非线性系统在自然科学学术界中是一个热门的研究对象^{[1, 2]}.非线性奇异摄动问题近来已有很多近似解法,包括边界层校正法、匹配法和多重尺度法.许多科学研究者,如Tian等^[3], Samusenko^[4], Kellogg等^[5], Skrynnikov^[6]和Martinez等^[7]已做了很多工作.利用非线性奇摄动和微分不等式等理论和方法,莫嘉琪,韩祥临等也研究了一类非线性奇异摄动微分方程和数学物理等问题^[8-18].本文是利用广义解的微分不等式等理论和方法研究一类带有广义反应扩散系统的奇异摄动问题.

考虑如下一类非线性微分-积分时滞奇摄动广义反应扩散系统初始-边值问题

其中$\mu$为正的小参数, $\varepsilon$为小滞时数, $x=(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}), u=(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{N})$, $\Omega$为有界凸域; $\partial\Omega$为$\Omega$的$C^{1+\alpha}$类的边界($\alpha$为Hölder系数), $C^{\infty}_{0}(\Omega)$为$C^{\infty}(\Omega)$在$\Omega$中的紧致子集, $K_{i}, f_{i}, g_{i}$和$h_{i}$为关于它们的变量在$C^{\infty}_{0}(\Omega)$内的函数,积分算子$Tu_{i}(t, x)=\int_{\Omega}K_{i}(x)u_{i}(t, x){\rm d}x$, $L$是在$C^{\infty}_{0}(\Omega)$上定义的有界函数$a^{jk}$的一致椭圆型的算子

在Sobolev空间上的函数的有界模为

而$(v, u)$为在$H^{\infty}_{0}(\Omega)$上的Hilbert内积.

首先假设

(H1) $0 <\mu/\varepsilon\ll 1$;

(H2) $\alpha^{jk}_{i}, \ f_{i}, \ g_{i}, \ h_{i}, \ K_{i}$,为关于其变量在相应区域内为Hölder连续的函数;

(H3)对于函数$u, v,$存在常数$C_{1}, C_{2}$,使得

(H4)系数$a^{jk}_{i}$在$\Omega$上有界,且有正常数$C_{3}$,使得$|a^{jk}_{i}(x)-a^{jk}_{i}(\overline{x})|\leqC_{3}(|x-\overline{x}|),$$\forall x, \overline{x}\in\Omega,$$j, k=1, 2, \cdots, n, \ i=1, 2, \cdots, N$;

(H5)存在正常数$\delta_{i1}, \delta_{i2}$,使得

(H6)积分方程

存在一组广义解$U_{i}\in H^{\infty}_{0}(\Omega), \ i=1, 2, \cdots, N$.

非线性微分-积分时滞奇摄动广义反应扩散系统的退化问题为

由假设(H4), Fredholm积分方程(2.1)有一组广义解$U_{i00}\inH^{\infty}_{0}(\Omega)\ \ i=1, 2, \cdots, N$.

再将$T_{i}u_{i}(t-\varepsilon, x)$按时滞参数的幂展开

并设广义初始-边值问题(1.1)-(1.3)的外部解$U_{i}(t, x), \ \i=1, 2, \cdots, N$为

将(2.1)和(2.2)式代入系统(1.1),按照$\varepsilon, \mu$的幂展开非线性项,合并对应$\varepsilon^{j}\mu^{k}$项的系数,令同次幂$\varepsilon^{j}\mu^{k}$$\ (i, k=0, 1, \cdots)$项的系数为零.取$\varepsilon^{0}\mu^{0}$项的系数为零时,得到的系统就是问题(1.1)-(1.3)的退化系统,故其解为$U_{i00}, \i=1, 2, \cdots, N$.取$\varepsilon^{j}, \mu^{k}, \ j, k=0, 1, \cdots, j+k\neq 0$项的系数为零时,得到

上述和下面带有负下标的项均设为零,其中$F_{ijk}$为

逐次已知的函数.由假设, Fredholm积分方程(2.4)可依次得到解$U_{ijk}(t, x)$.于是由(2.1)式可得到一组广义外部解$U=(U_{1}, U_{2}, \cdots, U_{N})$.但是它未必满足边界条件(1.2)和初始条件(1.3),所以尚需构造在$t=0$附近的初始层校正项$Y$和在$\partial\Omega$附近的边界层校正项$W$.

现构造初始层校正项$Y$.引入伸长变量$\tau=t/\varepsilon$,并设

这里

其中$\sigma=\mu/\varepsilon$.

将(3.1), (3.2)式代入(1.1), (1.3)式,按照$\varepsilon, \sigma$的幂展开非线性项,合并对应的$\varepsilon^{j}\sigma^{k}$项的系数,并令同次幂$\varepsilon^{j}\sigma^{k}\ (i, j=0, 1, \cdots)$项的系数为零有

其中$\widetilde{F}_{ijk}\ (j, k=0, 1, \cdots, \ j+k\neq 0, \i=1, 2, \cdots, N)$为逐次已知的函数,其结构从略.

由初值问题(3.3), (3.4)和(3.5), (3.6),可依次得到$y_{ijk}, \j, k=0, 1, \cdots, \ j+k\neq 0, \ i=1, 2, \cdots, N$.因此由(3.2)式,可得到在$t=0$邻域内的一组初始层校正项$Y=(Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{N})$,且不难看出

其中$\overline{k}_{ijk}\ j, k=0, 1, \cdots, \ i=1, 2, \cdots, N$为正常数.

在$\Omega$的边界$\partial\Omega$的邻域内构造一个局部坐标系$(\rho, \phi)$:在$\Omega$的边界$\partial\Omega$的邻域内每一点$P$的$\rho(0\leq\rho_{0})$为点$P$到$\partial\Omega$的距离,这里$\rho_{0}$为适当小的正常数,使得在边界$\partial\Omega$上各点的内法线在$\partial\Omega$的邻域$0\leq\rho\leq\rho_{0}$内相互不相交.坐标$\phi=(\phi_{1}, \phi_{2}, \cdots, \phi_{n-1})$是边界$\partial\Omega$上的一个$n-1$维非奇异坐标系,设点$P$的坐标$\phi$是通过点$P$的内法线和边界$\partial\Omega$的交点$Q$的坐标$\phi$相同.

在$\partial\Omega$的邻域$0\leq\rho\leq\rho_{0}$中,设

其中$\overline{a}^{jk}_{i}, \overline{a}^{j}_{i}, \overline{b}^{j}_{i}$为已知函数,它们的结构从略.

再在$0\leq\rho\leq\rho_{0}$上引入多重尺度变量^{[1, 2]}

这里$h_{i}(\rho, \phi)$为待定函数.不失一般性,以下仍用$\rho$来代替$\overline{\rho}$.由(4.1)式,我们有

其中$K_{i0}=\overline{a}^{nn}_{i}h^{2}_{i}\frac{\partial^{2}}{\partial\zeta^{2}}$,而$K_{i1}$和$K_{i2}$的构造从略.设积分-微分方程初-边值问题(1.1)-(1.3)的广义解$(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{N})$为

其中

选取$h_{i}(\rho, \phi)=\int^{\rho}_{0}1/\sqrt{a^{nn}_{i}(\rho)}$,将(2.3), (3.2), (4.3)和(4.4)式代入(1.1), (1.2)式,按$\varepsilon, \mu$的幂级数展开非线性项,合并$\varepsilon^{j}\mu^{k}$同次幂项,并令其的系数为零,得

其中$G_{ijk}\ (j, k=0, 1, \cdots, \ j+k\neq 0)$为逐次已知函数,其结构也从略.

由(4.5), (4.6)式以及(4.7), (4.8)式和假设,可依次得到具有衰减性质的解$w_{ijk}(t, \rho, \phi)$为

这里$\widetilde{k}_{ijk}\ (j, k=0, 1, \cdots, i=1, 2, \cdots, N)$为适当小的正常数.

再引入一个充分光滑的分割函数$\overline{\psi}(\rho)$为

令$\overline{w}_{ijk}=\overline{\psi}(\rho)w_{ijk}\(j, k=0, 1, \cdots, \ i=1, 2, \cdots, N )$.为了方便,以下仍将$w_{ijk}$来代替$\overline{w}_{ijk}$.将$w_{ijk}$代入(4.4)式,便得到具有边界层校正性质的一组广义解$W=(W_{1}, W_{2}, \cdots, W_{N})$.

由上面的讨论,可得非线性微分-积分时滞奇摄动广义反应扩散系统(1.1)-(1.3)的一组广义解$u(t, x)=(u_{1}(t, x), u_{2}(t, x), \cdots, u_{N}(t, x))$,并有如下渐近展开式

下面来讨论广义解存在性及其渐近展开式(5.1)的一致有效性.

首先建立如下非线性微分-积分时滞奇摄动广义反应扩散系统的微分不等式理论.

定义  设有两组函数$\overline{u}_{i}, \i=1, 2, \cdots, N$和$\underline{u}_{i}, \ i=1, 2, \cdots, N, \\overline{u}_{i}\geq\underline{u}_{i}$,并分别满足不等式

和

则分别称$\overline{u}_{i}(t, x)$和$\underline{u}_{i}(t, x)$为初始-边值问题(1.1)-(1.3)的上解和下解.

现有如下定理.

定理1  在假设(H1)-(H5)下, $\underline{u}_{i}(t, x), i=1, 2, \cdots, N$和$\overline{u}_{i}(t, x), i=1, 2, \cdots, N$,分别为非线性微分-积分时滞奇摄动广义反应扩散系统初始-边值问题(1.1)-(1.3)的下解和上解,则问题(1.1)-(1.3)存在一组广义解$u_{i}(t, x), i=1, 2, \cdots, N$,并成立$\underline{u}_{i}(t, x)\leq u_{i}(t, x)\leq \overline{u}_{i}(t, x), i=1, 2, \cdots, N$.

证  首先按以下关系式构造迭代序列

由(5.2)-(5.4)式,设$\overline{u}_{i0}=\overline{u}_{i}$和$\underline{u}_{i0}=\overline{u}_{i}$为两组的零次函数,我们可依次地可得$\overline{u}_{in}, n=1, 2\cdots$和$\underline{u}_{in}, n=1, 2\cdots$.因此能得到两组函数列$\{\overline{u}_{in}\i=1, 2, \cdots, N\}$和$\{\underline{u}_{in}$\ $i=1, 2, \cdots, N\}$.现讨论其收敛性态.

设$\overline{v}_{i0}=\overline{u}_{i0}-\overline{u}_{i1}$,由假设和(5.2)-(5.4)式有

于是由线性问题的极值原理得到$\overline{v}_{i0}\geq 0, i=1, 2, \cdots, N$.即

若$\overline{u}_{in}\geq\overline{u}_{i(n+1)}$,设$\overline{v}_{in}=\overline{u}_{in}-\overline{u}_{i(n+1)}$,这时有

于是由线性问题的极值原理得到$\overline{v}_{in}\geq 0, i=1, 2, \cdots, N$.即

由此我们得到

类似有

同样可得

由上述的结果和Arzela定理,非线性微分-积分时滞奇摄动广义反应扩散系统初始-边值问题(1.1)-(1.3)存在一组广义解$u(t, x)=(u_{1}(t, x), u_{2}(t, x), \cdots, u_{N}(t, x))$,且成立不等式$\underline{u}_{i}(t, x)\leq u_{i}(t, x)\leq\overline{u}_{i}(t, x), \ i=1, 2, \cdots, N$.定理1证毕.

定理2  在假设(H1)-(H6)下,非线性微分-积分时滞奇摄动广义反应扩散系统初始-边值问题(1.1)-(1.3)存在一组广义解$u(t, x)=(u_{1}(t, x), u_{t, 2}(t, x), \cdots, u_{N}(t, x))$,并具有形如(5.1)式的一致有效的渐近展开式.

证  构造两组辅助函数$\alpha_{i}, \beta_{i}, \ i=1, 2, \cdots, N$

其中$r_{i}$为适当大的待定正常数, $\lambda=\max(\varepsilon^{M}\mu^{M+1}, \varepsilon^{M}\mu^{M+1})$,而

显然,选取足够大的$r_{i}, i=1, 2, \cdots, N$,当$r_{i}\geqr_{i0}$时,恒有

由假设,存在正常数$D_{i1}$有

选取$r_{i}\geq D_{i1}$,可得

同理可得

即成立

下面来证明

由假设和(3.7), (4.9)式,对足够小的$\varepsilon, \mu$,存在正常数$D_{i2}$有

因此选取$r_{i}\geq D_{i2}/\sum\limits^{N}_{i=1}\delta_{i2}$,不等式(5.10)成立.同理可证不等式(5.11)也成立.

综上所证,选择足够大的$r_{i}$,并对足够小的$\varepsilon, \mu$,关系式(5.7)-(5.11)成立.于是由定理1,初始-边值问题(1.1)-(1.3)存在一组广义解$u=(u_{1}, u_{1}, \cdots, u_{N})$,且成立

再由(5.5), (5.6)式知,对于$i=1, 2, \cdots, N$,有

即非线性微分-积分时滞奇摄动广义反应扩散系统初始-边值问题(1.1)-(1.3)的解

的分量$u_{i}(t, x), \ i=1, 2, \cdots, N$具有形如(5.1)式的一致有效的渐近展开式.定理证毕.