有关非线性椭圆型方程的正解问题,近二十年来已有许多研究并取得了丰硕成果,如文献[1-7].纵观这些成果,绝大多数文献是研究方程存在正整解的充分条件,探讨方程存在正整解的充分必要条件的文章则极少见.本文研究的是${\Bbb R} ^N$上一类非线性双调和方程

存在正整解的充分必要条件及解的性质.在方程(1.1)中, $\triangle$是Laplace算子, $|x|$是Euclidean长度, $\nabla$是Hamilton算子.方程(1.1)的正的径向整体解是指$u\in C^4({\Bbb R} ^N)(N > 2)$,满足$u(x) = u(|x|)(x\in {\Bbb R} ^N)$,且其在${\Bbb R} ^N$中逐点满足方程(1.1).如果一个径向对称的函数$u(x) = y(|x|)$是方程(1.1)的整体解,那么$y(t)\in C^4[0, \infty)$,且满足下述的常微分方程

及初始条件$y(0) = \gamma_0, y\prime (0) = 0, (Ly)(0) = \gamma_1, (Ly)\prime(0) = 0$,其中$(Ly)(0)$表示$\lim\limits_{t\to 0} (Ly)(t)$, $(Ly)\prime(0)$表示$\lim\limits_{t\to 0} (Ly)\prime(t)$, $\gamma_0, \gamma_1$是正的常数, $L$表示$N$维Laplace算子$\triangle$的极坐标形式,即

记$L^1 = L$, $L^2$表示$2$重Laplace算子$\triangle^2$的极坐标形式.为了证明本文的结论,引入文献[3-4]曾经用过的积分算子$\Psi: C[0, \infty)\to C^2[0, \infty)$如下:

其中$\Psi h(0)$理解为$\lim\limits_{t\to 0}\Psi h(t)$.可以验证算子$\Psi$是线性的、单调的(即$h_1\leq h_2 \Rightarrow \Psi h_1\leq \Psi h_2$).进一步记$\Psi^1 = \Psi$,定义$C[0, \infty)$上的算子$\Psi^2$如下:

引理1.1  设$h\in C[0, \infty)$,则$L(\Psi h(t)) = h(t), t\geq 0$.即$u(x) = (\Psi h)(|x|)$是方程$\triangle u = h(|x|)(x\in {\Bbb R} ^N)$的正的径向对称整体解.

引理1.2  设$h\in C[0, \infty)$,且$h\geq 0$,则$L^2(\Psi^2h)(t) = h(t), t\geq 0$.即$u(x) = (\Psi^2h)(|x|)$是方程$\triangle^2 u(x) = h(|x|)(x\in {\Bbb R} ^N, N > 2)$的正的径向对称整体解,且有

引理1.1,引理1.2的证明见参考文献[4].

引理1.3 设$h\in C[0, \infty)$,且$h\geq 0$,则

其中

证 先证$M_0 < \infty$的情形.由(1.4)式有

上述过程也表明当$M_0 = \infty$时也成立.

在下面的讨论中引入记号$G = [0, \infty)\times (0, \infty)\times[0, \infty)$.

定理2.1  假设方程$(1.1)$中的函数$f$满足

(ⅰ) $f:G\to [0, \infty)$是连续的,且不恒等于$0$;

(ⅱ)对固定的$t\geq 0$,函数$f(t, u, v)$关于$u\in(0, \infty)$非增,关于$v\in[0, \infty)$非增;则方程$(1.1)$存在满足下述性质

的正整解$u(x) = u(|x|)$的充分必要条件是下面条件(ⅲ)成立,其中$A > 0, B > 0$是仅与$u$有关的常数;

(ⅲ)存在常数$c > 0$,使得

证 先证充分性.假设定理的条件(ⅲ)成立,故存在常数$c > 0$,使得

又由定理的条件(ⅰ)和(ⅱ)知,对固定$(t, u, v)\in G, \xi^{-1}f(t, \xi u, \xi v)$的关于$\xi \in (0, \infty)$非增,且有

故当$\xi > c$时有

由(2.3)、(2.4)和(2.5)式以及Lebesgue控制收敛定理得

于是可以取充分大的正数$\xi_0 \in (c, \infty)$,使得$\xi\in(\xi_0, \infty)$时,恒有

作集合

考虑$C^1[0, \infty)$中通常的拓扑,即$C^1[0, \infty)$中点列$\{y_i(t)\}$收敛于点$y(t)$定义为$\{y_i(t)\}$和$\{y_i^\prime(t)\}$在$[0, \infty)$的任意紧子集上分别一致收敛于$y(t)$和$y^\prime(t)$.易见$Y$是$C^1[0, \infty)$中闭凸子集.定义映照$\pi:Y\to C^1[0, \infty)$如下:

下面证明映照$\pi$把$Y$连续地映进$Y$的一个相对紧子集中去.

(a) $\pi:Y\to Y$.

事实上,对$\forall y\in Y$,根据(15)式及定理的条件(ⅰ)、(ⅱ)知

并令

那么根据(2.9)式有

由(1.5)、(2.6)、(2.10)和(2.11)式得

故由(2.8)和(2.12)式得

利用(1.6)、(2.6)及(2.11)式得

于是由(2.8)和(2.14)式得

由(2.7)、(2.13)和(2.15)式可推出$\pi:Y\to Y$.

(b) $\pi$是连续映照.

设$y_i(t), y(t)\in Y\subset C^1[0, \infty)(i = 1, 2, 3, \cdots)$且$\{y_i(t)\}$依$C^1[0, \infty)$的拓扑收敛于$y(t)$ (当$i\to \infty$),要证$\{\pi y_i(t)\}$依$C^1[0, \infty)$拓扑收敛于$\pi y(t)$(当$i\to \infty$),即要证$\{\pi y_i(t)\}$和$\{(\pi y_i(t))^\prime \}$在$[0, \infty)$的任意紧子集上分别一致收敛于$\pi y(t)$和$(\pi y)^\prime (t)$.

设$[0, t_1]$是$[0, \infty)$的任意紧子区间.先证$g_i(t)\equiv f(t, y_i(t), |y_i^\prime(t)|)(i = 1, 2, \cdots)$在$[0, t_1]$上一致收敛于$g(t)\equiv f(t, y(t), |y^\prime(t)|)$.事实上,因$y_i(t), y(t)\in Y$,故当$0\leq t\leq t_1$时有

由定理的条件(ⅰ)知, $f(t, y(t), y^\prime(t))$在闭区域$D = [0, t_1]\times[\xi, 2\xi(1+t_1^2)]\times[0, 4\xi t_1]$上连续,故$f(t, y(t), y^\prime(t))$在$D$上一致连续;再注意到$\{y_i(t)\}$和$\{y_i^\prime(t)\}$在$[0, t_1]$上一致收敛于$y(t)$和$y^\prime(t)$,从而可证得$\{g_i(t)\}$在$[0, t_1]$上一致收敛于$g(t)$.由(1.4)式知当$t\in[0, t_1]$时有

可见$\{\Psi g_i(t)\}$在$[0, t_1]$上一致收敛于$\Psi g(t)$.进而可证$\{\Psi^2 g_i(t)\}$和$\pi y_i(t)\}$在$[0, t_1]$上分别一致收敛于$\Psi^2 g(t)$和$\pi y(t)$.当$t\in[0, t_1]$时,

可见$\Big\{\frac{\rm d}{{\rm d}t}[\Psi^2 g_i(t)]\Big\}$在$[0, t_1]$上一致收敛于$\frac{\rm d}{{\rm d}t}[\Psi^2 g(t)]$.进而可推出$\{(\pi y_i)^\prime (t)\}$在$[0, t_1]$上一致收敛于$(\pi y)^\prime (t)$.

综上所述, $\{\pi y_i(t)\}$和$\{(\pi y_i)^\prime (t)\}$在$[0, t_1]$上分别一致收敛于$\pi y(t)$和$(\pi y)^\prime (t)$.故$\{(\pi y)_i(t)\}$在$C^1[0, \infty)$一致收敛于$\pi y(t)$,即映照$\pi$是连续的.

(c) $\pi Y = \{\pi y(t)|y(t)\in Y\}$是相对紧的.

对任意闭区间$[0, t_1]\subset [0, \infty)$,从(2.13)和(2.15)式可以看出$\{\pi y(t)|y\in Y\}$与$\{(\pi y)^\prime (t)|y\in Y\}$在$[0, t_1]$上是一致有界,故$\{\pi y(t)|y \in Y\}$在$[0, t_1]$上是等度连续的.下面证$\{(\pi y)^\prime (t)|y(t)\in Y\}$在$[0, t_1]$上也是等度连续的.注意到

估计(2.17)式中$I_1$、$I_2$的值如下:由(1.4)、(2.6)和(2.11)式得

由(2.17)、(2.18)和(2.19)式知$\{(\pi y)^{\prime\prime}(t)|y\in Y\}$在$[0, \infty)$的任意紧子区间$[0, t_1]$上一致有界,故$\{(\pi y)^\prime(t)|y\in Y\}$在$[0, t_1]$上也是等度连续的.根据Ascoli-Arzela定理(参见文献[8, p10,定理1.30])可知按照$C^1[0, t_1]$中的拓扑, $\pi Y$在$Y$中是相对紧的.进一步用取对角线的方法,可以证明按$C^1[0, \infty)$拓扑, $\pi Y$在$Y$中是相对紧的.由上面的(a)、(b)、(c)可知Schauder-Tychonoff不动点的条件全部满足,于是映照$\pi$存在着不动点$y(t)\in Y$ (参见文献[9, p161]),即有$y(t) = \pi y(t)$.因此有

注意到$L^2$是四阶求导算子,由引理1.2得

即$y = y(t) = y(|x|) = u(x)$是方程(1.1)的径向对称的正整体解.下面证明此整体解$u(x) = y(|x|)$具有性质(2.1)和(2.2).事实上,由引理1.3中的(1.8)式以及(2.6)、(2.8)和(2.11)式可得

其中

又由(1.6)、(1.7)、(1.8)以及(2.20)式得

其中$M_0$的意义同(2.22)式.由(2.21)和(2.23)式看到$A > 0, B > 0$是仅与整体解$u(x)$有关的常数.其实,具有上述性质的正整解有无限多个,这可从集合$Y$的定义式及$\xi > \xi_0$选取的任意性推出.

再证必要性.

设$u(x) = y(|x|)$是方程(1.1)满足性质(2.1)、(2.2)的径向对称正的整体解.于是$y(t)$满足方程(1.2),即

且存在正的常数$c_1, c_2, c_3, c_4$和$t_0 > 0$,使得当$t > t_0$时有

由(2.24)和(2.25)式及定理的条件(ⅰ)、(ⅱ)得

其中$c_0 = \max\{c_2, c_4\}$.记

则(2.26)式可以写成

由(1.3)式有

两边乘$t^{N-1}$后在$[t_0, t]$上积分得

即

将上式记为

其中$B_1, B_2$为常数.类似于上面的推导, (2.29)式两边乘$\frac{1}{t^{N-1}}$再积分得

即

注意到$\max\limits_{t_0\leq t < \infty}\Big |\frac{B_1-B_2}{N-2} \Big(\frac{1}{t_0^{N-2}}-\frac{1}{t^{N-2}}\Big)\Big|\leq \frac{|B_1-B_2|}{N-2}\frac{1}{t_0^{N-2}}$,于是

其中$A_1$是常数.利用(2.31)式可把(2.30)式简化成

利用Fubini定理,交换(2.32)式右边积分次序得

也即

其中$A_1$是常数.对(1.4)式重复上述步骤,知道存在常数$A_2$有

于是

在(2.36)式中令$t\to\infty$并取极限,有

如果定理条件(ⅲ)不成立,则有

由(1.7), (1.8), (2.27)和(2.37)式有

由(2.37)和(2.38)式得$\lim\limits_{t\to\infty}\frac{y(t)}{t^2} = \infty$,这与方程(1.1)的整体解具有性质(2.1)矛盾.必要性得证.

定理2.2 假设方程$(1.1)$中的函数$f$满足

(ⅰ) $f:G\to [0, \infty)$是连续的,且不恒等于$0$;

(ⅱ)对固定的$t\geq 0$函数$f(t, u, v)$关于$u\in(0, \infty)$非增,关于$v\in[0, \infty)$非减;

(ⅲ)对固定的$t\geq 0, \lambda^{-1}f(t, \lambda(1+t^2), 4\lambda t)$关于$\lambda\in(0, \infty)$非增,且

则方程$(1.1)$存在满足性质$(2.1)$、$(2.2)$正整解$u(x) = u(|x|)$的充分必要条件是下面条件(ⅳ)成立;

(ⅳ)存在常数$c > 0$,使得

证 由(ⅲ)知当$\lambda > c$时有$\lambda^{-1}tf(t, \lambda(1+t^2), 4\lambda t)\leq c^{-1}t f(t, c(1+t^2), 4ct),$且对一切$t\geq 0$有$\lim\limits_{\lambda\to\infty}\lambda^{-1}t f(t, \lambda(1+t^2), 4\lambda t) = 0.$

由(ⅳ),应用Lebesgue控制收敛定理得

于是可以取充分大的正数$\xi_0\in(c, \infty)$,使得$\xi\in(\xi_0, \infty)$时,恒有

作集合

其余的证明与定理2.1的证明类似.

定理2.3  假设方程$(1.1)$中的函数$f$满足定理2.2中的条件(ⅰ)和(ⅱ),又满足

(ⅲ)$^\prime$对固定的$t\geq 0$, $\lambda^{-1}f(t, \lambda(1+t^2), 4\lambda t)$关于$\lambda\in(0, \infty)$非减,且

则方程$(1.1)$存在满足性质$(2.1)$、$(2.2)$正整解$u(x) = u(|x|)$的充分必要条件是下面条件(ⅳ)成立;

(ⅳ)存在常数$c > 0$,使得

证 由于定理2.3与定理2.2的差异仅在于以(ⅲ)$^\prime$代替(ⅲ),故只须把定理2.2证明过程的“于是可以取充分大的正数$\xi_0\in(c, \infty)$,使得$\xi\in(\xi_0, \infty)$时,恒有$\int_0^\infty tf(t, \xi(1+t^2), 4\xi t){\rm d}t < \xi$”改为“于是可以取充分小的正数$\xi_0\in(0, c)$,使得$\xi\in(0, \xi_0)$时,恒有$\int_0^\infty tf(t, \xi(1+t^2), 4\xi t){\rm d}t < \xi$”.其余的证明与定理2.1的证明类似.

例3.1  考察双调和方程

其中$P_k(|x|)$是一个关于$|x|$的$k$次多项式($k\geq 0$), $f(t, u, v) = \frac{{\rm e}^{-t^2}P_k(t)}{(1+u)(1+v)}$,易见$f(t, u, v)$满足定理2.1中的条件(ⅰ)和(ⅱ).对任意给定的整数$k\geq 0$,选取$t^\alpha(\alpha = 2)$,当$c = 1$,有

因为$\alpha = 2 > 1$,由广义积分敛散性判别法则知

故定理2.1的条件(ⅲ)成立,于是方程(3.1)存在无穷多个满足性质(2.1)、(2.2)的正整解.

例3.2  考察双调和方程

这里$f(t, u, v) = \frac{{\rm e}^{-t^2}v^2}{1+u^2}$,易见$f(t, u, v)$满足定理2.2的条件(ⅰ)、(ⅱ),取$t^\alpha(\alpha = 2), c = 1$,则

因为$\alpha = 2 > 1$,由广义积分敛散性判别法则知

故定理2.2的条件(ⅳ)成立,于是方程(3.2)存在无穷多个满足性质(2.1)、(2.2)的正整解.