一类广义浅水波KdV方程的可积性研究
The Integrability of the KdV-Shallow Water Waves Equation
Received: 2017-04-10
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该文应用双Bell多项式,系统研究了一类广义浅水波KdV方程的可积性.先构造出双线性表达式、Bäklund变换,再通过Bäklund变换线性化得到孤子解与Lax对.最后通过级数展开式代入得到无穷守恒律,从而证明此方程具有可积性.
关键词:
In this paper, the binary Bell polynomials to construct bilinear forma, bilinear Bäcklund transformation, Lax pair of the KdV-shallow water waves equation. Through bilinear Bäcklund transformation, some soliton solutions are presented. Moreover, the infinite conservation laws are also derived by Bell polynomials, all conserved densities and fluxes are given with explicit recursion formulas.
Keywords:
本文引用格式
郝晓红, 程智龙.
Hao Xiaohong, Cheng Zhilong.
1 引言
本文重点应用Bell多项式研究一类广义浅水波KdV方程
其中
(ⅰ)当
(ⅱ)当
本文重点研究方程(1.1)的可积性,即为双线性表达式、Bäcklund变换、Lax对与无穷守恒律.本文结构如下:第二部分给出必要Bell多项式的定义与性质;第三部分应用Bell多项式法研究其可积性;最后部分给出结论与参考文献.
2 多维双Bell多项式
首先我们先给出Bell多项式的定义以及性质:
定义2.1 设
定义2.2 基于上述Bell多项式定义,多维的双Bell多项式定义为
则双Bell多项式可以表示为函数具有
定义2.3
其中
特别的,当
称之为
定义2.4 双Bell多项式
注意
这意味着一个Bell多项式
接着应用Bell多项式求解无穷守恒律时,只需作一个新的变量变换
这里
出发可以得到一组约束条件,只要把这一组约束条件化为Bell多项式以及关于某个变量的微分的形式,即一个Riccati方程
和一个离散型的方程
然后,通过将级数展开式代入计算就可以从中导出非线性方程的守恒律.
3 一类广义浅水波KdV方程
令
在本部分,通过Bell多项式的应用,给出方程(3.1)双线性表达式, Bäklund变换, Lax对和无穷守恒律.
3.1 双线性表达式
定理3.1 作
其中
证 为了得到方程(3.1)的双线性化表达式,首先引入一个辅助变量
其中
并将其对
应用性质(2.7),得
为了将方程(3.6)写成双线性形式,需要消除
那么,方程(3.6)可化为
依据性质(2.5),方程(3.7)与方程(3.8)可被转化成如下
最后,由性质(2.6),在因变量变换
作用下, (3.9)式可得方程(3.1)的双线性形式:
证毕.
3.2 Bäcklund变换,孤子解与Lax对
定理3.2 假设
则
证 令
相应地,引入两个新的变量
则二场条件为
其中
这个二场条件可以认为是在适当限制条件下便于求得Bäcklund变换.
为了将二场条件(3.15)写成一对限制条件,可加入一个限制条件,则
其中
此处应用
结合(3.15)-(3.17)式,可得到
其中第二个方程保留导数形式,这在之后的求解方程的守恒律时是非常重要.应用性质(2.5),从方程(3.15)可立即得到双线性Bäcklund变换
其中我们对系统(3.18)中第二个方程
通过此Bäcklund变换,我们可以很容易的求出其孤子解.接下来我们以一孤子解与二孤子解为例.
从平凡解
其中
依据(3.13)式有
再令
其中
作变换
其对应方程的二孤子解
接下来求解三孤子解,将
其中
和
以此类推,得出
其中
接下来,我们求解方程(3.1)的Lax对.
定理3.3 方程(3.1) Lax对为
其中
证 由Hopf-Cole变换
结合(3.29)式, (3.19)式可被线性化为带有参数
其中
用
得出Lax对,且容易验证相容性条件
证毕.
3.3 无穷守恒律
定理3.4 方程(3.1)具有如下无穷守恒律
其中守恒密度
连带流
证 首先从公式(3.19)出发,由关系
引入一个势函数
那么从关系式(3.15)可得到
将(3.39)式代入(3.37)式,可得到一个Riccati -类型的方程
和一个离散型方程
其中我们取
进一步,在
和
将级数展开式
代入(3.42)式且令上式中
再将展开式(3.44)代入(3.43)式,则有
即为无穷守恒律
在无穷守恒律(3.47)中, (3.45)式给出守恒密度
据此可以验证(3.47)式的第一个方程即为方程(3.1).
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