forall \; f, g\in H^2[0, 1], $

其中$c$和$\rho$为正常数.

令

$H_e^2[0, 1]=\left\{Y=\{y_j\}_{j=1}^3 \Big|\begin{array}{l}y_j\in H^2[0, 1], j=1, 2, 3\\y_1(0)=y_2(0)=y_3(0)\end{array}\right\}, $

其中$Y=\{y_j\}_{j=1}^3$表示函数向量,其分量为$y_1, y_2$和$y_3$.

定义系统(1.7)的状态空间为

${\cal H}=H_e^2[0, 1]\times\prod\limits_{j=1}^3L^2[0, 1], $

其内积为

$\langle(Y, Z), (F, G)\rangle_{{\cal H}}=\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1[a_j^2y''_j(x)f''_j(x)+z_j(x)g_j(x)+\rho_jy_j(x)f_j(x)]{\rm d}x, $

其中$(Y, Z)=(\{y_j\}_{j=1}^3, \{z_j\}_{j=1}^3), (F, G)=(\{f_j\}_{j=1}^3, \{g_j\}_{j=1}^3)\in{\cal H}$.

容易证明上述内积导出的范数与空间通常定义的范数等价.

注 2.1  由空间${\cal H}$的内积定义,可得$H_e^2[0, 1]$的等价范数.即对$Y=\{y_j\}_{j=1}^3\in H_e^2[0, 1]$,有

$\begin{eqnarray*}\| Y\| ^2_{H_e^2[0, 1]}&=&\sum\limits_{j=1}^3[a_j^2\| y''_j\| ^2_{L^2}+\rho_j\| y_j\| ^2_{L^2}]\\&=&\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1[a_j^2y''_j(x)y''_j(x)+\rho_jy_j(x)y_j(x)]{\rm d}x.\end{eqnarray*}$

在${\cal H}$中定义算子${\cal A}$为

(2.1) $\begin{equation}\label{3-1} D({\cal A})=\left\{(Y, Z)\in{\cal H}\left| \begin{array}{l} Y\in\prod\limits_{j=1}^3H^4[0, 1], Z\in H_e^2[0, 1]\\ a_1^2y'''_1(0)+a_2^2y'''_2(0)+a_3^2y'''_3(0)=0\\ y''_j(0)=y''_j(1)=y'''_j(1)=0, j=1, 2, 3 \end{array} \right.\right\}, \end{equation}$

对任一$(Y, Z)\in D({\cal A})$,

(2.2) $\begin{equation}\label{3-2-1} {\cal A}(Y, Z)=\left(\{z_j-\rho_jy_j\}_{j=1}^3, \{-a_j^2y^{(4)}_j-\rho_jy_j-\rho_jz_j-M_j\frac{z_j}{\| z_j\| _{L^2}}\}_{j=1}^3\right). \end{equation}$

记${\mathbbY}(t)=(\{e_j(x, t)\}_{j=1}^3, \{e_{j, t}(x, t)+\rho_je_j(x, t)\}_{j=1}^3)\in{\mathcal H}$,则系统(1.7)可写成如下等价的抽象发展方程

(2.3) $ \begin{equation}\label{3-2} \left\{\begin{array}{l} \frac{\rm d}{{\rm d}t}{\Bbb Y}(t)={\cal A}{\Bbb Y}(t)+{\cal D}(t), t>0, \\ {\Bbb Y}(0)={\Bbb Y}_0, \end{array}\right. \end{equation} $

其中${\cal D}(t)=(0, \{d_j(t)\}_{j=1}^3), {\mathbb Y}_0=(\{e_j^0(x)\}_{j=1}^3, \{e_j^1(x)+\rho_j e_j^0(x)\}_{j=1}^3)\in{{\cal H}}.$

下列有关(极大)单调算子的定义与性质对后文的证明有用.

定义 2.1^[25]  设${\Bbb X}$为实Banach空间, ${\Bbb X}^*$为其对偶,称集合$A\subset{\Bbb X}\times{\Bbb X}^*$(也即算子$A: {\Bbb X}\to 2^{{\Bbb X}^*}$)单调,如果

$ \langle x_1-x_2, y_1-y_2\rangle _{{\Bbb X}, {\Bbb X}^*}\geq0, \forall [x_i, y_i]\in A, i=1, 2. $

进一步地,称单调算子$A\subset{\mathbb X}\times{\Bbb X}^*$为极大单调,如果它不真包含于${\mathbb X}\times{\Bbb X}^*$的任何一个单调子集.

下面的引理给出了单调算子成为极大单调算子的充分条件.

引理 2.1^[25]  设${\Bbb X}$为实Hilbert空间, $A$为$\mathbb X\times{\Bbb X}$的单调子集, $I$是${\Bbb X}$上的恒等算子.若算子$I+A$的值域$R(I+A)$满足$R(I+A)={\Bbb X}$,则$A$是极大单调算子.

下一个引理表明,若系统算子为极大单调算子,则系统可解.

引理 2.2^[25]  设${\Bbb X}$为实Hilbert空间, $A\subset{\Bbb X}\times{\Bbb X}$是极大单调算子.考虑Cauchy问题

(2.4) $ \begin{equation}\label{E5.1} \left\{\begin{array}{l} \frac{\rm d}{{\rm d}t}y(t)+Ay(t)\ni f(t), t\in(0, T), \\ y(0)=y_0, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$y_0\in{\Bbb X}$, $f\in L^1(0, T;{\Bbb X})$.则对任一$y_0\in\overline{D(A)}$, $f\in L^1(0, T;{\Bbb X})$,系统(2.4)都存在唯一的温和解$y$.

定义 2.2^[26-27]  称一个泛函$\varphi: {\Bbb X}\to{\mathbb R}$在范数$\| \cdot\| $的意义下$\beta$ -强凸,如果对$\varphi$的定义域的相对内部的一切$x, y$,以及一切$s\in[0, 1]$,都有

$\varphi(sx+(1-s)y)\leq s\varphi(x)+(1-s)\varphi(y)-\beta s(1-s)\| x-y\| ^2.$

引理 2.3^[26]  若$\varphi: {\Bbb X}\to\mathbb R$是$\beta$ -强凸的泛函,则优化问题$\mathop {\min }\limits_{x\in D(\varphi)}\varphi(x)$存在唯一解.

定义 2.3^[28]  设$H$为Hilbert空间, $\varphi: H\to(-\infty, +\infty]$是真函数.定义$\varphi$在点$x$的次微分为如下向量值算子

$ \partial \varphi: H\to 2^H: x \mapsto\{u\in H\;|\;\langle y-x, u\rangle_H+\varphi(x)\leq \varphi(y), \ \forall x\in H \}. $

称$\varphi$在$x$点Gâteaux可微,如果存在唯一的向量$\nabla \varphi(x)\in H$,使得

$\langle y, \nabla \varphi(x)\rangle_H=\lim\limits_{s\to0}\frac{\varphi(x+s y)-\varphi(x)}{s}, \; \forall y\in H, $

并称$\nabla \varphi(x)$为$\varphi$在点$x$的Gâteaux梯度.

引理 2.4^[28]  设$H$为Hilbert空间, $\varphi: H\to(-\infty, +\infty]$为真函数.则

$\varphi(x^*)=\min\varphi(x)\Leftrightarrow 0\in\partial \varphi(x^*).$

进一步地,若$\varphi$是凸函数且在$x^*$点Gâteaux可微,则

$\varphi(x^*)=\min\varphi(x)\Leftrightarrow \nabla \varphi(x^*)=0.$

为证明可解性,我们需要做如下准备工作.

任取定$F=\{f_j\}_{j=1}^3, G=\{g_j\}_{j=1}^3\in\prod\limits_{j=1}^3L^2[0, 1]$.对任意的$Y=\{y_j\}_{j=1}^3\in H_e^2[0, 1]$,定义泛函$\Phi$如下

(2.5) $\begin{eqnarray}\label{E2.1}\Phi(Y)&=&\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^3a_j^2\| y''_j\| _{L^2}^2+\sum\limits_{j=1}^3\frac{\rho_j^2+3\rho_j+1}{2}\| y_j\| _{L^2}^2+\sum\limits_{j=1}^3\frac{M_j}{1+\rho_j}\| (1+\rho_j)y_j-f_j\| _{L^2}\cr&& -\sum\limits_{j=1}^3\langle(1+\rho_j)f_j+g_j, y_j\rangle_{L^2}.\end{eqnarray}$

可以证明有如下结论:

命题 2.1   设$\Phi(Y)$由(2.5)式定义,则$\Phi(Y)$在空间$H_e^2[0, 1]$的范数意义下是强凸函数.

证    任给$Y=\{y_j\}_{j=1}^3, Z=\{z_j\}_{j=1}^3\in H_e^2[0, 1]$以及$s\in[0, 1]$,有

$s\Phi (Y) + (1 - s)\Phi (Z) - \Phi (sY + (1 - s)Z)$

$\begin{eqnarray*}&=&s\left[\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^3a_j^2\| y''_j\| _{L^2}^2+\sum\limits_{j=1}^3\frac{\rho_j^2+3\rho_j+1}{2}\| y_j\| _{L^2}^2+\sum\limits_{j=1}^3\frac{M_j}{1+\rho_j}\| (1+\rho_j)y_j-f_j\| _{L^2}\right.\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}&&\left.-\sum\limits_{j=1}^3\langle(1+\rho_j)f_j+g_j, y_j\rangle_{L^2}\right]+(1-s)\left[\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^3a_j\| z''_j\| _{L^2}^2+\sum\limits_{j=1}^3\frac{\rho_j^2+3\rho_j+1}{2}\| z_j\| _{L^2}^2\right.\\\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}&&\left.+\sum\limits_{j=1}^3\frac{M_j}{1+\rho_j}\| (1+\rho_j)z_j-f_j\| _{L^2}-\sum\limits_{j=1}^3\langle(1+\rho_j)f_j+g_j, z_j\rangle_{L^2}\right]\\&&-\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^3a_j^2\| sy''_j+(1-s)z''_j\| _{L^2}^2-\sum\limits_{j=1}^3\frac{\rho_j^2+3\rho_j+1}{2}\| sy_j+(1-s)z_j\| _{L^2}^2\\&&-\sum\limits_{j=1}^3\frac{M_j}{1+\rho_j}\| (1+\rho_j)(sy_j+(1-s)z_j)-f_j\| _{L^2}\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}&&+\sum\limits_{j=1}^3\langle(1+\rho_j)f_j+g_j, sy_j+(1-s)z_j\rangle_{L^2}\\&=&\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^3a_j^2\left[s\| y''_j\| _{L^2}^2+(1-s)\| z''_j\| _{L^2}^2-\| sy''_j+(1-s)z''_j\| _{L^2}^2\right]\end{eqnarray*}$

$\begin{array}{l} + \sum\limits_{j = 1}^3 {\frac{{\rho _j^2 + 3{\rho _j} + 1}}{2}} \left[ {s\left\| {{y_j}} \right\|_{{L^2}}^2 + (1 - s)\left\| {{z_j}} \right\|_{{L^2}}^2 - \left\| {s{y_j} + (1 - s){z_j}} \right\|_{{L^2}}^2} \right]\\ + \sum\limits_{j = 1}^3 {\frac{{{M_j}}}{{1 + {\rho _j}}}} [s{\left\| {(1 + {\rho _j}){y_j} - {f_j}} \right\|_{{L^2}}} + (1 - s){\left\| {(1 + {\rho _j}){z_j} - {f_j}} \right\|_{{L^2}}}\end{array}$

$\begin{eqnarray*}&&-\| (1+\rho_j)(sy_j+(1-s)z_j)-f_j\| _{L^2}]\\&=&\frac{s(1-s)}{2}\sum\limits_{j=1}^3[a_j^2\| y''_j\| _{L^2}^2+\| z''_j\| _{L^2}^2-2\langle y''_j, z''_j\rangle_{L^2}]\end{eqnarray*}$

$ + \sum\limits_{j = 1}^3 {\frac{{{M_j}}}{{1 + {\rho _j}}}} [s{\left\| {(1 + {\rho _j}){y_j} - {f_j}} \right\|_{{L^2}}} + (1 - s){\left\| {(1 + {\rho _j}){z_j} - {f_j}} \right\|_{{L^2}}}$

$ + \frac{{s(1 - s)}}{2}\sum\limits_{j = 1}^3 {(\rho _j^2 + 3{\rho _j} + 1)[\left\| {{y_j}} \right\|_{{L^2}}^2} + \left\| {{z_j}} \right\|_{{L^2}}^2 - 2{\langle {y_j},{z_j}\rangle _{{L^2}}}]$

$ - {\left\| {s((1 + {\rho _j}){y_j} - {f_j}) + (1 - s)((1 + {\rho _j}){z_j} - {f_j})} \right\|_{{L^2}}}].$

注意到$L^2$ -范数是凸泛函,即$s\| y\| _{L^2}+(1-s)\| z\| _{L^2}\geq\| sy+(1-s)z\| _{L^2}$.令$y$为$(1+\rho_j)y_j-f_j$, $z$为$(1+\rho_j)z_j-f_j$,则由上述推导可得

$\begin{eqnarray*} &&s\Phi(Y)+(1-s)\Phi(Z)-\Phi(sY+(1-s)Z)\\ &\geq&\frac{s(1-s)}{2}\sum\limits_{j=1}^3a_j^2\| y''_j-z''_j\| _{L^2}^2+\frac{s(1-s)}{2}\sum\limits_{j=1}^3(\rho_j^2+3\rho_j+1)\sum\limits_{j=1}^3\| y_j-z_j\| _{L^2}^2. \end{eqnarray*}$

利用空间$H_e^2[0, 1]$中范数的定义(见注2.1),由上式可得

$ s\Phi(Y)+(1-s)\Phi(Z)-\Phi(sY+(1-s)Z)\geq\frac{Ms(1-s)}{2}\| Y-Z\| _{H_e^2[0, 1]}^2, $

其中$M$为正常数.

这表明$\Phi(Y)$为强凸泛函.

命题 2.2   设$\Phi(Y)$由(2.5)式定义,则对任取定的$F=\{f_j\}_{j=1}^3, G=\{g_j\}_{j=1}^3\in\prod\limits_{j=1}^3L^2[0, 1]$,变分方程

$-a_j^2y^{(4)}_j-(\rho_j^2+3\rho_j+1)y_j-M_j\frac{(1+\rho_j)y_j-f_j}{\| (1+\rho_j)y_j-f_j\| _{L^2}}+(1+\rho_j)f_j+g_j=0, \quadj=1, 2, 3$

存在唯一解$Y=\{y_j\}_{j=1}^3\in H_e^2[0, 1]$.

证    设$\Phi(Y)$由(2.5)式定义.命题2.1和引理2.3表明,存在唯一的$Y^*=\{y^*_j\}_{j=1}^3\in H_e^2[0, 1]$使得

$\Phi(Y^*)=\min\limits_{Y\in H_e^2[0, 1]}\Phi(Y), $

从而有$\nabla\Phi(Y^*)=0.$下面推导$\nabla\Phi$的表达式.

对任意的$Z=\{z_j\}_{j=1}^3\in H_e^2[0, 1]$以及$s\in\mathbb R$,有

$\Phi ({Y^*} + sZ) - \Phi ({Y^*})$

$ = \sum\limits_{j = 1}^3 {\frac{{a_j^2}}{2}} [\left\| {(y_j^* + s{z_j})''} \right\|_{{L^2}}^2 - \left\| {(y_j^*)''} \right\|_{{L^2}}^2] + \sum\limits_{j = 1}^3 {\frac{{\rho _j^2 + 3{\rho _j} + 1}}{2}} [\left\| {y_j^* + s{z_j}\left\| {_{{L^2}}^2 - } \right\|y_j^*} \right\|_{{L^2}}^2]$

$ + \sum\limits_{j = 1}^3 {\frac{{{M_j}}}{{1 + {\rho _j}}}} [{\left\| {(1 + {\rho _j})(y_j^* + s{z_j}) - {f_j}} \right\|_{{L^2}}} - {\left\| {(1 + {\rho _j})y_j^* - {f_j}} \right\|_{{L^2}}}]$

$\begin{eqnarray*}&&-\sum\limits_{j=1}^3[\langle(1+\rho_j)f_j+g_j, y_j^*+sz_j\rangle_{L^2}-\langle(1+\rho_j)f_j+g_j, y_j^*\rangle_{L^2}]\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}&=&s\sum\limits_{j=1}^3\left[a_j^2\langle(y_j^*)'', z_j''\rangle_{L^2}+(\rho_j^2+3\rho_j+1)\langle y_j^*, z_j\rangle_{L^2}-\langle(1+\rho_j)f_j+g_j, z_j\rangle_{L^2}\right]\\&&+s^2\sum\limits_{j=1}^3\bigg[\frac{a_j^2}{2}\|z_j''\|_{L^2}^2+\frac{\rho_j^2+3\rho_j+1}{2}\|z_j\|_{L^2}^2\bigg]\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}&&+\sum\limits_{j=1}^3\frac{M_j}{1+\rho_j}\frac{\| (1+\rho_j)y_j^*-f_j+(1+\rho_j)sz_j\| _{L^2}^2-\| (1+\rho_j)y_j^*-f_j\| _{L^2}^2}{\| (1+\rho_j)(y_j^*+sz_j)-f_j\| _{L^2}+\| (1+\rho_j)y_j^*-f_j\| _{L^2}}\\&=&s\sum\limits_{j=1}^3\bigg[a_j^2\langle(y_j^*)^{(4)}, z_j\rangle_{L^2}+(\rho_j^2+3\rho_j+1)\langle y_j^*, z_j\rangle_{L^2}\\&& +\frac{2M_j\langle(1+\rho_j)y_j^*-f_j, z_j\rangle_{L^2}}{\| (1+\rho_j)(y_j^*+sz_j)-f_j\| _{L^2}+\| (1+\rho_j)y_j^*-f_j\| _{L^2}}-\langle(1+\rho_j)f_j+g_j, z_j\rangle_{L^2}\bigg]\\&&+s^2\sum\limits_{j=1}^3\bigg[\frac{a_j^2}{2}\| z''_j\| _{L^2}^2+\frac{\rho_j^2+3\rho_j+1}{2}\| z_j\| _{L^2}^2\\&&+\frac{M_j(1+\rho_j)\| z_j\| _{L^2}^2}{\| (1+\rho_j)(y_j^*+sz_j)-f_j\| _{L^2}+\| (1+\rho_j)y_j^*-f_j\| _{L^2}}\bigg], \end{eqnarray*}$

这里我们用到

$\begin{eqnarray*}\sum\limits_{j=1}^3\langle(y_j^*)'', z_j''\rangle_{L^2}&=&\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1(y_j^*)''(x)z_j''(x){\rm d}x\\&=&\sum\limits_{j=1}^3(y_j^*)''(x)z'_j(x)\Big|_0^1-\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1(y_j^*)'''(x)z'_j(x){\rm d}x\\&=&-\sum\limits_{j=1}^3(y_j^*)'''(x)z_j(x)\Big|_0^1+\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1(y_j^*)^{(4)}(x)z_j(x){\rm d}x\\&=&\sum\limits_{j=1}^3\langle(y_j^*)^{(4)}, z_j\rangle_{L^2}.\end{eqnarray*}$

因此,若$(1+\rho_j)y_j^*-f_j\neq0, j=1, 2, 3$,则

$\begin{eqnarray*}\lim\limits_{s\to0}\frac{\Phi(Y^*+sZ)-\Phi(Y^*)}{s}&=&\sum\limits_{j=1}^3\bigg[a_j^2\langle(y_j^*)^{(4)}, z_j\rangle_{L^2}+(\rho_j^2+3\rho_j+1)\langle y_j^*, z_j\rangle_{L^2}\\&&+M_j\frac{\langle(1+\rho_j)y_j^*-f_j, z_j\rangle_{L^2}}{\| (1+\rho_j)y_j^*-f_j\| _{L^2}}-\langle(1+\rho_j)f_j+g_j, z_j\rangle_{L^2}\bigg].\end{eqnarray*}$

这表明

$\nabla\Phi(Y^*)=\left\{a_j^2(y^*_j)^{(4)}+(\rho_j^2+3\rho_j+1)y^*_j+M_j\frac{(1+\rho_j)y^*_j-f_j}{\| (1+\rho_j)y^*_j-f_j\| _{L^2}}-(1+\rho_j)f_j-g_j\right\}_{j=1}^3.$

而若$(1+\rho_j)y_j^*-f_j=0, $则$\nabla\Phi(Y^*)$应由$\Phi(Y^*)$的次微分替代,如下

$\left\{a_j^2(y_j^*)^{(4)}+(\rho_j^2+3\rho_j+1)y_j^*-(1+\rho_j)f_j-g_j\right\}_{j=1}^3+B(0, M), $

其中$B(0, M)=\{Y=\{y_j\}_{j=1}^3\in H_e^2[0, 1] \;|\; \| y_j\| _{L^2}\leqM_j, j=1, 2, 3\}$.

本节应用单调算子理论证明误差网络(1.7),也即方程(2.3)的可解性.为此,只需验证系统算子$\mathcal A$满足下面几个命题所示的性质.

命题 3.1   设${\cal A}$由(2.1)-(2.2)式定义,则$-{\cal A}$是单调算子.

证    对任意的$(Y, Z)=(\{y_j\}_{j=1}^3, \{z_j\}_{j=1}^3), (F, G)=(\{f_j\}_{j=1}^3, \{g_j\}_{j=1}^3)\in D({\cal A})$,成立

$\begin{eqnarray*} &&\langle{\cal A}(Y, Z)-{\mathcal A}(F, G), (Y, Z)-(F, G)\rangle_{{\cal H}}\\ &=&\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1a_j^2(z''_j(x)-g''_j(x)-\rho_j(y''_j(x)-f''_j(x)))(y''_j(x)-f''_j(x)){\rm d}x\\ &&+\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1(-a_j^2(y^{(4)}_j(x)\!-\!f^{(4)}_j(x))\!-\!\rho_j(y_j(x)\!-\!f_j(x))\!-\!\rho_j(z_j(x)\!-\!g_j(x))) (z_j(x)\!-\!g_j(x)){\rm d}x\\ &&-\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1\bigg(M_j\bigg(\frac{z_j(x)}{\| z_j\| _{L^2}}-\frac{g_j(x)}{\| g_j\| _{L^2}}\bigg)\bigg)(z_j(x)-g_j(x)){\rm d}x\\ &&+\sum\limits_{j=1}^3\rho_j\int_0^1(z_j(x)-g_j(x)-\rho_j(y_j(x)-f_j(x)))(y_j(x)-f_j(x)){\rm d}x\\ &=&\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1a_j^2(z''_j(x)-g''_j(x))(y''_j(x)-f''_j(x)){\rm d}x\\&&-\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1a_j^2(y^{(4)}_j(x)-f^{(4)}_j(x)) (z_j(x)-g_j(x)){\rm d}x-\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1a_j^2\rho_j(y''_j(x)-f''_j(x))^2{\rm d}x\\&&-\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1\rho_j(z_j(x)-g_j(x))^2{\rm d}x-\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1\rho_j^2(y_j(x)-f_j(x))^2{\rm d}x\\&&-\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1M_j\bigg(\frac{z_j(x)}{\| z_j\| _{L^2}}-\frac{g_j(x)}{\| g_j\| _{L^2}}\bigg)(z_j(x)-g_j(x)){\rm d}x\\ &=&-\sum\limits_{j=1}^3a_j^2\rho_j\| y''_j-f''_j\| _{L^2}^2-\sum\limits_{j=1}^3\rho_j\| z_j-g_j\| _{L^2}^2-\rho_j^2\| y_j-f_j\| _{L^2}^2\\ &&-\sum\limits_{j=1}^3M_j\bigg[\| z_j\| _{L^2}+\| g_j\| _{L^2}-\frac{1}{\| z_j\| _{L^2}}\int_0^1z_j(x)g_j(x){\rm d}x-\frac{1}{\| g_j\| _{L^2}}\int_0^1z_j(x)g_j(x){\rm d}x\bigg]\\ &\leq&-\sum\limits_{j=1}^3[a_j^2\rho_j\| y''_j-f''_j\| _{L^2}^2+\rho_j\| z_j-g_j\| _{L^2}^2+\rho_j^2\| y_j-f_j\| _{L^2}^2]\\ &\leq&0. \end{eqnarray*}$

这表明$-{\cal A}$是单调算子.

命题 3.2  设${\cal A}$由(2.1)-(2.2)式定义,则值域$R(I-{\cal A})={\cal H}$.

证    对任意的$(F, G)\in{\cal H}$,考虑如下方程

(3.1) $\begin{equation}\label{E3.1} (I-{\cal A})(Y, Z)=(F, G), \end{equation}$

也即

$\left\{\begin{array}{l} y_j-z_j+\rho_jy_j=f_j, \\ z_j+a_j^2y^{(4)}_j+\rho_jz_j+\rho_jy_j+M_j\frac{z_j}{\| z_j\| _{L^2}}=g_j, \\ (Y, Z)\in D({\cal A}). \end{array}\right.$

可得$z_j=(1+\rho_j)y_j-f_j$,以及

$ -a_j^2y^{(4)}_j-(\rho_j^2+3\rho_j+1)y_j-M_j\frac{(1+\rho_j)y_j-f_j}{\| (1+\rho_j)y_j-f_j\| _{L^2}}+(1+\rho_j)f_j+g_j=0, j=1, 2, 3. $

根据命题2.2,存在唯一的$Y^*=\{y_j^*\}_{j=1}^3\in H_e^2[0, 1]$满足上述方程.因此$(Y^*, \{(1+\rho_j)y_j^*-f_j\}_{j=1}^3)$是方程(3.1)的解.这表明$R(I-\mathcalA)={\cal H}$.

在命题3.1, 3.2,以及引理2.3, 2.4的基础上,可得误差网络(2.3)的可解性.

定理 3.1   假设$M_j=\sup\limits_{t\geq0}\| d_j(t)\| _{L^2[0, 1]}<\infty, j=1, 2, 3$.那么对任意的$Y_0\in D({\cal A})$,即若初值$Y_0$与系统(1.7)的边界条件相容,则误差网络(2.3),即系统(1.7)存在唯一解.

本节证明跟踪网络(1.2)能够按任意速率以指数速度实现对目标系统(1.1)的跟踪.为此,通过构造适当的Lyapunov函数,证明误差网络(1.7)能够按任意速率指数衰减.

在状态空间${\cal H}$中,考虑泛函$V(t)$如下

(4.1) $\begin{eqnarray}V(t)&=&\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^3\int^1_0[a_j^2|e_{j, xx}(x, t)|^2+|e_{j, t}(x, t)+\rho_je_j(x, t)|^2+\rho_j|e_j(x, t)|^2]{\rm d}x\cr&=&\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^3\left[a_j^2\| e_{j, xx}(t)\| _{L^2}^2+\| e_{j, t}(t)+\rho_je_j(t)\| _{L^2}^2+\rho_j\| e_j(t)\| _{L^2}^2\right].\end{eqnarray}$

直接计算可得

$\begin{eqnarray*}\frac{{\rm d}V(t)}{{\rm d}t}&=&\sum\limits_{j=1}^3\int^1_0[a_j^2e_{j, xx}(x, t)e_{j, xxt}(x, t)+(e_{j, t}(x, t)+\rho_j e_j(x, t))\\&&\cdot (e_{j, tt}(x, t)+\rho_j e_{j, t}(x, t))+\rho_j e_j(x, t)e_{j, t}(x, t)]{\rm d}x\\&=&\sum\limits_{j=1}^3\int^1_0(\rho_j e_j(x, t)+a_j^2e_{j, xxxx}(x, t))e_{j, t}(x, t){\rm d}x\\&&+\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1(e_{j, t}(x, t)+\rho_j e_j(x, t))(e_{j, tt}(x, t)+\rho_j e_{j, t}(x, t)){\rm d}x\\&=&\sum\limits_{j=1}^3\int^1_0[(\rho_j e_j(x, t)+a_j^2e_{j, xxxx}(x, t))+(e_{j, tt}(x, t)+\rho_j e_{j, t}(x, t))]\\&&\cdot (e_{j, t}(x, t)+\rho_j e_j(x, t)){\rm d}x-\sum\limits_{j=1}^3\rho_j \int^1_0(\rho_j e_j(x, t)+a_j^2e_{j, xxxx}(x, t))e_j(x, t){\rm d}x\\&=&-\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1(e_{j, t}(x, t)+\rho_j e_j(x, t))(\rho_je_{j, t}(x, t)+\rho_j^2e_j(x, t)\\&&+M_j\frac{e_{j, t}(x, t)+\rho_je_j(x, t)}{\| e_{j, t}(t)+\rho_j e_j(t)\| _{L^2}}){\rm d}x+\sum\limits_{j=1}^3\int_0^1(e_{j, t}(x, t)+\rho_je_j(x, t))d_j(x, t){\rm d}x\\&&-\sum\limits_{j=1}^3\rho_j^2\| e_j(t)\| _{L^2}^2-\sum\limits_{j=1}^3a_j^2\rho_j\int_0^1e_j(x, t)e_{j, xxxx}(x, t){\rm d}x\\&\leq&-\sum\limits_{j=1}^3\rho_j\| e_{j, t}(t)+\rho_j e_j(t)\| _{L^2}^2-\sum\limits_{j=1}^3M_j\| e_{j, t}(t)+\rho_j e_j(t)\| _{L^2}\\&&+\sum\limits_{j=1}^3\| d_j(t)\| _{L^2}\| e_{j, t}(t)+\rho_j e_j(t)\| _{L^2}-\sum\limits_{j=1}^3\rho_j^2 \| e_j(t)\| _{L^2}^2\\&&-\sum\limits_{j=1}^3a_j^2\rho_j\int_0^1e^2_{j, xx}(x, t){\rm d}x \\&\leq&-\sum\limits_{j=1}^3\rho_j\| e_{j, t}(t)+\rho_je_j(t)\| _{L^2}^2-\sum\limits_{j=1}^3\rho_j^2 \| e_j(t)\| _{L^2}^2-\sum\limits_{j=1}^3a_j^2\rho_j\| e_{j, xx}(t)\| _{L^2}^2\\&\leq & -2\rho V(t), \end{eqnarray*}$

其中$\rho=\min\{\rho_1, \rho_2, \rho_3\}$.

因此,我们有

$V(t)\leq {\rm e}^{-2\rho t}V(0).$

为比较能量泛函$E(t)$(见定义1.8)与$V(t)$,进行如下估计

$\begin{eqnarray*}V(t)&=&\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^3\int^1_0[a_j^2|e_{j, xx}(x, t)|^2+|e_{j, t}(x, t)+\rho_j e_j(x, t)|^2+\rho_j|e_j(x, t)|^2]{\rm d}x\\ &\leq&\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^3\int^1_0[a_j^2|e_{j, xx}(x, t)|^2+2(|e_{j, t}(x, t)|^2+|\rho_j e_j(x, t)|^2)+\rho_j|e_j(x, t)|^2]{\rm d}x\\ &\leq&\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^3\int^1_0\bigg[a_j^2|e_{j, xx}(x, t)|^2+2|e_{j, t}(x, t)|^2+\frac{(2\rho_j^2+\rho_j)a_j^2} {2a_j^2} |e_{j, xx}(x, t)|^2\bigg]{\rm d}x\\ &\leq & \max \bigg\{1+\max\limits_{j=1, 2, 3}\bigg\{\frac{2\rho_j^2+\rho_j} {2a_j^2}\bigg\}, 2\bigg\}E(t) , \end{eqnarray*}$

以及

$\begin{eqnarray*} V(t)&=&\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^3\int^1_0[a_j^2|e_{j, xx}(x, t)|^2+|e_{j, t}(x, t)+\rho_j e_j(x, t)|^2+\rho_j|e_j(x, t)|^2]{\rm d}x\\ &\geq &\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^3\int^1_0[a_j^2|e_{j, xx}(x, t)|^2+|e_{j, t}(x, t)|^2+(\rho_j^2+\rho_j) |e_j(x, t)|^2-2\rho_j|e_j(x, t)\| e_{j, t}(x, t)|]{\rm d}x\\ &=&\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^3\int^1_0[a_j^2|e_{j, xx}(x, t)|^2+|e_{j, t}(x, t)|^2]{\rm d}x-\frac{\rho_j}{2(\rho_j+1)}\int^1_0|e_{j, t}(x, t)|^2{\rm d}x \\&&+\sum\limits_{j=1}^3\frac{(\rho_j^2+\rho_j)}{2}\int^1_0\left[e_j(x, t)-\frac{e_{j, t}(x, t)}{\rho_j+1}\right]^2{\rm d}x\\ &=&\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^3\int^1_0\bigg[a_j^2|e_{j, xx}(x, t)|^2+\frac{1}{\rho_j+1}|e_{j, t}(x, t)|^2\bigg]{\rm d}x+\sum\limits_{j=1}^3\frac{\rho_j^2+\rho_j}{2}\bigg\|e_j(x, t)-\frac{e_{j, t}(x, t)}{\rho_j+1}\bigg\|_{L^2}^2\\ &\geq&\frac{E(t)}{\max\limits_{j=1, 2, 3}\{\rho_j\}+1}. \end{eqnarray*}$

因此

$ \frac{E(t)}{\max\limits_{j=1, 2, 3}\{\rho_j\}+1}\leq V(t)\leq \max \bigg\{1+\max\limits_{j=1, 2, 3}\bigg\{\frac{2\rho_j^2+\rho_j} {2a_j^2}\bigg\}, 2\bigg\}E(t). $

于是

$ \begin{eqnarray*}E(t)&\leq&(\max\limits_{j=1, 2, 3}\{\rho_j\}+1)\max\bigg\{1+\max\limits_{j=1, 2, 3}\bigg\{\frac{(2\rho_j^2+\rho_j)} {2a_j^2}\bigg\}, 2\bigg\}{\rm e}^{-2\rho t}E(0)\\&:=&C{\rm e}^{-2\rho t}E(0), \end{eqnarray*} $

其中$\rho=\mathop {\min }\limits_{j=1, 2, 3}\{\rho_j\}$,且$C$是只与系统参数$\rho_j, a_j$, $j=1, 2, 3$有关的常数.

这表明,正如本文第1节所述,误差网络(1.7)能够按任意速率$\rho>0$指数衰减.

定理 4.1   假设$M_j=\sup\limits_{t\geq0}\| d_j(t)\| _{L^2}<\infty, j=1, 2, 3$.则对任意初值$Y_0\in D({\cal A})$,误差网络(2.3),即系统(1.7)能够按任意速率$\eta>0$指数衰减.换言之,跟踪网络(1.2)能够按任意速率以指数速度跟踪目标网络(1.1).

本文研究了带有未知内部扰动的星形Euler-Bernoulli梁网络的指数跟踪控制,将其等价转化为误差网络的指数镇定,基于SMC控制思想设计了控制方案,证明了误差系统的可解性与指数稳定性.

本文提出的控制方案

$u_j(x, t)=-2\rho_j e_{j, t}(x, t)-(\rho_j^2+\rho_j)e_j(x, t)-M_j\frac{e_{j, t}(x, t)+\rho_j e_j(x, t)}{\| e_{j, t}(t)+\rho_j e_j(t)\| _{L^2}}$

包含两个部分.前两项是一个部分,与传统的内部反馈类似,用于对不含扰动项$d_j(x, t)$的网络进行指数镇定.第三项是另一部分,是由SMC方法设计的非线性控制项,用于消除扰动引起的不确定性.

最后指出两点.

1)众所周知,边界控制仅能够对不含扰动的网络做到指数镇定.由于边界控制比内部(分布)控制更切合实际,所以能否(如何)将本文控制方案中的前两项替换成边界控制,同时保证指数跟踪的效果,是有意义的研究.这是作者下一步工作的内容之一.

2)从具体证明可以看出,本文的SMC控制设计方案和指数跟踪结论对由$n$个方程构成的一般星形网络也成立.即对如下目标网络

(5.1) $\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} w_{j, tt}(x, t)+a_j^2w_{j, xxxx}(x, t)=d_j(x, t), x\in(0, 1), t>0, \\ w_1(0, t)=w_2(0, t)=\cdots=w_n(0, t), \\ \sum\limits_{j=1}^na_j^2w_{j, xxx}(0, t)=0, \\ w_{j, xx}(0, t)=0, \\ w_{j, xx}(1, t)=0, \\ w_{j, xxx}(1, t)=0, \\ w_j(x, 0)=w_j^0(x), w_{j, t}(x, 0)=w_j^1(x), j=1, 2, \cdots, n, \end{array} \right. \end{equation}$

其中$d_j(x, t), j=1, 2, \cdots, n$表示有界扰动,可选择如下跟踪系统

(5.2) $\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \widetilde w_{j, tt}(x, t)+a_j^2\widetilde w_{j, xxxx}(x, t)=0, x\in(0, 1), t>0, \\ \widetilde w_1(0, t)=\widetilde w_2(0, t)=\cdots=\widetilde w_n(0, t), \\ \sum\limits_{j=1}^na_j^2\widetilde w_{j, xxx}(0, t)=0, \\ \widetilde w_{j, xx}(0, t)=0, \\ \widetilde w_{j}(1, t)=0, \\ \widetilde w_{j, x}(1, t)=0, \\ \widetilde w_j(x, 0)=\widetilde w_j^0(x), \widetilde w_{j, t}(x, 0)=\widetilde w_j^1(x), j=1, 2, \cdots, n. \end{array} \right. \end{equation}$

令$e_j(x, t)=w_j(x, t)-\widetilde w_j(x, t), j=1, 2, \cdots, n$表示误差,取内部控制为

(5.3) $\begin{equation} u_j(x, t)=-2\rho_j e_{j, t}(x, t)-(\rho_j^2+\rho_j) e_j(x, t)-M_j\frac{e_{j, t}(x, t)+\rho_j e_j(x, t)}{\| e_{j, t}(t)+\rho_j e_j(t)\| _{L^2}}, j=1, 2, \cdots, n, \end{equation}$

其中控制常数$\rho_j>0$,且$M_j=\sup\limits_{t\ge 0}\| d_j(t)\| _{L^2}<\infty$.则对任意的$\eta>0$,只要控制常数满足$\rho_j>\eta, j=1, 2, \cdots, n$,则误差网络按速率$\eta>0$指数衰减.这一结论的证明与$n=3$的情形完全类似,本文省略证明细节.