一类具低阶项和退化强制的椭圆方程的有界弱解

一类具低阶项和退化强制的椭圆方程的有界弱解

李仲庆^,¹, 高文杰²

Bounded Weak Solutions to an Elliptic Equation with Lower Order Terms and Degenerate Coercivity

Li Zhongqing^,¹, Gao Wenjie²

通讯作者: 李仲庆, E-mail: zqli jlu@163.com

收稿日期: 2017-12-15

基金资助:

国家自然科学基金. 11401252
贵州财经大学引进人才科研启动基金. 2018YJ26

Received: 2017-12-15

Fund supported:

the NSFC. 11401252
the Scientific Research Foundation for the Introduction of Talent in GUFE. 2018YJ26

摘要

该文研究了一类具低阶项和退化强制的椭圆方程的边值问题.借助于De Giorgi迭代技术和Boccardo-Brezis的检验函数，得到了解的L^∞估计.利用L^∞界证明了方程解的存在性.

关键词： 椭圆方程 ; 退化强制 ; 低阶项 ; L^∞正则性

Abstract

A boundary value problem to a class of elliptic equations with lower order terms and degenerate coercivity is studied in this paper. With help of De Giorgi iterative technique and Boccardo-Brezis's test function, the L^∞ estimate to weak solutions of the problem is obtained. Based upon the uniform L^∞ bound, the existence of bounded solution is proved.

Keywords： Elliptic equations ; Degenerate coercivity ; Lower order terms ; L^∞ regularity

PDF (301KB) 元数据多维度评价相关文章导出 EndNote| Ris| Bibtex 收藏本文

本文引用格式

李仲庆, 高文杰. 一类具低阶项和退化强制的椭圆方程的有界弱解. 数学物理学报[J], 2019, 39(3): 529-534 doi:

Li Zhongqing, Gao Wenjie. Bounded Weak Solutions to an Elliptic Equation with Lower Order Terms and Degenerate Coercivity. Acta Mathematica Scientia[J], 2019, 39(3): 529-534 doi:

1 问题的介绍

本文考虑如下椭圆方程

$\begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} -\mbox{div}\bigg[\frac{1}{(1+|u|)^\theta}\nabla u\bigg]+\mu u+g(x, u, \nabla u) = f, \quad &x\in\Omega, \\ u(x) = 0, &x\in\partial\Omega, \end{array}\right. \end{equation}$

(1.1)

其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的有界开集, $\Omega$ 的边界 $\partial\Omega$ 是光滑的, $N > 2$ .关于问题(1.1),有进一步的假设:

(H1) $0\leq\theta < 1$ , $\mu > 0$ ;

(H2) $g(x, s, \xi)$ 是一个Carathéodory函数,并且存在一常数 $\gamma > 0$ ,使得对几乎处处的 $x\in\Omega$ 和所有的 $s\in\mathbb{R}$ , $\xi\in\mathbb{R}^\mathbb{N}$ ,有

$|g(x, s, \xi)|\leq\frac{\gamma}{(1+|s|)^{2\theta}}|\xi|^2;$

(H3) $f\in L^m(\Omega)$ 且 $m > \frac{N}{2}$ .

许多数学工作者对问题(1.1)及其相似模型进行了广泛的研究. Boccardo和Brezis^[1]考虑了不带一阶项的退化强制椭圆方程(即当 $\gamma = 0$ 时的情形).作者引入了一种特殊的积分型检验函数,得到了先验 $L^\infty$ 估计;借助于关键的 $L^\infty$ 界,证明了有界弱解的存在性.文献[2]使用不同的检验函数并改进迭代引理,证明了解的 $L^\infty$ 正则性.当问题(1.1)中的 $\theta = 0$ 时,方程为具自然增长的一致椭圆型.文献[3]研究了这类一致椭圆方程,通过使用指数型检验函数,得到了有界弱解的存在性.

Boccardo等^[4]考虑了一个拟线性椭圆方程,其最简模型为

$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} -\mbox{div}[\alpha(u)\nabla u] = \beta(u)|\nabla u|^2 +f, \quad&x\in\Omega, \\ u(x) = 0, &x\in\partial\Omega, \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是正的连续函数,满足 $\alpha\not\in L^1([0, +\infty))\cup L^1((-\infty, 0])$ , $\frac{\beta}{\alpha}\in L^1(\mathbb{R})$ (注意到问题(1.1)并不包含于此类方程,因为当 $0\leq\theta < 1$ 时, $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\gamma}{(1+|s|)^\theta}\not\in L^1(\mathbb{R})$ ).借助于特殊的指数型检验函数,根据 $f$ 的可积性,作者得到了上述问题的有界弱解及熵解的存在性.

问题(1.1)的难点在于梯度项和退化强制同时存在.梯度项的存在使得不能直接使用文献[1]的检验函数,而是需要寻找合适的检验函数,以同时处理低阶项和退化强制项.为了克服这个困难,我们结合了处理退化强制的思想^[1]以及控制低阶项的方法^{[3, 5]},使用一个新的检验函数和迭代技术,得到了逼近解序列 $u_n$ 的先验最大模估计;利用 $L^\infty$ 界证明了有界弱解的存在性.

现在给出本文主要结果.

定理1.1 如果条件(H1), (H2)和(H3)成立,那么对每一个 $\phi\in H_0^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ ,有

$\begin{eqnarray*} \int_\Omega\frac{1}{(1+|u|)^\theta}\nabla u\cdot\nabla\phi {\rm d}x +\int_\Omega\mu u\phi {\rm d}x +\int_\Omega g(x, u, \nabla u)\phi {\rm d}x = \int_\Omega f\phi {\rm d}x. \end{eqnarray*}$

即问题(1.1)至少存在一个有界弱解 $u\in H_0^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ .

2 最大模估计

首先,构造对应于问题(1.1)的一个逼近方程

$\begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} -\mbox{div}\bigg[\frac{1}{(1+|T_n(u_n)|)^\theta}\nabla u_n\bigg] +\mu u_n+g_n(x, u_n, \nabla u_n) = f_n, \quad &x\in\Omega, \\ u_n(x) = 0, &x\in\partial\Omega, \end{array}\right. \end{equation}$

(2.1)

其中 $T_k(s) = \max\{-k, \min\{k, s\}\}$ ( $T_k$ 的另一种表示法参见文献[6]),

$g_n(x, s, \xi) = \frac{g(x, s, \xi)}{1+\frac{1}{n}|g(x, s, \xi)|}, \quad f_n = \frac{f}{1+\frac{1}{n}|f|}.$

根据pseudo-monotone算子理论^[7],对每一个固定的 $n\in {\Bbb N}$ ,问题(2.1)至少存在一个弱解 $u_n\in H_0^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ .

下面证明解序列 $\{u_n\}_{n = 1}^\infty$ 一致最大模有界.

命题2.1 假设(H1), (H2)和(H3)成立,那么问题(2.1)的弱解 $u_n$ 是本征一致有界的,且

$\|u_n\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C,$

其中 $C$ 是正常数,它依赖于 $N, \mu, \theta, \gamma, ||f\|_{L^m(\Omega)}$ ,但不依赖于 $n$ .

证首先回顾Boccardo-Brezis的检验函数^[1]

$H(s) = \int_0^s\frac{1}{(1+|t|)^\theta}{\rm d}t$

和一个指数型函数^{[3, 5]}

$\varphi(s) = ({\rm e}^{2\lambda|s|}-1){\rm sign}(s),$

其中 $\lambda > \frac{\gamma}{2}$ .

对任意的实数 $k > 0$ ,记

$A_{n, k} = \{x\in\Omega:|H(u_n(x))|>k\}.$

经过简单的计算,发现 $A_{n, k}$ 有其等价形式

$A_{n, k} = \{x\in\Omega:|u_n(x)|>\widehat{k}\},$

其中 $\widehat{k} = [k(1-\theta)+1]^{\frac{1}{1-\theta}}-1$ .

令 $G_k(s) = s-T_k(s)$ ,受文献[1]和[3]启发,选取 $\varphi[G_k(H(u_n))]$ 作为问题(2.1)的一个检验函数,可得

$\begin{eqnarray} &&\overbrace{2\lambda\int_{A_{n, k}}{\rm e}^{2\lambda|G_k(H(u_n))|}\nabla G_k(H(u_n))\cdot\frac{\nabla u_n}{(1+|T_n(u_n)|)^\theta}{\rm d}x}^{(L1)} +\overbrace{\mu\int_{A_{n, k}}|u_n|[{\rm e}^{2\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]{\rm d}x}^{(L2)}\\ &&\leq \overbrace{\int_{A_{n, k}}\frac{\gamma}{(1+|u_n|)^{2\theta}}|\nabla u_n|^2[{\rm e}^{2\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]{\rm d}x}^{(R1)} +\overbrace{\int_{A_{n, k}}|f_n|[{\rm e}^{2\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]{\rm d}x}^{(R2)}, \end{eqnarray}$

(2.2)

上式用到了(H2)以及在集合 $A_{n, k}$ 上sign $(u_n)$ = sign $(G_k(H(u_n)))$ .

现在去估计(2.2)式的每一项.先考虑 $(L1)$ 和 $(R1)$ :

$\begin{eqnarray*} (L1) &\geq& 2\lambda\int_{A_{n, k}}{\rm e}^{2\lambda|G_k(H(u_n))|}\frac{|\nabla u_n|^2}{(1+|u_n|)^{2\theta}}{\rm d}x\\ &\geq& 2\lambda\int_{A_{n, k}}{\rm e}^{2\lambda|G_k(H(u_n))|}|\nabla G_k(H(u_n))|^2{\rm d}x, \\ (R1)&\leq& \gamma\int_{A_{n, k}}{\rm e}^{2\lambda|G_k(H(u_n))|}|\nabla G_k(H(u_n))|^2{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

注意到 $\lambda > \frac{\gamma}{2}$ ,那么

$\begin{equation} (L1)-(R1) \geq\frac{2\lambda-\gamma}{\lambda^2} \int_\Omega|\nabla[{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]|^2{\rm d}x. \end{equation}$

(2.3)

运用不等式

$A^2-1\geq(A-1)^2, \quad \forall A\geq1$

以及 $\mu > 0$ ,则

$\begin{eqnarray} (L2)&\geq& \mu\int_{A_{n, k}}|u_n|[{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]^2{\rm d}x\\ &\geq& \mu\hat{k}_0\left\|{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1\right\|^2_{L^2(\Omega)}, \end{eqnarray}$

(2.4)

其中 $\widehat{k}_0 = [k_0(1-\theta)+1]^{\frac{1}{1-\theta}}-1$ , $k_0$ 待定.

根据基本的不等式

$A^2-1\leq2(A-1)^2+1, \forall A\geq1;$

Hölder不等式, $|f_n|\leq|f|$ , $(R2)$ 可估计如下

$\begin{eqnarray} (R2)&\leq& 2\int_{A_{n, k}}|f_n|[{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]^2{\rm d}x +\int_{A_{n, k}}|f_n|{\rm d}x\\ &\leq&\overbrace{2\int_\Omega|f|[{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]^2{\rm d}x}^{(R_{21})} +\|f\|_{L^m(\Omega)}|A_{n, k}|^{\frac{1}{m^\prime}}, \end{eqnarray}$

(2.5)

其中 $\frac{1}{m^\prime} = 1-\frac{1}{m}$ , $|A| = {\rm meas}(A)$ 表示集合 $A$ 的Lebesgue测度.

对于 $(R_{21})$ ,依次使用Hölder不等式,插值不等式(因为(H3)蕴含 $2 < 2m^\prime < 2^\ast = \frac{2N}{N-2}$ ,因此存在一个 $0 < \alpha < 1$ ,使得 $\frac{1}{2m^\prime} = \frac{\alpha}{2^\ast}+\frac{1-\alpha}{2}$ ),带 $\epsilon$ 的Young不等式以及Sobolev嵌入,最终得到

$\begin{eqnarray} (R_{21})&\leq& 2\|f\|_{L^m(\Omega)}\left\|{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1\right\|_{L^{2m^\prime}(\Omega)}^2\\ & \leq& 2\|f\|_{L^m(\Omega)} \left\|{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1\right\|_{L^{2^\ast}(\Omega)}^{2\alpha} \left\|{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1\right\|_{L^2(\Omega)}^{2(1-\alpha)} \\ & \leq& 2\|f\|_{L^m(\Omega)} \left[\epsilon\left\|{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1\right\|_{L^{2^\ast}(\Omega)}^{2} +\epsilon^{-\frac{\alpha}{1-\alpha}}\left\|{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1\right\|_{L^2(\Omega)}^2\right]\\ & \leq&\epsilon 2\|f\|_{L^m(\Omega)}S_N^2\left\|\nabla[{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]\right\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}\\ & &+\epsilon^{-\frac{\alpha}{1-\alpha}}2\|f\|_{L^m(\Omega)}\left\|{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1\right\|_{L^2(\Omega)}^2, \end{eqnarray}$

(2.6)

其中 $S_N$ 是 $H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^{2^\ast}(\Omega)$ 中的Sobolev嵌入常数.

令 $\epsilon 2\|f\|_{L^m(\Omega)}S_N^2 = \frac{2\lambda-\gamma}{2\lambda^2}$ ,取 $k_0$ 满足

$\begin{equation} [k_0(1-\theta)+1]^{\frac{1}{1-\theta}}-1 = \widehat{k_0} >\frac{\left[\frac{2\lambda-\gamma}{4\lambda^2\|f\|_{L^m(\Omega)}S_N^2}\right]^{-\frac{\alpha}{1-\alpha}}2\|f\|_{L^m(\Omega)}}{\mu}, \end{equation}$

(2.7)

那么对于 $k > k_0$ , (2.6)式的右端第二项就能够被(2.4)式所吸收.

将估计式(2.3)–(2.7)代入到(2.2)式,我们得到

$\begin{eqnarray} \overbrace{\frac{2\lambda-\gamma}{2\lambda^2} \int_\Omega|\nabla[{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]|^2{\rm d}x}^{(L_{11})} \leq \|f\|_{L^m(\Omega)}|A_{n, k}|^{\frac{1}{m^\prime}}. \end{eqnarray}$

(2.8)

在(2.8)式的左端应用Sobolev嵌入,运用不等式e $^t-1\geq t, \forall t\geq0$ ,得到

$\begin{eqnarray} (L_{11}) &\geq&\frac{2\lambda-\gamma}{2\lambda^2S^2_N} \left(\int_\Omega|{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1|^{2^\ast}{\rm d}x\right)^{\frac{2}{2^\ast}}\\ &\geq&\frac{2\lambda-\gamma}{2S^2_N} \left(\int_{A_{n, k}}|G_k(H(u_n))|^{2^\ast}{\rm d}x\right)^{\frac{2}{2^\ast}}. \end{eqnarray}$

(2.9)

由(2.9)和(2.8)式得到

$\begin{equation} \int_{A_{n, k}}|G_k(H(u_n))|^{2^\ast}{\rm d}x \leq C(N, \gamma, \|f\|_{L^m(\Omega)})|A_{n, k}|^{\frac{2^\ast}{2m^\prime}}. \end{equation}$

(2.10)

对任何 $h > k > k_0$ ,有

$\begin{equation} \int_{A_{n, k}}|G_k(H(u_n))|^{2^\ast}{\rm d}x \geq (h-k)^{2^\ast}|A_{n, h}|. \end{equation}$

(2.11)

从(2.11)和(2.10)式可推出

$\begin{equation} |A_{n, h}| \leq \frac{C(N, \gamma, \|f\|_{L^m(\Omega)})}{(h-k)^{2^\ast}} |A_{n, k}|^{\frac{2^\ast}{2m^\prime}}. \end{equation}$

(2.12)

注意到(H3)蕴含 $m > \frac{N}{2}\Leftrightarrow\frac{2^\ast}{2m^\prime} > 1$ 以及(2.7)式中 $k_0$ 的选取,运用De Giorgi迭代引理^[8],可得

$\|H(u_n(x))\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C(N, \mu, \theta, \gamma, \|f\|_{L^m(\Omega)}).$

注意到 $0\leq\theta < 1$ 蕴含 $H(s)$ 的性质:

$\lim\limits_{s\rightarrow+\infty}H(s) = +\infty, \lim\limits_{s\rightarrow-\infty}H(s) = -\infty.$

这表明

$\|u_n(x)\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C(N, \mu, \theta, \gamma, \|f\|_{L^m(\Omega)}).$

证毕.

3 定理1.1的证明:解的存在性

证一旦 $\{u_n\}_{n = 1}^\infty$ 的先验 $L^\infty$ 界得到,就可以证明方程解的存在性.事实上,由命题2.1,不妨假设存在 $M > 0$ ,使得

$\sup\limits_{x\in\Omega}\|u_n\|_{L^\infty(\Omega)}\leq M.$

选取 $n > M$ ,此时在问题(2.1)中, $T_n(u_n) = u_n$ ,方程的退化强制消失.根据文献[3], $n > M$ 时的 $u_n$ 就是问题(1.1)的解.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Boccardo

, Brezis

Some remarks on a class of elliptic equations with degenerate coercivity

Boll Unione Mat Ital Sez B Artic Ric Mat, 2003, 6 (3): 521- 530

[本文引用: 5]

[2]

Boccardo

, Dall'Aglio

, Orsina

Existence and regularity results for some elliptic equations with degenerate coercivity

Atti Sem Mat Fis Univ Modena, 1998, 46 (supp 1): 51- 81

URL [本文引用: 1]

[3]

Boccardo

, Murat

, Puel

J P

L^∞ estimate for some nonlinear elliptic partial differential equations and application to an existence result

SIAM J Math Anal, 1992, 23 (2): 326- 333

[本文引用: 5]

[4]

Boccardo

, Segura de Léon

, Trombetti

Bounded and unbounded solutions for a class of quasi-linear elliptic problems with a quadratic gradient term

J Math Pures Appl, 2001, 80 (9): 919- 940

URL [本文引用: 1]

[5]

Boccardo

, Croce

Elliptic Partial Differential Equations:Existence and Regularity of Distributional Solutions. Berlin: De Gruyter, 2014

[本文引用: 2]

[6]

高红亚, 贾苗苗.

障碍问题解的局部正则性和局部有界性

数学物理学报, 2017, 37A (4): 706- 713

URL [本文引用: 1]

Gao

H Y

, Jia

M M

Local regularity and local boundedness for solutions to obstacle problems

Acta Math Sci, 2017, 37A (4): 706- 713

URL [本文引用: 1]

[7]

Zeidler

Nonlinear Functional Analysis and Its Applications Ⅱ/B:Nonlinear Monotone Operators. New York: Springer-Verlag, 1990

[本文引用: 1]

[8]

Kinderlehrer

, Stampacchia

An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2000

[本文引用: 1]

Some remarks on a class of elliptic equations with degenerate coercivity

2003

... 许多数学工作者对问题(1.1)及其相似模型进行了广泛的研究. Boccardo和Brezis^[1]考虑了不带一阶项的退化强制椭圆方程(即当

$\gamma = 0$

时的情形).作者引入了一种特殊的积分型检验函数,得到了先验

$L^\infty$

估计;借助于关键的

$L^\infty$

界,证明了有界弱解的存在性.文献[2]使用不同的检验函数并改进迭代引理,证明了解的

$L^\infty$

正则性.当问题(1.1)中的

$\theta = 0$

时,方程为具自然增长的一致椭圆型.文献[3]研究了这类一致椭圆方程,通过使用指数型检验函数,得到了有界弱解的存在性. ...

... 问题(1.1)的难点在于梯度项和退化强制同时存在.梯度项的存在使得不能直接使用文献[1]的检验函数,而是需要寻找合适的检验函数,以同时处理低阶项和退化强制项.为了克服这个困难,我们结合了处理退化强制的思想^[1]以及控制低阶项的方法^{[3, 5]},使用一个新的检验函数和迭代技术,得到了逼近解序列

$u_n$

的先验最大模估计;利用

$L^\infty$

界证明了有界弱解的存在性. ...

... [1]以及控制低阶项的方法^{[3, 5]},使用一个新的检验函数和迭代技术,得到了逼近解序列

$u_n$

的先验最大模估计;利用

$L^\infty$

界证明了有界弱解的存在性. ...

... 证首先回顾Boccardo-Brezis的检验函数^[1] ...

... 令

$G_k(s) = s-T_k(s)$

,受文献[1]和[3]启发,选取

$\varphi[G_k(H(u_n))]$

作为问题(2.1)的一个检验函数,可得 ...

Existence and regularity results for some elliptic equations with degenerate coercivity

1998

... 许多数学工作者对问题(1.1)及其相似模型进行了广泛的研究. Boccardo和Brezis^[1]考虑了不带一阶项的退化强制椭圆方程(即当

$\gamma = 0$

时的情形).作者引入了一种特殊的积分型检验函数,得到了先验

$L^\infty$

估计;借助于关键的

$L^\infty$

界,证明了有界弱解的存在性.文献[2]使用不同的检验函数并改进迭代引理,证明了解的

$L^\infty$

正则性.当问题(1.1)中的

$\theta = 0$

时,方程为具自然增长的一致椭圆型.文献[3]研究了这类一致椭圆方程,通过使用指数型检验函数,得到了有界弱解的存在性. ...

L^∞ estimate for some nonlinear elliptic partial differential equations and application to an existence result

1992

... 许多数学工作者对问题(1.1)及其相似模型进行了广泛的研究. Boccardo和Brezis^[1]考虑了不带一阶项的退化强制椭圆方程(即当

$\gamma = 0$

时的情形).作者引入了一种特殊的积分型检验函数,得到了先验

$L^\infty$

估计;借助于关键的

$L^\infty$

界,证明了有界弱解的存在性.文献[2]使用不同的检验函数并改进迭代引理,证明了解的

$L^\infty$

正则性.当问题(1.1)中的

$\theta = 0$

时,方程为具自然增长的一致椭圆型.文献[3]研究了这类一致椭圆方程,通过使用指数型检验函数,得到了有界弱解的存在性. ...

$u_n$

的先验最大模估计;利用

$L^\infty$

界证明了有界弱解的存在性. ...

... 和一个指数型函数^{[3, 5]} ...

... 令

$G_k(s) = s-T_k(s)$

,受文献[1]和[3]启发,选取

$\varphi[G_k(H(u_n))]$

作为问题(2.1)的一个检验函数,可得 ...

... 选取

$n > M$

,此时在问题(2.1)中,

$T_n(u_n) = u_n$

,方程的退化强制消失.根据文献[3],

$n > M$

时的

$u_n$

就是问题(1.1)的解. ...

Bounded and unbounded solutions for a class of quasi-linear elliptic problems with a quadratic gradient term

2001

... Boccardo等^[4]考虑了一个拟线性椭圆方程,其最简模型为 ...

2014

$u_n$

的先验最大模估计;利用

$L^\infty$

界证明了有界弱解的存在性. ...

... 和一个指数型函数^{[3, 5]} ...

障碍问题解的局部正则性和局部有界性

2017

... 其中

$T_k(s) = \max\{-k, \min\{k, s\}\}$

(

$T_k$

的另一种表示法参见文献[6]), ...

障碍问题解的局部正则性和局部有界性

2017

... 其中

$T_k(s) = \max\{-k, \min\{k, s\}\}$

(

$T_k$

的另一种表示法参见文献[6]), ...

1990

... 根据pseudo-monotone算子理论^[7],对每一个固定的

$n\in {\Bbb N}$

,问题(2.1)至少存在一个弱解

$u_n\in H_0^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$

. ...

2000

... 注意到(H3)蕴含

$m > \frac{N}{2}\Leftrightarrow\frac{2^\ast}{2m^\prime} > 1$

以及(2.7)式中

$k_0$

的选取,运用De Giorgi迭代引理^[8],可得 ...

〈

〉