本文考虑如下椭圆方程

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} -\mbox{div}\bigg[\frac{1}{(1+|u|)^\theta}\nabla u\bigg]+\mu u+g(x, u, \nabla u) = f, \quad &x\in\Omega, \\ u(x) = 0, &x\in\partial\Omega, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ \Omega $是$ \mathbb{R}^N $中的有界开集, $ \Omega $的边界$ \partial\Omega $是光滑的, $ N > 2 $.关于问题(1.1),有进一步的假设:

(H1) $ 0\leq\theta < 1 $, $ \mu > 0 $;

(H2) $ g(x, s, \xi) $是一个Carathéodory函数,并且存在一常数$ \gamma > 0 $,使得对几乎处处的$ x\in\Omega $和所有的$ s\in\mathbb{R} $, $ \xi\in\mathbb{R}^\mathbb{N} $,有

$ |g(x, s, \xi)|\leq\frac{\gamma}{(1+|s|)^{2\theta}}|\xi|^2; $

(H3) $ f\in L^m(\Omega) $且$ m > \frac{N}{2} $.

许多数学工作者对问题(1.1)及其相似模型进行了广泛的研究. Boccardo和Brezis^[1]考虑了不带一阶项的退化强制椭圆方程(即当$ \gamma = 0 $时的情形).作者引入了一种特殊的积分型检验函数,得到了先验$ L^\infty $估计;借助于关键的$ L^\infty $界,证明了有界弱解的存在性.文献[2]使用不同的检验函数并改进迭代引理,证明了解的$ L^\infty $正则性.当问题(1.1)中的$ \theta = 0 $时,方程为具自然增长的一致椭圆型.文献[3]研究了这类一致椭圆方程,通过使用指数型检验函数,得到了有界弱解的存在性.

Boccardo等^[4]考虑了一个拟线性椭圆方程,其最简模型为

$ \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} -\mbox{div}[\alpha(u)\nabla u] = \beta(u)|\nabla u|^2 +f, \quad&x\in\Omega, \\ u(x) = 0, &x\in\partial\Omega, \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

其中$ \alpha $和$ \beta $是正的连续函数,满足$ \alpha\not\in L^1([0, +\infty))\cup L^1((-\infty, 0]) $, $ \frac{\beta}{\alpha}\in L^1(\mathbb{R}) $ (注意到问题(1.1)并不包含于此类方程,因为当$ 0\leq\theta < 1 $时, $ \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\gamma}{(1+|s|)^\theta}\not\in L^1(\mathbb{R}) $).借助于特殊的指数型检验函数,根据$ f $的可积性,作者得到了上述问题的有界弱解及熵解的存在性.

问题(1.1)的难点在于梯度项和退化强制同时存在.梯度项的存在使得不能直接使用文献[1]的检验函数,而是需要寻找合适的检验函数,以同时处理低阶项和退化强制项.为了克服这个困难,我们结合了处理退化强制的思想^[1]以及控制低阶项的方法^{[3, 5]},使用一个新的检验函数和迭代技术,得到了逼近解序列$ u_n $的先验最大模估计;利用$ L^\infty $界证明了有界弱解的存在性.

现在给出本文主要结果.

定理1.1  如果条件(H1), (H2)和(H3)成立,那么对每一个$ \phi\in H_0^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega) $,有

$ \begin{eqnarray*} \int_\Omega\frac{1}{(1+|u|)^\theta}\nabla u\cdot\nabla\phi {\rm d}x +\int_\Omega\mu u\phi {\rm d}x +\int_\Omega g(x, u, \nabla u)\phi {\rm d}x = \int_\Omega f\phi {\rm d}x. \end{eqnarray*} $

即问题(1.1)至少存在一个有界弱解$ u\in H_0^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega) $.

首先,构造对应于问题(1.1)的一个逼近方程

(2.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} -\mbox{div}\bigg[\frac{1}{(1+|T_n(u_n)|)^\theta}\nabla u_n\bigg] +\mu u_n+g_n(x, u_n, \nabla u_n) = f_n, \quad &x\in\Omega, \\ u_n(x) = 0, &x\in\partial\Omega, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ T_k(s) = \max\{-k, \min\{k, s\}\} $ ($ T_k $的另一种表示法参见文献[6]),

$ g_n(x, s, \xi) = \frac{g(x, s, \xi)}{1+\frac{1}{n}|g(x, s, \xi)|}, \quad f_n = \frac{f}{1+\frac{1}{n}|f|}. $

根据pseudo-monotone算子理论^[7],对每一个固定的$ n\in {\Bbb N} $,问题(2.1)至少存在一个弱解$ u_n\in H_0^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega) $.

下面证明解序列$ \{u_n\}_{n = 1}^\infty $一致最大模有界.

命题2.1  假设(H1), (H2)和(H3)成立,那么问题(2.1)的弱解$ u_n $是本征一致有界的,且

$ \|u_n\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C, $

其中$ C $是正常数,它依赖于$ N, \mu, \theta, \gamma, ||f\|_{L^m(\Omega)} $,但不依赖于$ n $.

证 首先回顾Boccardo-Brezis的检验函数^[1]

$ H(s) = \int_0^s\frac{1}{(1+|t|)^\theta}{\rm d}t $

和一个指数型函数^{[3, 5]}

$ \varphi(s) = ({\rm e}^{2\lambda|s|}-1){\rm sign}(s), $

其中$ \lambda > \frac{\gamma}{2} $.

对任意的实数$ k > 0 $,记

$ A_{n, k} = \{x\in\Omega:|H(u_n(x))|>k\}. $

经过简单的计算,发现$ A_{n, k} $有其等价形式

$ A_{n, k} = \{x\in\Omega:|u_n(x)|>\widehat{k}\}, $

其中$ \widehat{k} = [k(1-\theta)+1]^{\frac{1}{1-\theta}}-1 $.

令$ G_k(s) = s-T_k(s) $,受文献[1]和[3]启发,选取$ \varphi[G_k(H(u_n))] $作为问题(2.1)的一个检验函数,可得

(2.2) $ \begin{eqnarray} &&\overbrace{2\lambda\int_{A_{n, k}}{\rm e}^{2\lambda|G_k(H(u_n))|}\nabla G_k(H(u_n))\cdot\frac{\nabla u_n}{(1+|T_n(u_n)|)^\theta}{\rm d}x}^{(L1)} +\overbrace{\mu\int_{A_{n, k}}|u_n|[{\rm e}^{2\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]{\rm d}x}^{(L2)}\\ &&\leq \overbrace{\int_{A_{n, k}}\frac{\gamma}{(1+|u_n|)^{2\theta}}|\nabla u_n|^2[{\rm e}^{2\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]{\rm d}x}^{(R1)} +\overbrace{\int_{A_{n, k}}|f_n|[{\rm e}^{2\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]{\rm d}x}^{(R2)}, \end{eqnarray} $

上式用到了(H2)以及在集合$ A_{n, k} $上sign$ (u_n) $ = sign$ (G_k(H(u_n))) $.

现在去估计(2.2)式的每一项.先考虑$ (L1) $和$ (R1) $:

$ \begin{eqnarray*} (L1) &\geq& 2\lambda\int_{A_{n, k}}{\rm e}^{2\lambda|G_k(H(u_n))|}\frac{|\nabla u_n|^2}{(1+|u_n|)^{2\theta}}{\rm d}x\\ &\geq& 2\lambda\int_{A_{n, k}}{\rm e}^{2\lambda|G_k(H(u_n))|}|\nabla G_k(H(u_n))|^2{\rm d}x, \\ (R1)&\leq& \gamma\int_{A_{n, k}}{\rm e}^{2\lambda|G_k(H(u_n))|}|\nabla G_k(H(u_n))|^2{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

注意到$ \lambda > \frac{\gamma}{2} $,那么

(2.3) $ \begin{equation} (L1)-(R1) \geq\frac{2\lambda-\gamma}{\lambda^2} \int_\Omega|\nabla[{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]|^2{\rm d}x. \end{equation} $

运用不等式

$ A^2-1\geq(A-1)^2, \quad \forall A\geq1 $

以及$ \mu > 0 $,则

(2.4) $ \begin{eqnarray} (L2)&\geq& \mu\int_{A_{n, k}}|u_n|[{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]^2{\rm d}x\\ &\geq& \mu\hat{k}_0\left\|{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1\right\|^2_{L^2(\Omega)}, \end{eqnarray} $

其中$ \widehat{k}_0 = [k_0(1-\theta)+1]^{\frac{1}{1-\theta}}-1 $, $ k_0 $待定.

根据基本的不等式

$ A^2-1\leq2(A-1)^2+1, \forall A\geq1; $

Hölder不等式, $ |f_n|\leq|f| $, $ (R2) $可估计如下

(2.5) $ \begin{eqnarray} (R2)&\leq& 2\int_{A_{n, k}}|f_n|[{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]^2{\rm d}x +\int_{A_{n, k}}|f_n|{\rm d}x\\ &\leq&\overbrace{2\int_\Omega|f|[{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]^2{\rm d}x}^{(R_{21})} +\|f\|_{L^m(\Omega)}|A_{n, k}|^{\frac{1}{m^\prime}}, \end{eqnarray} $

其中$ \frac{1}{m^\prime} = 1-\frac{1}{m} $, $ |A| = {\rm meas}(A) $表示集合$ A $的Lebesgue测度.

对于$ (R_{21}) $,依次使用Hölder不等式,插值不等式(因为(H3)蕴含$ 2 < 2m^\prime < 2^\ast = \frac{2N}{N-2} $,因此存在一个$ 0 < \alpha < 1 $,使得$ \frac{1}{2m^\prime} = \frac{\alpha}{2^\ast}+\frac{1-\alpha}{2} $),带$ \epsilon $的Young不等式以及Sobolev嵌入,最终得到

(2.6) $ \begin{eqnarray} (R_{21})&\leq& 2\|f\|_{L^m(\Omega)}\left\|{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1\right\|_{L^{2m^\prime}(\Omega)}^2\\ & \leq& 2\|f\|_{L^m(\Omega)} \left\|{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1\right\|_{L^{2^\ast}(\Omega)}^{2\alpha} \left\|{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1\right\|_{L^2(\Omega)}^{2(1-\alpha)} \\ & \leq& 2\|f\|_{L^m(\Omega)} \left[\epsilon\left\|{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1\right\|_{L^{2^\ast}(\Omega)}^{2} +\epsilon^{-\frac{\alpha}{1-\alpha}}\left\|{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1\right\|_{L^2(\Omega)}^2\right]\\ & \leq&\epsilon 2\|f\|_{L^m(\Omega)}S_N^2\left\|\nabla[{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]\right\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}\\ & &+\epsilon^{-\frac{\alpha}{1-\alpha}}2\|f\|_{L^m(\Omega)}\left\|{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1\right\|_{L^2(\Omega)}^2, \end{eqnarray} $

其中$ S_N $是$ H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^{2^\ast}(\Omega) $中的Sobolev嵌入常数.

令$ \epsilon 2\|f\|_{L^m(\Omega)}S_N^2 = \frac{2\lambda-\gamma}{2\lambda^2} $,取$ k_0 $满足

(2.7) $ \begin{equation} [k_0(1-\theta)+1]^{\frac{1}{1-\theta}}-1 = \widehat{k_0} >\frac{\left[\frac{2\lambda-\gamma}{4\lambda^2\|f\|_{L^m(\Omega)}S_N^2}\right]^{-\frac{\alpha}{1-\alpha}}2\|f\|_{L^m(\Omega)}}{\mu}, \end{equation} $

那么对于$ k > k_0 $, (2.6)式的右端第二项就能够被(2.4)式所吸收.

将估计式(2.3)–(2.7)代入到(2.2)式,我们得到

(2.8) $ \begin{eqnarray} \overbrace{\frac{2\lambda-\gamma}{2\lambda^2} \int_\Omega|\nabla[{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1]|^2{\rm d}x}^{(L_{11})} \leq \|f\|_{L^m(\Omega)}|A_{n, k}|^{\frac{1}{m^\prime}}. \end{eqnarray} $

在(2.8)式的左端应用Sobolev嵌入,运用不等式e$ ^t-1\geq t, \forall t\geq0 $,得到

(2.9) $ \begin{eqnarray} (L_{11}) &\geq&\frac{2\lambda-\gamma}{2\lambda^2S^2_N} \left(\int_\Omega|{\rm e}^{\lambda|G_k(H(u_n))|}-1|^{2^\ast}{\rm d}x\right)^{\frac{2}{2^\ast}}\\ &\geq&\frac{2\lambda-\gamma}{2S^2_N} \left(\int_{A_{n, k}}|G_k(H(u_n))|^{2^\ast}{\rm d}x\right)^{\frac{2}{2^\ast}}. \end{eqnarray} $

由(2.9)和(2.8)式得到

(2.10) $ \begin{equation} \int_{A_{n, k}}|G_k(H(u_n))|^{2^\ast}{\rm d}x \leq C(N, \gamma, \|f\|_{L^m(\Omega)})|A_{n, k}|^{\frac{2^\ast}{2m^\prime}}. \end{equation} $

对任何$ h > k > k_0 $,有

(2.11) $ \begin{equation} \int_{A_{n, k}}|G_k(H(u_n))|^{2^\ast}{\rm d}x \geq (h-k)^{2^\ast}|A_{n, h}|. \end{equation} $

从(2.11)和(2.10)式可推出

(2.12) $ \begin{equation} |A_{n, h}| \leq \frac{C(N, \gamma, \|f\|_{L^m(\Omega)})}{(h-k)^{2^\ast}} |A_{n, k}|^{\frac{2^\ast}{2m^\prime}}. \end{equation} $

注意到(H3)蕴含$ m > \frac{N}{2}\Leftrightarrow\frac{2^\ast}{2m^\prime} > 1 $以及(2.7)式中$ k_0 $的选取,运用De Giorgi迭代引理^[8],可得

$ \|H(u_n(x))\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C(N, \mu, \theta, \gamma, \|f\|_{L^m(\Omega)}). $

注意到$ 0\leq\theta < 1 $蕴含$ H(s) $的性质:

$ \lim\limits_{s\rightarrow+\infty}H(s) = +\infty, \lim\limits_{s\rightarrow-\infty}H(s) = -\infty. $

这表明

$ \|u_n(x)\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C(N, \mu, \theta, \gamma, \|f\|_{L^m(\Omega)}). $

证毕.

证 一旦$ \{u_n\}_{n = 1}^\infty $的先验$ L^\infty $界得到,就可以证明方程解的存在性.事实上,由命题2.1,不妨假设存在$ M > 0 $,使得

$ \sup\limits_{x\in\Omega}\|u_n\|_{L^\infty(\Omega)}\leq M. $

选取$ n > M $,此时在问题(2.1)中, $ T_n(u_n) = u_n $,方程的退化强制消失.根据文献[3], $ n > M $时的$ u_n $就是问题(1.1)的解.