分数阶偏微分方程在诸如物理学,生物学,流体力学,化学,信号处理,控制理论等众多领域中都有重要应用.因此,寻找分数阶偏微分方程的精确解和数值解是很有价值的.近些年来,许多方法已用来构建分数阶偏微分方程的精确解.如Adomian分析法^[1-4],对称方法^[5-7],拟设方法^[8-10],变分迭代法^[11-13],数值模拟法^[14-16].

非线性偏微分方程Kadomtsev-Petviashvili方程^[17]的三维形式是^[18]

(1.1) $ \begin{equation} (u_{t}+6uu_{x}+u_{xxx})_{x} = \sigma(u_{yy}+u_{zz}), (x, y, z)\in {\Bbb R} ^{3}, t>0. \end{equation} $

广义的(3+1)维Kadomtsev-Petviashvili方程

(1.2) $ \begin{equation} (u_{t}+auu_{x}+u_{xxx})_{x}+bu_{yy}+cu_{zz} = 0, \end{equation} $

其中$ x $是传播方向$, $$ y $和$ z $是横向变量. $ \sigma = \pm1 $分别表示正负扩散影响. (3+1)维Kadomtsev-Petviashvili方程是用来描述等离子体中非线性波现象^[19]. Lv^[20]利用指数函数法构造了简化的方程的精确解, Peng ^[21]利用雅克比椭圆函数得到了方程(1.2)的行波解, Alam^[22]利用推广的$ (\frac{G'}{G}) $扩展法构造了方程(1.2)的行波解.

为了研究方程的性态和更多的解,本文先用拟设方法来获得奇异孤子解.再用动力系统分支方法^[23-24]来分析分支相图及其构建行波解.

拟设

(2.1) $ \begin{equation} u(x, y, z, t) = A{\rm csch}^{p}\tau, \end{equation} $

其中$ \tau = B(x+y+z-kt) $. $ A $和$ B $是常参数, $ k $是孤子的速度.把(2.1)式代入方程(1.2)可得

$ \begin{eqnarray*} &&-AB^{2}kp(p+1){\rm csch}^{p+2}\tau-AB^{2}kp^{2}{\rm csch}^{p}\tau+aA^{2}B^{2}p(p+1){\rm csch}^{2p+2}\tau \\ &&+aA^{2}B^{2}p^{2}{\rm csch}^{2p}\tau+aA^{2}B^{2}p^{2}{\rm csch}^{2p+2}\tau+aA^{2}B^{2}p^{2}{\rm csch}^{2p}\tau \\ &&+AB^{4}p(p+1)(p+2)(p+3){\rm csch}^{p+4}\tau+AB^{4}p[(p+1)(p+2)^{2} +p^{3}+p^{2}]{\rm csch}^{p+2}\tau \\ &&+AB^{4}p^{4}{\rm csch}^{p}\tau+(b+c)AB^{2}p(p+1){\rm csch}^{p+2}\tau+(b+c)AB^{2}p^{2}{\rm csch}^{p}\tau = 0. \end{eqnarray*} $

并平衡色散项和非线性项,得$ p = 2 $.令相同幂次项的系数分别为零,则可得

(2.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} 10aA^{2}B^{2}+120AB^{4} = 0, \\ -6kAB^{2}+8aA^{2}B^{2}+120AB^{4}+b(b+4)AB^{2} = 0, \\ -4kAB^{2}+16AB^{4}+4(b+c)AB^{2} = 0, \\ \end{array}\right. \end{equation} $

则可得$ A = -\frac{3(k-b-c)}{a} $和$ B = \frac{\sqrt{k-b-c}}{2} $.由$ B = \frac{\sqrt{k-b-c}}{2} $限制$ k-b-c > 0 $.因此,奇异孤子解为

(2.3) $ \begin{equation} u(x, y, z, t) = -\frac{3(k-b-c)}{a}{\rm csch}^{2}\bigg(\sqrt{\frac{k-b-c}{2}}\tau\bigg), \end{equation} $

对方程(1.2)作行波变换

(3.1) $ \begin{equation} u(x, y, z, t) = v(\xi), \quad \xi = x+y+z-kt, \end{equation} $

并对$ \xi $积分两次,并令积分常数为零,可得

(3.2) $ \begin{equation} (-k+b+c)v+\frac{a}{2}v^{2}+v'' = 0. \end{equation} $

令$ v' = y $,由平面动力系统

(3.3) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} v' = y, \\ y' = (k-b-c)v-\frac{a}{2}v^{2}.\\ \end{array} \right. \end{equation} $

对系统(3.3)首次积分可得下面的哈密顿函数

(3.4) $ \begin{equation} H(v, y) = y^{2}-(k-b-c)v^{2}+\frac{a}{3}v^{3} = h, \end{equation} $

其中$ h $是哈密顿量.设

(3.5) $ \begin{equation} f(v) = (k-b-c)v-\frac{a}{2}v^{2}, \end{equation} $

(3.6) $ \begin{equation} f'(v) = (k-b-c)-va. \end{equation} $

显然, $ f(v) $有两个零点, $ v_{0} $和$ v_{1} $,其中$ v_{0} = 0 $和$ v_{1} = \frac{2(k-b-c)}{a} $.假设$ (v_{i}, 0), (i = 0, 1) $是系统(3.3)的一个奇点,则系统在奇点$ (v_{i}, 0) $的特征值为

(3.7) $ \begin{equation} \lambda_{\pm} = \pm\sqrt{f'(v_{i})}. \end{equation} $

利用微分方程定性理论^[25-26]可得下面的结论:

(ⅰ)若$ f'(v_{i}) > 0 $,则奇点$ (v_{i}, 0) $是鞍点.

(ⅱ)若$ f'(v_{i}) < 0 $,则奇点$ (v_{i}, 0) $是中心.

(ⅲ)若$ f'(v_{i}) = 0 $,则奇点$ (v_{i}, 0) $是退化的鞍点.由以上结论,借助数学软件maple可得到系统(3.3)的分支相图,如图 1–4.

考虑系统的轨道和哈密顿量$ h $之间的关系.设

(3.8) $ \begin{equation} h^{\ast} = H(v_{1}, 0) = -\frac{4k^{3}}{3a^{2}(2c+1)}. \end{equation} $

根据以上图,可以得到下面的命题.

命题3.1  当$ a < 0 $, $ k-b-c > 0 $, $ f'(v_{0}) > 0, f'(v_{1}) < 0 $, $ (v_{0}, 0) $鞍点, $ (v_{1}, 0) $中心.(如图 1所示)

(ⅰ)当$ h^{\ast} < h < 0 $,系统(3.3)有一个周期轨道$ L_{2} $和一个特殊的轨道$ L_{3} $.

(ⅱ)当$ h > 0 $或者$ h < h^{\ast} $,系统(3.3)没有任何轨道.

(ⅲ)当$ h = 0 $,系统(3.3)有一个同宿轨道$ L_{1} $,两个特殊轨道$ L_{1}^{\ast} $和$ L_{1}^{\star} $.

(ⅳ)当$ h = h^{\ast} $,系统(3.3)有一个特殊轨道$ L_{4} $.

命题3.2  当$ a < 0 $, $ k-b-c < 0 $, $ f'(v_{0}) < 0, f'(v_{1}) > 0 $, $ (v_{0}, 0) $是中心, $ (v_{1}, 0) $是鞍点. (如图 2所示)

(ⅰ)当$ 0 < h < h^{\ast} $,系统(3.3)有一个周期轨道$ L_{6} $和特殊轨道$ L_{7} $.

(ⅱ)当$ h < 0 $或者$ h > h^{\ast} $,系统(3.3)没有任何轨道.

(ⅲ)当$ h = 0 $,系统(3.3)有一个特殊的轨道$ L_{8} $.

(ⅳ)当$ h = h^{\ast} $,系统(3.3)有一个同宿轨道$ L_{5} $,两个特殊轨道$ L_{5}^{\ast} $和$ L_{5}^{\star} $.

根据动力系统定性理论相关知识,偏微分方程的一个光滑孤立波解对应于一个行波方程的光滑同宿轨,偏微分方程的一个周期波解对应于一个行波方程的光滑周期轨.由以上结论,有下面的命题.

命题3.3  若$ a < 0 $, $ k-b-c > 0 $,则(如图 1所示)

(ⅰ)当$ h = 0 $,方程(1.2)有一个孤立波解和一个奇异孤立波解.

(ⅱ)当$ h^{\ast} < h < 0 $,方程(1.2)有一个周期波解和一个奇异波解.

(ⅲ)当$ h = h^{\ast} $,方程(1.2)有一个周期奇异波解.

命题3.4  若$ a < 0 $, $ k-b-c < 0 $,则(如图 2所示)

(ⅰ)当$ h = h^{\ast} $时,方程(1.2)有一个孤立波解和一个奇异孤立波解.

(ⅱ)当$ 0 < h < h^{\ast} $时,方程(1.2)有一个周期波解和一个奇异波解.

(ⅲ)当$ h = 0 $时,方程(1.2)有一个周期奇异波解.

首先,研究当$ a < 0 $, $ k-b-c > 0 $方程(1.2)的显示行波解.

(ⅰ)从分支相图 1,可注意到有一条过鞍点(0, 0)的同宿轨道$ L_{1} $.两条特殊轨道$ L_{1}^{\star} $和$ L_{1}^{\ast} $,它们在$ (v, y) $平面的表达式为

(4.1) $ \begin{equation} y = \pm\sqrt{-\frac{a}{3}v^{2}(v-v_{2})}, \end{equation} $

其中$ v_{2} = \frac{3(k-b-c)}{a} $.

把(4.1)式代入系统(3.3)并且沿轨道$ L_{1} $积分和沿特殊轨道$ L_{1}^{\star} $和$ L_{1}^{\ast} $积分可得

$ \pm\int_{v_{2}}^{v}\frac{1}{\sqrt{s^{2}(s-v_{2})}}{\rm d}s = \int_{0}^{\xi}\sqrt{-\frac{a}{3}}{\rm d}s, $

$ \pm\int_{v}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{s^{2}(s-v_{2})}}{\rm d}s = \int_{0}^{\xi}\sqrt{-\frac{a}{3}}{\rm d}s. $

完成上面的积分,可得到方程的一个孤立波解和爆破解

$ u_{1}(x, y, z, t) = \frac{3(k-b-c)}{a}{\rm sech}^{2}\bigg(\frac{1}{2}\sqrt{k-b-c}\xi\bigg), $

$ u_{2}(x, y, z, t) = \frac{-3(k-b-c)}{a}{\rm csch}^{2}\bigg(\frac{1}{2}\sqrt{k-b-c}\xi\bigg). $

(ⅱ)从分支相图 1,可注意到有一条过点$ (v_{3}, 0), (v_{4}, 0) $的周期轨道$ L_{2} $和$ (v_{5}, 0) $的周期轨道$ L_{3} $.它们在$ (v, y) $平面的表达式为

(4.2) $ \begin{equation} y = \pm\sqrt{-\frac{a}{3}(v-v_{3})(v-v_{4})(v-v_{5})}, \end{equation} $

其中$ v_{3} < v_{4} < v_{5} $.

把(4.2)式代入系统(3.3)并且沿轨道$ L_{2} $和$ L_{3} $积分可得

$ \pm\int_{v_{3}}^{v}\frac{1}{\sqrt{(s-v_{3})(s-v_{4})(s-v_{5})}}{\rm d}s = \int_{0}^{\xi}\sqrt{-\frac{a}{3}}{\rm d}s, $

$ \pm\int_{v}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{(s-v_{3})(s-v_{4})(s-v_{5})}}{\rm d}s = \int_{0}^{\xi}\sqrt{-\frac{a}{3}}{\rm d}s. $

完成上面积分可得如下的周期波解和爆破解

$ u_{3}(x, y, z, t) = v_{3}+(v_{4}-v_{3}){\rm sn}^{2} \bigg(\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{a(v_{5}-v_{3})}{3}}\xi, \sqrt{\frac{v_{4}-v_{3}}{v_{5}-v_{3}}}\bigg), $

$ u_{4}(x, y, z, t) = v_{3}+\frac{v_{5}-v_{3}}{{\rm sn}^{2} (\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{a(v_{5}-v_{3})}{3}}\xi, \sqrt{\frac{v_{4}-v_{3}}{v_{5}-v_{3}}})}, $

(ⅲ)从分支相图 1,可注意到有一条特殊轨道$ L_{4} $,它与中心$ (v_{1}, 0) $有相同的哈密顿量.它在$ (v, y) $平面的表达式为

(4.3) $ \begin{equation} y = \pm\sqrt{-\frac{a(v-v_{1})^{2}(v-v_{6})}{3}}, \end{equation} $

其中$ v_{6} = \frac{-(k-b-c)}{a} $.把(4.3)式代入系统(3.3)并且沿轨道积分$ L_{4} $,可得

$ \pm\int_{v}^{+\infty}\frac{1}{(s-v_{1})\sqrt{s-v_{6}}}{\rm d}s = \int_{0}^{\xi}\sqrt{-\frac{a}{3}}{\rm d}s. $

完成上面的积分可得如下的周期爆破解

$ u_{5}(x, y, z, t) = -\frac{k-b-c}{a}\bigg(1+3{\rm cot}^{2}(\frac{1}{2}\sqrt{k-b-c})\xi\bigg). $

其次,研究当$ a < 0 $且$ k-b-c < 0 $时方程的显示行波解.

(ⅰ)从分支相图 2,可注意到有一条过鞍点$ (v_{1}, 0) $的同宿轨$ L_{5} $.两条特殊轨道$ L_{5}^{\star} $和$ L_5^\ast $,它们在(v, y)平面的表达式为

(4.4) $ \begin{equation} y = \pm\sqrt{-\frac{a}{3}(v-v_{1})^{2}(v-v_{7})}, \end{equation} $

其中$ v_{7} = \frac{-(k-b-c)}{a} $.把(4.4)式代入系统(3.3)并且沿轨道$ L_{5} $，$ L_{5}^{\star} $和$ L_5^{\ast} $积分可得

$ \pm\int_{v_{7}}^{v}\frac{1}{(s-v_{1})\sqrt{s-v_{7}}}{\rm d}s = \int_{0}^{\xi}\sqrt{-\frac{a}{3}}{\rm d}s, $

$ \pm\int_{v}^{+\infty}\frac{1}{(s-v_{1})\sqrt{s-v_{7}}}{\rm d}s = \int_{0}^{\xi}\sqrt{-\frac{a}{3}}{\rm d}s. $

完成上面积分,可得如下的孤立波解和爆破波解

$ u_{6}(x, y, z, t) = \frac{k-b-c}{a}\bigg(-1+3{\rm tanh}^{2}(\frac{1}{2}\sqrt{-(k-b-c)}\xi\bigg), $

$ u_{7}(x, y, z, t) = \frac{k-b-c}{a}\bigg(-1+3{\rm coth}^{2}(\frac{1}{2}\sqrt{-(k-b-c)}\xi\bigg), $

(ⅱ)从分支相图 2,可看到过$ (v_{8}, 0) $, $ (v_{9}, 0) $的轨道$ L_{6} $和过点$ (v_{10}, 0) $的特殊轨道$ L_{7} $.它们在$ (v, y) $平面的表达式

(4.5) $ \begin{equation} y = \pm\sqrt{-\frac{a}{3}v^{3}+(k-b-c)v^{2}+h} = \pm{\sqrt{-\frac{a}{3}(s-v_{8})(s-v_{9})(s-v_{10})}}, \end{equation} $

其中$ v_{8} < v_{9} < v_{10} $.把(4.5)式代入系统(3.3)并且沿轨道$ L_{6} $和$ L_{7} $积分可得

$ \pm\int_{v_{8}}^{v}\frac{1}{\sqrt{(s-v_{8})(s-v_{9})(s-v_{10})}}{\rm d}s = \int_{0}^{\xi}\sqrt{-\frac{a}{3}}{\rm d}s, $

$ \pm\int_{v}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{(s-v_{8})(s-v_{9})(s-v_{10})}}{\rm d}s = \int_{0}^{\xi}\sqrt{-\frac{a}{3}}{\rm d}s. $

完成上面的积分可得如下的周期波解和爆破波解

$ u_{8}(x, y, z, t) = v_{8}+(v_{9}-v_{8}){\rm sn}^{2} \bigg(\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{a}{3}(v_{10}-v_{8})}\xi, \sqrt{\frac{v_{9}-v_{8}}{v_{10}-v_{8}}}\bigg), $

$ u_{9}(x, y, z, t) = v_{8}+\frac{v_{10}-v_{8}}{{\rm sn}^{2}(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-a(v_{10}-v_{8})}{3}}\xi, \sqrt{\frac{v_{9}-v_{8}}{v_{10}-v_{8}}})}, $

(ⅲ)从分支相图 2,可注意到一条特殊轨道$ L_{8} $,它与中心$ (0, 0) $有相同的哈密顿量.它在$ (v, y) $平面的表达式为

(4.6) $ \begin{equation} y = \pm\sqrt{-\frac{a}{3}v^{2}(v-v_{11})}, \end{equation} $

其中$ v_{11} = \frac{3(k-b-c)}{a} $.

把(4.6)式代入系统(3.3)并且沿轨道$ L_{8} $积分可得

$ \begin{eqnarray*} \pm\int_{v}^{+\infty}\frac{1}{s\sqrt{s-v_{11}}}{\rm d}s = \int_{0}^{\xi}\sqrt{-\frac{a}{3}}{\rm d}s. \end{eqnarray*} $

完成上面的积分可得如下的周期爆破波解

$ \begin{eqnarray*} u_{10}(x, y, z, t) = \frac{3(k-b-c)}{a}{\rm csch}^{2} \bigg(\frac{1}{2}\sqrt{{-(k-b-c)}\xi}\bigg), \end{eqnarray*} $

最后,研究当$ a > 0 $和$ k-b-c > 0 $时的行波解.

在分支相图(3)中有一条过$ (v_{13}, 0) $$, $$ (v_{14}, 0) $和$ (v_{15}, 0) $的周期轨道$ L_{10} $和特殊轨道$ L_{11} $.它们在$ (v, y) $平面的表达式

(4.7) $ \begin{equation} y = \pm\sqrt{-\frac{a}{3}(v-v_{13})(v-v_{14})(v-v_{15})} , \end{equation} $

其中$ v_{13} < v_{14} < v_{15} $.把(4.7)式带入系统(3.5)并且沿轨道$ L_{10} $和$ L_{11} $积分可得

$ \pm\int_{-\infty}^{v}\frac{1}{\sqrt{-(s-v_{13})(s-v_{14})(s-v_{15})}}{\rm d}s = \int_{0}^{\xi}\sqrt{\frac{a}{3}}{\rm d}s, $

$ \pm\int_{v}^{v_{15}}\frac{1}{\sqrt{-(s-v_{13})(s-v_{14})(s-v_{15})}}{\rm d}s = \int_{0}^{\xi}\sqrt{\frac{a}{3}}{\rm d}s, $

完成上面的积分可得如下的周期波解和爆破波解

$ u_{11}(x, y, z, t) = v_{13}+\frac{v_{15}-v_{13}}{{\rm sn}^{2}(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{a(v_{15}-v_{13})}{3}}\xi, \sqrt{\frac{v_{14}-v_{13}}{v_{15}-v_{13}}})}, $

$ u_{12}(x, y, z, t) = v_{15}-(v_{15}-v_{14}){\rm sn}^{2} \bigg(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{a(v_{15}-v_{13})}{3}}\xi, \sqrt{\frac{v_{15}-v_{14}}{v_{15}-v_{13}}}\bigg), $

当$ a > 0 $和$ k-b-c < 0 $时,结果与上面类似,就不一一详细求解.

最后,研究方程行波解之间的联系.

(ⅰ)令$ h\rightarrow0_{-} $,则$ v_{3}\rightarrow\frac{3k}{a} $, $ v_{4}\rightarrow0 $, $ v_{5}\rightarrow0\frac{v_{4}-v_{3}}{v_{5}-v_{3}}\rightarrow 1 $和

$ {\rm sn}\bigg(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-a(v_{5}-v_{3})}{3(2c+1)}}\xi, 1\bigg) = \tanh\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-a(v_{5}-v_{3})}{3(2c+1)}}\xi. $

因此,可得$ u_{3}(x, y, z, t)\rightarrow u_{1}(x, y, z, t) $和$ u_{4}(x, y, z, t)\rightarrow u_{2}(x, y, z, t) $.

(ⅱ)令$ h\rightarrow h^{\ast}_{+} $,则$ v_{3}\rightarrow\frac{2k}{a} $, $ v_{4}\rightarrow \frac{2k}{a} $, $ v_{5}\rightarrow \frac{-k}{a} $, $ \frac{v_{4}-v_{3}}{v_{5}-v_{3}}\rightarrow0 $和

$ {\rm sn}\bigg(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-a(v_{5}-v_{3})}{3(2c+1)}}\xi, 0\bigg) = \sin\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-a(v_{5}-v_{3})}{3(2c+1)}}\xi. $

因此,可得$ u_{4}(x, t)\rightarrow u_{5}(x, t) $.

(ⅲ)令$ h\rightarrow h^{\ast}_{-} $,则$ v_{8}\rightarrow\frac{-k}{a} $, $ v_{9}\rightarrow\frac{2k}{a} $, $ v_{10}\rightarrow \frac{2k}{a} $, $ \frac{v_{9}-v_{8}}{v_{10}-v_{8}}\rightarrow1 $和

$ {\rm sn}\bigg(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-a(v_{10}-v_{8})}{3(2c+1)}}\xi, 1\bigg) = \tanh\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-a(v_{10}-v_{8})}{3(2c+1)}}\xi. $

因此,可得$ u_{8}(x, t)\rightarrow u_{6}(x, t) $和$ u_{9}(x, t)\rightarrow u_{7}(x, t) $.

(ⅳ)令$ h\rightarrow 0^{+} $,从而有$ v_{8}\rightarrow0 $, $ v_{9}\rightarrow 0 $, $ v_{10}\rightarrow \frac{k}{a} $, $ \frac{v_{9}-v_{8}}{v_{10}-v_{8}}\rightarrow0 $和

$ {\rm sn}\bigg(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-a(v_{10}-v_{8})}{3(2c+1)}}\xi, 0\bigg) = \sin\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-a(v_{10}-v_{8})}{3(2c+1)}}\xi. $

因此, $ u_{9}(x, t)\rightarrow u_{10}(x, t) $.

本文利用拟设方法,微分方程定性理论和动力系统分支方法,研究了广义的(3+1)维Kadomtsev-Petviashvili方程的行波解及其相图分支分析.通过行波变换,把方程化为平面系统,画出对应的分支相图,通过分支相图分析轨道,获得了方程的精确行波解.包括奇异孤子解,亮孤子解,拓扑孤子解及其行波解,并研究了行波解之间的联系.