投资未来收益的不确定性会导致风险,如何对风险进行评估,这在理论和实践中都有重要的意义. 1993年G30在《衍生产品的实践和规则》报告中,首次提出用VaR (Value at Risk)模型来度量风险,但由于VaR模型违背了分散投资可以降低风险这一市场准则, Artzner等^[1]开创性的提出了用公理化方法来研究风险,并给出了一致风险度量的概念和表示定理,但在一致风险度量公理化体系中,正齐次的要求过于严格且与实际金融市场不太符合. Föllmer, Schied^[3-4]和Frittelli, Rosazza Gianin^[5]分别独立地对一致风险度量进行了推广,提出了凸风险度量并给出了相应的表示定理, Kaina, Rüschendorf^[8]在一般空间上建立了凸风险度量研究的框架,给出了相应的表示定理, Chen和Hu^[12]在一般空间上对在险值的风险度量进行了研究.一维情况的风险度量并不一定适合多维情况,尤其是分量之间存在相关时, Jouini, Meddeb等^[7]提出了集合值的一致风险度量,把一致风险度量推广到了多维的情况, Hamel, Heyde^[6]给出了集合值的凸风险度量,推广了集合值的一致风险度量. Burgert, Rüschendorf^[2]从数量值的角度提出了多维的风险度量,并利用凸分析工具证明了一致和凸风险度量的表示结果. Wei和Hu^[9]利用严^[13]关于凸风险度量的证明思想,给出了多维凸风险度量的表示定理, Liu和Hu^[10]等对多维的现金次可加风险度量进行了研究.本文基于Rüschendorf^[11]数量值风险度量的角度,利用两种不同的方法给出了多维风险度量在一般空间上的表示定理,并讨论了可接受集与多维凸风险之间的相互关系.

在本节以下内容中,简要介绍一维情况静态风险度量的一些主要定义和性质.

所谓静态是相对与动态来讲,本文研究的主要对象静态风险是指在刻画金融头寸风险时,仅用到两个时间点上的量,一是期末时刻的金融头寸,对应收益或损失,通常用一个随机变量$X(\omega)$来描述;二是金融头寸当前的风险值,通常用$\rho(X)$来表示, $X\in {\cal X}$,其中$\mathcal {X}$是期末时金融头寸的集合.本文用$X$表示收益, $-X$表示损失.

定义 2.1  映射$\rho:{\cal X}\rightarrow R$称为币值风险度量,如果满足以下两个条件

(1)单调性:如果$X\leq Y\in{\cal X}$,则$\rho(X)\geq \rho(Y)$.

(2)平移不变性:如果$m\in R$,则$\rho(X+m)=\rho(X)-m$.

单调性的金融含义为收益递增时,金融头寸的风险呈现非增趋势.平移不变性有时也称为现金可加性,它意味着在金融头寸$X$上追加$m$的单位的货币时,相应的风险会减少$m$个单位的货币.根据平移不变性,特别的有

此式表明$\rho(X)$恰恰是追加到初始风险头寸$X$上使其变为可接受时所需追加的最小单位货币量,即初始时刻需要满足金融监管要求的准备金.为了简化计算,假定$\rho(0)=0$,这称之为风险度量的正则化.

性质 2.1  任何币值风险度量$\rho$在$L^{\infty}$空间上,关于范数$\|\cdot\|$都是Lipschitz连续的,即

定义 2.2  称映射$\rho:{\cal X}\rightarrow R$为凸风险度量,若币值风险度量$\rho:{\cal X}\rightarrow R$满足凸性,即对任意的$0\leq \lambda \leq 1$,有

凸性的金融含义为分散投资不会增加风险,满足"不要把鸡蛋放到同一个篮子中"这一金融市场实际原则,凸性与金融市场规避风险的操作原理是相匹配的.如果凸风险度量$\rho(X)$满足正齐次性,即对任意的$\lambda\geq 0$, $\rho(\lambda X)=\lambda\rho(X)$时,称$\rho$是一致风险度量.正齐次性也暗含了风险度量的正则化,在这种情况下,凸性就等价于一致风险度量中的次可加性,即$\rho(X+Y)\leq \rho(X)+\rho(Y)$.

若$\rho$为币值风险度量,定义${\cal A}_{\rho}:=\{X\in{\cal X}|\rho(X)\leq 0\}$,则称${\cal A}_{\rho}$为币值风险度量的可接受集.

从金融含义上来讲,如果某个金融头寸是属于可接受集的,则不需要准备金.由币值风险度量的单调性可知,当$X\geq 0$时,有$\rho(X)\leq 0$,此时有$X\in{\cal A}_{\rho}$.

可接受集与风险度量之间的关系可由下式刻画

关于币值风险度量与可接受集之间的关系,有如下性质是成立的.

性质 2.2  设${\cal A}_{\rho}$为币值风险度量$\rho$的可接受集,则有

(1) ${\cal A}_{\rho}$是非空的,且满足下面的两个条件

(2)币值风险度量可由下式来定义

(3) $\rho$是凸的当且仅当${\cal A}_{\rho}$是凸的.

(4) $\rho$是正齐次的当且仅当${\cal A}_{\rho}$是锥,特别的$\rho$是一致的,当且仅当${\cal A}_{\rho}$是凸锥.

性质 2.3  假定${\cal A}_{\rho}$是${\cal X}$的一个非空子集,并满足式(2.1)和(2.2),则$\rho_{{\cal A}}$有下面的性质

(1) $\rho_{{\cal A}}$是一个币值风险度量.

(2)如果${\cal A}_{\rho}$是一个凸集,则$\rho_{{\cal A}}$是一个凸风险度量.

(3)如果${\cal A}_{\rho}$是一个锥,则$\rho_{{\cal A}}$是正齐次的.特别的, $\rho_{{\cal A}}$是一个一致风险度量,如果${\cal A}_{\rho}$是凸锥.

本小节主要建立了多维凸风险度量研究的框架,讨论了多维凸风险度量的一些相关性质,并利用两种方法给出了多维风险度量的表示定理.

定义 3.1  映射$\rho: L_{d}^{p}\rightarrow R$称为多维凸风险度量,如果对于${\bf X}, \ {\bf Y}\in L_{d}^{p}$满足以下性质

(1)单调性: ${\bf X}\geq {\bf Y}$时,有$\rho({\bf X})\leq\rho({\bf Y})$.

(2)平移不变性: $\rho({\bf X}+me_{i})=\rho({\bf X})-m$,对于$m\in R$, $0\leq i\leq d$成立.

(3)凸性: $\rho(\lambda{\bf X}+(1-\lambda){\bf Y})\leq \lambda\rho({\bf X})+(1-\lambda)\rho(\bf Y)$,其中$0\leq\lambda\leq 1$.

(4)正则化: $\rho({\bf 0})=0$.

其中$L_{d}^{p}\triangleq \prod\limits_{i=1}^{d}L^{p} ({\cal F}_{i})$, $L^{p} ({\cal F}_{i})\triangleq L^{p} (\Omega, {\cal F}_{i}, P)$,当$1\leq p < \infty$时, $L^{p}({\cal F}_{i})$表示在概率空间$(\Omega, {\cal F}_{i}, P)$上$p$阶矩存在的随机变量全体.当$p=\infty$时, $L^{\infty}({\cal F}_{i})$表示在概率空间$(\Omega, {\cal F}_{i}, P)$上所有本性有界随机变量的全体. $e_{i}$表示在第$i$个位置元素为$1$的单位向量.下文中使用的单位向量$e_{i}$的指标$i$均指任意固定的值.

定义3.1从数量值角度对多维凸风险度量进行了定义,这与Jouini和Meddeb等^[7]从集合值角度提出的风险度量是不同的.本文仅研究多维风险度量数量值的情况.当多维风险度量仅满足定义3.1中的性质(1)和(2)时,称$\rho({\bf X})$为多维币值风险度量.当多维凸风险度量$\rho$满足正齐次时,即对于任意的$\lambda>0$有$\rho(\lambda {\bf X})=\lambda\rho({\bf X})$是成立的,此时称$\rho$为多维的一致风险度量.当$\rho$满足正齐次性时,多维凸风险度量的凸性就等价于次可加性,有$\rho({\bf X}+{\bf Y})\leq \rho({\bf X})+\rho({\bf Y})$成立.若$\rho$是一多维币值风险度量,定义${\cal A}_{\rho}:=\{{\bf X}\in L_{d}^{p}|\rho({\bf X})\leq 0\}$,称${\cal A}_{\rho}$为可接受集.

多维凸风险度量中各性质的金融含义与一维情况类似,其中多维凸风险度量的平移不变性表示在某个任意头寸上追加$m$单位的货币,金融头寸的风险相应减少$m$单位的货币.多维凸风险度量定义中的平移不变性暗含了下式是成立的

从可接受集的角度出发, $\rho({\bf X})$可以解释为追加$\rho({\bf X})$单位的货币到某个任意金融头寸上均可使得多维风险头寸变的可以接受.

引理 3.1 (Namioka延拓引理)^[4]  令$({E, \tau})$是Fréchet-lattice, $f: E\rightarrow R\bigcup \{\infty\}$是一凸的、单调函数,且$f\not\equiv0$则$f$在$I_{f}\triangleq$ int(dom $f)$上是连续的,其中dom $f=\{X\in E|\ f(X) < \infty\}$.

由Namioka延拓定理可知多维凸风险度量有下列的连续性质.

性质 3.1  设映射$\rho: L_{d}^{p}\rightarrow R$是一多维凸风险度量, $1\leq p < \infty$,有

(1) $\rho$在$I_{\rho}$上是连续的.

(2)定义在$L_{d}^{p}$上有限凸风险度量,都是在$L_{d}^{p}$上是连续的,其中$1\leq p < \infty$.

(3) $\rho: L_{d}^{\infty}\rightarrow R$是凸风险度量,则$\rho$在$L_{d}^{\infty}$上是有限连续的.

性质 3.2  当$p=\infty$时,多维币值风险度量$\rho$关于范数$\|\cdot\|$是Lipschitz连续的.

证  令${\bf X, Y}\in L_{d}^{p}$,有

即${\bf X}\leq {\bf Y}+\|{\bf X}-{\bf Y}\|{\bf 1}$,其中${\bf 1}=(1, \cdots, 1)$,由$\rho$的单调性和平移不变性可得

因此$\rho({\bf X})-\rho({\bf Y})\leq d\|{\bf X}-{\bf Y}\|$.

同理,对于$-\|{\bf X}-{\bf Y}\|{\bf 1}\leq {\bf X}-{\bf Y}$可得$\rho({\bf X})-\rho({\bf Y})\geq d\|{\bf X}-{\bf Y}\|$.因此有

证毕.

利用币值风险度量$\rho$可以诱导出一个如下的可接受集: ${\cal A}_{\rho}:=\{{\bf X}\in L_{d}^{p}|\ \rho({\bf X})\leq 0\}$.为了书写方便,下文中的可接受集${\cal A}_{\rho}$统简写为${\cal A}$.对于一个多维头寸${\bf X}\in L_{d}^{p}$,利用可接受集$\rho$可以诱导出一个币值风险度量

上式的金融含义就是使得头寸${\bf X}$变的可接受时所需要追加的最小单位货币数量$m$,也可理解为所需要的准备金,这与$\rho({\bf X})=\inf\{m|\ \rho({\bf X})\leq m\}$的定义是一致的.注意到当维数$d=1$时,可接受集${\cal A}$与一维情况是等价的.

性质 3.3  若${\cal A}$是多维币值风险度量的可接受集,则风险度量$\rho_{{\cal A}}$有如下性质

(1) $\rho_{{\cal A}}$是一币值风险度量.

(2)若${\cal A}$是凸集,则$\rho_{{\cal A}}$是多维的凸风险度量.

(3)若${\cal A}$是锥, $\rho_{{\cal A}}$满足正齐次的性质,特别的,若${\cal A}$是凸锥,则$\rho_{{\cal A}}$是多维的一致风险度量.

证  (1) 先证明$\rho_{{\cal A}}$仅取有限值,固定${\bf Y}\in{\cal A}$,对于任意的${\bf X}\in L_{d}^{p}$,存在有限数$m$,使得${\bf X}+me_{i}\geq {\bf Y}$,因此有

于是有$\rho_{{\cal A}}({\bf X})\leq m < \infty$.同样,对于任意的${\bf X}$,取$a$使得${\bf X}+ae_{i}\leq 0$,于是就有$\rho_{{\cal A}}+a>-\infty$.

对于平移不变性,有

对于单调性,令${\bf X}\leq{\bf Y}$,则有$\{m_{1}|\ {\bf X}+m_{1}e_{i}\in{\cal A}\}\subseteq\{m_{2}|\ {\bf Y}+m_{2}e_{i}\in{\cal A}\}$,因此有

即$\rho_{{\cal A}}({\bf X})\geq \rho_{{\cal A}}({\bf Y})$.因此$\rho_{{\cal A}}$是多维的币值风险度量.

(2)假定${\bf X, Y}\in L_{d}^{p}$, $m, n\in R$使得${\bf A}+me_{i}\in{\cal A}, \ {\bf Y}+ne_{i}\in{\cal A}$.对于$\lambda\in[0, 1]$,由${\cal A}$的凸性可知

又因为$\rho_{{\cal A}}$是币值风险度量,满足平移不变性,因此有

即$\rho_{{\cal A}}(\lambda{\bf X}+(1-\lambda){\bf Y})\leq \lambda m-(1-\lambda)n$, $\rho_{{\cal A}}$满足凸性.

(3) ${\cal A}$是锥,因此对于任意的$\lambda >0$有$\lambda {\bf X}\in{\cal A}$,于是有

$\rho_{{\cal A}}$是多维的一致风险度量,满足次可加和正齐次性,对于任意的$\lambda_{1}, \lambda_{2}>0, \ {\bf X, Y}\in{\cal A}$,有

于是就有$\lambda_{1}{\bf X}+\lambda_{2}{\bf Y}\in{\cal A}$,证毕.

令${\cal Q}$表示在$(\Omega, {\cal F})$上所有关于$P$绝对连续的概率测度集合,对于$1\leq p < \infty$,记

其中$q$是指标$p$的共轭,即$\frac {1}{q}+\frac{1}{p}=1$.当$p=\infty$时,用符号${\cal Q}_{\infty}$来表示全变差有限的有限可加概率测度的集合,且其中的测度关于$P$是绝对连续的.记

其中$ba(P)$表示在空间$L_{d}^{\infty}$上的全变差有限的有限可加概率测度的集合.使用记号${\cal Q}$来表示${\cal Q}_{\infty}\cup{\cal Q}_{p}$.记$(L_{d}^{p})^{*}$为$L_{d}^{p}$的共轭空间,使用约定的下列符号

其中${\bf Q}\in (L_{d}^{p})^{*}, {\bf X}\in L_{d}^{p}$.

定理 3.1  多维凸风险度量$\rho: L_{d}^{p}\rightarrow R$有如下的表示形式

其中惩罚函数$\alpha_{\min}$由下式给定

并且$\alpha_{\min}$是最小的惩罚函数即$\alpha({\bf Q})\geq\alpha_{\min}({\bf Q})$, ${\bf Q}\in{\cal Q}$.

证  对于${\bf Q}\in{\cal Q}$,函数

是凸的、单调的和平移不变的,在函数右边取上界这些性质是保持的,因此$\rho({\bf X})$是凸风险度量.

令$\rho$是凸风险度量,定义

令$m\in R({\bf X})$,则有${\bf X}+me_{i}\in{\cal A}$.因此,对于任意的${\bf Q}\in {\cal Q}$, $E_{{\bf Q}}(-({\bf X}+me_{i}))\leq \alpha({\bf Q})$,有下式成立

于是有$m\in D({\bf X})$,即$R({\bf X})\subset D({\bf X})$.

下证相反的包含关系$D({\bf X})\subset R({\bf X})$,假定存在$m_{0}\in D({\bf X})$,但$m_{0}\notin R({\bf X})$,则有

由于$m_{0}\notin R({\bf X})$,于是$m_{0}e_{i}+{\bf X}\notin {\cal A}_{\rho}$.由凸集分离定理知,存在一连续线性泛函${\cal L}\in(L_{d}^{p})^{*}$,使得

接下来,证明对于${\bf Y}\geq {\bf 0}$和$m>0$, ${\cal L}$是非负的,即, ${\cal L}({\bf Y})\geq0$.由$\rho$的单调性和平移不变性,可得

因此$\lambda{\bf Y}+me_{i}\in{\cal A}_{\rho}$,有${\cal L}$的线性可得

于是就有, ${\cal L}\geq 0$,因此${\cal L}$可以诱导出一个有限可见测度${\bf Q}\in{\cal Q}$,使得

另一方面,由

这样我们就得到了矛盾.

因此对于${\bf X}\in L_{d}^{p}$,有$D({\bf X})=R({\bf X})$.

最后证明命题的最后一部分,令$\alpha$是$\rho$的任意惩罚函数对于所有的${\bf Q}\in{\cal Q}$,有

因此有

证毕.

注 3.1  惩罚函数$\alpha: {\cal Q}\rightarrow \in[0, \infty)$,且$\inf\limits_{{\bf Q}\in {\cal Q}}\alpha({\bf Q})=0$.特别的,在$p=\infty$时, $\rho$满足从下连续时,多维凸风险度量的表示定理中有限可加测度${\cal Q}_{\infty}$可由$\sigma$ -测度${\cal M}_{1}$来替代,即

定理 3.2 (Fenchel-Moreau定理)^[11]  令$(L_{d}^{p}, \tau)$是一个局部凸拓扑向量空间, $f:L_{d}^{p}\rightarrow R\cup\{\infty\}$是一个适当的(即, $f\not\equiv 0$)下半连续的的凸函数,则$f$的双共轭$f^{**}$就是其自身,满足

其中

当多维的凸风险度量$\rho$满足一定条件时,多维凸风险度量的表示定理可以视为Fenchel-Moreau定理的直接结果.

如果多维凸风险度量$\rho:L_{d}^{p}\rightarrow R$是下半连续的,则有

令$\alpha: (L_{d}^{p})^{*}\rightarrow R$是定义在$L_{d}^{p}$对偶空间上的一映射,由Fenchel-Moreau定理可知

由定理(3.1)的后半部分证明可知, ${\cal L}$是一正连续线性泛函,根据Föllmer和Schied^[4]的定理(A.54)知,存在有限可加测度${\bf Q}$,使得连续线性泛函${\cal L}({\bf X})$与积分$\int {\bf X}$d${\bf Q}$一一对应,有下式给出

因此可得多维凸风险度量的表示定理为

推论 3.1  令$\rho : L_{d}^{p} \rightarrow R$是一下半连续,满足正齐次性的多维凸风险度量,则此时风险度量$\rho$是一个多维一致风险度量,且有惩罚函数$\alpha_{\min}({\bf Q})=\{0, \infty\}$.

证  

所以$\alpha_{\min}({\bf Q})=\{0, \infty\}$,证毕.

注 3.2  当多维一致风险度量$\rho$的最小惩罚函数$\alpha_{\min}$取有限值时, $\rho$表示为

性质 3.4  设$\rho : L_{d}^{p}\rightarrow R$是一多维凸风险度量, $1\leq p < \infty$,则有

(1) $\rho$是$\sigma(L^{p}, L^{q})$下半连续的.

(2) ${\cal A}_{\rho}$是$\sigma(L^{p}, L^{q})$紧的.

(3) $\rho$具有Fatou性质.

本文在一般空间上建立了静态多维风险度量研究的框架,给出了多维风险度量的概念,讨论了多维风险度量的连续性,并利用两种不同的证明方法给出了数量值角度下多维风险度量$\rho: L^{p}_{d}\rightarrow R$的表示定理,推广了Rüschendorf (2013)在$L_{d}^{\infty}$空间上多维凸风险度量的结果.