本文,我们研究下面的拟线性薛定谔方程

(1.1) $\begin{eqnarray}\label{eq:1.1} -\triangle_{p}u-\triangle_{p}(|u|^{2\alpha})|u|^{2\alpha -2}u + V(x)|u|^{p-2}u=h(u)+g(x), ~~~x\in \mathbb{R}^{N}, \end{eqnarray} $

其中$\triangle_{p}u={\rm div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$是$p$ -拉普拉斯算子, $N\geq 3$, $1 <p\leq N$,参数$\frac{1}{2} <\alpha\leq 1 , $$V\in C(\mathbb{R}^{N}, \mathbb{R})$,且$h \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.由于比传统的非线性薛定谔方程增加了拟线性非凸项$\triangle_{p}(|u|^{2\alpha})(|u|^{2\alpha -2}u)$,所以方程(1.1)被称之为改进型非线性薛定谔方程.这类方程在许多数学物理问题中都有应用,参见文献[9].

对于齐次方程(1.1) (即$g(x)=0$的情形),当$\alpha=1$, $p=2$时,其解是如下方程的驻波解

(1.2) $ \begin{eqnarray}\label{eq:1.2} -{\mathrm i} z_{t}=-\triangle z+W(x)z-\widetilde{h}(|z|^{2})z-\kappa \triangle(l(|z|^{2}))l'(|z|^{2})z, \end{eqnarray}$

其中$z: \mathbb{R}\times \mathbb{R}^{N}\rightarrow {\Bbb C}$, $W: \mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}$是给定的势函数, $\kappa$是正常数, $\widetilde{h}, l : \mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$是实函数.形如(1.2)式的拟线性方程出现在许多数学物理问题中,而且根据$l$的不同形式衍生出不同的物理模型.当$l(s)=s$时, (1.2)式是等离子体物理学中的超流膜方程^[10];当$l(s)=(1+s)^{1/2}$时, (1.2)式是大功率超短激光在物质中的自沟道方程^[21].在等离子物理、流体力学及耗散量子力学中也可见到拟线性薛定谔方程(1.2),参见文献[2, 8].

若令$z(t, x)=\exp(-{\rm i}Et)u(x)$,其中$E\in \mathbb{R}$, $u>0$是实函数,则(1.2)式变成如下形式的椭圆型方程

(1.3) $ \begin{eqnarray}\label{eq:1.3} -\triangle u+V(x)u- \triangle(l(|u|^{2}))l'(|u|^{2})u=h(u), ~~~x \in \mathbb{R}^{N}, \end{eqnarray} $

其中$ V(x)=W(x)-E$是新的势函数,且$h(u)=\widetilde{h}(u^{2})u$, $\kappa=1$.

近年来,人们广泛开展对于$p=2$, $\alpha =1$情形的齐次拟线性薛定谔方程(1.1) $g(x)=0$的研究.据我们所知,文献[20]首次给出了该方程解的存在性,研究方法是约束极值方法.接下来,文献[16]使用变量代换法将拟线性方程化成半线性方程,在Orlicz空间的框架下利用山路引理给出了该问题解的存在性.同样是使用变量代换,文献[5]却在索伯列夫空间$H^{1}(\mathbb{R}^{N})$的框架下得到了方程(1.1)解的存在性.具体地说,因为问题(1.1)对应的能量泛函在空间$H^{1}(\mathbb{R}^{N})$中无界,所以作者采用变量代换$v = f^{-1}(u)$将能量泛函转化为在$H^{1}(\mathbb{R}^{N})$中有意义的泛函,再利用Berestycki和Lions在文献[3]中的经典结论证明了其径向对称解的存在性,其中$f$是常微分方程

$f'(t)=\frac{1}{\sqrt{1+2f^{2}(t)}}, ~~~ t\in [0, +\infty) $

和

$ f(t)=-f(-t), ~~~t\in (-\infty, 0] $

的解.

最近, Severo在文献[23]中证明:当$1 <p <N$, $g(x)=0$时,方程(1.1)有一个非平凡的基态解.类似的研究见文献[17, 19, 24-25, 28-29]].

当参数$\alpha>\frac{1}{2}$的情形, Liu和Wang^[15]利用极小极大方法研究如下的次临界指数问题

$-\triangle u+V(x)u- \triangle(|u|^{2\alpha})|u|^{2\alpha -2}u=\lambda |u|^{p-1}u, ~~~x \in \mathbb{R}^{N}.$

作者证明:当$4\alpha \leq p+1 < 2\alpha 2^{*}$时,对于一列数$\lambda_{n}\rightarrow \infty$和$\lambda_{n}\rightarrow 0$,该问题都有非平凡解.

当参数$\alpha>1$时,问题

$-\triangle u+ \lambda u- \kappa \triangle(|u|^{2\alpha})|u|^{2\alpha -2}u =|u|^{p-1}u, ~~~x\in \mathbb{R}^{N} $

的基态解的唯一性则是由对偶方法获得^[1].

另外, Wu在最近的工作^[26]中考虑了参数$\alpha \in (\frac{1}{2}, 1]$的情形,作者利用对偶方法证明问题

$-\triangle u+V(x)u- \triangle(|u|^{2\alpha})|u|^{2\alpha -2}u=g(x, u), ~~~x \in \mathbb{R}^{N} $

的一组高能量解的存在性.其中对位势函数和非线性项的假设如下

(A1)位势函数$V\in C(\mathbb{R}^{N}, \mathbb{R})$, $ 0 <V_{0}=\inf\limits_{x\in \mathbb{R}^{N}}V(x)$,且对于任意的$M>0$,都有${\rm meas}\{x\in \mathbb{R}^{N}: V(x)\leq M\} <+\infty$,这里${\rm meas}\{\cdot\}$表示集合$\cdot$的测度;

(A2)非线性项$g\in C(\mathbb{R}^{N}\times \mathbb{R}, \mathbb{R})$,且当$N\geq 3$时,存在$4\alpha <p <2\alpha 2^{*}$;当$N=1, 2$时,存在$4\alpha <p <\infty$,使得$|g(x, t)|\leq C(1+|t|^{p-1})$, $\forall (x, t)\in \mathbb{R}^{N}\times \mathbb{R}$.

在文献[26]中条件(A1)是必不可少的,因为它保证了对任意的$2\leq s <\frac{2N}{N-2}$,嵌入$E\hookrightarrow L^{s}(\mathbb{R}^{N})$都是紧的,其中$E$是希尔伯特空间$H^{1}(\mathbb{R}^{N})$的子空间,其范数定义如下

$\|u\|_{E}=\bigg(\int_{(\mathbb{R}^{N})}(|\nabla u|^{2}+V(x)| u|^{2}){\rm d}x\bigg)^{1/2}. $

受文献[1, 11-12, 25, 23, 26-27]的启发,本文中我们将建立非齐次方程(1.1)弱解的存在性与多重性,对势函数$V(x)$的假设如下

(V0)对任意的$x \in \mathbb{R}^{N}$,都有$V(x)\geq V_{0}>0$;

(V1) $\underline{}\lim\limits_{|x| \rightarrow +\infty}V(x)=V(\infty)$,且对任意的$x \in \mathbb{R}^{N}$,都有$V(x)\leq V(\infty)$.

因为势函数只满足有界性条件,这不能保证索伯列夫嵌入的紧性,所以本文我们借助Lions集中紧致原理^[14]证明P-S序列有一个收敛子列.此外,非齐次项$g$可以看作是对次临界指数项$h$的扰动.据我们所知,目前还没有关于扰动拟线性薛定谔方程解的存在性研究结果.本文中我们处理问题(1.1)的基本思路来源于文献[1, 5, 16, 24],即使用变量代换将拟线性方程化成半线性方程,再在空间$W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$中寻找对应能量泛函的临界点,即相应方程的弱解.这里,索伯列夫空间$W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$的范数定义为

$\|u\|=\bigg(\int_{\mathbb{R}^{N}}(|\nabla u|^{p}+|u|^{p}){\rm d}x\bigg)^{1/p}. $

对于$1\leq s \leq \infty$, $L^{s}(\mathbb{R}^{N})$表示Lebesgue空间,其范数为$\|u\|_{s}$.众所周知,当$1 <p <N$时,有连续嵌入: $W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})\hookrightarrow L^{q}(\mathbb{R}^{N})$,其中$q\in [p, p^{*}]$;而嵌入：$W^{1, N}(\mathbb{R}^{N})\hookrightarrow L^{q}(\mathbb{R}^{N})$也是连续的,其中$q\geq N$.下面介绍对$h$和$f$的假设

(H0) $h\in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$是奇函数,且当$s>0$时, $h(s)>0$;

(H1)当$s\rightarrow 0$时, $h(s)$是$|s|^{p-2}s$的高阶无穷小量,即$h(s)=o(|s|^{p-2}s)$;

(H2)存在常数$C>0$,使得对任意的$s \in \mathbb{R}$,都有

$|h(s)|\leq C(1+|s|^{r-1}), $

其中,当$1 <p <N$时, $2\alpha p <r <2\alpha p^{*}$;当$p=N$时, $r>2\alpha p$;

(H3)存在$\mu>2\alpha p$,使得对任意的$s >0$,都有$0 <\mu H(s)\leq s h(s)$,这里$H(s)=\int_{0}^{s}h(t){\mathrm d}t$;

(H4)测度meas$(\{x\in \mathbb{R}^{N}: g(x)>0\})>0$,且$g\in L^{p'}(\mathbb{R}^{N})$,这里$p'=\frac{p}{p-1}$.

我们利用山路引理和Ekeland变分原理^[6]证明问题(1.1)在索伯列夫空间$W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$中有两个非平凡的弱解,并用$I(u)$表示弱解$u$的能量泛函.本文的主要结论如下.

定理1.1  假设$1 <p\leq N$.如果条件(V0)-(V1)和(H0)-(H4)满足,则存在$m_{0}>0$,使得当$\|g\|_{p'} 6m_{0}$时,问题(1.1)至少有两个非平凡弱解$u_{0}$和$u_{1}$,满足$I(u_{0})>0$, $I(u_{1}) 60$.

注1.1  如果势函数$V(x)$满足$V(x)\equiv b>0$,定理1.1的结论仍然成立.

首先我们注意到问题(1.1)的能量泛函为

(2.1) $\begin{eqnarray} I(u)&=&\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} |\nabla u|^{p}{\rm d}x+ \frac{1}{2\alpha p}\int_{\mathbb{R}^{N}} |\nabla (|u|^{2\alpha})|^{p}{\rm d}x+ \frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} V(x)|u|^{p}{\rm d}x \\ &&-\int_{\mathbb{R}^{N}} H(u){\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{N}}g u {\rm d}x. \end{eqnarray}$

因为$\int_{\mathbb{R}^{N}} |\nabla (|u|^{2\alpha})|^{p}{\rm d}x$可能在$W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$中无界,所以泛函$I: W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})\rightarrow \mathbb{R}$无意义.但是,易见$\frac{1}{2\alpha p}\int_{\mathbb{R}^{N}} |\nabla (|u|^{2\alpha})|^{p}{\rm d}x=\frac{(2\alpha)^{p-1}}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}}|u|^{p(2\alpha-1)}|\nabla u|^{p}{\rm d}x$,从而

(2.2) $\begin{eqnarray}\label{eq:2.1} I(u)&=&\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} (1+(2\alpha)^{p-1}|u|^{p(2\alpha-1)})|\nabla u|^{p}{\rm d}x+ \frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} V(x)|u|^{p}{\rm d}x\\ &&-\int_{\mathbb{R}^{N}} H(u){\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{N}} g u {\rm d}x. \end{eqnarray}$

根据文献[1],定义$f$为下列常微分方程的解

$f'(t)=\frac{1}{\sqrt[p]{1+(2\alpha)^{p-1}|f(t)|^{p(2\alpha -1)}}}, ~~~ t\in [0, +\infty) $

且

$f(t)=-f(-t), ~~~t\in (-\infty, 0]. $

下面我们来收集变量代换$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$的性质,这些将在后面的证明中有所应用.

引理2.1  函数$f(t)$及其导数满足下面的性质

(1) $f$是唯一确定的$C^{\infty}$函数,且可逆;

(2)对任意的$ t \in \mathbb{R}$,都有$0 <f'(t)\leq 1 $;

(3)对任意的$ t \in \mathbb{R}$,都有$|f(t)|\leq |t| $;

(4) $ \lim\limits_{t\rightarrow 0} \frac{f(t)}{t}=1$;

(5) $ \lim\limits_{t\rightarrow \infty} \frac{|f(t)|^{2\alpha}}{|t|}=\sqrt[p]{2\alpha}$;

(6)当$t\geq 0$时, $\frac{f(t)}{2}\leq \alpha tf'(t)\leq \alpha f(t)$;当$t\leq 0$时, $\alpha f(t)\leq \alpha tf'(t)\leq \frac{f(t)}{2}$;

(7) $|f(t)|^{2\alpha}\leq \sqrt[p]{2\alpha}|t|$;

(8)存在正常数$\theta$,使得

$ \begin{eqnarray*} |f(t)|\geq \left\{ \begin{array}{ll} \theta |t|, &|t|\leq 1, \\ \theta |t|^{\frac{1}{2\alpha}}, ~~&|t|\geq 1. \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

证  该引理在$1 < p\leq N$, $\alpha=1$情形的证明可参见文献[23]; $ p=2$, $\frac{1}{2} <\alpha \leq1$情形的证明可参见文献[26].而对于$1 < p\leq N$, $\frac{1}{2} <\alpha <1$情形类似可证,这里不再赘述.

经过变量代换$ u=f(v)$, (2.2)式化为

(2.3) $\begin{eqnarray}\label{eq:2.3} J(v):=I(f(v))&=&\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} |\nabla v|^{p}{\rm d}x+ \frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} V(x)|f(v)|^{p}{\rm d}x\\& & -\int_{\mathbb{R}^{N}} H(f(v)){\rm d}x - \int_{\mathbb{R}^{N}} g f(v) {\rm d}x. \end{eqnarray}$

由函数$f$的性质和假设条件可知$J(v)$在空间$W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$中有意义, $J\in C^{1}(W^{1, p}(\mathbb{R}^{N}), \mathbb{R})$,且

(2.4) $\begin{eqnarray} \langle J'(v), \psi\rangle=\int_{\mathbb{R}^{N}} |\nabla v|^{p-2} \nabla v \nabla \psi {\rm d}x- \int_{\mathbb{R}^{N}} f'(v)\eta(x, f(v)) \psi {\rm d}x, \end{eqnarray} $

这里$\eta(x, u):=h(u)+g-V(x)|u|^{p-2}u$.此外,泛函$J$的临界点对应下面方程的解

(2.5) $ \begin{eqnarray}\label{eq:2.5} -\triangle_{p}v=f'(v)\eta(x, f(v)), ~~~x\in \mathbb{R}^{N}. \end{eqnarray}$

我们还可以证明:若$v$是泛函$J$的临界点,则$u=f(v)$是能量泛函$I$的临界点,即$u=f(v)$是问题(1.1)的弱解.

引理2.2  存在常数$\rho_{0}, a_{0}, m_{0}>0$,使得当$\|g\|_{p'} <m_{0}$时,对一切的$\|v\|=\rho_{0}$,都有$J(v)\geq a_{0}$.

证  由Hölder不等式和Young不等式,对于$\epsilon =V_{0}/2p$,有

(2.6) $ \begin{eqnarray}\label{eq:2.6} \int_{\mathbb{R}^{N}}|g f(v)|{\rm d}x\leq \|f(v)\|_{p}\|g\|_{p'}\leq \epsilon \|f(v)\|_{p}^{p}+C_{\epsilon}\|g\|_{p'}^{p'}, \end{eqnarray}$

其中$C_{\epsilon}=\frac{p-1}{p}(\frac{V_{0}}{2})^{-1/(p-1)}$.这样,由(2.3)式和条件(V0)可知

$ \begin{eqnarray*} J(v)&\geq &\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} |\nabla v|^{p}{\rm d}x+ \frac{V_{0}}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} |f(v)|^{p}{\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^{N}} H(f(v)){\rm d}x- \frac{V_{0}}{2p}\int_{\mathbb{R}^{N}} |f(v)|^{p}{\rm d}x-C_{1}\|g\|_{p'}^{p'}\\ &= &\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} |\nabla v|^{p}{\rm d}x+ \frac{V_{0}}{2p}\int_{\mathbb{R}^{N}} |f(v)|^{p}{\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^{N}} H(f(v)){\rm d}x-C_{1}\|g\|_{p'}^{p'}, \end{eqnarray*}$

这里, $C_{1}=C_{ \frac{V_{0}}{2p}}$.再由条件(H1)-(H2),对于充分小的$\epsilon>0$,存在$C_{\epsilon}>0$,使得

$ H(f(v))\leq \epsilon |v|^{p}+C_{\epsilon}|v|^{r/2\alpha}.$

若记$K(t)=- \frac{V_{0}}{2p} |f(t)|^{p}+H(f(t))$,则$\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{K(t)}{|t|^{p}}=-\frac{V_{0}}{2p}$,且当$1 <p <N$时, $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\frac{K(t)}{t^{\frac{Np}{N-p}}}=0$;当$p=N$时, $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\frac{K(t)}{t^{q}}=0$,其中$q>r/2\alpha$.

当$1 <p <N$时,有

$\begin{eqnarray*} J(v) &\geq &\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} |\nabla v|^{p}{\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^{N}} K(v){\rm d}x-C_{1}\|g\|_{p'}^{p'}\\ &\geq& \frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} |\nabla v|^{p}{\rm d}x+ (\frac{V_{0}}{2p}-\epsilon) \int_{\mathbb{R}^{N}} |v|^{p}{\rm d}x -C_{\epsilon}\int_{\mathbb{R}^{N}} |v|^{\frac{Np}{N-p}} {\rm d}x-C_{1}\|g\|_{p'}^{p'}.\\ \end{eqnarray*} $

选择适当小的$\epsilon>0$,由索伯列夫嵌入不等式可得

(2.7) $ \begin{eqnarray}\label{eq:2.7} J(v)\geq C_{2}\|v\|^{p} -C_{3}\|v\|^{\frac{Np}{N-p}} -C_{1}\|g\|_{p'}^{p'}, \end{eqnarray} $

这里$C_{2}=\min\{\frac{1}{p}, \frac{V_{0}}{2p}-\epsilon\}$, $C_{3}=C_{\epsilon}$.易见函数$ Q(t)=C_{2}t^{p} -C_{3}t^{\frac{Np}{N-p}} -C_{1}\|g\|_{p'}^{p'} $在$t=t_{0}=(\frac{C_{2}(N-p)}{C_{3}N})^{(N-p)/p^{2}}$取得最大值,且$Q(t_{0})=(\frac{C_{3}p}{N-p})(\frac{C_{2}(N-p)}{C_{3}N})^{N/P}-C_{1}\|g\|_{p'}^{p'}$.取

$m_{0}=\left[\frac{1}{2C_{1}}(\frac{C_{3}p}{N-p})(\frac{C_{2}(N-p)}{C_{3}N})^{\frac{N}{p}}\right]^{(p-1)/p}, ~~ \rho_{0}=(\frac{C_{2}(N-p)}{C_{3}N})^{(N-p)/p^{2}}, $

则当$\|h\|_{p'}\leq m_{0}$时,对于一切的$\|v\|=\rho_{0}$,都有

$J(v)\label{eq:2.4}\geq \frac{1}{2}(\frac{C_{3} p}{N-p})(\frac{C_{2}(N-p)}{C_{3}N})^{N/p}:=a_{0}>0$

成立,引理得证.

当$p=N$时,因为

(2.8) $ \begin{eqnarray}\label{eq:2.8} J(v)&\geq& \frac{1}{N}\int_{\mathbb{R}^{N}} |\nabla v|^{N}{\rm d}x+ (\frac{V_{0}}{2N}-\epsilon) \int_{\mathbb{R}^{N}} |v|^{N}{\rm d}x -C_{\epsilon}\int_{\mathbb{R}^{N}} |v|^{q} {\rm d}x-C_{1}\|g\|_{N'}^{N'}\\ &\geq& C_{2}\|v\|^{N} -C_{3}\|v\|^{q} -C_{1}\|g\|_{N'}^{N'}, \end{eqnarray} $

所以由$q>r/2\alpha \geq N$可知该引理仍然成立.

引理2.3  存在$e\in W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$满足$\|e\|>\rho_{0}$,使得$J(e) <0$.

证  选择$\varphi \in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{N}, [0, 1])$,其支集$ {\rm supp}\varphi=\overline{B}_{1}$,且在$B_{\frac{1}{2}}$上, $\varphi\geq \frac{1}{2}$.则当$t$充分大时, $t\varphi\geq 1$.结合条件(H3)和引理2.1中的性质(8),可得:存在$C>0$使得当$x\in B_{\frac{1}{2}}$时, $H(f(t\varphi))\geq C (t\varphi)^{\mu/2\alpha}$.从而

$ \begin{eqnarray*} J(t\varphi)&\leq &\frac{1}{p}t^{p}\int_{\mathbb{R}^{N}}|\nabla \varphi|^{p}{\rm d}x+\frac{1}{p}V(\infty)t^{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} \varphi^{p}{\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^{N}} H(f(t\varphi)){\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{N}}g f(t\varphi) {\rm d}x\\ &\leq &\frac{1}{p}t^{p}\int_{\mathbb{R}^{N}}|\nabla \varphi|^{p}{\rm d}x+\frac{1}{p}V(\infty)t^{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} \varphi^{p}{\rm d}x -Ct^{\frac{\mu}{2\alpha}}\int_{B_{\frac{1}{2}}}\varphi^{\frac{\mu}{2\alpha}}{\rm d}x+ t\int_{\mathbb{R}^{N}}|g| \varphi {\rm d}x, \end{eqnarray*}$

注意到$\mu>2\alpha p$,这说明当$t\rightarrow +\infty$时, $J(t\varphi)\rightarrow -\infty $,引理得证.

引理2.2和2.3说明泛函$J$满足山路几何条件,则由Ambrosetti-Rabinowitz山路引理^[22]得:对于常数

$c_{0}=\inf\limits_{\gamma\in \Gamma}\sup\limits_{t\in [0, 1]}J(\gamma(t))>0, $

其中$\Gamma=\{\gamma \in C([0, 1], W^{1, p}(\mathbb{R}^{N}) ): \gamma(0)=0, \gamma(1)\neq0 , J(\gamma(1)) <0\}$,存在P-S序列$\{v_{n}\}$,满足:当$n\rightarrow \infty$时,有

(2.9) $ \begin{eqnarray}\label{eq:2.10} J(v_{n})\rightarrow c_{0}, ~J'(v_{n})\rightarrow 0. \end{eqnarray}$

引理2.4  泛函$J$在水平$c$的P-S序列$\{v_{n}\}$是有界的.

证  首先,我们证明:如果$W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$中的序列$\{v_{_{n}}\}$满足

(2.10) $\begin{eqnarray}\label{eq:2.11}\int_{\mathbb{R}^{N}} |\nabla v_{n}|^{p}+V(x)|f(v_{n})|{\rm d}x\leq C, \end{eqnarray} $

其中$C$是正常数,则该序列在索伯列夫空间$W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$中也是有界的.

事实上,我们只需证明$\int_{\mathbb{R}^{N}} |v_{n}|^{p}{\rm d}x$有界.记

$\begin{eqnarray*}\int_{\mathbb{R}^{N}} | v_{n}|^{p}{\rm d}x=\int_{| v_{n}|\leq 1} | v_{n}|^{p}{\rm d}x+ \int_{| v_{n}|\geq 1} | v_{n}|^{p}{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

由条件(H3)知:对于任意$t\geq 1$,都有$H(f(t))\geq C t^{\mu/2\alpha}\geq C t^{p}$.这蕴含着

$\begin{eqnarray*}\int_{| v_{n}|\geq 1} | v_{n}|^{p}{\rm d}x\leq \frac{1}{C}\int_{| v_{n}|\geq 1}H(f(v_{n})){\rm d}x\leq \frac{1}{C}\int_{\mathbb{R}^{N}}H(f(v_{n})){\rm d}x. \end{eqnarray*} $

另一方面,由(2.6)式可得

$ \begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^{N}}H(f(v_{n})){\rm d}x&=&\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} (|\nabla v_{n}|^{p}+V(x)|f(v_{n})|^{p}){\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{N}}g f(v_{n}){\rm d}x-J(v_{n})\\ &\leq& \frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} (|\nabla v_{n}|^{p}+V(x)|f(v_{n})|^{p}){\rm d}x-J(v_{n})+\epsilon \|f(v_{n})\|_{p}^{p}+C_{\epsilon}\|g\|_{p'}^{p'}\\ &\leq &\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} |\nabla v_{n}|^{p}{\rm d}x+(\frac{1}{p}+ \frac{\epsilon}{V_{0}})\int_{\mathbb{R}^{N}}V(x)|f(v_{n})|^{p}{\rm d}x +C_{\epsilon}\|g\|_{p'}^{p'}-J(v_{n}), \end{eqnarray*}$

这说明$\int_{\mathbb{R}^{N}}H(f(v_{n})){\rm d}x$是有界的.

再由引理2.1的性质(8),可得

$\int_{| v_{n}|\leq 1} | v_{n}|^{p}{\rm d}x\leq \frac{1}{\theta^{p}}\int_{|v_{n}|\leq 1}|f(v_{n})|^{p}\leq \frac{1}{\theta^{p}V_{0}}\int_{\mathbb{R}^{N}}V(x)|f(v_{n})|^{p}{\rm d}x.$

以上论述说明$\{v_{n}\}$在空间$W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$中有界.

现设$\{v_{n}\}\subset W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$为泛函$J$在水平$c$的P-S序列,则有

(2.11) $ \begin{eqnarray}\label{eq:2.12} \frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}} (|\nabla v_{n}|^{p}+V(x)|f(v_{n})|^{p}){\rm d}x - \int_{\mathbb{R}^{N}} H(f(v_{n})){\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^{N}} g f(v_{n}){\rm d}x=c+o_{n}(1) \end{eqnarray} $

及

(2.12) $ \begin{eqnarray}\label{eq:2.13} |\langle J'(v_{n}), \psi\rangle|\leq \tau_{n}\|\psi\|, ~ ~\forall \psi\in W^{1, p}(\mathbb{R}^{N}), \end{eqnarray}$

其中$\tau_{n}\rightarrow 0 (n\rightarrow \infty)$.令$\psi_{n}(x):=\frac{f(v_{n}(x))}{f'(v_{n}(x))}$,由引理2.1中的性质(6), (7)可得:$|\psi_{n}|\leq 2\alpha |v_{n}|$,且

$|\nabla \psi_{n}|=\bigg(1+\frac{(2\alpha-1)(2\alpha)^{p-1}|f(v_{n})|^{p(2\alpha -1)}}{1+(2\alpha)^{p-1}|f(v_{n})|^{p(2\alpha -1)}}\bigg)|\nabla v_{n}|\leq 2\alpha | \nabla v_{n}|. $

从而, $\|\psi _{n}\|\leq 2\alpha \|v _{n}\|$.因为$\{v_{n} \}$是P-S序列,在(2.12)式中取$\psi =\psi_{n}$,可得

(2.13) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\mathbb{R}^{N}} \left( 1+\frac{(2\alpha-1)(2\alpha)^{p-1}|f(v_{n})|^{p(2\alpha-1)}}{1+(2\alpha)^{p-1}|f(v_{n})|^{p(2\alpha-1)}} \right)|\nabla v_{n}|^{p}{\rm d}x \\ && +\int_{\mathbb{R}^{N}} V(x) |f(v_{n})|^{p}{\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^{N}} h(f(v_{n}))f(v_{n}){\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^{N}} g f(v_{n}){\rm d}x \\ &=& \langle J'(v_{n}), \psi_{n} \rangle =o_{n}(1). \end{eqnarray}$

由(2.10)式, (2.12)式和条件(H3)可得

$ \begin{eqnarray*} & &\int_{\mathbb{R}^{N}} \left[\frac{1}{p}-\frac{1}{\mu} \bigg(1+\frac{(2\alpha-1)(2\alpha)^{p-1}|f(v_{n})|^{p(2\alpha -1)}}{1+(2\alpha)^{p-1}|f(v_{n})|^{p(2\alpha -1)}}\bigg)\right]|\nabla v_{n}|^{p}{\rm d}x+(\frac{1}{p}-\frac{1}{\mu})\int_{\mathbb{R}^{N}} V(x)|f(v_{n})|^{p}{\rm d}x\\ & \leq &c+o_{n}(1)+(1-\frac{1}{\mu})\int_{\mathbb{R}^{N}} g f(v_{n}){\rm d}x \\ &\leq& c+o_{n}(1)+(1-\frac{1}{\mu})\bigg(\epsilon \int_{\mathbb{R}^{N}} |f(v_{n})|^{p}{\rm d}x+C_{\epsilon}\|g\|_{p'}^{p'}\bigg) \\ &\leq &c+o_{n}(1)+(1-\frac{1}{\mu})\frac{\epsilon}{V_{0}}\int_{\mathbb{R}^{N}} V(x)|f(v_{n})|^{p}{\rm d}x +(1-\frac{1}{\mu})C_{\epsilon}\|g\|_{p'}^{p'} . \end{eqnarray*}$

如果我们选择足够小的$\epsilon>0$,使得$(\frac{1}{p}-\frac{1}{\mu})-(1-\frac{1}{\mu})\frac{\epsilon}{V_{0}}>0$,则

$ \frac{\mu-2\alpha p}{p\mu}\int_{\mathbb{R}^{N}}|\nabla v_{n}|^{p}{\rm d}x+\frac{\mu-p}{2p\mu}\int_{\mathbb{R}^{N}}V(x)|f(v_{n})|^{p}{\rm d}x \leq C +o_{n}(1), $

这说明(2.9)式成立,从而序列$\{v_{n}\}$在$W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$中有界.证毕.

引理2.5  设$\{v_{n}\}$是满足(2.9)式的P-S序列.则其存在子列(不妨仍记为$\{v_{n}\}$)和$v_{0}\in W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$,使得$J(v_{0})=c_{0}$,且$v_{0}$是方程(2.5)的解.此外, $\{v_{n}\}$有一个收敛于$v_{0}$的子列.

证  由引理2.4知P-S序列$\{v_{n}\}$是有界的,所以其存在一个子列,不妨仍记为$\{v_{n}\}$,使得在$ W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$中, $v_{n}\rightharpoonup v_{0}$ (弱收敛).根据索伯列夫嵌入定理,在$L_{loc}^{q}(\mathbb{R}^{N})$中, $v_{n}\rightarrow v$ (强收敛),这里$q$满足:当$1 <p <N$时, $q \in [1, p^{*}]$;当$p=N$时, $q\geq 1$.从而由条件(H0)-(H2)可得:对任意的$R>0$,有

$\begin{eqnarray*} f'(v_{n})\eta(x, f(v_{n}))\rightarrow f'(v_{0})\eta(x, f(v_{0})), ~\mbox{于}~L^{1}(B_{R})~\mbox{中}. \end{eqnarray*}$

进而,类似于文献[7]中引理2.3和文献[18]中引理4的讨论知:对任意的$R>0$,有

$\begin{eqnarray*} |\nabla v_{n}|^{p-2}\nabla v_{n} \rightharpoonup |\nabla v_{0}|^{p-2}\nabla v_{0} ~(\mbox{弱收敛})~\mbox{于}~\left(L^{p/(p-1)}(B_{R})\right)^{N}~\mbox{中}. \end{eqnarray*}$

因此,在(2.12)式中取极限得

$ \begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^{N}}|\nabla v_{0}|^{p-2}\nabla v_{0}\nabla \varphi {\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^{N}}f'(v_{0})\eta(x, f(v_{0}))\varphi {\rm d}x=0 \end{eqnarray*} $

对任意的$\varphi \in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$成立.由$C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$在$W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$中稠密可知$v_{0}$是方程(2.5)的解.并且, $g\neq 0$说明$v_{0}\neq 0$.

记$v_{n}=v_{0}+w_{n}$,则在$W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$中, $w_{n}\rightharpoonup 0$ (弱收敛).因此,当$1 <p <N$时, $w_{n}\rightarrow 0$强收敛于$L_{loc}^{q}(\mathbb{R}^{N})(1\leq q \leq p^{*})$中,且$w_{n}\rightarrow 0$, a.e.于$\mathbb{R}^{N}$中.我们断言:存在$\tau_{0}>0$,使得对于$p\leq q <p^{*}$, $ \mbox{当}~ n\rightarrow \infty ~\mbox{时}$,都有

(2.14) $\begin{eqnarray}\label{eq:2.15} \sup\limits_{y\in \mathbb{R}^{N} } \int_{B_{\tau_{0}}}|w_{n}(x)|^{q}{\rm d}x\rightarrow 0. \end{eqnarray} $

反证法.假设对任意的$\tau>0$,存在$\epsilon_{0}>0$, $y_{m}\in \mathbb{R}^{N}$和$n_{m}(m=1, 2, \cdots)$,使得对一切的$m=1, 2, \cdots$,都有

$\begin{eqnarray*} \int_{B_{\tau}(y_{m})}|w_{n_{m}}(x)|^{q}{\rm d}x\geq \epsilon_{0}. \end{eqnarray*}$

则由积分的绝对连续性,存在$\delta>0$,使得只要$\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$满足$|\Omega| <\delta$,就有

$ \begin{eqnarray*} \int_{\Omega}|w_{n_{m}}(x)|^{q}{\rm d}x <\frac{\epsilon_{0}}{2}. \end{eqnarray*}$

我们取足够小的$\tau>0$使得$|B_{\tau}(y_{m})|=\frac{\omega_{N-1}}{N}\tau^{N} <\delta$,其中$\omega_{N-1}$表示$\mathbb{R}^{N}$中的单位球面.则

$\begin{eqnarray*} \int_{B_{\tau}(y_{m})}|w_{n_{m}}(x)|^{q}{\rm d}x <\frac{\epsilon_{0}}{2}. \end{eqnarray*} $

矛盾!断言(2.14)得证.由Lions集中紧致引理(文献[14]第二部分的Lemma Ⅰ.1)可得$w_{n}\rightarrow 0$于$L^{q}(\mathbb{R}^{N})$中,且$v_{n}\rightarrow v_{0}$于$L^{q}(\mathbb{R}^{N})$中,这里$p\leq q <p^{*}$.从而存在$W_{q}(x)\in L^{q}(\mathbb{R}^{N})$,使得$|v_{n}(x)|\leq W_{q}(x)$, a.e.于$\mathbb{R}^{N}$中.注意到

$\begin{eqnarray*} |f(v_{n})|^{p-1}|f'(v_{n})v_{n}|\leq |f(v_{n})|^{p}\leq |v_{n}|^{p}\leq| W_{q}(x)|^{p}, ~{\rm a.e.} ~\mbox{于}~ \mathbb{R}^{N}, \end{eqnarray*}$

则由Lebesgue控制收敛定理得

(2.15) $ \begin{eqnarray}\label{eq:2.16} \int_{\mathbb{R}^{N}}|f(v_{n})|^{p-2}f(v_{n})f'(v_{n})v_{n}{\rm d}x\rightarrow \int_{\mathbb{R}^{N}}|f(v_{0})|^{p-2}f(v_{0})f'(v_{0})v_{0}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

类似地,有

(2.16) $ \begin{eqnarray}\label{eq:2.17} \int_{\mathbb{R}^{N}}h(f(v_{n}))f'(v_{n})v_{n}{\rm d}x\rightarrow \int_{\mathbb{R}^{N}}h(f(v_{0}))f'(v_{0})v_{0}{\rm d}x\end{eqnarray} $

和

(2.17) $\begin{eqnarray} \label{eq:2.18} \int_{\mathbb{R}^{N}}g f'(v_{n})v_{n}{\rm d}x\rightarrow \int_{\mathbb{R}^{N}}g f'(v_{0})v_{0}{\rm d}x \end{eqnarray} $

成立.当$p=N$时, $v_{n}\rightharpoonup v_{0}$ (弱收敛)于$W^{1, N}(\mathbb{R}^{N})$中蕴含着:对于$q\geq N$, $v_{n}\rightarrow v_{0}$于$L^{q}_{loc}(\mathbb{R}^{N})$中,且$v_{n}\rightarrow v_{0}$, a.e.于$\mathbb{R}^{N}$中.类似地, (2.15)-(2.17)式成立.

另一方面,由Brezis-Lieb引理^[4]知

(2.18) $\begin{eqnarray}\label{eq:2.19} \left\{\begin{array}{ll} \|\nabla v_{n}\|_{p}^{p}=\|\nabla v_{0}\|_{p}^{p}+\|\nabla w_{n}\|_{p}^{p}+o_{n}(1), \\\|v_{n}\|_{L^{p}(\mathbb{R}^{N}, V)}^{p}=\|v_{0}\|_{L^{p}(\mathbb{R}^{N}, V)}^{p}+\|w_{n}\|_{L^{p}(\mathbb{R}^{N}, V)}^{p}+ o_{n}(1), \end{array} \right. \end{eqnarray} $

其中$1 < p\leq N$.由(2.18)式,我们可以推断

$J'(v_{n})v_{n}=J'(v_{0})v_{0}+\|\nabla w_{n}\|_{p}^{p}- \int_{\mathbb{R}^{N}} [\eta(x, f(v_{n}))f'(v_{n}) -\eta(x, f(v_{0}))f'(v_{0}) v_{0}] {\rm d}x+o_{n}(1) $

成立.应用(2.15)-(2.17)式可以得出:当$n\rightarrow \infty$时, $\|\nabla w_{n}\|_{p}^{p}\rightarrow 0$.因此, $v_{n}\rightarrow v_{0}$ (强收敛)于$W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$中,且$J(v_{n})\rightarrow J(v_{0})=c_{0}$.证毕.

引理2.6  设$m_{0}$如引理2.1所述,则当$g$满足$\|g\|_{p'} <m_{0}$时,方程(2.5)有一个弱解$v_{1}\in W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$,满足$J(v_{1})=c_{\rho} <0$,其中

$ c_{\rho}=\inf\limits_{v\in B_{\rho}}J(v) <0. $

证  令$\Omega_{g}=\{x\in \mathbb{R}^{N}: g(x)>0\}$,则由条件(H4)知meas$(\Omega_{g})>0$.我们选取$\varphi \in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{N}, [0, 1])$满足$ {\rm supp}\varphi\subset \Omega_{g}$,且$\int_{\mathbb{R}^{N}}g \varphi {\rm d}x>0$.从而,由引理2.1中的性质(3)和(8),对足够小的$t>0$,成立着

(2.19) $\begin{eqnarray}\label{eq:2.19'} J(t\varphi) &= &\frac{t^{p}}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}}|\nabla\varphi|^{p}{\rm d}x \int_{\mathbb{R}^{N}}V(x)|f(t\varphi)|^{p}{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{N}}H(f(t\varphi)){\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{N}} g f(t\varphi){\rm d}x\\ &\leq & \frac{t^{p}}{p}\int_{\mathbb{R}^{N}}|\nabla\varphi|^{p}{\rm d}x +\frac{t^{p}}{p} V(\infty)\int_{\mathbb{R}^{N}}|\varphi|^{p}{\rm d}x-\theta t\int_{\mathbb{R}^{N}}g \varphi {\rm d}x <0. \end{eqnarray}$

则由(2.19)式和引理2.2可知:存在中心在原点的开球$B_{\rho}\subset E$,使得

$c_{\rho}=\inf\limits_{v\in \overline{B}_{\rho}}J(v) <0, ~\mbox{且} \quad \inf\limits_{v\in \partial B_{\rho}}J(v)>0 $

成立.再由(2.7)-(2.8)式,我们可以推断出$-\infty <c_{\rho}$.取单调递减趋于零的数列$\epsilon_n\downarrow 0$,使其满足

$ 0 <\epsilon_n <\underline{}\inf\limits_{\partial{B_{\rho}}}J-\underline{}\inf\limits_{B_{\rho}}J.$

对泛函$J: \overline{B}_{\rho}\rightarrow \mathbb{R}$使用Ekeland变分原理知:存在$v_{n}\in \overline{B}_{\rho} $,使得

(2.20) $\begin{eqnarray}\label{eq:2.20} J(v_{n})\leq \underline{}\inf\limits_{\overline{B}_{\rho}}J+\epsilon_{n}, ~~~~\mbox{且}~~~~ J(v_{n}) <J(v)+\epsilon_{n}\|v-v_{n}\|, ~v\neq v_{n}. \end{eqnarray} $

由$J(v_{n})\leq\underline{}\inf\limits_{\overline{B}_{\rho}}J+\epsilon_{n} \leq \underline{}\inf\limits_{B_{\rho}}J+\epsilon_{n} <\underline{}\inf\limits_{\partial{B_{\rho}}}J$可推出$v_{n}\in B_{\rho}$.而且, (2.20)式也说明泛函

$F(v)=J(v)+\epsilon_{n}\|v-v_{n}\|, \quad v\in W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$

在$v_{n}$达到其严格极小值,所以对于足够小的$\lambda>0$,都有

$\frac{F(v_{n}+\lambda\phi)-F(v_{n})}{\lambda}\geq0, \quad \forall \phi \in B_1 $

成立.因此

$\frac{J(v_{n}+\lambda\phi)-J(v_{n})}{\lambda}+\epsilon_{n}\|\phi\|\geq0. $

令$\lambda\rightarrow 0$,可得

(2.21) $\begin{eqnarray}\label{eq:2.22} J'(v_{n})\phi+\epsilon_{n}\|\phi\|\geq0. \end{eqnarray} $

在(2.21)式中以$-\phi$代换$\phi$,可得

(2.22) $\begin{eqnarray}\label{eq:2.23} -J'(v_{n})\phi+\epsilon_{n}\|\phi\|\geq0. \end{eqnarray} $

(2.21)-(2.22)式说明$\|J'(v_{n})\|\leq\epsilon_{n}$.

综上,存在序列$\{v_{n}\}\in B_{\rho}$,使得$J(v_{n})\rightarrow c_{\rho}$,且$J'(v_{n})\rightarrow 0$.类似于引理2.5的证明可得: $\{v_{n}\} \subset W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$存在子列,不妨仍记为$\{v_{n}\}$,使得$v_{n}\rightarrow v_{1}$于$W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})$中.这样, $v_{1}$是方程(2.5)满足条件$J(v_{1})=c_{\rho} <0$的弱解.证毕.

定理1.1的证明  由引理2.5和2.6,当扰动项$g$满足$\|g\|_{p'} <m_{0}$时,方程(1.1)至少有两个非平凡的解$u_{0}=f(v_{0})$和$u_{1}=f(v_{1})$,满足$I(u_{0})=J(v_{0})>0$, $I(u_{1})=J(v_{1}) <0$.定理证毕.